SATHEE CUET: Method Of Differentiation

$\frac{d}{d x}(f \pm g)=f^{\prime}(x) \pm g^{\prime}(x)$
$\frac{d}{d x}(k f(x))=k \frac{d}{d x} f(x)$
$\frac{d}{d x}(f(x) \cdot g(x))=f(x) g^{\prime}(x)+g(x) f^{\prime}(x)$
$\frac{d}{d x}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{g(x) f^{\prime}(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)}$
$\frac{d}{d x}(f(g(x)))=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)$

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का अवकलज

$ \frac{d \sin ^{-1} x}{d x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, ~ ~ \frac{d \cos ^{-1} x}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, -1 < x < 1 $ के लिए

$ \frac{d \tan ^{-1} x}{d x}=\frac{1}{1+x^{2}},~ ~ \frac{d \cot ^{-1} x}{d x}=-\frac{1}{1+x^{2}} \quad(x \in R) $

$ \frac{d \sec ^{-1} x}{d x}=\frac{1}{|x| \sqrt{x^{2}-1}},~ ~ \frac{d ~cosec^{-1} x}{d x}=-\frac{1}{|x| \sqrt{x^{2}-1}}, ~~x \in(-\infty ,-1) \cup (1 , \infty )$ के लिए

प्राचलिक अवकलन

$\quad$ यदि $y=f(\theta)$ और $x=g(\theta)$ जहाँ $\theta$ एक पैरामीटर है, तो $\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}}$।

एक फलन का दूसरे फलन के सापेक्ष अवकलज

$\quad$ मान लीजिए $y=f(x)$; $z=g(x)$ तो $\frac{d y}{d z}=\frac{\frac{d y}{d x}}{\frac{d z}{d x}}=\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$।

$\quad$ यदि $F(x)= \left|\begin{matrix} f(x) & g(x) & h(x) \ l(x) & m(x) & n(x) \ u(x) & v(x) & w(x) \end{matrix}\right|,$ जहाँ f, g, h, l, m, n, u, v, w अवकलनीय हैं तो,

$F’(x)= \left|\begin{matrix} f’(x) & g’(x) & h’(x) \ l(x) & m(x) & n(x) \ u(x) & v(x) & w(x) \end{matrix}\right|+ \left|\begin{matrix} f(x) & g(x) & h(x) \ l’(x) & m’(x) & n’(x) \ u(x) & v(x) & w(x) \end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix} f(x) & g(x) & h(x) \ l(x) & m(x) & n(x) \ u’(x) & v’(x) & w’(x) \end{matrix}\right| $

$\quad$ x के सापेक्ष f(x) का अवकलज दिया गया है: $f^{\prime}(x)= \frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

प्राथमिक अवकलन:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} (\text{अचर}) =0$
$\frac{d}{d x}\left(x^n\right)=n x^{n-1}$
$\frac{d}{d x}\left(e^x\right)=e^x$
$\frac{d}{d x}\left(a^x\right)=a^x \log _e a$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\log _{\mathrm{e}} \mathrm{x}\right)=\frac{1}{\mathrm{x}}$
$\frac{d}{d x}\left(\log _a x\right)=\frac{1}{x \log _e a}$
$\frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x$
$\frac{d}{d x}(\cos x)=-\sin x$
$\frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^2 x$
$\frac{d}{d x}(\cot x)=-\operatorname{cosec}^2 x$
$\frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x$
$\frac{d}{d x}(\operatorname{cosec} x)=-\operatorname{cosec} x \cot x$
$\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} \mathrm{x}\right)=\frac{1}{\sqrt{1- \mathrm{x}^2}},-1 < \mathrm{x} < 1$
$ \frac{d}{dx} \left( \cos ^{-1} x \right) = - \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } -1 < x < 1 $
$\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} \mathrm{x}\right)=\frac{1}{1+\mathrm{x}^2}, x \in R$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\cot ^{-1} \mathrm{x}\right)=-\frac{1}{1+\mathrm{x}^2}, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{R}$
$\frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right)=\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}|x|>1$
$\frac{d}{d x}\left(\operatorname{cosec}^{-1} x\right)=\frac{-1}{|x| \sqrt{x^2-1}}|x|>1$
$\frac{d}{d x}(\sinh x)=\cosh x$
$\frac{d}{d x}(\cosh x)=\sinh x$
$\frac{d}{d x}(\tanh x)=\operatorname{sech}^2 x$
$\frac{d}{d x}(\operatorname{coth} x)=-\operatorname{cosech}^2 x$
$\frac{d}{d x}(\sinh x)=\cosh x$
$\frac{d}{d x}(\cosh x)=\sinh x$
$\frac{d}{d x}(\tanh x)=\operatorname{sech}^2 x$
$\frac{d}{d x}(\operatorname{coth} x)=-\operatorname{cosech}^2 x$
$\frac{d}{d x}(\operatorname{sech} x)=-\operatorname{sech} x \tanh x$
$\frac{d}{d x}(\operatorname{cosech} x)=-\operatorname{cosech} x \operatorname{coth} x$
$\frac{d}{d x}\left(\sinh ^{-1} \mathrm{x}\right)=\frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{x}^2}}, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{R}$
$\frac{d}{d x}\left(\cosh ^{-1} \mathrm{x}\right)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}^2-1}},|\mathrm{x}|>1$
$\frac{d}{d x}\left(\tanh ^{-1} \mathrm{x}\right)=\frac{1}{1-\mathrm{x}^2}, \mathrm{x} \pm 1$
$\frac{d}{d x}\left(\operatorname{coth}^{-1} x\right)=\frac{1}{x^2-1}, x \neq \pm 1$
$\frac{d}{d x}\left(\operatorname{sech}^{-1} x\right)=-\frac{1}{|x| \sqrt{1-x^2}},|x| < 1$
$\frac{d}{d x}\left(\operatorname{cosech}^{-1} x\right)=\frac{-1}{|x| \sqrt{x^2+1}}, \forall x \in R$
$\frac{d}{d x}\left(e^{a x} \sin b x\right)=e^{a x}(a \sin b x+b \cos b x)=\sqrt{a^2+b^2} e^{a x} \sin \left(b x+\tan ^{-1} b / a\right)$
$\frac{d}{d x}\left(e^{a x} \cos b x\right)=e^{a x}(a \cos b x-b \sin b x)=\sqrt{a^2+b^2} e^{a x} \cos \left(b x+\tan ^{-1} b / a\right)$
$\frac{d}{d x}|x|=\frac{x}{|x|}(x \neq 0)$
$\frac{d}{d x} \log |x|=\frac{1}{x},(x \neq 0)$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}[\mathrm{x}]=0, \forall \mathrm{x} \notin \mathrm{I}$ (जहाँ [ . ] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}=1, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{R} - \mathrm{Z} \text{~} $ { . } जहाँ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है

