“विभिन्न तत्वों के रासायनिक व्यवहार की समृद्ध विविधता इन तत्वों के परमाणुओं की आंतरिक संरचना में अंतरों से उत्पन्न होती है।”

परमाणुओं के अस्तित्व का प्रस्ताव प्राचीन भारतीय और ग्रीक दार्शनिकों के समय (ई.पू. 400) से रहा है, जो यह मानते थे कि परमाणु पदार्थ के मूलभूत निर्माण खंड हैं। उनके अनुसार, पदार्थ का निरंतर विभाजन अंततः ऐसे परमाणुओं तक पहुँचाएगा जिन्हें आगे विभाजित नहीं किया जा सकेगा। ‘परमाणु’ शब्द ग्रीक शब्द ‘अ-टोमियो’ से लिया गया है जिसका अर्थ है ‘अकाट्य’ या ‘अविभाज्य’। ये प्रारंभिक विचार केवल कल्पनाएँ थीं और इन्हें प्रयोगात्मक रूप से परखने का कोई तरीका नहीं था। ये विचार बहुत लंबे समय तक निष्क्रिय रहे और उन्नीसवीं सदी में वैज्ञानिकों द्वारा फिर से उभारे गए।

पदार्थ की परमाणु सिद्धांत को पहली बार एक दृढ़ वैज्ञानिक आधार पर जॉन डाल्टन, एक ब्रिटिश विद्यालय शिक्षक ने 1808 में प्रस्तावित किया। उनके सिद्धांत, जिसे डाल्टन का परमाणु सिद्धांत कहा जाता है, ने परमाणु को पदार्थ का अंतिम कण माना (इकाई 1)। डाल्टन का परमाणु सिद्धांन द्रव्य के संरक्षण के नियम, नियत संघटन के नियम और गुणज संयोजन के नियम को बहुत सफलतापूर्वक समझा सका। हालांकि, यह कई प्रयोगों के परिणामों को समझाने में असफल रहा, उदाहरण के लिए, यह ज्ञात था कि काँच या एबोनाइट जैसे पदार्थ रेशम या फर से रगड़ने पर विद्युत आवेशित हो जाते हैं।

इस इकाई में हम उन प्रायोगिक प्रेक्षणों से प्रारंभ करते हैं जो उन्नीसवीं सदी के अंत और बीसवीं सदी के आरंभ में वैज्ञानिकों द्वारा किए गए थे। इन प्रेक्षणों ने स्थापित किया कि परमाणु उप-परमाणु कणों, अर्थात् इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन से बने होते हैं — यह अवधारणा डाल्टन की अवधारणा से बिलकुल भिन्न है।

2.1 उप-परमाणु कणों की खोज

परमाणु की संरचना की समझ गैसों के माध्यम से विद्युत् प्रवाह के प्रयोगों से प्राप्त हुई। इससे पहले कि हम इन परिणामों पर चर्चा करें, हमें आवेशित कणों के व्यवहार से संबंधित एक मूलभूत नियम ध्यान में रखना चाहिए: “समान आवेश एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं और विषम आवेश एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं”।

2.1.1 इलेक्ट्रॉन की खोज

1830 में, माइकल फैराडे ने दिखाया कि यदि विद्युत् को किसी विद्युत्-वियोज्य के विलयन से प्रवाहित किया जाए, तो इलेक्ट्रोडों पर रासायनिक अभिक्रियाएँ होती हैं, जिससे इलेक्ट्रोडों पर पदार्थ का मुक्त होना और निक्षेपित होना होता है। उसने कुछ नियमों को सूत्रबद्ध किया जिन्हें आप कक्षा बारहवीं में पढ़ेंगे। इन परिणामों ने विद्युत् की कण प्रकृति की ओर संकेत दिया।

मध्य 1850 के दशक में कई वैज्ञानिकों, मुख्यतः फैराडे, ने आंशिक रूप से निर्वात ट्यूबों, जिन्हें कैथोड किरण निर्वात ट्यूब कहा जाता है, में विद्युत् निर्वात का अध्ययन करना प्रारंभ किया। इसे चित्र 2.1 में दर्शाया गया है। कैथोड किरण ट्यूब काँच की बनी होती है जिसमें दो पतली धातु की टुकड़ियाँ, जिन्हें इलेक्ट्रोड कहा जाता है, बंद की जाती हैं। गैसों के माध्यम से विद्युत् निर्वात केवल बहुत कम दबाव और बहुत उच्च वोल्टता पर ही देखा जा सकता था। विभिन्न गैसों का दबाव काँच की ट्यूबों को निर्वात करके समायोजित किया जा सकता था। जब इलेक्ट्रोडों के पार पर्याप्त उच्च वोल्टता लगाई जाती है, तो धनात्मक इलेक्ट्रोड (ऐनोड) से ऋणात्मक इलेक्ट्रोड (कैथोड) की ओर ट्यूब में चलने वाले कणों की धारा के माध्यम से धारा प्रवाहित होने लगती है। इन्हें कैथोड किरणें या कैथोड किरण कण कहा गया। कैथोड से ऐनोड तक धारा के प्रवाह की पुष्टि ऐनोड में एक छेद करके और ऐनोड के पीछे ट्यूब को फॉस्फोरेसेंट पदार्थ जिंक सल्फाइड से लेप करके की गई। जब ये किरणें ऐनोड से गुजरकर जिंक सल्फाइड लेप पर टकराती हैं, तो लेप पर एक चमकता बिंदु बनता है [चित्र 2.1(b)]।

चित्र 2.1(b) छिद्रित ऐनोड के साथ एक कैथोड किरण निर्वात ट्यूब

इन प्रयोगों के परिणाम नीचे संक्षेपित किए गए हैं।

(i) कैथोड किरणें कैथोड से प्रारंभ होती हैं और ऐनोड की ओर गतिशील होती हैं।

(ii) ये किरणें स्वयं दिखाई नहीं देतीं, परंतु इनकी प्रक्रिया को कुछ विशेष प्रकार के पदार्थों (फ्लोरोसेंट या फॉस्फोरोसेंट) की सहायता से देखा जा सकता है, जो इनकी टक्कर से चमकने लगते हैं। टेलीविज़न चित्र नलिकाएँ कैथोड-किरण नलिकाएँ होती हैं और टेलीविज़न चित्र टेलीविज़न स्क्रीन पर लगे कुछ फ्लोरोसेंट या फॉस्फोरोसेंट पदार्थों की फ्लोरोसेंस के कारण बनते हैं।

(iii) विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र की अनुपस्थिति में ये किरणें सीधी रेखाओं में गतिशील रहती हैं (चित्र 2.2)।

(iv) विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में कैथोड-किरणों का व्यवहार ऋणावेशित कणों के अनुरूप होता है, जिससे संकेत मिलता है कि कैथोड-किरणें ऋणावेशित कणों, इलेक्ट्रॉनों, से बनी होती हैं।

(v) कैथोड-किरणों (इलेक्ट्रॉनों) के लक्षण इलेक्ट्रोडों के पदार्थ और कैथोड-किरण नलिका में उपस्थित गैस की प्रकृति पर निर्भर नहीं करते।

इस प्रकार हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि इलेक्ट्रॉन सभी परमाणुओं की मूलभूत इकाई हैं।

2.1.2 इलेक्ट्रॉन का आवेश-द्रव्यमान अनुपात

1897 में, ब्रिटिश भौतिकविद् जे.जे. थॉमसन ने कैथोड रे ट्यूब का उपयोग करते हुए और विद्युत तथा चुंबकीय क्षेत्र को परस्पर लंबवत तथा इलेक्ट्रॉनों के पथ के भी लंबवत लगाकर, इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $\left(m_{e}\right)$ से विद्युत आवेश $(e)$ के अनुपात को मापा (चित्र 2.2)। जब केवल विद्युत क्षेत्र लगाया जाता है, तो इलेक्ट्रॉन अपने पथ से विचलित होकर कैथोड रे ट्यूब पर बिंदु A पर टकराते हैं (चित्र 2.2)। इसी प्रकार जब केवल चुंबकीय क्षेत्र लगाया जाता है, तो इलेक्ट्रॉन कैथोड रे ट्यूब पर बिंदु $\mathrm{C}$ पर टकराते हैं। विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता को सावधानीपूर्वक संतुलित करके, इलेक्ट्रॉन को उस पथ पर वापस लाना संभव है जो विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र की अनुपस्थिति में अपनाया जाता है और वे स्क्रीन पर बिंदु B पर टकराते हैं। थॉमसन ने तर्क दिया कि विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में कणों के पथ से विचलन की मात्रा इस पर निर्भर करती है:

(i) कण पर ऋणात्मक आवेश की परिमाण, कण पर आवेश की परिमाण जितना अधिक होता है, विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र के साथ अन्योन्यक्रिया उतनी ही अधिक होती है और इस प्रकार विचलन भी अधिक होता है।

(ii) कण का द्रव्यमान — कण जितना हल्का होता है, विचलन उतना ही अधिक होता है।

(iii) विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता — इलेक्ट्रोडों के पार वोल्टता में वृद्धि या चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता में वृद्धि के साथ, इलेक्ट्रॉनों का अपने मूल पथ से विचलन बढ़ता है।

विद्युत क्षेत्र की तीव्रता या चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता पर इलेक्ट्रॉनों द्वारा देखे गए विक्षेपण की मात्रा के सटीक मापन करके, थॉमसन $e / m_{\mathrm{e}}$ के मान को इस प्रकार निर्धारित करने में सक्षम हुए:

$\frac{e}{m_{e}}=1.758820 \times 10^{11} \mathrm{C} \mathrm{kg}^{-1}$

जहाँ $m_{\mathrm{e}}$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $\mathrm{kg}$ में है और $e$ इलेक्ट्रॉन पर आवेश की परिमाण को कूलॉम (C) में दर्शाता है। चूँकि इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक आवेशित होते हैं, इलेक्ट्रॉन पर आवेश $-e$ है।

2.1.3 इलेक्ट्रॉन पर आवेश

R.A. मिलिकन (1868-1953) ने इलेक्ट्रॉनों पर आवेश निर्धारित करने के लिए 1906-14 में तेल बूंद प्रयोग के नाम से जानी जाने वाली एक विधि विकसित की। उन्होंने इलेक्ट्रॉन पर आवेश $-1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$ पाया। विद्युत आवेश का वर्तमान स्वीकृत मान $-1.602176 \times 10^{-19} \mathrm{C}$ है। इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $\left(m_{\mathrm{e}}\right)$ इन परिणामों को थॉमसन के $e / m_{e}$ अनुपात के मान के साथ संयोजित करके निर्धारित किया गया।

$$ \begin{aligned} \mathrm{m}_e & =\frac{e}{e / \mathrm{m}_e}=\frac{1.602176 \times 10^{-19} \mathrm{C}}{1.758820 \times 10^{11} \mathrm{C} \mathrm{~kg}^{-1}} \\ \end{aligned} $$

$$ \begin{align*} & =9.1094 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \tag{2.2} \end{align*} $$

आकृति 2.2 इलेक्ट्रॉन का आवेश से द्रव्यमान अनुपात निर्धारित करने के लिए उपकरण

2.1.4 प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की खोज

संशोधित कैथोड किरण नलिका में किया गया विद्युत् विसर्जन नालिका किरणों की खोज की ओर ले गया जो धनावेशित कणों को वहन करती हैं। इन धनावेशित कणों की विशेषताएँ नीचे सूचीबद्ध हैं।

(i) कैथोड किरणों के विपरीत, धनावेशित कणों का द्रव्यमान कैथोड किरण नलिका में उपस्थित गैस की प्रकृति पर निर्भर करता है। ये केवल धनावेशित गैसीय आयन होते हैं।

(ii) कणों का आवेश से द्रव्यमान अनुपात उस गैस पर निर्भर करता है जिससे ये उत्पन्न होते हैं।

(iii) कुछ धनावेशित कण विद्युत् आवेश की मूलभूत इकाई का गुणज आवेश वहन करते हैं।

(iv) चुंबकीय या विद्युत् क्षेत्र में इन कणों का व्यवहार इलेक्ट्रॉन या कैथोड किरणों के लिए प्रेक्षित व्यवहार के विपरीत होता है।

सबसे छोटा और हल्का धनायन हाइड्रोजन से प्राप्त हुआ और इसे प्रोटॉन कहा गया। इस धनावेशित कण की विशेषता 1919 में बताई गई। बाद में, परमाणु के एक घटक के रूप में विद्युत् तटस्थ कण की उपस्थिति की आवश्यकता महसूस की गई। इन कणों की खोज चैडविक (1932) ने बेरिलियम की पतली चादर को $\alpha$-कणों से बमबारी करके की। जब प्रोटॉन से थोड़ा अधिक द्रव्यमान वाले विद्युत् तटस्थ कण उत्सर्जित हुए। उसने इन कणों का नाम न्यूट्रॉन रखा। इन सभी मूलभूत कणों की महत्वपूर्ण विशेषताएँ सारणी 2.1 में दी गई हैं।

मिलिकन का तेल बूंद विधि

इस विधि में, परमाणुकणित्र द्वारा उत्पन्स किए गए तेल की बूंदों को विद्युत संधारित्र की ऊपरी प्लेट में एक छोटे छिद्र से प्रवेश करने दिया गया। इन बूंदों की नीचे की ओर गति को दूरबीन के माध्यम से देखा गया, जो एक सूक्ष्ममापी नेत्रिका से सुसज्जित थी। इन बूंदों के गिरने की दर को मापकर, मिलिकन तेल की बूंदों के द्रव्यमान को मापने में सक्षम हुआ। चैंबर के अंदर की हवा को $\mathrm{X}$-किरणों की एक पुंज को उससे गुजारकर आयनित किया गया। इन तेल की बूंदों पर विद्युत आवेश गैसीय आयनों से टकराने के कारण प्राप्त हुआ। इन आवेशित तेल की बूंदों का गिरना धीमा किया जा सकता है, तेज किया जा सकता है या स्थिर बनाया जा सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि बूंदों पर कितना आवेश है और प्लेट पर लगाए गए वोल्टेज की ध्रुवता और तीव्रता क्या है। विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के तेल की बूंदों की गति पर प्रभावों को सावधानीपूर्वक मापकर, मिलिकन ने निष्कर्ष निकाला कि बूंदों पर विद्युत आवेश $q$ का परिमाण हमेशा विद्युत आवेश $\mathrm{e}$ का एक पूर्णांक गुणज होता है, अर्थात् $q=n \mathrm{e}$, जहाँ $\mathrm{n}=1,2,3 \ldots$।

आकृति 2.3 आवेश ‘e’ को मापने के लिए मिलिकन का तेल बूंद उपकरण। चैंबर में, तेल की बूंद पर कार्य कर रही तीन बल हैं: गुरुत्वाकर्षण बल, विद्युत क्षेत्र के कारण विद्युतस्थैतिक बल और जब तेल की बूंद गतिशील होती है तो एक श्यान प्रतिरोध बल।

2.2 परमाणु मॉडल

पिछले अनुभागों में वर्णित प्रयोगों से प्राप्त प्रेक्षणों ने सुझाव दिया है कि डाल्टन का अविभाज्य परमाणु धनात्मक और ऋणात्मक आवेश वाले उप-परमाणुक कणों से बना है। उप-परमाणुक कणों की खोज के बाद वैज्ञानिकों के समक्ष प्रमुख समस्याएं थीं:

• परमाणु की स्थिरता का कारण बताना,

• तत्वों के व्यवहार की तुलना भौतिक और रासायनिक दोनों गुणों के संदर्भ में करना,

• विभिन्न परमाणुओं के संयोग से विभिन्न प्रकार के अणुओं के निर्माण की व्याख्या करना, और

• परमाणुओं द्वारा अवशोषित या उत्सर्जित विद्युतचुंबकीय विकिरण की विशेषताओं के उद्भव और स्वरूप को समझना।

तालिका 2.1 मूलभूत कणों के गुण

नाम	प्रतीक	निरपेक्ष आवेश/C	सापेक्ष आवेश	द्रव्यमान/kg	द्रव्यमान/u	लगभग द्रव्यमान/u
इलेक्ट्रॉन	$\mathrm{e}$	$-1.602176 \times 10^{-19}$	-1	$9.109382 \times 10^{-31}$	0.00054	0
प्रोटॉन	$\mathrm{p}$	$+1.602176 \times 10^{-19}$	+1	$1.6726216 \times 10^{-27}$	1.00727	1
न्यूट्रॉन	$\mathrm{n}$	0	0	$1.674927 \times 10^{-27}$	1.00867	1

इन आवेशित कणों के परमाणु में वितरण को समझाने के लिए विभिन्न परमाणु मॉडल प्रस्तावित किए गए। यद्यपि इनमें से कुछ मॉडल परमाणुओं की स्थिरता को समझाने में सक्षम नहीं थे, इनमें से दो मॉडल, एक जो जे.जे. थॉमसन ने प्रस्तावित किया और दूसरा जो अर्नेस्ट रदरफोर्ड ने प्रस्तावित किया, नीचे चर्चा किए गए हैं।

2.2.1 परमाणु का थॉमसन मॉडल

जे. जे. थॉमसन ने 1898 में प्रस्तावित किया कि एक परमाणु गोलाकार आकृति (त्रिज्या लगभग (10^{-10} \mathrm{~m})) रखता है जिसमें धनावेश समान रूप से वितरित होता है। इलेक्ट्रॉन इसमें इस प्रकार एम्बेडेड होते हैं कि सबसे स्थिर स्थिरवैद्युत व्यवस्था प्राप्त हो (चित्र 2.4)। इस मॉडल को कई भिन्न नाम दिए गए हैं, उदाहरण के लिए, प्लम पुडिंग, किशमिश पुडिंग या तरबूज।

चित्र 2.4 परमाणु का थॉमसन मॉडल

इस मॉडल को एक धनावेश वाली पुडिंग या तरबूज के रूप में कल्पना किया जा सकता है जिसमें प्लम या बीज (इलेक्ट्रॉन) एम्बेडेड हैं। इस मॉडल की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि परमाणु का द्रव्यमान परमाणु में समान रूप से वितरित माना जाता है। यद्यपि यह मॉडल परमाणु की समग्र उदासीनता को समझाने में सक्षम था, लेकिन बाद के प्रयोगों के परिणामों के साथ संगत नहीं था। थॉमसन को 1906 में गैसों द्वारा विद्युत चालन पर उनके सैद्धांतिक और प्रायोगिक अन्वेषणों के लिए भौतिकी में नोबेल पुरस्कार प्रदान किया गया।

उन्नीसवीं सदी के उत्तरार्ध में, पहले उल्लिखित किरणों के अतिरिक्त विभिन्न प्रकार की किरणों की खोज हुई। विल्हेल्म रॉन्टजन (1845-1923) ने 1895 में दिखाया कि जब कैथोड रे ट्यूब में इलेक्ट्रॉन किसी पदार्थ से टकराते हैं, तो ऐसी किरणें उत्पन्न होती हैं जो कैथोड रे ट्यूब के बाहर रखे फ्लोरोसेंट पदार्थों में फ्लोरेसेंस उत्पन्न कर सकती हैं। चूँकि रॉन्टजन को इस विकिरण की प्रकृति का पता नहीं था, उसने इन्हें $\mathrm{X}$-किरणें नाम दिया और यह नाम आज भी प्रचलित है। यह देखा गया कि जब इलेक्ट्रॉन घने धातु एनोड, जिसे लक्ष्य कहा जाता है, से टकराते हैं, तब X-किरणें प्रभावी रूप से उत्पन्न होती हैं। ये किरणें विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों द्वारा विचलित नहीं होती हैं और पदार्थों से बहुत अधिक पैठने की क्षमता रखती हैं, इसीलिए इन किरणों का उपयोग वस्तुओं के आंतरिक भागों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। इन किरणों की तरंगदैर्ध्य बहुत कम होती है $(\sim 0.1 \mathrm{~nm})$ और ये विद्युत-चुंबकीय प्रकृति की होती हैं (अनुभाग 2.3.1)।

हेनरी बेक्वेरेल (1852-1908) ने देखा कि कुछ विशेष तत्व स्वतः ही विकिरण उत्सर्जित करते हैं और इस घटना को रेडियोधर्मिता तथा ऐसे तत्वों को रेडियोधर्मी तत्वों का नाम दिया। इस क्षेत्र का विकास मैरी क्यूरी, पियरे क्यूरी, रदरफोर्ड और फ्रेडरिक सोडी ने किया। यह देखा गया कि तीन प्रकार की किरणें अर्थात् $\alpha$, $\beta$- और $\gamma$-किरणें उत्सर्जित होती हैं। रदरफोर्ड ने पाया कि $\alpha$-किरणें उच्च ऊर्जा वाले कणों से बनी होती हैं जिन पर दो इकाई धनात्मक आवेश और चार इकाई परमाणु द्रव्यमान होता है। उसने निष्कर्ष निकाला कि $\alpha$-कण हीलियम नाभिक होते हैं क्योंकि जब $\alpha$ कण दो इलेक्ट्रॉनों से मिलते हैं तो हीलियम गैस बनती है। $\beta$-किरणें इलेक्ट्रॉनों के समान ऋणात्मक आवेश वाले कण होते हैं। $\gamma$-किरणें एक्स-किरणों के समान उच्च ऊर्जा वाली किरणें हैं, प्रकृति में उदासीन होती हैं और इनमें कण नहीं होते हैं। प्रवेश क्षमता के संदर्भ में, $\alpha$-कण सबसे कम होते हैं, उसके बाद $\beta$-किरणें ($\alpha$-कणों की तुलना में 100 गुना) और $\gamma$-किरणें ($\alpha$-कणों की तुलना में 1000 गुना) होती हैं।

2.2.2 रदरफोर्ड का परमाणु का नाभिकीय मॉडल

रदरफोर्ड और उनके छात्रों (हांस गाइगर और अर्नेस्ट मार्सडेन) ने बहुत पतले सोने के पर्दे को α-कणों से बमबारी की। रदरफोर्ड के प्रसिद्ध α-कण प्रकीर्णन प्रयोग को चित्र 2.5 में दर्शाया गया है। एक रेडियोधर्मी स्रोत से उच्च ऊर्जा के α-कणों की धारा को सोने की पतली पन्नी (मोटाई ~ 100 nm) पर निर्देशित किया गया। पतली सोने की पन्नी के चारों ओर एक गोलाकार फ्लोरोसेंट जिंक सल्फाइड स्क्रीन लगाई गई थी। जब भी α-कण स्क्रीन से टकराते, उस बिंदु पर प्रकाश की एक छोटी सी चमक उत्पन्न होती थी।

चित्र 2.5 रदरफोर्ड के प्रकीर्णन प्रयोग की आरेखीय दृश्य। जब α (α) कणों की एक किरण को पतले सोने के पर्दे पर “चलाई” जाती है, तो अधिकांश बिना किसी प्रभाव के इससे गुजर जाते हैं। कुछ, हालांकि, विचलित हो जाते हैं।

प्रकीर्णन प्रयोग के परिणाम काफी अप्रत्याशित थे। थॉमसन के परमाणु मॉडल के अनुसार, पन्नी में प्रत्येक सोने के परमाणु का द्रव्य पूरे परमाणु में समान रूप से फैला होना चाहिए था, और α-कणों में ऐसे एकसमान द्रव्य वितरण से सीधे गुजर जाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा थी। यह अपेक्षा की गई थी कि कण पन्नी से गुजरते समय धीमे होंगे और केवल छोटे कोणों से दिशा बदलेंगे। यह प्रेक्षित किया गया कि:

(i) अधिकांश α-कण सोने की पन्नी से अविचलित होकर गुजर गए।

(ii) $\alpha$-कणों का एक छोटा अंश थोड़े कोणों से विक्षेपित हुआ।

(iii) बहुत कम $\alpha$-कण ($\sim 1$ में 20,000) वापस लौटे, अर्थात् लगभग $180^{\circ}$ से विक्षेपित हुए।

इन प्रेक्षणों के आधार पर रदरफोर्ड ने परमाणु की संरचना के बारे में निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले:

(i) परमाणु का अधिकांश भाग खाली है क्योंकि अधिकांश $\alpha$-कण फॉइल से अविक्षेपित गुजर गए।

(ii) कुछ धनावेशित $\alpha$-कण विक्षेपित हुए। यह विक्षेपण प्रबल प्रतिकर्षण बल के कारण होना चाहिए, जिससे दिखता है कि परमाणु का धनावेश थॉमसन के मान्यता के विपरीत पूरे परमाणु में फैला नहीं है। धनावेश बहुत छोटे आयतन में केंद्रित होना चाहिए जिसने धनावेशित $\alpha$-कणों को प्रतिकर्षित कर विक्षेपित किया।

