• इन दिनों प्राचीन और आधुनिक अध्ययनों के बीच संघर्ष के बीच; निश्चित रूप से किसी ऐसे अध्ययन के पक्ष में कुछ कहा जा सकता है जो पाइथागोरस से शुरू नहीं हुआ और आइंस्टीन के साथ समाप्त नहीं होगा; बल्कि यह सबसे पुराना और सबसे नया है। - जी.एच. हार्डी

1.1 परिचय

समुच्चय की अवधारणा आज के गणित का मूलभूत हिस्सा है। आज यह अवधारणा गणित के लगभग हर शाखा में प्रयोग की जा रही है। समुच्चयों का उपयोग संबंधों और फलनों की अवधारणाओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। ज्यामिति, अनुक्रम, प्रायिकता आदि का अध्ययन समुच्चयों के ज्ञान की आवश्यकता रखता है।

जॉर्ज कैंटर (1845-1918 ई.)

समुच्चय सिद्धांत का विकास जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर (1845-1918) ने किया। उन्होंने समुच्चयों का सामना पहली बार “त्रिकोणमितीय श्रेणियों पर समस्याओं” के कार्य के दौरान किया। इस अध्याय में, हम समुच्चयों से संबंधित कुछ बुनियादी परिभाषाओं और संक्रियाओं पर चर्चा करते हैं।

1.2 समुच्चय और उनके निरूपण

दैनंदिन जीवन में, हम अक्सर किसी विशेष प्रकार की वस्तुओं के संग्रह के बारे में बोलते हैं, जैसे कि ताश की एक गड्डी, लोगों की भीड़, एक क्रिकेट टीम आदि। गणित में भी, हम संग्रहों के बारे में आते हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं, बिंदुओं, अभाज्य संख्याओं आदि का। विशेष रूप से, हम निम्नलिखित संग्रहों की जांच करते हैं:

(i) 10 से कम विषम प्राकृतिक संख्याएं, अर्थात् 1, 3, 5, 7, 9

(ii) भारत की नदियाँ

(iii) अंग्रेजी वर्णमाला के स्वर, अर्थात् $a, e, i, o, u$

(iv) त्रिभुजों के विभिन्न प्रकार

(v) 210 के अभाज्य गुणनखण्ड, अर्थात् 2, 3, 5 और 7

(vi) समीकरण $x^{2}-5 x+6=0$ के हल, अर्थात् 2 और 3।

हम ध्यान देते हैं कि उपर्युक्त प्रत्येक उदाहरण वस्तुओं का एक सुव्यक्त संग्रह है, इस अर्थ में कि हम निश्चित रूप से तय कर सकते हैं कि कोई दी हुई विशिष्ट वस्तु किसी दिए गए संग्रह से संबंधित है या नहीं। उदाहरण के लिए, हम कह सकते हैं कि नील नदी भारत की नदियों के संग्रह से संबंधित नहीं है। दूसरी ओर, गंगा नदी इस संग्रह से संबंधित है।

हम नीचे गणित में विशेष रूप से प्रयुक्त कुछ और समुच्चयों के उदाहरण देते हैं, अर्थात्

$\mathbf{N}$ : सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय

$\mathbf{Z}$ : सभी पूर्णांकों का समुच्चय

$\mathbf{Q}$ : सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय

$\mathbf{R}$ : वास्तविक संख्याओं का समुच्चय

$\mathbf{Z^{+}}$ : धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय

$\mathbf{Q^{+}}$ : धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय, और

$\mathbf{R^{+}}$ : धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।

उपर्युक्त विशिष्ट समुच्चयों के प्रतीक इस पाठ्यपुस्तक में सर्वत्र प्रयुक्त होंगे।

पुनः दुनिया के पाँच सबसे प्रसिद्ध गणितज्ञों का संग्रह सुव्यक्त नहीं है, क्योंकि किसी गणितज्ञ को ‘सबसे प्रसिद्ध’ घोषित करने का मापदंड व्यक्ति-दर-व्यक्ति भिन्न हो सकता है। इस प्रकार, यह एक सुव्यक्त संग्रह नहीं है।

हम कहेंगे कि एक समुच्चय वस्तुओं का सुव्यक्त संग्रह होता है।

निम्नलिखित बिन्दुओं पर ध्यान दिया जा सकता है :

(i) वस्तुएँ, तत्त्व और समुच्चय के सदस्य समानार्थक शब्द हैं।

(ii) सामान्यतः समुच्चयों को बड़े अक्षरों A, B, C, X, Y, Z आदि द्वारा दर्शाया जाता है।

(iii) किसी समुच्चय के अवयवों को छोटे अक्षरों $a, b, c, x, y, z$ आदि द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

यदि $a$ समुच्चय A का एक अवयव है, तो हम कहते हैं कि “$a$ belongs to A” और ग्रीक प्रतीक $\in$ (एप्सिलॉन) का प्रयोग ‘belongs to’ वाक्यांश को दर्शाने के लिए किया जाता है। इस प्रकार हम $a \in A$ लिखते हैं। यदि ‘$b$’ समुच्चय $A$ का अवयव नहीं है, तो हम $b \notin A$ लिखते हैं और “$b$ does not belong to A” पढ़ते हैं।

इस प्रकार, अंग्रेजी वर्णमाला के स्वरों के समुच्चय $V$ में, $a \in V$ परंतु $b \notin V$। 30 के अभाज्य गुणनखंडों के समुच्चय $P$ में, $3 \in P$ परंतु $15 \notin P$।

किसी समुच्चय को दर्शाने की दो विधियाँ हैं:

