वृत्त

वृत्त को उस बिंदु का बिंदुपथ कहा जाता है जो एक समतल में इस प्रकार गति करता है कि उसकी उस समतल में स्थित एक स्थिर बिंदु से दूरी नियत रहती है।

वृत्त के मानक रूप

(i) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2}$

• यदि केंद्र $(0,0)$ है, तो वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ है

(ii) जब वृत्त मूल बिंदु से होकर जाता है, तो वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-2 h x-2 {ky}=0$ होता है

(iii) जब वृत्त $\mathrm{X}$-अक्ष को स्पर्श करता है, तो समीकरण $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{hx}-2 \mathrm{ay}+\mathrm{h}^{2}=\mathrm{O}$ होता है

(iv) $Y$-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-2 a x-2 k y+k^{2}=0$ है

(v) दोनों अक्षों को स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-2 a x-2 a y+a^{2}=0$ है

(vi) मूल बिंदु से होकर जाने वाले और केंद्र $\mathrm{X}$-अक्ष पर स्थित वृत्त का समीकरण

$\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{ax}=0$ है

(vii) मूल बिंदु से होकर जाने वाले और केंद्र Y-अक्ष पर स्थित वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}- 2ay =0$ है

(viii) मूल बिंदु से होकर जाने वाले और निर्देशांक अक्षों पर क्रमशः $a$ और $b$ अंतःखंड काटने वाले वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-ax- by =0$ है

(ix) वृत्त का समीकरण, जब व्यास के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक $\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ और $\left(\mathrm{x} _{2}\right.,{y} _{2})$ हों, तो

$ \left( x - \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{y_1 + y_2}{2} \right)^2 = \frac{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}{4} $ (x) तीन दिए गए बिंदुओं $\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right),\left(\mathrm{x} _{2}, \mathrm{y} _{2}\right)$ और $\left(\mathrm{x} _{3}, \mathrm{y} _{3}\right)$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण है

$ \left|\begin{array}{llll} x^{2}+y^{2} & x & y & 1 \ x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & x_{1} & y_{1} & 1 \ x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & x_{2} & y_{2} & 1 \ x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & x_{3} & y_{3} & 1 \end{array}\right|=0 . $

(xi) वृत्त का प्राचलिक समीकरण

• वृत्त $(\mathrm{x}-\mathrm{h})^{2}+(\mathrm{y}-\mathrm{k})^{2}=\mathrm{a}^{2}$ के लिए

$\mathrm{x}=\mathrm{h}+\mathrm{a} \cos \theta, \mathrm{y}=\mathrm{k}+\mathrm{a} \sin \theta,0 \leq \theta \leq 2 \pi$

• वृत्त $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{a}^{2}$ के लिए $\mathrm{x}=\mathrm{a} \cos \theta, \mathrm{y}=\mathrm{a} \sin \theta,0 \leq \theta \leq 2 \pi$

वृत्त का सामान्य समीकरण

वृत्त का सामान्य समीकरण $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ वृत्त का केंद्र $C=(-\mathrm{g},-\mathrm{f})$

और वृत्त की त्रिज्या $r=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}$

• यदि $g^{2}+f^{2}-c>0$, तो वृत्त की त्रिज्या वास्तविक है और इसलिए वृत्त भी वास्तविक है।

• यदि $g^{2}+f^{2}-c=0$, तो वृत्त की त्रिज्या 0 है और वृत्त को बिंदु वृत्त कहा जाता है।

• यदि $g^{2}+f^{2}-c<0$, तो वृत्त की त्रिज्या काल्पनिक होती है। ऐसा वृत्त काल्पनिक होता है, जिसे आकृत नहीं किया जा सकता।

वृत्त के सापेक्ष किसी बिंदु की स्थिति

माना $(x_{1}, y_{1})$ एक बिंदु है और एक वृत्त

$ S \equiv x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0 $

• अंदर $S_{1} < 0$
• बाहर $S_{1} >0$
• वृत्त पर $S_{1} =0$, जहाँ

$ S_{1} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + 2gx_{1} + 2fy_{1} + c $

अक्षों पर अंतःखंड

(i) वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ द्वारा $X$ और $Y$-अक्षों पर बनाए गए अंतःखंडों की लंबाइयाँ $2 \sqrt{g^{2}-c} \quad\text{और} \quad2 \sqrt{g^{2}-c}$ हैं

