दूरी सूत्र :

$\quad$ दो बिंदु $ \ P_1(x_1, y_1) \ $ और $ \ P_2(x_2, y_2) \ $ दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं के बीच की दूरी ( d ) निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

$ d=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}} $

निर्देशांक अक्षों से बिंदु $P$ की दूरी :

$P A=\sqrt{y^{2}+z^{2}}, P B=\sqrt{z^{2}+x^{2}}, P C=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

विभाजन सूत्र :

• आंतरिक विभाजन सूत्र

$P(x, y)=\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)$

• बाह्य विभाजन सूत्र

$P(x, y)=\left(\frac{m x_2-n x_1}{m-n}, \frac{m y_2-n y_1}{m-n}\right)$

दिक् कोज्या और दिक् अनुपात

• दिक् कोज्या

  मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ वे कोण हैं जो एक निर्देशित रेखा क्रमशः $x, y$ और $z$ अक्षों की धनात्मक दिशाओं के साथ बनाती है,

  तो $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ को रेखा की दिक् कोज्याएँ कहा जाता है। दिक् कोज्याओं को सामान्यतः $(\ell, \mathrm{m}, \mathrm{n})$ द्वारा दर्शाया जाता है।

  इस प्रकार $\ell=\cos \alpha, \mathrm{m}=$ $\cos \beta, \mathrm{n}=\cos \gamma$।

• यदि $\ell, \mathrm{m}, \mathrm{n}$ किसी रेखा की दिक् कोज्याएँ हों, तो $\ell^{2}+\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}=1$

• दिक् अनुपात

  मान लीजिए $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ दिक् कोज्याओं $\ell, \mathrm{m}, \mathrm{n}$ के समानुपाती हैं, तो $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ को दिक् अनुपात कहा जाता है

• यदि किसी सदिश के दिक्-कोसाइन $\ell, \mathrm{m}, \mathrm{n}$ हों और दिक्-अनुपात $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ हों, तो $ \ell= \pm \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m= \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

• यदि बिन्दुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ और $\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ हों, तो रेखा $P Q$ के दिक्-अनुपात a $=x_{2}-x_{1}, b=y_{2}-y_{1} \hspace{1mm}$ व $\hspace{1mm} c=z_{2}-z_{1}$ हैं और

  रेखा $P Q$ के दिक्-कोसाइन $\ell=\frac{x_{2}-x_{1}}{|P Q|}$, m $=\frac{y_2 - y_1}{|PQ|} $ और $ n =\frac{z_2 - z_1} {|PQ|}$ हैं।

दो रेखाखंडों के बीच का कोण:

$\cos \theta=\left|\frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}\right|$

• रेखा लम्बवत होगी यदि $a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}=0$।

• रेखा समानान्तर होगी यदि $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$।

किसी रेखा पर रेखाखंड का प्रक्षेप

$\quad$ यदि $P (x_{1}, y_{1} , z_{1})$ और $Q\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ हों, तो दिक्-कोसाइन $\ell, m, n$ वाली रेखा पर $P Q$ का प्रक्षेप $|\ell ( x_2 - x_1 ) + m ( y_2 - y_1 ) + n ( z_2 - z_1 )|$ है।

समतल का समीकरण :

$\quad$ सामान्य रूप: $a x+b y+c z+d=0$, जहाँ $a, b, c$ सभी शून्य नहीं हैं, $a, b, c, d \in R$।

• प्रसामान्य रूप $\ell x+m y+n z=p$
• बिंदु $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ से होकर जाने वाला समतल

$a\left(x-x_{1}\right)+b\left(y-y_{1}\right)+c\left(z-z_{1}\right)=0$

• अंतःखंड रूप

$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{c}}=1$

• सदिश रूप

$ (\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n}=0 \ \text{या} \ \vec{r} \cdot \vec{n}=\vec{a} \cdot \vec{n} $

• दिए गए समतल $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}+\mathrm{d}=0$ के समांतर कोई भी समतल $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}+\lambda=0$ है

• $a x+b y+c z+d_{1}=0$ और $a x+b y+c z+d_{2}=0$ के बीच की दूरी $d=\frac{\left|d_{1}-d_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ है

• एक दिए गए बिंदु से होकर जाने वाला और दिए गए सदिशों के समांतर समतल का समीकरण

• प्राचलिक रूप $\overrightarrow{\mathrm{r}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}+\lambda \overrightarrow{\mathrm{b}}+\mu \overrightarrow{\mathrm{c}}$ जहाँ, $\lambda$ और $\mu$ अदिश हैं।

• अप्राचलिक रूप $\quad \overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}})=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}) \quad$

एक समतल और एक बिंदु

• बिंदु $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ की समतल $a x+b y+c z+d=0$ से दूरी $\frac{a x^{\prime}+b y^{\prime}+c z^{\prime}+d}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ द्वारा दी जाती है।