(i) रोस्टर या सारणीबद्ध रूप

(ii) समुच्चय-निर्माण रूप।

(i) रोस्टर रूप में, किसी समुच्चय के सभी अवयवों की सूची दी जाती है, अवयवों को अल्पविराम से पृथक् किया जाता है और उन्हें ब्रेसिज { } के भीतर रखा जाता है। उदाहरण के लिए, 7 से छोटी सभी सम धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय रोस्टर रूप में $\{2,4,6\}$ के रूप में दिया जाता है। रोस्टर रूप में समुच्चय को दर्शाने के कुछ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं:

(a) सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय जो 42 को विभाजित करती हैं, $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ है।

नोट - रोस्टर रूप में अवयवों को जिस क्रम में सूचीबद्ध किया गया है, वह महत्वहीन है। इस प्रकार उपरोक्त समुच्चय को $\{1,3,7,21,2,6,14,42\}$ के रूप में भी दर्शाया जा सकता है।

(b) अंग्रेजी वर्णमाला के सभी स्वरों का समुच्चय $\{a, e, i, o, u\}$ है।

(c) विषम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय $\{1,3,5, \ldots\}$ द्वारा दर्शाया जाता है। बिंदु हमें बताते हैं कि विषम संख्याओं की सूची अनिश्चित रूप से आगे बढ़ती रहती है।

नोट – यह ध्यान दिया जा सकता है कि रोस्टर रूप में समुच्चय लिखते समय किसी अवयव को आमतौर पर दोहराया नहीं जाता, अर्थात् सभी अवयवों को भिन्न माना जाता है। उदाहरण के लिए, शब्द ‘SCHOOL’ बनाने वाले अक्षरों का समुच्चय $\{S, C, H, O, L\}$ या $\{H, O, L, C, S\}$ है। यहाँ अवयवों को सूचीबद्ध करने का क्रम कोई महत्त्व नहीं रखता।

(ii) सेट-बिल्डर रूप में, किसी समुच्चय के सभी अवयवों में एक ही साझा गुण होता है जो समुच्चय के बाहर के किसी अवयव में नहीं होता। उदाहरण के लिए, समुच्चय $\{a, e, i, o, u\}$ में सभी अवयव एक साझा गुण रखते हैं, अर्थात् इनमें से प्रत्येक अंग्रेज़ी वर्णमाला का एक स्वर है, और कोई अन्य अक्षर यह गुण नहीं रखता। इस समुच्चय को $V$ दर्शाते हुए हम लिखते हैं

$V=\{x: x$ अंग्रेज़ी वर्णमाला का एक स्वर है $\}$

यह देखा जा सकता है कि हम समुच्चय के अवयव का वर्णन प्रतीक $x$ (कोई अन्य प्रतीक जैसे अक्षर $y, z$ आदि भी प्रयुक्त किए जा सकते हैं) का प्रयोग करते हैं जिसके बाद एक कोलन " : " आता है। कोलन के चिह्न के बाद हम वह विशेषता-गुण लिखते हैं जो समुच्चय के अवयवों में होती है और फिर संपूर्ण वर्णन को घुंघराले ब्रेसिज़ में बंद कर देते हैं। उपरोक्त समुच्चय $V$ का वर्णन इस प्रकार पढ़ा जाता है “सभी $x$ का समुच्चय जहाँ $x$ अंग्रेज़ी वर्णमाला का एक स्वर है”। इस वर्णन में घुंघराले ब्रेसिज़ ‘सभी का समुच्चय’ के लिए तथा कोलन ‘जहाँ’ के लिए खड़े होते हैं। उदाहरण के लिए, समुच्चय

$A=\{x: x$ एक प्राकृतिक संख्या है और $3<x<10\}$ को “सभी $x$ का समुच्चय जहाँ $x$ एक प्राकृतिक संख्या है और $x$, 3 और 10 के बीच स्थित है” के रूप में पढ़ा जाता है। इसलिए, संख्याएँ 4, 5, 6, 7, 8 और 9 समुच्चय $A$ के अवयव हैं।

यदि हम ऊपर $(a),(b)$ और $(c)$ में वर्णित समुच्चयों को क्रमशः $A, B$, $C$ द्वारा रोस्टर रूप में दर्शाएँ, तो $A, B, C$ को निम्नलिखित रूप में सेट-बिल्डर रूप में भी निरूपित किया जा सकता है:

$A=\{x: x$ एक प्राकृतिक संख्या है जो 42 को विभाजित करती है $\}$

$B=\{y: y$ अंग्रेज़ी वर्णमाला का एक स्वर है $\}$

$C=\{z: z$ एक विषम प्राकृतिक संख्या है $\}$

उदाहरण 1 समीकरण $x^{2}+x-2=0$ के हल समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखिए।

हल दिया गया समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ (x-1)(x+2)=0 \text {, अर्थात्, } x=1,-2 $$

इसलिए, दिए गए समीकरण के हल समुच्चय को रोस्टर रूप में $\{1,-2\}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण 2 समुच्चय $\{x: x$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $x^{2}<40\}$ को रोस्टर रूप में लिखिए।

हल अभीष्ट संख्याएँ $1,2,3,4,5,6$ हैं। इसलिए, दिए गए समुच्चय को रोस्टर रूप में $\{1,2,3,4,5,6\}$ लिखा जाता है।

उदाहरण 3 समुच्चय $A=\{1,4,9,16,25, \ldots\}$ को सेट-बिल्डर रूप में लिखिए।

हल हम समुच्चय A को इस प्रकार लिख सकते हैं

$$ A=\{x: x \text { एक प्राकृतिक संख्या का वर्ग है }\} $$

वैकल्पिक रूप से, हम लिख सकते हैं

$$ A=\{x: x=n^{2}, \text { जहाँ } n \in \mathbf{N}\} $$

उदाहरण 4 समुच्चय $\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}\}$ को सेट-बिल्डर रूप में लिखिए।