(ii) यदि $g^{2}>c$, तो समीकरण $x^{2}+2 g x+c=0$ के मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं, इसलिए वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$, $X$-अक्ष को दो वास्तविक और भिन्न बिंदुओं पर मिलता है।

(iii) यदि $g^{2}=c$, तो समीकरण $x^{2}+2 g x+c=0$ के मूल वास्तविक और समान होते हैं, इसलिए वृत्त $\mathrm{X}$-अक्ष को स्पर्श करता है, तब $\mathrm{X}$-अक्ष पर अंतःखंड $\mathrm{O}$ होता है।

(iv) यदि $g^{2}<c$, तो समीकरण $x^{2}+2 g x+c=0$ के मूल काल्पनिक होते हैं, इसलिए दिया गया वृत्त $X$-अक्ष को वास्तविक बिंदु पर नहीं मिलता।

स्पर्श रेखा का समीकरण

(i) बिंदु रूप

• वृत्त $x^{2}+y^{2} +2 g x+2 f y+c=0$ पर बिंदु $P\left(x_{1}, y_{1}\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\mathrm{xx} _{1}+\mathrm{yy} _{1}+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}+\mathrm{x} _{1}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}+\mathrm{y} _{1}\right)+\mathrm{c}=0$ है

• बिंदु (P\left(x_{1}, y_{1}\right)) पर वृत्त (x^{2}+y^{2}) की स्पर्श रेखा का समीकरण (x x_{1}+y y_{1}=r^{2}) है

(ii) ढाल रूप

• वृत्त (x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0) की ढाल (m) वाली स्पर्श रेखाओं का समीकरण
  [ y + f = m(x + g) \pm \sqrt{(g^2 + f^2 - c)(1 + m^2)} ]

• वृत्त ((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}) की ढाल (m) वाली स्पर्श रेखाओं का समीकरण (y-b=m(x-a) \pm \mathrm{r} \sqrt{}\left(1+\mathrm{m}^{2}\right)) है और स्पर्श बिंदुओं के निर्देशांक

$ \left(a \pm \frac{m r}{\sqrt{1+m^{2}}}, b \mp \frac{r}{\sqrt{1+m^{2}}}\right) $

• वृत्त (x^{2}+y^{2}=r^{2}) की ढाल (m) वाली स्पर्श रेखाओं का समीकरण (y=m x \pm r \sqrt{}\left(1+m^{2}\right)) है और स्पर्श बिंदु के निर्देशांक

$ \left( \pm \frac{r m}{\sqrt{1+m^{2}}}, \mp \frac{r}{\sqrt{1+m^{2}}}\right) $

अभिलंब का समीकरण

(i) बिंदु रूप

• वृत्त (x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0) पर बिंदु (\left(x_{1}, y_{1}\right)) से जाने वाली अभिलंब रेखा का समीकरण
  (y - y_{1} = (\frac{y_{1} + f}{x_{1} + g})(x - x_{1}))

अर्थात् (\left(\mathrm{y}{1}+\mathrm{f}\right) \mathrm{x}-\left(\mathrm{x}{1}+\mathrm{g}\right) \mathrm{y}+\left(\mathrm{gy}{1}-\mathrm{fx}{1}\right)=0)

• वृत्त (\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{r}^{2}) पर बिंदु (\left(\mathrm{x}{1}, \mathrm{y}{1}\right)) से जाने वाली अभिलंब रेखा का समीकरण (\frac{x}{x_{1}} = \frac{y}{y_{1}}) है

(ii) प्राचल रूप

वृत्त (x^{2}+y^{2}=r^{2}) पर बिंदु ((r \cos \theta, r \sin \theta)) पर अभिलंब का समीकरण है

[ y - r \sin \theta = \tan \theta \cdot (x - r \cos \theta) ]

याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बिंदु

(i) रेखा (y=m x+c) वृत्त को एक अद्वितीय वास्तविक बिंदु पर मिलती है या वृत्त (\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{r}^2) को स्पर्श करती है, यदि (r = \left| \frac{c}{\sqrt{1 + m^2}} \right|)

