क्षेत्रमिति के याद रखने योग्य उपयोगी सूत्र :

• घनाभ का आयतन $=\ell \mathrm{bh}$।

• घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2(\ell b+b h+h \ell)$।

• घन का आयतन $=\mathbf{a}^{3}$

• घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=6 a^{2}$

• शंकु का आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$।

• शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi \mathrm{r} \ell(\ell=$ तिर्यक ऊँचाई $)$

• बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi \mathrm{rh}$।

• बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r h+2 \pi r^{2}$।

• गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$।

• गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=4 \pi r^{2}$।

• वृत्तीय त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} r^{2} \theta$, जब $\theta$ रेडियन में हो।

• प्रिज्म का आयतन $=$ (आधार का क्षेत्रफल) $\times$ (ऊँचाई)।

• प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ (आधार की परिधि) $\times$ (ऊँचाई)।

• प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ (पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $)+2$ (आधार का क्षेत्रफल)

$\quad \quad \quad $ (ध्यान दें कि प्रिज्म के पार्श्व पृष्ठ सभी आयत होते हैं)।

• पिरामिड का आयतन $=\frac{1}{3}$ (आधार का क्षेत्रफल) $\times$ ऊँचाई ।

• पिरामिड का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}$ (आधार की परिधि $) \times($ तिर्यक ऊँचाई) + पिरामिड आधार का क्षेत्रफल । (ध्यान दें कि पिरामिड के तिर्यक पृष्ठ त्रिभुज होते हैं)।

किसी वक्र पर कुछ सामान्य प्राचलिक निर्देशांक जो अवकलन के लिए उपयोगी हैं :

• $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ के लिए, प्राचलिक निर्देशांक लीजिए $x = a \cos^3 \theta \text{और} y = a sin^3θ$

• $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ के लिए $x = a \cos^4 \theta \text{और} y = a \sin^4θ$ लीजिए

$\frac{x^n}{a^n} + \frac{y^n}{b^n} =1, \text{जहाँ} \quad x = a (\sinθ)^{2/n} \text{ और} \quad y = b (\cosθ)^{2/n}$

• $c^2 (x^2 + y^2) = x^2y^2$ के लिए, x = c sec θ और y = c cosec θ लीजिए

व्युत्पन्नों की व्याख्या :

$\quad \frac{dy}{dx}$ स्पर्शरेखा की प्रवणता को दर्शाता है।

अभिलंब की प्रवणता = - $\frac{dx}{dy}$

फलन का वर्धमान और ह्रासमान:

$\quad$ • यदि f’(x)>0 हो जब x ∈ (a,b) तो फलन अंतराल (a,b) में वर्धमान है।

$\quad$ • यदि f’(x)<0 हो जब x ∈ (a,b) तो फलन अंतराल (a,b) में ह्रासमान है।

स्पर्शरेखा का समीकरण :

• वक्र y = f(x) पर बिंदु $A(x_1, y_1)$ से जाने वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_1 = (\frac{dy}{dx})_{(x_1, y_1)} (x-x_1)$

• यदि स्पर्शरेखा x-अक्ष के समानांतर हो, तो प्रवणता शून्य होगी।

• यदि स्पर्शरेखा y-अक्ष के समानांतर हो, तो प्रवणता $\infty$ होगी।

अभिलंब का समीकरण:

$\quad$ वक्र $y=f(x)$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ से जाने वाले अभिलंब का समीकरण निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$ (y-y_1)=m(x-x_1) \ \text{जहाँ} \ m=-\left(\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\right) _{(x_1,y_1)} $

• अभिलंब के बारे में कुछ तथ्य :

• वक्र $y=f(x)$ पर बिंदु $P\left(x_1, y_1\right)$ से खींचे गए अभिलंब की प्रवणता $=-\left(\frac{d x}{d y}\right)_{\left(x_1, y_1\right)}$

