शंकु-काटन की मूल बातें:

• शंकु-काटन वह बिन्दु-पथ है जिसमें एक बिन्दु इस प्रकार चलता है कि उसकी एक निश्चित बिन्दु से दूरी तथा एक निश्चित सरल रेखा से लम्बवत् दूरी का अनुपात सदैव नियत रहता है।

• निश्चित बिन्दु को फोकस, निश्चित सरल रेखा को निर्देशिका, नियत अनुपात को उत्केन्द्रता तथा फोकस से होकर निर्देशिका के समानान्तर जाने वाली रेखा को अक्ष कहा जाता है।

• अक्ष के साथ प्रतिच्छेद बिन्दु को शंकु का शीर्ष कहा जाता है।

• शंकु-काटन का सामान्य समीकरण

  $P S^{2}=e^{2} P M^{2}$

उपर्युक्त को सरल करने पर हमें शंकु-काटन का सामान्य समीकरण प्राप्त होता है

$ a x^2 + 2 h x y + b y^2 + 2 g x + 2 f y + c = 0 $

• शंकु-काटन की प्रकृति

$\quad $ शंकु-काटन की प्रकृति उत्केन्द्रता पर तथा निश्चित बिन्दु और निश्चित रेखा की सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करती है।

$\quad $ द्विघात समीकरण का विविक्तकर ’ $\Delta$ ’ इस प्रकार परिभाषित है:

$\Delta=\left|\begin{array}{lll}a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c\end{array}\right|=a b c+2 f g h-a f^{2}-b g^{2}-b h^{2}$

$\quad $ शंकु-काटन की प्रकृति उत्केन्द्रता पर निर्भर करती है

जब निश्चित बिन्दु ’ $S$ ’ निश्चित रेखा अर्थात् निर्देशिका पर स्थित हो, तो विविक्तकर 0 होगा। तब शंकु-काटन का सामान्य समीकरण एक एकल रेखा को निरूपित करेगा।

जब निश्चित बिन्दु ’ $S$ ’ निश्चित रेखा अर्थात् निर्देशिका पर स्थित न हो, तो विविक्तकर 0 नहीं होगा। $\quad$ शंकु-काटन का सामान्य समीकरण परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय को निरूपित करेगा।

• परवलय: $ e=1 \quad\ \text{और}\quad h^{2}=ab $

• दीर्घवृत्त: $ e<1 \quad\ \text{और}\quad h^{2} < a b $

• अतिपरवलय: $ e>1 \quad\ \text{और}\quad c^{2}>a^{2} $

• आयताकार अतिपरवलय: $ab=0$

दीर्घवृत्त: एक ज्यामितीय आकृति जिसे उस तल में स्थित सभी बिंदुओं के समुच्चय द्वारा परिभाषित किया जाता है जहाँ दो स्थिर बिंदुओं (फोकस) से दूरियों का योग स्थिर होता है।

• दीर्घवृत्त एक बिंदु का वह बिंदुपथ है जो तल में इस प्रकार चलता है कि उसकी दूरी उसी तल में स्थित दो स्थिर बिंदुओं से सदैव स्थिर रहती है

  अर्थात्, $\left|\mathrm{PF} _{1}\right|+\left|\mathrm{PF} _{2}\right|=2 \mathrm{a}$

  दीर्घवृत्त का प्रामाणिक समीकरण इस प्रकार दिया जाता है:

  $ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $

  जहाँ $b^{2} = a^{2} - a^{2}e^{2}$।

दीर्घवृत्त की नामकरण:

उपरोक्त समीकरण तभी मान्य होते हैं जब अक्ष $x$ और $y$-अक्ष हों। जब अक्ष $x$ और $y$-अक्ष से भिन्न हों, तो समीकरण इस प्रकार होगा

$ \frac{\mathrm{P} _{1}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{P} _{2}^{2}}{\mathrm{b}^{2}}=1, \text { और } \mathrm{L} _{1}=0 \text { और } \mathrm{L} _{2}=0 \text { प्रमुख और अनुप्रमुख अक्ष हैं। } $

• दीर्घवृत्त की पारिभाषिक शब्दावली (जब अक्ष $x$ और $y$ अक्ष हों)

• दो फोकसों $\left(F_{1}\right.$ और $\left.F_{2}\right)$ को जोड़ने वाली रेखा को प्रमुख अक्ष कहा जाता है।

• $F_{1}$ और $F_{2}$ के बीच की दूरी को फोकस दूरी कहा जाता है।

• बिंदु $(a, 0)$ और $(-a, 0)$ फोकसों के निर्देशांक होते हैं।

• प्रमुख अक्ष की लंबाई $2 a$ और अनुप्रमुख अक्ष की लंबाई $2 b$ होती है

• दीर्घ अक्ष के लंबवत् दीर्घवृत्त की एक जीवा को द्वि-कोटि कहा जाता है।

• एक जीवा जो दीर्घवृत्त के फोकस से होकर जाती है, उसे फोकसीय जीवा कहा जाता है।

• फोकस से होकर जाने वाली द्वि-कोटि या दीर्घ अक्ष के लंबवत् फोकसीय जीवा को लेटस रेक्टम कहा जाता है।