गुणनफल नियम:

$\quad$ $(gh)^{\prime} = gh^{\prime} + hg^{\prime} $

अवकलज ज्ञात करने में कुछ उपयोगी प्रतिस्थापन:

$ \text{Function} \quad \rightarrow \quad \text{Substitution} $

$\sqrt{a^2-x^2}\quad \rightarrow \quad x=a \sin \theta \text{~ या ~ } a \cos \theta $
$\sqrt{x^2+a^2}\quad \rightarrow \quad x=a \tan \theta \text{~ या ~ } a \cot \theta $
$\sqrt{x^2-a^2}\quad \rightarrow \quad x=a \sec \theta \text{~ या ~ } a \operatorname{cosec} \theta$
$\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\quad \quad \rightarrow \quad x=a \cos 2 \theta$
$\sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}\quad \quad \rightarrow \quad x^2=a^2 \cos 2 \theta$
$\sqrt{a x-x^2}\quad \rightarrow \quad x=a \sin ^2 \theta$
$\sqrt{\frac{x}{a+x}}\quad \qquad \rightarrow \quad x=a \tan ^2 \theta$
$\sqrt{\frac{x}{a-x}}\quad \quad \quad \rightarrow \quad x=a \sin ^2 \theta$
$\sqrt{(x-a)(x-b)}\quad \rightarrow \quad x=a \sec ^2 \theta-b \tan ^2 \theta$
$\sqrt{(x-a)(b-x)}\quad \rightarrow \quad x=a \cos ^2 \theta+b \sin ^2 \theta$

क्रमिक अवकलन:

$\quad$ यदि किसी फलन y = f(x) का प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ भी एक अवकलनीय फलन है, तो इसे x के सापेक्ष और भी अवकलित किया जा सकता है।

$\quad$ $\frac{d^n y}{dx^n}$ से y का n-वाँ अवकलज निरूपित होता है।

लघुगणकीय अवकलन:

$\quad$ $y = [f(x)]^{g(x)}$ है, तो लघुगणक लेने पर हमें प्राप्त होता है $\log y = g(x) \log f(x)$ फिर, $y^{\prime} = y (\frac{g}{f} f^{\prime} + g^{\prime} \log(f))$

अंतर्निहित फलन का अवकलन:

$\quad$ यदि किसी समीकरण में x और y दोनों एक साथ आते हैं, अर्थात् f(x, y) = 0, और समीकरण को न तो x के लिए और न ही y के लिए हल किया जा सकता है, तो x (या y) को y (या x) का अंतर्निहित फलन कहा जाता है।

अवकलज ज्ञात करने का नियाम:-

(i) f(x, y) = 0 के प्रत्येक पद का x के सापेक्ष अवकलन किया जाना चाहिए।

(ii) $\frac{dy}{dx}$ का मान पुनः व्यवस्थित करके प्राप्त किया जाना चाहिए

विभेदन की विधि

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कुछ प्रारंभिक फलनों का अवकलन

आधारभूत प्रमेय

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का अवकलज

प्राचलिक अवकलन

एक फलन का दूसरे फलन के सापेक्ष अवकलज

प्राथमिक अवकलन:

गुणनफल नियम:

अवकलज ज्ञात करने में कुछ उपयोगी प्रतिस्थापन:

क्रमिक अवकलन:

लघुगणकीय अवकलन:

अंतर्निहित फलन का अवकलन:

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