• यदि नॉर्मल धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है, तो $-\frac{d x}{d y}=\tan \theta$ या $\frac{d y}{d x}=-\cot \theta$

• यदि नॉर्मल $x$-अक्ष के समानांतर है, तो $\frac{d x}{d y}=0$ या $\frac{d y}{d x}=\infty$

• यदि नॉर्मल $y$-अक्ष के समानांतर है, तो $\left(\frac{d x}{d y}\right)=\infty$ या $\frac{d y}{d x}=0$

• यदि नॉर्मल दोनों अक्षों से समान रूप से झुकी है या समान अंतःखंड काटती है, तो $-\left(\frac{d x}{d y}\right)= \pm 1$ या $\left(\frac{d y}{d x}\right)= \pm 1$

• मूल बिंदु से नॉर्मल पर डाले गए लंब की लंबाई $P^{\prime}=\left|\frac{x_1+y_1\left(\frac{d y}{d x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2}}\right|$ है

बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखा:

$\quad$ यदि एक बिंदु $P(a, b)$ दी गई है जो वक्र $y=f(x)$ पर स्थित नहीं है, तो वक्र $y=f(x)$ से गुजरने वाली संभावित स्पर्श रेखाओं का समीकरण

$\quad$ $(a, b)$ से होकर जाने वाला, संपर्क बिंदु $Q$ को हल करके प्राप्त किया जा सकता है।

$f^{\prime}(h)=\frac{f(h)-b}{h-a}$

$\quad$ और स्पर्श रेखा का समीकरण $y-b=\frac{f(h)-b}{h-a}(x-a)$ है

स्पर्श रेखा, नॉर्मल, सबटैंजेंट, सबनॉर्मल की लंबाई:

एक दिए गए बिंदु $(x_1,y_1)$ पर

• स्पर्श रेखा की लंबाई: $ L_{\text{tangent}} = y_1 \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} $

• नॉर्मल की लंबाई: $ L_{\text{normal}} = \frac{y_1 \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}}{\left| \frac{dy}{dx} \right|} $

• सबटैंजेंट की लंबाई: $ L_{\text{subtangent}} = \frac{y_1}{\frac{dy}{dx}} $

• सबनॉर्मल की लंबाई: $ L_{\text{subnormal}} = y_1 \cdot \frac{dy}{dx} $

वक्रों के बीच का कोण:

$\quad$ दो प्रतिच्छेदी वक्रों के बीच का कोण उनके स्पर्शरेखाओं (या नॉर्मलों) के बीच का न्यून कोण होता है, जहाँ दोनों वक्र प्रतिच्छेद करते हैं।

$ \tan \theta=\left|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}\right| $

दो वक्रों के बीच न्यूनतम दूरी:

$\quad$ दो अप्रतिच्छेदी अवकलनीय वक्रों के बीच न्यूनतम दूरी सदैव उनकी उभयनिष्ठ नॉर्मल के अनुदिश होती है। (जहाँ परिभाषित हो)

रोले का प्रमेय:

$\quad$ यदि कोई फलन $f$ जो $[a, b]$ पर परिभाषित है:

$\quad$ (i) $[a, b]$ पर संतत है

$\quad$ (ii) $(a, b)$ पर अवकलनीय है और

$\quad$ (iii) $f(a)=f(b)$ है,

$\quad$ तो $a$ और $b$ के बीच कम-से-कम एक ऐसी वास्तविक संख्या $c$ अस्तित्व में होती है कि $a<c<b$ और $f^{\prime}(c)=0$

लाग्रांज का माध्य मान प्रमेय (LMVT):

$\quad$ यदि कोई फलन $f$ जो $[a, b]$ पर परिभाषित है

$\quad$ (i) $[a, b]$ पर संतत है और

$\quad$ (ii) $(a, b)$ पर अवकलनीय है

$\quad$ तो $a$ और $b$ के बीच कम-से-कम एक ऐसी वास्तविक संख्या $c$ अस्तित्व में होती है कि $a<c<b$ और $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)$

