प्रायिकता की परिभाषा :

$\quad$ यदि किसी प्रयोग से कुल $(m+n)$ परिणाम प्राप्त होते हैं जो एक-दूसरे के साथ समान रूप से संभाव्य तथा परस्पर अपवर्जी हैं और

$\quad$ यदि ’ $m$ ’ परिणाम किसी घटना ’ $A$ ’ के अनुकूल हैं जबकि ’ $n$ ’ अनुकूल नहीं हैं, तो

$\quad$ घटना ‘$A$’ के घटित होने की प्रायिकता ${P(A)=\frac{m}{m+n}=\frac{n(A)}{n(S)}}$

$\quad$ हम कहते हैं कि ’ $A$ ’ के पक्ष में क्रम $m: n$ हैं, जबकि ’ $A$ ’ के विरुद्ध क्रम $n: m$ हैं।

${P(\bar{A})=\frac{n}{m+n}=1-P(A)}$

प्रायिकता का योग प्रमेय :

$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

डी मॉर्गन के नियम:

• $ (A \cup B)^{c}=A^{c} \cap B^{c}$

• $ (A \cap B)^{c}=A^{c} \cup B^{c}$

वितरण नियम:

• $ A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$

• $ A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$

महत्वपूर्ण सूत्र:

• $ P(A$ या $B$ या $C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(B \cap C)-P(C \cap A)+P(A \cap B \cap C)$

• $ P$ (कम-से-कम दो में से $A, B, C$ घटित हों $)=P(B \cap C)+P(C \cap A)+P(A \cap B)-2 P(A \cap B \cap C)$

• $ P$(ठीक-ठीक दो में से $A, B, C$ घटित हों $)=P(B \cap C)+P(C \cap A)+P(A \cap B)-3 P(A \cap B \cap C)$

• $ P$(ठीक-ठीक एक में से $A, B, C$ घटित हो $)=P(A)+P(B)+P(C)-2 P(B \cap C)-2 P(C \cap A)-2 P(A \cap B)+3 P(A \cap B \cap C)$

सप्रतिबंध प्रायिकता:

• $P(A | B)=$ घटित होने की प्रायिकता $A$ की, यह दिया गया है कि $B$ पहले ही घटित हो चुका है = $\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

• $P(B | A)=$ घटना $B$ के घटित होने की प्रायिकता, यह दिया गया है कि $A$ पहले ही घटित हो चुका है = $\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$\quad$ नोट:

• यदि प्रयोग के परिणाम समान रूप से संभावित हैं, तो $ P(A | B)=\frac{\text { नमूना बिंदुओं की संख्या } (A \cap B)\text { में }}{\text { } B\text{ में बिंदुओं की संख्या } }$

• यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो $P(A | B)=P(A)$ और $P(B | A)=P(B)$

द्विपद बंटन:

$ \quad$ यदि एक प्रयोग को $n$ बार दोहराया जाता है, क्रमिक प्रयास एक-दूसरे से स्वतंत्र हों, तो

$ \quad$ $r$ सफलताओं की प्रायिकता ${ }^n C_r p^r q^{n-r}$ है

$ \quad$ कम-से-कम $r$ सफलताओं की प्रायिकता $\sum_{k=r}^n{ }^n C_k p^k q^{n-k}$ है,

$ \quad$ जहाँ $p$ एकल प्रयास में सफलता की प्रायिकता है, $q=1-p$

$\quad \quad \quad$ • माध्य $\mathrm{E}(\mathrm{x})=\mathrm{np}$

$\quad \quad \quad$ • $\mathrm{E}(\mathrm{x}^2)=\mathrm{npq}+\mathrm{n}^2 \mathrm{p}^2$

$\quad \quad \quad$ • प्रसरण $\mathrm{E}(\mathrm{x}^ 2)-(\mathrm{E}(\mathrm{x}))^2=\mathrm{npq}$

$\quad \quad \quad$ • मानक विचलन $=\sqrt{\mathrm{npq}}$

प्रत्याशा :

$\quad$ यदि किसी मान $M_{i}$ के साथ प्रायिकता $p_{i}$ जुड़ी हो, तो प्रत्याशा $\Sigma p_{i} M_{i}$ द्वारा दी जाती है

