परवलय का मानक समीकरण

$\quad$ एक मानक परवलय का समीकरण $\mathrm{y}^{2}=4 a \mathrm{x}$ होता है, जहाँ $\mathrm{a}$ एक स्वेच्छ अचर है।

मानक परवलय की महत्वपूर्ण पदावली और अन्य रूप

• $SP=PM $ और $ VS=VZ $

• शीर्ष बिन्दु $V(0,0)$ पर है

• फोकस बिन्दु $\mathrm{S}(\mathrm{a}, 0)$ पर है

• निर्देश रेखा $x+a=0$ है

• अक्ष $y=0$ है

• लेटस रेक्टम की लंबाई $=\mathrm{LL}^{\prime}=4 a$ है

• लेटस रेक्टम के सिरे $L(a, 2 a) $ और $ L^{\prime}(a,-2 a)$ हैं

• प्राचलिक समीकरण है: $x=a t^{2}, y=2 a t$.

• लेटस रेक्टम $4 a$ वाले परवलय के अन्य रूप $y^{2}=-4 a x, x^{2}=4 a y, x^{2}=-4 a y$ हैं

परवलय का सामान्य समीकरण

$\quad$ मान लीजिए $(a, b)$ फोकस $S$ है, और $lx+m y+n=0$ निर्देश रेखा का समीकरण है। मान लीजिए $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिन्दु है। तब परिभाषा से

$ \mathrm{SP}=\mathrm{PM}$

$\Rightarrow \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=\frac{l x+m y+n}{\sqrt{l^{2}+m^{2}}}$

$\Rightarrow(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=\frac{(l x+m y+n)^{2}}{l^{2}+m^{2}}$

$\Rightarrow \mathrm{m}^{2} \mathrm{x}^{2}+\mathrm{l}^{2} \mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{lmxy}+(\text{x का गुणांक}) \mathrm{x}+( \text{y का गुणांक}) \mathrm{y}+ \text{अचर }=0$

$\Rightarrow(m x-l y)^{2}+2 g x+2 f y+c=0$

यह देखा जाना चाहिए कि परवलय के सामान्य समीकरण में द्वितीय कोटि के पद एक पूर्ण वर्ग बनाते हैं।

• अक्ष जो $x$-अक्ष के समानांतर है, उस परवलय का समीकरण रूप $x=A y^{2}+B y+C$ का होता है।
• अक्ष जो $y$-अक्ष के समानांतर है, उस परवलय का समीकरण रूप $y=A x^{2}+B x+C$ का होता है।

परवलय $y^{2}=4 a x$ के प्राचलिक समीकरण:

परवलय $y^{2}=4 a x$ के प्राचलिक समीकरण $x=a t^{2}, y=2 a t$ हैं, जहाँ $t$ प्राचल है।

चूँकि बिंदु $(a t^{2}, 2 a t)$ समीकरण $y^{2}=4 a x$ को संतुष्ट करता है। परवलय के किसी भी बिंदु की प्राचलिक निर्देशांक $(a t^{2}, 2 a t)$ हैं।

परवलय $y^{2}=4 a x$ के सापेक्ष किसी बिंदु की स्थिति:

मान लीजिए $P$ कोई बिंदु $(h, k)$ है। अब $P$ परवलय के बाहर, पर या अंदर इस प्रकार स्थित होगा जैसे $(k^{2}-4 a h)$ क्रमशः शून्य से बड़ा, बराबर या छोटा है।

परवलय और रेखा के बीच संबंध:

मान लीजिए परवलय $y^2 = 4ax$ है और दी गई रेखा $y = mx + c$ है। रेखा और परवलय को हल करने पर हम पाते हैं

$(mx + c)^2 = 4ax$

अर्थात्,

$m^2 x^2 + 2(mc - 2a)x + c^2 = 0$

यह समीकरण $x$ में द्विघात होने के कारण, विविक्तज्ञ है

$\Delta = 4(mc - 2a)^2 - 4m^2 c^2 = 16a(a - mc)$

इसलिए, रेखा परवलय को दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है यदि $a > mc$, एक बिंदु पर यदि $a = mc$, और नहीं काटती यदि $a < mc$।

$\quad$ रेखा $y = mx + \frac{a}{m}$ परवलय $y^2 = 4ax$ को बिंदु $\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}\right)$ पर स्पर्श करती है जहाँ $m \neq 0$।

स्पर्श रेखा का समीकरण:

• परवलय $y^2 = 4ax$ के किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।

• स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{2a}{y_1}$ है।

• किसी बिंदु $t$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है।

• स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{1}{t}$ है।

• बिंदु $t_1$ और $t_2$ पर स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशक $(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ हैं।