• बिंदु ($\vec{a}$) से समतल $\vec{r} \cdot \vec{n}=d$ पर डाले गए लंब की लंबाई $p=\frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}-d|}{|\vec{n}|}$ द्वारा दी जाती है।

• बिंदु $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ से समतल $a x+b y+c z+d=0$ पर डाले गए लंब का पाद $(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})$ इस प्रकार दिया जाता है:

$\frac{x^{\prime}-x_{1}}{a}=\frac{y^{\prime}-y_{1}}{b}=\frac{z^{\prime}-z_{1}}{c}=-\frac{(a x_{1}+b y_{1}+c z_{1}+d)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

• किसी बिंदु का समतल के सापेक्ष प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए:

$\quad$ माना $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ एक दिया गया बिंदु है और $a x+b y+c z+d=0$ दिया गया समतल है। माना $(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})$ प्रतिबिंब बिंदु है, तब

$\frac{x^{\prime}-x_{1}}{a}=\frac{y^{\prime}-y_{1}}{b}=\frac{z^{\prime}-z_{1}}{c}=-2 \frac{(a x_{1}+b y_{1}+c z_{1}+d)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

दो समतलों के बीच का कोण:

$\cos \theta=\left|\frac{a a^{\prime}+b b^{\prime}+c c^{\prime}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}\right|$

• समतल लंबवत हैं यदि $aa’ + bb’ + cc’ = 0$

• समतल समानांतर हैं यदि $\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}$

• समतलों $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है, $\cos \theta=\frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1 | \cdot|\vec{n}_2|}$

• समतल लंबवत होते हैं यदि $\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_2 = 0 $ और समतल समानांतर होते हैं यदि $\vec{n}_1 = \lambda \hspace{1mm} \vec{n}_2, \lambda $ एक अदिश है

कोण समद्विभाजक

• दो दिए गए समतलों $a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z+d_{1}=0$ और $a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z+d_{2}=0$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करने वाले समतलों के समीकरण हैं

$\frac{a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z+d_{1}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}= \pm \frac{a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z+d_{2}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}$

• न्यून/अधिक कोण का समद्विभाजक: पहले दोनों अचर पदों को धनात्मक बनाएं। फिर

• $a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}>0 \Rightarrow$ मूल बिंदु अधिक कोण पर स्थित है

• $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} < 0 \Rightarrow$ मूल बिंदु न्यून कोण में स्थित है

समतलों का परिवार:

• किसी भी समतल जो $a_{1} x + b_{1} y+c_{1} z + d_{1}= 0 \hspace{1mm}$ और $ \hspace{1mm} a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z+d_{2}=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाता है, वह है

$a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z+d_{1}+\lambda\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z+d_{2}\right)=0$

• समतलों के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल का समीकरण $\vec{r} . \vec{n}_1 = d_1 \hspace{1mm} $ और $\hspace{1mm}\vec{r} . \vec{n}_2 = d_2 $ है

  $\vec{r} \cdot (n_1 + \lambda \vec{n}_2) = d_1 + \lambda d_2 $

  जहां $\lambda $ एक स्वेच्छ अदिश है

त्रिभुज का क्षेत्रफल:

$\quad$ दो सदिशों ${\overrightarrow{A B}}$ और ${\overrightarrow{A C}}$ से। तब क्षेत्रफल दिया गया है ${\frac{1}{2}|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|}$

एक चतुष्फलक का आयतन:

$\quad$ बिन्दुओं $ A(x_1, y_1, z_1) , B(x_2, y_2, z_2) , C(x_3, y_3, z_3) $, और $ D(x_4, y_4, z_4) $ से बने चतुष्फलक का आयतन निम्न प्रकार दिया जाता है

$ V = \frac{1}{6} \left| \begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right| $

एक त्रिभुज का केन्द्रक:

$ G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right) $

त्रिभुज $A B C$ का अंतःकेंद्र:

$ \left(\frac{a x_1+b x_2+c x_3}{a+b+c}, \frac{a y_1+b y_2+c y_3}{a+b+c}, \frac{a z_1+b z_2+c z_3}{a+b+c}\right) $

एक चतुष्फलक का केन्द्रक:

$ \left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right) $

यदि $a, b, c$ किसी रेखा $L$ की दिक् अनुपात हैं तो $ a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ एक सदिश होगा जो रेखा $\mathrm{L}$ के समानांतर है।

यदि $\mathrm{l}, \mathrm{m}$, और $\mathrm{n}$ किसी रेखा $\mathrm{L}$ की दिक् कोज्याएँ हैं, तो $ l \hat{i}+m \hat{j}+n \hat{k} $ एक मात्रक सदिश है जो रेखा $\mathrm{L}$ के समानांतर है।

यदि $O P=r$, $OP$ की दिक् कोज्याएँ $l, m, n$ हैं तो $P$ के निर्देशांक $(lr, mr, nr)$ हैं।

