बिंदु का स्थिति सदिश और इकाई सदिश:

• बिंदु का स्थिति सदिश
  $\quad \quad$ माना $O$ एक निश्चित मूल बिंदु है, तब बिंदु $P$ का स्थिति सदिश सदिश $\overrightarrow{O P}$ होता है। यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश हैं, तब $\overrightarrow{A B}=\vec{b}-\vec{a}$

• इकाई सदिश
  $\quad$ $\hat{n}=\frac{\text { सदिश }}{\text { उसका परिमाण }}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

योग के गुण:

• $ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ $\quad $(क्रमविनिमेयता)

• $ \vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}$ $\quad $(साहचर्यता)

• $ \vec{a}+\overrightarrow{0}=\vec{a}$ $\quad $(योज्य तत्समक)

• $ \vec{a}+(-\vec{a})=\overrightarrow{0}$ $\quad $(योज्य प्रतिलोम)

• $ c(\vec{a}+\vec{b})=c \vec{a}+c \vec{b}$

• $ (c+d) \vec{a}=c \vec{a}+d \vec{a}$

• $ (c d) \vec{a}=c(d \vec{a})$

• $ 1 \times \vec{a}=\vec{a}$

दूरी सूत्र:

$\quad$ दो बिंदुओं $A(\vec{a})$ और $B(\vec{b})$ के बीच की दूरी $A B=|\vec{a}-\vec{b}|$ है

अनुपात सूत्र:

$\overrightarrow{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{n} \overrightarrow{\mathrm{a}}+\mathrm{m} \overrightarrow{\mathrm{b}}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$

$\quad$ $A B$ का मध्य बिंदु $=\frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}}{2}$।

दो सदिशों का अदिश गुणनफल:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$

$\quad$ जहाँ $|\vec{a}|$ और $|\vec{b}|$ क्रमशः $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के परिमाण हैं, और $\theta$ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।

• $i . i=j . j=k . k=1 ; \quad i . j=j . k=k . i=0$

• $\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप = $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}$

• यदि $\vec{a}=a_{1} i+a_{2} j+a_{3} k$ और $\vec{b}=b_{1} i+b_{2} j+b_{3} k$ तो $\vec{a} \cdot \vec{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$

• $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\phi$ दिया गया है $\cos \phi=\frac{\vec{a} \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}, 0 \leq \phi \leq \pi$ द्वारा

• $\vec{a} \cdot \vec{b}=0 \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b} \quad(\vec{a} \neq 0 \vec{b} \neq 0)$

दो सदिशों का सदिश गुणनफल:

• यदि $\vec{a}$, $\vec{b}$ दो सदिश हैं और $\theta$ उनके बीच का कोण है तो

$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \hat{n}$

$\quad$ जहाँ $\hat{n}$ इकाई सदिश है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है इस प्रकार कि $\vec{a}$, $\vec{b}$, और $\hat{n}$ एक दक्षिणावर्त पेंच प्रणाली बनाते हैं।

• ज्यामितीय रूप से $|\vec{a} \times \vec{b}|=$ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी दो संलग्न भुजाएँ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निरूपित हैं।

• $\hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=\overrightarrow{0} ; \hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}, \hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}$

• यदि $\vec{a}=a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k} \quad $ और $ \vec{b}=b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}$ तो $\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|$

• $ \vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \vec{a}$ और $\vec{b}$ समानांतर (एक ही रेखा पर) हैं $(\vec{a} \neq 0, \vec{b} \neq 0)$ अर्थात् $\vec{a}=K \vec{b}$, जहाँ $K$ एक अदिश है।

• $\vec{a} $ और $\vec{b}$ के तल पर लंबवत् इकाई सदिश $\hat{n}= \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ है।

• यदि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन बिंदुओं $A, B $ और $ C$ के स्थिति सदिश हैं, तो त्रिभुज $A B C$ का सदिश क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}[\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}]$ है।

• बिंदु $A, B $ और $ C$ एक ही रेखा पर हैं यदि $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}=\overrightarrow{0}$ है।

• किसी भी चतुर्भुज का क्षेत्रफल, जिसके विकर्ण सदिश $\overrightarrow{d}_1 $ और $ \overrightarrow{d}_2 $ हैं, $\frac{1}{2}|\overrightarrow{d}_1 \times \overrightarrow{d}_2|$ द्वारा दिया जाता है।

लाग्रांज की सर्वसमिका:

$(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}})^{2}=|\overrightarrow{\mathrm{a}}|^{2}|\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}-(\overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{b}})^{2}$

स्केलर ट्रिपल उत्पाद:

• तीन सदिशों $\vec{a}$, $\vec{b},\vec{c}$ का स्केलर ट्रिपल उत्पाद इस प्रकार परिभाषित है: $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=|\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}| \sin \theta \cos \phi$

• चतुष्फलक का आयतन $V=[\vec{a} \bar{b} \vec{c}]$

• स्केलर ट्रिपल उत्पाद में डॉट और क्रॉस की स्थिति को आपस में बदला जा सकता है, अर्थात्

• $ \vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \quad$ अथवा $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]=[\vec{b} \vec{c} \vec{a}]=[\vec{c} \vec{a} \vec{b}]$

• $ \vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=-\vec{a} \cdot(\vec{c} \times \vec{b})$ अर्थात् $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]=-[\vec{a} \vec{c} \vec{b}]$

• यदि $\vec{a}=a_{1} i+a_{2} j+a_{3} k ; \vec{b}=b_{1} i+b_{2} j+b_{3} k $ और $\vec{c}=c_{1} i+c_{2} j+c_{3} k$ तो $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]=\left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$

• यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय हैं $\Leftrightarrow[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]=0$।

• चतुष्फलक $O A B C$ का आयतन जहाँ $O$ मूलबिंदु है और शीर्ष $A(\vec{a}), B(\vec{b})$ तथा $C(\vec{c})$ हैं $=\left|\frac{1}{6}[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\right|$

• यदि किसी चतुष्फलक के शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{d}$ हों, तो उसका केन्द्रक $\frac{1}{4}[\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}]$ द्वारा दिया जाता है।

वेक्टर ट्रिपल उत्पाद:

• $ \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$

• $ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$

• $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})$

वेक्टरों की पारस्परिक प्रणाली:

$\quad$ यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \hspace{1mm}$ और $\hspace{1mm} \vec{a}^{\prime}, \vec{b}^{\prime}, \vec{c}^{\prime}$ दो गैर-समतलीय वेक्टरों के समूह इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{a}^{\prime}=\vec{b} \cdot \vec{b}^{\prime}=\vec{c} \cdot \vec{c}^{\prime}=1$ तो दोनों प्रणालियों को वेक्टरों की पारस्परिक प्रणाली कहा जाता है, जहाँ

$\vec{a}^{\prime}=\frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{b}^{\prime}=\frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{c}^{\prime}=\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$