• यदि बिंदु $t_1$ और $t_2$ को मिलाने वाली जीवा एक नाभीय जीवा है, तो $t_1t_2 = -1$। इसलिए, यदि नाभीय जीवा का एक सिरा $\left(at_1^2, -2at_1\right)$ है,

  तो दूसरा सिरा $\left(\frac{a}{t_1^2}, -\frac{2a}{t_1}\right)$ है।

अभिलंब का समीकरण:

• परवलय $y^2 = 4ax$ के किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $(y - y_1) = -\frac{y_1}{2a}(x - x_1)$ है।

• अभिलंब की प्रवणता $-\frac{y_1}{2a}$ है।

• किसी बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।

• अभिलंब की प्रवणता $-t$ है।

• बिंदु $t_1$ और $t_2$ पर अभिलंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशक $\left[2a + a(t_1^2 + t_2^2 + t_1t_2), -at_1t_2(t_1 + t_2)\right]$ हैं।

• यदि बिंदु $t_1$ पर अभिलंब पुनः परवलय को बिंदु $t_2$ पर मिलता है, तो $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$।

परवलय पर कुछ मानक परिणाम:

• परवलय के एक फोकल जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श-रेखाएँ डायरेक्ट्रिक्स पर समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

• परवलय के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श-रेखा उस बिंदु की फोकल दूरी और डायरेक्ट्रिक्स पर खींचे गए लंब के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है।

• परवलय की एक स्पर्श-रेखा का वह भाग जो डायरेक्ट्रिक्स और वक्र के बीच कटता है, फोकस पर समकोण अंतरित करता है।

• परवलय की किसी भी स्पर्श-रेखा पर फोकस से खींचे गए लंब का पाद शीर्ष पर खींची गई स्पर्श-रेखा पर स्थित होता है।

• यदि $S$ परवलय का फोकस हो और किसी बिंदु $P$ पर खींची गई स्पर्श-रेखा और अभिलंब इसकी अक्ष $I$, $T$ और $G$ पर क्रमशः मिलती हैं, तो $\mathrm{ST}=\mathrm{SG}=\mathrm{SP}$।

  यदि बिंदु $\mathrm{P}$ पर खींची गई स्पर्श-रेखा अक्ष को $\mathrm{M}$ पर मिलती है, तो $\angle \mathrm{MSP}=90^{\circ}$।

• यदि $\mathrm{S}$ फोकस हो और $\mathrm{SH}$ बिंदु $\mathrm{P}$ पर खींची गई स्पर्श-रेखा पर लंब हो, तो $\mathrm{H}$ शीर्ष पर खींची गई स्पर्श-रेखा पर स्थित होता है और $\mathrm{SH}^{2}=\mathrm{OS}$। $\mathrm{SP}$

मध्यबिंदु $(x_{1}, y_{1})$ वाली जीवा का समीकरण:

$\quad$ परवलय $y^2 = 4ax$ की उस जीवा का समीकरण, जिसका मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ है, निम्नलिखित है

$T = S_1$

$\quad$ जहाँ $T \equiv yy_1 - 2a(x + x_1) = 0$ और $S_1 = y_1^2 - 4ax_1 = 0$।

स्पर्श-रेखा की जीवा

• यदि बिंदु $P(x_1, y_1)$ से परवलय $y^2 = 4ax$ पर खींची गई स्पर्श-रेखाएँ $PA$ और $PB$ हों, तो संपर्क जीवा $AB$ का समीकरण

$yy_1 = 2a(x + x_1) \text{ या } T = 0 \text{ बिंदु } (x_1, y_1) \text{ पर}$

• यदि $P(x_1, y_1)$ कोई बिंदु हो जो परवलय $y^2 = 4ax$ के बाहर स्थित हो, और इससे दो स्पर्श रेखाएँ $PA, PB$ खींची जा सकें, तो स्पर्श रेखाओं $PA$ और $PB$ के युग्म का समीकरण

  $SS_1 = T^2; \text{ जहाँ } S \equiv y^2 - 4ax = 0$

$S_1 \equiv y_1^2 - 4ax_1 = 0$

$T \equiv yy_1 - 2a(x + x_1) = 0$

व्यास:

$\quad$ समांतर जीवाओं के एक समूह के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ व्यास कहलाता है।

• यदि $y = mx + c$ परवलय $y^2 = 4ax$ की समांतर जीवाओं के एक समूह को निरूपित करता है, तो व्यास का समीकरण $y = \frac{2a}{m}$ है।