समुच्चयों के बीजगणित के नियम (समुच्चयों के गुणधर्म):

• क्रमविनिमेय नियम

$A \cup B=B \cup A$

$ A \cap B=B \cap A$

• साहचर्य नियम

$(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C)$ $ (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)$

• वितरण नियम $A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$ $ A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$

• डि मॉर्गन नियम $(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime}$ $ (A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}$

• तत्समक नियम $A \cap U=A$ $ A \cup \phi=A$

• पूरक नियम

$A \cup A^{\prime}=U$ $ A \cap A^{\prime}=\phi$ $ \left(A^{\prime}\right)^{\prime}=A$

• तुष्टिकर नियम $A \cap A=A$ $ A \cup A=A$

समुच्चयों में अवयवों की संख्या पर कुछ महत्वपूर्ण परिणाम:

$\quad$ यदि $A, B, C$ परिमित समुच्चय हैं और $U$ परिमित सार्वत्रिक समुच्चय है तो

• $n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

• $\quad n(A-B)=n(A)-n(A \cap B)$

• $n(A \cup B \cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(A \cap C)+n(A \cap B \cap C)$

• समुच्चयों $A, B, C$ में से ठीक दो में अवयवों की संख्या

$n(A \cap B)+n(B \cap C)+n(C \cap A)-3 n(A \cap B \cap C)$

• समुच्चयों $A, B, C$ में से ठीक एक में अवयवों की संख्या $ n(A)+n(B)+n(C)-2 n(A \cap B)-2 n(B \cap C)-2 n(A \cap C) +3 n(A \cap B \cap C) $

• यदि A में n अवयव हैं, तो P(A) में $2^n$ अवयव हैं

• n अवयवों वाले परिमित समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या $2^n$ है

• n अवयवों वाले A के उचित उपसमुच्चयों की संख्या $2^n - 1$ है

• n अवयवों वाले A के अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या $2^n - 1$ है

संबंधों के प्रकार :

• रिक्त संबंध: मान लीजिए $\mathrm{A}$ एक समुच्चय है। तब $\phi \subseteq \mathrm{A} \times \mathrm{A}$ और इसलिए यह $A$ पर एक संबंध है। इस संबंध को $A$ पर रिक्त या खाली संबंध कहा जाता है।

• सार्वत्रिक संबंध: मान लीजिए $A$ एक समुच्चय है। तब $A \times A \subseteq A \times A$ और इसलिए यह $A$ पर एक संबंध है। इस संबंध को $A$ पर सार्वत्रिक संबंध कहा जाता है।

• तत्समक संबंध: मान लीजिए $A$ एक समुच्चय है। तब $A$ पर संबंध $I_A={(a, a): a \in A }$ को $\mathrm{A}$ पर तत्समक संबंध कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, $A$ पर एक संबंध $\mathrm{I}_{\mathrm{A}}$ को तत्समक संबंध कहा जाता है यदि $A$ का प्रत्येक अवयव केवल स्वयं से संबंधित हो।

• स्वतुल्य संबंध: एक संबंध $R$ को एक समुच्चय $A$ पर स्वतुल्य कहा जाता है यदि $A$ का प्रत्येक अवयव स्वयं से संबंधित हो। इस प्रकार, एक समुच्चय $A$ पर $R$ स्वतुल्य नहीं है यदि $A$ में कोई अवयव $a$ ऐसा होता है कि $(a, a) \notin R$।

  • स्वतुल्य संबंध सूत्र

  $ N = 2^{n^2 - n} $

  जहाँ N स्वतुल्य संबंधों की संख्या है और n समुच्चय में वस्तुओं की संख्या है, ’n’ अवयवों वाले समुच्चय पर स्वतुल्य संबंधों की संख्या देता है।

• नोट

  प्रत्येक तत्समक संबंध स्वतुल्य होता है लेकिन प्रत्येक स्वतुल्य संबंध तत्समक नहीं होता।

• सममित संबंध: एक संबंध $R$ को एक समुच्चय $A$ पर सममित संबंध कहा जाता है iff $(a, b) \in R \Rightarrow(b, a) \in R$ सभी $a, b \in A$ के लिए। अर्थात् $a R b \Rightarrow b R$ a सभी $a, b \in A$ के लिए।

  • सममित संबंध सूत्र

$ N = 2^{\frac{n(n+1)}{2}} $

जहाँ N सममित संबंधों की संख्या है और n सेट में वस्तुओं की संख्या है, ’n’ तत्वों वाले सेट पर सममित संबंधों की संख्या देता है।

• Transitive relation: माना $A$ कोई सेट है। $A$ पर एक संबंध $R$ को एक संचरण संबंध कहा जाता है

  iff $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \Rightarrow(a, c) \in R$ सभी $a, b, c \in A$ के लिए i.e. $a R b$ और $b R c \Rightarrow a R c \quad$ सभी $a, b, c \in A$ के लिए

• Equivalence relation: एक सेट $A$ पर एक संबंध $R$ को $A$ पर एक तुल्यता संबंध कहा जाता है iff

  • $\quad$ यह स्वतःस्फूर्त है i.e. $(a, a)$ $\in R$ सभी $a \in A$ के लिए

  • $\quad$ यह सममित है i.e. $(a, b)$ $\in R \Rightarrow(b, a) \in R$ सभी $a, b \in A$ के लिए

  • $\quad$ यह संचरण है i.e. $(a, b)$ $\in R$ और (b, c) $\in R \Rightarrow(a, c) \in R$ सभी $a, b \in A$ के लिए

  • $\quad$ A से A तक के संबंधों की संख्या जो स्वतःस्फूर्त और सममित दोनों हैं $2^{\frac{n^2 - n}{2}}$ है