समिश्र संख्या प्रणाली:

• $ z=a+i b$, तो $a-i b$ को $z$ का संयुग्मी कहा जाता है और इसे $\bar{z}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

• बीजगणितीय रूप: यदि z = x + iy; तो $|z| = \sqrt{x^2-y^2}$; $\bar{z} = x-iy $ और $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$

• ध्रुवीय रूप: $z = x + iy = r (\cos θ + i \sin θ ) \quad \text{जहाँ} | z | = r $

• घातांकीय रूप: किसी भी समिश्र संख्या z = r (cosθ + i sinθ ) के लिए, $z = r e^{iθ}$ घातांकीय निरूपण है।

समिश्र संख्या में समानता:

$\quad z_{1}=z_{2} \Rightarrow \operatorname{Re}\left(z_{1}\right)=\operatorname{Re}\left(z_{2}\right)$ और $I_{m}\left(z_{1}\right)=I_{m}\left(z_{2}\right)$.

समिश्र संख्या का निरूपण:

समिश्र संख्याओं का बीजगणित

• योग: $(a+i b)+(c+i d)=(a+c)+i(b+d)$

• व्यवकलन: $(a+i b)-(c+i d)=(a-c)+i(b-d)$

• गुणा: $(a+i b)(c+i d)=(a c-b d)+i(a d+b c)$

• व्युत्क्रम: यदि कम से कम एक $\mathrm{a}$, $\mathrm{b}$ अशून्य है, तो $\mathrm{a}+\mathrm{ib}$ का व्युत्क्रम इस प्रकार दिया जाता है

$\frac{1}{a+i b}=\frac{a-i b}{(a+i b)(a-i b)}=\frac{a}{a^2+b^2}-i \frac{b}{a^2+b^2}$

• भागफल: यदि c, d में से कम से कम एक शून्येतर है, तो a +ib और c +id का भागफल

[\frac{a+i b}{c+i d}=\frac{(a+i b)(c-i d)}{(c+i d)(c-i d)}=\frac{(a c+b d)+i(b c-a d)}{c^2+d^2}=\frac{a c+b d}{c^2+d^2}+i \frac{b c-a d}{c^2+d^2}]

संयुग्म के गुण:

• [|z|=|\bar{z}|]

• [z \bar{z}=|z|^{2}]

• [\overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_1 + \bar{z}_2]

• [\overline{z_{1}-z_{2}}=\bar{z}_1 - \bar{z}_2]

• [\overline{z_{1} z_{2}}=\bar{z}_1 \bar{z}_2]

• [(\overline{\frac{z_1}{z_2}}) = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2} \quad (z_2 \neq 0)]

• [|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2) \overline{(z_1 + z_2)} = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1 \bar{z}_2 + \bar{z}_1 z_2 ]

• [\overline{\left(\bar{z}_{1}\right)}=z]

• यदि [w=f(z)], तो [\bar{w}=f(\bar{z})]

• [z+\bar{z}=2 \operatorname{Re}(z)]

• [z-\bar{z}=2 i \operatorname{lm}(z)]

घूर्णन प्रमेय:

[\quad ] यदि [P\left(z_{1}\right), Q\left(z_{2}\right)] और [R\left(z_{3}\right)] तीन समिश्र संख्याएँ हैं और [\angle P Q R=\theta], तो

[\left(\frac{z_{3}-z_{2}}{z_{1}-z_{2}}\right)=\left|\frac{z_{3}-z_{2}}{z_{1}-z_{2}}\right| e^{i \theta}]

डेमोइव्रे प्रमेय :

किसी भी वास्तविक संख्या [n] के लिए [\quad] [\hspace{1mm} (\cos \theta+i \sin \theta)^{\mathrm{n}}=\cos n \theta+i \sin n \theta]

किसी समिश्र राशि का लघुगणक :

[\quad \log _{e}(\alpha+i \beta)=\frac{1}{2} \log _{e}\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)+i\left(2 n \pi+\tan ^{-1} \frac{\beta}{\alpha}\right) \text { जहाँ } n \in I . ]

ज्यामितीय गुणधर्म:

• दूरी सूत्र : $\left|z_{1}-z_{2}\right|$.

