साइन नियम:

$\quad \quad \quad \quad \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

कोसाइन सूत्र:

• $ \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$

• $ \cos B=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a} $

• $ \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$

प्रक्षेप सूत्र:

• $ a=b \cos C+c \cos B$

• $ b=c \cos A+a \cos C$

• $ c=a \cos B+b \cos A$

नेपियर की एनालॉजी (टैजेंट नियम):

• $ \tan \frac{\mathrm{B}-\mathrm{C}}{2}=\frac{\mathrm{b}-\mathrm{c}}{\mathrm{b}+\mathrm{c}} \cot \frac{\mathrm{A}}{2}$

• $ \tan \frac{C-A}{2}=\frac{c-a}{c+a} \cot \frac{B}{2}$

• $ \tan \frac{A-B}{2}=\frac{a-b}{a+b} \cot \frac{C}{2}$

अर्ध कोणों के त्रिकोणमितीय फलन:

• $ \sin \frac{\Lambda}{2}=\sqrt{\frac{(\mathrm{s}-\mathrm{b})(\mathrm{s}-\mathrm{c})}{\mathrm{bc}}} $

• $ \sin \frac{\mathrm{B}}{2}=\sqrt{\frac{(\mathrm{s}-\mathrm{c})(\mathrm{s}-\mathrm{a})}{\mathrm{ca}}}$

• $ \sin \frac{\mathrm{C}}{2}=\sqrt{\frac{(\mathrm{s}-\mathrm{a})(\mathrm{s}-\mathrm{b})}{\mathrm{ab}}}$

• $ \cos \frac{\mathrm{A}}{2}=\sqrt{\frac{\mathrm{s}(\mathrm{s}-\mathrm{a})}{\mathrm{bc}}} $

• $ \cos \frac{\mathrm{B}}{2}=\sqrt{\frac{\mathrm{s}(\mathrm{s}-\mathrm{b})}{\mathrm{ca}}}$

• $ \cos \frac{\mathrm{C}}{2}=\sqrt{\frac{\mathrm{s}(\mathrm{s}-\mathrm{c})}{\mathrm{ab}}}$

• $ \tan \frac{\Lambda}{2}=\sqrt{\frac{(\mathrm{s}-\mathrm{b})(\mathrm{s}-\mathrm{c})}{\mathrm{s}(\mathrm{s}-\mathrm{a})}}=\frac{\Delta}{\mathrm{s}(\mathrm{s}-\mathrm{a})}$

  जहाँ, $\mathrm{s}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}\hspace{1mm} \text{ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।}$

• $ \sin A=\frac{2}{b c} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\frac{2 \Delta}{b c}$

त्रिभुज का क्षेत्रफल $(\Delta)$:

$\quad \Delta=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} c a \sin B=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$\mathbf{m}$-n नियम:

$\quad \ \text{यदि} \ B D: D C=m: n, तो$

$ \begin{aligned} (m+n) \cot \theta & =m \cot \alpha-n \cot \beta \ & =n \cot B-m \cot C \end{aligned} $

परिवृत्त की त्रिज्या :

$ R=\frac{a}{2 \sin A}=\frac{b}{2 \sin B}=\frac{c}{2 \sin C}=\frac{a b c}{4 \Delta} $

अंतःवृत्त की त्रिज्या :

• $ r=\frac{\Delta}{s}$

• $ r=(s-a) \tan \frac{A}{2}=(s-b) \tan \frac{B}{2}=(s-c) \tan \frac{C}{2}$

• $ r=\frac{a \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}}{\cos \frac{A}{2}}\hspace{1mm} $

• $ r=4 R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$

बाह्यवृत्तों की त्रिज्या :

• $ r_{1}=\frac{\Delta}{s-a} ; r_{2}=\frac{\Delta}{s-b} ; r_{3}=\frac{\Delta}{s-c}$

• $ r_{1}=s \tan \frac{A}{2} ; r_{2}=s \tan \frac{B}{2} ; r_{3}=s \tan \frac{\mathrm{C}}{2}$

• $ r_{1}=\frac{a \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}{\cos \frac{A}{2}}\hspace{1mm}$