(iii) रदरफोर्ड की गणनाओं से दिखा कि नाभिक द्वारा घिरा आयतन परमाणु के कुल आयतन की तुलना में नगण्य है। परमाणु की त्रिज्या लगभग $10^{-10} \mathrm{~m}$ है जबकि नाभिक की त्रिज्या $10^{-15} \mathrm{~m}$ है। इस आकार के अंतर को इस तरह समझा जा सकता है कि यदि एक क्रिकेट की गेंद नाभिक को दर्शाती है, तो परमाणु की त्रिज्या लगभग $5 \mathrm{~km}$ होगी।

उपरोक्त प्रेक्षणों और निष्कर्षों के आधार पर रदरफोर्ड ने परमाणु का नाभिकीय मॉडल प्रस्तावित किया। इस मॉडल के अनुसार:

(i) परमाणु का धनात्मक आवेश और अधिकांश द्रव्यमान अत्यंत सूक्ष्म क्षेत्र में सघन रूप से केंद्रित थे। परमाणु के इस अत्यंत छोटे भाग को रदरफोर्ड ने नाभिक कहा।

(ii) नाभिक के चारों ओर इलेक्ट्रॉन घूमते हैं जो अत्यधिक तीव्र गति से कक्षाओं नामक वृत्तीय पथों पर नाभिक के परिक्रमा करते हैं। इस प्रकार, रदरफोर्ड का परमाणु मॉडल सौर मंडल के समान है जिसमें नाभिक सूर्य की भूमिका निभाता है और इलेक्ट्रॉन घूमते हुए ग्रहों की।

(iii) इलेक्ट्रॉन और नाभिक आकर्षण की विद्युत-स्थैतिक बलों द्वारा एक साथ बंधे रहते हैं।

2.2.3 परमाणु संख्या और द्रव्यमान संख्या

नाभिक पर धनात्मक आवेश नाभिक में मौजूद प्रोटॉनों के कारण होता है। जैसा कि पहले स्थापित किया गया है, प्रोटॉन पर आवेश इलेक्ट्रॉन के आवेश के बराबर लेकिन विपरीत होता है। नाभिक में मौजूद प्रोटॉनों की संख्या परमाणु संख्या $(Z)$ के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन नाभिक में प्रोटॉनों की संख्या 1 है, सोडियम परमाणु में यह 11 है, इसलिए उनकी परमाणु संख्याएँ क्रमशः 1 और 11 हैं। विद्युतीय उदासीनता बनाए रखने के लिए, किसी परमाणु में इलेक्ट्रॉनों की संख्या प्रोटॉनों की संख्या (परमाणु संख्या, $Z)$ के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन परमाणु और सोडियम परमाणु में इलेक्ट्रॉनों की संख्या क्रमशः 1 और 11 है।

$$ \begin{array}{ccc} \text{परमाणु संख्या } (Z) & = & \text{किसी परमाणु के} \\ & & \text{नाभिक में प्रोटॉनों की संख्या }\\ & =& \text{ उदासीन परमाणु में} \\ & & \text{इलेक्ट्रॉनों की संख्या} \quad \quad (2.3) \\ \end{array} $$

जबकि नाभिक का धनात्मक आवेश प्रोटॉनों के कारण होता है, नाभिक का द्रव्यमान प्रोटॉनों और न्यूट्रॉनों के कारण होता है। जैसा कि पहले चर्चा किया गया है, नाभिक में उपस्थित प्रोटॉन और न्यूट्रॉन सामूहिक रूप से न्यूक्लिऑन के रूप में जाने जाते हैं।

न्यूक्लिऑनों की कुल संख्या को परमाणु का द्रव्यमान संख्या (A) कहा जाता है।

द्रव्यमान संख्या (A) = प्रोटॉनों की संख्या (Z) + न्यूट्रॉनों की संख्या (n)

2.2.4 आइसोबार और समस्थानिक

किसी भी परमाणु की संरचना को सामान्य तत्व प्रतीक $(\mathrm{X})$ का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है, जिसमें बायीं ओर ऊपर की ओर सुपरस्क्रिप्ट के रूप में परमाणु द्रव्यमान संख्या (A) और बायीं ओर नीचे की ओर सबस्क्रिप्ट $(Z)$ के रूप में परमाणु संख्या दी जाती है (अर्थात् ${ }_{Z}^{A} X$ )।

आइसोबार वे परमाणु होते हैं जिनका समान द्रव्यमान संख्या होता है लेकिन भिन्न परमाणु संख्या होती है, उदाहरण के लिए, $_6^{14} C$ और $_7^{14} ~N$। दूसरी ओर, परमाणु जिनकी परमाणु संख्या समान होती है लेकिन द्रव्यमान संख्या भिन्न होती है, उन्हें समस्थानिक कहा जाता है। दूसरे शब्दों में (समीकरण 2.4 के अनुसार), यह स्पष्ट है कि समस्थानिकों के बीच अंतर नाभिक में उपस्थित न्यूट्रॉनों की भिन्न संख्या के कारण होता है। उदाहरण के लिए, फिर से हाइड्रोजन परमाणु को लेते हुए, $99.985 %$ हाइड्रोजन परमाणु में केवल एक प्रोटॉन होता है। इस समस्थानिक को प्रोटियम $\left( _1^1 H\right)$ कहा जाता है। शेष प्रतिशत हाइड्रोजन परमाणु में दो अन्य समस्थानिक होते हैं, जिसमें 1 प्रोटॉन और 1 न्यूट्रॉन होता है उसे ड्यूटीरियम $\left( _1^2 D, 0.015 \%\right)$ कहा जाता है और जिसमें 1 प्रोटॉन और 2 न्यूट्रॉन होते हैं उसे ट्रिटियम $\left( _1^3 T\right)$ कहा जाता है। बाद वाला समस्थानिक पृथ्वी पर अत्यल्प मात्रा में पाया जाता है। सामान्य रूप से पाए जाने वाले अन्य समस्थानिकों के उदाहरण हैं: कार्बन परमाणु जिनमें 6 प्रोटॉनों के अतिरिक्त 6, 7 और 8 न्यूट्रॉन होते हैं $\left( _6^{12} C, _6^{13} C, _6^{14} C\right)$; क्लोरीन परमाणु जिनमें 17 प्रोटॉनों के अतिरिक्त 18 और 20 न्यूट्रॉन होते हैं $\left( _{17}^{35} \mathrm{Cl}, _{17}^{37} Cl\right)$।

अंत में, समस्थानिकों के बारे में एक महत्वपूर्ण बात यह है कि परमाणुओं के रासायनिक गुण इलेक्ट्रॉनों की संख्या द्वारा नियंत्रित होते हैं, जो नाभिक में प्रोटॉनों की संख्या द्वारा निर्धारित होते हैं। नाभिक में मौजूद न्यूट्रॉनों की संख्या किसी तत्व के रासायनिक गुणों पर बहुत कम प्रभाव डालती है। इसलिए, किसी दिए गए तत्व के सभी समस्थानिक समान रासायनिक व्यवहार दिखाते हैं।

प्रश्न 2.1

${ }_{35}^{80} \mathrm{Br}$ में प्रोटॉन, न्यूट्रॉन और इलेक्ट्रॉनों की संख्या की गणना कीजिए।

हल

इस स्थिति में, ${ }_{35}^{80} \mathrm{Br}, \mathrm{Z}=35, \mathrm{~A}=80$, प्रजाति उदासीन है

प्रोटॉनों की संख्या $=$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या $=Z=35$

न्यूट्रॉनों की संख्या $=80-35=45$, (समीकरण 2.4)

प्रश्न 2.2

किसी प्रजाति में इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन और न्यूट्रॉनों की संख्या क्रमशः 18, 16 और 16 है। प्रजाति के लिए उचित प्रतीक निर्धारित कीजिए।

हल

परमाणु क्रमांक प्रोटॉनों की संख्या के बराबर है $=16$। तत्व सल्फर (S) है।

परमाणु द्रव्यमान संख्या $=$ प्रोटॉनों की संख्या + न्यूट्रॉनों की संख्या

$=16+16=32$

प्रजाति उदासीन नहीं है क्योंकि प्रोटॉनों की संख्या इलेक्ट्रॉनों के बराबर नहीं है। यह ऋणायन (नकारात्मक आवेशित) है जिसका आवेश अतिरिक्त इलेक्ट्रॉनों के बराबर है $=18-16=2$। प्रतीक है ${ }_{16}^{32} \mathrm{~S}^{2-}$।

नोट: संकेत ${ }_{\mathrm{Z}}^{\mathrm{A}} \mathrm{X}$ का प्रयोग करने से पहले यह जान लें कि वह प्रजाति उदासीन परमाणु, धनायन (कैटायन) है या ऋणायन (ऐनायन)। यदि यह उदासीन परमाणु है, तो समीकरण (2.3) मान्य है, अर्थात् प्रोटॉनों की संख्या = इलेक्ट्रॉनों की संख्या = परमाणु क्रमांक। यदि प्रजाति आयन है, तो यह निर्धारित करें कि प्रोटॉनों की संख्या इलेक्ट्रॉनों की संख्या से अधिक है (धनायन, धनावेशित आयन) या कम है (ऋणायन, ऋणावेशित आयन)। न्यूट्रॉनों की संख्या सदैव $A-Z$ द्वारा दी जाती है, चाहे प्रजाति उदासीन हो या आयन।

2.2.5 रदरफोर्ड मॉडल की कमियाँ

जैसा कि आपने ऊपर पढ़ा है, परमाणु का रदरफोर्ड नाभिकीय मॉडल एक छोटे पैमाने का सौर-मंडल है, जिसमें नाभिक भारी सूर्य की भूमिका निभाता है और इलेक्ट्रॉन हलके ग्रहों के समान होते हैं। जब शास्त्रीय यांत्रिकी को सौर-मंडल पर लागू किया जाता है, तो यह दर्शाती है कि ग्रह सूर्य के चारों ओर सुपरिभाषित कक्षाओं में घूमते हैं। ग्रहों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल व्यंजक $\left(G .\frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}\right)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m_{1}$ और $m_{2}$ द्रव्यमान हैं, $r$ द्रव्यमानों के बीच की दूरी है और $\mathrm{G}$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है। सिद्धांत ग्रहों की कक्षाओं की सटीक गणना भी कर सकता है और ये प्रायोगिक मापों से सहमत होती हैं।

सौरमंडल और नाभिकीय मॉडल के बीच की समानता यह सुझाव देती है कि इलेक्ट्रॉनों को नाभिक के चारों ओर सुनिश्चित कक्षाओं में घूमना चाहिए। इसके अतिरिक्त, इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच का कूलॉम बल $\left(\mathrm{k} q_{1} q_{2} / r^{2}\right.$ जहाँ $q_{1}$ और $q_{2}$ आवेश हैं, $r$ आवेशों के बीच की दूरी है और $\mathrm{k}$ समानुपाती स्थिरांक है) गुरुत्वाकर्षण बल के गणितीय रूप से समान है। हालांकि, जब कोई वस्तु एक कक्षा में घूमती है, तो वह त्वरण अनुभव करती है, भले ही वह स्थिर चाल से चल रही हो, क्योंकि दिशा बदलती रहती है। इसलिए नाभिकीय मॉडल में ग्रहों जैसी कक्षाओं का वर्णन करने वाला इलेक्ट्रॉन त्वरण के अधीन है। मैक्सवेल के विद्युतचुंबकीय सिद्धांत के अनुसार, आवेशित कणों को त्वरित होने पर विद्युतचुंबकीय विकिरण उत्सर्जित करना चाहिए (यह विशेषता ग्रहों के लिए मौजूद नहीं है क्योंकि वे आवेशित नहीं हैं)। इसलिए, एक कक्षा में इलेक्ट्रॉन विकिरण उत्सर्जित करेगा, विकिरण द्वारा वहन की गई ऊर्जा इलेक्ट्रॉनिक गति से आती है। इस प्रकार कक्षा लगातार सिकुड़ती जाएगी। गणनाएँ दर्शाती हैं कि एक इलेक्ट्रॉन को नाभिक में सर्पिल होने में केवल $10^{-8} \mathrm{~s}$ का समय लगना चाहिए। लेकिन ऐसा नहीं होता है। इस प्रकार, रदरफोर्ड मॉडल परमाणु की स्थिरता की व्याख्या नहीं कर सकता। यदि इलेक्ट्रॉन की गति को शास्त्रीय यांत्रिकी और विद्युतचुंबकीय सिद्धांत के आधार पर वर्णित किया जाता है, तो आप पूछ सकते हैं कि चूँकि कक्षाओं में इलेक्ट्रॉनों की गति परमाणु की अस्थिरता का कारण बन रही है, तो फिर इलेक्ट्रॉनों को नाभिक के चारों ओर स्थिर[^0] क्यों नहीं मान लिया जाए। यदि इलेक्ट्रॉन स्थिर होते, तो सघन नाभिक और इलेक्ट्रॉनों के बीच स्थिर वैद्युत आकर्षण इलेक्ट्रॉनों को नाभिक की ओर खींच लेता और परमाणु का थॉम्सन मॉडल का एक लघु संस्करण बन जाता।

रदरफोर्ड मॉडल का एक और गंभीर नुकसान यह है कि यह नाभिक के चारों ओर इलेक्ट्रॉनों के वितरण और इन इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जाओं के बारे में कुछ नहीं कहता है।

2.3 बोर के परमाणु मॉडल की ओर ले जाने वाले विकास

ऐतिहासिक रूप से, विकिरणों के पदार्थ के साथ अन्योन्यक्रियाओं के अध्ययन से प्राप्त परिणामों ने परमाणुओं और अणुओं की संरचना के बारे में अत्यधिक जानकारी प्रदान की है। नील्स बोर ने इन परिणामों का उपयोग रदरफोर्ड द्वारा प्रस्तावित मॉडल में सुधार करने के लिए किया। दो विकासों ने बोर के परमाणु मॉडल के निर्माण में प्रमुख भूमिका निभाई। ये थे:

(i) विद्युतचुंबकीय विकिरण का द्वैत स्वभाव जिसका अर्थ है कि विकिरणों में तरंग-स्वरूप और कण-स्वरूप दोनों गुण होते हैं, और

(ii) परमाणु स्पेक्ट्रा से संबंधित प्रयोगात्मक परिणाम।

पहले हम विद्युतचुंबकीय विकिरणों की द्वैत प्रकृति के बारे में चर्चा करेंगे। परमाणु स्पेक्ट्रा से संबंधित प्रयोगात्मक परिणामों की चर्चा अनुभाग 2.4 में की जाएगी।

2.3.1 विद्युतचुंबकीय विकिरण की तरंग प्रकृति

उन्नीसवीं सदी के मध्य में भौतिकविदों ने गरम वस्तुओं द्वारा विकिरण के अवशोषण और उत्सर्जन का सक्रिय अध्ययन किया। इन्हें तापीय विकिरण कहा जाता है। उन्होंने यह जानने की कोशिश की कि तापीय विकिरण किस चीज से बना है। अब यह एक सुप्रसिद्ध तथ्य है कि तापीय विकिरण विभिन्न आवृत्तियों या तरंगदैर्घ्यों के विद्युतचुंबकीय तरंगों से बना होता है। यह कई आधुनिक संकल्पनाओं पर आधारित है, जो उन्नीसवीं सदी के मध्य में अज्ञात थीं। तापीय विकिरण के नियमों का प्रथम सक्रिय अध्ययन 1850 के दशक में हुआ और विद्युतचुंबकीय तरंगों के सिद्धांत तथा आवेशित कणों के त्वरित गति से ऐसी तरंगों के उत्सर्जन का सिद्धांत 1870 के दशक की शुरुआत में जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा विकसित किया गया, जिसे बाद में हेनरिक हर्ट्ज ने प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की। यहाँ हम विद्युतचुंबकीय विकिरणों के बारे में कुछ तथ्य सीखेंगे।

जेम्स मैक्सवेल (1870) ने आवेशित पिंडों के पारस्परिक क्रिया और विद्युत तथा चुंबकीय क्षेत्रों के स्थूल स्तर पर व्यवहार के बारे में समग्र व्याख्या देने वाले प्रथम व्यक्ति थे। उन्होंने सुझाव दिया कि जब कोई विद्युत आवेशित कण त्वरित गति से चलता है, तो प्रत्यावर्ती विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होते हैं और प्रेषित होते हैं। ये क्षेत्र तरंगों के रूप में प्रेषित होते हैं, जिन्हें विद्युतचुंबकीय तरंगें या विद्युतचुंबकीय विकिरण कहा जाता है।

प्रकाश विकिरण का एक ऐसा रूप है जिसे प्राचीन काल से जाना जाता है और इसकी प्रकृति के बारे में अटकलें प्राचीनतम समय से चली आ रही हैं। प्रारंभिक दिनों में (न्यूटन) यह माना जाता था कि प्रकाश कणों (कॉर्पस्कलों) से बना है। 19वीं सदी में ही प्रकाश की तरंग प्रकृति स्थापित हुई।

मैक्सवेल फिर से पहले व्यक्ति थे जिन्होंने बताया कि प्रकाश तरंगें दोलित विद्युत और चुंबकीय प्रकृति से जुड़ी होती हैं (चित्र 2.6)।

चित्र 2.6 एक विद्युत-चुंबकीय तरंग के विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र घटक। इन घटकों की तरंगदैर्ध्य, आवृत्ति, चाल और आयाम समान होते हैं, पर वे दो परस्पर लंबवत समतलों में कंपन करते हैं।

यद्यपि विद्युत-चुंबकीय तरंग गति स्वभाव से जटिल है, हम यहाँ केवल कुछ सरल गुणों पर विचार करेंगे।

(i) दोलित आवेशित कणों द्वारा उत्पन्न दोलित विद्युत और चुंबकीय क्षेक परस्पर लंबवत होते हैं और दोनों ही तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत होते हैं। विद्युत-चुंबकीय तरंग का सरलीकृत चित्र चित्र 2.6 में दिखाया गया है।

(ii) ध्वनि तरंगों या अन्य तरंगों के विपरीत, विद्युत-चुंबकीय तरंगों को माध्यम की आवश्यकता नहीं होती और ये निर्वात में भी गति कर सकती हैं।

(iii) यह अब अच्छी तरह स्थापित हो चुका है कि विद्युतचुंबकीय विकिरणों के कई प्रकार होते हैं, जो एक-दूसरे से तरंगदैर्ध्य (या आवृत्ति) में भिन्न होते हैं। ये सब मिलकर जिसे विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम (चित्र 2.7) कहा जाता है, उसे बनाते हैं। स्पेक्ट्रम के विभिन्न क्षेत्रों को अलग-अलग नामों से पहचाना जाता है। कुछ उदाहरण हैं: रेडियो आवृत्ति क्षेत्र लगभग $10^{6} \mathrm{~Hz}$, प्रसारण के लिए प्रयुक्त; माइक्रोवेव क्षेत्र लगभग $10^{10} \mathrm{~Hz}$, रडार के लिए प्रयुक्त; अवरक्त क्षेत्र लगभग $10^{13}$ $\mathrm{Hz}$, तापन के लिए प्रयुक्त; पराबैंगनी क्षेत्र लगभग $10^{16} \mathrm{~Hz}$, सूर्य के विकिरण का एक घटक। लगभग $10^{15}$ $\mathrm{Hz}$ का छोटा भाग, जिसे सामान्यतः दृश्य प्रकाश कहा जाता है। यह केवल यही भाग है जिसे हमारी आँखें देख (या संवेदित) सकती हैं। अदृश्य विकिरण का पता लगाने के लिए विशेष उपकरणों की आवश्यकता होती है। जल में, विद्युतचुंबकीय तरंगें

(iv) विद्युतचुंबकीय विकिरण को दर्शाने के लिए विभिन्न प्रकार की इकाइयों का प्रयोग किया जाता है।

इन विकिरणों को उनके गुणों, अर्थात् आवृत्ति $(v)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ द्वारा चिह्नित किया जाता है।

आवृत्ति (v) के लिए SI इकाई हर्ट्ज़ $\left(\mathrm{Hz}, \mathrm{s}^{-1}\right)$ है, हेनरिख हर्ट्ज़ के नाम पर। इसे एक सेकंड में किसी बिंदु से गुजरने वाली तरंगों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।

तरंगदैर्ध्य की इकाइयाँ लंबाई की होनी चाहिए और जैसा कि आप जानते हैं कि लंबाई की SI इकाई मीटर (m) है। चूँकि विद्युतचुंबकीय विकिरण बहुत छोटी तरंगदैर्ध्यों की विभिन्न प्रकार की तरंगों से बना होता है, इसलिए छोटी इकाइयों का प्रयोग किया जाता है। आकृति 2.7 विभिन्न प्रकार के विद्युतचुंबकीय विकिरणों को दर्शाती है जो तरंगदैर्ध्य और आवृत्ति में एक-दूसरे से भिन्न होते हैं।

निर्वात में सभी प्रकार के विद्युतचुंबकीय विकिरण, तरंगदैर्ध्य की परवाह किए बिना, समान चाल से यात्रा करते हैं, अर्थात् $3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ (2.997925 $\times 10^{8} \mathrm{~ms}^{-1}$, सटीक रूप से)। इसे प्रकाश की चाल कहा जाता है और इसे प्रतीक ’ $c$ ’ दिया गया है। आवृत्ति $(v)$, तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और प्रकाश की चाल (c) समीकरण (2.5) द्वारा संबंधित हैं।

$$ \begin{equation*} c=\nu \lambda \tag{2.5} \end{equation*} $$

आकृति 2.7 (a) विद्युतचुंबकीय विकिरण का स्पेक्ट्रम। (b) दृश्य स्पेक्ट्रम। दृश्य क्षेत्र संपूर्ण स्पेक्ट्रम का केवल एक छोटा भाग है।

अन्य सामान्यतः प्रयुक्त राशि, विशेष रूप से स्पेक्ट्रोस्कोपी में, तरंग संख्या $(\bar{v})$ है। इसे इकाई लंबाई प्रति तरंगदैर्ध्यों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है। इसकी इकाइयाँ तरंगदैर्ध्य इकाई का व्युत्क्रम होती हैं, अर्थात् $\mathrm{m}^{-1}$। हालाँकि सामान्यतः प्रयुक्त इकाई $\mathrm{cm}^{-1}$ है (SI इकाई नहीं)।

समस्या 2.3

अखिल भारतीय रेडियो, दिल्ली का विविध भारती स्टेशन $1,368 \mathrm{kHz}$ (किलो हर्ट्ज) आवृत्ति पर प्रसारित करता है। ट्रांसमीटर द्वारा उत्सर्जित विद्युत चुंबकीय विकिरण की तरंगदैर्ध्य की गणना कीजिए। यह विद्युत चुंबकीय स्पेक्ट्रम के किस भाग से संबंधित है?