और स्पर्श बिंदु हैं

$ \left(\frac{ \pm m r}{\sqrt{1+m^{2}}}, \frac{\mp r}{\sqrt{1+m^{2}}}\right) $

(ii) रेखा (\mathrm{lx}+\mathrm{my}+\mathrm{n}=0) वृत्त (x^{2}+y^{2}=r^{2}) को स्पर्श करती है, यदि (\mathrm{r}^{2}\left(\mathrm{l}^{2}+\mathrm{m}^{2}\right)=\mathrm{n}^{2})

(iii) वृत्त (x^{2}+y^{2}=r^{2}) पर बिंदु (P(\theta)) पर स्पर्श रेखा (x \cos \theta+y \sin \theta=r) है

(iv) वृत्त (\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=r^{2}) पर बिंदुओं (\mathrm{P}\left(\theta_{1}\right)) और (\mathrm{Q}\left(\theta_{2}\right)) पर खींची गई स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

$x = \frac{r \cos \left(\frac{\theta_{1} + \theta_{2}}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\theta_{1} - \theta_{2}}{2}\right)} \quad \text{और} \quad y = \frac{r \sin \left(\frac{\theta_{1} + \theta_{2}}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\theta_{1} - \theta_{2}}{2}\right)}$

(v) वृत्त पर किसी भी बिंदु पर अभिलंब एक सीधी रेखा होती है जो उस बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा पर लंबवत होती है और यह वृत्त के केंद्र से होकर जाती है।

(vi) बिंदु $\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ की वृत्त $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{gx}+2 \mathrm{fy}+\mathrm{c}=0$ के सापेक्ष शक्ति $\mathrm{x} _{1}{ }^{2}+\mathrm{y} _{1}{ }^{2}+2 \mathrm{gx} _{1}+2 \mathrm{fy} _{1}+\mathrm{c}$ है।

(vii) यदि $\mathrm{P}$ एक बिंदु है और $\mathrm{C}$ त्रिज्या $\mathrm{r}$ वाले वृत्त का केंद्र है, तो वृत्त से $\mathrm{P}$ की अधिकतम और न्यूनतम दूरियाँ क्रमशः $\mathrm{CP}+\mathrm{r}$ और $\mathrm{CP}-\mathrm{r}$ हैं।

(viii) यदि कोई रेखा वृत्त की त्रिज्या पर उसके वृत्त पर स्थित अंत बिंदुओं पर लंबवत है, तो वह रेखा वृत्त की स्पर्शरेखा है और इसका विलोम भी सत्य है।

स्पर्शरेखाओं का युग्म

(i) बिंदु $\mathrm{P}\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ से वृत्त $\mathrm{x}^{2}+$ $y^{2}=r^{2}$ पर खींची गई स्पर्शरेखाओं के युग्म का संयुक्त समीकरण

$\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)\left(x _{1}^{2}+y _{1}^{2}-r _{1}^{2}\right)=\left(x _{1}x+y _{1}y-r^{2}\right)^{2}$

या $\mathrm{SS} _{1}=\mathrm{T}^{2}$

जहाँ $S=x^{2}+y^{2}-r^{2}, S _{1}=x _{1}{ }^{2}+y _{1}{ }^{2}-r _{1}{ }^{2}$

और $\mathrm{T}=\mathrm{xx} _{1}+\mathrm{yy} _{1}-\mathrm{r}^{2}$

(ii) बिंदु $P\left(x _{1}, y _{1}\right)$ से वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ पर खींची गई स्पर्शरेखाओं की लंबाई बराबर है

$ \sqrt{x _{1}^{2}+y _{1}^{2}+2 g x _{1}+2 f y _{1}+c}=\sqrt{S _{1}} $

(iii) बिंदु $\mathrm{P}\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं का स्पर्श जीवा TT'

• वृत्त $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{r}^{2}$ के लिए $\mathrm{T}=0$

• वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ के लिए

$xx_{1}+y0y_{1}+g\left(x+x_{1}\right)+f\left(y+y_{1}\right)+c=0$

(iv) एक निर्धारित बिंदु पर समद्विभाजित जीवा का समीकरण वृत्त $\mathrm{S} \equiv$ $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{gx}+2 \mathrm{fy}+\mathrm{c}=0$ की वह जीवा जो बिंदु $\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ पर समद्विभाजित होती है, उसका समीकरण $\mathrm{T}=\mathrm{S} _{1},\quad\text{जहाँ}\quad S _1=\mathrm{x} _{1}^{2}+\mathrm{y} _{1}^{2}+2 \mathrm{gx} _{1}+\mathrm{fy} _{1}+\mathrm{c}$

