यदि $f$ व $g$, $x$ के फलन इस प्रकार हैं कि $g^{\prime}(x)=f(x)$ तो,

$\int f(x) dx = g(x) + c \Leftrightarrow \frac{d}{dx}{g(x) + c} = f(x)$

जहाँ $c$ को समाकलन नियतांक कहा जाता है।

मानक सूत्र:

• $\int(a x+b)^{n} d x=\frac{(a x+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c, n \neq-1$

• $\int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}=\frac{1}{\mathrm{a}} \operatorname{\ell n}(\mathrm{ax}+\mathrm{b})+\mathrm{c}$

• $\int e^{a x+b} d x=\frac{1}{a} e^{a x+b}+c$

• $\int \mathrm{a}^{\mathrm{px+q}} \mathrm{dx}=\frac{1}{\mathrm{p}} \frac{\mathrm{a}^{\mathrm{px}+\mathrm{q}}}{\ln \mathrm{a}}+\mathrm{c} ; a>0$

• $\int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+c$

• $\int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+c$

• $\quad \int \tan (a x+b) d x=\frac{1}{a} \ln \sec (a x+b)+c$

• $\int \cot (a x+b) d x=\frac{1}{a} \ln \sin (a x+b)+c$

• $\int \sec ^{2}(a x+b) d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+c$

• $\int \operatorname{cosec}^{2}(a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+c$

• $\int \sec x d x=\ell n (\sec x+\tan x)+c$

$ \ell n \tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)+c$

• $\int \operatorname{cosec} x d x=\ell n(\operatorname{cosec} x-\cot x)+c$

• $\quad \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\sin ^{-1} \frac{x}{a}+c$

• $\int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{x}^{2}}=\frac{1}{\mathrm{a}} \tan ^{-1} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}+\mathrm{c}$

• $\int \frac{d x}{|x| \sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\frac{1}{a} \sec ^{-1} \frac{x}{a}+c$

• $\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2}}}=\operatorname{\ell n}\left[\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2}}\right]+\mathrm{c}$

• $\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}}}=\ell \mathrm{n}\left[\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}}\right]+\mathrm{c}$

• $\quad \int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}^{2}-\mathrm{x}^{2}}=\frac{1}{2 \mathrm{a}} \operatorname{\ell n}\left|\frac{\mathrm{a}+\mathrm{x}}{\mathrm{a}-\mathrm{x}}\right|+\mathrm{c}$

• $\int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}}=\frac{1}{2 \mathrm{a}} \ell \mathrm{n}\left|\frac{\mathrm{x}-\mathrm{a}}{\mathrm{x}+\mathrm{a}}\right|+\mathrm{c}$

• $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}+c$

• $\int \sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2}} \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{x}}{2} \sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{a}^{2}}{2} \ln (\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2}})+\mathrm{c}$

• $\int \sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}} \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{x}}{2} \sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{a}^{2}}{2} \ln (\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}})+\mathrm{c}$

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन

$\quad $ यदि हम प्रतिस्थापित करें $f(x)=t$, तो $f^{\prime}(x) d x=d t$

खंडशः समाकलन :

$\int(f(x) g(x)) d x=f(x) \int(g(x)) d x-\int (\frac{d}{d x}(f(x)) \int(g(x)) d x) d x$

प्रकारों का समाकलन

$ \int \frac{dx}{a x^{2}+b x+c} , \int \frac{dx}{\sqrt{a x^{2}+b x+c}} ,\int \sqrt{a x^{2}+b x+c} d x $

$\quad $ प्रतिस्थापन करें $x+\frac{b}{2 a}=t$

प्रकार का समाकलन

$ \int \frac{p x+q}{a x^{2}+b x+c} d x, \int \frac{p x+q}{\sqrt{a x^{2}+b x+c}} d x,\int(p x+q) \sqrt{a x^{2}+b x+c} d x $

$\quad $ प्रतिस्थापन करें $x+\frac{b}{2 a}=t$

$\quad $ फिर समाकलन को दो समाकलनों के योग के रूप में विभाजित करें, एक में रैखिक पद और दूसरे में अचर पद हो।

त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन

• $\int \frac{d x}{a+b \sin ^{2} x}$

$\int \frac{d x}{a+b \cos ^{2} x}$

$\int \frac{d x}{a \sin ^{2} x+b \sin x \cos x+c \cos ^{2} x}$

$\quad $ रखें $\tan x=t$

• $\int \frac{d x}{a+b \sin x}$

$\int \frac{d x}{a+b \cos x}$

$\int \frac{d x}{a+b \sin x+c \cos x}$

$\quad $ रखें $\tan \frac{x}{2}=t$

• $\int \frac{a \cdot \cos x+b \cdot \sin x+c}{\ell \cdot \cos x+m \cdot \sin x+n} d x$