हल

$$ \text { तरंगदैर्ध्य } \lambda=\frac{c}{v} $$

जहाँ $\mathrm{c}$ निर्वात में विद्युत चुंबकीय विकिरण की चाल है और $v$ आवृत्ति है। दी गई मानों को रखने पर, हमारे पास

$\lambda=\frac{c}{v}$

$=\frac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{1368 \mathrm{kHz}}$

$=\frac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{1368 \times 10^{3} \mathrm{~s}^{-1}}$

$=219.3 \mathrm{~m}$

यह एक विशिष्ट रेडियो तरंग की तरंगदैर्ध्य है।

प्रश्न 2.4

दृश्य स्पेक्ट्रम की तरंगदैर्ध्य सीमा बैंगनी $(400 \mathrm{~nm})$ से लाल $(750 \mathrm{~nm})$ तक फैली है। इन तरंगदैर्ध्यों को आवृत्तियों $(\mathrm{Hz})$ में व्यक्त कीजिए। $\left(1 \mathrm{~nm}=10^{-9} \mathrm{~m}\right)$

हल

समीकरण 2.5 का उपयोग करते हुए, बैंगनी प्रकाश की आवृत्ति

$$ \begin{aligned} & v=\frac{\mathrm{c}}{\lambda}=\frac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{400 \times 10^{-9} \mathrm{~m}} \\ & =7.50 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

लाल प्रकाश की आवृत्ति

$v=\frac{\mathrm{c}}{\lambda}=\frac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{750 \times 10^{-9} \mathrm{~m}}=4.00 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

दृश्य स्पेक्ट्रम की सीमा आवृत्ति इकाइयों के संदर्भ में $4.0 \times 10^{14}$ से $7.5 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ है।

प्रश्न 2.5

पीले विकिरण की (a) तरंगसंख्या और (b) आवृत्ति की गणना कीजिए जिसकी तरंगदैर्ध्य $5800 \mathring{A}$ है।

हल

(a) तरंगसंख्या $(\bar{v})$ की गणना

$\lambda=5800 \mathring{A}=5800 \times 10^{-8} \mathrm{~cm}$

$$ =5800 \times 10^{-10} \mathrm{~m} $$

$\bar{v}=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{5800 \times 10^{-10} \mathrm{~m}}$

$$ =1.724 \times 10^{6} \mathrm{~m}^{-1} $$

$$ =1.724 \times 10^{4} \mathrm{~cm}^{-1} $$

(b) आवृत्ति $(v)$ की गणना

$$ \bar{v}=\frac{\mathrm{c}}{\lambda}=\frac{3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{5800 \times 10^{-10} \mathrm{~m}}=5.172 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1} $$

2.3.2 विद्युतचुंबकीय विकिरण की कण प्रकृति: प्लांक का क्वांटम सिद्धांत

कुछ प्रयोगात्मक घटनाएँ जैसे विवर्तन और व्यतिकरण विद्युतचुंबकीय विकिरण की तरंग प्रकृति द्वारा समझायी जा सकती हैं। हालांकि, निम्नलिखित कुछ ऐसे प्रेक्षण हैं जिन्हें 19वीं सदी के भौतिकी के विद्युतचुंबकीय सिद्धांत (जिसे शास्त्रीय भौतिकी के नाम से जाना जाता है) की सहायता से भी समझाया नहीं जा सका:

(i) गर्म पिंडों (काले पिंड विकिरण) से विकिरण के उत्सर्जन की प्रकृति

(ii) जब विकिरण धातु की सतह से टकराती है तो उससे इलेक्ट्रॉनों का निष्कासन (प्रकाशवैद्युत प्रभाव)

(iii) ठोसों की ऊष्मा धारिता का तापमान के फलन के रूप में परिवर्तन[^1]

(iv) परमाणुओं की रेखा स्पेक्ट्रा विशेष रूप से हाइड्रोजन के संदर्भ में।

ये घटनाएँ संकेत देती हैं कि तंत्र ऊर्जा केवल विच्छिन्न मात्राओं में ही ग्रहण कर सकता है। सभी संभावित ऊर्जाएँ ग्रहण या उत्सर्जित नहीं की जा सकतीं।

यह उल्लेखनीय है कि उपरोक्त काले पिंड विकिरण की घटना के लिए पहला ठोस स्पष्टीकरण मैक्स प्लांक ने 1900 में दिया था। आइए पहले इस घटना को समझने का प्रयास करें, जो नीचे दी गई है:

गर्म वस्तुएँ विभिन्न तरंगदैर्ध्यों पर विद्युतचुंबकीय विकिरण उत्सर्जित करती हैं। उच्च ताप पर उत्सर्जित विकिरण का एक उल्लेखनीय भाग दृश्य स्पेक्ट्रम क्षेत्र में होता है। जब ताप बढ़ता है, तो छोटे तरंगदैर्ध्य (नीला प्रकाश) का अनुपात बढ़ता है। उदाहरणस्वरूप, जब एक लोहे की छड़ भट्ठी में गरम की जाती है, तो वह पहले धूसर लाल होती है और ताप बढ़ने के साथ-साथ धीरे-धीरे अधिक लाल होती जाती है। इसे और गरम करने पर उत्सर्जित विकिरण सफेद हो जाता है और ताप बहुत अधिक होने पर नीला। इसका अर्थ है कि लाल विकिरण एक विशेष ताप पर सर्वाधिक तीव्र होता है और नीला विकिरण किसी अन्य ताप पर अधिक तीव्र। इसका अर्थ है कि गर्म वस्तु से उत्सर्जित विभिन्न तरंगदैर्ध्यों के विकिरणों की तीव्रता उसके ताप पर निर्भर करती है। 1850 के दशक के अंत तक यह ज्ञात हो गया था कि भिन्न-भिन्न पदार्थों से बनी और भिन्न-भिन्न तापों पर रखी गई वस्तुएँ भिन्न मात्रा में विकिरण उत्सर्जित करती हैं। साथ ही, जब किसी वस्तु की सतह को प्रकाश (विद्युतचुंबकीय विकिरण) से आप्लावित किया जाता है, तो विकिरण ऊर्जा का एक भाग सामान्यतः परावर्तित होता है, एक भाग अवशोषित होता है और एक भाग पारगमित होता है। अपूर्ण अवशोषण का कारण यह है कि सामान्य वस्तुएँ नियमतः विकिरण के अपूर्ण अवशोषक होती हैं। एक आदर्श वस्तु, जो सभी आवृत्तियों के विकिरणों को समान रूप से उत्सर्जित और अवशोषित करती है, को काला पिंड कहा जाता है और ऐसे पिंड द्वारा उत्सर्जित विकिरण को काला पिंड विकिरण कहा जाता है। व्यवहार में ऐसी कोई वस्तु नहीं होती। कार्बन ब्लैक काले पिंड की अपेक्षाकृत अच्छी नकल करता है। काले पिंड का एक अच्छा भौतिक सन्निकट एक छोटे छिद्रयुक्त गुहिका है, जिसमें कोई अन्य छिद्र नहीं है। कोई भी किरण जो छिद्र में प्रवेश करती है, गुहिका की दीवारों से परावर्तित होती है और अंततः दीवारों द्वारा अवशोषित हो जाती है। काला पिंड विकिरण ऊर्जा का पूर्ण विकिरणक भी होता है। इसके अतिरिक्त, काला पिंड अपने परिवेश के साथ ऊष्मीय साम्य में रहता है। वह प्रति इकाई क्षेत्रफल उतनी ही ऊर्जा उत्सर्जित करता है जितनी वह किसी समय अपने परिवेश से अवशोषित करता है। काले पिंड से उत्सर्जित प्रकाश की मात्रा (विकिरण की तीव्रता) और उसका स्पेक्ट्रम वितरण केवल उसके ताप पर निर्भर करता है। किसी दिए गए ताप पर विकिरण की तीव्रता तरंगदैर्ध्य के साथ बढ़ती है, एक निश्चित तरंगदैर्ध्य पर अधिकतम मान तक पहुँचती है और फिर तरंगदैर्ध्य के आगे बढ़ने के साथ घटने लगती है, जैसा कि चित्र 2.8 में दिखाया गया है। साथ ही, जब ताप बढ़ता है, वक्र का शीर्ष छोटे तरंगदैर्ध्य की ओर सरक जाता है। विकिरण की तीव्रता को तरंगदैर्ध्य के फलन के रूप में भविष्यवाणी करने के कई प्रयास किए गए।

आकृति 2.8 तरंगदैर्ध्य-तीव्रता संबंध

आकृति 2.8 (a) ब्लैक बॉडी

परंतु उपरोक्त प्रयोग के परिणामों को प्रकाश की तरंग सिद्धांत के आधार पर संतोषजनक रूप से समझाया नहीं जा सका। मैक्स प्लैंक ने एक संतोषजनक संबंध प्राप्त किया यह मानकर कि विकिरण का अवशोषण और उत्सर्जन दोलकों, अर्थात् ब्लैक बॉडी की दीवार में उपस्थित परमाणुओं से होता है। विद्युतचुंबकीय विकिरण के दोलकों के साथ अन्योन्यक्रिया से उनके दोलन की आवृत्ति बदल जाती है। प्लैंक ने यह माना कि विकिरण को ऊर्जा के असंयुक्त गुच्छों में विभाजित किया जा सकता है। उसने सुझाव दिया कि परमाणु और अणु ऊर्जा केवल असंयुक्त मात्राओं में ही उत्सर्जित या अवशोषित कर सकते हैं, न कि सतत रूप से। उसने विद्युतचुंबकीय विकिरण के रूप में उत्सर्जित या अवशोषित होने वाली न्यूनतम ऊर्जा मात्रा का नाम क्वांटम रखा। विकिरण के एक क्वांटम की ऊर्जा $(E)$ इसकी आवृत्ति $(v)$ के समानुपाती होती है और इसे समीकरण (2.6) द्वारा व्यक्त किया गया है।

$$ \begin{equation*} E=h v \tag{2.6} \end{equation*} $$

अनुपात स्थिरांक, ‘$h$’ को प्लैंक नियतांक के रूप में जाना जाता है और इसका मान $6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}$ है।

इस सिद्धांत के साथ, प्लैंक काले पिंड से विकिरण में तीव्रता के वितरण को विभिन्न तापमानों पर आवृत्ति या तरंगदैर्ध्य के फलन के रूप में समझाने में सक्षम था।

क्वान्टीकरण की तुलना एक सीढ़ी पर खड़े होने से की गई है। एक व्यक्ति सीढ़ी के किसी भी पायदान पर खड़ा हो सकता है, लेकिन उसके लिए दो पायदानों के बीच खड़ा होना संभव नहीं है। ऊर्जा निम्नलिखित समुच्चय में से किसी एक मान को ले सकती है, लेकिन इनके बीच के किसी भी मान को नहीं ले सकती।

$E = 0, hv, 2hv, 3hv….nhv…..$

आकृति 2.9 फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव का अध्ययन करने के लिए उपकरण। एक विशेष आवृत्ति का प्रकाश निर्वात चैम्बर के अंदर एक स्वच्छ धातु सतह पर आपड़ता है। इलेक्ट्रॉन धातु से बाहर निकलते हैं और एक डिटेक्टर द्वारा गिने जाते हैं जो उनकी गतिज ऊर्जा को मापता है।

मैक्स प्लैंक (1858-1947)

मैक्स प्लैंक, एक जर्मन भौतिक विज्ञानी, ने 1879 में म्यूनिख विश्वविद्यालय से सैद्धांतिक भौतिकी में पीएच.डी प्राप्त की। 1888 में, उन्हें बर्लिन विश्वविद्यालय में सैद्धांतिक भौतिकी संस्थान के निदेशक के रूप में नियुक्त किया गया। प्लैंक को 1918 में क्वांटम सिद्धांत के लिए भौतिकी में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया। प्लैंक ने ऊष्मागतिकी और भौतिकी के अन्य क्षेत्रों में भी महत्वपूर्ण योगदान दिए।

प्रकाशवैद्युत प्रभाव

$1887$ में, H. हर्ट्ज़ ने एक बहुत ही रोचक प्रयोग किया जिसमें कुछ धातुओं (उदाहरण के लिए पोटैशियम, रुबिडियम, सीज़ियम आदि) को प्रकाश की किरण के प्रकाश में रखा गया तो इलेक्ट्रॉन (या विद्युत धारा) बाहर निकले, जैसा कि चित्र 2.9 में दिखाया गया है। इस घटना को प्रकाशवैद्युत प्रभाव कहा जाता है। इस प्रयोग में प्रेक्षित परिणाम थे:

(i) जैसे ही प्रकाश की किरण धातु की सतह से टकराती है, इलेक्ट्रॉन धातु की सतह से बाहर निकल आते हैं, अर्थात् प्रकाश की किरण के टकराने और धातु की सतह से इलेक्ट्रॉनों के बाहर निकलने के बीच कोई समय अंतराल नहीं होता है।

(ii) बाहर निकले इलेक्ट्रॉनों की संख्या प्रकाश की तीव्रता या चमक के समानुपाती होती है।

(iii) प्रत्येक धातु के लिए एक विशिष्ट न्यूनतम आवृत्ति, $v_{0}$ (जिसे देहली आवृत्ति भी कहा जाता है) होती है, जिससे नीचे प्रकाशवैद्युत प्रभाव प्रेक्षित नहीं होता। $v>v_{0}$ आवृत्ति पर, बाहर निकले इलेक्ट्रॉन एक निश्चित गतिज ऊर्जा के साथ बाहर आते हैं। इन इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा प्रयुक्त प्रकाश की आवृत्ति के बढ़ने के साथ बढ़ती है।

उपरोक्त सभी परिणामों को शास्त्रीय भौतिकी के नियमों के आधार पर समझाया नहीं जा सका। उत्तरार्ध के अनुसार, प्रकाश की किरण की ऊर्जा सामग्री प्रकाश की चमक पर निर्भर करती है। दूसरे शब्दों में, निकाले गए इलेक्ट्रॉनों की संख्या और उनसे संबद्ध गतिज ऊर्जा प्रकाश की चमक पर निर्भर होनी चाहिए। यह देखा गया है कि यद्यपि निकाले गए इलेक्ट्रॉनों की संख्या प्रकाश की चमक पर निर्भर करती है, निकाले गए इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा नहीं करती। उदाहरण के लिए, लाल प्रकाश $\left[v=(4.3\right.$ से 4.6$\left.) \times 10^{14} \mathrm{~Hz}\right]$ किसी भी चमक (तीव्रता) के साथ पोटैशियम धातु के टुकड़े पर घंटों तक चमक सकता है, लेकिन कोई फोटोइलेक्ट्रॉन नहीं निकलते। लेकिन जैसे ही यहां तक कि बहुत कमजोर पीला प्रकाश $\left(v=5.1-5.2 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}\right)$ पोटैशियम धातु पर चमकता है, फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव देखा जाता है। पोटैशियम धातु के लिए थ्रेशोल्ड आवृत्ति $\left(v_{0}\right)$ $5.0 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ है।

तालिका 2.2 कुछ धातुओं के लिए कार्य फलन $\left(W_{0}\right)$ के मान

धातु	$\mathrm{Li}$	$\mathrm{Na}$	$\mathrm{K}$	$\mathrm{Mg}$	$\mathrm{Cu}$	$\mathrm{Ag}$
$\mathbf{w}_{\mathbf{0}} / \mathbf{e V}$	2.42	2.3	2.25	3.7	4.8	4.3

आइंस्टीन (1905) प्लैंक के विद्युतचुंबकीय विकिरण के क्वांटम सिद्धांत को प्रारंभिक बिंदु बनाकर फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव को समझाने में सक्षम हुए।

अल्बर्ट आइंस्टीन (1879–1955)

अल्बर्ट आइंस्टीन, एक जर्मन-जन्म अमेरिकी भौतिकविद्, को कई लोग दुनिया के दो महानतम भौतिकविदों में से एक मानते हैं (दूसरे हैं आइज़ेक न्यूटन)। उनके तीन शोध पत्र (विशेष सापेक्षता, ब्राउनी गति और प्रकाश विद्युत प्रभाव पर) जो उन्होंने 1905 में प्रकाशित किए, जब वे बर्न, स्विट्ज़रलैंड के एक पेटेंट कार्यालय में तकनीकी सहायक के रूप में कार्यरत थे, ने भौतिकी के विकास को गहराई से प्रभावित किया। उन्हें प्रकाश विद्युत प्रभाव की व्याख्या के लिए 1921 में भौतिकी का नोबेल पुरस्कार मिला।

इसलिए, धातु की सतह पर प्रकाश की किरण डालने को, फोटॉनों की किरण चलाने के समान देखा जा सकता है। जब पर्याप्त ऊर्जा वाला एक फोटॉन धातु के परमाणु में मौजूद इलेक्ट्रॉन से टकराता है, तो वह टक्कर के दौरान अपनी ऊर्जा तुरंत इलेक्ट्रॉन को स्थानांतरित कर देता है और इलेक्ट्रॉन बिना किसी विलंब के बाहर निकल जाता है। फोटॉन जितनी अधिक ऊर्जा रखता है, इलेक्ट्रॉन को उतनी ही अधिक ऊर्जा स्थानांतरित होगी और निकाले गए इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा उतनी ही अधिक होगी। दूसरे शब्दों में, निकाले गए इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा विद्युतचुंबकीय विकिरण की आवृत्ति के समानुपाती होती है। चूँकि टकराने वाले फोटॉन की ऊर्जा $h v$ होती है और इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा $h v_0$ (जिसे कार्य-फल $\mathrm{W}_0$ भी कहा जाता है; तालिका 2.2) है, तो ऊर्जा का अंतर $\left(h v-h v_0\right)$ फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के रूप में स्थानांतरित होता है। ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का पालन करते हुए, निकाले गए इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा समीकरण 2.7 द्वारा दी जाती है।

$$h v=h v_{0}+\frac{1}{2} m_{\mathrm{e}} \mathrm{v}^{2} \tag{2.7}$$

जहाँ $m_{\mathrm{e}}$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $v$ निकाले गए इलेक्ट्रॉन से संबद्ध वेग है। अंत में, अधिक तीव्र प्रकाश की किरण अधिक संख्या में फोटॉनों से बनी होती है, परिणामतः निकाले गए इलेक्ट्रॉनों की संख्या भी अधिक होती है, जिसकी तुलना उस प्रयोग से की जा सकती है जिसमें कम तीव्रता वाली प्रकाश की किरण का प्रयोग किया जाता है।

विद्युतचुंबकीय विकिरण की द्वैध प्रकृति

प्रकाश की कण प्रकृति ने वैज्ञानिकों के लिए एक दुविधा पैदा कर दी। एक ओर, यह काले पिंड विकिरण और प्रकाश-विद्युत प्रभाव को संतोषजनक रूप से समझा सकती थी, लेकिन दूसरी ओर, यह प्रकाश के ज्ञात तरंगीय व्यवहार के साथ सुसंगत नहीं थी, जो हस्तक्षेप और विवर्तन जैसी घटनाओं की व्याख्या कर सकता था। इस दुविधा को हल करने का एकमात्र तरीका यह स्वीकार करना था कि प्रकाश में कण और तरंग दोनों जैसे गुण होते हैं, अर्थात् प्रकाश में द्वैध व्यवहार होता है। प्रयोग के आधार पर, हम पाते हैं कि प्रकाय या तो तरंग के रूप में या फिर कणों की धारा के रूप में व्यवहार करता है। जब भी विकिरण पदार्थ से संपर्क करता है, तो वह कण जैसे गुण प्रदर्शित करता है, जबकि तरंग जैसे गुण (हस्तक्षेप और विवर्तन) तब दिखाता है जब वह प्रसारित होता है। यह अवधारणा वैज्ञानिकों की पदार्थ और विकिरण के बारे में सोचने की पद्धति के लिए पूरी तरह से विदेशी थी और उन्हें इसकी वैधता को स्वीकार करने में बहुत समय लग गया। बाद में आप देखेंगे कि इलेक्ट्रॉन जैसे कुछ सूक्ष्म कण भी इस तरंग-कण द्वैधता प्रदर्शित करते हैं।

प्रश्न 2.6

उस विकिरण के एक मोल फोटॉनों की ऊर्जा की गणना कीजिए जिसकी आवृत्ति $5 \times 10^{14}$ $\mathrm{Hz}$ है।

हल

एक फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ व्यंजक द्वारा दी जाती है

$E=h v$

$h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}$

$v=5 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}$ (दिया गया है)

$E=\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}\right) \times\left(5 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}\right)$

$=3.313 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

एक मोल फोटॉन की ऊर्जा

$=\left(3.313 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\right) \times\left(6.022 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}\right)$

$=199.51 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}$

समस्या 2.7

एक 100 वाट का बल्ब $400 \mathrm{~nm}$ तरंगदैर्ध्य का एकवर्णी प्रकाश उत्सर्जित करता है। बल्ब द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या की गणना करें।

हल

बल्ब की शक्ति $=100$ वाट

$$ =100 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1} $$

एक फोटॉन की ऊर्जा $E=h \nu=h c / \lambda$

$$ \begin{aligned} & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s} \times 3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{400 \times 10^{-9} \mathrm{~m}} \\ & =4.969 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या

$$ \frac{100 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1}}{4.969 \times 10^{-19} \mathrm{~J}}=2.012 \times 10^{20} \mathrm{~s}^{-1} $$

समस्या 2.8

जब $300 \mathrm{~nm}$ तरंगदैर्ध्य का विद्युतचुंबकीय विकिरण सोडियम की सतह पर पड़ता है, तो इलेक्ट्रॉन $1.68 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$ की गतिज ऊर्जा के साथ उत्सर्जित होते हैं। सोडियम से एक इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए न्यूनतम ऊर्जा क्या है? अधिकतम तरंगदैर्ध्य क्या है जो एक फोटोइलेक्ट्रॉन के उत्सर्जन का कारण बनेगा?

हल

$300 \mathrm{~nm}$ फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ निम्नलिखित है

$$ \begin{aligned} h n & =h \mathrm{c} / \lambda \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s} \times 3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{300 \times 10^{-9} \mathrm{~m}} \\ & =6.626 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

एक मोल फोटॉन की ऊर्जा

$=6.626 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \times 6.022 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}$

$=3.99 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$

सोडियम से एक मोल इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए न्यूनतम ऊर्जा

$=(3.99-1.68) 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$

$=2.31 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$

एक इलेक्ट्रॉन के लिए न्यूनतम ऊर्जा

$=\frac{2.31 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}}{6.022 \times 10^{23} \text { electrons } \mathrm{mol}^{-1}}$

$=3.84 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

यह तरंगदैर्ध्य के अनुरूप है

$\therefore \lambda=\frac{h c}{E}$

$ \begin{aligned} & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s} \times 3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{3.84 \times 10^{-19} \mathrm{~J}} \\ & =517 \mathrm{~nm} \end{aligned} $

(यह हरे प्रकाश के अनुरूप है)

समस्या 2.9

एक धातु के लिए दहलीस आवृत्ति $v_{0}$ का मान $7.0 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}$ है। जब $v=1.0 \times 10^{15} \mathrm{~s}^{-1}$ आवृत्ति का विकिरण धातु से टकराता है, तो उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा की गणना कीजिए।

हल

आइंस्टीन के समीकरण के अनुसार

गतिज ऊर्जा $=1 / 2 m_{\mathrm{e}} \mathrm{v}^{2}=h\left(v-v_{0}\right)$

2.3.3 क्वांटमित इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा स्तरों के प्रमाण: परमाणु स्पेक्ट्रा

प्रकाश की गति उस माध्यम की प्रकृति पर निर्भर करती है जिससे वह गुजरता है। परिणामस्वरूप, प्रकाश की किरण जब एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है तो वह अपने मूल पथ से विचलित या अपवर्तित हो जाती है। यह देखा गया है कि जब सफेद प्रकाश की किरण को एक प्रिज्म से गुजारा जाता है, तो छोटी तरंगदैर्ध्य वाली तरंग, लंबी तरंगदैर्ध्य वाली तरंग की तुलना में अधिक मुड़ती है। चूंकि सामान्य सफेद प्रकाश दृश्य सीमा की सभी तरंगदैर्ध्यों वाली तरंगों से बना होता है, इसलिए सफेद प्रकाश की किरण रंगीन पट्टियों की एक श्रृंखला में फैल जाती है जिसे स्पेक्ट्रम कहा जाता है। लाल रंग का प्रकाश जिसकी सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य होती है, सबसे कम विचलित होता है जबकि बैंगनी प्रकाश जिसकी सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य होती है, सबसे अधिक विचलित होता है। सफेद प्रकाश का स्पेक्ट्रम, जिसे हम देख सकते हैं, बैंगनी से $7.50 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ पर लेकर लाल रंग तक $4 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ पर फैला होता है। ऐसे स्पेक्ट्रम को सतत स्पेक्ट्रम कहा जाता है। सतत क्योंकि बैंगनी नीले में, नीला हरे में और इसी तरह विलीन होता है। एक समान स्पेक्ट्रम तब बनता है जब आकाश में इंद्रधनुष बनता है। याद रखें कि दृश्य प्रकाश विद्युतचुंबकीय विकिरण का केवल एक छोटा भाग है (चित्र 2.7)। जब विद्युतचुंबकीय विकिरण पदार्थ के साथ संपर्क करता है, तो परमाणु और अणु ऊर्जा को अवशोषित कर सकते हैं और उच्च ऊर्जा अवस्था में पहुंच सकते हैं। उच्च ऊर्जा के साथ, ये अस्थिर अवस्था में होते हैं। अपनी सामान्य (अधिक स्थिर, निम्न ऊर्जा अवस्था) ऊर्जा अवस्था में लौटने के लिए, परमाणु और अणु विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम के विभिन्न क्षेत्रों में विकिरण उत्सर्जित करते हैं।