अर्थात्, $T=\mathrm{xx} _{1}+\mathrm{yy} _{1}+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}+\mathrm{x} _{1}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}+\mathrm{y} _{1}\right)+\mathrm{c}$

(v) निर्देशक वृत्त किसी दिए गए वृत्त पर लंब दो स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु का बिंदुपथ निर्देशक वृत्त कहलाता है। वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ के लिए,

निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=2 r^{2}$

उभयनिष्ठ जीवा

दो दिए गए वृत्तों के प्रतिच्छेद बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा को उभयनिष्ठ जीवा कहा जाता है।

(i) यदि $S _{1}=0$ और $S _{2}=0$ दो वृत्त हों, जैसे कि

$S_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 g_{1} x + 2 f_{1} y + c_{1} = 0, S_{2} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 g_{2} x + 2 f_{2} y + c_{2} = 0$

तो उनकी उभयनिष्ठ जीवा $\mathrm{S} _{1}-\mathrm{S} _{2}=0$ द्वारा दी जाती है

(ii) यदि $\mathrm{C} _{1}, \mathrm{C} _{2}$ दिए गए वृत्तों के केंद्रों को दर्शाते हैं, तो उनकी उभयनिष्ठ जीवा

$PQ = 2PM = 2\sqrt{(C _{1}P)^{2} - (C _{1}M)^{2}}$

(iii) यदि $r_{1}$, और $r_{2}$ दो वृत्तों की त्रिज्याएँ हों, तो उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $\frac{2 r_{1} r_{2}}{\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}}$ है।

दो वृत्तों का प्रतिच्छेदन कोण

दो वृत्तों का प्रतिच्छेदन कोण उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर दोनों वृत्तों की स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$\cos \theta = \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - d^{2}}{2 r_{1} r_{2}}$

लंबकोणीय वृत्त

दो वृत्त लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं, यदि उनका प्रतिच्छेदन कोण समकोण हो।

यदि दो वृत्त $\mathrm{S} _{1} \equiv \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{~g} _{1} \mathrm{x}+2 \mathrm{f} _{1} \mathrm{y}+\mathrm{c} _{1}=0$ और $\mathrm{S} _{2} \equiv \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{~g} _{2} \mathrm{x}+2 \mathrm{f} _{2} \mathrm{y}+\mathrm{c} _{2}=0$ लंबकोणीय हैं, तो $2 \mathrm{~g} _{1} \mathrm{~g} _{2}+2 \mathrm{f} _{1} \mathrm{f} _{2}=\mathrm{c} _{1}+\mathrm{c} _{2}$

वृत्तों का कुल

(i) एक वृत्त $S: x^{2}+y^{2}+2 g x$ $+2 \mathrm{fy}+\mathrm{c}=0$ और रेखा $\mathrm{L}=1 \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{n}=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के कुल का समीकरण $\mathrm{S}+\lambda \mathrm{L}=0$ है

जहाँ $ \lambda $ कोई वास्तविक संख्या है।

(ii) बिंदु $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ और $B\left(x_{1}, y_{1}\right)$ से होकर जाने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)+\left(y-y_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)+\lambda\left|\begin{array}{lll}x & y & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1\end{array}\right|=0$ है।

(iii) वृत्त $S \equiv x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ को बिंदु $P(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण

$x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c + \lambda\left[x x_{1} + y y_{1} + g(x + x_{1}) + f(y + y_{1}) + c\right] = 0$

या $S + \lambda L = 0$ जहाँ $L = 0$ समीकरण $(x_{1}, y_{1})$ पर $S = 0$ की स्पर्श रेखा है और $\lambda \in \mathbb{R}$

(iv) कोई भी वृत्त जो दो वृत्तों $S_{1}$ और $S_{2}$ के प्रतिच्छेद बिंदु से होकर जाता है, वह है

$S_{1} + \lambda\left( S_{2}\right) = 0$

अभिलंब अक्ष

(i) दो वृत्तों का अभिलंब अक्ष एक बिंदु का बिंदु पथ है जो इस प्रकार गति करता है कि उससे दोनों वृत्तों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर हों।

