द्विघात समीकरण का सामान्य रूप:

$ a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0 $

$\quad \quad $ जहाँ $a$, $b$, $c$ नियतांक हैं

• समीकरणों के मूल $\alpha=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}, \beta=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

मूलों का योग और गुणनफल:

$\quad$ यदि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के मूल हैं, तो

• मूलों का योग $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$

• मूलों का गुणनफल $\alpha \beta=\frac{c}{a}$

द्विघात समीकरण का विविक्तकर (Discriminant):

$\quad $ द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ का विविक्तकर $D=b^{2}-4 a c$ द्वारा दिया जाता है।

मूलों की प्रकृति:

• यदि $D=0$, तो मूल वास्तविक और समान हैं $\alpha=\beta=-\frac{b}{2 a}$।

• यदि $D > 0$, तो मूल वास्तविक और असमान हैं।

• यदि $D < 0$, तो मूल काल्पनिक और असमान हैं।

• यदि $D>0$ और $D$ एक पूर्ण वर्ग है, तो मूल परिमेय और असमान हैं।

• यदि $D>0$ और $D$ पूर्ण वर्ग नहीं है, तो मूल अपरिमेय और असमान हैं।

दिए गए मूलों के साथ द्विघात समीकरण का निर्माण

$\quad $ यदि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण के मूल हैं, तो

$(x-\alpha)(x-\beta)=0 \ \text{या} \ x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta=0 $

$ x^{2}-(\ \text{मूलों का योग } ) \ x+ \ \text{मूलों का गुणनफल} =0$

सामान्य मूल:

• यदि दो द्विघात समीकरण $a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}=0 $ $\ \text{और} \ a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}=0$ दोनों मूल साझा करते हैं, तो $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$।

• यदि केवल एक मूल $\alpha$ उभयनिष्ठ हो, तो

$\alpha = \frac{c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}} = \frac{b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}}{c_{1} a_{2} - c_{2}}$

द्विघातीय व्यंजक का परिसर:

$f(x) = ax^2 + bx + c$ प्रतिबद्ध डोमेन $x \in [x_1, x_2]$ में

• यदि $-\frac{b}{2a} \notin [x_1, x_2]$, तो

$ f(x) \in \left[\min\left(f(x_1), f(x_2)\right), \max\left(f(x_1), f(x_2)\right)\right] $

• यदि $-\frac{b}{2a} \in [x_1, x_2]$, तो

$ f(x) \in \left[\min\left(f(x_1), f(x_2), -\frac{D}{4a}\right), \max\left(f(x_1), f(x_2), -\frac{D}{4a}\right)\right] $

मूलों की स्थिति:

$\quad$ मान लीजिए $f(x)=a x^{2}+b x+c$, जहाँ $a>0$ और $a , b , c \in R$.

• $f(x)=0$ के दोनों मूलों का एक निर्दिष्ट संख्या ‘$x_{0}$’ से बड़ा होने की शर्तें हैं $b^2 - 4 a c \geq 0;$ $ f(x_0)>0 $ और $(\frac{-b }{ 2 a}) > x_0 $.

• $f(x)=0$ के दोनों मूलों का एक निर्दिष्ट संख्या ‘$x_{0}$’ से छोटा होने की शर्तें हैं $b^2 - 4 a c \geq 0 ;$ $ f(x_0)>0$ और $(\frac{-b }{ 2 a}) < x_0 $.

• $f(x)=0$ के दोनों मूलों का संख्या ‘$ x_0 $ ’ के दोनों ओर स्थित होने की शर्तें

  (दूसरे शब्दों में संख्या ‘$ x_0 $ ’ मूलों $ f(x) = 0 $ के बीच में स्थित है), है $ f(x_0) < 0$.

• $f(x)=0$ के दोनों मूलों का संख्याओं $x_{1}$ और $x_{2},(x_{1} < x_{2})$ के बीच सीमित होने की शर्तें हैं

$\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $b^{2}-4 ac \geq 0 ;$ $f(x_{1})>0 ; $ $f(x_{2})>0 $ और $x_{1} < (\frac{-b }{ 2 a}) < x_{2} $.

• शर्तें यह हैं कि $f(x)=0$ का एकमात्र मूल अंतराल $(x_{1}, x_{2})$ में स्थित हो, अर्थात् $x_{1} < x < x_{2}$ के लिए, $f(x_{1}) \cdot f(x_{2}) < 0$ होना चाहिए।

विशेष स्थितियों में मूल

$\quad$ द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ पर विचार करें

• यदि $c=0$, तो एक मूल शून्य होता है। दूसरा मूल $-\frac{b}{a}$ होता है।

• यदि $b=0$, तो मूल बराबर होते हैं लेकिन विपरीत चिह्नों के साथ।

• यदि $b=c=0$, तो दोनों मूल शून्य होते हैं।

• यदि $a=c$, तो मूल एक-दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं।

• यदि $a+b+c=0$, तो एक मूल 1 होता है और दूसरा मूल $\frac{c}{a}$ होता है।

• यदि $a=b=c=0$, तो समीकरण एक तत्समक बन जाएगा और यह $x$ के प्रत्येक मान को संतुष्ट करेगा।

द्विघात समीकरण का ग्राफ

$\quad$ द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ का ग्राफ एक परवलय होता है।

• यदि $a > 0$, तो द्विघात समीकरण का ग्राफ ऊपर की ओर अवतल होगा।

• यदि $a < 0$, तो द्विघात समीकरण का ग्राफ नीचे की ओर अवतल होगा।

अधिकतम और न्यूनतम मान

$\quad$ द्विघात व्यंजक $a x^{2}+b x+c=0$ पर विचार करें

• यदि $a < 0$, तो व्यंजक का अधिकतम मान $x=-\frac{b}{2 a}$ पर होता है। अधिकतम मान $-\frac{D}{4 a}$ होता है।

• यदि $a>0$, तो व्यंजक का न्यूनतम मान $x=-\frac{b}{2 a}$ पर होता है। न्यूनतम मान $-\frac{D}{4 a}$ होता है।

अंतराल:

$\quad$ अंतराल मूलतः $\mathrm{R}$ के उपसमुच्चय होते हैं और इनका प्रयोग असमिकाओं को हल करने या डोमेन ज्ञात करने में सामान्यतः किया जाता है। यदि दो संख्याएँ $a, b \in R$ इस प्रकार हैं कि $a < b$, तो हम चार प्रकार के अंतराल इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

• खुला अंतराल

$(a, b)={x: a < x < b}$

• बंद अंतराल

$[a, b]={x: a \leq x \leq b}$

• खुला-बंद अंतराल

$(a,b] ={x: a < x \leq b}$

• बंद-खुला अंतराल

$[a, b) ={x: a \leq x < b}$

• $(a, \infty)={x: x>a}$

• $[a, \infty)={x: x \geq a}$

• $(-\infty, b)={x: x < b}$

• $(\infty, b]={x: x \leq b}$

• $(-\infty, \infty)={x: x \in R}$

माप के गुण:

$\quad$ किसी भी $a, b \in R$ के लिए

• $|a| \geq 0, \quad|a|=|-a|$

• $|a| \geq a,|a| \geq-a$

• $|a b|=|a||b|$

• $|\frac{a}{b} \mid=\frac{|a|}{|b|}\quad$

• $|a+b| \leq |a|+|b|$

• $|a-b| \geq|| a|-| b||$