• लेटस रेक्टम की लंबाई $==2 \mathrm{a}\left(1-\mathrm{e}^{2}\right)=2\frac{b^2}{a}$

• दीर्घवृत्त की कोई भी जीवा जो केंद्र (दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष के प्रतिच्छेद बिंदु) से होकर जाती है, इस बिंदु पर समद्विभाजित होती है और इसलिए इसे व्यास कहा जाता है।

उत्केंद्रता:

$\mathrm{e}=\frac{\text { केंद्र से फोकस की दूरी }}{\text { केंद्र से शीर्ष की दूरी }}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

$\Rightarrow \mathrm{c}=\mathrm{v}\lambda$

$\quad$ दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,

$ \mathrm{b}^{2}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{c}^{2}=\mathrm{a}^{2}\left(1-\mathrm{e}^{2}\right)$

$ \mathrm{e}=\sqrt{1-\frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{(\text { लघु अक्ष })^{2}}{(\text { दीर्घ अक्ष })^{2}}}$

• जब $a>b$, तो दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ होगा और बाकी सब कुछ तदनुसार होगा। हालांकि $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}=1$

• जब $a<b$, तो दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ होगा और इस प्रकार विभिन्न मापदंडों के सूत्र तदनुसार बदल जाएंगे।

निर्देशांक: $y= \pm a / e$

शीर्ष: $(\pm a, 0)$

• लेटस रेक्टम की लंबाई: $\frac{2 a^{2}}{b}$

उत्केंद्रता: $ e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$

फोकस: $(0, \pm$ 1 $)$

सहायक वृत्त: सहायक वृत्त एक ज्यामितीय रचना है जिसका उपयोग शांकवीय काटों के अध्ययन में किया जाता है, विशेष रूप से दीर्घवृत्तीय कक्षाओं के संदर्भ में। यह एक ऐसा वृत्त है जिसका केंद्र दीर्घवृत्त के समान होता है लेकिन त्रिज्या दीर्घवृत्त की अर्ध-बड़ी अक्ष के बराबर होती है। इस वृत्त का उपयोग दीर्घवृत्त के गुणों को देखने और गणना करने में मदद के लिए किया जाता है, जैसे कि उत्केंद्रता और फोकस की स्थिति।

$\quad$ दीर्घवृत्त के बड़े अक्ष पर व्यास के रूप में वर्णित वृत्त को सहायक वृत्त कहा जाता है।

• दीर्घवृत्त पर बिंदु: $P:(a \cos \theta, b \sin \theta)$
• सहायक वृत्त पर बिंदु: $Q:(a \cos \theta, a \sin \theta)$

$\quad$ सहायक वृत्त का समीकरण

$x^{2}+y^{2}=a^{2}$

$\quad$ जब सहायक वृत्त पर स्थित बिंदु $Q$ से एक लंब रेखा खींची जाती है जो दीर्घवृत्त को $P$ पर काटती है, तो $P$ और $Q$ को संगत बिंदु कहा जाता है, और $\theta$ को बिंदु $P$ की उत्केंद्र कोण कहा जाता है।

दीर्घवृत्त की प्राचलिक निरूपण:

$\quad$ सहायक विषय में हमने देखा कि $P$ दीर्घवृत्त पर है और इस प्रकार यह दीर्घवृत्त के समीकरण को संतुष्ट करता है।

$\quad$ यहां प्राचल $\theta$ है। यह हमें दीर्घवृत्त के प्राचलिक निरूपण के साथ बिंदु $P:(a \cos \theta, b \sin \theta)$ देता है।

दीर्घवृत्त के संबंध में एक बिंदु की स्थिति:

$\quad$ माना $\mathrm{S}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1$ और बिंदु $P$ दीर्घवृत्त के बाहर स्थित है, $\quad S_1 = \frac{\mathrm{x}_{1}^{2}}{\mathrm{~a}^{2}}+\frac{\mathrm{y} _{1}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}-1$

• बिंदु वक्र के बाहर है: $\mathrm{S}_{1}>0$

• बिंदु वक्र के अंदर है: $\mathrm{S}_{1}<0$

• बिंदु वक्र पर है: $S_{1}=0$

रेखा और दीर्घवृत्त:

$\quad$ $L: y=m x+c$ और $S: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

एक रेखा दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा हो सकती है, यह दीर्घवृत्त को काट सकती है या यह बिल्कुल भी नहीं काट सकती। यह जानने के लिए, हम ’ $x$ ’ में एक द्विघात समीकरण बनाएंगे जिसमें $L$ और $S$ के समीकरणों का उपयोग किया जाएगा।