कुल प्रायिकता प्रमेय :

$\quad P(A)=\sum_{i=1}^{n} P\left(B_{i}\right) \cdot P\left(A | B_{i}\right)$

बेज़ प्रमेय :

$\quad$ यदि कोई घटना $A$, $n$ परस्पर अपवर्जी और समाहारी घटनाओं $B_{1}, B_{2}, \ldots \ldots, B_{n}$ में से किसी एक के साथ घटित हो सकती है और

$\quad$ यदि प्रायिकताएँ $P\left(A | B_{1}\right), P\left(A | B_{2}\right) \ldots . P\left(A | B_{n}\right)$ ज्ञात हैं, तो

$P\left(B_{i} | A\right)=\frac{P\left(B_{i}\right) \cdot P\left(A | B_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{n} P\left(B_{i}\right) \cdot P\left(A | B_{i}\right)}$

• $A=\left(A \cap B_{1}\right) \cup\left(A \cap B_{2}\right) \cup\left(A \cap B_{3}\right) \cup \ldots \ldots . \cup\left(A \cap B_{n}\right)$

• $P(A)=P\left(A \cap B_{1}\right)+P\left(A \cap B_{2}\right)+\ldots \ldots+P\left(A \cap B_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A \cap B_{i}\right)$

द्विपद प्रायिकता बंटन :

• किसी यादृच्छिक चर के प्रायिकता बंटन का माध्य $\mu=\frac{\Sigma p_{i} x_{i}}{\Sigma p_{i}}=\Sigma p_{i} x_{i}$ द्वारा दिया जाता है

• यादृच्छिक चर का प्रसरण $\sigma^{2}=\Sigma\left(x_{i}-\mu\right)^{2} \cdot p_{i}=\Sigma p_{i} x_{i}^{2}-\mu^{2}$ द्वारा दिया जाता है

प्रायिकता की गणितीय परिभाषा:

$ \text { किसी घटना की प्रायिकता }=\frac{\text { घटना A के अनुकूल प्रकरणों की संख्या }}{\text { कुल प्रकरणों की संख्या }} $

• प्रतिस्थापन के साथ प्रायिकता: जब प्रतिस्थापन के साथ नमूने लिए जाते हैं, तब घटनाओं को स्वतंत्र माना जाता है, अर्थात् पहली बार चयन का परिणाम दूसरे बार चयन की प्रायिकताओं को नहीं बदलेगा।

• प्रतिस्थापन के बिना प्रायिकता: जब प्रतिस्थापन के बिना नमूने लिए जाते हैं

संघ की प्रायिकता:

$\mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A \cap B)$

तीन घटनाओं (A, B, C) के लिए:

[ \mathbb{P}(A \cup B \cup C)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(A \cap B)-\mathbb{P}(A \cap C)-\mathbb{P}(B \cap C)+\mathbb{P}(A \cap B \cap C) ]

नोट:

• (0 \leq P(A) \leq 1)

• असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है

• निश्चित घटना की प्रायिकता एक होती है

• (P(A)+P(\text{Not } A)=1) अर्थात् (P(A)+P(\bar{A})=1)

किसी घटना के लिए ऑड्स:

यदि (P(A)=\frac{m}{n}) और (P(\bar{A})=\frac{n-m}{n}) तो,

• (A) के पक्ष में ऑड्स = (\frac{P(A)}{P(\bar{A})}=\frac{m}{n-m}) और

• (A) के विरुद्ध ऑड्स = (\frac{P(\bar{A})}{P(A)}=\frac{n-m}{m})

प्रायिकता की समुच्चय सैद्धांतिक संकेतन और कुछ महत्वपूर्ण परिणाम:

• (P(A \cup B)=1-P(\bar{A} \cap \bar{B}))

• (P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)})

• (P(A \cup B)=P(A \cap B)+P(\bar{A} \cap B)+P(A \cap \bar{B}))

• (A \subseteq B \Rightarrow P(A) \subseteq P(B))

• (P(\bar{A} \cap B)=P(B)-P(A \cap B))

• ({P}({A} \cap {B}) \leq {P}({A}) {P}({B}) \leq P(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}) \leq \mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B}))

• (P(\text{Exactly one event})=P(A \cap \bar{B})+P(\bar{A} \cap B))