उत्सर्जन और अवशोषण स्पेक्ट्रम

किसी पदार्थ द्वारा अवशोषित ऊर्जा के बाद उत्सर्जित विकिरण का स्पेक्ट्रम उत्सर्जन स्पेक्ट्रम कहलाता है। परमाणु, अणु या आयन जो विकिरण को अवशोषित कर लेते हैं, उन्हें “उत्तेजित” कहा जाता है। एक उत्सर्जन स्पेक्ट्रम उत्पन्न करने के लिए, नमूने को ऊर्जा गर्म करके या विकिरण देकर आपूर्ति की जाती है और नमूने द्वारा अवशोषित ऊर्जा को त्यागते समय उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य (या आवृत्ति) को दर्ज किया जाता है।

एक अवशोषण स्पेक्ट्रम उत्सर्जन स्पेक्ट्रम की फोटोग्राफिक नेगेटिव के समान होता है। विकिरण का एक सतत स्पेक्ट्रम नमूने से गुजरता है जो कुछ तरंगदैर्ध्यों के विकिरण को अवशोषित करता है। जो तरंगदैर्ध्य गायब हो जाती है वह पदार्थ द्वारा अवशोषित विकिरण के अनुरूप होती है और चमकते सतत स्पेक्ट्रम में गहरे स्थान छोड़ती है।

उत्सर्जन या अवशोषण स्पेक्ट्रा का अध्ययन स्पेक्ट्रोस्कोपी कहलाता है। दृश्य प्रकाश का स्पेक्ट्रम, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, सतत होता है क्योंकि दृश्य प्रकाश की सभी तरंगदैर्ध्य (लाल से बैंगनी) स्पेक्ट्रा में प्रतिनिधित्वित होती हैं। दूसरी ओर, गैसीय चरण में परमाणुओं के उत्सर्जन स्पेक्ट्रा तरंगदैर्ध्य का लाल से बैंगनी तक सतत फैलाव नहीं दिखाते, बल्कि वे केवल विशिष्ट तरंगदैर्ध्यों पर प्रकाश उत्सर्जित करते हैं जिनके बीच गहरे स्थान होते हैं। ऐसे स्पेक्ट्रा को रेखा स्पेक्ट्रा या परमाणु स्पेक्ट्रा कहा जाता है क्योंकि उत्सर्जित विकिरण स्पेक्ट्रा में चमकती रेखाओं की उपस्थिति द्वारा पहचाना जाता है (चित्र 2.10 पृष्ठ 45)।

रेखा उत्सर्जन स्पेक्ट्रा इलेक्ट्रॉनिक संरचना के अध्ययन में बहुत रुचि के हैं। प्रत्येक तत्व का एक अद्वितीय रेखा उत्सर्जन स्पेक्ट्रम होता है। परमाणु स्पेक्ट्रा में विशिष्ट रेखाओं का उपयोग रासायनिक विश्लेषण में अज्ञात परमाणुओं की पहचान के लिए किया जा सकता है, ठीक उसी तरह जैसे अंगुलियों के निशान लोगों की पहचान के लिए उपयोग किए जाते हैं। किसी ज्ञात तत्व के परमाणुओं के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम की रेखाओं का किसी अज्ञात नमूने की रेखाओं से सटीक मिलान करके बाद वाले की पहचान शीघ्र स्थापित की जाती है। जर्मन रसायनज्ञ रॉबर्ट बंसन (1811-1899) रेखा स्पेक्ट्रा का उपयोग कर तत्वों की पहचान करने वाले प्रथम अन्वेषकों में से एक थे।

रूबिडियम $(\mathrm{Rb})$, सीज़ियम ($\mathrm{Cs}$), थैलियम (Tl), इंडियम (In), गैलियम (Ga) और स्कैंडियम (Sc) जैसे तत्वों की खोज तब हुई जब उनके खनिजों का स्पेक्ट्रोस्कोपी विधियों से विश्लेषण किया गया। हीलियम $(\mathrm{He})$ तत्व की खोज सूर्य में स्पेक्ट्रोस्कोपी विधि द्वारा की गई।

चित्र 2.10 (a) परमाणु उत्सर्जन। उत्तेजित हाइड्रोजन परमाणुओं (या किसी अन्य तत्व) के नमूने द्वारा उत्सर्जित प्रकाश को एक प्रिज़्म से गुजारा जा सकता है और कुछ विविक्त तरंगदैर्ध्यों में अलग किया जा सकता है। इस प्रकार एक उत्सर्जन स्पेक्ट्रम, जो अलग किए गए तरंगदैर्ध्यों की एक फोटोग्राफिक अभिलेखन है, को रेखा स्पेक्ट्रम कहा जाता है। उचित आकार का कोई भी नमूना परमाणुओं की एक विशाल संख्या को समाहित करता है। यद्यपि एक एकल परमाणु एक समय में केवल एक ही उत्तेजित अवस्था में हो सकता है, परमाणुओं का समूह सभी संभव उत्तेजित अवस्थाओं को समाहित करता है। जब ये परमाणु निम्न ऊर्जा अवस्थाओं में गिरते हैं तो उत्सर्जित प्रकाश स्पेक्ट्रम के लिए उत्तरदायी होता है।

(b) परमाणु अवशोषण। जब सफेद प्रकाश को अनुत्तेजित परमाणुक हाइड्रोजन से गुजारा जाता है और फिर एक झिरी और प्रिज़्म से होकर गुजारा जाता है, तो संचरित प्रकाश उन्हीं तरंगदैर्ध्यों पर तीव्रता में कमी दिखाता है जैसे कि (a) में उत्सर्जित होते हैं। अभिलेखित अवशोषण स्पेक्ट्रम भी एक रेखा स्पेक्ट्रम होता है और यह उत्सर्जन स्पेक्ट्रम का फोटोग्राफिक नकारात्मक होता है।

हाइड्रोजन का रेखा स्पेक्ट्रम

जब गैसीय हाइड्रोजन के माध्यम से एक विद्युत विसर्जन पास किया जाता है, तो $\mathrm{H}_{2}$ अणु विघटित होते हैं और ऊर्जात्मक रूप से उत्तेजित हाइड्रोजन परमाणु उत्पन्न होते हैं जो विविक्त आवृत्तियों का विद्युतचुंबकीय विकिरण उत्सर्जित करते हैं। हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में कई श्रेणियों की रेखाएं होती हैं जिनका नाम उनके खोजकर्ताओं के नाम पर रखा गया है। बाल्मर ने 1885 में प्रयोगात्मक प्रेक्षणों के आधार पर दिखाया कि यदि स्पेक्ट्रल रेखाओं को तरंगसंख्या $(\bar{v})$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की दृश्यमान रेखाएं निम्न सूत्र का पालन करती हैं:

$$ \begin{equation*} \bar{v}=109,677\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right) \mathrm{cm}^{-1} \tag{2.8} \end{equation*} $$

जहाँ $n$ एक पूर्णांक है जो 3 के बराबर या उससे अधिक है (अर्थात्, $n=3,4,5, \ldots$)

इस सूत्र द्वारा वर्णित रेखाओं की श्रृंखला को बाल्मर श्रृंखला कहा जाता है। बाल्मर श्रृंखला की रेखाएँ हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की एकमात्र रेखाएँ हैं जो विद्युत चुंबकीय स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में दिखाई देती हैं। स्वीडिश स्पेक्ट्रोस्कोपिस्ट, जोहानेस रिडबर्ग ने देखा कि हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में सभी रेखाओं की श्रृंखला को निम्नलिखित व्यंजक द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

$$\bar{v}=109,677\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right) \mathrm{cm}^{-1} \tag{2.9}$$

जहाँ $n_{1}=1,2 \ldots \ldots$

$n_{2}=n_{1}+1, n_{1}+2 \ldots \ldots$

मान $109,677 \mathrm{~cm}^{-1}$ को हाइड्रोजन के लिए रिडबर्ग नियतांक कहा जाता है। पहली पाँच रेखा श्रृंखलाएँ जो $n_{1}=1,2,3$, 4, 5 के अनुरूप हैं, क्रमशः लाइमन, बाल्मर, पैशेन, ब्रैकेट और पफुंड श्रृंखला के रूप में जानी जाती हैं, तालिका 2.3 हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में इन संक्रमण श्रृंखलाओं को दर्शाती है। चित्र 2.11 (पृष्ठ, 46) हाइड्रोजन परमाणु के लिए लाइमन, बाल्मर और पैशेन संक्रमण श्रृंखलाओं को दर्शाता है।

तालिका 2.3 परमाणु हाइड्रोजन के लिए स्पेक्ट्रल रेखाएँ

श्रेणी	$\boldsymbol{n}_{\mathbf{1}}$	$\boldsymbol{n}_{\mathbf{2}}$	स्पेक्ट्रल क्षेत्र
लाइमन	1	$2,3 \ldots$	पराबैंगनी
बाल्मर	2	$3,4 \ldots$	दृश्य
पैशेन	3	$4,5 \ldots$	अवरक्त
ब्रैकेट	4	$5,6 \ldots$	अवरक्त
पफ़ुंड	5	$6,7 \ldots$	अवरक्त

चित्र 2.11 हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के संक्रमण (आरेख लाइमन, बाल्मर और पैशेन श्रृंखला के संक्रमण दिखाता है)

सभी तत्वों में, हाइड्रोजन परमाणु का रेखा स्पेक्ट्रम सबसे सरल होता है। भारी परमाणु के लिए रेखा स्पेक्ट्रम अधिक से अधिक जटिल होता जाता है। हालांकि, कुछ विशेषताएं हैं जो सभी रेखा स्पेक्ट्रम में समान होती हैं, अर्थात् (i) तत्व का रेखा स्पेक्ट्रम अद्वितीय होता है और (ii) प्रत्येक तत्व के रेखा स्पेक्ट्रम में नियमितता होती है। जो प्रश्न उत्पन्न होते हैं वे हैं: इन समानताओं के कारण क्या हैं? क्या इसका संबंध परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक संरचना से है? ये वे प्रश्न हैं जिनके उत्तर देने की आवश्यकता है। हम बाद में पाएंगे कि इन प्रश्नों के उत्तर इन तत्वों की इलेक्ट्रॉनिक संरचना को समझने में कुंजी प्रदान करते हैं।

2.4 हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोर का मॉडल

नील्स बोर (1913) ने हाइड्रोजन परमाणु की संरचना और उसके स्पेक्ट्रम की सामान्य विशेषताओं को मात्रात्मक रूप से समझाने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने प्लांक की ऊर्जा के क्वान्टीकरण की अवधारणा का प्रयोग किया। यद्यपि यह सिद्धांत आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी नहीं है, फिर भी इसका उपयोग परमाणु संरचना और स्पेक्ट्रा के कई बिंदुओं को तर्कसंगत बनाने के लिए किया जा सकता है। हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोर का मॉडल निम्नलिखित अभिग्रहों पर आधारित है:

i) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन नाभि के चारों ओर निश्चित त्रिज्या और ऊर्जा वाले वृत्तीय पथ पर चक्कर लगा सकता है। इन पथों को कक्षाएं, स्थिर अवस्थाएं या अनुमत ऊर्जा अवस्थाएं कहा जाता है। ये कक्षाएं नाभि के चारों ओर संकेन्द्रित रूप से व्यवस्थित होती हैं।

ii) किसी कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा समय के साथ नहीं बदलती। यद्यपि, जब आवश्यक मात्रा में ऊर्जा इलेक्ट्रॉन द्वारा अवशोषित की जाती है तो इलेक्ट्रॉन निम्न स्थिर अवस्था से उच्च स्थिर अवस्था में चला जाता है या जब इलेक्ट्रॉन उच्च स्थिर अवस्था से निम्न स्थिर अवस्था में जाता है तो ऊर्जा उत्सर्जित होती है (समीकरण 2.16)। ऊर्जा परिवर्तन सतत रूप से नहीं होता।

कोणीय संवेग

जैसे रेखीय संवेग द्रव्यमान $(m)$ और रेखीय वेग (v) का गुणनफल होता है, वैसे ही कोणीय संवेग जड़त्व आघूर्ण $(I)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ का गुणनफल होता है। द्रव्यमान $m_{\mathrm{e}}$ वाले एक इलेक्ट्रॉन के लिए, जो नाभि के चारों ओर त्रिज्या $r$ के वृत्तीय पथ पर चल रहा है,

$$ \text { कोणीय संवेग }=I \times \omega $$

चूँकि $I=m_{\mathrm{e}} \mathrm{r}^{2}$, और $\omega=\mathrm{v} / r$ जहाँ $\mathrm{v}$ रेखीय वेग है,

$\therefore$ कोणीय संवेग $=m_{\mathrm{e}} r^{2} \times \mathrm{v} / r=m_{\mathrm{e}} \mathrm{v} r$

iii) जब दो स्थिर अवस्थाओं के बीच संक्रमण होता है जिनकी ऊर्जा में अंतर $\Delta E$ हो, तो अवशोषित या उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति इस प्रकार दी जाती है:

$$ \begin{equation*} n=\frac{\Delta E}{h}=\frac{E_{2}-E_{1}}{h} \tag{2.10} \end{equation*} $$

जहाँ $E_{1}$ और $E_{2}$ क्रमशः निम्न और उच्चतर अनुमत ऊर्जा अवस्थाओं की ऊर्जाएँ हैं। इस अभिव्यक्ति को सामान्यतः बोर की आवृत्ति नियम के रूप में जाना जाता है।

iv) एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग क्वांटीकृत होता है। किसी दी गई स्थिर अवस्था में इसे समीकरण (2.11) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$ \begin{equation*} m_{e} \mathrm{v} r=n \cdot \frac{h}{2 \pi} \quad n=1,2,3 \ldots \ldots \tag{2.11} \end{equation*} $$

जहाँ $m_{\mathrm{e}}$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है, $v$ वेग है और $r$ वह कक्षा की त्रिज्या है जिसमें इलेक्ट्रॉन गति कर रहा है।

इस प्रकार एक इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में गति कर सकता है जिसके लिए उसका कोणीय संवेग $h / 2 \pi$ का पूर्णांक गुणक हो। इसका अर्थ है कोणीय संवेग क्वांटीकृत होता है। विकिरण केवल तभी उत्सर्जित या अवशोषित होता है जब इलेक्ट्रॉन कोणीय संवेग के एक क्वांटीकृत मान से दूसरे क्वांटीकृत मान में संक्रमण करता है। इसलिए, मैक्सवेल का विद्युतचुंबकीय सिद्धांत यहाँ लागू नहीं होता इसीलिए केवल कुछ निश्चित कक्षाएँ ही अनुमत हैं।

बोर द्वारा प्रयोग किए गए स्थिर अवस्थाओं की ऊर्जाओं के निष्कर्षन के विवरण काफी जटिल हैं और इन्हें उच्च कक्षाओं में चर्चा की जाएगी। तथापि, बोर के सिद्धांत के अनुसार हाइड्रोजन परमाणु के लिए:

a) इलेक्ट्रॉन की स्थिर अवस्थाओं को संख्याएँ दी जाती हैं $n=1,2,3 \ldots \ldots .$. . ये पूर्णांक (Section 2.6.2) प्रधान क्वांटम संख्याएँ कहलाती हैं।

b) स्थिर अवस्थाओं की त्रिज्याएँ इस प्रकार व्यक्त की जाती हैं:

$$ \begin{equation*} r_{\mathrm{n}}=n^{2} a_{0} \tag{2.12} \end{equation*} $$

जहाँ $a_{0}=52.9 \mathrm{pm}$। इस प्रकार पहली स्थिर अवस्था, जिसे बोर कक्ष कहा जाता है, की त्रिज्या 52.9 pm है। सामान्यतः हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन इसी कक्ष (अर्थात् $n=1$) में पाया जाता है। जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है, $r$ का मान भी बढ़ेगा। दूसरे शब्दों में इलेक्ट्रॉन नाभिक से दूर रहेगा।

c) इलेक्ट्रॉन से संबद्ध सबसे महत्वपूर्ण गुण उसकी स्थिर अवस्था की ऊर्जा है। यह व्यंजक द्वारा दी जाती है।

$E_{n}=-\mathrm{R}_{H}\left(\frac{1}{n^{2}}\right) \quad n=1,2,3 \ldots$

जहाँ $R_{H}$ को रिडबर्ग नियतांक कहा जाता है और इसका मान $2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$ है। न्यूनतम अवस्था, जिसे आधार अवस्था भी कहा जाता है, की ऊर्जा $E_{1}=-2.18 \times 10^{-18}\left(\frac{1}{1^{2}}\right)=-2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$ है। $\mathrm{n}=2$ के लिए स्थिर अवस्था की ऊर्जा होगी : $E_{2}=-2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\left(\frac{1}{2^{2}}\right)=-0.545 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$।

नील्स बोर (1885–1962)

नील्स बोर, एक डेनिश भौतिकशास्त्री ने 1911 में कोपेनहेगन विश्वविद्यालय से पीएच.डी. प्राप्त की। उसके बाद उन्होंने एक वर्ष इंग्लैंड में जे.जे. थॉमसन और अर्नेस्ट रदरफोर्ड के साथ बिताया। 1913 में वे कोपेनहेगन लौट आए जहाँ उन्होंने अपने शेष जीवन को बिताया। 1920 में उन्हें सैद्धांतिक भौतिकी संस्थान का निदेशक नामित किया गया। प्रथम विश्व युद्ध के पश्चात, बोर ने परमाणु ऊर्जा के शांतिपूर्ण उपयोगों के लिए ऊर्जा से कार्य किया। उन्हें 1957 में पहला एटम्स फॉर पीस पुरस्कार प्राप्त हुआ। बोर को 1922 में भौतिकी में नोबेल पुरस्कार प्रदान किया गया।

चित्र 2.11 हाइड्रोजन परमाणु की विभिन्न स्थिर अवस्थाओं या ऊर्जा स्तरों की ऊर्जाओं को दर्शाता है। इस प्रतिनिधित्व को ऊर्जा स्तर आरेख कहा जाता है।

जब इलेक्ट्रॉन नाभिक के प्रभाव से मुक्त होता है, तो ऊर्जा को शून्य माना जाता है। इस स्थिति में इलेक्ट्रॉन प्रधान क्वांटम संख्या $=n=\infty$ की स्थिर अवस्था से संबद्ध होता है और इसे आयनित हाइड्रोजन परमाणु कहा जाता है। जब इलेक्ट्रॉन नाभिक द्वारा आकर्षित होता है और कक्ष $\mathrm{n}$ में उपस्थित होता है, तो ऊर्जा उत्सर्जित होती है और इसकी ऊर्जा घट जाती है। यही कारण है कि समीकरण (2.13) में ऋणात्मक चिह्न की उपस्थिति है और यह शून्य ऊर्जा और $n=\infty$ की संदर्भ अवस्था के सापेक्ष इसकी स्थिरता को दर्शाता है।

d) बोर का सिद्धान्त उन आयनों पर भी लागू किया जा सकता है जिनमें केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है, जैसा कि हाइड्रोजन परमाणु में होता है। उदाहरण के लिए, $\mathrm{He}^{+} \mathrm{Li}^{2+}, \mathrm{Be}^{3+}$ आदि। इन प्रकार के आयनों (जिन्हें हाइड्रोजन-सदृश प्रजातियाँ भी कहा जाता है) से सम्बद्ध स्थिर अवस्थाओं की ऊर्जाएँ निम्नलिखित व्यंजक द्वारा दी जाती हैं।

$$ \begin{equation*} E_{\mathrm{n}}=-2.18 \times 10^{-18}\left(\frac{Z^{2}}{n^{2}}\right) \mathrm{J} \tag{2.14} \end{equation*} $$

और त्रिज्याएँ निम्नलिखित व्यंजक द्वारा

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}_{\mathrm{n}}=\frac{52.9\left(n^{2}\right)}{Z} \mathrm{pm} \tag{2.15} \end{equation*} $$

जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है और इसका मान हीलियम तथा लिथियम परमाणुओं के लिए क्रमशः 2, 3 है। उपरोक्त समीकरणों से स्पष्ट है कि $Z$ के बढ़ने के साथ ऊर्जा का मान अधिक ऋणात्मक हो जाता है और त्रिज्या का मान छोटा हो जाता है। इसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक से दृढ़ता से बँधा रहेगा।

e) इन कक्षाओं में गतिशील इलेक्ट्रॉनों के वेगों की गणना करना भी सम्भव है। यद्यपि यहाँ सटीक समीकरण नहीं दिया गया है, गुणात्मक रूप से इलेक्ट्रॉन के वेग का परिमाण नाभिक पर धनात्मक आवेश के बढ़ने के साथ बढ़ता है और प्रधान क्वाण्टम संख्या के बढ़ने के साथ घटता है।

हाइड्रोजन परमाणु के लिए ऋणात्मक इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा $\left(E_{n}\right)$ का क्या अर्थ है?

हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा सभी संभव कक्षाओं के लिए ऋणात्मक चिह्न रखती है (समी. 2.13)। यह ऋणात्मक चिह्न क्या संदेश देता है? यह ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा, एक स्थिर मुक्त इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा से कम है। एक स्थिर मुक्त इलेक्ट्रॉन वह इलेक्ट्रॉन है जो नाभिक से अनंत दूरी पर है और जिसे ऊर्जा मान शून्य दिया गया है। गणितीय रूप से, यह समीकरण (2.13) में $\mathrm{n}$ को अनंत के बराबर रखने के अनुरूप है ताकि $E_{\infty}=0$। जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन नाभिक के निकट आता है (जैसे-जैसे $n$ घटता है), $E_{n}$ निरपेक्ष मान में बड़ा और अधिक ऋणात्मक होता जाता है। सबसे ऋणात्मक ऊर्जा मान $n=1$ द्वारा दी जाती है जो सबसे स्थिर कक्षा के अनुरूप है। हम इसे भूमि अवस्था कहते हैं।

2.4.1 हाइड्रोजन के रेखा स्पेक्ट्रम की व्याख्या

हाइड्रोजन परमाणु के मामले में प्रेक्षित रेखा स्पेक्ट्रम, जैसा कि अनुभाग 2.3.3 में उल्लेख किया गया है, को बोर के मॉडल का उपयोग करके मात्रात्मक रूप से समझाया जा सकता है। पूर्वधारणा 2 के अनुसार, यदि इलेक्ट्रॉन छोटे प्रधान क्वांटम संख्या की कक्षा से बड़े प्रधान क्वांटम संख्या की कक्षा में जाता है तो विकिरण (ऊर्जा) अवशोषित होती है, जबकि यदि इलेक्ट्रॉन उच्च कक्षा से निम्न कक्षा में जाता है तो विकिरण (ऊर्जा) उत्सर्जित होती है। दोनों कक्षाओं के बीच की ऊर्जा अंतर समीकरण (2.16) द्वारा दिया जाता है

$$\Delta E=E_{\mathrm{f}}-E_{\mathrm{i}} \tag{2.16} $$

समीकरणों (2.13) और (2.16) को संयोजित करने पर

$$ \Delta E=\left (-\frac{R_H}{n_f^2}\right)-\left(-\frac{R_H}{n_i^2}\right) (\text { जहाँ } n_{\mathrm{i}} \text { और } n_f \text{प्रारंभिक कक्षा और अंतिम कक्षा को दर्शाते हैं}) $$

$$\Delta E=R_H\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right)=2.18 \times 10^{-18} ~J\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right) \tag{2.17}$$

फोटॉन के अवशोषण और उत्सर्जन से संबद्ध आवृत्ति (v) को समीकरण का उपयोग करके मूल्यांकित किया जा सकता है

$$ \begin{align*} & v=\frac{\Delta E}{h}=\frac{\mathrm{R}_H}{h}\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right) \tag{2.18} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =\frac{2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}}{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}}\left(\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \tag{2.18} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =3.29 \times 10^{15}\left(\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \mathrm{Hz} \tag{2.19} \end{align*} $$

और तरंग संख्याओं $(\bar{V})$ के संदर्भ में

$$ \begin{align*} & \bar{v}=\frac{v}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{R}_H}{h \mathrm{c}}\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right) \tag{2.20} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =\frac{3.29 \times 10^{15} \mathrm{~s}^{-1}}{3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-\mathrm{s}}}\left(\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \\ & =1.09677 \times 10^{7}\left(\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \mathrm{m}^{-1} \tag{2.21} \end{align*} $$

अवशोषण स्पेक्ट्रम के मामले में, $n_{\mathrm{f}}>n_{\mathrm{i}}$ होता है और कोष्ठक में पद धनात्मक होता है तथा ऊर्जा अवशोषित होती है। दूसरी ओर उत्सर्जन स्पेक्ट्रम के मामले में $n_{\mathrm{i}}>n_{\mathrm{f}}$, $\Delta E$ ऋणात्मक होता है और ऊर्जा उत्सर्जित होती है।

अभिव्यक्ति (2.17) Rydberg (2.9) द्वारा प्रयुक्त अभिव्यक्ति के समान है जिसे उस समय उपलब्ध प्रायोगिक आँकड़ों से प्रायोगिक रूप से व्युत्पन्न किया गया था। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक स्पेक्ट्रल रेखा, चाहे वह अवशोषण या उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में हो, हाइड्रोजन परमाणु के किसी विशेष संक्रमण से संबद्ध की जा सकती है। हाइड्रोजन परमाणुओं की बड़ी संख्या के मामले में, विभिन्न संभावित संक्रमण देखे जा सकते हैं और इस प्रकार बड़ी संख्या में स्पेक्ट्रल रेखाएँ प्राप्त होती हैं। स्पेक्ट्रल रेखाओं की चमक या तीव्रता समान तरंगदैर्ध्य या आवृत्ति के फोटॉनों की संख्या पर निर्भर करती है जो अवशोषित या उत्सर्जित होते हैं।

समस्या 2.10

हाइड्रोजन परमाणु में $n=5$ अवस्था से $n=2$ अवस्था में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य क्या हैं?