• यदि विविक्तकर $D>0 \Rightarrow$ दो मूल $\Rightarrow$ प्रतिच्छेद $\Rightarrow$ जीवा

• यदि $D=0 \Rightarrow$ एक मूल $\Rightarrow$ वृत्त को स्पर्श करना $\Rightarrow$ स्पर्श रेखा

• यदि $D<0 \Rightarrow$ कोई वास्तविक मूल नहीं $\Rightarrow$ न जीवा न स्पर्श रेखा

स्पर्शता की शर्त

$D=0 \Rightarrow \mathrm{c}= \pm \sqrt{\mathrm{a}^{2} \mathrm{~m}^{2}+\mathrm{b}^{2}}$

$\quad$ इस प्रकार स्पर्श रेखा का समीकरण होगा

$L: y=m x+c$

$y=m x \pm \sqrt{a^{2} m^{2}+b^{2}}$

दीर्घवृत्त पर एक दिए गए बिंदु $(H, K)$ से स्पर्श रेखाओं की संख्या:

$(k-m h)^{2}=a^{2} m^{2}+b^{2} m^{2}$

$\quad$ जो $m$ में एक द्विघात है। यह सुझाव देता है कि एक दिए गए बिंदु $P(h, k)$ से हम अधिकतम दो स्पर्श रेखाएं खींच सकते हैं।

दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण:

$\quad$ माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है।उपरोक्त द्विघात समीकरण से, हम जानते हैं ढालें: $m_{1}$ और $m_{2}$

इस प्रकार, $\tan \theta=\left|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}\right|=\left|\frac{\sqrt{\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}}}{1+m_{1} m_{2}}\right|$

$\quad$ m में द्विघात समीकरण से,

$ m_{1}+m_{2}=\frac{2 h k}{h^{2}-a^{2}} \ \text{और} \ \quad m_{1} m_{2}=\frac{k^{2}-b^{2}}{h^{2}-a^{2}} $

दीर्घवृत्त का निर्देशक वृत्त:

• जब $\theta=90^{\circ}$ तो $m_{1} m_{2}=0$

• निर्देशक वृत्त का समीकरण: $x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}$

• निर्देशक वृत्त वह बिंदुओं का बिंदुपथ है जहाँ से दीर्घवृत्त को $90^{\circ}$ के कोण से देखा जा सकता है।

• दीर्घवृत्त पर बिंदुओं a और $\beta$ को मिलाने वाली जीवा का समीकरण

$ \frac{x}{a} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{y}{b} \sin \frac{\alpha+\beta}{2}=\cos \frac{\alpha-\beta}{2} $

स्पर्श रेखा का समीकरण:

• कार्तीय रूप

$ \frac{\mathrm{xx}_ {1}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{yy}_ {1}}{\mathrm{~b}^{2}}=1 $

• ढाल रूप एक भूवैज्ञानिक शब्द है जिसका उपयोग एक भूमि सतह के रूप का वर्णन करने के लिए किया जाता है जो एक सुसंगत ढाल से विशेषित होती है, जो अक्सर कटाव या टेक्टोनिक गतिविधि के परिणामस्वरूप होती है।

$y=m x \pm \sqrt{a^{2} m^{2}+b^{2}}$

• प्राचल रूप

$ \frac{x \cos \theta}{a}+\frac{y \sin \theta}{b}=1 $

अभिलंब का समीकरण:

• कार्तीय रूप

$\frac{a^{2} x}{x_{1}}-\frac{b^{2} y}{y_{1}}=a^{2} e^{2}=c^{2}$

• ढाल रूप (Slope form) एक भूवैज्ञानिक शब्द है जिसका उपयोग भूमि सतह के उस रूप को वर्णित करने के लिए किया जाता है जिसमें एक समान ढाल होती है, जो प्रायः कटाव या टेक्टोनिक गतिविधियों जैसी प्रक्रियाओं के फलस्वरूप बनती है।

$y=m x-\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right) m}{\sqrt{a^{2}+b^{2} m^{2}}}$

• प्राचलिक रूप (Parametric form)

$a x \sec \theta-b y \operatorname{cosec} \theta=a^{2} - b^{2}$

संपर्क की जीवा (Chord Of Contact):

संपर्क की जीवा का समीकरण स्पर्श रेखा के समान होगा। इस प्रकार, एक रेखा जो दीर्घवृत्त को स्पर्श करती है वह स्पर्श रेखा होगी और वही रेखा जो दीर्घवृत्त को काटती है वह संपर्क की जीवा होगी।

$\quad$ समीकरण: $\mathrm{T}=0$

स्पर्श रेखाओं का युग्म (Pair of Tangents):

स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण है

$ SS_1=T^2 $

$\quad$ जहाँ $S$ दीर्घवृत्त का समीकरण है, $S_{1}$ वह दीर्घवृत्त का समीकरण है जो बिंदु $P(h, k)$ द्वारा संतुष्ट होता है, $T$ स्पर्श रेखा का समीकरण है।