$\boxed{\begin{matrix} \text{अतिपरवलय के समीकरण की सामान्य रूप: } Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\ \ \text{यदि} B^2 - 4AC > 0 \text{,~ तो यह एक अतिपरवलय है। } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \end{matrix}}$

मानक सूत्र:

• अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, \text{ जहाँ, } b^{2}=a^{2}\left(e^{2}-1\right)$ है

• नाभियाँ : $S \equiv( \pm a e, 0)$

• निर्देशक : $x= \pm \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{e}}$

• शीर्ष : $A \equiv( \pm a, 0)$

• लेटस रेक्टम($\ell$): $\ell=\frac{2 \mathrm{~b}^{2}}{\mathrm{a}}=2 \mathrm{a}\left(\mathrm{e}^{2}-1\right)$

संयुग्मी अतिपरवलय :

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \text{ और }-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \text{, एक-दूसरे के संयुग्मी अतिपरवलय हैं।}$

सहायक वृत्त:

$x^{2}+y^{2}=a^{2}$

प्राचलिक निरूपण :

$x=a \sec \theta ~ ~ \text{और }y=b \tan \theta$

अतिपरवलय के सापेक्स बिंदु ‘P’ की स्थिति :

$S_{1} \equiv \frac{x_{1}{ }^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{1}{ }^{2}}{b^{2}}-1>,= \text{या} <0$

$\quad$ जैसा कि बिंदु $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ वक्र के अंदर, पर या बाहर स्थित है।

स्पर्श रेखाएँ :

• ढाल रूप : $y=m x \pm \sqrt{a^{2} m^{2}-b^{2}}$

• बिंदु रूप : बिंदु $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ पर $\frac{x{x_{1}}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1$

• प्राचलिक रूप : $\frac{\mathrm{x} \sec \theta}{\mathrm{a}}-\frac{\mathrm{y} \tan \theta}{\mathrm{b}}=1$।

अभिलंब :

• बिंदु $P\left(x_{1}, y_{1}\right)$ पर:

$\frac{a^{2} x}{x_{1}}+\frac{b^{2} y}{y_{1}}=a^{2}+b^{2}=a^{2} e^{2}$

• बिंदु $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर:

$\frac{a x}{\sec \theta}+\frac{b y}{\tan \theta}=a^{2}+b^{2}=a^{2} e^{2}$

• ढाल ’ $m$ ’ के पदों में अभिलंबों के समीकरण:

$y=m x \pm \frac{\left(a^{2}+b^{2}\right) m}{\sqrt{a^{2}-b^{2} m^{2}}}$

अनुपाती रेखाएँ:

• अनुपाती रेखाओं का युग्म:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0 ~ \text{और} ~ \frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0$

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0$

• $\frac{x^2 }{a^2}-\frac{y^2 }{b^2}=1$ की अनुपाती रेखाओं के बीच का कोण: $2 \tan^{-1}(\frac{b}{a})$

• अतिशयोक्ति $\frac{x^2 }{a^2}-\frac{y^2 }{b^2}=1$ पर किसी बिंदु से उसकी अनुपाती रेखाओं पर डाले गए लंबों का गुणनफल अचर है $\frac{(ab)^2}{a^2+b^2}.$

आयताकार या समबाहु अतिशयोक्ति:

$x y=c^{2} ~ $

• शीर्ष :

$( \pm c, \pm c)$

• फोकस :

$( \pm \sqrt{2} c, \pm \sqrt{2} c)$

• निर्देशिकाएँ :

$x+y= \pm \sqrt{2} c$

• लेटस रेक्टम: $ \ell=2 \sqrt{2} \mathrm{c}= T.A. = C.A.$

• प्राचलिक समीकरण:

$x=c t, y=\frac{c}{t}, t \in \mathbb{R} - {0}$

• स्पर्श रेखा का समीकरण:

$\qquad \qquad$ बिंदु $P\left(x_{1}, y_{1}\right)$ पर:

$\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1}=2 $

$\qquad \qquad$ बिंदु $\hspace{1mm} P(t)$ पर:

$\hspace{1mm}\frac{x}{t}+t y=2 c$

• बिंदु $P(t)$ पर अभिलंब का समीकरण:

$x^{3}-y t=c\left(t^{4}-1\right)$

• दिया गया मध्य बिंदु $(h, k)$ वाला जीवा:

$k x+h y=2 h k$

• उत्केन्द्रता है: $\sqrt{2}$

अर्ध लाटस रेक्टम:

$\qquad$ यह लाटस रेक्टम का आधा है : $ \frac{(b^2)}{a}$

स्पर्शता की शर्त तथा स्पर्श बिंदु:

$\qquad$ रेखा $y=mx+c$ के अतिशयोक्ति पर स्पर्श होने की शर्त $\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}$ यह है कि $c^2=(am)^2 - b^2$ और स्पर्श बिंदुओं के निर्देशांक $\left(\pm \frac{a^2 m}{\sqrt{(am)^2-b^2}}, \pm \frac{b^2}{\sqrt{(am)^2-b^2}}\right)$ हैं

बिंदु रूप में स्पर्श रेखा का समीकरण:

$\qquad$ बिंदु $(x_1, y_1)$ पर: $\frac{x x_1}{a^2}-\frac{y y_1}{b^2}=1$

स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण:

$\qquad$ किसी बिंदु से अतिशयोक्ति $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर यह है: $S S_1 = T^2$

$ \text{ जहाँ, } S= \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1, S_1 = \frac{(x_1)^2}{a^2}-\frac{(y_1)^2}{b^2}-1 \text{ और } T= \frac{(x x_1)}{a^2}-\frac{y (y_1)}{b^2}-1 $

स्पर्श जीवा:

$\qquad$ बिंदु $(x_1, y_1)$ से अतिशयोक्ति $\frac{x^2 }{a^2}-\frac{y^2 }{b^2}=1$ पर यह है:

$T=0 \text{,जहाँ, } T= \frac{(x x_1)}{a^2}-\frac{y (y_1)}{b^2}-1$

व्यास:

• व्यास का समीकरण:

  अतिशयोक्ति $\frac{x^2 }{a^2}-\frac{y^2 }{b^2}=1$ की ढाल m वाली समांतर जीवाओं को समद्विभाजित करने वाले व्यास का समीकरण है: $y=\frac{b^2}{a^2 m}x$

• संयुग्मी व्यास:

  $y = m_1 x$ और $y = m_2x$ अतिशयोक्ति $ \frac{x^2 }{a^2}-\frac{y^2 }{b^2}=1$ के संयुग्मी व्यास हैं

आयताकार अतिशयोक्ति:

• स्पर्श रेखा:

• बिंदु रूप: अतिपरवलय $xy =c^2$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ xy_1 + yx_1 = 2c^2$

  • प्राचल रूप: अतिपरवलय $xy = c^2$ पर बिंदु $(ct, \frac{c}{t})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ \frac{x}{t} + yt = 2c$

• अभिलंब:

  • बिंदु रूप: अतिपरवलय $xy =c^2$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $ x x_1 - y y_1 = (x_1)^2 - (y_1)^2$

  • प्राचल रूप: अतिपरवलय $xy = c^2$ पर बिंदु $(ct, \frac{c}{t})$ पर अभिलंब का समीकरण $ xt - \frac{y}{t}= ct^2 - \frac{c}{t^2}$