हल हम देखते हैं कि दिए गए समुच्चय का प्रत्येक सदस्य हर से एक कम अंश वाला है। साथ ही, अंश 1 से प्रारंभ होता है और 6 से अधिक नहीं होता। इसलिए, समुच्चय-निर्माण रूप में दिया गया समुच्चय है

$$ \{ x: x=\frac{n}{n+1}, \text { जहाँ } n \text { एक प्राकृत संख्या है और } 1 \leq n \leq 6 \} $$

उदाहरण 5 बाईं ओर रोस्टर रूप में वर्णित प्रत्येक समुच्चय को दाईं ओर समुच्चय-निर्माण रूप में वर्णित समान समुच्चय से मिलान कीजिए :

$$ \begin{array}{ll} (i) \hspace{2 mm} \{P, R, I, N, C, A, L\} & (a) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ एक धनात्मक पूर्णांक है और 18 का गुणनखंड है } \} \\ (ii) \hspace{2 mm}\{0\} & (b)\hspace{2 mm} \{x: x \text{ एक पूर्णांक है और } x^{2}-9=0\} \\ (iii)\hspace{2 mm} \{1,2,3,6,9,18\} & (c)\hspace{2 mm} \{x: x \text { शब्द PRINCIPAL का एक अक्षर है }\} \\ (iv)\hspace{2 mm} \{{3,-3\}} & (d) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ एक पूर्णांक है और } x+1=1\} \end{array} $$

हल चूँकि (d) में, शब्द PRINCIPAL में 9 अक्षर हैं और दो अक्षर P और I दोहराए गए हैं, इसलिए (i) का मिलान (d) से होता है। इसी प्रकार, (ii) का मिलान (c) से होता है क्योंकि $x+1=1$ से $x=0$ प्राप्त होता है। साथ ही, 1, 2, 3, 6, 9, 18 सभी 18 के गुणनखंड हैं और इसलिए (iii) का मिलान (a) से होता है। अंत में, $x^{2}-9=0$ से $x=3,-3$ प्राप्त होता है और इसलिए (iv) का मिलान (b) से होता है।

1.3 रिक्त समुच्चय

समुच्चय पर विचार कीजिए

$A=\{x: x$ वर्तमान में किसी विद्यालय में कक्षा XI का छात्र है $\}$

हम स्कूल जा सकते हैं और वर्तमान में स्कूल में कक्षा ग्यारहवीं में पढ़ रहे विद्यार्थियों की संख्या गिन सकते हैं। इस प्रकार समुच्चय A में परिमित संख्या में अवयव होते हैं।

हम एक अन्य समुच्चय B इस प्रकार लिखते हैं:

$B = \{x: x$ वह विद्यार्थी है जो वर्तमान में कक्षा दसवीं तथा ग्यारहवीं दोनों में पढ़ रहा है $\}$

हम देखते हैं कि कोई विद्यार्थी एक साथ कक्षा दसवीं तथा ग्यारहवीं दोनों में नहीं पढ़ सकता। इस प्रकार समुच्चय B में कोई भी अवयव नहीं है।

परिभाषा 1 समुच्चय जिसमें कोई अवयव नहीं होता, रिक्त समुच्चय या शून्य समुच्चय या निरर्थक समुच्चय कहलाता है।

इस परिभाषा के अनुसार B एक रिक्त समुच्चय है जबकि A रिक्त समुच्चय नहीं है। रिक्त समुच्चय को प्रतीक $\phi$ या { } द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

हम नीचे रिक्त समुच्चयों के कुछ उदाहरण दे रहे हैं।

(i) मान लीजिए $A=\{x: 1<x<2, x$ एक प्राकृत संख्या है $\}$। तब A रिक्त समुच्चय है, क्योंकि 1 और 2 के बीच कोई प्राकृत संख्या नहीं है।

(ii) $B=\{x: x^{2}-2=0$ तथा $x$ परिमेय संख्या है $\}$। तब $B$ रिक्त समुच्चय है क्योंकि समीकरण $x^{2}-2=0$ किसी भी परिमेय मान $x$ द्वारा संतुष्ट नहीं होता है।

(iii) $C =$ $\{x: x$ 2 से बड़ी सम अभाज्य संख्या है $\}$। तब $C$ रिक्त समुच्चय है, क्योंकि 2 ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

(iv) $D=\{x: x^{2}=4, x$ विषम है $\}$। तब $D$ रिक्त समुच्चय है, क्योंकि समीकरण $x^{2}=4$ किसी भी विषम मान $x$ द्वारा संतुष्ट नहीं होता है।

1.4 परिमित तथा अपरिमित समुच्चय

मान लीजिए $\quad A=\{1,2,3,4,5\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, g\}$ तथा $\quad C=\{$ विश्व के विभिन्न भागों में वर्तमान में जीवित पुरुष $\}$

हम देखते हैं कि A में 5 अवयव हैं और B में 6 अवयव हैं। C में कितने अवयव हैं? जैसा है, हमें C में अवयवों की संख्या का पता नहीं है, लेकिन यह कोई प्राकृत संख्या है जो काफी बड़ी हो सकती है। किसी समुच्चय S के अवयवों की संख्या से हमारा तात्पर्य उस समुच्चय के भिन्न-भिन्न अवयवों की संख्या से है और हम इसे n(S) से दर्शाते हैं। यदि n(S) एक प्राकृत संख्या है, तो S एक अरिक्त परिमित समुच्चय है।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर विचार कीजिए। हम देखते हैं कि इस समुच्चय के अवयवों की संख्या परिमित नहीं है क्योंकि प्राकृत संख्याएँ अनंत हैं। हम कहते हैं कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय एक अनंत समुच्चय है। उपर्युक्त दिए गए समुच्चय A, B और C परिमित समुच्चय हैं और n(A)=5, n(B)=6 और n(C)=कोई परिमित संख्या है।