हल

चूँकि $n_{\mathrm{i}}=5$ और $n_{\mathrm{f}}=2$, यह संक्रमण Balmer श्रेणी के दृश्य क्षेत्र में एक स्पेक्ट्रल रेखा उत्पन्न करता है। समीकरण (2.17) से

$$ \begin{aligned} \Delta E & =2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\left[\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right] \ & =-4.58 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

यह उत्सर्जन ऊर्जा है

फोटॉन की आवृत्ति (ऊर्जा को परिमाण के रूप में लेते हुए) दी गई है

$v=\frac{\Delta E}{h}$

$=\frac{4.58 \times 10^{-19} \mathrm{~J}}{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}}$

$=6.91 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

$\lambda=\frac{\mathrm{c}}{v}=\frac{3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{6.91 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}}=434 \mathrm{~nm}$

प्रश्न 2.11

$\mathrm{He}^{+}$ की पहली कक्षा से संबद्ध ऊर्जा की गणना कीजिए। इस कक्षा की त्रिज्या क्या है?

हल

$E_{\mathrm{n}}=-\frac{\left(2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\right) Z^{2}}{n^{2}}$ परमाणु $^{-1}$

$\mathrm{He}^{+}$ के लिए, $n=1, \mathrm{Z}=2$

$$ E_{1}=-\frac{\left(2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\right)\left(2^{2}\right)}{1^{2}}=-8.72 \times 10^{-18} \mathrm{~J} $$

कक्षा की त्रिज्या समीकरण $(2.15)$ द्वारा दी जाती है

$$ \mathrm{r}_{n}=\frac{(0.0529 \mathrm{~nm}) n^{2}}{Z} $$

चूँकि $n=1$, और $Z=2$

$$ \mathrm{r}_{n}=\frac{(0.0529 \mathrm{~nm}) 1^{2}}{2}=0.02645 \mathrm{~nm} $$

2.4.2 बोर के मॉडल की सीमाएँ

हाइड्रोजन परमाणु का बोर का मॉडल निस्संदेह रदरफोर्ड के नाभिकीय मॉडल से एक सुधार था, क्योंकि यह हाइड्रोजन परमाणु और हाइड्रोजन के समान आयनों (उदाहरण के लिए, $\mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{2+}$, $\mathrm{Be}^{3+}$, और इसी तरह) की स्थिरता और रेखा स्पेक्ट्रा को समझा सकता था। हालाँकि, बोर का मॉडल निम्नलिखित बिंदुओं को समझाने के लिए बहुत सरल था।

i) यह हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम की सूक्ष्म विवरणों (डबलेट, अर्थात् दो निकटस्थ रेखाओं) को ध्यान में नहीं रखता जो उन्नत स्पेक्ट्रोस्कोपी तकनीकों द्वारा प्रेक्षित होते हैं। यह मॉडल हाइड्रोजन के अतिरिक्त अन्य परमाणुओं, उदाहरणार्थ, हीलियम परमाणु जिसमें केवल दो इलेक्ट्रॉन होते हैं, के स्पेक्ट्रम को भी स्पष्ट करने में असमर्थ है। इसके अतिरिक्त, बोर का सिद्धांत चुंबकीय क्षेत्र (ज़ीमान प्रभाव) या विद्युत क्षेत्र (स्टार्क प्रभाव) की उपस्थिति में स्पेक्ट्रल रेखाओं के विभाजन को भी स्पष्ट करने में असमर्थ रहा।

ii) यह परमाणुओं की रासायनिक बंधों द्वारा अणु बनाने की क्षमता को स्पष्ट नहीं कर सका।

दूसरे शब्दों में, उपर्युक्त बिंदुओं को ध्यान में रखते हुए, एक बेहतर सिद्धांत की आवश्यकता है जो जटिल परमाणुओं की संरचना की प्रमुख विशेषताओं को स्पष्ट कर सके।

2.5 परमाणु के क्वांटम यांत्रिक मॉडल की ओर

बोर के मॉडल की कमियों को देखते हुए, परमाणुओं के लिए एक अधिक उपयुक्त और सामान्य मॉडल विकसित करने के प्रयास किए गए। दो महत्वपूर्ण विकास जिन्होंने ऐसे मॉडल के निर्माण में महत्वपूर्ण योगदान दिया, वे थे:

1. पदार्थ की द्वैत व्यवहार,

2. हाइज़ेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत।

2.5.1 पदार्थ की द्वैत व्यवहार

लुई डे ब्रोग्ली (1892–1987)

लुई डे ब्रॉग्ली, एक फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी, ने 1910 के दशक की शुरुआत में स्नातक स्तर पर इतिहास का अध्ययन किया। प्रथम विश्व युद्ध में रेडियो संचार में उनकी नियुक्ति के परिणामस्वरूप उनकी रुचि विज्ञान की ओर मुड़ी। उन्होंने 1924 में पेरिस विश्वविद्यालय से डॉ. साइंस की उपाधि प्राप्त की। वे 1932 से 1962 में सेवानिवृत्त होने तक पेरिस विश्वविद्यालय मेंै सैद्धांतिक भौतिकी के प्रोफेसर रहे। उन्हें 1929 में भौतिकी का नोबेल पुरस्कार प्रदान किया गया।

फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी डे ब्रॉग्ली ने 1924 में प्रस्तावित किया कि पदार्थ को भी विकिरण की तरह द्वैत व्यवहार प्रदर्शित करना चाहिए, अर्थात् कण और तरंग दोनों जैसे गुण। इसका अर्थ है कि जिस प्रकार फोटन का संवेग के साथ-साथ तरंगदैर्घ्य होता है, इलेक्ट्रॉनों का भी संवेग के साथ-साथ तरंगदैर्घ्य होना चाहिए। डे ब्रॉग्ली ने इस समानता से पदार्थिक कण की तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ और संवेग (p) के बीच निम्न सम्बन्ध दिया।

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{h}{m v}=\frac{h}{p} \tag{2.22} \end{equation*} $$

जहाँ $m$ कण का द्रव्यमान है, $v$ इसका वेग और $p$ इसका संवेग है। डे ब्रॉग्ली की भविष्यवाणी का प्रयोगात्मक रूप से सत्यापन हुआ जब यह पाया गया कि इलेक्ट्रॉन पुंज विवर्तन से गुजरता है, जो तरंगों के लिए विशिष्ट घटना है। इस तथ्य का उपयोग इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी बनाने में किया गया है, जो इलेक्ट्रॉनों के तरंग-स्वभाव पर आधारित है, जिस प्रकार सामान्य सूक्ष्मदर्शी प्रकाश की तरंग प्रकृति का उपयोग करता है। इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी आधुनिक वैज्ञानिक अनुसंधान का एक शक्तिशाली उपकरण है क्योंकि यह लगभग 15 मिलियन गुना आवर्धन प्राप्त करता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि डी ब्रॉग्ली के अनुसार, गति में प्रत्येक वस्तु की तरंग प्रकृति होती है। सामान्य वस्तुओं से संबद्ध तरंगदैर्ध्य इतने छोटे होते हैं (उनके बड़े द्रव्यमान के कारण) कि उनकी तरंग गुणों का पता नहीं लगाया जा सकता। इलेक्ट्रॉनों और अन्य अणु-परमाणु कणों (बहुत कम द्रव्यमान वाले) से संबद्ध तरंगदैर्ध्यों को, हालांकि, प्रयोगात्मक रूप से पहचाना जा सकता है। निम्नलिखित समस्याओं से प्राप्त परिणाम इन बिंदुओं को गुणात्मक रूप से सिद्ध करते हैं।

समस्या 2.12

0.1 kg द्रव्यमान की एक गेंद, जो 10 m s⁻¹ के वेग से गति कर रही है, की तरंगदैर्ध्य क्या होगी?

हल

डी ब्रॉग्ली समीकरण (2.22) के अनुसार

λ = h / (m v) = (6.626 × 10⁻³⁴ Js) / [(0.1 kg)(10 m s⁻¹)]

= 6.626 × 10⁻³⁴ m (J = kg m² s⁻²)

समस्या 2.13

एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान 9.1 × 10⁻³¹ kg है। यदि इसकी गतिज ऊर्जा 3.0 × 10⁻²⁵ J हो, तो इसकी तरंगदैर्ध्य की गणना कीजिए।

हल

चूँकि K.E. = ½ m v²

v = [2 × (गतिज ऊर्जा) / m]^{1/2}

= [2 × 3.0 × 10⁻²⁵ kg m² s⁻² / (9.1 × 10⁻³¹ kg)]^{1/2}

= 812 m s⁻¹

λ = h / (m v)

= 6.626 × 10⁻³⁴ Js / [(9.1 × 10⁻³¹ kg)(812 m s⁻¹)]

$=8967 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$

$=896.7 \mathrm{~nm}$

प्रश्न 2.14

$3.6 \mathring{A}$ तरंगदैर्ध्य वाले एक फोटॉन का द्रव्यमान परिकलित कीजिए।

हल

$\lambda=3.6 \mathring{A}=3.6 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$

फोटॉन का वेग $=$ प्रकाश का वेग

$$ \begin{aligned} & m=\frac{h}{\lambda v}=\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{\left(3.6 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\right)\left(3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)} \\ = & 6.135 \times 10^{-29} \mathrm{~kg} \end{aligned} $$

2.5.2 हाइज़ेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत

वर्नर हाइज़ेनबर्ग, एक जर्मन भौतिक वैज्ञानिक ने 1927 में अनिश्चितता सिद्धांत को कहा, जो द्रव्य और विकिरण के द्वैत व्यवहार का परिणाम है। यह कहता है कि किसी इलेक्ट्रॉन की सटीक स्थिति और सटीक संवेग (या वेग) को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।

गणितीय रूप से, इसे समीकरण (2.23) में दिया गया है।

$$ \begin{align*} & \Delta \mathrm{x} \times \Delta p_{\mathrm{x}} \geq \frac{h}{4 \pi} \tag{2.23}\end{align*} $$

$$ \begin{align*} & \text { या } \Delta \mathrm{x} \times \Delta\left(m \mathrm{v}_{\mathrm{x}}\right) \geq \frac{h}{4 \pi} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & \text { या } \Delta \mathrm{x} \times \Delta \mathrm{v}_{\mathrm{x}} \geq \frac{h}{4 \pi m} \end{align*} $$

जहाँ $\Delta x$ स्थिति में अनिश्चितता है और $\Delta p_x\left(\right.$ या $\left.\Delta \mathrm{v}_x\right)$ कण के संवेग (या वेग) में अनिश्चितता है। यदि इलेक्ट्रॉन की स्थिति उच्च सटीकता के साथ ज्ञात है ($\Delta x$ छोटा है), तो इलेक्ट्रॉन का वेग अनिश्चित होगा $\left[\Delta\left(\mathrm{v}_x\right)\right.$ बड़ा है$]$। दूसरी ओर, यदि इलेक्ट्रॉन का वेग सटीक रूप से ज्ञात है $\left(\Delta\left(\mathrm{v}_x\right)\right.$ छोटा है), तो इलेक्ट्रॉन की स्थिति अनिश्चित होगी ($\Delta x$ बड़ा होगा)। इस प्रकार, यदि हम इलेक्ट्रॉन की स्थिति या वेग पर कोई भौतिक मापन करते हैं, तो परिणाम हमेशा एक धुंधला या अस्पष्ट चित्र प्रस्तुत करेगा।

अनिश्चितता सिद्धांत को एक उदाहरण की सहायता से सबसे अच्छी तरह समझा जा सकता है। मान लीजिए आपसे एक अनचिह्नी मीटर स्टिक की सहायता से कागज की एक शीट की मोटाई मापने को कहा जाता है। स्पष्ट है कि प्राप्त परिणाम अत्यंत अशुद्ध और अर्थहोंगे। किसी भी सटीकता को प्राप्त करने के लिए आपको ऐसा उपकरण उपयोग करना चाहिए जो कागज की शीट की मोटाई से छोटी इकाइयों में क्रमबद्ध हो। इसी प्रकार, इलेक्ट्रॉन की स्थिति निर्धारित करने के लिए हमें ऐसी मीटर स्टिक उपयोग करनी होगी जो इलेक्ट्रॉन के आयामों से छोटी इकाइयों में अंकित हो (ध्यान रखें कि इलेक्ट्रॉन को एक बिंदु आवेश माना जाता है और इसलिए यह आयामहीन है)। इलेक्ट्रॉन को देखने के लिए हम इसे “प्रकाश” या विद्युत चुंबकीय विकिरण से प्रकाशित कर सकते हैं। उपयोग किया गया “प्रकाश” ऐसा होना चाहिए जिसकी तरंगदैर्ध्य इलेक्ट्रॉन के आयामों से छोटी हो। ऐसे प्रकाश के उच्च संवेग फोटन $\left(p=\frac{h}{\lambda}\right)$ टकरावों द्वारा इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा बदल देंगे। इस प्रक्रिया में, हम निस्संदेह इलेक्ट्रॉन की स्थिति की गणना करने में सक्षम होंगे, लेकिन हमें टकराव के बाद इलेक्ट्रॉन के वेग के बारे में बहुत कम जानकारी होगी।

अनिश्चितता सिद्धांत का महत्व

हाइज़ेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के एक महत्वपूर्ण निहितार्थ यह है कि यह इलेक्ट्रॉनों और अन्य समान कणों के निश्चित पथ या कक्षा के अस्तित्व को नकारता है। किसी वस्तु की कक्षा उसके विभिन्न क्षणों में स्थान और वेग से निर्धारित होती है। यदि हम जानते हैं कि कोई वस्तु किसी विशेष क्षण कहाँ है और यदि हम यह भी जानते हैं कि उस क्षण उसका वेग और उस पर लगने वाले बल क्या हैं, तो हम बता सकते हैं कि वह वस्तु कुछ समय बाद कहाँ होगी। हम इसलिए निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी वस्तु की स्थिति और उसका वेग उसकी कक्षा को निर्धारित करते हैं। चूँकि किसी उप-परमाण्विक वस्तु जैसे इलेक्ट्रॉन के लिए किसी भी दिए गए क्षण में स्थिति और वेग को एक साथ इच्छानुसार परिशुद्धता से निर्धारित करना संभव नहीं है, इसलिए इलेक्ट्रॉन की कक्षा के बारे में बात करना संभव नहीं है।

वर्नर हाइज़ेनबर्ग (1901 - 1976)

वर्नर हाइजेनबर्ग (1901-1976) ने 1923 में म्यूनिख विश्वविद्यालय से भौतिकी में पीएच.डी. प्राप्त की। फिर उन्होंने गॉटिंगन में मैक्स बोर्न के साथ एक वर्ष और कोपेनहेगन में नील्स बोर के साथ तीन वर्ष कार्य किया। वे 1927 से 1941 तक लाइपज़िग विश्वविद्यालय में भौतिकी के प्रोफेसर थे। द्वितीय विश्वयुद्ध के दौरान, हाइजेनबर्ग परमाणु बम पर जर्मन अनुसंधान के प्रभारी थे। युद्ध के बाद उन्हें गॉटिंगन में मैक्स प्लैंक इंस्टीट्यूट फॉर फिजिक्स का निदेशक नियुक्त किया गया। वे एक कुशल पर्वतारोही भी थे। हाइजेनबर्ग को 1932 में भौतिकी का नोबेल पुरस्कार प्रदान किया गया।

हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का प्रभाव केवल सूक्ष्म वस्तुओं की गति के लिए महत्वपूर्ण होता है और स्थूल वस्तुओं की गति के लिए नगण्य होता है। इसे निम्न उदाहरणों से देखा जा सकता है।

यदि अनिश्चितता सिद्धांत को किसी वस्तु पर लागू किया जाए, जिसका द्रव्यमान लगभग एक मिलीग्राम $\left(10^{-6} \mathrm{~kg}\right)$ है, तो

$$ \begin{aligned} \Delta \mathrm{v} \cdot \Delta \mathrm{x} & =\frac{h}{4 \pi \cdot \mathrm{m}} \ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}}{4 \times 3.1416 \times 10^{-6} \mathrm{~kg}} \approx 10^{-28} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

प्राप्त $\Delta \mathrm{v} \Delta \mathrm{x}$ का मान अत्यंत छोटा है और असार है। इसलिए, यह कहा जा सकता है कि मिलीग्राम आकार या भारी वस्तुओं के साथ काम करते समय, संबद्ध अनिश्चितताएँ लगभग कोई वास्तविक प्रभाव नहीं डालती हैं।

दूसरी ओर एक सूक्ष्म वस्तु जैसे इलेक्ट्रॉन के मामले में, प्राप्त $\Delta \mathrm{v} . \Delta \mathrm{x}$ कहीं अधिक बड़ा होता है और ऐसी अनिश्चितताएँ वास्तविक महत्व रखती हैं। उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रॉन जिसका द्रव्यमान $9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$ है, हाइज़ेनबर्ग की अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार

$$ \begin{aligned} \Delta \mathrm{v} \cdot \Delta \mathrm{x} & =\frac{h}{4 \pi \mathrm{m}} \ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{4 \times 3.1416 \times 9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}} \ & =10^{-4} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

इसका अर्थ यह है कि यदि कोई इलेक्ट्रॉन के ठ切 स्थान को ज्ञात करने का प्रयास करता है, मान लीजिए केवल $10^{-8} \mathrm{~m}$ की अनिश्चितता तक, तो वेग में अनिश्चितता $\Delta \mathrm{v}$ होगी

$$ \frac{10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}}{10^{-8} \mathrm{~m}} \approx 10^{4} \mathrm{~ms}^{-1} $$

जो इतनी बड़ी है कि बोर की नियत कक्षाओं में इलेक्ट्रॉनों की गति का शास्त्रीय चित्रण सही नहीं ठहरता। इसलिए इसका तात्पर्य यह है कि इलेक्ट्रॉनों की स्थिति और संवेग के सटीक कथनों को प्रायिकता के कथनों से प्रतिस्थापित करना होगा, कि इलेक्ट्रॉन की किसी दी गई स्थिति और संवेग में होने की प्रायिकता क्या है। यही परमाणु के क्वांटम यांत्रिक मॉडल में होता है।

समस्या 2.15

एक सूक्ष्मदर्शी उपयुक्त फोटॉनों का उपयोग करके एक परमाणु के भीतर इलेक्ट्रॉन को $0.1 \mathring{A}$ की दूरी पर स्थित करने के लिए प्रयुक्त होता है। इसके वेग के मापन में शामिल अनिश्चितता क्या है?

हल

$\Delta x \Delta p=\frac{h}{4 \pi}$ या $\Delta x m \Delta v \frac{h}{4 \pi}$

$$ \begin{aligned} & \Delta \mathrm{v}=\frac{h}{4 \pi \Delta \mathrm{xm}} \ & \Delta \mathrm{v}=\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{4 \times 3.14 \times 0.1 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \times 9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}} \ & =0.579 \times 10^{7} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\left(1 \mathrm{~J}=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\right) \ & =5.79 \times 10^{6} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

प्रश्न 2.16

एक गोल्फ बॉल का द्रव्यमान $40 \mathrm{~g}$ है और इसकी गति $45 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ है। यदि गति को $2 %$ की सटीकता से मापा जा सकता है, तो स्थिति में अनिश्चितता की गणना कीजिए।

हल

गति में अनिश्चितता $2 %$ है, अर्थात्

$$ 45 \quad \frac{2}{100}=0.9 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

समीकरण (2.22) का प्रयोग करते हुए

$\Delta \mathrm{x}=\frac{h}{4 \pi m \Delta \mathrm{v}}$

$=\frac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{4 \times 3.14 \times 40 \mathrm{~g} \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~g}^{-1}\left(0.9 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}$

$=1.46 \times 10^{-33} \mathrm{~m}$

यह एक विशिष्ट परमाणु नाभिक के व्यास से लगभग $\sim 10^{18}$ गुना छोटा है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, बड़े कणों के लिए अनिश्चितता सिद्धांत माप की सटीकता पर कोई सार्थक सीमा निर्धारित नहीं करता।

बोर मॉडल की विफलता के कारण

अब बोर मॉडल की असफलता के कारणों को समझा जा सकता है। बोर मॉडल में, एक इलेक्ट्रॉन को एक आवेशित कण माना जाता है जो नाभिक के चारों ओर सुनिश्चित वृत्ताकार कक्षाओं में गति करता है। बोर मॉडल में इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति पर विचार नहीं किया गया है। इसके अलावा, एक कक्षा एक स्पष्ट रूप से परिभाषित पथ है और यह पथ तभी पूरी तरह से परिभाषित किया जा सकता है यदि इलेक्ट्रॉन की स्थिति और वेग दोनों एक ही समय में ठीक-ठीक जाने जाएं। यह हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार संभव नहीं है। इसलिए, हाइड्रोजन परमाणु का बोर मॉडल न केवल पदार्थ की द्वैत प्रकृति को नजरअंदाज करता है बल्कि हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का भी विरोध करता है।

एरविन श्रोडिंगर (1887–1961)

एरविन श्रोडिंगर, एक ऑस्ट्रियाई भौतिकविद्, ने 1910 में वियना विश्वविद्यालय से सैद्धांतिक भौतिकी में पीएच.डी. प्राप्त की। 1927 में श्रोडिंगर ने बर्लिन विश्वविद्यालय में मैक्स प्लांक का स्थान लिया, जैसा कि प्लांक ने अनुरोध किया था। 1933 में, श्रोडिंगर ने हिटलर और नाजी नीतियों के विरोध के कारण बर्लिन छोड़ दिया और 1936 में ऑस्ट्रिया लौट आए। ऑस्ट्रिया पर जर्मनी के आक्रमण के बाद, श्रोडिंगर को जबरन उसके प्रोफेसर पद से हटा दिया गया। फिर वह आयरलैंड के डबलिन चले गए, जहाँ वह सत्रह वर्षों तक रहे। श्रोडिंगर ने 1933 में भौतिकी का नोबेल पुरस्कार पी.ए.एम. डिराक के साथ साझा किया।

इन अंतर्निहित कमजोरियों को देखते हुए बोर मॉडल को अन्य परमाणुओं तक बढ़ाने का कोई औचित्य नहीं था। वास्तव में परमाणु की संरचना के बारे में ऐसी समझ की आवश्यकता थी जो पदार्थ की तरंग-कण द्वैतवाद को समझा सके और हाइज़ेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के अनुरूप हो। यह क्वांटम यांत्रिकी के आगमन के साथ आया।

2.6 परमाणु का क्वांटम यांत्रिकी मॉडल

न्यूटन के गति के नियमों पर आधारित शास्त्रीय यांत्रिकी, गिरते पत्थर, परिक्रमा करते ग्रह आदि सभी बृहद् वस्तुओं की गति को सफलतापूर्वक वर्णित करती है, जिनका व्यवहार मुख्यतः कण-सदृश होता है जैसा कि पिछले खंड में दिखाया गया है। हालांकि यह सूक्ष्म वस्तुओं जैसे इलेक्ट्रॉन, परमाणु, अणु आदि पर लागू होने में असफल होती है। यह मुख्यतः इसलिए है क्योंकि शास्त्रीय यांत्रिकी पदार्थ के द्वैत व्यवहार की अवधारणा को नज़रअंदाज कर देती है विशेष रूप से उप-परमाणु कणों के लिए और अनिश्चितता सिद्धांत को भी। वह विज्ञान शाखा जो पदार्थ के इस द्वैत व्यवहार को ध्यान में रखती है क्वांटम यांत्रिकी कहलाती है।

