समांतर श्रेणी (A.P.):

• $ a, a+d, a+2 d, \ldots \ldots . . a+(n-1) d$ एक A.P. है। माना $a$ पहला पद है और $d$ एक A.P. का सार्व अंतर है, तो

$ n^{\text {th }} \text{term} =t_{n}=a+(n-1) d$

• $ \ \text{पहले} $ $\mathbf{n}$ पदों का योग एक A.P. का है

$ \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[2 \mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}]=\frac{\mathrm{n}}{2}[\mathrm{a}+\ell] $

• जब पहले $r$ पदों का योग दिया गया हो, तो A.P. का $ r^{\text {th }}$ पद

$t_{r}=S_{r}-S_{r-1}$

A.P. के गुण

• यदि $a, b, c$ A.P. में हैं $\Rightarrow 2b = a + c$

• यदि $a, b, c, d$ A.P. में हैं $\Rightarrow a + d = b + c$

• A.P. में तीन संख्याओं को $a - d, a, a + d$ लिया जा सकता है

• A.P. में चार संख्याओं को $a - 3d, a - d, a + d, a + 3d$ लिया जा सकता है

• A.P. में पाँच संख्याएँ $a - 2d, a - d, a, a + d, a + 2d$ होती हैं

• A.P. में छः पद $a - 5d, a - 3d, a - d, a + d, a + 3d, a + 5d$ आदि होते हैं

• A.P. के उन पदों का योग जो आरंभ और अंत से समान दूरी पर हैं, पहले और अंतिम पद के योग के बराबर होता है

समांतर माध्य (माध्य या औसत) (A.M.):

• यदि तीन पद A.P. में हैं तो मध्य पद को अन्य दो के बीच A.M. कहा जाता है, इसलिए यदि a, b, c A.P. में हैं, तो b, a और c का A.M. है।

• दो संख्याओं के बीच n-समांतर माध्य:

  • यदि $a, b$ कोई दी गई संख्याएँ हैं और $ a, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, b$ A.P. में हैं, तो $A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n}$, $a$ और $b$ के बीच n A.M. हैं।

$A_{1}=a+\frac{b-a}{n+1}, A_{2}=a+\frac{2(b-a)}{n+1}, \ldots \ldots, A_{n}=a+\frac{n(b-a)}{n+1}$

$\sum_{r=1}^{n} A_{r}= nA $

जहाँ A, $ a $ और $b$ के बीच एकल समांतर माध्य है।

समांतर प्रगति:

$\quad$ a, $a r, a r^{2}, a r^{3}, a r^{4}, \ldots \ldots$ एक G.P. है जिसमें पहला पद $a$ है और $r$ सार्व अनुपात है।

• $ n^{\text {th }}$ पद $=\operatorname{ar}^{n-1}$

• पहले $n$ पदों का योग अर्थात् $ S_{n} = \frac{a(r^n -1)}{r-1} , r \ne 1 $

$ S_{n} = na , r = 1 $

• अनंत G.P. का योग जब |r| < 1 हो तो निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$ S_\infty = \frac{a}{1-r} , \ \ \ (|r| < 1)$

गुणोत्तर माध्य (माध्यानुपातिक) (G.M.):

• यदि $a, b, c>0$ G.P. में हैं, $b$, $a$ और $c$ के बीच G.M. है, तो $b^{2}=a c$

• धनात्मक संख्या $a$, $b$ के बीच n-गुणोत्तर माध्य

  यदि $a, b$ दी गई संख्याएँ हैं और $a, G_{1}, G_{2}, \ldots . ., G_{n}$, $b$ (G.P.) में हैं। तब $G_{1}, G_{2}, G_{3}, \ldots, G_{n}$, $a$ और $b$ के बीच $n$ G.M. हैं।

$G_{1}=a(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}, G_{2}=a(\frac{b}{a})^{\frac{2}{n+1}}, \ldots \ldots, G_{n}=a(\frac{b}{a})^{\frac{n}{n+1}}$

हरात्मक प्रगति (H.P.):

