SATHEE CUET: Binomial Theorem

$(a+b)^{n}={ }^{n} C_{0} a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_{1} a^{n-1} b^{1}+{ }^{n} C_{2} a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C_{r} a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_{n} a^{0} b^{n}=\sum_{r=0}^{n}{ }^{n} C_{r} a^{n-r} b^{r}$

द्विपद प्रमेय के गुणधर्म:

सामान्य पद : $T_{r+1}={ }^{n} C_{r} a^{n-r} b^{r}$
मध्य पद (पदों) :
- यदि $n$ सम है, तो केवल एक मध्य पद होता है, जो $\left(\frac{n+2}{2}\right)^{वाँ}$ पद है।
- यदि $\mathrm{n}$ विषम है, तो दो मध्य पद होते हैं, जो $\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)^{वाँ}$ और $\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}+1\right)^{वाँ}$ पद हैं।

बहुपद प्रमेय :

$\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots \ldots \ldots . x_{k}\right)^{n}=\sum_{r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{k}=n} \frac{n !}{r_{1} ! r_{2} ! \ldots r_{k} !} x_{1}^{r_{1}} \cdot x_{2}^{r_{2}} \ldots x_{k}^{r_{k}}$

यहाँ, विस्तार में कुल पदों की संख्या $={ }^{n+k-1} C_{k-1}$

द्विपद प्रमेय का अनुप्रयोग :

यदि $(\sqrt{A}+B)^{n}=I+f$ जहाँ $I$ और $n$ धनात्मक पूर्णांक हैं और $0 \leq f \leq 1$ तो
- $(I+f) f=k^{n}$ यदि $n$ विषम है और $A-B^{2}=k>0$
- $(I+f)(1-f)=k^{n}$ यदि $n$ सम है और $\sqrt{A}-B<1$

द्विपद गुणांकों के गुणधर्म :

${ }^{n} C_{0}+{ }^{n} C_{1}+{ }^{n} C_{2}+\ldots \ldots . .+{ }^{n} C_{n}=2^{n}$
${ }^{n} C_{0}-{ }^{n} C_{1}+{ }^{n} C_{2}-{ }^{n} C_{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots .+(-1)^{n}{ }^{n} C_{n}=0$
${ }^{n} C_{0}+{ }^{n} C_{2}+{ }^{n} C_{4}+\ldots .={ }^{n} C_{1}+{ }^{n} C_{3}+{ }^{n} C_{5}+\ldots .=2^{n-1}$
${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_{r} $
$\frac{{ }^{n} C_{r}}{{ }^{n} C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}$

धनात्मक पूर्णांक के लिए द्विपद प्रमेय:

$\quad$ यदि $n$ कोई धनात्मक पूर्णांक है, तो,

$ \begin{aligned} & (x+a)^{n}={ }^{n} C_{0} x^{n}+{ }^{n} C_{1} x^{n-1} a+{ }^{n} C_{2} x^{n-2} a^{2}+\ldots+{ }^{n} C_{n} a^{n} . \ & (x+a)^{n}=\sum_{r=0}^{n}{ }^{n} C_{r} x^{n-r} a^{r} \qquad \qquad\text{(~इसे द्विपद प्रमेय कहा जाता है)}\end{aligned} $

$\quad$ यहाँ, $^nC_0, ^nC_1, ^nC_2, \ldots, ^nC_n$ को द्विपद गुणांक कहा जाता है और $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ जहाँ $0 \leq r \leq n$.

धनात्मक पूर्णांक के लिए द्विपद प्रमेय के गुण:

$(x+a)^{n}$ के प्रसार में पदों की कुल संख्या $(n+1)$ होती है।
प्रत्येक पद में $x$ और $a$ के घातों का योग $n$ होता है।
उपरोक्त प्रसार तब भी सत्य होता है जब $\mathrm{x}$ और a सम्मिश्र संख्याएँ हों।
प्रारंभ और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों के गुणांक बराबर होते हैं।

$\quad \quad$ इन गुणांकों को द्विपद गुणांक कहा जाता है और ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{n-r}, r=0,1,2, \ldots, n$.