परिभाषा 2 एक समुच्चय जो रिक्त है या निश्चित संख्या में अवयवों से युक्त है, परिमित कहलाता है; अन्यथा समुच्चय अनंत कहलाता है।

कुछ उदाहरणों पर विचार कीजिए:

(i) मान लीजिए W सप्ताह के दिनों का समुच्चय है। तब W परिमित है।

(ii) मान लीजिए S समीकरण x²−16=0 के हलों का समुच्चय है। तब S परिमित है।

(iii) मान लीजिए G एक रेखा पर स्थित बिंदुओं का समुच्चय है। तब G अनंत है।

जब हम किसी समुच्चय को रोस्टर रूप में निरूपित करते हैं, तो हम समुच्चय के सभी अवयवों को कुंडलियों { } के भीतर लिखते हैं। किसी अनंत समुच्चय के सभी अवयवों को कुंडलियों { } के भीतर लिखना संभव नहीं है, क्योंकि ऐसे समुच्चय के अवयवों की संख्या सीमित नहीं होती। इसलिए हम कुछ अनंत समुच्चयों को रोस्टर रूप में उन कुछ अवयवों को लिखकर निरूपित करते हैं जो समुच्चय की संरचना को स्पष्ट रूप से दर्शाते हैं और उसके बाद (या पहले) तीन बिंदु लगाते हैं।

उदाहरण के लिए, $\{1,2,3 \ldots\}$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, $\{1,3,5,7, \ldots\}$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, $\{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}$ पूर्णांकों का समुच्चय है। ये सभी समुच्चय अनंत हैं।

नोट - सभी अनंत समुच्चयों को रोस्टर रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को इस रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता, क्योंकि इस समुच्चय के अवयव किसी विशेष पैटर्न का अनुसरण नहीं करते।

उदाहरण 6 निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन-से सीमित या अनंत हैं :

(i) $\{x: x \in N$ और $(x-1)(x-2)=0\}$

(ii) $\{x: x \in N.$ और $.x^{2}=4\}$

(iii) $\{x: x \in N$ और $2 x-1=0\}$

(iv) $\quad\{x: x \in N$ और $x$ अभाज्य है $\}$

(v) $\{x: x \in N$ और $x$ विषम है $\}$

हल (i) दिया गया समुच्चय $=\{1,2\}$। अतः, यह सीमित है।

(ii) दिया गया समुच्चय $=\{2\}$। अतः, यह सीमित है।

(iii) दिया गया समुच्चय $=\phi$। अतः, यह सीमित है।

(iv) दिया गया समुच्चय सभी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है और चूँकि अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अनंत है। अतः दिया गया समुच्चय अनंत है

(च) चूँकि विषम संख्याओं की अनंत संख्या है, इसलिए दिया गया समुच्चय अनंत है।

1.5 समान समुच्चय

दो समुच्चय A और B दिए गए हैं, यदि A का प्रत्येक अवयव B का भी अवयव है और यदि B का प्रत्येक अवयव A का भी अवयव है, तो समुच्चय A और B को समान कहा जाता है। स्पष्ट है कि दोनों समुच्चयों में ठीक-ठीक वही अवयव हैं।

परिभाषा 3 दो समुच्चय A और B को समान कहा जाता है यदि उनमें ठीक-ठीक वही अवयव हों और हम $A=B$ लिखते हैं। अन्यथा, समुच्चय असमान कहे जाते हैं और हम $A \neq B$ लिखते हैं।

हम निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करते हैं :

(i) मान लीजिए $A=\{1,2,3,4\}$ और $B=\{3,1,4,2\}$। तब $A=B$।

(ii) मान लीजिए A, 6 से छोटी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है और P, 30 के अभाज्य गुणनखंडों का समुच्चय है। तब A और P समान हैं, चूँकि 2, 3 और 5 ही 30 के अभाज्य गुणनखंड हैं और ये सभी 6 से छोटे भी हैं।

नोट - यदि किसी समुच्चय के एक या अधिक अवयव दोहराए जाएँ तो समुच्चय नहीं बदलता। उदाहरण के लिए, समुच्चय $A=\{1,2,3\}$ और $B=\{2,2,1,3,3\}$ समान हैं, चूँकि A का प्रत्येक अवयव B में है और इसके विपरीत भी। यही कारण है कि हम प्रायः किसी समुच्चय का वर्णन करते समय किसी अवयव को दोहराते नहीं हैं।

उदाहरण 7 समान समुच्चयों के युगल ज्ञात कीजिए, यदि कोई हों, तो कारण दीजिए:

$$ \begin{aligned} & A=\{0\}, \quad B=\{x: x>15 \text { और } x<5\}, \\ & C=\{x: x-5=0\}, \quad D=\{x: x^{2}=25\}, \\ & E=\{x: x \text{ समीकरण } x^{2}-2 x-15=0 \text{ का एक पूर्णांक धनात्मक मूल है}\} \end{aligned} $$

हल चूँकि $0 \in A$ है और $0$ किसी भी समुच्चय $B, C, D$ और $E$ का अवयव नहीं है, इसलिए यह सिद्ध होता है कि $A \neq B, A \neq C, A \neq D, A \neq E$।

