व्यवस्था:

$\quad$ $n$ भिन्न वस्तुओं में से एक समय में $r$ वस्तुओं की क्रमचयों की संख्या =

${ }^{n} P_{r}=n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)=\frac{n !}{(n-r) !}$

वृत्तीय क्रमचय:

$\quad$ $n$ भिन्न वस्तुओं की सभी को एक साथ लेने पर वृत्तीय क्रमचयों की संख्या है; $(n-1)$ !

चयन:

$\quad$ $n$ भिन्न वस्तुओं में से एक समय में $r$ वस्तुओं के संयोजनों की संख्या

$={ }^{n} C_{r}=\frac{n !}{r !(n-r) !}=\frac{{ }^{n} P_{r}}{r !}$

$\quad$ ’ $n$ ’ वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जब सभी को एक साथ लिया जाता है, जिनमें ’ $p$ ’ एक प्रकार की समान हैं, $q$ दूसरे प्रकार की समान हैं,

$\quad$ ’ $r$ ’ तीसरे प्रकार की समान हैं और शेष $n-(p+q+r)$ सभी भिन्न हैं, वह है

$\frac{n !}{p ! q ! r !}$

एक या अधिक वस्तुओं का चयन:

• ’ $n$ ’ भिन्न वस्तुओं में से कम-से-कम एक वस्तु के चयन के तरीकों की संख्या है

$ { }^{n} C_{1}+{ }^{n} C_{2}+{ }^{n} C_{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots+{ }^{n} C_{n}=2^{n}-1 $

• ’ $p$ ’ एक प्रकार की समान वस्तुओं, ’ $q$ ’ दूसरे प्रकार की समान वस्तुओं और ’ $r$ ’ तीसरे प्रकार की समान वस्तुओं में से कम-से-कम एक वस्तु के चयन के तरीकों की संख्या है

$ (p+1)(q+1)(r+1)-1 $

• ’ $n$ ’ वस्तुओं में से कम-से-कम एक वस्तु के चयन के तरीकों की संख्या है, जहाँ ’ $p$ ’ एक प्रकार की समान हैं, ’ $q$ ’ दूसरे प्रकार की समान हैं, ’ $r$ ’ तीसरे प्रकार की समान हैं और शेष $n-(p+q+r)$ भिन्न हैं

$(p+1)(q+1)(r+1) 2^{n-(p+q+r)}-1 $

नकारात्मक द्विपद प्रसार :

$\quad$ $(1-x)^{-n}={ }^{n+r-1} C_{r}(n \in N)$ के प्रसार में $X^{r}$ का गुणांक

भाजकों की संख्या :

$\quad$ मान लीजिए $N=p^{a} q^{b} r^{c} \ldots .$. जहाँ $p, q, r \ldots \ldots$ विभिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं और $a, b, c \ldots .$. प्राकृत संख्याएँ हैं तो:

• N के भाजकों की कुल संख्या जिसमें 1 और N शामिल हैं $=(\mathrm{a}+1)(\mathrm{b}+1)(\mathrm{c}+1) \ldots \ldots \ldots$

• इन भाजकों का योग है $=$

$ \left(p^{0}+p^{1}+p^{2}+\ldots .+p^{a}\right)\left(q^{0}+q^{1}+q^{2}+\ldots .+q^{b}\right) \left(r^{0}+r^{1}+r^{2}+\ldots .+r^{c}\right) \ldots \ldots $

• संख्या N को दो गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के तरीकों की संख्या है

  • $ =\frac{1}{2}(a+1)(b+1)(c+1) \ldots . \hspace{2mm} \text { यदि N एक पूर्ण वर्ग नहीं है.} $

  • $ =\frac{1}{2}[(a+1)(b+1)(c+1) \ldots+1] \hspace{2mm} \text { यदि N एक पूर्ण वर्ग है.}$

• एक संयुक्त संख्या N को दो ऐसे गुणनखंडों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या जो एक-दूसरे के साथ सह-अभाज्य (या अपरिमेय) हैं, $2^{n-1}$ के बराबर है जहाँ N में विभिन्न अभाज्य गुणनखंडों की संख्या n है।