• विभाजन सूत्र : $z=\frac{m z_{2}+n z_{1}}{m+n}$ (आंतरिक विभाजन), $z=\frac{m z_{2}-n z_{1}}{m-n}$ (बाह्य विभाजन)

• $\operatorname{arg}(z)=\theta$ मूल बिंदु से निकलने वाली एक किरण है जो $x-$ अक्ष पर $\theta$ कोण से झुकी है

• $|z-a|=|z-b|$ बिंदु a से b तक जाने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक है।

• बिंदु $z_{1}$ और $z_{2}$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण है, $z=z_{1}+t\left(z_{2}-z_{1}\right)$ जहाँ t एक वास्तविक पैरामीटर है।

• केंद्र $z_{0}$ और त्रिज्या $\rho$ वाले वृत्त का समीकरण है:

$\left|z-z_{0}\right|=\rho ~ \text{या}~ z \bar{z} - z_0 \bar{z} - \bar{z}_0 z + \bar{z}_0 z_0 - \rho^{2} = 0 ~ \text{ जो इस रूप का है} ~$

$\mathrm{z} \overline{\mathrm{z}}+\bar{\alpha} \mathrm{z}+\alpha \overline{\mathrm{z}}+\mathrm{k}=0, \mathrm{k} \text{~ वास्तविक है। केंद्र है ~} \alpha \text{और त्रिज्या} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha}- k}$

$\qquad \qquad$ वृत्त वास्तविक होगा यदि $\alpha \bar{\alpha}-\mathrm{k} \geq 0$..

• यदि $\left|z_{1}-z_{1}\right|+\left|z-z_{2}\right|=K>\left|z_{1}-z_{2}\right|$ तो z का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है जिसकी नाभियाँ $z_{1}$ और $z_{2}$ हैं

• यदि $\left|\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\right|=k \neq 1,0$, तो z का बिंदुपथ वृत्त है।

• यदि ||$z-z_{1}|-| z-z_{2}||=K<\left|z_{1}-z_{2}\right|$ तो z का बिंदुपथ एक अतिपरवलय है, जिसकी नाभियाँ $z_{1}$ और $z_{2}$ हैं

मापांक के गुण:

• $|z| \geq 0 ;|z| \geq \operatorname{Re}(z) ;|z| \geq \operatorname{Im}(z) ;|z|=|\bar{z}|=|-z|$

• $z \bar{z}=|z|^2$; यदि $|z|=1$, तो $z=\frac{1}{\bar{z}}$

• $\left|z_1 z_2\right|=\left|z_1\right| \cdot\left|z_2\right|$

• $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}, z_2 \neq 0$

• $\left|z^n\right|=|z|^n$

• $\left|z_1+z_2\right|^2+\left|z_1- z_2\right|^2=2\left[\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2\right]$

• ||$z_1|-| z_2|| \leq\left|z_1+z_2\right| \leq\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$ [त्रिभुज असमानता]

प्रधान आर्ग्युमेंट(Arg) के गुण:

• $ \operatorname{Arg}\left(z_1 \cdot z_2\right)=\operatorname{Arg} z_1+\operatorname{Arg} z_2$

• $ \operatorname{Arg}\left(\frac{\mathrm{z}_1}{\mathrm{z}_2}\right)=\operatorname{Arg} \mathrm{z}_1-\operatorname{Arg} z_2$

• $\operatorname{Arg}\left(z^n\right)=n \operatorname{Arg}(z)+2 k \pi$, जहाँ $k$ का मान ऐसा हो कि RHS $(-\pi, \pi]$ में आए

• उपरोक्त जानकारी के आधार पर, हमारे पास निम्नलिखित है:

  • $|\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)| \leq \sqrt{2}|z|$

  • ||$z_1|-| z_2|| \leq\left|z_1-z_2\right| \leq\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$। इस प्रकार $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$ है $\left|z_1+z_2\right|$ का अधिकतम संभावित मान और ||$z_1|-| z_2||$ है $\left|z_1+z_2\right|$ का न्यूनतम संभावित मान।

• यदि $\left|z+\frac{1}{z}\right|=a$ है, तो $|z|$ के महत्तम और न्यूनतम मान क्रमशः $\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}$ और $\frac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2}$ हैं।