• हरात्मक प्रगति को एक श्रेणी के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके पदों के व्युत्क्रम A.P. में होते हैं। यदि $a_1,a_2, \ldots $ H.P. में हैं तो $ \frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2}, \ldots $ A.P. में है < !– H.P. का मानक रूप $ \frac{1}{a}+\frac{1}{a+d}+\frac{1}{a+2 d}+\ldots $ –>

• $a, b, c$ H.P. में हैं $\Leftrightarrow b=\frac{2 a c}{a+c} = \frac{a}{c}=\frac{a-b}{b-c}$

• यदि HP का प्रथम पद $a$ और द्वितीय पद $b$ है, तो $n^{वाँ}$ पद $t_n=\frac{ab}{b+(n-1)(a-b)}$ है।

नोट:

• H.P. के योग ज्ञात करने के लिए कोई सूत्र और प्रक्रिया नहीं है।

हरात्मक माध्य (H.M.):

$\quad$ यदि तीन या तीन से अधिक पद H.P. में हैं, तो प्रथम और अंतिम पद के बीच स्थित सभी संख्याओं को उनके बीच हरात्मक माध्य कहा जाता है।

$\quad$ अर्थात्; दी गई दो राशियों $a$ और $b$ के बीच H.M. $\mathrm{H}$ इस प्रकार है कि $a, H, b$, H.P. में हैं।

$\quad$ अर्थात् $\frac{1}{\mathrm{a}}, \frac{1}{\mathrm{H}}, \frac{1}{\mathrm{~b}}$ A.P. में हैं। $ \frac{1}{H}-\frac{1}{a}=\frac{1}{b}-\frac{1}{H} \Rightarrow H=\frac{2 a b}{a+b} $

$\quad$ साथ ही $H=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots .+\frac{1}{a_n}}=\frac{n}{\sum_{j=1}^n \frac{1}{a_j}}$

$\quad$ $n$ अशून्य संख्याओं $a_1, a_2, a_3, \ldots \ldots \ldots, a_n$ का हरात्मक माध्य।

महत्वपूर्ण परिणाम:

• $\sum_{r=1}^{n}\left(a_{r} \pm b_{r}\right)=\sum_{r=1}^{n} a_{r} \pm \sum_{r=1}^{n} b_{r}$

• $\sum_{r=1}^{n} k a_{r}=k \sum_{r=1}^{n} a_{r}$

• $\sum_{r=1}^{n} k=n k \ , \text{जहाँ k एक नियतांक है} $

• प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का योग

$\sum_{r=1}^{n} r=1+2+3+\ldots \ldots \ldots . .+n=\frac{n(n+1)}{2}$

• प्रथम $\mathrm{n}$ विषम प्राकृत संख्याओं का योग $ \Rightarrow \sum_{r=1}^n(2 r-1)=n^2 $

• प्रथम $n$ सम प्राकृत संख्याओं का योग $ \Rightarrow \sum_{r=1}^n 2 r=n(n+1) $

• प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग

$\sum_{r=1}^{n} r^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots \ldots \ldots \ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

• पहले $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग

$ \sum_{r=1}^{n} r^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots \ldots \ldots . .+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} $

• पहले $n$ प्राकृतिक संख्याओं की चौथी घातों का योग $\left(\sum n^4\right)$ $ \sum n^4=1^4+2^4+\ldots . .+n^4=\frac{n(n+1)(2 n+1)\left(3 n^2+3 n-1\right)}{30} $

• यदि एक समांतर श्रेणी का $r^{\text {th }}$ पद $ T_r=A r^3+B r^2+C r+D \text{ है, तो } $ $\quad \quad \quad$ समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $ S_n=\sum_{r=1}^n T_r=A \sum_{r=1}^n r^3+B \sum_{r=1}^n r^2+C \sum_{r=1}^n r+D \sum_{r=1}^n 1 $

• माध्यों के बीच संबंध

$\quad \quad \mathrm{G}^{2}=\mathrm{AH}, \quad$ समांतर माध्य $\geq$ गुणोत्तर माध्य $\geq$ हरात्मक माध्य और समांतर माध्य $=$ गुणोत्तर माध्य $=$ हरात्मक माध्य यदि $a_{1}=a_{2}=a_{3}=\ldots \ldots \ldots . .=a_{n}$