• (\mathrm{P}(\text{neither } \mathrm{A} \text{ nor } \mathrm{B})=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \overline{\mathrm{B}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}))

• (\mathrm{P}(\text{none})=1-\mathrm{P}(\text{at least one}))

ताश के पत्ते:

• कुल पत्ते: 52 (26 लाल, 26 काले)

• चार सूट: हृदय, हीरा, ईंट, चिड़ी (प्रत्येक में 13 पत्ते)

• कोर्ट (फेस) पत्ते: 12 (4 राजा, 4 रानी, 4 जैक)

• आनर पत्ते: 16 (4 इक्का, 4 राजा, 4 रानी, 4 जैक)

• पत्तों से सम्बन्धित प्रायिकता:

  • जब $n$ पत्ते अच्छी तरह फेंटे गए 52 पत्तों के डेक में से निकाले जाते हैं $(1 \leq n \leq 52)$, तो प्रत्येक सरल घटना की प्रायिकता $\frac{1}{{ }^{52} C_n}$ होती है।

  • यदि $n$ पत्ते एक के बाद एक प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं, तो प्रत्येक सरल घटना की प्रायिकता $\frac{1}{(52)^n}$ होती है।

पासे के साथ प्रायिकता:

$\quad$ जब एक पासे को $n$ बार फेंका जाता है या $n$ पासे एक साथ फेंके जाते हैं, तो प्रत्येक सरल घटना की प्रायिकता $\frac{1}{6^n}$ होती है।

सिक्का फेंकने की प्रायिकता:

$\quad$ जब एक सिक्के को $n$ बार फेंका जाता है या $n$ सिक्के एक साथ फेंके जाते हैं, तो प्रत्येक सरल घटना की प्रायिकता $\frac{1}{2^n}$ होती है।

$n$ पत्रों और उनके लिफाफों से सम्बन्धित प्रायिकता:

$\quad$ यदि $n$ पत्रों को उनके संगत $n$ लिफाफों में यादृच्छिक रूप से डाला जाता है, तो

• प्रायिकता कि सभी पत्र सही लिफाफों में हैं $=\frac{1}{\mathrm{n} !}$

• प्रायिकता कि सभी पत्र सही लिफाफों में नहीं हैं $=1-\frac{1}{n !}$

• प्रायिकता कि कोई भी पत्र सही लिफाफे में नहीं है $=\frac{1}{2 !}-\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}+\ldots . .+(-1)^n \frac{1}{n !}$

• प्रायिकता कि $r$ पत्र सही लिफाफों में हैं $=\frac{1}{r !}\left[\frac{1}{2 !}-\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}+\ldots+(-1)^{n-r} \frac{1}{(n-r) !}\right]$

प्रायिकता का योग प्रमेय:

• जब घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हों $ \begin{aligned} & \text { अर्थात् } n(A \cap B)=0 \quad \Rightarrow P(A \cap B)=0 \ & \therefore P(A \cup B)=P(A)+P(B) \end{aligned} $

• जब घटनाएँ परस्पर अपवर्जी नहीं हों अर्थात् $P(A \cap B) \neq 0$ $ \therefore P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \text { या }$

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B) $

• जब घटनाएँ स्वतंत्र हों अर्थात् $P(A \cap B)=P(A) P(B)$ $ \therefore P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A) P(B) $

गुणा प्रमेय:

$ P(A \cap B)=P(A | B) . P(B); \quad P(B) \neq 0 \text{ या }$

$ P(A \cap B)=P(B | A) P(A); \quad P(A) \neq 0 $

$\quad$ सामान्यीकृत:

$P\left(E_1 \cap E_2 \cap E_3 \cap \ldots \cap E_n\right) =P\left(E_1\right) P\left(E_2 | E_1\right) P\left(E_3 | E_1 \cap E_2\right) P\left(E_4 | E_1 \cap E_2 \cap E_3\right)… $

• यदि घटनाएँ स्वतंत्र हों, तब $ P\left(E_1 \cap E_2 \cap E_3 \ldots \cap E_n\right)=P\left(E_1\right) P\left(E_2\right) \ldots P\left(E_n\right) $

कम-से-कम एक की प्रायिकता जब $\mathbf{n}$ स्वतंत्र घटनाएँ हों:

$\quad$ यदि $\mathrm{P} _{1}, \mathrm{P} _{2}, \ldots ,\mathrm{P} _{\mathrm{n}}$ घटनाओं $A _1, A _2 \ldots A _n$ की प्रायिकताएँ हैं, तो इनमें से कम-से-कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $1-\left[\left(1-P _1\right)\left(1-P _2\right) \ldots\right. \left.\left(1-P _n\right)\right]$ है।

या $P\left(A _1+A _2+\ldots+A _n\right)=1-P\left(\bar{A} _1\right) P\left(\bar{A} _2\right) \ldots P\left(\bar{A} _n\right)$

कुल प्रायिकता:

$\quad$ मान लीजिए $A_1, A_2 \ldots A_n$ परस्पर अपवर्जी और पूर्ण घटनाएँ हैं। यदि घटना $A$ इनमें से किसी एक के माध्यम से घटित हो सकती है, तो $A$ की घटना की प्रायिकता $ P(A)=P\left(A \cap A_1\right)+P\left(A \cap A_2\right)+\ldots+P\left(A \cap A_n\right)=\sum_{r=1}^n P\left(A_r\right) P\left(A / A_r\right) $

बेज़ नियम:

$\quad$ मान लीजिए $A_{1^{\prime}} A_{2^{\prime}} A_3$ कोई तीन परस्पर अपवर्जी और पूर्ण घटनाएँ हैं (अर्थात् $A_1 \cup A_2 \cup A_3=$ प्रतिदर्श समष्टि और $ A_1 \cap A_2 \cap A_3=\phi$ ) एक प्रतिदर्श समष्टि $S$ की और

$\quad$ $B$ प्रतिदर्श समष्टि पर कोई अन्य घटना है, तब, $ P\left(A_i | B\right)=\frac{P\left(B | A_i\right)\left(P\left(A_i\right)\right.}{P\left(B | A_1\right) P\left(A_1\right)+P\left(B | A_2\right) P\left(A_2\right)+P\left(B | A_3\right) P\left(A_3\right)}, i=1,2,3 $

प्रायिकता बंटन:

$\quad$ यदि एक यादृच्छिक चर $x$ मान $x_{1}, x_{2}, \ldots x_n$ को प्रायिकताएँ $P_{1}, P_{2}, \ldots ,P_n$ के साथ ग्रहण करता है, तब

$\quad \quad \quad$ • $P_1+P_2+P_3+\ldots+P_n=1$

$\quad \quad \quad$ • माध्य = $\mathrm{E}(\mathrm{x})=\Sigma \mathrm{P} _{\mathrm{i}} \mathrm{x} _{\mathrm{i}}$

$\quad \quad \quad$ • प्रसरण $=\sum x^2 P_i-(\text { माध्य })^2=\sum\left(x^2P_i\right)-(E(x))^2$

कथन की सत्यता:

• यदि दो व्यक्ति $A$ और $B$ क्रमशः प्रायिकताएँ $P_1$ और $P_2$ के साथ सच बोलते हैं और यदि वे किसी कथन पर सहमत हों, तो यह प्रायिकता कि वे सच बोल रहे हैं, $\frac{P_1 P_2}{P_1 P_2+\left(1-P_1\right)\left(1-P_2\right)}$ द्वारा दी जाएगी।

• यदि A और B दोनों यह दावा करें कि कोई घटना घटित हुई है, जिसकी घटित होने की प्रायिकता $\alpha$ है, तो यह प्रायिकता कि घटना घटित हुई है, $\frac{\alpha P_1 P_2}{\alpha P_1 P_2+(1-\alpha)\left(1-P_1\right)\left(1-P_2\right)}$ होगी,

  यह दिया हुआ है कि $A$ और $B$ के सच बोलने की प्रायिकता क्रमशः $\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2$ है।

• यदि दूसरे भाग में यह प्रायिकता कि उनके झूठ मेल खाते हैं $\beta$ है, तो उपरोक्त स्थिति से अभीष्ट प्रायिकता $\frac{\alpha P_1 P_2}{\alpha P_1 P_2+(1-\alpha)\left(1-P_1\right)\left(1-P_2\right) \beta}$ होगी।