डिरेंजमेंट :

$\quad$ उन तरीकों की संख्या जिनमें ’n’ पत्रों को ’n’ संगत लिफाफों में इस प्रकार रखा जाए कि कोई भी पत्र सही लिफाफे में न जाए, $n !\left(1-\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}-\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !} \ldots \ldots \ldots .+(-1)^{n} \frac{1}{n !}\right)$ है

गणना का सिद्धांत :

• योग नियम: यदि एक पहला कार्य m तरीकों से किया जा सकता है, जबकि एक दूसरा कार्य n तरीकों से किया जा सकता है, और कार्य एक साथ नहीं किए जा सकते, तब इनमें से किसी एक कार्य को करना कुल m+n तरीकों में से किसी एक से पूरा किया जा सकता है।

• गुणन नियम: यदि एक प्रक्रिया को पहले और दूसरे चरणों में तोड़ा जा सकता है, और यदि पहले चरण के लिए m संभावित परिणाम हैं और यदि इनमें से प्रत्येक परिणाम के लिए, दूसरे चरण के n संभावित परिणाम हैं, तब संपूर्ण प्रक्रिया को निर्धारित क्रम में कुल mn तरीकों से पूरा किया जा सकता है।

गुणांक संकेतन:

$n! = n(n-1)…(3)(2)(1)$

क्रमचय:

, n भिन्न वस्तुओं में से एक समय में r वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या को इस रूप में दर्शाया जाता है $ ^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$

• पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय: n भिन्न वस्तुओं में से एक समय में r वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जब प्रत्येक वस्तु को कोई भी संख्या में बार-बार दोहराया जा सकता है, $n^r$ है

• समान वस्तुओं का क्रमचय: n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जब सभी को एक साथ लिया जाता है जिनमें p एक प्रकार की समान वस्तुएँ हैं, q दूसरे प्रकार की समान वस्तुएँ हैं और r तीसरे प्रकार की समान वस्तुएँ हैं और शेष (n - (p + q + r)) सभी भिन्न हैं, वह $\frac{n!}{p! q! r!}$ है

• प्रतिबंध के साथ क्रमचय: n भिन्न वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जब सभी को एक साथ लिया जाता है, जब m निर्दिष्ट वस्तुएँ हमेशा साथ-साथ आती हैं, $m! × (n - m + 1)!$ है

• अनिरंतर चयन: $\quad \quad$• n वस्तुओं की एक पंक्ति में से r क्रमागत वस्तुओं के चयनों की संख्या $= n - r + 1$

$\quad \quad$• n वस्तुओं के एक वृत्त पर क्रम में r क्रमागत वस्तुओं के चयनों की संख्या $= n , \text{~ जब~} r < n$ $= 1 , \text{~ जब~} r=n$

वृत्तीय क्रमचय:

n भिन्न वस्तुओं के वृत्तीय व्यवस्थाओं की संख्या $= (n - 1)!$

• घड़ी की दिशा और विपरीत दिशा की व्यवस्थाएँ:

  • जब घड़ी की दिशा और विपरीत दिशा की व्यवस्थाएँ भिन्न नहीं होतीं, अर्थात् जब दोनों ओर से प्रेक्षण किए जा सकते हैं, तब n भिन्न वस्तुओं की वृत्तीय व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{(n - 1)!}{2}$ होती है।

  • n भिन्न वस्तुओं का एक साथ लिया गया वृत्तीय क्रमचयों की संख्या (n - 1)! होती है, यदि घड़ी की दिशा और विपरीत दिशा के क्रम भिन्न माने जाते हैं।

  • n भिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं का वृत्तीय क्रमचय

    • $\frac{^nP_r}{r}$, जब घड़ी की दिशा और विपरीत दिशा के क्रम भिन्न माने जाते हैं।

    • $\frac{^nP_r}{2r}$, जब घड़ी की दिशा और विपरीत दिशा के क्रम समान माने जाते हैं।

क्रमचय के गुणधर्म:

• ${ }^n P_n=n(n-1)(n-2) \ldots 3 \times 2 \times 1=n$!

