अवकल समीकरण:

• एक समीकरण जिसमें स्वतंत्र और आश्रित चर तथा आश्रित चरों के अवकलज सम्मिलित हों, अवकल समीकरण कहलाता है।

• अज्ञात फलन को खोजना जो दी गई अवकल समीकरण को संतुष्ट करे, अवकल समीकरण को हल करना या समाकलन करना कहलाता है।

• अवकल समीकरण का हल उसकी आदिम (primitive) भी कहलाता है, क्योंकि अवकल समीकरण को उससे व्युत्पन्न संबंध माना जा सकता है।

अवकल समीकरण की कोटि:

$\quad$ किसी अवकल समीकरण की कोटि उसमें उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है।

अवकल समीकरण की घात:

$\quad$ किसी अवकल समीकरण की घात, जिसे अवकलजों में बहुपद के रूप में लिखा जा सके, उसमें उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है, बाद में इसे ऐसे रूप में व्यक्त किया जाता है जहाँ अवकलजों के सापेक्ष कोई मूलदोष या भिन्न न हो; इस प्रकार अवकल समीकरण:

$\quad$ अवकल समीकरण

$f(x, y)\left[\frac{d^{m} y}{d x^{m}}\right]^{p}+\phi(x, y)\left[\frac{d^{m-1} y}{d x^{m-1}}\right]^{q}+\ldots+ C=0$

$\quad$ कोटि $m$ और घात $p$ का है।

एक अवकल समीकरण का निर्माण :

यदि स्वतंत्र और आश्रित चरों वाली किसी समीकरण में कुछ स्वेच्छ अचर हों, तो निम्न प्रकार एक अवकल समीकरण प्राप्त किया जा सकता है:

• दी गई समीकरण को स्वतंत्र चर (मान लीजिए x) के सापेक्ष उतनी बार अवकलित कीजिए जितने स्वेच्छ अचर उसमें हैं।
• स्वेच्छ अचरों को समाप्त कर दीजिए। परिणामी समीकरण अभीष्ट अवकल समीकरण होता है।

टिप्पणी: एक अवकल समीकरण वक्रों के एक कुल को दर्शाता है जिन सभी में कुछ सामान्य गुण होते हैं। इसे अवकल समीकरण की ज्यामितीय व्याख्या माना जा सकता है।

सामान्य एवं विशिष्ट हल:

• अवकल समीकरण का वह हल जिसमें स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या अवकल समीकरण की कोटि के बराबर हो, सामान्य हल (अथवा पूर्ण समाकल अथवा पूर्ण प्रिमिटिव) कहलाता है।

• सामान्य हल से अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया गया हल विशिष्ट हल कहलाता है।

प्रथम कोटि एवं प्रथम घात अवकल समीकरणों के प्रारंभिक प्रकार:

• चर पृथक्करणीय:

  $\quad$ प्रकार-1

  $\quad$ यदि अवकल समीकरण को $f(x) dx+g(y) d y=0$ $\quad$ के रूप में व्यक्त किया जा सके, तो इसे चर पृथक्करणीय प्रकार कहा जाता है।

  $\quad$ इसका सामान्य हल $\int f(x) , dx + \int g(y) , dy = c$ द्वारा दिया जाता है। $\quad$ c स्वेच्छ अचर है।

  $\quad$ प्रकार-2

  $\quad$ अवकल समीकरण

$ \frac{dy}{dx} = f(ax + by + c), \quad b \neq 0 $

$\quad$ को प्रतिस्थापन द्वारा हल किया जा सकता है

$
t = ax + by + c.
$

$\quad$ तब समीकरण चरों $t$ और $x$ में पृथक्योग्य प्रकार में न्यून हो जाता है, जिसे हल किया जा सकता है।

• सजातीय समीकरण: $\quad$ निम्न रूप का एक अवकल समीकरण

  $ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{\phi(x, y)}, $

  $\quad$ जहाँ $f(x, y) \ \text{और} \ \phi(x, y)$ चरों $x$ और $y$ की समान घात के सजातीय फलन हैं, को सजातीय कहा जाता है।