(ii) दो वृत्तों $S_{1}=0$ और $S_{2}=0$ का अभिलंब अक्ष $S_{1}-S_{2}=0$ द्वारा दिया जाता है।

(iii) दो वृत्तों का अभिलंब अक्ष हमेशा वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा पर लंबवत होता है।

(iv) तीन शीर्षों का अभिलंब अक्ष, जिनके केंद्र गैर-संरेख हैं, युग्मों में लिए गए संगामी होते हैं।

(v) दो दिए गए वृत्तों को लंबकोण पर काटने वाले वृत्त का केंद्र उनके अभिलंब अक्ष पर स्थित होता है।

(vi) रेडिकल केंद्र तीन वृत्तों, जिनके केंद्र गैर-संरेख हैं, के युग्मों में लिए गए रेडिकल अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु को उनका रेडिकल केंद्र कहा जाता है।

ध्रुव और ध्रुवीय

(i) यदि किसी बिंदु $\mathrm{P}\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ (वृत्त के भीतर या बाहर) से खींची गई कोई भी सरल रेखा दिए गए वृत्त को $\mathrm{Q}$ और $\mathrm{R}$ पर मिलती है, तो $\mathrm{Q}$ और $\mathrm{R}$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ $\mathrm{P}$ की ध्रुवीय कहलाता है और $\mathrm{P}$ पर ध्रुवीय को ध्रुवीय का ध्रुव कहा जाता है।

(ii) वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ की ध्रुवीय का समीकरण $x x_{1}+y y_{1}=r^{2}$ है।

(iii) वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ की ध्रुवीय का समीकरण
$x x_{1} + y y_{1} + g(x + x_{1}) + f(y + y_{1}) + c = 0$ है।

(iv) संयुग्मी बिंदु: दो बिंदु $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ किसी दिए गए वृत्त के सापेक्ष संयुग्मी बिंदु होते हैं, यदि प्रत्येक दूसरे की ध्रुवीय पर स्थित हो।

(v) संयुग्मी रेखाएँ: यदि दो रेखाएँ ऐसी हों कि एक की ध्रुवीय दूसरी पर स्थित हो, तो उन्हें दिए गए वृत्त के सापेक्ष संयुग्मी रेखाएँ कहा जाता है।

सहअक्षीय वृत्त प्रणाली

एक वृत्तों की प्रणाली को सहअक्षीय वृत्त प्रणाली कहा जाता है, यदि उसमें मौजूद हर वृत्तों के युग्म की समान मूल अक्ष हो।
सहअक्षीय वृत्त प्रणाली का समीकरण, जब मूल अक्ष का समीकरण $P \equiv lx$ $+m y+n=0$ हो और
प्रणाली के एक वृत्त का समीकरण $S=x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ हो, तो $S+\lambda \mathrm{P}=0$ होता है।

चूँकि दो वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा उनकी मूल अक्ष पर लंब होती है। इसलिए, सहअक्षीय प्रणाली के सभी वृत्तों के केंद्र एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जो उस सामान्य मूल अक्ष पर लंब होती है।

याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बिंदु

(i) एक रेखा $\mathrm{L}=\mathrm{O}$ को बिंदु $\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right)$ पर स्पर्श करने वाला वृत्त

$\left(\mathrm{x}-\mathrm{x} _{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}-\mathrm{y} _{1}\right)^{2}+\lambda \mathrm{L}=0$

(ii) बिंदुओं $\left(\mathrm{x} _{1}, \mathrm{y} _{1}\right),\left(\mathrm{x} _{2}, \mathrm{y} _{2}\right),\left(\mathrm{x} _{3}, \mathrm{y} _{3}\right)$ वाले त्रिभुज का परिवृत्त

$\frac{(x - x_{1})(x - x_{2}) + (y - y_{1})(y - y_{2})}{(x_{3} - x_{1})(x_{3} - x_{2}) + (y_{3} - y_{1})(y_{3} - y_{2})}= \frac{\left|\begin{array}{ccc} x & y & 1 \ x_{1} & y_{1} & 1 \ x_{2} & y_{2} & 1 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc} x_{3} & y_{3} & 1 \ x_{1} & y_{1} & 1 \ x_{2} & y_{2} & 1 \end{array}\right|}$