यदि रेखा $A B$ की दिक् कोज्याएँ $l, m, n$ हैं, $|A B|=r$ है और $A$ के निर्देशांक $\left(x_1, y_1, z_1\right)$ हैं तो $B$ के निर्देशांक $\left(x_1+r l, y_1+r m, z_1+r n\right)$ दिए जाते हैं।

यदि निर्देशांक $P$ और $Q$ क्रमशः $\left(x_1, y_1, z_1\right)$ और $\left(x_2, y_2, z_2\right)$ हैं, तो रेखा PQ की दिक् अनुपात $a=x_2-x_1, b=y_2-y_1$ और $c=z_2-z_1$ हैं और रेखा $PQ$ की दिक् कोसाइन हैं:

$l=\frac{x_2-x_1}{|P Q|}, m=\frac{y_2-y_1}{|P Q|} n=\frac{z_2-z_1}{|P Q|}$

x, y, z अक्षों की दिक् कोसाइन:

• $x$-अक्ष की दिक् कोसाइन $(1,0,0)$ है।
• $y$-अक्ष की दिक् कोसाइन $(0,1,0)$ है।
• $z$-अक्ष की दिक् कोसाइन $(0,0,1)$ है।

अक्षों के समांतर समतल का समीकरण:

• $x$-अक्ष के समांतर समतल $by+cz+d=0$ है

• $y$-अक्ष के समांतर समतल $ax+cz+d=0$ है

• $z$-अक्ष के समांतर समतल $ax+by+d=0$ है

मूल बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण $ax+by+cz=0$ है

समतल के समीकरण को प्रसामान्य रूप में रूपांतरण: $ax+by+cz-d=0$ का प्रसामान्य रूप

$\frac{a x}{ \pm \sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\frac{b y}{ \pm \sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\frac{c z}{ \pm \sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{d}{ \pm \sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

त्रिभुज का क्षेत्रफल:

$\quad$ माना $A\left(x_1, y_1, z_1\right), B\left(x_2, y_2, z_2\right), C\left(x_3, y_3, z_3\right)$ एक त्रिभुज के शीर्ष हैं, तब $ \Delta=\sqrt{\Delta_x^2+\Delta_y^2+\Delta_z^2} $ $\quad$ जहाँ $ \Delta_x=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} y_1 & z_1 & 1 \ y_2 & z_2 & 1 \ y_3 & z_3 & 1 \end{array}\right| $ $ \Delta_y=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} z_1 & x_1 & 1 \ z_2 & x_2 & 1 \ z_3 & x_3 & 1 \end{array}\right| $ $\quad$ और $ \Delta_z=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right| $

रेखा के सापेक्ष एक रेखा का प्रतिबिंब खोजने के लिए:

$\quad$ माना $L=\frac{x-x_2}{a}=\frac{y-y_2}{b}=\frac{z-z_2}{c}$ दी गई रेखा है। माना $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ बिंदु $\left(x_1, y_1, z_1\right)$ का रेखा $L$ के सापेक्ष प्रतिबिंब है। तब

• $ a\left(x_1-x^{\prime}\right)+b\left(y_1-y^{\prime}\right)+c\left(z_1-z^{\prime}\right)=0$

• $ \frac{\frac{x_1+x^{\prime}}{2}-x_2}{a}=\frac{\frac{y_1+y^{\prime}}{2}-y_2}{b}=\frac{\frac{z_1+z^{\prime}}{2}-z_2}{c}=\lambda$

$\quad $ (ii) से $\lambda$ के पदों में $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ का मान प्राप्त करें जैसे $x^{\prime}=2 a \lambda+2 x_2-x_{1,} y^{\prime}=2 b \lambda+2 y_2-y_1$ $z^{\prime}=2 c \lambda+2 z_2-z_1$।

$\quad$ तब $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ के मानों को (i) में रखकर $\lambda$ प्राप्त करें और $\lambda$ का मान रखकर $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ प्राप्त करें।

रेखा और समतल के बीच का कोण:

$\quad$ यदि $\theta$ एक रेखा $\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}$ $\quad$ और समतल $a x+b y+c z+d=0$ के बीच का कोण है, तो $\sin \theta=\left|\frac{a l+b m+c n}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \sqrt{l^2+m^2+n^2}}\right|$

विषम रेखाएँ:

• सीधी रेखाएँ जो समानांतर नहीं हैं और असमतलीय हैं, विषम रेखाएँ कहलाती हैं।

• यदि $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}\alpha^{\prime}-\alpha & \beta^{\prime}-\beta & \gamma^{\prime}-\gamma \\ l & m & n \\ l^{\prime} & m^{\prime} & n^{\prime}\end{array}\right| \neq 0$, तो रेखाएँ विषम हैं।

• न्यूनतम दूरी $ S D=\frac{\left|\begin{array}{ccc} \alpha^{\prime}-\alpha & \beta^{\prime}-\beta & \gamma^{\prime}-\gamma \\ l & m & n \\ l^{\prime} & m^{\prime} & n^{\prime} \end{array}\right|}{\sqrt{\sum\left(m n^{\prime}-m^{\prime} n\right)^2}} $