  • यदि $z_1=z_2 \Leftrightarrow\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$ और $\arg z_1=\arg z_2$

  • $\left|z_1+z_2\right|=\left|z_1\right|+\left|z_2\right| \Leftrightarrow \arg \left(z_1\right)=\arg \left(z_2\right)$ अर्थात् $z_1$ और $z_2$ समानांतर हैं।

  • $\left|z_1+z_2\right|=\left|z_1\right|+\left|z_2\right| \Leftrightarrow \arg \left(z_1\right)-\arg \left(z_2\right)=2 n \pi$, जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है।

  • $\left|z_1-z_2\right|=|| z_1|-| z_2|| \Leftrightarrow \arg \left(z_1\right)-\arg \left(z_2\right)=2 n \pi$, जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है।

  • $\left|z_1+z_2\right|=\left|z_1-z_2\right| \Leftrightarrow \arg \left(z_1\right)-\arg \left(z_2\right)=(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है।

एकता के घनमूल:

• एकता के घनमूल $1, \frac{-1+i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i \sqrt{3}}{2}$ हैं।

• यदि $\omega$ एकता का एक काल्पनिक घनमूल है, तो $1+\omega+\omega^2=0$।

• ध्रुवीय रूप में एकता के घनमूल हैं: $\cos 0+i \sin 0 ; \cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3} ; \cos \frac{4 \pi}{3}+i \sin \frac{4 \pi}{3}$

• जब तीनों घनमूलों को आर्गांड तल पर आलेखित किया जाता है, तो वे एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं।

$\quad \quad $ [ध्यान दें कि $\mathrm{i}$ के 3 घनमूल एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित होते हैं]

• निम्नलिखित गुणनफल याद रखना चाहिए।

  $a, b, c \in R$ के लिए और $\omega$ को एकता का घनमूल मानते हुए,

  • $a^3-b^3=(a-b)(a-\omega b)\left(a-\omega^2 b\right)$

  • $x^2+x+1=(x-\omega)\left(x-\omega^2\right)$

  • $a^3+b^3=(a+b)(a+\omega b)\left(a+\omega^2 b\right)$

  • $\mathrm{a}^3+\mathrm{b}^3+\mathrm{c}^3-3 \mathrm{abc}=(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\left(\mathrm{a}+\omega \mathrm{b}+\omega^2 \mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\omega^2 \mathrm{~b}+\omega \mathrm{c}\right)$

$n^{\text {th }}$ roots of unity:

$\quad$ यदि $1, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \ldots \ldots, \alpha_{n-1}$ n, nवें मूल हैं तो,

• वे G.P. में हैं जिसमें सार्व अनुपात $\mathrm{e}^{i\left(\frac{2 \pi}{n}\right)}=\cos \frac{2 \pi}{n}+i \sin \frac{2 \pi}{n}$ है

• $1^{\mathrm{p}}+\alpha_1^{\mathrm{p}}+\alpha_2^{\mathrm{p}}+\ldots \ldots+\alpha_{\mathrm{n}-1}^{\mathrm{p}}=0$ यदि $\mathrm{p}$ का कोई पूर्णांक गुणज $\mathrm{n}$ नहीं है $1^p+\left(\alpha_1\right)^p+\left(\alpha_2\right)^p+\ldots \ldots .+\left(\alpha_{n-1}\right)^p=n$ यदि $p$ का कोई पूर्णांक गुणज $n$ है।

• $\left(1-\alpha_1\right)\left(1-\alpha_2\right) \ldots \ldots\left(1-\alpha_{n-1}\right)=n$ है।

Summation of series using complex number:

• $\cos \theta+\cos 2 \theta+\cos 3 \theta+\ldots \ldots+\cos n \theta=\frac{\sin \left(\frac{n \theta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\theta}{2}\right)} \cos \left(\frac{n+1}{2}\right) \theta$

• $\sin \theta+\sin 2 \theta+\sin 3 \theta+\ldots \ldots+\sin n \theta=\frac{\sin \left(\frac{\mathrm{n} \theta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\theta}{2}\right)} \sin \left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right) \theta$