(iii) एक रेखा एक दिए गए वृत्त को दो भिन्न वास्तविक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, यदि केंद्र से डाले गए लंब की लंबाई वृत्त की त्रिज्या से कम है।

(iv) रेखा $y=m x+c$ द्वारा वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ से काटे गए अंतःखंड की लंबाई $2 \sqrt{\frac{a^{2}\left(1+m^{2}\right)-c^{2}}{1+m^{2}}}$ है।

(v) सामान्यतः, एक वृत्त पर इसके समतल में दिए गए बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं। यदि बिंदु $P\left(x _{1}, y _{1}\right)$ से वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएँ $\mathrm{m} _{1}$ और $m _{2}$ हैं, तो

$ m_{1}+m_{2}=\frac{2 x_{1} y_{1}}{x_{1}^{2}-a^{2}} \text { और } m_{1} \times m_{2}=\frac{y_{1}^{2}-a^{2}}{x_{1}^{2}-a^{2}} $

(vi) वृत्त $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{a}^{2}$ के सापेक्ष रेखा $\mathrm{lx}+\mathrm{my}+\mathrm{n}=0$ का ध्रुव

$ \left(-\frac{a^{2} l}{n},-\frac{a^{2} m}{n}\right) $

है।

(vii) मान लीजिए $S_{1}=0, S_{2}=0$ दो वृत्त हैं जिनकी त्रिज्याएँ $r_{1}, r_{2}$ हैं, तो $\frac{S_{1}}{r_{1}} \pm \frac{S_{2}}{r_{2}} = 0$ समकोण पर मिलेंगे।

(viii) वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ पर बिंदु $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण

$2 \tan^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{S_{1}}}\right)$

है।

(ix) वृत्त $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ पर बिंदु $(0,0)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की युग्म समकोण पर है यदि $\mathrm{g}^{2}+\mathrm{f}^{2}=2 \mathrm{c}$

(x) यदि वृत्त (x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0) के व्यास का एक सिरा (\left(x_{1}, y_{1}\right)) है, तो दूसरा सिरा (\left(-2 \mathrm{~g}-\mathrm{x} _{1},-2 \mathrm{f}-\mathrm{y} _{1}\right)) होगा।

रेखा माइनर द्वारा वृत्त का प्रतिबिम्ब

माना वृत्त (x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0) है और रेखा माइनर (\mathrm{l} \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{n}=0) है, तो वृत्त का प्रतिबिम्ब

(\left(\mathrm{x}-\mathrm{x} _{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}-\mathrm{y} _{1}\right)^{2}=\mathrm{r}^{2})

होगा, जहाँ (r=\sqrt{ } g^{2}+f^{2}-c) है।

वृत्त का व्यास

एक वृत्त की समानांतर जीवाओं की एक प्रणाली के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ वृत्त का व्यास कहलाता है।

(i) वृत्त (x^{2}+y^{2}=a^{2}) की समानांतर जीवाओं (y=m x+c) को समद्विभाजित करने वाले व्यास का समीकरण (\mathrm{x}+\mathrm{my}=0) है।

(ii) किसी वृत्त की समानांतर जीवाओं की प्रणाली से संगत व्यास सदैव वृत्त के केंद्र से होकर जाता है और समानांतर जीवाओं पर लंब होता है।

दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ

माना दो वृत्तों के केंद्र और त्रिज्याएँ क्रमशः (C_{1}, C_{2}) और (r_{1}, r_{2}) हैं।

(i) जब एक वृत्त दूसरे वृत्त को समाहित करता है, तो कोई उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा संभव नहीं है।

शर्त: (C_{1}C_{2} < |r_{1} - r_{2}|)

(ii) जब दो वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं, तो एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा संभव है।

शर्त: (C_{1}C_{2} = |r_{1} - r_{2}|)

(iii) जब दो वृत्त प्रतिच्छेद करते हैं, तो दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ संभव हैं।

शर्त: (|r_{1} - r_{2}| < C_{1}C_{2} < |r_{1} + r_{2}|)

(iv) जब दो वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तीन उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ संभव हैं।

शर्त: $C_{1}C_{2} = r_{1} + r_{2}$

(v) जब दो वृत्त पृथक होते हैं, चार उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ संभव हैं।

शर्त: $C_{1}C_{2} > r_{1} + r_{2}$