  $\quad$ इस समीकरण को निम्न रूप में भी न्यून किया जा सकता है

  $ \frac{dy}{dx} = g\left(\frac{x}{y}\right) $

  $\quad$ और इसे $y = vx$ रखकर हल किया जाता है ताकि आश्रित चर $y$ को एक अन्य चर $v$ में बदला जा सके, जहाँ $v$ कोई अज्ञात फलन है। अवकल समीकरण चरों पृथक्योग्य वाले समीकरण में रूपांतरित हो जाता है।

• सजातीय रूप में न्यून किए जाने वाले समीकरण:

  $\quad$ यदि $\frac{dy}{dx}=\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{a_2 x+b_2 y+c_2}$

  $\quad$ जहाँ $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$, अर्थात् $\frac{a_1}{b_1} \neq \frac{a_2}{b_2}$ तो

  $\quad$ प्रतिस्थापन $\mathrm{x}=\mathrm{u}+\mathrm{h}, \mathrm{y}=\mathrm{v}+\mathrm{k}$ इस समीकरण को नए चरों $\mathrm{u}$ और $\mathrm{v}$ में सजातीय प्रकार में रूपांतरित करता है, जहाँ $\mathrm{h}$ और $\mathrm{k}$ ऐच्छिक नियतांक हैं जिन्हें इस प्रकार चुना जाता है कि दिया गया समीकरण सजातीय बन जाए।

• $\quad$ यदि $\mathrm{a}_1 \mathrm{~b}_2-\mathrm{a}_2 \mathrm{~b}_1=0$ है, तो एक प्रतिस्थापन $\mathrm{u}=\mathrm{a}_1 \mathrm{x}+\mathrm{b}_1 \mathrm{y}$ यह अवकल समीकरण को एक ऐसे समीकरण में बदल देता है जिसमें चर पृथक् हो जाते हैं।

  • $\quad$ यदि $b_1+a_2=0$ है, तो एक सरल क्रॉस गुणा और $d(xy)$ को $x dy+y dx$ के स्थान पर रखकर पद-दर-पद समाकलन करने पर परिणाम आसानी से प्राप्त हो जाता है।

  • $\quad$ $y f(xy) dx+x g(xy) dy=0$ रूप के समीकरण में चर प्रतिस्थापन $xy=v$ द्वारा पृथक् किए जा सकते हैं।

रैखिक अवकल समीकरण:

$\quad$ एक अवकल समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि आश्रित चर और इसके अवकल गुणांक केवल प्रथम घात में आते हैं और एक-दूसरे से गुणा नहीं होते।

$\quad$ n-कोटि का रैखिक अवकल समीकरण इस प्रकार का होता है;

$a_0(x) \frac{d^n y}{dx^n}+a_1(x) \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}}+\ldots \ldots \ldots+a_n(x)$

$\quad y=\phi(x)$, जहाँ $a_0(x), a_1(x) \ldots a_n(x)$ को अवकल समीकरण के गुणांक कहा जाता है।

• प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण: प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का सबसे सामान्य रूप $\frac{dy}{dx}+P y=Q$ है, जहाँ $P$ और $Q$, $x$ के फलन हैं। ऐसे समीकरण को हल करने के लिए दोनों पक्षों को $e^{\int P dx}$ से गुणा करें। तब इस समीकरण का हल $y e^{\int \mathrm{Pdx}}=\int \mathrm{Q} e^{\int \mathrm{Pdx}} \mathrm{dx}+\mathrm{c}$ होगा।

• समीकरण जो रैखिक रूप में परिवर्तनीय हैं : समीकरण $\frac{dy}{dx}+P y=Q \cdot y^n$ जहाँ $P$ और $Q$, $x$ के फलन हैं, को $y^n$ से विभाजित करने और फिर $y^{-n+1}=Z$ प्रतिस्थापित करने से रैखिक रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।

  समीकरण $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{Py}=\mathrm{Q} \mathrm{y}^{\mathrm{n}}$ को BERNOULI’S EQUATION कहा जाता है।

महत्वपूर्ण नोट्स: $ x , dy + y , dx = d(xy) $ $ \frac{x , dy - y , dx}{x^2} = d\left(\frac{y}{x}\right) $ $ \frac{y , dx - x , dy}{y^2} = d\left(\frac{x}{y}\right) $ $ \frac{x , dy + y , dx}{xy} = d(\ln(xy)) $ $ \frac{dx + dy}{x + y} = d(\ln(x + y)) $ $ \frac{x , dy - y , dx}{xy} = d(\ln\left(\frac{y}{x}\right)) $