चूँकि $B=\phi$ है परंतु अन्य कोई भी समुच्चय रिक्त नहीं है। अतः $B \neq C, B \neq D$ और $B \neq E$। साथ ही $C=\{5\}$ है परंतु $-5 \in D$ है, इसलिए $C \neq D$।

चूँकि $E=\{5\}, C=E$। आगे, $D=\{-5,5\}$ और $E=\{5\}$, हम पाते हैं कि $D \neq E$। इस प्रकार, केवल समान समुच्चयों का युग्म $C$ और $E$ है।

उदाहरण 8 निम्नलिखित में से कौन-से समुच्चयों के युग्म समान हैं? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।

(i) X, “ALLOY” में अक्षरों का समुच्चय और B, “LOYAL” में अक्षरों का समुच्चय।

(ii) $A=\{n: n \in Z.$ और $.n^{2} \leq 4\}$ और $B=\{x: x \in R.$ और $.x^{2}-3 x+2=0\}$।

हल (i) हमारे पास, $X=\{A, L, L, O, Y\}, B=\{L, O, Y, A, L\}$। तब $X$ और $B$ समान समुच्चय हैं क्योंकि किसी समुच्चय में अवयवों की पुनरावृत्ति समुच्चय को नहीं बदलती। इस प्रकार,

$$ X=\{A, L, O, Y\}=B $$

(ii) $A=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\{1,2\}$। चूँकि $0 \in A$ है और $0 \notin B$, $A$ और $B$ समान समुच्चय नहीं हैं।

1.6 उपसमुच्चय

समुच्चयों पर विचार कीजिए : $X=$ आपके विद्यालय के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय, $Y=$ आपकी कक्षा के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय।

हम देखते हैं कि $Y$ का प्रत्येक अवयव $X$ का भी अवयव है; हम कहते हैं कि $Y$, $X$ का उपसमुच्चय है। यह तथ्य कि $Y$ समुच्चय $X$ का उपसमुच्चय है, प्रतीक रूप में $Y \subset X$ द्वारा व्यक्त किया जाता है। प्रतीक $\subset$ का अर्थ है ‘उपसमुच्चय है’ या ‘समाहित है’।

परिभाषा 4 एक समुच्चय (A) को समुच्चय (B) का उपसमुच्चय कहा जाता है यदि (A) का प्रत्येक अवयव (B) का भी अवयव हो।

दूसरे शब्दों में, (A \subset B) यदि जब भी (a \in A), तब (a \in B\। अक्सर प्रतीक " (\Rightarrow) " का प्रयोग सुविधाजनक होता है जिसका अर्थ है ‘निहित करता है’। इस प्रतीक का प्रयोग करते हुए हम उपसमुच्चय की परिभाषा इस प्रकार लिख सकते हैं:

[ A \subset B \text { यदि } a \in A \Rightarrow a \in B ]

हम उपर्युक्त कथन को इस प्रकार पढ़ते हैं " (A) समुच्चय (B) का उपसमुच्चय है यदि (a) समुच्चय (A) का अवयव होना यह निहित करता है कि (a) समुच्चय (B) का भी अवयव है"। यदि (A) समुच्चय (B) का उपसमुच्चय नहीं है, तो हम (A \not \subset B) लिखते हैं।

हम यह ध्यान दें कि (A) के (B) का उपसमुच्चय होने के लिए केवल इतना आवश्यक है कि (A) का प्रत्येक अवयव (B) में हो। यह संभव है कि (B) का प्रत्येक अवयव (A) में हो या न हो। यदि ऐसा होता है कि (B) का प्रत्येक अवयव (A) में भी है, तब हमारे पास (B \subset A) भी होगा। इस स्थिति में, (A) और (B) समान समुच्चय हैं ताकि हमारे पास (A \subset B) और (B \subset A \Leftrightarrow A=B) हो, जहाँ " (\Leftrightarrow) " द्विपक्षीय निहितार्थ का प्रतीक है, और इसे सामान्यतः ‘तब और केवल तब’ (संक्षेप में “iff”) के रूप में पढ़ा जाता है।

उपर्युक्त परिभाषा से यह अनुसरण होता है कि प्रत्येक समुच्चय (A) स्वयं का उपसमुच्चय है, अर्थात् (A \subset A)। चूँकि रिक्त समुच्चय (\phi) में कोई अवयव नहीं होता है, हम यह मान लेते हैं कि (\phi) प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय है। हम अब कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं:

(i) परिमेय संख्याओं के समुच्चय (\mathbf{Q}) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय (\mathbf{R}) का उपसमुच्चय है, और हम (\mathbf{Q} \subset R) लिखते हैं।

(ii) यदि $A$ सभी भाजकों का समुच्चय है जो 56 के हैं और $B$ सभी अभाज्य भाजकों का समुच्चय है जो 56 के हैं, तो $B$, $A$ का उपसमुच्चय है और हम इसे $B \subset A$ लिखते हैं।

(iii) मान लीजिए $A=\{1,3,5\}$ और $B=\{x: x$ 6 से छोटी एक विषम प्राकृत संख्या है $\}$। तब $A \subset B$ और $B \subset A$ और इसलिए $A=B$।

(iv) मान लीजिए $A=\{a, e, i, o, u\}$ और $B=\{a, b, c, d\}$। तब $A$, $B$ का उपसमुच्चय नहीं है, साथ ही $B$ भी $A$ का उपसमुच्चय नहीं है।