सीधी रेखा का समीकरण:

$\quad$ सीधी रेखा का सामान्य समीकरण $\bar{a}z + a \bar{z} + b = 0$ है, जहाँ a एक अशून्य समिश्र संख्या है और b एक वास्तविक संख्या है।

वृत्त का समीकरण:

$\quad$ केंद्र $z_0$ और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण $|z - z_0 |= r$ या $z = z_0 + r e^{i \theta}$ (प्राचल रूप) है।

दीर्घवृत्त का समीकरण:

$\quad$ समिश्र समतल पर समिश्र संख्या $z + \frac{1}{z}$ एक मानक दीर्घवृत्त है जहाँ | z | = a, जहाँ a ≠ 0, 1.

समिश्र समतल पर त्रिभुज:

$\quad$ एक $\triangle A B C$ में, शीर्ष $A, B$ और $C$ को क्रमशः समिश्र संख्याओं $z_{1}, z_{2}$ और $z_{3}$ द्वारा दर्शाया जाता है, तो

• केन्द्रक:
  केन्द्रक ’ $G$ ’ $\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}$ द्वारा दिया जाता है। केन्द्रक के लिए चित्र देखें।

• अंतःकेंद्र:
  अंतःकेंद्र ’ $I$ ’ $\frac{a z_{1}+b z_{2}+c z_{3}}{a+b+c}$ द्वारा दिया जाता है। अंतःकेंद्र के लिए चित्र देखें।

• लंबकेंद्र:
  लंबकेंद्र ’ $H$ ’ $\frac{\mathrm{z} _{1} \tan A+\mathrm{z} _{2} \tan B+\mathrm{z} _{3} \tan C}{\sum \tan A}$ द्वारा दिया जाता है

• परिकेंद्र:

$\quad$ माना $\mathrm{R}$ परित्रिज्या है और सम्मिश्र संख्या $\mathrm{z}_{0}$ आकृति में दिखाए गए त्रिभुज के परिकेंद्र को निरूपित करती है।

$\therefore\left|z_{1}-z_{0}\right|=\left|z_{2}-z_{0}\right|=\left|z_{3}-z_{0}\right|$

$\quad$ विचार करें, $\left|z_{1}-z_{0}\right|^{2}=\left|z_{2}-z_{0}\right|^{2},$

$ \begin{aligned} & \left(z _{1}-z _{0}\right)\left(\bar{z} _{1}-\bar{z} _{0}\right)=\left(z _{2}-z _{0}\right)\left(\bar{z} _{2}-\bar{z} _{0}\right) \ & \overline{\mathrm{z}} _{1}\left(\mathrm{z} _{1}-\mathrm{z} _{0}\right)-\overline{\mathrm{z}} _{2}\left(\mathrm{z} _{2}-\mathrm{z} _{0}\right)=\overline{\mathrm{z}} _{0}\left[\left(\mathrm{z} _{1}-\mathrm{z} _{0}\right)-\left(\mathrm{z} _{2}-\mathrm{z} _{0}\right)\right] \ & \overline{\mathrm{z}} _{1}\left(\mathrm{z} _{1}-\mathrm{z} _{0}\right)-\overline{\mathrm{z}} _{2}\left(\mathrm{z} _{2}-\mathrm{z} _{0}\right)=\overline{\mathrm{z}} _{0}\left(\mathrm{z} _{1}-\mathrm{z} _{2}\right) \end{aligned} $

$\quad$ इसी प्रकार $1^{\text {वें }}$ और $3^{\text {वें }}$ से

$\bar{z} _{1}\left(z _{1}-z _{0}\right)-\bar{z} _{3}\left(z _{3}-z _{0}\right)=\bar{z} _{0}\left(z _{1}-z _{3}\right)$

$\quad$ (i) को (ii) से विभाजित करने पर, $\bar{z} _{0}$ समाप्त हो जाता है और हमें $z _{0}$ प्राप्त होता है।

$\quad$ वैकल्पिक रूप से: परिकेन्द्र के चित्र से, हम पाते हैं

$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{\text { क्षेत्र } \triangle \mathrm{ABD}}{\text { क्षेत्र } \triangle \mathrm{ADC}}=\frac{\text { क्षेत्र } \triangle \mathrm{PBD}}{\text { क्षेत्र } \triangle \mathrm{PDC}}$