महत्वपूर्ण नोट:

• यदि किसी समांतर श्रेणी का $p^{\text {th }}$ पद $q$ है, $q^{\text {th }}$ पद $p$ है तो $m^{\text {th }}$ पद $=p+q-m$ है

• यदि किसी समांतर श्रेणी के $p$ पदों का योग $q$ है, $q$ पदों का योग $p$ है, तो $(p+q)$ पदों का योग $-(p+q)$ है।

• यदि किसी समांतर श्रेणी के $p$ पदों का योग $q$ पदों के योग के बराबर है तो $(p+q)$ पदों का योग शून्य है

• यदि $n$ पदों का योग $S_n$ दिया गया है तो सामान्य पद $T_n=S_n-S_{n-1}$ जहाँ $S_{n-1}$ समांतर श्रेणी के $(n-1)$ पदों का योग है

• समांतर श्रेणी का सार्व अंतर $d=S_2-2 S_1$ द्वारा दिया गया है जहाँ $S_2$ पहले दो पदों का योग है और $\mathrm{S}_1$ पहले पद का योग या पहला पद है।

• एक A.P. के अनंत पदों का योग $\infty$ होता है यदि $d>0$ और $-\infty$ होता है यदि $d < 0$

• एक A.P. के $n$ पदों का योग $A n^2+B n$ के रूप में होता है अर्थात् $n$ में एक द्विघात व्यंजक, ऐसी स्थिति में सार्व अंतर $n^2$ के गुणांक का दोगुना होता है अर्थात् $2 A$

• एक A.P. का $n^{\text {th }}$ पद $A n+B$ के रूप में होता है अर्थात् $n$ में एक रैखिक व्यंजक, ऐसी स्थिति में $n$ का गुणांक A.P. का सार्व अंतर होता है अर्थात् A

• यदि विभिन्न A.P.’s के लिए $\frac{S_n}{S_n^{\prime}}=\frac{f_n}{\phi_n}$ तो $\frac{T_n}{T_n^{\prime}}=\frac{f(2 n-1)}{\phi(2 n-1)}$

• यदि दो A.P.’s के लिए $\frac{T_n}{T_n^{\prime}}=\frac{A n+B}{C n+D}$

अंकगणित-ज्यामिति प्रगति (A.G.P.):

$\quad$ यदि किसी प्रगति का प्रत्येक पद एक A.P. और एक G.P. के संगत पदों का गुणा हो, तो इसे अंकगणित-ज्यामिति प्रगति (A.G.P.) कहा जाता है

उदा. $a,(a+d) r,(a+2 d) r^2, \ldots \ldots$.

• एक A.G.P. का सामान्य पद ($n^{\text {th }}$ पद) है $ T_n=[a+(n-1) d] r^{n-1} $

• एक A.G.P. के $n$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए हम इसका योग $S$ मान लेते हैं, संगत G.P. के सार्व अनुपात से दोनों पक्षों को गुणा करते हैं और फिर निम्नलिखित प्रकार से घटाते हैं और

  हमें एक G.P. प्राप्त होती है जिसका योग आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। $ \begin{aligned} & S_n=a+(a+d) r+(a+2 d) r^2+\ldots . .[a+(n-1) d] r^{n-1} \ & r S_n=\quad a r+(a+d) r^2+\ldots .+[a+(n-1) d] r^n \end{aligned} $

$\quad$ घटाने के बाद हम पाते हैं
$
S_n(1-r)=a+r . d+r^2 \cdot d \ldots . . d r^{n-1}-[a+(n-1) d] r^n
$

$\quad$ हल करने पर  

$
S_n = \frac{a (1 - r^n)}{1 - r} + \frac{dr (1 - r^{n-1})}{(1 - r)^2}
$
$\quad$ और $S_{\infty}=\frac{a}{1-r}+\frac{d r}{(1-r)^2}$

$\quad $ **नोट** : यह कोई मानक सूत्र नहीं है। यह केवल एक A.G.P. के योग को ज्ञात करने की प्रक्रिया को समझने के लिए है। हालाँकि अनंत पदों के योग का सूत्र सीधे प्रयोग किया जा सकता है।