फलनों पर संक्रियाएँ:

• $ (f+g)(x)=f(x)+g(x)$

• $ (f-g)(x)=f(x)-g(x)$

• $ (f.g) (x)=f(x) \cdot g(x)$

• $ (\frac{f}{g})(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{g}(\mathrm{x})} ; \mathrm{g}(\mathrm{x}) \neq 0$

• $ (\mathrm{kf})(\mathrm{x})=\mathrm{kf}(\mathrm{x})$

कुछ विशेष फलन:

• यदि $f(x+y)=f(x)+f(y)$, तो $f(x)=k x$

• यदि $f(x y)=f(x)+f(y)$, तो $f(x)=\log x$

• यदि $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$, तो $f(x)=e^x$

• यदि $f(x) f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$, तो $f(x)=x^n \pm 1$

महत्वपूर्ण सूत्र:

• एक सीमित समुच्चय $A$ से एक सीमित समुच्चय $B$ में फलनों की संख्या $[n(B)]^{n(A)}$ है

• एक समुच्चय A से एक सीमित समुच्चय B में परिभाषित किए जा सकने वाले एक-एक फलनों की संख्या $ ^{n(B)}P_{n(A)} = \frac{n(B)!}{(n(B) - n(A))!} $ है; यदि $n(B) \geq n(A)$, अन्यथा $0$ है

• एक सीमित समुच्चय A, जिसमें n अवयव हैं, से एक सीमित समुच्चय B, जिसमें 2 अवयव हैं, पर परिभाषित किए जा सकने वाले आच्छादक फलनों की संख्या = $2^n– 2$

• A से B तक आच्छादक फलनों की संख्या, जहाँ $o(A) = m, o(B) = n $ और $m \geq n$ है, $\sum_{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}}(-1)^{\mathrm{n}-\mathrm{r~}}{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{r}} \mathrm{r}^{\mathrm{m}}$ है

• एक सीमित समुच्चय A से एक सीमित समुच्चय B तक द्वि-निष्ठ फलनों की संख्या $n(A)!$ है यदि $n(A) = n(B)$ और अन्यथा 0 है

• यदि $o(A \cap B)=n$ तो $\mathrm{o}[(\mathrm{A} \times \mathrm{B}) \cap(\mathrm{B} \times \mathrm{A})]=\mathrm{n}^2 $

• यदि कोई रेखा जो X-अक्ष के समानांतर है, फलन के ग्राफ को अधिकतम एक बिंदु पर काटती है, तो फलन एकैक (one-one) है।

• यदि कोई एक भी रेखा जो X-अक्ष के समानांतर है, फलन के ग्राफ को कम से कम दो बिंदुओं पर काटती है, तो फलन बहु-एक (many-one) है।

डोमेन और रेंज:

$\quad$ यदि फलन इस रूप में हो:

• $\sqrt{\mathrm{f}(\mathrm{x})}$, $\quad$ तो $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geq 0$ लीजिए

• $\frac{1}{\sqrt{\mathrm{f}(\mathrm{x})}}$, $\quad$ तो $\mathrm{f}(\mathrm{x})>0$ लीजिए

• $\frac{1}{\mathrm{f}(\mathrm{x})}$, $\quad$ तो $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \neq 0$ लीजिए

सम और विषम फलनों के गुण:

• सम फलन का ग्राफ सदैव y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है।

• विषम फलन का ग्राफ सदैव मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है।

• दो सम या दो विषम फलनों का गुणनफल एक सम फलन होता है।

• दो सम (विषम) फलनों का योग और अंतर एक सम (विषम) फलन होता है।

• एक सम और एक विषम फलन का गुणनफल एक विषम फलन होता है।

• सम और विषम फलन का योग न तो सम होता है और न ही विषम।

• शून्य फलन, अर्थात् f(x) = 0, वही एकमात्र फलन है जो सम और विषम दोनों है।

• किसी दिए गए फलन को सम और विषम फलन के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$\quad$ $\quad$ अर्थात् $f(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]+\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]=$ सम फलन + विषम फलन

आवर्ती फलनों के गुण:

• यदि किसी फलन $f(x)$ की आवर्ती T है, तो $f(x n+a)$ की आवर्ती $T / n$ होती है और $f(\frac{x}{n}+a)$ की आवर्ती $n T$ होती है।

• यदि $f(x)$ की आवर्ती $T_1$ है और $g(x)$ की आवर्ती $T_2$ है, तो $f(x) \pm g(x)$ की आवर्ती $T_1$ और $T_2$ का ल.स. होगी, बशर्ते यह आवर्ती फलन की परिभाषा को संतुष्ट करे।

• यदि $f(x)$ और $g(x)$ दोनों की आवर्ती समान T है, तो $af(x)+bg(x)$ की आवर्ती भी T होगी।

महत्तम पूर्णांक फलन के गुण

• $[x+n]=n+[x], n \in I$

• $[-x]=-[x], x \in I$

• $[-x]=-[x]-1, x \notin I$

• $[x] \geq n \rightarrow x \geq n, \quad n \in \mathbb{I}$

• $[x] \geq n \Rightarrow x \geq n, n \in I$

• $[x]>n \Rightarrow x \geq n+1, n \in I$

• $[x] \leq n \Rightarrow x \leq n+1, n \in I$

• $[x] < n \Rightarrow x < n, n \in I$

भिन्नात्मक भाग फलन के गुण

• ${x}=x-[x]$

• ${x}=x$, यदि $0 \leq x<1$

• ${x}=0$, यदि $x \in I$

• ${-x}=1-{x}$, यदि $x \notin I$

कड़ाई से वर्धमान फलन:

$\quad$ यदि अंतराल में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}>0$ हो, तो फलन $f$ कड़ाई से वर्धमान है।

कड़ाई से ह्रासमान फलन:

$\quad$ यदि अंतराल में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}<0$ हो, तो फलन $f$ कड़ाई से ह्रासमान है।

नियत फलन:

$\quad$ यदि अंतराल में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}=0$ हो, तो फलन $f$ नियत है।

लघुगणकीय फलन:

$\quad$ एक लघुगणकीय फलन $y=f(x)=\log_a x$ द्वारा दिया जा सकता है, जहाँ $a > 0, a \neq 1, x > 0$

• फलन का ग्राफ बढ़ता है, यदि $a > 1$ और घटता है, यदि $0<a<1$

घातांक फलन:

$\quad$ घातांक फलन $y=f(x)=a^x$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $a>0, a\neq 1$

• घातांक फलन का ग्राफ बढ़ता है, यदि $a>1$ और घटता है, यदि $0<a<1$

संयुक्त फलन का प्रांत:

$\quad$ संयुक्त फलन $f(g(x))$ का प्रांत उन सभी इनपुट्स $x$ का समुच्चय है जो $g$ के प्रांत में हैं और जिनके लिए $g(x)$ का मान $f$ के प्रांत में होता है।