मान लीजिए $A$ और $B$ दो समुच्चय हैं। यदि $A \subset B$ और $A \neq B$, तब $A$ को $B$ का उचित उपसमुच्चय कहा जाता है और $B$ को $A$ का अधिसमुच्चय कहा जाता है। उदाहरण के लिए,

$A=\{1,2,3\}$ समुच्चय $B=\{1,2,3,4\}$ का एक उचित उपसमुच्चय है।

यदि किसी समुच्चय $A$ में केवल एक अवयव हो, तो हम उसे एकल समुच्चय कहते हैं। इस प्रकार, $\{a\}$ एक एकल समुच्चय है।

उदाहरण 9 समुच्चयों पर विचार कीजिए

$$ \phi, A=\{1,3\}, B=\{1,5,9\}, C=\{1,3,5,7,9\}. $$

निम्नलिखित प्रत्येक समुच्चय युग्म के बीच $\subset$ या $\not \subset$ प्रतीक डालिए:

(i) $\phi \ldots B$ $\quad$ (ii) $A \ldots B$ $\quad$ (iii) $A \ldots C$ $\quad$ (iv) $B \ldots C$

हल (i) $\phi \subset B$ क्योंकि $\phi$ प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।

(ii) $A \not \subset B$ क्योंकि $3 \in A$ और $3 \notin B$

(iii) $A \subset C$ क्योंकि $1,3 \in A$ भी $C$ में हैं

(iv) $B \subset C$ क्योंकि $B$ का प्रत्येक अवयव $C$ का भी अवयव है।

उदाहरण 10 मान लीजिए $A=\{a, e, i, o, u\}$ और $B=\{a, b, c, d\}$। क्या A, B का उपसमुच्चय है? नहीं। (क्यों?)। क्या B, A का उपसमुच्चय है? नहीं। (क्यों?)

उदाहरण 11 मान लीजिए (A, B) और (C) तीन समुच्चय हैं। यदि (A \in B) और (B \subset C), तो क्या यह सत्य है कि (A \subset C)? यदि नहीं, तो एक उदाहरण दीजिए।

हल नहीं। मान लीजिए (A=\{1\}, B=\{\{1\}, 2\}) और (C=\{\{1\}, 2,3\})। यहाँ (A \in B) है क्योंकि (A=\{1\}) और (B \subset C) है। परंतु (A \not \subset C) है क्योंकि (1 \in A) और (1 \notin C) है।

ध्यान दीजिए कि किसी समुच्चय का एक अवयव स्वयं उसका उपसमुच्चय नहीं हो सकता।

1.6.1 वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चय

जैसा कि खंड 1.6 में उल्लेखित है, (\mathbf{R}) के कई महत्वपूर्ण उपसमुच्चय हैं। नीचे हम इनमें से कुछ उपसमुच्चयों के नाम दे रहे हैं।

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय (\mathbf{N}=\{1,2,3,4,5, \ldots\})

पूर्णांकों का समुच्चय (\quad \mathbf{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\})

परिमेय संख्याओं का समुच्चय (\mathbf{Q}=\{x: x=\frac{p}{q}, p, q \in \mathbf{Z}) और (q \neq 0\}) जिसे पढ़ा जाता है " (\mathbf{Q}) वे सभी संख्याएँ (x) हैं जिनके लिए (x) भिन्न (\frac{p}{q}) के बराबर है, जहाँ (p) और (q) पूर्णांक हैं और (q) शून्य नहीं है"। (\mathbf{Q}) के सदस्यों में -5 (जिसे (-\frac{5}{1}) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है), (\frac{5}{7}, 3 \frac{1}{2}) (जिसे (\frac{7}{2}) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है) और (-\frac{11}{3}) शामिल हैं।

अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय, जिसे (\mathbf{T}) द्वारा निरूपित किया जाता है, अन्य सभी वास्तविक संख्याओं से बना है। इस प्रकार (\quad \mathbf{T}=\{x: x \in \mathbf{R}) और (x \notin \mathbf{Q}\}), अर्थात् वे सभी वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय नहीं हैं। (\mathbf{T}) के सदस्यों में (\sqrt{2}, \sqrt{5}) और (\pi) शामिल हैं।

इन उपसमुच्चयों के बीच कुछ स्पष्ट संबंध निम्नलिखित हैं:

$$ \mathbf{N} \subset \mathbf{Z} \subset \mathbf{Q}, \mathbf{Q} \subset \mathbf{R}, \mathbf{T} \subset \mathbf{R}, \mathbf{N} \not \subset \mathbf{T} . $$

1.6.2 $\mathbb{R}$ के उपसमुच्चय के रूप में अंतराल

मान लीजिए $a, b \in \mathbf{R}$ और $a<b$। तब वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $\{y: a<y<b\}$ एक खुला अंतराल कहलाता है और इसे $(a, b)$ द्वारा निरूपित किया जाता है। $a$ और $b$ के बीच के सभी बिंदु खुले अंतराल $(a, b)$ के अंतर्गत आते हैं लेकिन $a, b$ स्वयं इस अंतराल के अंतर्गत नहीं आते।

अंतराल जिसमें अंतिम बिंदु भी शामिल होते हैं, उसे बंद अंतराल कहा जाता है और इसे $[a, b]$ द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार

$[a, b]=\{x: a \leq x \leq b\}$

हमारे पास एक सिरे से बंद और दूसरे सिरे से खुले अंतराल भी हो सकते हैं, अर्थात्,

$[a, b)=\{x: a \leq x<b\}$ एक खुला अंतराल है $a$ से $b$ तक, जिसमें $a$ शामिल है लेकिन $b$ को छोड़ा गया है।