$\therefore \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{\text { क्षेत्र } \triangle \mathrm{ABD}-\text{क्षेत्र } \triangle \mathrm{PBD}}{\text { क्षेत्र } \triangle \mathrm{ADC}-\text{क्षेत्र } \Delta \mathrm{PDC}}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta_{2}}$

$\therefore \frac{m}{n}=\frac{\frac{R^{2}}{2} \sin 2 C}{\frac{R^{2}}{2} \sin 2 B}=\frac{\sin 2 C}{\sin 2 B}$

$\quad$ इसलिए, $Z_{D}=\frac{\sin 2 B\left(Z_{2}\right)+\sin 2 C\left(Z_{3}\right)}{\sin 2 B+\sin 2 C}$

$\quad$ अब,

$\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PD}}=\frac{l}{\mathrm{k}}=\frac{\Delta \mathrm{ABP}}{\Delta \mathrm{PBD}}=\frac{\Delta \mathrm{APC}}{\triangle \mathrm{CPD}}=\frac{\Delta \mathrm{ABP}+\Delta \mathrm{APC}}{\Delta \mathrm{PBD}+\Delta \mathrm{CPD}} \therefore \frac{l}{\mathrm{k}}=\frac{\Delta_{3}+\Delta_{2}}{\Delta_{1}}=\frac{\sin 2 \mathrm{C}+\sin 2 \mathrm{~B}}{\sin 2 \mathrm{~A}}$

$\quad$ इसलिए,

$\mathrm{z} _{0}=\frac{\mathrm{kz _{1 }}+l \mathrm{z} _{\mathrm{D}}}{\mathrm{k}+l}=\frac{\mathrm{z} _{1} \sin 2 \mathrm{~A}+\mathrm{z} _{2} \sin 2 \mathrm{B}+\mathrm{z} _{3} \sin 2 \mathrm{C}}{\sum \sin 2 \mathrm{~A}}$

समतल पर त्रिभुज के और परिणाम:

• वह त्रिभुज जिसके शीर्ष $z_{1}, i z$ और $z+i z$ हैं, उसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|z|^{2}$ है।

• वह त्रिभुज जिसके शीर्ष $z_{1} ,\omega z$ और $z+\omega z$ हैं, उसका क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4}|z|^{2}$ है।

• यदि $\mathrm{z} _{1}, \mathrm{z} _{2}, \mathrm{z} _{3}$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हों और $\mathrm{z} _{0}$ परिकेन्द्र हो, तो $\mathrm{z} _{1}^{2}+\mathrm{z} _{2}^{2}+\mathrm{z} _{3}^{2}=3 \mathrm{z} _{0}^{2}$।

• यदि $z_{1}, z_{2}, z_{3}, \ldots \ldots z_{n}$ एक $n$-भुजीय समबहु बहुभुज के शीर्ष हों और $z_{0}$ उसका केन्द्रक हो, तो $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\ldots \ldots+z_{n}^{2}=n z_{0}^{2}$।

• यदि $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ एक त्रिभुज के शीर्ष हों, तो त्रिभुज समबाहु है यदि

$\quad \left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{3}\right)^{2}+\left(z_{3}-z_{1}\right)^{2}=0$ या $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}$ या $\frac{1}{z_{1}-z_{2}}+\frac{1}{z_{2}-z_{3}}+\frac{1}{z_{3}-z_{1}}=0$।

• यदि $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हों, जो $z_{2}$ पर समकोण है, तो $z_{1}^{2}+2 z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=2 z_{2}\left(z_{1}+z_{3}\right)$।

• यदि $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो $\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}=2\left(z_{1}-z_{3}\right)\left(z_{3}-z_{2}\right)$।

• यदि $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ क्रमशः एक त्रिभुज $A B C$ के शीर्षों $A, B, C$ के एफिक्स हैं, तो इसका लंबकेंद्र $\frac{a(\sec A) z_{1}+b(\sec B) z_{2}+c(\sec C) z_{3}}{a \sec A+b \sec B+c \sec C}$ है।