द्विपद गुणांकों के मान स्थिर रूप से बढ़कर अधिकतम होते हैं और फिर स्थिर रूप से घटते हैं।

$ \begin{aligned} & \begin{array}{l} (x-a)^{n}={ }^{n} C_{0} x^{n}-{ }^{n} C_{1} x^{n-1} a+{ }^{n} C_{2} x^{n-2} a^{2}-{ }^{n} C_{3} x^{n-3} a^{3}+\ldots +(-1)^{n}{ }^{n} C_{n} a^{n} \end{array} \\ & \text { अर्थात्, }(x-a)^{n}=\sum_{r=0}^{n}(-1)^{r}{ }^{n} C_{r} \cdot x^{n-r} \cdot a^{r} \\ & \qquad(1+x)^{n}={ }^{n} C_{0}+{ }^{n} C_{1} x+{ }^{n} C_{2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_{n} x^{n} \\ & \text { अर्थात्, } \quad(1+x)^{n}=\sum_{r=0}^{n}{ }^{n} C_{r} \cdot x^{r} \end{aligned} $

$(1+x)^{n}$ के प्रसार में $x^{r}$ का गुणांक ${ }^{n} C_{r}$ है।
$(x+a)^{n}+(x-a)^{n}=2\left({ }^{n} C_{0} x^{n} a^{0}+{ }^{n} C_{2} x^{n-2} a^{2}+\ldots\right)$ तथा $(x+a)^{n}-(x-a)^{n}=2\left({ }^{n} C_{1} x^{n-1} a+{ }^{n} C_{3} x^{n-3} a^{3}+\ldots\right)$
- यदि $\mathrm{n}$ विषम है, तो $(\mathrm{x}+\mathrm{a})^{\mathrm{n}}+(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{\mathrm{n}}$ और $(\mathrm{x}+\mathrm{a})^{\mathrm{n}}-(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{\mathrm{n}}$ दोनों में पदों की संख्या समान होती है, जो $((n+1) / 2)$ है।
- यदि $n$ सम है, तो $(x+a)^{n}+(x-a)^{n}$ में $(n+1 / 2)$ पद होते हैं और $(x+a)^{n}-(x-a)^{n}$ में $(n / 2)$ पद होते हैं।
$(x+a)^{n}$ के द्विपद प्रसार में, अंत से $r^{वाँ}$ पद $(n-r+2)^{वाँ}$ पद है।

$ \begin{array}{r} \begin{array}{r} (1-x)^{n}={ }^{n} C_{0}-{ }^{n} C_{1} x+{ }^{n} C_{2} x^{2}-{ }^{n} C_{3} x^{3}+\ldots+(-1)^{r} C_{r} x^{r} \ +\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_{n} x^{n} \end{array} \ \text { अर्थात्, } \quad(1-x)^{n}=\sum_{r=0}^{n}(-1)^{r}{ }^{n} C_{r} \cdot x^{r} \end{array} $

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है, तो $(x+y+z)^{n}$ में पदों की संख्या $(n+1)(n+2) / 2$ है।

$(1+x)^{n}$ के प्रसार में मध्य पद:

यदि $n$ सम है, तो $(x+a)^{n}$ के प्रसार में मध्य पद $(\frac{n}{2} +1)^{\text {वाँ }}$ पद है।
यदि $n$ विषम है, तो $(x+a)^{n}$ के प्रसार में मध्य पद $\frac{(n+1)}{2}$ वाँ पद और $\frac{(n+3)}{2}$ वाँ पद हैं।

महत्तम गुणांक:

यदि $n$ सम है, तो $(x+a)^{n}$ में महत्तम गुणांक ${ }^{n} C_{\frac{n}{2}}.$ है।
यदि n विषम है, तो $(x+a)^{n}$ में महत्तम गुणांक ${ }^{n} C_{\frac{n-1}{2}}$ या ${ }^{n} C_{\frac{n+1}{2}}$ दोनों समान हैं।

10. $(x+a)^{n}$ के प्रसार में महत्तम पद:

यदि $\frac{n+1}{1+\frac{x}{a}}$ एक पूर्णांक है $=p$ (मान लीजिए), तो महत्तम पद $T_{p}=T_{p+1}$ है।
यदि $\frac{n+1}{1+\frac{x}{a}}$ पूर्णांक नहीं है और $\frac{n+1}{1+\frac{x}{a}}$ का पूर्णांक भाग $m$ है, तो $T_{m+1}$ महत्तम पद है।

द्विपद गुणांकों पर महत्वपूर्ण परिणाम :