• $ r_{1}=4 R \sin \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}$

कोण समद्विभाजकों, माध्यिकाओं और ऊँचाइयों की लंबाई :

• कोण A से कोण समद्विभाजक की लंबाई = $\beta_{a}=\frac{2 b c \cos \frac{A}{2}}{b+c}$

• कोण A से माध्यिका की लंबाई = $m_{a}=\frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2}+2 c^{2}-a^{2}}$

• कोण A से ऊँचाई की लंबाई = $A_{a}=\frac{2 \Delta}{a}$

विशिष्ट बिंदुओं की त्रिभुज के शीर्षों और भुजाओं से दूरियाँ:

• परिकेंद्र (O)

$ O A=R \ \text{और} \ O_{a}=R \cos A $

• अंतःकेंद्र (I)

$ I A= r \operatorname{cosec} \frac{A}{2} \text{और} \ I_{a}=r $

• बाह्यकेंद्र $ \left(I_{1}\right)$

$ I_{1} A=r_{1} \operatorname{cosec} \frac{A}{2}$

• लंबकेंद्र

$ H A=2 R \cos A \ \text{और} \ H_{a}=2 R \cos B \cos C$

• केन्द्रक (G)

$ GA =\frac{1}{3} \sqrt{2 b^{2}+2 c^{2}-a^{2}} \ \text{और} \ G_{a}=\frac{2 \Delta}{3 a}$

लंबकेंद्र और पैडल त्रिभुज:

$ \quad $ वह त्रिभुज KLM जो ऊँचाइयों के पादों को मिलाकर बनता है, पैडल त्रिभुज कहलाता है।

• इसके कोण हैं $\pi-2 A, \pi-2 B$ और $\pi-2 C$।

• इसकी भुजाएँ हैं a $\cos A=R \sin 2 A$,$b \cos B=R \sin 2 B \hspace{1mm} \text { और } \hspace{1mm} c \cos C=R \sin 2 C$

• त्रिभुजों $\mathrm{PBC}, \mathrm{PCA}, \mathrm{PAB}$ और $\mathrm{ABC}$ की परित्रिज्याएँ समान हैं।

एक्सकेंद्रीय त्रिभुज:

• $\triangle ABC$ के तीन बाह्यकेन्द्रों $I_{1}, I_{2}$ और $I_{3}$ को मिलाकर बनाया गया त्रिभुज एक्सकेंद्रीय या बाह्यकेन्द्रीय त्रिभुज कहलाता है।

• $\triangle ABC$, $\Delta I_1 I_2 I_3$ का पैडल त्रिभुज है।

• इसके कोण $\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}, \frac{\pi}{2}-\frac{B}{2} \hspace{1mm}$ और $\hspace{1mm}\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$ होते हैं।

• इसकी भुजाएँ $4 R \cos \frac{A}{2}, 4 R \cos \frac{B}{2}\hspace{1mm}$ और $\hspace{1mm} 4 R \cos \frac{C}{2}$ हैं।

• $ I_{1}=4 R \sin \frac{A}{2} ; I I_{2}=4 R \sin \frac{B}{2} ; I I_{3}=4 R \sin \frac{C}{2}$।

• $\triangle ABC$ का अंतःकेंद्र I, एक्सकेंद्रीय $\Delta I_1 I_2 I_3$ का लंबकेंद्र है।

विशिष्ट बिंदुओं के बीच की दूरी :

• परिकेंद्र और लंबकेंद्र के बीच की दूरी

$\mathrm{OH}^{2}=\mathrm{R}^{2}(1-8 \cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C})$

• परिकेंद्र और अंतःकेंद्र के बीच की दूरी

$\mathrm{OI}^{2}=\mathrm{R}^{2}\left(1-8 \sin \frac{\mathrm{A}}{2} \sin \frac{\mathrm{B}}{2} \sin \frac{\mathrm{C}}{2}\right)=\mathrm{R}^{2}-2 \mathrm{Rr}$

• परिकेंद्र और केन्द्रक के बीच की दूरी

$O G^{2}=R^{2}-\frac{1}{9}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$