• ${ }^n P_0=\frac{n !}{n !}=1$

• ${ }^n P_1=n$

• ${ }^n P_{n-1}=n$ !

• ${ }^n P_r=n \cdot{ }^{n-1} P_{r-1}=n(n-1)^{n-2} P_{r-2}$

• ${ }^{n-1} P_r+r \cdot{ }^{n-1} P_{r-1}={ }^n P_r$

• $\frac{{ }^n P_r}{{ }^n P_{r-1}}=n-r+1$

संयोजन:

$\quad$ n वस्तुओं के सभी संयोजनों की संख्या, जब एक बार में r वस्तुएँ ली जाएँ, सामान्यतः C(n, r) या $^nC_r$ द्वारा दर्शाई जाती है $ ^n C_r = \frac{n!}{r! (n-r)!}$ है

• गुणधर्म:

  • ${ }^n C_r={ }^n C_{n-r}$

  • ${ }^n C_r+{ }^n C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$

  • ${ }^n C_x={ }^n C_y \Rightarrow x=y$ या $x+y=n$

  • यदि $n$ सम है, तो ${ }^n C_r$ का महत्तम मान ${ }^n C_{n / 2}$ है

  • यदि $n$ विषम है, तो ${ }^n C_r$ का महत्तम मान ${ }^n C_{\frac{n+1}{2}}$ है

  • ${ }^n C_0+{ }^n C_r+$ .. $+{ }^n C_n=2^n$

  • ${ }^n C_n+{ }^{n+1} C_n+{ }^{n+2} C_n+$ $+{ }^{2 n-1} C_n={ }^{2 n} C_{n+1}$

प्रतिबंधों के तहत संयोजन:

• n भिन्न वस्तुओं में से r वस्तुएँ चुनने के तरीकों की संख्या यदि p विशिष्ट वस्तुओं को बाहर रखना हो अभीष्ट तरीकों की संख्या $= ^{n-p}C_r$

• n भिन्न वस्तुओं में से r वस्तुएँ चुनने के तरीकों की संख्या यदि p विशिष्ट वस्तुओं को सम्मिलित करना हो (p ≤ r). अभीष्ट तरीकों की संख्या $= ^{n-p}C_{r-p}$

• n भिन्न वस्तुओं के एक साथ एक या अधिक लेकर किए गए संयोजनों की कुल संख्या $= 2^n - 1$

समान वस्तुओं के संयोजन:

$\quad$ यदि (p + q + r + s) वस्तुओं में से, p एक प्रकार की समान हैं, q दूसरे प्रकार की समान हैं, r तीसरे प्रकार की समान हैं और s भिन्न हैं, तो संयोजनों की कुल संख्या $(p + 1)(q + 1)(r + 1)2^s - 1$ है

समूहों में विभाजन:

• (m + n) विभिन्न वस्तुओं को दो असमान समूहों में इस प्रकार विभाजित करने के तरीकों की संख्या, जिनमें क्रमशः m और n वस्तुएँ हों, $\frac{(m+n)!}{m! n!}$ है।

• यदि m = n हो, तो समूह समान होते हैं और इस स्थिति में विभाजन की संख्या $\frac{(2n)!}{n!n!2!}$ है; क्योंकि दोनों समूहों को आपस में बदलने पर कोई नया वितरण नहीं मिलता।

• mn विभिन्न वस्तुओं को m समूहों में समान रूप से विभाजित करने के तरीकों की संख्या, यदि समूहों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, $\frac{(m n)!}{(n!)^m m!}$ है।

• mn विभिन्न वस्तुओं को m समूहों में समान रूप से विभाजित करने के तरीकों की संख्या, यदि समूहों का क्रम महत्वपूर्ण है, $\frac{(m n)!}{(n!)^m}$ है।