क्वांटम यांत्रिकी एकैक सैद्धांतिक विज्ञान है जो उन सूक्ष्म वस्तुओं की गति के अध्ययन से संबंधित है जिनमें प्रेक्षणीय तरंग-सदृश और कण-सदृश दोनों गुण होते हैं। यह उन गति के नियमों को निर्दिष्ट करती है जिनका पालन ये वस्तुएँ करती हैं। जब क्वांटम यांत्रिकी को बृहद् वस्तुओं पर लागू किया जाता है (जिनके लिए तरंग-सदृश गुण नगण्य होते हैं) तो परिणाम वही होते हैं जो शास्त्रीय यांत्रिकी से प्राप्त होते हैं।

क्वांटम मैकेनिक्स का विकास 1926 में वर्नर हाइज़ेनबर्ग और अर्निन श्रोडिंगर ने स्वतंत्र रूप से किया था। यहाँ, हालाँकि, हम उस क्वांटम मैकेनिक्स की चर्चा करेंगे जो तरंग गति के विचारों पर आधारित है। क्वांटम मैकेनिक्स का मूलभूत समीकरण श्रोडिंगर ने विकसित किया था और इसके लिए उन्हें 1933 में भौतिकी का नोबेल पुरस्कार मिला। यह समीकरण, जो द ब्रॉगली द्वारा प्रस्तावित पदार्थ की तरंग-कण द्वैत को समाहित करता है, काफी जटिल है और इसे हल करने के लिए उच्च गणित का ज्ञान आवश्यक है। आप इसके विभिन्न प्रणालियों के लिए समाधान उच्च कक्षाओं में सीखेंगे।

किसी प्रणाली (जैसे एक परमाणु या अणु जिसकी ऊर्जा समय के साथ नहीं बदलती) के लिए श्रोडिंगर समीकरण को $\hat{H} \Psi=E \Psi$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $\hat{H}$ को हैमिल्टोनियन कहा जाता है। श्रोडिंगर ने इस ऑपरेटर को प्रणाली की कुल ऊर्जा के व्यंजक से बनाने की विधि दी। प्रणाली की कुल ऊर्जा सभी उप-परमाणु कणों (इलेक्ट्रॉन, नाभिक) की गतिज ऊर्जाओं, इलेक्ट्रॉनों और नाभिकों के बीच आकर्षी विभव और इलेक्ट्रॉनों तथा नाभिकों के बीच वैयक्तिक रूप से प्रतिकर्षी विभव को ध्यान में रखती है। इस समीकरण का समाधान $E$ और $\psi$ देता है।

हाइड्रोजन परमाणु और श्रोडिंगर समीकरण

जब हाइड्रोजन परमाणु के लिए श्रोडिंगर समीकरण को हल किया जाता है, तो समाधान उन संभावित ऊर्जा स्तरों को देता है जिन पर इलेक्ट्रॉन रह सकता है और संगत तरंग फलन(s) $(\psi)$ जो प्रत्येक ऊर्जा स्तर से संबद्ध इलेक्ट्रॉन का होता है। ये क्वांटित ऊर्जा अवस्थाएँ और संगत तरंग फलन, जो तीन क्वांटम संख्याओं के एक समूह द्वारा विशेषता प्राप्त करते हैं (प्रधान क्वांटम संख्या $n$, दिगंश क्वांटम संख्या $l$ और चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_{l}$), श्रोडिंगर समीकरण के समाधान में एक स्वाभाविक परिणाम के रूप में उत्पन्न होते हैं। जब कोई इलेक्ट्रॉन किसी ऊर्जा अवस्था में होता है, तो उस ऊर्जा अवस्था से संबंधित तरंग फलन में इलेक्ट्रॉन के बारे में सारी जानकारी होती है। तरंग फलन एक गणितीय फलन है जिसका मान परमाणु में इलेक्ट्रॉन के निर्देशांकों पर निर्भर करता है और इसका कोई भौतिक अर्थ नहीं होता। हाइड्रोजन या हाइड्रोजन के समान एक-इलेक्ट्रॉन वाले प्रजातियों के ऐसे तरंग फलनों को परमाण्वीय कक्षक कहा जाता है। एक-इलेक्ट्रॉन वाली प्रजातियों से संबंधित ऐसे तरंग फलनों को एक-इलेक्ट्रॉन प्रणालियाँ कहा जाता है। परमाणु के भीतर किसी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के मिलने की प्रायिकता उस बिंदु पर $|\psi|^{2}$ के समानुपातिक होती है। हाइड्रोजन परमाणु के क्वांटम यांत्रिक परिणाम हाइड्रोजन परमाणु स्पेक्ट्रम के सभी पहलुओं की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी करते हैं, जिनमें कुछ ऐसी घटनाएँ भी शामिल हैं जिन्हें बोर मॉडल द्वारा समझाया नहीं जा सका।

बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं पर श्रोडिंगर समीकरण के प्रयोग में एक कठिनाई आती है: बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु के लिए श्रोडिंगर समीकरण का ठीक-ठीक हल नहीं किया जा सकता। इस कठिनाई को सन्निकट विधियों के प्रयोग से दूर किया जा सकता है। आधुनिक कंप्यूटरों की सहायता से किए गए ऐसे गणनाएँ दिखाती हैं कि हाइड्रोजन के अतिरिक्त अन्य परमाणुओं में कक्षक ऊपर चर्चित हाइड्रोजन कक्षकों से किसी मूलभूत तरीके से भिन्न नहीं होते। मुख्य अंतर बढ़े हुए नाभिकीय आवेश के परिणाम में होता है। इस कारण सभी कक्षक कुछ-कुछ संकुचित हो जाते हैं। इसके अतिरिक्त, जैसा कि आप बाद में (उप-अनुभाग 2.6.3 और 2.6.4 में) देखेंगे, हाइड्रोजन या हाइड्रोजन-सदृश प्रजातियों के कक्षकों के विपरीत, जिनकी ऊर्जाएँ केवल क्वांटम संख्या $n$ पर निर्भर करती हैं, बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में कक्षकों की ऊर्जाएँ क्वांटम संख्याओं $n$ और $l$ दोनों पर निर्भर करती हैं।

परमाणु के क्वांटम यांत्रिक मॉडल की महत्वपूर्ण विशेषताएँ

परमाणु का क्वांटम यांत्रिक मॉडल परमाणु की संरचना की वह तस्वीर है, जो परमाणुओं पर श्रोडिंगर समीकरण के प्रयोग से उभरती है। परमाणु के क्वांटम-यांत्रिक मॉडल की निम्नलिखित महत्वपूर्ण विशेषताएँ हैं:

1. परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा क्वांटमित होती है (अर्थात् इसके केवल कुछ निश्चित मान ही हो सकते हैं), उदाहरण के लिए जब इलेक्ट्रॉन परमाणु में नाभिक से बंधे होते हैं।

2. क्वांटमित इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा स्तरों का अस्तित्व इलेक्ट्रॉनों की तरंग-स्वभावी संपत्तियों का प्रत्यक्ष परिणाम है और ये श्रोडिंगर तरंग समीकरण के स्वीकृत हल होते हैं।

3. एक इलेक्ट्रॉन की परमाणु में ठीक स्थिति और ठीक वेग दोनों एक साथ निर्धारित नहीं किए जा सकते (हाइज़ेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत)। इसलिए, परमाणु में इलेक्ट्रॉन का मार्ग कभी भी ठीक-ठीक निर्धारित या ज्ञात नहीं किया जा सकता। यही कारण है कि, जैसा कि आप आगे देखेंगे, परमाणु में विभिन्न बिंदुओं पर इलेक्ट्रॉन के मिलने की केवल प्रायिकता की बात की जाती है।

4. एक परमाणु कक्ष (atomic orbital) परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए तरंग फलन $\psi$ है। जब भी किसी इलेक्ट्रॉन को एक तरंग फलन द्वारा वर्णित किया जाता है, तो हम कहते हैं कि इलेक्ट्रॉन उस कक्ष में स्थित है। चूँकि एक इलेक्ट्रॉन के लिए ऐसे कई तरंग फलन संभव हैं, इसलिए परमाणु में कई परमाणु कक्ष होते हैं। ये “एक-इलेक्ट्रॉन कक्ष तरंग फलन” या कक्ष परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक संरचना का आधार बनाते हैं। प्रत्येक कक्ष में इलेक्ट्रॉन की एक निश्चित ऊर्जा होती है। एक कक्ष में दो से अधिक इलेक्ट्रॉन नहीं हो सकते। बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में, इलेक्ट्रॉन विभिन्न कक्षों में बढ़ती ऊर्जा के क्रम में भरे जाते हैं। इसलिए, बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु के प्रत्येक इलेक्ट्रॉन के लिए, एक कक्ष तरंग फलन होगा जो उस कक्ष की विशेषता होगी जिसमें वह स्थित है। परमाणु में इलेक्ट्रॉन के बारे में सारी जानकारी उसके कक्ष तरंग फलन $\psi$ में संग्रहित होती है और क्वांटम यांत्रिकी इस जानकारी को $\psi$ से निकालना संभव बनाती है।

5. एक परमाणु के भीतर किसी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन मिलने की प्रायिकता उस बिंदु पर कक्षीय तरंग फलन के वर्ग, अर्थात् $|\psi|^{2}$ के समानुपाती होती है। $|\psi|^{2}$ को प्रायिकता घनत्व कहा जाता है और यह सदैव धनात्मक होता है। परमाणु के भीतर विभिन्न बिंदुओं पर $|\psi|^{2}$ के मानों से यह पूर्वानुमान लगाया जा सकता है कि नाभिक के चारों ओर किस क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन सबसे अधिक संभावना से मिलेगा।

2.6.1 कक्षिकाएँ और क्वांटम संख्याएँ

एक परमाणु में बड़ी संख्या में कक्षिकाएँ संभव हैं। गुणात्मक रूप से इन कक्षिकाओं को उनके आकार, आकृति और अभिविन्यास के आधार पर भेदा जा सकता है। छोटे आकार की कक्षिका का अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक के निकट मिलने की अधिक संभावना है। इसी प्रकार आकृति और अभिविन्यास का अर्थ है कि कुछ दिशाओं की अपेक्षा अन्य दिशाओं में इलेक्ट्रॉन मिलने की अधिक प्रायिकता है। परमाणु कक्षिकाओं को ठीक-ठीक उन क्वांटम संख्याओं द्वारा भेदा जाता है जिन्हें क्वांटम संख्याएँ कहा जाता है। प्रत्येक कक्षिका को तीन क्वांटम संख्याओं द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है जिन्हें $n, l$ और $m_{l}$ के रूप में लेबल किया जाता है।

प्रधान क्वांटम संख्या ’ $n$ ’ एक धनात्मक पूर्णांक है जिसका मान $n=1,2,3$ होता है। प्रधान क्वांटम संख्या कक्षिका के आकार और बड़ी सीमा तक उसकी ऊर्जा को निर्धारित करती है। हाइड्रोजन परमाणु और हाइड्रोजन के समान स्पीशीज़ $\left(\mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{2+}, \ldots\right.$. आदि) के लिए कक्षिका की ऊर्जा और आकार केवल ’ $n$ ’ पर निर्भर करते हैं।

प्रधान क्वांटम संख्या भी कोश को पहचानती है। ‘$n$’ के मान में वृद्धि के साथ, अनुमत कक्षकों की संख्या बढ़ती है और यह ‘$n$’ द्वारा दी जाती है। ’n’ के एक निश्चित मान के सभी कक्षक परमाणु के एकल कोश का निर्माण करते हैं और निम्नलिखित अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं

$$ \begin{array}{rlrlll} n & =1 & 2 & 3 & 4 \ \text { कोश } & =\mathrm{K} & \mathrm{L} & \mathrm{M} & \mathrm{N} \end{array} $$

किसी कक्षक का आकार प्रधान क्वांटम संख्या ‘$n$’ के बढ़ने के साथ बढ़ता है। दूसरे शब्दों में, इलेक्ट्रॉन नाभिक से दूर स्थित होगा। चूँकि धनात्मक आवेशित नाभिक से ऋणात्मक आवेशित इलेक्ट्रॉन को दूर स्थानांतरित करने के लिए ऊर्जा की आवश्यकता होती है, कक्षक की ऊर्जा $n$ के बढ़ने के साथ बढ़ेगी।

अज़िमुथल क्वांटम संख्या। ‘$l$’ को कक्षीय कोणीय संवेग या सहायक क्वांटम संख्या भी कहा जाता है। यह कक्षक के त्रि-आयामी आकृति को परिभाषित करती है। $n$ के एक निश्चित मान के लिए, $l$ के पास $n$ मान हो सकते हैं जो 0 से $n-1$ तक होते हैं, अर्थात् $n$ के एक निश्चित मान के लिए, $l$ के संभावित मान हैं: $l=0,1,2$, $(n-1)$

उदाहरण के लिए, जब $n=1$, तो $l$ का मान केवल 0 होता है। $n=2$ के लिए, $l$ का संभावित मान 0 और 1 हो सकता है। $n=3$ के लिए, संभावित $l$ मान 0, 1 और 2 हैं।

प्रत्येक शेल में एक या अधिक उप-शेल या उप-स्तर होते हैं। एक प्रमुख शेल में उप-शेलों की संख्या $n$ के मान के बराबर होती है। उदाहरण के लिए पहले शेल $(n=1)$ में केवल एक उप-शेल होता है जो $l=0$ से संगत होता है। दूसरे शेल $(n=2)$ में दो उप-शेल $(l=0,1)$ होते हैं, तीसरे शेल $(n=3)$ में तीन $(l=0,1,2)$ होते हैं और इसी तरह आगे बढ़ता है। प्रत्येक उप-शेल को एक दिगंश क्वांटम संख्या ($l$) दी जाती है। $l$ के विभिन्न मानों से संगत उप-शेल निम्नलिखित प्रतीकों द्वारा दर्शाए जाते हैं।

$ \begin{array}{lcccccccccc} \text{l का मान} :& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & ….. \\ \text{उप-शेल के लिए संकेत} &s & p & d & f & g & h & ….. \end{array} $

तालिका 2.4 किसी दिए गए प्रमुख क्वांटम संख्या के लिए ‘$l$’ के अनुमत मानों और संगत उप-शेल संकेत को दर्शाती है।

तालिका 2.4 उप-शेल संकेत

$\mathbf{n}$	$\boldsymbol{l}$	उप-शेल संकेत
1	0	$1 s$
2	0	$2 s$
2	1	$2 p$
3	0	$3 s$
3	1	$3 p$
3	2	$3 d$
4	0	$4 s$
4	1	$4 p$
4	2	$4 d$
4	3	$4 f$

चुंबकीय कक्षीय क्वांटम संख्या। ‘$m_{l}$’ मानक निर्देशांक अक्षों के संदर्भ में कक्षीय की स्थानिक अभिविन्यास के बारे में जानकारी देता है। किसी भी उप-शेल (जो ‘$l$’ मान द्वारा परिभाषित है) के लिए $\mathrm{m}_l$ के $2 l+1$ मान संभव होते हैं और ये मान इस प्रकार दिए गए हैं: $m_l=-l,-(l-1),-(l-2) \ldots 0,1 \ldots(l-2),(l-1), l$

इस प्रकार $l=0$ के लिए, $m_{l}=0$ का एकमात्र अनुमत मान है, $[2(0)+1=1$, एक $\mathrm{s}$ कक्षक]। $l=1$ के लिए, $m_{l}$ के मान $-1,0$ और $+1$ हो सकते हैं $[2(1)+1=3$, तीन $p$ कक्षक]। $l=2$ के लिए, $m_{l}=-2,-1,0,+1$ और $+2$ हैं, $[2(2)+1=5$, पाँच $d$ कक्षक]। यह ध्यान देना चाहिए कि $m_{l}$ के मान $l$ से प्राप्त होते हैं और $l$ के मान $n$ से प्राप्त होते हैं।

इसलिए, एक परमाणु में प्रत्येक कक्षक $n, l$ और $m_{l}$ के मानों के एक समुच्चय द्वारा परिभाषित होता है। एक कक्षक जिसे द्वाणांकीय संख्याएँ $n=2, l=1, m_{l}=0$ द्वारा वर्णित किया जाता है, वह दूसरी कोश में $p$ उपकोश का एक कक्षक है। निम्नलिखित सारणी उपकोश और उससे संबद्ध कक्षकों की संख्या के बीच संबंध देती है।

$l$ का मान	0	1	2	3	4	5
उपकोश संकेतन	$s$	$p$	$d$	$f$	$g$	$h$
कक्षकों की संख्या	1	3	5	7	9	11

इलेक्ट्रॉन प्रचक्रण ‘$s$’ : एक परमाण्वीय कक्षक को लेबल करने वाली तीन द्वाणांकीय संख्याएँ उसकी ऊर्जा, आकृति और अभिविन्यास को परिभाषित करने के लिए समान रूप से उपयोग की जा सकती हैं। लेकिन बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के मामले में प्रेक्षित रेखा स्पेक्ट्रा को समझाने के लिए ये सभी द्वाणांकीय संख्याएँ पर्याप्त नहीं हैं, अर्थात् कुछ रेखाएँ वास्तव में द्विक (दो निकट स्थित रेखाएँ), त्रिक (तीन निकट स्थित रेखाएँ) आदि के रूप में होती हैं। यह तीन द्वाणांकीय संख्याओं द्वारा भविष्यवाणी की गई ऊर्जा स्तरों की तुलना में कुछ और अधिक ऊर्जा स्तरों की उपस्थिति की ओर संकेत करता है।

1925 में, जॉर्ज उहलेनबेक और सैमुअल गाउडस्मिट ने चौथे क्वांटम संख्या की उपस्थिति का प्रस्ताव रखा, जिसे इलेक्ट्रॉन स्पिन क्वांटम संख्या $\left(\boldsymbol{m}_s\right)$ कहा जाता है। एक इलेक्ट्रॉन अपने अक्ष के चारों ओर घूमता है, ठीक उसी तरह जैसे पृथ्वी सूर्य के चारों ओर परिक्रमा करते समय अपने अक्ष पर घूमती है। दूसरे शब्दों में, एक इलेक्ट्रॉन के पास आवेश और द्रव्यमान के अलावा, आंतरिक स्पिन कोणीय क्वांटम संख्या होती है। इलेक्ट्रॉन का स्पिन कोणीय संवेग — एक सदिश राशि, चुने गए अक्ष के सापेक्ष दो अभिविन्यास ले सकती है। इन दो अभिविन्यासों को स्पिन क्वांटम संख्या $m_s$ द्वारा अलग किया जाता है जो $+1 / 2$ या $-1 / 2$ के मान ले सकती है। इन्हें इलेक्ट्रॉन की दो स्पिन अवस्थाएँ कहा जाता है और इन्हें सामान्यतः दो तीरों, $\uparrow$ (स्पिन अप) और $\downarrow$ (स्पिन डाउन) द्वारा दर्शाया जाता है। दो इलेक्ट्रॉन जिनके $m_s$ मान भिन्न हों (एक $+1 / 2$ और दूसरा $-1 / 2$ ), उन्हें विपरीत स्पिन वाले कहा जाता है। एक कक्षक दो से अधिक इलेक्ट्रॉनों को धारण नहीं कर सकता और ये दोनों इलेक्ट्रॉन विपरीत स्पिन वाले होने चाहिए।

संक्षेप में, चार क्वांटम संख्याएँ निम्नलिखित जानकारी प्रदान करती हैं:

i) $\quad \boldsymbol{n}$ कक्ष को परिभाषित करता है, कक्षक का आकार निर्धारित करता है और काफी हद तक कक्षक की ऊर्जा भी।

ii) (n^{\text{वें}}) कोश में (n) उपकोश होते हैं। (l) उपकोश की पहचान करता है और कक्षक की आकृति निर्धारित करता है (अनुभाग 2.6.2 देखें)। प्रत्येक उपकोश में प्रत्येक प्रकार के ((2l+1)) कक्षक होते हैं, अर्थात् एक (s) कक्षक ((l=0)), तीन (p) कक्षक ((l=1)) और पाँच (d) कक्षक ((l=2)) प्रति उपकोश। किसी हद तक (l) बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में कक्षक की ऊर्जा को भी निर्धारित करता है।

iii) (\boldsymbol{m}_l) कक्षक की अभिविन्यास को निर्दिष्ट करता है। (l) के एक दिए गए मान के लिए, (m_l) के ((2l+1)) मान होते हैं, जो उपकोश प्रति कक्षकों की संख्या के समान होते हैं। इसका अर्थ है कि कक्षकों की संख्या उनके अभिविन्यास के तरीकों की संख्या के बराबर होती है।

iv) (\boldsymbol{m}_{\mathrm{s}}) इलेक्ट्रॉन के स्पिन की अभिविन्यास को संदर्भित करता है।

कक्ष, कक्षक और इसका महत्व

कक्षा और कक्षक समानार्थी नहीं हैं। बोर द्वारा प्रस्तावित एक कक्षा, नाभिक के चारों ओर एक वृत्तीय पथ है जिसमें एक इलेक्ट्रॉन घूमता है। हाइज़ेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार, इलेक्ट्रॉन के इस पथ का सटीक वर्णन असंभव है। इसलिए, बोर कक्षाओं का कोई वास्तविक अर्थ नहीं है और उनके अस्तित्व को प्रयोगात्मक रूप से कभी प्रदर्शित नहीं किया जा सकता। दूसरी ओर, एक परमाणु कक्षक एक क्वांटम यांत्रिक अवधारणा है और यह परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन तरंग फलन $\psi$ को संदर्भित करता है। यह तीन क्वांटम संख्याओं ($n, l$ और $m_{l}$) द्वारा विशेषता प्राप्त है और इसका मान इलेक्ट्रॉन के निर्देशांकों पर निर्भर करता है। $\psi$ का स्वयं कोई भौतिक अर्थ नहीं होता है। यह तरंग फलन का वर्ग है, अर्थात् $|\psi|^{2}$ जिसका भौतिक अर्थ होता है। परमाणु में किसी बिंदु पर $|\psi|^{2}$ उस बिंदु पर प्रायिकता घनता का मान देता है। प्रायिकता घनता $\left(|\psi|^{2}\right)$ प्रति इकाई आयतन प्रायिकता है और $|\psi|^{2}$ और एक छोटे आयतन (जिसे आयतन तत्व कहा जाता है) का गुणनफल उस आयतन में इलेक्ट्रॉन को पाने की प्रायिकता देता है (एक छोटे आयतन तत्व को निर्दिष्ट करने का कारण यह है कि $|\psi|^{2}$ अंतरिक्ष में एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में भिन्न होता है, लेकिन इसका मान एक छोटे आयतन तत्व के भीतर स्थिर माना जा सकता है)। किसी दिए गए आयतन में इलेक्ट्रॉन को पाने की कुल प्रायिकता तब सभी $|\psi|^{2}$ और संगत आयतन तत्वों के गुणनफलों के योग द्वारा गणना की जा सकती है। इस प्रकार, एक कक्षक में इलेक्ट्रॉन की संभावित बंटन प्राप्त करना संभव है।

समस्या 2.17

प्रधान क्वांटम संख्या $n=3$ से संबद्ध कुल कितनी कक्षाएँ हैं?