${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_{r}$
$\frac{{ }^{n} C_{r}}{{ }^{n-1} C_{r-1}}=\frac{n}{r}$
$\frac{{ }^{n} C_{r}}{{ }^{n} C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}$
$C_{0}+C_{1}+C_{2}+\ldots+C_{n}=2^{n}$
$C_{0}+C_{2}+C_{4}+\ldots=C_{1}+C_{3}+C_{3}+\ldots=2^{n-1}$
$C_{0}-C_{1}+C_{2}-C_{3}+\ldots+(-1)^{n} C_{n}=0$
$C_{0} C_{r}+C_{1} C_{r+1}+\ldots+C_{n-r} C_{n}={ }^{2 n} C_{n+r}=\frac{(2 n) !}{(n-r) !(n+r) !}$
$C_{0}^{2}+C_{1}^{2}+C_{2}^{2}+\ldots+C_{n}^{2}={ }^{2 n} C_{n}=\frac{(2 n) !}{(n !)^{2}}$
$C_{0}-C_{2}+C_{4}-C_{6}+\ldots=(\sqrt{2})^{n} \cos \frac{n \pi}{4} $
$C_{1}-C_{3}+C_{5}-C_{7}+\ldots=(\sqrt{2})^{n} \sin \frac{n \pi}{4} $
$C_{0}-C_{1}+C_{2}-C_{3}+ \ldots +(-1)^{r} C_{r}=(-1)^{r} n-1 C_{r}, r<n $
$C_0^2 - C_1^2 + C_2^2 - C_3^2 + \ldots = \begin{cases} 0, & \text{if } n \text{ is odd.} \ (-1)^{n/2} \cdot ^nC_{n/2}, & \text{if } n \text{ is even.} \end{cases}$
$C_{0}+\frac{C_{1}}{2}+\frac{C_{2}}{3}+\ldots+\frac{C_{n}}{n+1}=\frac{2^{n+1}-1}{(n+1)} $
$C_{0}-\frac{C_{1}}{2}+\frac{C_{2}}{3}-\frac{C_{3}}{4}+\ldots+(-1)^{n} \frac{C_{n}}{n+1}=\frac{1}{n+1} $
$C_{0}+\frac{C_{1}}{2}+\frac{C_{2}}{2^{2}}+\frac{C_{3}}{2^{3}}+\ldots+\frac{C_{n}}{2^{n}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{n} $
$\sum_{r=0}^{n}(-1)^{r} C_{r}{\frac{1}{2^{r}}+\frac{3^{r}}{2^{2 r}}+\frac{7^{r}}{2^{3 r}}+\frac{15^{r}}{2^{4 r}}+\ldots \text{ upto } m \text{ terms }}=\frac{2^{mn}-1}{2^{mn}(2^n-1)} $

विभाज्यता समस्याएँ:

$\quad$ विस्तार से, $(1+x)^{n}=1+{ }^{n} C_{1} x+{ }^{n} C_{1} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_{n} x^{n}$

$\quad$ हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि,

$(1+x)^n-1 = ^nC_1 x + ^nC_2 x^2 + \ldots + ^nC_n x^n$, $x$ से विभाज्य है, अर्थात् यह $x$ का गुणज है।

$(1+\mathrm{x})^{\mathrm{n}}-1=\mathrm{M}(\mathrm{x})$

$ (1+x)^{n}-1-n x={ }^{n} C_{2} x^{2}+{ }^{n} C_{3} x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_{n} x^{n}=M\left(x^{2}\right) $

$ \begin{aligned} (1+x)^{n}-1-n x-\frac{n(n-1)}{2} x^{2} & ={ }^{n} C_{3} x^{3}+{ }^{n} C_{4} x^{4}+\ldots+{ }^{n} C_{n} x^{n} \ & =M\left(x^{3}\right) \end{aligned} $

बहुपद प्रमेय:

$\quad$ किसी $\mathrm{n} \in \mathrm{N}$ के लिए,

$ \left(x_{1}+x_{2}\right)^{n}=\sum_{r_{1}+r_{2}=n} \frac{n !}{r_{1} ! r_{2} !} x_{1}^{r_{1}} x_{2}^{r_{2}} $

$ \left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)^{n}=\sum_{r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{k}=n} \frac{n !}{r_{1} ! r_{2} ! \ldots r_{k} !} x_{1}^{r_{1}} x_{2}^{r_{2}} \ldots x_{k}^{r_{k}} $

उपरोक्त प्रसार में सामान्य पद है :

$ \frac{n !}{r_{1} ! r_{2} ! \ldots r_{k} !} x_{1}^{r_{1}} x_{2}^{r_{2}} \ldots x_{k}^{r_{k}} $

किसी सूचकांक के लिए द्विपद प्रमेय:

$\quad$ यदि $n$ कोई परिमेय संख्या है, तो किसी सूचकांक के लिए द्विपद प्रमेय इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$ (1+x)^{n} = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^{3} + \ldots, \text{ जहाँ } |x|<1 $

यदि उपरोक्त प्रसार में, $n$ कोई धनात्मक पूर्णांक है, तो दायें पक्ष की श्रेणी सीमित होती है अन्यथा अनंत।
$(1+x)^{n}$ के प्रसार में सामान्य पद है :

$ T_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2) \ldots[n-(r-1)]}{r!} x{ }^{r} $

$(x+a)^{n}$ का विस्तार किसी भी परिमेय सूचक के लिए:

स्थिति I. जब $x > a$, अर्थात् यदि $\frac{a}{x} < 1$, तब:

$(x + a)^n = x\left(1 + \frac{a}{x}\right)^n = x^n\left(1 + \frac{a}{x}\right)^n $

$x^n \left (1 + \frac{a}{x}\right)^n = x^n[1 + n \cdot \frac{a}{x} + \frac{n(n-1)}{2!} (\frac{a}{x})^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}(\frac{a}{x})^3 + \ldots ]$

स्थिति II. जब $x < a$, अर्थात् $\frac{x}{a} < 1$:

$(x + a)^n = a\left(1 + \frac{x}{a}\right)^n = a^n\left(1 + \frac{x}{a}\right)^n$

$ a^n(1 + \frac{x}{a})^n= a^n[1 + n \cdot \frac{x}{a} + \frac{n(n-1)}{2!}(\frac{x}{a})^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}(\frac{x}{a})^3 + \ldots] $

$(1-x)^{-n}=1+n x+\frac{n(n+1)}{1 \cdot 2} x^{2}+\frac{n(n+1)(n+2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^{3}+\ldots=1+{ }^{n} C_{1} x+{ }^{(n+1)} C_{2} x^{2}+{ }^{(n+2)} C_{3} x^{3}+\ldots$

$(1+x)^{-n}=1-n x+\frac{n(n+1)}{2 !} x^{2}-\frac{n(n+1)(n+2)}{3 !} x^{3}+\ldots+(-1)^{r} \frac{n(n+1)(n+2) \ldots(n+r-1)}{r !} x^{r}+\ldots $

$(1-x)^{n}=1-n x+\frac{n(n-1)}{2 !} x^{2}-\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} x^{3}+\ldots+(-1)^{r} \frac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)}{r !} x^{r}+. . $
$(1+x)^{-1}=1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots \infty$
$(1-x)^{-1}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots \infty$
$(1+x)^{-2}=1-2 x+3 x^{2}-4 x^{3}+\ldots \infty$
$(1-x)^{-2}=1+2 x+3 x^{2}-4 x^{3}+\ldots \infty$
$(1+x)^{-3}=1-3 x+6 x^{2}-\ldots \infty$
$(1-x)^{-3}=1+3 x+6 x^{2}-\ldots \infty$
$(1+\mathrm{x})^{\mathrm{n}}=1+\mathrm{nx}$, यदि $\mathrm{x}^{2}, \mathrm{x}^{3}, \ldots$ सभी $\mathrm{x}$ की तुलना में बहुत छोटे हैं।

महत्वपूर्ण परिणाम:

$(a x^{p}+\frac{b}{x^{q}})^{n}$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद $T_{r+1}$ का गुणांक है जहाँ $r = \frac{np}{p + q}$
यदि $(1+x)^{n}$ के $r$वें, $(r+1)$वें और $(r+2)$वें पदों के गुणांक समांतर श्रेणी में हैं, तो $n^{2}-(4 r+1) n$ $+4 r^{2}=2$
$(x+a)^{n}$ के प्रसार में

$\frac{T_{r+1}}{T_{r}} = \frac{n - r + 1}{r} \cdot \frac{a}{x}$

$\quad$ $\quad$ • $(x-1)(x-2) \ldots(x-n)$ के प्रसार में $x^{n-1}$ का गुणांक $-\frac{n(n+1)}{2}$ है

$\quad$ $\quad$ • $(x+1)(x+2) \ldots(x+n)$ के प्रसार में $x^{n-1}$ का गुणांक $\frac{n(n+1)}{2}$ है

यदि $(1+x)^{n}$ के प्रसार में $p$वें और $q$वें पदों के गुणांक बराबर हैं, तो $p+q=n$ $+2$
यदि $\left(a + \frac{x}{b}\right)^{n}$ के प्रसार में $x^{r}$ और $x^{r+1}$ के गुणांक बराबर हैं, तो, $\mathrm{n}=(\mathrm{r}+1)(\mathrm{ab}+1)-1$
यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m} \in C$, तो $\left(a_{1}+a_{2} x+a_{3} x^{2}+\ldots+a_{m} x^{m-1}\right)^{n}$ के प्रसार में $x^{r}$ का गुणांक

$ \sum \frac{n !}{n_{1} ! n_{2} ! \ldots n_{m} !} a_{1}^{n_{1}} x a_{2}^{n_{2}} \ldots a_{m}^{n_{m}} $

$|x|<1$ के लिए,

$\quad$ $\quad$ • $1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots+\infty=1 / 1-x$

$\quad$ $\quad$ • $1+2 x+3 x^{2}+\ldots+\infty=1 /(1-x)^{2}$

$(a+b+c+d)^{n}$ के विस्तार में पदों की कुल संख्या $\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}$ है।

द्विपद प्रमेय

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द्विपद प्रमेय का कथन :