दूरी सूत्र :

दो बिंदु $ \ P_1(x_1, y_1) \ $ और $ \ P_2(x_2, y_2) \ $ दिए गए हैं, इन बिंदुओं के बीच की दूरी ( d ) निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

$ d=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}} $

खंड सूत्र :

(i) आंतरिक खंड सूत्र :

$P(x, y)=\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)$

(ii) बाह्य खंड सूत्र :

$P(x, y)=\left(\frac{m x_2-n x_1}{m-n}, \frac{m y_2-n y_1}{m-n}\right)$

केन्द्रक, अंतःकेन्द्र और बाह्यकेन्द्र:

केन्द्रक (G) $(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} )$

अंतःकेन्द्र $(\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} )$

बाह्यकेन्द्र (I_{1}) $ (\frac{-ax_1 + bx_2 + cx_3}{-a+b+c}, \frac{-ay_1 + by_2 + cy_3}{-a+b+c} )$

त्रिभुज का क्षेत्रफल:

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_1, \mathrm{y}_1\right)$, $Q\left(x_2, y_2\right)$, और $R\left(x_3, y_3\right)$ हैं

$ \triangle \text{ABC} = \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right|$

ढाल सूत्र:

दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा $(x_1 , y_1)$ और $(x_2 , y_2)$

$m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$

विभिन्न रूपों में सीधी रेखा का समीकरण:

(i) बिंदु-ढाल रूप: $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$

(ii) ढाल-अंतःखंड रूप: $y=m x+c$

(iii) दो-बिंदु रूप: $y - y_1 = \left(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\right)(x - x_1)$

(iv) अंतःखंड रूप: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

(v) लम्बवत् / अभिलम्ब रूप: $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$
(vi) प्राचलिक रूप: $x=x_1+r \cos \theta, y=y_1+r \sin \theta$

(vii) सममित रूप: $\frac{x - x_1}{\cos \theta} = \frac{y - y_1}{\sin \theta} = r $

(viii) व्यापक रूप: $a x+b y+c=0$

दो सरल रेखाओं के बीच का कोण :

$\tan \theta=\left|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}\right| $

दो रेखाओं के समानांतर या लम्बवत् होने की शर्त: $a x+b y+c=0$ और $a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime}=0$

$ \quad $ (i) समानांतर यदि $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{\prime}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}^{\prime}} \neq \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}^{\prime}}$

$ \quad $ (ii) लम्बवत् यदि $\mathrm{aa}^{\prime}+\mathrm{bb}^{\prime}=\mathbf{0}$

$ \quad $ (iii) दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d=\left|\frac{c_{1}-c_{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right|$

तीन बिंदुओं की संरेखता की शर्त:

$\left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \ x_{2} & y_{2} & 1 \ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right|=0$

एक बिंदु और रेखा:

(i) बिंदु और रेखा के बीच की दूरी $d=\left|\frac{a x_{1}+b y_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right|$

(ii) एक रेखा के बारे में एक बिंदु का प्रतिबिंब:
$\frac{x-x_{1}}{a}=\frac{y-y_{1}}{b}=\frac{-2(a x_{1}+b y_{1}+c)}{a^{2}+b^{2}}$

(iii) एक बिंदु से रेखा पर लम्बवत् का पाद

$\frac{x-x_{1}}{a}=\frac{y-y_{1}}{b}=-\frac{a x_{1}+b y_{1}+c}{a^{2}+b^{2}}$

दो रेखाओं के बीच के कोणों के समद्विभाजक:

$\frac{a x+b y+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}= \pm \frac{a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime}}{\sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}}}$

तीन सरल रेखाओं की संगामिता की शर्त $a_{i} x+b_{i} y+c_{i}=0, i=1,2,3$

$ \left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|=0$

मूल बिंदु से गुज़रने वाली एक युगल रेखा:

$ ax^2 + 2hxy + by^2 = 0 $

यदि $\theta$ रेखा युगल के बीच का न्यून कोण है, तो

$ \tan \theta = \left|\frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{a + b}\right| $

एक दी गई रेखा के समांतर और लंबवत रेखाओं का समीकरण:

(i) रेखा $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c}=0$ के समांतर रेखा का समीकरण

$a x+b y+\lambda=0 $

(ii) रेखा $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c}=0$ के लंबवत रेखा का समीकरण

$ b x-a y+k=0 $

यहाँ $\lambda, \mathrm{k}$, प्राचल हैं

रेखा परिवार:

यदि दो रेखाओं के समीकरण $P \equiv a_1 x+b_1 y+c_1=0$ और $Q \equiv a_2 x+b_2 y+c_2=0$ हों, तो इन रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु से गुज़रने वाली रेखाओं का समीकरण है:

$\mathrm{P}+\lambda \mathrm{Q}=0$ या $\mathrm{a}_1 \mathrm{x}+\mathrm{b}_1 \mathrm{y}+ c_1+\lambda\left(a_2 x+b_2 y+c_2\right)=0$

द्वितीय घात का सामान्य समीकरण और समघात समीकरण :

(i) द्वितीय घात का सामान्य समीकरण ${a x}^2+{2 h x y}+{b y}^2+{2 g x}+{2 f y}+{c}={0}$ सरल रेखाओं के युग्म को निरूपित करता है यदि $\Delta=a b c+2 f g h-a f^2-bg^2-c h^2=0$ या

$\left|\begin{array}{lll}a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{array}\right|=0 $

(ii) यदि $\theta$ रेखाओं के बीच का कोण हो, तो $\tan \theta= \pm \frac{2 \sqrt{\mathrm{h}^2-\mathrm{ab}}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}$ ये रेखाएँ हैं

• समांतर यदि $\Delta=0, \mathrm{~h}^2=\mathrm{ab}$

• लंब यदि $a+b=0$ अर्थात् $ \text{ गुणांक}\quad x^2+ \text{गुणांक}\quad y^2=0 $

(iii) द्वितीय घात का समघात समीकरण $ ax^2 + 2hxy + by^2 = 0 $ सदैव सरल रेखाओं के युग्म को निरूपित करता है जिनके समीकरण हैं

$ y = \left(\frac{-h \pm \sqrt{h^2 - ab}}{b}\right) x $

या

$y = m_1x , y = m_2x $

और $\mathrm{m}_1+\mathrm{m}_2=-\frac{2 \mathrm{~h}}{\mathrm{~b}} ; \mathrm{m}_1 \mathrm{~m}_2=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$

ये सरल रेखाएँ मूल बिंदु से होकर जाती हैं और इन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए सामान्य समीकरण के लिए दिया गया वही सूत्र प्रयोग किया जाता है

इन रेखाओं के लिए यह शर्त कि ये:

• एक दूसरे पर लंब हैं $\mathrm{a}+\mathrm{b}=0$ अर्थात् $x^2$ का गुणांक+ $y^2$ का गुणांक=0.

• संपाती $h^2=a b$

• एक्स अक्ष के समान रूप से झुका हुआ $h=0$ है अर्थात् $\mathrm{xy}$ का गुणांक $=0$

(iv) द्वितीय घात के समघात समीकरण द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच के कोण समद्विभाजकों का संयुक्त समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}, a \neq b, h \neq 0$ द्वारा दिया जाता है