आव्यूह योग के गुणधर्म:

$\quad$ यदि $ A, B \ \text{और} $ C समान क्रम के आव्यूह हैं, तो

• (क्रमविनिमय नियम) $ A + B = B + A $

• (साहचर्य नियम) $(A + B) + C = A + (B + C) $

• (योज्य तत्समक का अस्तित्व) $ A + O = O + A = A$

  जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है जो आव्यूह का योज्य तत्समक है

• (योज्य प्रतिलोम) $ A + B = O = B + A $

  $B $ को $A$ का योज्य प्रतिलोम कहा जाता है और साथ ही $A$ को भी $A$ का योज्य प्रतिलोम कहा जाता है

अदिश गुणन के गुणधर्म:

$\quad $ यदि $ A, B \ \text{और} $ C समान क्रम के आव्यूह हैं और $λ, µ $ कोई दो अदिश हैं तो

• $ \quad \lambda (A + B) = \lambda A + \lambda B $

• $\quad (\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A$

• $\quad \lambda(\mu A) = (\lambda \mu)A = \mu(\lambda A)$

• $\quad (-\lambda A) = - (\lambda A) = \lambda(-A)$

• $\quad \text{tr} (kA) = k \text{tr} (A)$

आव्यूह के प्रकार:

• सममित आव्यूह

  एक वर्ग आव्यूह $A=\left[a_{ij}\right]$ को सममित आव्यूह कहा जाता है यदि $a_{ij}=a_{ji}$ सभी $i, j$ के लिए.

• विषम-सममित आव्यूह

  एक वर्ग आव्यूह $A$ विषम-सममित होता है जब $a_{ij}=-a_{ji}$ सभी $i, j$ के लिए.

• हरमिटियन

  एक वर्ग आव्यूह $A=\left[a_{ij}\right]$ को हरमिटियन आव्यूह कहा जाता है यदि $A=A^\dagger$ (परिवर्तित संयुग्मी)

• विषम-हरमिटियन

  एक वर्ग आव्यूह $A=\left[a_{ij}\right]$ को विषम-हरमिटियन आव्यूह कहा जाता है यदि $A=-A^\dagger$

• ऑर्थोगोनल आव्यूह

  एक वर्ग आव्यूह $A$ ऑर्थोगोनल होता है यदि $AA^\top=I_n=A^\top A$.

• इडेम्पोटेंट मैट्रिक्स

  एक वर्ग मैट्रिक्स (A) इडेम्पोटेंट होता है यदि (A^2=A).

• इनवॉलंटरी मैट्रिक्स इनवॉलंटरी मैट्रिक्स

  एक वर्ग मैट्रिक्स (A) इनवॉलंटरी होता है यदि (A^2=I) या (A^{-1}=A).

• निल्पोटेंट मैट्रिक्स

  एक वर्ग मैट्रिक्स (A) निल्पोटेंट होता है यदि कोई (p \in \mathbb{N} \ \text{ऐसा हो कि} \ A^{p} = O) मौजूद हो

मैट्रिक्स के ट्रेस के गुण

• ( \operatorname{tr}(\lambda \mathrm{A})=\lambda \operatorname{tr}(\mathrm{A}))

• ( \operatorname{tr}(\mathrm{A}+\mathrm{B})=\operatorname{tr}(\mathrm{A})+\operatorname{tr}(\mathrm{B}))

• ( \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A))

मैट्रिक्स के ट्रांसपोज़ के गुण:

• ( \left(A^T\right)^T=A)

• ( (A \pm B)^{\top}=A^{\top} \pm B^{\top})

• ( (A B)^{\top}=B^{\top} A^{\top})

• ( (k A)^{\top}=k(A)^{\top})

• ( \left(A_1 A_2 A_3\right.) .. (\left.A_{n-1} A_n\right)^{\top}=A_n^{\top} A_{n-1}^{\top}) (A_3^{\top} A_2^{\top} A_1^{\top})

• ( I^{T}=I)

• ( \operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}\left(A^{\top}\right))

मैट्रिक्स गुणन के गुण:

• ( \mathrm{AB} \neq \mathrm{BA})

• ( (\mathrm{AB}) \mathrm{C}=\mathrm{A}(\mathrm{BC}))

• ( A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C)

• दो मैट्रिक्स का गुणन शून्य मैट्रिक्स हो सकता है जबकि उनमें से कोई भी शून्य नहीं है, अर्थात् यदि ( AB = 0 ), तो यह आवश्यक नहीं कि या तो (A = O) हो या (B = O) हो

• ( tr(AB) = tr(BA))

• यदि (AB = AC ⇒ B ≠ C ) (रद्द करने का नियम लागू नहीं होता)

आव्यूह के आगंतुक के गुणधर्म:

• $ A(\operatorname{adj} A)=(\operatorname{adj} A) A=|A| I_n$

• $|\operatorname{adj} A|=|A|^{n-1}$

• $(\operatorname{adj} A B)=(\operatorname{adj} B)(\operatorname{adj} A)$

• $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)=|A|^{n-2}$

• $(\operatorname{adj} K A)=K^{n-1}(\operatorname{adj} A)$

आव्यूह के व्युत्क्रम के गुणधर्म:

$\quad \mathrm{A}^{-1}$ का अस्तित्व है यदि $\mathrm{A}$ अव्युत्क्रमणीय है अर्थात् $|\mathrm{A}| \neq 0$

• $\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{~A}|}(\operatorname{Adj} . \mathrm{A})$

• $\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~A}=\mathrm{I}_{\mathrm{n}}=\mathrm{AA}^{-1}$

• $\left(A^{\top}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\top}$

• $\left(\mathrm{A}^{-1}\right)^{-1}=\mathrm{A}$

• $\left|A^{-1}\right|=|A|^{-1}=\frac{1}{|A|}$

वर्ग आव्यूह के धनात्मक पूर्णांक घातों के गुणधर्म:

• $ A^m A^n = A^{m+n} $

• $ (A^m)^n = A^{mn} = (A^n)^m$

• $ I^n = I$

• $ A^0 = I_n$

समीकरण निकाय का हल:

• यदि |$A$| ≠ $O$, $\text{तो निकाय संगत है और इसका एकमात्र हल है, जो दिया गया है } X = A^{–1} B$

• यदि |$A$| =$ O$, और $(Adj A) B ≠ O$, $\text{तो निकाय असंगत है} $

• यदि |$A$| = $O$, और $(Adj A) B = O$, $\text{ तो निकाय संगत है और इसके अनंत हल हैं}$.

• $AX = O$ $\text{को एक समघातीय रेखीय समीकरणों की प्रणाली कहा जाता है, यहाँ }$ $B = 0$।

• $\text{समघातीय समीकरणों की प्रणाली सदैव संगत होती है}$।

• $\text{प्रणाली में एक अतुच्छ हल (अशून्य हल) होता है, यदि} $|A| = 0$।