हल

$n=3$ के लिए, $l$ के संभावित मान 0, 1 और 2 हैं। इस प्रकार एक $3 s$ कक्षा है $\left(n=3, l=0\right.$ और $\left.\mathrm{m}_1=0\right)$; तीन $3 p$ कक्षाएँ हैं $\left(n=3, l=1\right.$ और $m_l=-1,0$, $+1)$; पाँच $3 d$ कक्षाएँ हैं $(n=3, l=$ 2 और $\left.m_l=-2,-1,0,+1+,+2\right)$।

इसलिए, कुल कक्षाओं की संख्या $1+3+5=9$ है।

इसी मान को संबंध का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है; कक्षाओं की संख्या $=n^{2}$, अर्थात् $3^{2}=9$।

समस्या 2.18

$s, p, d$, $\mathrm{f}$ संकेतों का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित क्वांटम संख्याओं वाली कक्षा का वर्णन कीजिए

(a) $n=2, l=1$, (b) $n=4, l=0$, (c) $n=5$, $l=3$, (d) $n=3, l=2$

हल

	$n$	$l$	कक्षा
(a)	2	1	$2 p$
(b)	4	0	$4 s$
(c)	5	3	$5 f$
(d)	3	2	$3 d$

2.6.2 परमाणु कक्षाओं के आकार

किसी परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए कक्षा तरंग फलन या $\psi$ का कोई भौतिक अर्थ नहीं होता है। यह केवल इलेक्ट्रॉन के निर्देशांकों का एक गणितीय फलन है। हालांकि, विभिन्न कक्षाओं के लिए संगत तरंग फलनों की $r$ (नाभिक से दूरी) के फलन के रूप में रेखांकन भिन्न होते हैं। चित्र 2.12(a), $1 s(n=1, l=0)$ और $2 s$ $(n=2, l=0)$ कक्षाओं के लिए ऐसे रेखांकन देता है।

आकृति 2.12 (a) कक्षीय तरंग फलन ψ(r) के रेखांकन; (b) 1s और 2s कक्षकों के लिए इलेक्ट्रॉन की नाभिक से दूरी r के फलन के रूप में प्रायिकता घनत्व ψ (r) का परिवर्तन।

जर्मन भौतिकविद् मैक्स बोर्न के अनुसार, किसी बिंदु पर तरंग फलन का वर्ग (अर्थात् $\psi^{2}$) उस बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के प्रायिकता घनत्व को देता है। 1s और 2s कक्षकों के लिए r के फलन के रूप में $\psi^{2}$ का परिवर्तन आकृति 2.12(b) में दिया गया है। यहाँ फिर, आप देख सकते हैं कि 1s और 2s कक्षकों की वक्रें भिन्न हैं।

ध्यान दिया जा सकता है कि 1s कक्षक के लिए प्रायिकता घनत्व नाभिक पर अधिकतम होता है और यह नाभिक से दूर जाने पर तेजी से घटता है। दूसरी ओर, 2s कक्षक के लिए प्रायिकता घनत्व पहले तेजी से घटकर शून्य हो जाता है और फिर फिर से बढ़ना शुरू होता है। एक छोटे अधिकतम तक पहुँचने के बाद यह फिर घटता है और r के मान के आगे बढ़ने पर शून्य की ओर बढ़ता है। वह क्षेत्र जहाँ यह प्रायिकता घनत्व फलन शून्य हो जाता है, नोडल सतहें या सरलतः नोड्स कहलाते हैं। सामान्यतः, यह पाया गया है कि ns-कक्षक में (n-1) नोड्स होते हैं, अर्थात् प्रधान क्वांटम संख्या n के बढ़ने के साथ नोड्स की संख्या बढ़ती है। दूसरे शब्दों में, 2s कक्षक के लिए नोड्स की संख्या एक है, 3s के लिए दो और आगे भी ऐसे ही।

इन प्रायिकता घनत्व परिवर्तनों को आवेश बादल आरेखों [चित्र 2.13(a)] के रूप में देखा जा सकता है। इन आरेखों में, किसी क्षेत्र में बिंदुओं की घनत्व उस क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन प्रायिकता घनत्व को दर्शाती है।

बाउंडरी सरफेस आरेख स्थिर प्रायिकता घनत्व के लिए विभिन्न कक्षकों के आकार का एक उचित प्रतिनिधित्व देते हैं। इस प्रतिनिधित्व में, एक कक्षक के लिए अंतरिक्ष में एक बाउंडरी सरफेस या समोच्च सरफेस खींचा जाता है जिस पर प्रायिकता घनत्व $|\psi|^{2}$ का मान स्थिर होता है। सिद्धांत रूप में ऐसे कई बाउंडरी सरफेस संभव हो सकते हैं। हालांकि, किसी दिए गए कक्षक के लिए, केवल वही बाउंडरी सरफेस आरेख स्थिर प्रायिकता घनत्व का, जो एक क्षेत्र या आयतन को घेरता है जिसमें इलेक्ट्रॉन मिलने की प्रायिकता बहुत अधिक हो, मान लीजिए, $90 %$, कक्षक के आकार का एक अच्छा प्रतिनिधित्व माना जाता है। $1 s$ और $2 s$ कक्षकों के लिए बाउंडरी सरफेस आरेख Fig. 2.13(b) में दिए गए हैं। कोई प्रश्न पूछ सकता है: हम एक ऐसा बाउंडरी सरफेस आरेख क्यों नहीं खींचते, जो एक ऐसे क्षेत्र को घेरता हो जिसमें इलेक्ट्रॉन मिलने की प्रायिकता $100 %$ हो? इस प्रश्न का उत्तर यह है कि प्रायिकता घनत्व $|\psi|^{2}$ का मान हमेशा कुछ न कुछ होता है, चाहे वह कितना भी कम क्यों न हो, नाभिक से किसी भी परिमित दूरी पर। इसलिए, यह संभव नहीं है कि एक निश्चित आकार का बाउंडरी सरफेस आरेख खींचा जाए जिसमें इलेक्ट्रॉन मिलने की प्रायिकता $100 %$ हो। एक $s$ कक्षक के लिए बाउंडरी सरफेस आरेख वास्तव में नाभिक के केंद्र पर स्थित एक गोला होता है। दो आयामों में, यह गोला एक वृत्त के समान दिखता है। यह एक ऐसा क्षेत्र घेरता है जिसमें इलेक्ट्रॉन मिलने की प्रायिकता लगभग $90 %$ होती है।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि $1 s$ और $2 s$ कक्षक गोलाकार आकार के होते हैं। वास्तव में, सभी s-कक्षक गोलाकार सममित होते हैं, अर्थात् किसी दी गई दूरी पर इलेक्ट्रॉन मिलने की प्रायिकता सभी दिशाओं में समान होती है। यह भी देखा गया है कि $s$ कक्षक का आकार $n$ के बढ़ने के साथ बढ़ता है, अर्थात्, $4 s>3 s>2 s>1 s$ और इलेक्ट्रॉन नाभिक से दूर स्थित होता है जैसे-जैसे प्रधान क्वांटम संख्या बढ़ती है।

आकृति 2.13 (a) 1s और 2s परमाणु कक्षकों की प्रायिकता घनता आरेख। बिंदुओं की घनता उस क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन मिलने की प्रायिकता घनता को दर्शाती है। (b) 1s और 2s कक्षकों के लिए सीमीय पृष्ठ आरेख।

आकृति 2.14 तीनों 2p कक्षकों के सीमीय पृष्ठ आरेख

तीन $2 p$ कक्षकों $(l=1)$ के लिए सीमा पृष्ठ आरेख चित्र 2.14 में दिखाए गए हैं। इन आरेखों में (a), नाभिक मूल बिंदु पर है। यहाँ, s-कक्षकों के विपरीत, सीमा पृष्ठ आरेख गोलाकार नहीं होते हैं। इसके बजाय प्रत्येक $p$ कक्षक दो भागों से बना होता है जिन्हें लोब कहा जाता है, जो नाभिक से होकर गुजरने वाले समतल के दोनों ओर होते हैं। संभाव्यता घनता[^3] फलन उस समतल पर शून्य होती है जहाँ दो लोब एक-दूसरे को छूते हैं। तीनों कक्षकों का आकार, आकार और ऊर्जा समान होते हैं। हालांकि वे लोबों की उन्मुखता के तरीके में भिन्न होते हैं। चूँकि लोबों को $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ या $\mathrm{z}$ अक्ष के अनुदार माना जा सकता है, उन्हें $2 p_{x}, 2 p_{y}$, और $2 p_{z}$ संज्ञाएँ दी जाती हैं। यह समझना चाहिए, हालांकि, $m_{l}(-1,0$ और +1$)$ के मानों और $x, y$ और $z$ दिशाओं के बीच कोई सरल संबंध नहीं है।

चित्र 2.15 पाँच 3d कक्षकों के सीमा पृष्ठ आरेख।

हमारे उद्देश्य के लिए यह याद रखना पर्याप्त है कि, चूँकि $m_{l}$ के तीन संभावित मान होते हैं, इसलिए तीन $p$ कक्षक होते हैं जिनके अक्ष परस्पर लंबवत होते हैं। $s$ कक्षकों की तरह, $p$ कक्षक भी प्रधान क्वांटम संख्या में वृद्धि के साथ आकार और ऊर्जा में बढ़ते हैं और इसलिए विभिन्न $p$ कक्षकों की ऊर्जा और आकार का क्रम $4 p>3 p>2 p$ है। इसके अतिरिक्त, $s$ कक्षकों की तरह, $p$-कक्षक के लिए प्रायिकता घनत्व फलन भी शून्य मान से गुजरते हैं, शून्य और अनंत दूरी के अतिरिक्त, जैसे-जैसे नाभिक से दूरी बढ़ती है। नोड्स की संख्या $n-2$ द्वारा दी जाती है, अर्थात् $3 p$ कक्षक के लिए एक रेडियल नोड, $4 p$ कक्षक के लिए दो रेडियल नोड आदि होते हैं।

$l=2$ के लिए, कक्षक को $d$-कक्षक कहा जाता है और प्रधान क्वांटम संख्या $(n)$ का न्यूनतम मान 3 होना चाहिए, क्योंकि $l$ का मान $n-1$ से अधिक नहीं हो सकता। $l=2$ के लिए पाँच $m_{l}$ मान $(-2,-1,0,+1$ और +2$)$ होते हैं और इस प्रकार पाँच $d$ कक्षक होते हैं। $d$ कक्षकों की सीमीय पृष्ठ आरेख चित्र 2.15 में दिखाए गए हैं।

पाँच $d$-ऑर्बिटलों को $d_{\mathrm{xy}}$, $d_{\mathrm{yz}}$, $d_{\mathrm{xz}}$, $d_{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}}$ और $d_{\mathrm{z}^{2}}$ के रूप में नामित किया गया है। पहले चार $d$-ऑर्बिटलों के आकार एक-दूसरे के समान होते हैं, जबकि पाँचवें, $d_{z^{2}}$ का आकार अन्य से भिन्न होता है, लेकिन सभी पाँचों $3 d$ ऑर्बिटल ऊर्जा में समतुल्य होते हैं। जिन $d$ ऑर्बिटलों के लिए $n$ 3 से अधिक हो (4d, 5d …), उनके आकार भी 3d ऑर्बिटल के समान होते हैं, लेकिन ऊर्जा और आकार में भिन्न होते हैं।

रेडियल नोड्स (अर्थात् प्रायिकता घनत्व शून्य होती है) के अतिरिक्त, $\mathrm{n} p$ और $\mathrm{nd}$ ऑर्बिटलों के लिए प्रायिकता घनत्व फलन उस समतल (समतलों) पर शून्य होता है जो नाभिक (मूलबिंदु) से होकर गुजरता है। उदाहरण के लिए, $p_{z}$ ऑर्बिटल में xy-समतल एक नोडल समतल है, $d_{\mathrm{xy}}$ ऑर्बिटल में दो नोडल समतल होते हैं जो मूलबिंदु से होकर गुजरते हैं और z-अक्ष को समाहित करने वाले xy समतल को द्विभाजित करते हैं। इन्हें कोणीय नोड्स कहा जाता है और कोणीय नोड्स की संख्या ‘$l$’ द्वारा दी जाती है, अर्थात् $p$ ऑर्बिटलों के लिए एक कोणीय नोड, ’d’ ऑर्बिटलों के लिए दो कोणीय नोड्स आदि। कुल नोड्स की संख्या $(n-1)$ द्वारा दी जाती है, अर्थात् $l$ कोणीय नोड्स और $(n-l-1)$ रेडियल नोड्स का योग।

2.6.3 ऑर्बिटलों की ऊर्जाएँ

हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा केवल प्रधान क्वांटम संख्या द्वारा निर्धारित होती है। इस प्रकार हाइड्रोजन परमाणु में ऑर्बिटलों की ऊर्जा इस प्रकार बढ़ती है:

$1 s<2 s=2 p<3 s=3 p=3 d<4 s=4 p=4 d=4 f<$ और इसे चित्र 2.16 में दर्शाया गया है। यद्यपि 2 s और 2 p कक्षकों के आकार भिन्न होते हैं, एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा 2 s कक्षक में होने पर भी वही होती है जब वह 2 p कक्षक में होता है। समान ऊर्जा वाले कक्षकों को अपवर्तक (degenerate) कहा जाता है। हाइड्रोजन परमाणु में 1 s कक्षक, जैसा पहले कहा गया है, सबसे स्थिर अवस्था से संबंधित होता है और इसे मूल अवस्था (ground state) कहा जाता है और इस कक्षक में स्थित इलेक्ट्रॉन नाभिक द्वारा सबसे दृढ़ता से आयोजित होता है। हाइड्रोजन परमाणु में 2 s, 2 p या उच्चतर कक्षकों में स्थित एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था (excited state) में होता है।

चित्र 2.16 (a) हाइड्रोजन परमाणु और (b) बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के कुछ इलेक्ट्रॉनिक कोशों के लिए ऊर्जा स्तर आरेख। ध्यान दें कि हाइड्रोजन परमाणु के लिए प्रधान क्वांटम संख्या के समान मान वाले कक्षक, विभिन्न अक्षांशीय क्वांटम संख्या के लिए भी समान ऊर्जाएँ रखते हैं। बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के मामले में, समान प्रधान क्वांटम संख्या वाले कक्षक विभिन्न अक्षांशीय क्वांटम संख्याओं के लिए भिन्न-भिन्न ऊर्जाएँ रखते हैं

बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा, हाइड्रोजन परमाणु के विपरीत, केवल उसके प्रधान क्वांटम संख्या (कोश) पर ही निर्भर नहीं करती, बल्कि उसके दिगंशीय क्वांटम संख्या (उपकोश) पर भी निर्भर करती है। अर्थात्, एक दी गई प्रधान क्वांटम संख्या के लिए, $s$, $p$, $d$, $f \ldots$ सभी की ऊर्जाएँ भिन्न होती हैं। एक दी गई प्रधान क्वांटम संख्या के भीतर, कक्षकों की ऊर्जा इस क्रम में बढ़ती है: $s<p<d<f$। उच्च ऊर्जा स्तरों के लिए ये अंतर पर्याप्त रूप से स्पष्ट होते हैं और कक्षक ऊर्जा का विचलित होना हो सकता है, उदाहरणस्वरूप, $4s<3d$ और $6s<5d$; $4f<6p$। उपकोशों की भिन्न ऊर्जाओं का मुख्य कारण बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों के बीच पारस्परिक प्रतिकर्षण है। हाइड्रोजन परमाणु में केवल एक ही विद्युत-आकर्षण होता है—ऋणावेशित इलेक्ट्रॉन और धनावेशित नाभिक के बीच का आकर्षण। बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में, इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच आकर्षण के अतिरिक्त, प्रत्येक इलेक्ट्रॉन और परमाणु में उपस्थित अन्य सभी इलेक्ट्रॉनों के बीच प्रतिकर्षण पद भी होते हैं। इस प्रकार बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की स्थिरता इसलिए होती है कि कुल आकर्षणीय अन्योन्यक्रियाएँ प्रतिकर्षणीय अन्योन्यक्रियाओं से अधिक होती हैं। सामान्यतः, बाह्य कोश के इलेक्ट्रॉनों का आंतरिक कोश के इलेक्ट्रॉनों के साथ प्रतिकर्षण अधिक महत्वपूर्ण होता है। दूसरी ओर, एक इलेक्ट्रॉन के आकर्षणीय अन्योन्यक्रियाएँ नाभिक पर धनावेश $(Z e)$ के वृद्धि के साथ बढ़ती हैं। आंतरिक कोशों में इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति के कारण बाह्य कोश का इलेक्ट्रॉन नाभिक का पूरा धनावेश $(Z e)$ अनुभव नहीं करेगा। आंतरिक कोश के इलेक्ट्रॉनों द्वारा नाभिक के धनावेश का आंशिक आवरण होने से यह प्रभाव कम हो जाएगा। इसे आंतरिक कोश के इलेक्ट्रॉनों द्वारा बाह्य कोश के इलेक्ट्रॉनों का नाभिक से आवरण कहा जाता है, और बाह्य इलेक्ट्रॉनों द्वारा अनुभव किया गया शुद्ध धनावेश प्रभावी नाभिकीय आवेश $\left(Z_{\text{eff}} e\right)$ कहलाता है। आंतरिक कोश के इलेक्ट्रॉनों द्वारा बाह्य इलेक्ट्रॉनों के नाभिक से आवरण होने के बावजूद, बाह्य कोश के इलेक्ट्रॉनों द्वारा अनुभव किया गया आकर्षण बल नाभिकीय आवेश की वृद्धि के साथ बढ़ता है। दूसरे शब्दों में, नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच की अन्योन्यक्रिया की ऊर्जा (अर्थात् कक्षक ऊर्जा) परमाणु क्रमांक $(Z)$ की वृद्धि के साथ घटती है (अर्थात् अधिक ऋणात्मक हो जाती है)।

आकर्षक और प्रतिकर्षी दोनों अन्योन्यक्रियाएँ इस बात पर निर्भर करती हैं कि इलेक्ट्रॉन किस कोश (shell) और किस आकृति के कक्षक (orbital) में उपस्थित है। उदाहरण के लिए, गोलाकार $s$ कक्षक में मौजूद इलेक्ट्रॉन, $p$ कक्षक में मौजूद इलेक्ट्रॉनों की तुलना में बाहरी इलेक्ट्रॉनों को नाभिक से अधिक प्रभावी ढंग से ढालते हैं। इसी प्रकार, $p$ कक्षकों में मौजूद इलेक्ट्रॉन, $d$ कक्षकों में मौजूद इलेक्ट्रॉनों की तुलना में बाहरी इलेक्ट्रॉनों को नाभिक से अधिक ढालते हैं, यद्यपि ये सभी कक्षक एक ही कोश में उपस्थित हैं। इसके अतिरिक्त, एक ही कोश के भीतर, $s$ कक्षक की गोलाकार आकृति के कारण, $s$ कक्षक का इलेक्ट्रॉन नाभिक के निकट अधिक समय बिताता है, जबकि $p$ कक्षक का इलेक्ट्रॉन $d$ कक्षक के इलेक्ट्रॉन की तुलना में नाभिक के निकट अधिक समय बिताता है। दूसरे शब्दों में, एक दिए गए कोश (प्रधान क्वांटम संख्या) के लिए, इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किया गया $Z_{\text{eff}}$ अक्षिमुथल क्वांटम संख्या $(l)$ के बढ़ने के साथ घटता है, अर्थात् $s$ कक्षक का इलेक्ट्रॉन नाभिक से अधिक दृढ़ता से बंधा होगा, जिसके बाद $p$ कक्षक का इलेक्ट्रॉन आएगा और फिर $d$ कक्षक का इलेक्ट्रॉन। $s$ कक्षक में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा, $p$ कक्षक के इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा से कम (अधिक ऋणात्मक) होगी, और $p$ की ऊर्जा $d$ कक्षक के इलेक्ट्रॉन से कम होगी, और इसी तरह आगे। चूँकि नाभिक से ढालने की मात्रा विभिन्न कक्षकों में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों के लिए भिन्न-भिन्न होती है, इससे एक ही कोश (या एक ही प्रधान क्वांटम संख्या) के भीतर ऊर्जा स्तरों का विभाजन होता है, अर्थात् पहले उल्लेख किया गया है कि किसी कक्षक में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $n$ और $l$ के मानों पर निर्भर करती है। गणितीय रूप से, कक्षकों की ऊर्जाओं का $n$ और $l$ पर निर्भर काफी जटिल होता है, लेकिन एक सरल नियम यह है कि किसी कक्षक के लिए $(n+l)$ का मान जितना कम होगा, उसकी ऊर्जा उतनी ही कम होगी। यदि दो कक्षकों का $(n+l)$ मान समान हो, तो जिस कक्षक का $\boldsymbol{n}$ का मान कम होगा, उसकी ऊर्जा कम होगी। तालिका 2.5, $(n+l)$ नियम को दर्शाती है और चित्र 2.16 बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं की ऊर्जा स्तरों को दर्शाता है। यह ध्यान देने योग्य है कि बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में किसी विशेष कोश की विभिन्न उपकोशाएँ भिन्न-भिन्न ऊर्जाएँ रखती हैं। हालाँकि, हाइड्रोजन परमाणु में इनकी ऊर्जाएँ समान होती हैं। अंत में यह उल्लेख किया जा सकता है कि एक ही उपकोश के कक्षकों की ऊर्जाएँ परमाणु संख्या $\left(\boldsymbol{Z}_{\text{eff}}\right)$ के बढ़ने के साथ घटती हैं।

तालिका 2.5 (n+l) नियम के आधार पर बढ़ती ऊर्जा के अनुसार कक्षकों की व्यवस्था

उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन परमाणु के 2s कक्षक की ऊर्जा लिथियम के 2s कक्षक की ऊर्जा से अधिक होती है और लिथियम की ऊर्जा सोडियम की ऊर्जा से अधिक होती है और इसी तरह, अर्थात्, $E_{2 s}(\mathrm{H})>E_{2 s}(\mathrm{Li})>E_{2 s}(\mathrm{Na})>E_{2 s}(\mathrm{~K})$।

2.6.4 परमाणु में कक्षकों की भरना

विभिन्न परमाणुओं के कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की भरना ऑफबाउ सिद्धांत के अनुसार होती है जो पाउली के अपवर्जन सिद्धांत, हुंड का अधिकतम बहुलता नियम और कक्षकों की सापेक्ष ऊर्जाओं पर आधारित है।

ऑफबाउ सिद्धांत

जर्मन शब्द ‘ऑफ़बाउ’ का अर्थ है ‘निर्माण करना’। कक्षकों का निर्माण करना का अर्थ है कक्षकों को इलेक्ट्रॉनों से भरना। यह सिद्धांत कहता है: परमाणुओं की आधारभूत अवस्था में, कक्षक उनकी बढ़ती ऊर्जा के क्रम में भरे जाते हैं। दूसरे शब्दों में, इलेक्ट्रॉन पहले न्यूनतम ऊर्जा वाले कक्षक को अपनाते हैं और उच्च ऊर्जा वाले कक्षकों में तभी प्रवेश करते हैं जब न्यूनतम ऊर्जा वाले कक्षक भर चुके हों। जैसा कि आपने ऊपर सीखा है, किसी दिए गए कक्षक की ऊर्जा प्रभावी नाभिकीय आवेश पर निर्भर करती है और विभिन्न प्रकार के कक्षक विभिन्न सीमा तक प्रभावित होते हैं। इस प्रकार, कक्षकों की ऊर्जाओं का कोई एक ऐसा क्रम नहीं है जो सभी परमाणुओं के लिए सार्वभौमिक रूप से सही हो।

हालांकि, कक्षकों की ऊर्जाओं का निम्नलिखित क्रम अत्यंत उपयोगी है:

$1 s, 2 s, 2 p, 3 s, 3 p, 4 s, 3 d, 4 p, 5 s, 4 d, 5 p, 4 f$, $5 d, 6 p, 7 s \ldots$

इस क्रम को चित्र 2.17 में दी गई विधि का उपयोग करके याद किया जा सकता है।

चित्र 2.17 कक्षकों को भरने का क्रम

शीर्ष से शुरू करते हुए, तीरों की दिशा कक्षकों की भरने के क्रम को दर्शाती है, अर्थात् ऊपर दाएँ से नीचे बाएँ तक। बाह्य संयोजक इलेक्ट्रॉनों की स्थिति के संदर्भ में, यह सभी परमाणुओं के लिए उल्लेखनीय रूप से सटीक है। उदाहरण के लिए, पोटैशियम में संयोजक इलेक्ट्रॉन को $3 d$ और $4 s$ कक्षकों के बीच चयन करना होता है और जैसा कि इस अनुक्रम द्वारा भविष्यवाणी की गई है, यह $4 s$ कक्षक में पाया जाता है। उपरोक्त क्रम को ऊर्जा स्तरों की भरने के लिए एक सामान्य मार्गदर्शिका माना जाना चाहिए। कई मामलों में, कक्षक ऊर्जा में समान होते हैं और परमाणु संरचना में छोटे बदलाव भरने के क्रम में परिवर्तन ला सकते हैं। फिर भी, उपरोक्त श्रृंखला परमाणु की इलेक्ट्रॉनिक संरचना के निर्माण के लिए एक उपयोगी मार्गदर्शिका है बशर्ते यह याद रखा जाए कि अपवाद हो सकते हैं।