$(a, b]=\{x: a<x \leq b\}$ एक खुला अंतराल है $a$ से $b$ तक जिसमें $b$ शामिल है लेकिन $a$ को छोड़ा गया है।

ये संकेत वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चयों को निर्दिष्ट करने का एक वैकल्पिक तरीका प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि $A=(-3,5)$ और $B=[-7,9]$ है, तो $A \subset B$। समुच्चय $[0, \infty)$ अ-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को परिभाषित करता है, जबकि समुच्चय $(-\infty, 0)$ ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को परिभाषित करता है। समुच्चय $(-\infty, \infty)$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को $-\infty$ से $\infty$ तक फैली एक रेखा के संबंध में वर्णित करता है।

वास्तविक संख्या रेखा पर, उपरोक्त वर्णित विभिन्न प्रकार के अंतराल जो $\mathbf{R}$ के उपसमुच्चय हैं, चित्र 1.1 में दिखाए गए हैं।

यहाँ हम ध्यान देते हैं कि एक अंतराल में अनंत बिंदु होते हैं।

उदाहरण के लिए, समुच्चय ${x: x \in \mathbf{R},-5<x \leq 7}$, जो समुच्चय-निर्माण रूप में लिखा गया है, को अंतराल रूप में $(-5,7]$ लिखा जा सकता है और अंतराल $[-3,5)$ को समुच्चय-निर्माण रूप में ${x:-3 \leq x<5}$ लिखा जा सकता है।

संख्या $(b-a)$ को किसी भी अंतराल $(a, b),[a, b]$, $[a, b)$ या $(a, b]$ की लंबाई कहा जाता है।

1.7 सार्वत्रिक समुच्चय

आमतौर पर, किसी विशेष संदर्भ में, हमें एक आधारभूत समुच्चय के तत्वों और उपसमुच्चयों से संबंधित होना पड़ता है जो उस विशेष संदर्भ से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए, जब हम संख्या प्रणाली का अध्ययन करते हैं, तो हम प्राकृत संख्याओं के समुच्चय और उसके उपसमुच्चयों जैसे सभी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय, सभी सम संख्याओं का समुच्चय आदि में रुचि रखते हैं। इस आधारभूत समुच्चय को “सार्वत्रिक समुच्चय” कहा जाता है। सार्वत्रिक समुच्चय को आमतौर पर U द्वारा निरूपित किया जाता है, और इसके सभी उपसमुच्चयों को A, B, C आदि अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है।

उदाहरण के लिए, सभी पूर्णांकों के समुच्चय के लिए, सार्वत्रिक समुच्चय परिमेय संख्याओं का समुच्चय हो सकता है या फिर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $\mathbf{R}$ हो सकता है। एक अन्य उदाहरण के लिए, मानव जनसंख्या अध्ययन में, सार्वत्रिक समुच्चय में दुनिया के सभी लोग शामिल होते हैं।

1.8 वेन आरेख

समुच्चयों के बीच के अधिकांतर संबंधों को आरेखों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिन्हें वेन आरेख कहा जाता है। वेन आरेख अंग्रेजी तर्कशास्त्री जॉन वेन (1834-1883) के नाम पर रखे गए हैं। ये आरेख आयतों और बंद वक्रों—आमतौर पर वृत्तों—पर आधारित होते हैं। सर्वव्यापक समुच्चय को सामान्यतः एक आयत द्वारा तथा उसके उपसमुच्चयों को वृत्तों द्वारा दर्शाया जाता है।

वेन आरेखों में, समुच्चयों के अवयव अपने-अपने वृत्तों के भीतर लिखे जाते हैं (चित्र 1.2 और 1.3)।

उदाहरण 1 चित्र 1.2 में, $U=\{1,2,3, \ldots, 10\}$ सर्वव्यापक समुच्चय है जिसका उपसमुच्चय $A=\{2,4,6,8,10\}$ है।

चित्र 1.2

उदाहरण 2 चित्र 1.3 में, $U=\{1,2,3, \ldots, 10\}$ सर्वव्यापक समुच्चय है जिसके उपसमुच्चय $A=\{2,4,6,8,10\}$ और $B=\{4,6\}$ हैं, तथा साथ ही $B \subset A$ है।

चित्र 1.3

पाठक वेन आरेखों का विस्तृत उपयोग तब देखेंगे जब हम समुच्चयों का संघ, सर्वनिष्ठ और अंतर चर्चा करेंगे।

1.9 समुच्चयों पर संक्रियाएँ

पिछली कक्षाओं में हमने संख्याओं पर जोड़, घटाव, गुणा और भाग की संक्रियाएँ करना सीखा है। इनमें से प्रत्येक संक्रिया एक युग्म (pair) संख्याओं पर की जाती है और हमें एक अन्य संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, जब हम 5 और 13 नामक युग्म पर जोड़ की संक्रिया करते हैं, तो हमें संख्या 18 प्राप्त होती है। इसी प्रकार, 5 और 13 पर गुणा की संक्रिया करने पर हमें 65 प्राप्त होता है।

इसी तरह, कुछ संक्रियाएँ ऐसी भी हैं जो दो समुच्चयों पर की जाने पर एक अन्य समुच्चय उत्पन्न करती हैं। अब हम समुच्चयों पर कुछ निश्चित संक्रियाओं को परिभाषित करेंगे और उनके गुणों का परीक्षण करेंगे। अब से हम अपने सभी समुच्चयों को किसी सार्वत्रिक समुच्चय के उपसमुच्चय के रूप में देखेंगे।

1.9.1 समुच्चयों का संघ (Union of sets)