$\quad $ व्यक्त करें $N r \equiv A(D r)+B \frac{d}{d x}(D r)+c$

प्रकार का समाकलन:

$\int \frac{\mathrm{x}^{2} \pm 1}{\mathrm{x}^{4}+K \mathrm{x}^{2}+1} \mathrm{dx}$

$\quad $ जहाँ ${K}$ कोई भी अचर है।

$\quad $ $Nr$ और $Dr$ को $x^2$ से विभाजित करें और रखें $x \mp \frac{1}{x} = t$.

प्रकार का समाकलन:

$\int \frac{d x}{(a x+b) \sqrt{p x+q}}$

$\int \frac{d x}{\left(a x^{2}+b x+c\right) \sqrt{p x+q}} \quad \text { रखें }\quad p x+q=t^{2}$

समाकलन का प्रकार:

$ \int \frac{d x}{(a x+b) \sqrt{p x^{2}+q x+r}} \quad \text { रखें } \quad x+b=\frac{1}{t} $

$ \int \frac{d x}{\left(a x^{2}+b\right) \sqrt{p x^{2}+q}} \quad\text { रखें }\quad x=\frac{1}{t} $

समाकलन का प्रकार:

• $\int \sqrt{\frac{x-\alpha}{\beta-x}} d x $

$ \int \sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)} \quad\text { रखें }\quad x=\alpha \cos ^2 \theta+\beta \sin ^2 \theta $

• $\int \sqrt{\frac{x-\alpha}{x-\beta}} d x \quad \text { रखें }\quad x=\alpha \cos ^2 \theta+\beta \sin ^2 \theta $

• $ \int \sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)} \quad\text { रखें }\quad x=\alpha \sec ^2 \theta-\beta \tan ^2 \theta$

• $\int \frac{d x}{\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}} \quad \text { रखें }\quad \mathrm{x}-\alpha=\mathrm{t}^2 \text { अथवा } \mathrm{x}-\beta=\mathrm{t}^2 $

समाकलन पर प्रमेय:

• $ \int c f(x) d x=c \int f(x) d x$

• $ \int[f(x) \pm g(x)] d x=\int f(x) d x \pm \int g(x) d x$

• $ \int f(x) d x=g(x)+c$

• $ \Rightarrow \int f(a x+b) d x=\frac{F(a x+b)}{a}+c, \quad a\ne0 $

समाकलन का प्रकार $\int \sin m x \cdot \cos n x d x$ :

$\quad$ स्थिति 1. यदि $m$ और $n$ सम प्राकृतिक संख्याएँ हैं तो $\sin m x \cos n x$ को $x$ के गुणकों के ज्या और कोज्या के पदों में त्रिकोणमितीय परिणामों या डि मॉइवर के प्रमेय का उपयोग करके व्यक्त करें।

$\quad$ Case 2.

• यदि $m$ एक विषम प्राकृतिक संख्या है तो $\cos x=t$ रखें।
• यदि $\mathrm{n}$ एक विषम प्राकृतिक संख्या है तो $\sin \mathrm{x}=\mathrm{t}$ रखें।
• यदि $\mathrm{m}$ और $\mathrm{n}$ दोनों विषम प्राकृतिक संख्याएँ हैं तो या तो $\sin \mathrm{x}=\mathrm{t}$ या $\cos \mathrm{x}=\mathrm{t}$ रखें।

$\quad$ Case 3. जब $m+n$ एक ऋणात्मक सम पूर्णांक हो तो tan $x=t$ रखें।

$\int \tan ^n x d x, \int \cot ^n x d x, \int \sec ^n x d x, \int \operatorname{cosec}^n x d x , n\ne1$ का रिडक्शन सूत्र:

• यदि $I_n =\int \tan ^n x d x$, तो $ I_n =\frac{\tan ^{n-1} x}{n-1}-I_{n-2} $

• यदि $I_n =\int \cot ^n x d x$, तो

$ I_n=\frac{\cot ^{n-1} x}{n-1}-I_{n-2} $

• यदि $I_n =\int \sec ^n x d x$, तो

$ I_n=\frac{\tan x \sec ^{n-2} x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1} I_{n-2} $

• यदि $I_n =\int \operatorname{cosec}^n x$, तो

$I_n=\frac{\cot x \operatorname{cosec}^{n-2} x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1} I_{n-2}$