पाउली अपवर्जन सिद्धांत

विभिन्न कक्षकों में भरे जाने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या ऑस्ट्रियाई वैज्ञानिक वोल्फ़गैंग पाउली (1926) द्वारा दिए गए अपवर्जन सिद्धांत द्वारा सीमित है। इस सिद्धांत के अनुसार: एक परमाणु में कोई भी दो इलेक्ट्रॉन चारों क्वांटम संख्याओं में समान नहीं हो सकते। पाउली अपवर्जन सिद्धांत को यूँ भी कहा जा सकता है: “एक ही कक्षक में केवल दो इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं और इन इलेक्ट्रॉनों के स्पिन विपरीत होने चाहिए।” इसका अर्थ है कि दोनों इलेक्ट्रॉन तीन क्वांटम संख्याओं $n, l$ और $m_{l}$ में समान मान रख सकते हैं, परंतु उनकी स्पिन क्वांटम संख्या विपरीत होनी चाहिए। पाउली के अपवर्जन सिद्धांत द्वारा एक कक्षक में इलेक्ट्रॉनों की संख्या पर लगाई गई यह रोक किसी भी उपकोश में मौजूद इलेक्ट्रॉनों की क्षमता की गणना करने में सहायक होती है। उदाहरण के लिए, उपकोश 1 s में एक कक्षक होता है और इस प्रकार $1 s$ उपकोश में अधिकतम दो इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं, $p$ और $d$ उपकोशों में अधिकतम इलेक्ट्रॉनों की संख्या क्रमशः 6 और 10 हो सकती है। इसे इस प्रकार संक्षेप में कहा जा सकता है: प्रधान क्वांटम संख्या $\boldsymbol{n}$ वाले कोश में अधिकतम इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2 \boldsymbol{n}^{2}$ के बराबर होती है।

हुंड का नियम अधिकतम बहुलता

यह नियम उन कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों को भरने से संबंधित है जो एक ही उपकोश (subshell) से संबंधित हैं (अर्थात् समान ऊर्जा वाले कक्षक, जिन्हें अपभ्रष्ट कक्षक कहा जाता है)। यह कहता है: एक ही उपकोश ($p, d$ या $f$) से संबंधित कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की युग्मन (pairing) तब तक नहीं होती जब तक उस उपकोश से संबंधित प्रत्येक कक्षक में एक-एक इलेक्ट्रॉन नहीं आ जाता, अर्थात् प्रत्येक कक्षक एकाकी रूप से भरा हुआ हो।

चूँकि तीन $p$, पाँच $d$ और सात $f$ कक्षक होते हैं, इसलिए इलेक्ट्रॉनों का युग्मन $p, d$ और $f$ कक्षकों में क्रमशः चौथे, छठे और आठवें इलेक्ट्रॉन के प्रवेश के साथ प्रारंभ होगा। यह देखा गया है कि आधे भरे और पूर्णतः भरे अपभ्रष्ट कक्षकों का समुच्चय अतिरिक्त स्थिरता प्राप्त करता है, जो उनके सममिति के कारण होती है (देखें खंड, 2.6.7)।

2.6.5 परमाणुओं का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास

परमाणु के कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों का वितरण उसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास कहलाता है। यदि कोई विभिन्न परमाण्वीय कक्षकों को भरने वाले मूलभूत नियमों को ध्यान में रखे, तो विभिन्न परमाणुओं के इलेक्ट्रॉनिक विन्यास बहुत आसानी से लिखे जा सकते हैं।

विभिन्न परमाणुओं के इलेक्ट्रॉनिक विन्यास को दो तरीकों से दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

(i) $s^{\mathrm{a}} p^{\mathrm{b}} d^{\mathrm{c}} \ldots .$. संकेतन

(ii) कक्षक आरेख

पहली संकेतन में, उपकोश को संबंधित अक्षर प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है और उपकोश में मौजूद इलेक्ट्रॉनों की संख्या को घातांक के रूप में दर्शाया जाता है, जैसे a, b, c, … आदि। विभिन्न कोशों के लिए दर्शाए गए समान उपकोश को प्रमुख क्वांटम संख्या को संबंधित उपकोश से पहले लिखकर भिन्न-भिन्न किया जाता है। दूसरी संकेतन में उपकोश के प्रत्येक कक्षक को एक बॉक्स द्वारा दर्शाया जाता है और इलेक्ट्रॉन को एक तीर $(\uparrow$ ) धनात्मक स्पिन या एक तीर $(\downarrow)$ ऋणात्मक स्पिन द्वारा दर्शाया जाता है। पहली संकेतन की तुलना में दूसरी संकेतन की यह विशेषता है कि यह सभी चार क्वांटम संख्याओं को दर्शाती है।

हाइड्रोजन परमाणु में केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है जो न्यूनतम ऊर्जा वाले कक्षक में जाता है, अर्थात् $1 \mathrm{~s}$। हाइड्रोजन परमाणु का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 \mathrm{~s}^{1}$ है जिसका अर्थ है कि इसमें $1 \mathrm{~s}$ कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन है। हीलियम (He) में दूसरा इलेक्ट्रॉन भी $1 s$ कक्षक में रह सकता है। इसका विन्यास इसलिए $1 s^{2}$ है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, दोनों इलेक्ट्रॉन एक-दूसरे से विपरीत स्पिन के कारण भिन्न होते हैं, जैसा कि कक्षक आरेख से देखा जा सकता है।

लिथियम (Li) का तीसरा इलेक्ट्रॉन $1 \mathrm{~s}$ कक्षक में पॉलि अपवर्जन सिद्धांत के कारण अनुमत नहीं है। इसलिए यह अगले उपलब्ध विकल्प, अर्थात् $2 s$ कक्षक को लेता है। Li का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 s^{2} 2 s^{1}$ है। $2 s$ कक्षक एक और इलेक्ट्रॉन समायोजित कर सकता है। इसलिए बेरिलियम (Be) परमाणु का विन्यास $1 s^{2} 2 s^{2}$ है (तत्वों के इलेक्ट्रॉनिक विन्यासों के लिए टेबल 2.6, पृष्ठ 66 देखें)।

अगले छह तत्वों में—बोरॉन $\left(\mathrm{B}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{1}\right)$, कार्बन (C, $\left.1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{2}\right)$, नाइट्रोजन $\left(\mathrm{N}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{3}\right)$, ऑक्सीजन $\left(\mathrm{O}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{4}\right)$, फ्लुओरीन $\left(\mathrm{F}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{5}\right.$ ) और नियॉन (Ne, $\left.1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6}\right)$—$2 p$ कक्षक क्रमिक रूप से भरे जाते हैं। यह प्रक्रिया नियॉन परमाणु के साथ पूरी होती है। इन तत्वों की कक्षक चित्र निम्नानुसार दर्शाए जा सकते हैं :

तत्वों सोडियम ( $\mathrm{Na}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{1}$ ) से आर्गन ( $\left.\mathrm{Ar}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6}\right)$ तक का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास, लिथियम से नियॉन तक के तत्वों के ठीक उसी प्रतिरूप का अनुसरण करता है, केवल अंतर यह है कि अब $3 s$ और $3 p$ कक्षक भरे जा रहे हैं। यह प्रक्रिया सरल हो जाती है यदि हम पहले दो कोशों में उपस्थित कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या को नियॉन (Ne) तत्व के नाम से दर्शाएँ। सोडियम से आर्गन तक के तत्वों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\left(\mathrm{Na},[\mathrm{Ne}] 3 s^{1}\right)$ से (Ar, $\left.[\mathrm{Ne}] 3 s^{2} 3 p^{6}\right)$। पूरी तरह से भरे हुए कोशों में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों को कोर इलेक्ट्रॉन कहा जाता है और वे इलेक्ट्रॉन जो उच्चतम प्रधान क्वांटम संख्या वाले इलेक्ट्रॉनिक कोश में जोड़े जाते हैं, उन्हें संयोजी इलेक्ट्रॉन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $\mathrm{Ne}$ में उपस्थित इलेक्ट्रॉन कोर इलेक्ट्रॉन हैं और $\mathrm{Na}$ से $\mathrm{Ar}$ तक के इलेक्ट्रॉन संयोजी इलेक्ट्रॉन हैं। पोटैशियम $(\mathrm{K})$ और कैल्शियम (Ca) में, $4 s$ कक्षक, $3 d$ कक्षकों की तुलना में कम ऊर्जा पर होने के कारण, क्रमशः एक और दो इलेक्ट्रॉनों से आबाद होता है।

एक नया पैटर्न स्कैंडियम (Sc) से शुरू होकर अपनाया जाता है। $3 d$ कक्षक, $4 p$ कक्षक की तुलना में कम ऊर्जा वाला होने के कारण, पहले भरता है। परिणामस्वरूप, अगले दस तत्वों—स्कैंडियम (Sc), टाइटेनियम (Ti), वैनेडियम (V), क्रोमियम $(\mathrm{Cr})$, मैंगनीज $(\mathrm{Mn})$, आयरन $(\mathrm{Fe})$, कोबाल्ट (Co), निकल (Ni), कॉपर $(\mathrm{Cu})$ और जिंक $(\mathrm{Zn})$—में पाँच $3 d$ कक्षक क्रमशः भरे जाते हैं। हम इस बात से हैरान हो सकते हैं कि क्रोमियम और कॉपर के $3 d$ कक्षकों में क्रमशः पाँच और दस इलेक्ट्रॉन क्यों होते हैं, न कि चार और नौ, जैसा कि उनकी स्थिति और $4 \mathrm{~s}$ कक्षक में दो इलेक्ट्रॉन होने से संकेत मिलता है। कारण यह है कि पूरी तरह से भरे हुए कक्षक और आधे भरे हुए कक्षक अतिरिक्त स्थिरता (अर्थात् कम ऊर्जा) रखते हैं। इस प्रकार $p^{3}, p^{6}, d^{5}, d^{10}, f^{7}, f^{14}$ आदि विन्यास, जो या तो आधे भरे या पूरी तरह भरे होते हैं, अधिक स्थिर होते हैं। इसलिए क्रोमियम और कॉपर क्रमशः $d^{5}$ और $d^{10}$ विन्यास अपनाते हैं (Section 2.6.7)[सावधानी: अपवाद मौजूद हैं]

$3 d$ आर्बिटलों के संतृप्त होने के साथ, $4 p$ आर्बिटल की भरना गैलियम (Ga) से प्रारंभ होता है और क्रिप्टॉन (Kr) पर पूर्ण होता है। अगले अठारह तत्वों में रुबिडियम (Rb) से ज़ेनॉन (Xe) तक, $5 s$, $4 d$ और $5 p$ आर्बिटलों की भरने की पैटर्न उपरोक्त चर्चा किए गए $4 s$, $3 d$ और $4 p$ आर्बिटलों के समान है। फिर $6 s$ आर्बिटल की बारी आती है। सीज़ियम (Cs) और बेरियम (Ba) में, इस आर्बिटल में क्रमशः एक और दो इलेक्ट्रॉन होते हैं। फिर लैन्थेनम (La) से मरकरी (Hg) तक, इलेक्ट्रॉनों की भरना $4 f$ और $5 d$ आर्बिटलों में होती है। इसके बाद, $6 p$, फिर $7 s$ और अंत में $5 f$ और $6 d$ आर्बिटलों की भरना होती है। यूरेनियम (U) के बाद के तत्व सभी अल्पायु होते हैं और इनमें से सभी कृत्रिम रूप से उत्पन्न किए जाते हैं। ज्ञात तत्वों की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास (स्पेक्ट्रोस्कोपिक विधियों द्वारा निर्धारित) को सारणी 2.6 (पृष्ठ 66) में सारणीबद्ध किया गया है।

कोई पूछ सकता है कि इलेक्ट्रॉन विन्यास जानने का क्या उपयोग है? रसायन विज्ञान का आधुनिक दृष्टिकोण वास्तव में रासायनिक व्यवहार को समझने और समझाने के लिए लगभग पूरी तरह से इलेक्ट्रॉनिक वितरण पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, ऐसे प्रश्न जैसे कि दो या अधिक परमाणु अणु बनाने के लिए क्यों संयुक्त होते हैं, कुछ तत्व धातु क्यों होते हैं जबकि अन्य अधातु क्यों होते हैं, हीलियम और आर्गन जैसे तत्व अक्रिय क्यों होते हैं लेकिन हैलोजन जैसे तत्व सक्रिय क्यों होते हैं, इलेक्ट्रॉनिक विन्यास से सरल व्याख्या पा सकते हैं। इन प्रश्नों का उत्तर डाल्टोनियन परमाणु मॉडल में नहीं है। परमाणु की इलेक्ट्रॉनिक संरचना की विस्तृत समझ, इसलिए, आधुनिक रासायनिक ज्ञान के विभिन्न पहलुओं में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए बहुत आवश्यक है।

2.6.6 पूरी तरह से भरे और आधे भरे उपकोशों की स्थिरता

किसी तत्व के परमाणु की भू-स्थिति इलेक्ट्रॉनिक विन्यास सदैव न्यूनतम कुल इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा की अवस्था से संबंधित होती है। अधिकांश परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास अनुभाग 2.6.5 में दिए गए मूलभूत नियमों का पालन करती है। तथापि, कुछ तत्वों जैसे $\mathrm{Cu}$ या $\mathrm{Cr}$ में, जहाँ दो उपकोश $4 \mathrm{~s}$ और $3 d$ की ऊर्जाओं में थोड़ा अंतर होता है, एक इलेक्ट्रॉन निम्न ऊर्जा के उपकोश (4s) से उच्च ऊर्जा के उपकोश (3d) में स्थानांतरित हो जाता है, बशर्ते ऐसा स्थानांतरण उच्च ऊर्जा के उपकोश के सभी कक्षकों को पूर्णतः भरा या अर्ध-भरा बना दे। अतः $\mathrm{Cr}$ और $\mathrm{Cu}$ की संयोजकता इलेक्ट्रॉनिक विन्यास क्रमशः $3 d^{5} 4 s^{1}$ और $3 d^{10} 4 s^{1}$ हैं, न कि $3 d^{4}$ $4 s^{2}$ और $3 d^{9} 4 s^{2}$। यह पाया गया है कि इन इलेक्ट्रॉनिक विन्यासों से अतिरिक्त स्थिरता संबद्ध होती है।

पूर्णतः भरे और अर्ध-भरे उपकोशों की स्थिरता के कारण

पूर्णतः भरे और पूर्णतः अर्ध-भरे उपकोश निम्नलिखित कारणों से स्थिर होते हैं:

1. इलेक्ट्रॉनों का सममित वितरण: यह सुविदित है कि सममित स्थिरता को जन्म देती है। पूर्णतः भरे या आधे भरे उपकोशों में इलेक्ट्रॉनों का वितरण सममित होता है, इसलिए वे अधिक स्थिर होते हैं। एक ही उपकोश (यहाँ $3 d$ ) में इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा समान होती है, परंतु उनका स्थानिक वितरण भिन्न होता है। परिणामतः वे एक-दूसरे को अपेक्षाकृत कम ढालते हैं और नाभिक द्वारा अधिक दृढ़तापूर्वक आकर्षित होते हैं।

2. विनिमय ऊर्जा: स्थिरकारी प्रभाव तब उत्पन्न होता है जब किसी उपकोश के समशक्त उपकक्षाओं में एक-सी स्पिन वाले दो या अधिक इलेक्ट्रॉन मौजूद हों। ये इलेक्ट्रॉन अपने स्थानों को परस्पर बदलने का प्रयास करते हैं और इस विनिमय से मुक्त होने वाली ऊर्जा को विनिमय ऊर्जा कहते हैं। जब उपकोश या तो आधा भरा हो या पूर्णतः भरा हो (चित्र 2.18) तब अधिकतम विनिमय सम्भव होते हैं। परिणामस्वरूप विनिमय ऊर्जा अधिकतम होती है और इसी प्रकार स्थिरता भी अधिकतम होती है।

ध्यान दें कि विनिमय ऊर्जा हुण्ड नियम का आधार है, जिसके अनुसार समान ऊर्जा की उपकक्षाओं में प्रवेश करने वाले इलेक्ट्रॉन, यथासम्भव समानांतर स्पिन रखते हैं। दूसरे शब्दों में, आधे भरे और पूर्णतः भरे उपकोशों की अतिरिक्त स्थिरता निम्नलिखित कारणों से होती है: (i) अपेक्षाकृत कम ढाल, (ii) कम कूलॉम प्रतिकर्षण ऊर्जा, और (iii) अधिक विनिमय ऊर्जा। विनिमय ऊर्जा के विस्तृत विवरण उच्च कक्षाओं में किए जाएँगे।

चित्र 2.18 d^{5} विन्यास के लिए संभावित विनिमय

तालिका 2.6 तत्वों की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास

• परमाणु संख्या 112 और उससे ऊपर वाले तत्वों की सूचना मिली है, परंतु उन्हें अभी पूरी तरह प्रमाणित और नामित नहीं किया गया है।

सारांश

परमाणु तत्वों की बुनियादी इकाइयाँ होते हैं। वे किसी तत्व के सबसे छोटे भाग होते हैं जो रासायनिक रूप से अभिक्रिया करते हैं। प्रथम परमाणु सिद्धांत, जिसे जॉन डाल्टन ने 1808 में प्रस्तुत किया, परमाणु को पदार्थ का अंतिम अविभाज्य कण मानता था। उन्नीसवीं सदी के अंत तक प्रयोगात्मक रूप से यह सिद्ध हो गया कि परमाणु विभाज्य होते हैं और तीन मूलभूत कणों—इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन—से बने होते हैं। उप-परमाणु कणों की खोज ने परमाणु की संरचना को समझाने के लिए विभिन्न परमाणु मॉडलों के प्रस्ताव को जन्म दिया।

1898 में थॉमसन ने प्रस्तावित किया कि एक परमाणु धनात्मक वैद्युत का एक समान गोला होता है जिसमें इलेक्ट्रॉन अंतर्निहित होते हैं। इस मॉडल, जिसमें परमाणु का द्रव्यमान पूरे परमाणु में समान रूप से फैला माना जाता है, को 1909 में रदरफोर्ड के प्रसिद्ध अल्फा-कण प्रकीर्णन प्रयोग द्वारा गलत सिद्ध कर दिया गया। रदरफोर्ड ने निष्कर्ष निकाला कि परमाणु एक छोटे से धनात्मक आवेशित नाभिक से बना होता है, जो इसके केंद्र में होता है और इलेक्ट्रॉन इसके चारों ओर वृत्तीय कक्षाओं में घूमते हैं। रदरफोर्ड मॉडल, जो सौर मंडल के समान है, थॉमसन मॉडल की तुलना में निश्चित रूप से एक सुधार था, लेकिन यह परमाणु की स्थिरता की व्याख्या नहीं कर सका, अर्थात् यह बताने में असमर्थ था कि इलेक्ट्रॉन नाभिक में क्यों नहीं गिरता। इसके अतिरिक्त, यह परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक संरचना के बारे में भी चुप था, अर्थात् नाभिक के चारों ओर इलेक्ट्रॉनों के वितरण और सापेक्ष ऊर्जाओं के बारे में। रदरफोर्ड मॉडल की कठिनाइयों को 1913 में नील्स बोर ने हाइड्रोजन परमाणु के अपने मॉडल में दूर किया। बोर ने माना कि इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर वृत्तीय कक्षाओं में घूमता है। केवल कुछ निश्चित कक्षाएं ही मौजूद हो सकती हैं और प्रत्येक कक्षा एक विशिष्ट ऊर्जा से संबंधित होती है। बोर ने विभिन्न कक्षाओं में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा की गणना की और प्रत्येक कक्षा के लिए इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच की दूरी की भविष्यवाणी की। बोर मॉडल, यद्यपि हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रा की व्याख्या करने के लिए एक संतोषजनक मॉडल प्रदान करता है, बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के स्पेक्ट्रा की व्याख्या नहीं कर सका। इसका कारण शीघ्र ही खोज लिया गया। बोर मॉडल में, एक इलेक्ट्रॉन को एक आवेशित कण माना जाता है जो नाभिक के चारों ओर एक स्पष्ट रूप से परिभाषित वृत्तीय कक्षा में घूमता है। इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति को बोर के सिद्धांत में नजरअंदाज कर दिया गया है। एक कक्षा एक स्पष्ट रूप से परिभाषित पथ है और यह पथ तभी पूरी तरह से परिभाषित किया जा सकता है यदि इलेक्ट्रॉन की सटीक स्थिति और सटीक वेग दोनों एक ही समय पर जाने जाते हों। यह हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार संभव नहीं है। इस प्रकार, हाइड्रोजन परमाणु का बोर मॉडल न केवल इलेक्ट्रॉन के द्वैत व्यवहार को नजरअंदाज करता है, बल्कि हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का भी विरोध करता है।

एर्विन श्रोडिंगर ने 1926 में एक समीकरण प्रस्तावित किया जिसे श्रोडिंगर समीकरण कहा जाता है, जिसका उद्देश्य परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों के स्थानिक वितरण और अनुमत ऊर्जा स्तरों का वर्णन करना है। यह समीकरण डी ब्रॉग्ली की तरंग-कण द्वैत की अवधारणा को समाहित करता है और हाइज़ेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुरूप है। जब हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए श्रोडिंगर समीकरण को हल किया जाता है, तो हल इलेक्ट्रॉन के संभावित ऊर्जा अवस्थाओं को देता है [और संगत तरंग फलन(s) ( $\psi$ ) (जो वास्तव में गणितीय फलन हैं) जो प्रत्येक ऊर्जा अवस्था से संबद्ध इलेक्ट्रॉन के होते हैं]। ये क्वांटीकृत ऊर्जा अवस्थाएँ और संगत तरंग फलन, जो तीन क्वांटम संख्याओं के एक समूह द्वारा विशेषता प्राप्त करते हैं (प्रधान क्वांटम संख्या $n$, अभिमुख क्वांटम संख्या $l$ और चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_{l}$), श्रोडिंगर समीकरण के हल में एक स्वाभाविक परिणाम के रूप में उत्पन्न होते हैं। इन तीनों क्वांटम संख्याओं के मानों पर प्रतिबंध भी इस हल से स्वाभाविक रूप से प्राप्त होते हैं। हाइड्रोजन परमाणु का क्वांटम यांत्रिक मॉडल हाइड्रोजन परमाणु स्पेक्ट्रम के सभी पहलुओं की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी करता है, जिनमें कुछ ऐसी घटनाएँ भी शामिल हैं जिन्हें बोर मॉडल द्वारा समझाया नहीं जा सका।

परमाणु के क्वांटम यांत्रिक मॉडल के अनुसार, एक परमाणु जिसमें कई इलेक्ट्रॉन होते हैं, उसके इलेक्ट्रॉन वितरण को कोशों (shells) में बाँटा जाता है। कोशों को, आगे चलकर, एक या अधिक उपकोशों (subshells) से बना माना जाता है और उपकोशों को एक या अधिक आर्बिटलों (orbitals) से बना माना जाता है, जिनमें इलेक्ट्रॉन रहते हैं। जबकि हाइड्रोजन और हाइड्रोजन-जैसी प्रणालियों (जैसे $\mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{2+}$ आदि) के लिए एक दिए गए कोश के भीतर सभी आर्बिटलों की ऊर्जा समान होती है, बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में आर्बिटलों की ऊर्जा $n$ और $l$ के मानों पर निर्भर करती है: किसी आर्बिटल के लिए $(n+l)$ का मान जितना कम होता है, उसकी ऊर्जा उतनी ही कम होती है। यदि दो आर्बिटलों का $(n+l)$ मान समान हो, तो जिस आर्बिटल का $n$ का मान कम होता है, उसकी ऊर्जा कम होती है। एक परमाणु में ऐसे कई आर्बिटल संभव होते हैं और इलेक्ट्रॉन उन आर्बिटलों में बढ़ती हुई ऊर्जा के क्रम से भरे जाते हैं, पाउली अपवर्जन सिद्धांत (किसी परमाणु में दो इलेक्ट्रॉन चारों क्वांटम संख्याओं का समान समुच्चय नहीं रख सकते) और हुंड का नियम अधिकतम बहुपहलूता (एक ही उपकोश से संबंधित आर्बिटलों में इलेक्ट्रॉनों की युग्मन तब तक नहीं होता जब तक कि उस उपकोश से संबंधित प्रत्येक आर्बिटल में एक-एक इलेक्ट्रॉन नहीं आ जाता, अर्थात् प्रत्येक एकल रूप से अधिकृत हो जाता है) के अनुरूप। यह परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक संरचना का आधार बनाता है।