अवकलन का उपयोग कर सन्निकटन:

जब स्वतंत्र चर x में वृद्धि ∆x दी जाती है, तब y का सन्निकट मान
$y = f(x)$ में:- $y + ∆y = f(x + ∆x) = f(x) + \frac{dy}{dx} ∆x\Rightarrow f(x + ∆x) = f(x) + f’(x) ∆x$

एक चर वाले फलनों के उच्चतम और न्यूनतम मान :

मान लीजिए $\mathrm{c}$ फलन $\mathrm{f}$ के प्रांत $\mathrm{D}$ का एक बिंदु है। तब $\mathrm{f}(\mathrm{c})$ है

• $\mathrm{D}$ पर $\mathrm{f}$ का निरपेक्ष उच्चतम मान यदि $f(c) \geq f(x)$ $\forall x \in \mathrm{D}$।
• $\mathrm{D}$ पर $\mathrm{f}$ का निरपेक्ष न्यूनतम मान यदि $f(c) \leq f(x)$ $\forall x \in \mathrm{D}$।

परिभाषा:

मान लीजिए $\mathrm{c}$ फलन $f$ के प्रांत $D$ का एक बिंदु है। तब $f(c)$ है $\Rightarrow$ $\mathrm{f}$ का स्थानीय उच्चतम मान यदि $f(c) \geq f(x)$ जब $\mathrm{x}$ लगभग $\mathrm{c}$ के पास हो। $\Rightarrow$ $\mathrm{f}$ का स्थानीय न्यूनतम मान यदि $f(c) \leq f(x)$ जब $\mathrm{x}$ लगभग $\mathrm{c}$ के पास हो।

क्रांतिक बिंदु:

फलन $f$ का एक क्रांतिक बिंदु वह बिंदु $c$ है जो $f$ के प्रांत में इस प्रकार स्थित है कि या तो $f^{\prime}(c)=0$ या $f^{\prime}$ (c) का अस्तित्व नहीं है।
यदि $f$ का स्थानीय उच्चतम मान या न्यूनतम मान $c$ पर हो, तो $c$, $f$ का एक क्रांतिक बिंदु है।

प्रथम अवकलज परीक्षण:

परिभाषा:

मान लीजिए $\mathrm{c}$ एक सतत फलन $\boldsymbol{f}$ की एक क्रांतिक संख्या है।

(क) यदि $f$ ’ बिंदु $\mathrm{c}$ पर धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है, तो $f$ का $\mathrm{c}$ पर स्थानीय उच्चतम (local maximum) होता है।
(ख) यदि $f$ ’ बिंदु $\mathrm{c}$ पर ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है, तो $f$ का $\mathrm{c}$ पर स्थानीय न्यूनतम (local minimum) होता है।
(ग) यदि $f^{\prime}$ बिंदु $\mathrm{c}$ पर चिह्न नहीं बदलता है (उदाहरण के लिए यदि $f^{\prime}$ बिंदु $\mathrm{c}$ के दोनों ओर धनात्मक है या दोनों ओर ऋणात्मक है), तो $f$ का $\mathrm{c}$ पर न कोई स्थानीय उच्चतम और न ही कोई स्थानीय न्यूनतम होता है।

द्वितीय अवकलज परीक्षण:

परिभाषा:

मान लीजिए $f^{\prime \prime}$ बिंदु $\mathrm{c}$ के निकट सतत है,

(क) यदि $f^{\prime}(c)=0$ और $f^{\prime \prime}(c)>0$, तो $f$ का $c$ पर स्थानीय न्यूनतम होता है।
(ख) यदि $f^{\prime}(c)=0$ और $f^{\prime \prime}(c)<0$, तो $\mathrm{f}$ का $\mathrm{c}$ पर स्थानीय उच्चतम होता है।