लघु:

$\quad$ किसी तत्व का लघु उस निर्धारक के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उस पंक्ति और स्तंभ को हटाने पर प्राप्त होता है जिसमें वह तत्व स्थित होता है।

सहखंड:

$\quad$ किसी तत्व $a_{i j}$ का सहखंड उसके लघु से इस प्रकार संबंधित होता है: $C_{i j}=(-1)^{ i+ j}M_{ij}$ जहाँ ‘i’ i-वीं पंक्ति को और ‘j’ j-वें स्तंभ को दर्शाता है जिससे तत्व $a_{ij}$ संबंधित होता है और $M_{ij}$ लघु को दर्शाता है।

पंक्ति और स्तंभ संक्रियाएँ:

• $\quad R_i ↔ R_j$ या $C_i ↔ C_j$ जब i ≠ j; यह संकेत तब प्रयोग किया जाता है जब हम i-वीं पंक्ति (या स्तंभ) और j-वीं पंक्ति (या स्तंभ) को आपस में बदलते हैं।

• $\quad R_i ↔ C_j$ ; यह पंक्ति को संगत स्तंभ में बदल देता है।

• $\quad R_i → k R_i$ या $C_i → kC_i$ ; k ∈ वास्तविक संख्याएँ; यह i-वीं पंक्ति (या स्तंभ) को k से गुणा करने को दर्शाता है।

• $\quad R_i → k R_i + R_j$; (i ≠ j); यह प्रतीक तब प्रयोग होता है जब i-वीं पंक्ति (या स्तंभ) को k से गुणा करके उसमें j-वीं पंक्ति (या स्तंभ) को जोड़ा जाता है।

निर्धारकों के गुण:

• प्रतिबिंब गुण

  यदि निर्धारक की पंक्तियों को स्तंभों में और स्तंभों को पंक्तियों में बदल दिया जाए, तो निर्धारक अपरिवर्तित रहता है।

• सभी-शून्य गुण

  यदि किसी पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्व शून्य हों, तो निर्धारक शून्य होता है।

• अनुपातिकता (पुनरावृत्ति) गुण

  यदि किसी पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्व किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के तत्वों के अनुपातिक (समान) हों, तो निर्धारक शून्य होता है।

• परिवर्तन गुण

  निर्धारक की किन्हीं दो पंक्तियों (या स्तंभों) को आपस में बदलने से उसका चिह्न बदल जाता है।

• स्केलर गुणाधार गुण

  यदि किसी सारणिक की एक पंक्ति (या स्तंभ) के सभी अवयव किसी अशून्य अचर से गुणा किए जाएँ, तो सारणिक उसी अचर से गुणित हो जाती है।

• योग गुण $\left|\begin{array}{lll}a_1+b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2+b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3+b_3 & c_3 & d_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}a_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & c_3 & d_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{lll}b_1 & c_1 & d_1 \\ b_2 & c_2 & d_2 \\ b_3 & c_3 & d_3\end{array}\right|$

• अपरिवर्तनीयता गुण $\left|\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}a_1+\alpha b_1+\beta c_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+\alpha b_2+\beta c_2 & b_2 & c_2 \\ a_3+\alpha b_3+\beta c_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|$

$\quad \quad \quad \quad $ अर्थात्, एक सारणिक $C_i \rightarrow C_i+\alpha C_j+\beta C_k$ रूप के संक्रिया के अधीन अपरिवर्तित रहती है, जहाँ $j, k \neq i$, या

$\quad \quad \quad \quad $ $R_i \rightarrow R_i+\alpha R_j+\beta R_k$ रूप की संक्रिया, जहाँ $j, k \neq i$

• गुणनखंड गुण

  यदि कोई सारणिक $\Delta$ जब $\mathrm{x}=\alpha$ रखने पर शून्य हो जाती है, तो $(\mathrm{x}-\alpha)$, $\Delta$ का एक गुणनखंड होता है।

• त्रिभुज गुण

यदि किसी सारणिक के मुख्य विकर्ण के ऊपर या नीचे के सभी अवयव शून्य हों, तो सारणिक विकर्णीय अवयवों के गुणनफल के बराबर होती है। अर्थात्, $ \left|\begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & b_2 & b_3 \\ 0 & 0 & c_3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} a_1 & 0 & 0 \\ a_2 & b_2 & 0 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|=a_1 b_2 c_3 $

• 2 आव्यूहों के गुणनफल का सारणिक

$ det(AB) = det(A) det(B)$

कुछ महत्वपूर्ण परिणाम:

• तीन रेखाएँ $a_1 x+b_1 y+c_1=0, a_2 x+b_2 y+c_2=0, a_3 x+b_3 y+c_3=0 $ संगामी हैं यदि

$ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0 $

• $ a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ एक युग्म सरल रेखाओं को निरूपित करता है यदि $ a b c+2 f g h-a f^2-b g^2-c h^2=0=\left|\begin{array}{lll} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{array}\right| $

• एक त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $\left(x_r, y_r\right) ; r=1,2,3$ हैं, $ D=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right| $ है। यदि $D=0$ हो तो तीन बिंदु संरेख हैं।

• बिंदुओं $ (x_1,y_1) \ \text{और} \ (x_2,y_2) $ से होकर जाने वाली सरल रेखा का समीकरण $\left|\begin{array}{lll}\mathrm{x} & \mathrm{y} & 1 \\ \mathrm{x}_1 & \mathrm{y}_1 & 1 \\ \mathrm{x}_2 & \mathrm{y}_2 & 1\end{array}\right|=0$ है।

• यदि किसी पंक्ति (या स्तंभ) का प्रत्येक अवयव दो पदों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सके, तो सारणिक को सारणिकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$\left|\begin{array}{ccc}a_1+x & b_1+y & c_1+z \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}x & y & z \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|$

  यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सारणिकों पर संक्रियाएँ लगाते समय कम से कम एक पंक्ति (या स्तंभ) अपरिवर्तित रहनी चाहिए, अर्थात्

  एक साथ की जा सकने वाली अधिकतम संख्या $=$ सारणिक की कोटि -1

सारणिकों का अवकलन:

• मान लीजिए $\Delta(x)=\left|\begin{array}{ll}f_1(x) & g_1(x) \\ f_2(x) & g_2(x)\end{array}\right|$, जहाँ $f_1(x), f_2(x), g_1(x)$ और $g_2(x)$ फलन हैं $x$ के। तब,

$ \Delta^{\prime}(\mathrm{x})=\left|\begin{array}{cc} \mathrm{f}_1^{\prime}(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_1^{\prime}(\mathrm{x}) \\ \mathrm{f}_2(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_2(\mathrm{x}) \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} \mathrm{f}_1(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_1(\mathrm{x}) \\ \mathrm{f}_2^{\prime}(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_2^{\prime}(\mathrm{x}) \end{array}\right| \text { साथ ही, } \Delta^{\prime}(\mathrm{x})=\left|\begin{array}{cc} \mathrm{f}_1^{\prime}(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_1(\mathrm{x}) \\ \mathrm{f}_2^{\prime}(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_2(\mathrm{x}) \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} \mathrm{f}_1(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_1^{\prime}(\mathrm{x}) \\ \mathrm{f}_2(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_2^{\prime}(\mathrm{x}) \end{array}\right| $

• यदि हम $\Delta(x)=\left[\begin{array}{ll}C_1 & C_2\end{array}\right]$ लिखते हैं, जहाँ $C_i$ का अर्थ है $i^{\text {th }}$ स्तंभ,
  तब $\Delta^{\prime}(x)=\left[\begin{array}{ll}C_1^{\prime} & C_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}C_1 & C_2^{\prime}\end{array}\right]$
  $\quad \quad \quad $ जहाँ $C_i^{\prime}$ वह स्तंभ है जो $i^{\text {th }}$ स्तंभ $C_i$ में उपस्थित फलनों को अवकलित करके प्राप्त किया जाता है।

• यदि $\Delta(x)=\left[\begin{array}{l}R_1 \\ R_2\end{array}\right]$, तब $\Delta^{\prime}(x)=\left[\begin{array}{l}R_1{ }^{\prime} \\ R_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}R_1 \\ R_2^{\prime}\end{array}\right]$
  इसी प्रकार, हम उच्च कोटि के सारणिकों का अवकलन कर सकते हैं।

सारणिकों का समाकलन:

$\quad$ यदि $f(x), g(x)$ और $h(x)$ फलन $x$ के हैं और $a, b, c, \alpha, \beta$ और $\gamma$ अचर हैं
इस प्रकार कि

$ \Delta(x)=\left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ a & b & c \\ \alpha & \beta & \gamma\end{array}\right| $

$\quad$ तब $\Delta(x)$ का समाकलन इस प्रकार दिया जाता है

$ \int \Delta(x) d x=\left|\begin{array}{ccc}\int f(x) d x & \int g(x) d x & \int h(x) d x \\ a & b & c \\ \alpha & \beta & \gamma\end{array}\right| $

3 चरों वाले समीकरण निकाय:

$ a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1\\ a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2\\ a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 $

$\quad$ इस निकाय को हल करने के लिए हम पहले निम्नलिखित सारणिकों को परिभाषित करते हैं

$ \Delta=\left|\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|, \Delta_1=\left|\begin{array}{lll} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|, \Delta_2=\left|\begin{array}{lll} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{array}\right|, \Delta_3=\left|\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{array}\right| $

$\quad$ अब, प्रणाली को हल करने के लिए (संगति का मानदंड)

$\quad$ $\Delta$ का मान जाँचें

• यदि $\Delta \neq 0$ तो, प्रणाली संगत है और इसका अद्वितीय हल है $ \mathrm{x}=\frac{\Delta_1}{\Delta} ; \mathrm{y}=\frac{\Delta_2}{\Delta} ; \mathrm{z}=\frac{\Delta_3}{\Delta} $

• $\Delta = 0$ तो, $\Delta_1, \Delta_2$ और $\Delta_3$ के मान जाँचें

• यदि $\Delta_1, \Delta_2$ और $\Delta_3$ में से कम से कम एक शून्य नहीं है, तो प्रणाली असंगत है।

• यदि सभी $\Delta_1, \Delta_2$ और $\Delta_3$ शून्य हैं, तो $z=t$ रखें और किन्हीं दो समीकरणों को हल करें ताकि $t$ के पदों में $x$ और $y$ के मान प्राप्त हों।