मान लीजिए A और B कोई दो समुच्चय हैं। A और B का संघ वह समुच्चय है जिसमें A के सभी अवयव और B के सभी अवयव सम्मिलित होते हैं, सामान्य अवयवों को केवल एक बार लिया जाता है। संघ को दर्शाने के लिए प्रतीक ’ $\cup$ ’ प्रयुक्त होता है। प्रतीकात्मक रूप से हम इसे $A \cup B$ लिखते हैं और सामान्यतः इसे ‘A यूनियन B’ पढ़ते हैं।

उदाहरण 12 मान लीजिए $A=\{2,4,6,8\}$ और $B=\{6,8,10,12\}$। $A \cup B$ ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास $A \cup B=\{2,4,6,8,10,12\}$ है।

ध्यान दीजिए कि $A \cup B$ लिखते समय सामान्य अवयव 6 और 8 को केवल एक बार लिया गया है।

उदाहरण 13 मान लीजिए $A=\{a, e, i, o, u\}$ और $B=\{a, i, u\}$। दिखाइए कि $A \cup B=A$

हल हमारे पास, $A \cup B=\{a, e, i, o, u\}=A$ है।

यह उदाहरण दर्शाता है कि समुच्चय A और उसके उपसमुच्चय B का संघ स्वयं समुच्चय A होता है, अर्थात् यदि $B \subset A$, तो $A \cup B=A$।

उदाहरण 14 मान लीजिए $X=\{$ राम, गीता, अकबर $\}$ कक्षा XI के उन विद्यार्थियों का समुच्चय है, जो स्कूल की हॉकी टीम में हैं। मान लीजिए $Y=\{$ गीता, डेविड, अशोक $\}$ कक्षा XI के उन विद्यार्थियों का समुच्चय है, जो स्कूल की फुटबॉल टीम में हैं। $X \cup Y$ ज्ञात कीजिए और समुच्चय की व्याख्या कीजिए।

हल हमारे पास, $X \cup Y=\{$ राम, गीता, अकबर, डेविड, अशोक $\}$। यह कक्षा XI के उन विद्यार्थियों का समुच्चय है जो हॉकी टीम या फुटबॉल टीम या दोनों में हैं।

इस प्रकार, हम दो समुच्चयों का सम्मिलन निम्नलिखित रूप से परिभाषित कर सकते हैं:

परिभाषा 5 दो समुच्चयों $A$ और $B$ का सम्मिलन वह समुच्चय $C$ है जिसमें वे सभी अवयव होते हैं जो या तो A में हैं या B में हैं (उन लोगों सहित जो दोनों में हैं)। प्रतीकों में, हम लिखते हैं। $A \cup B=\{x: x \in A$ या $x \in B\}$

दो समुच्चयों का सम्मिलन वेन आरेख द्वारा चित्रित किया जा सकता है जैसा कि चित्र 1.4 में दिखाया गया है।

चित्र 1.4 में छायांकित भाग $A \cup B$ को दर्शाता है।

चित्र 1.4

सम्मिलन संक्रिया के कुछ गुणधर्म

(i) $A \cup B=B \cup A$ (क्रमविनिमेय नियम)

(ii) $(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C)$ (साहचर्य नियम)

(iii) $A \cup \phi=A \quad$ (तत्समक अवयव का नियम, $\cup$ का तत्समक $\phi$ है)

(iv) $A \cup A=A \quad$ (इडेम्पोटेंट नियम)

(v) $U \cup A=U \quad$ (संपूर्ण समुच्चय का नियम)

1.9.2 समुच्चयों का सर्वनिष्ठ

समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ समुच्चय वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव होते हैं जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ हैं। चिह्न ’ $\cap$ ’ सर्वनिष्ठ को दर्शाने के लिए प्रयोग किया जाता है। दो समुच्चयों A और B का सर्वनिष्ठ वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव होते हैं जो A और B दोनों में आते हैं। प्रतीकात्मक रूप से हम लिखते हैं $A \cap B=\{x: x \in A$ और $x \in B\}$।

उदाहरण 15 उदाहरण 12 के समुच्चयों A और B पर विचार कीजिए। A $\cap$ B ज्ञात कीजिए।

हल हम देखते हैं कि 6,8 केवल वे अवयव हैं जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ हैं। अतः $A \cap B=\{6,8\}$।

उदाहरण 16 उदाहरण 14 के समुच्चयों $X$ और $Y$ पर विचार कीजिए। $X \cap Y$ ज्ञात कीजिए।

हल हम देखते हैं कि ‘गीता’ केवल वह अवयव है जो दोनों में उभयनिष्ठ है। अतः,

$X \cap Y=\{$ गीता $\}$।

उदाहरण 17 मान लीजिए $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ और $B=\{2,3,5,7\}$। $A \cap B$ ज्ञात कीजिए और इसलिए दिखाइए कि $A \cap B=B$।

हल हमारे पास $A \cap B=\{2,3,5,7\}=B$ है। हम देखते हैं कि $B \subset A$ है और $A \cap B=B$ है।

परिभाषा 6 दो समुच्चयों A और B का सर्वनिष्ठ वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव होते हैं जो A और B दोनों में आते हैं। प्रतीकात्मक रूप से हम लिखते हैं

$A \cap B=\{x: x \in A$ और $x \in B\}$

चित्र 1.5 में छायांकित भाग $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ दर्शाता है।

यदि $A$ और $B$ दो ऐसे समुच्चय हैं कि $A \cap B=\phi$, तो $A$ और $B$ को विच्छिन्न समुच्चय कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए $A=\{2,4,6,8\}$ और

$B=\{1,3,5,7\}$. तब $A$ और $B$ असंयुक्त समुच्चय हैं, क्योंकि ऐसे कोई तत्व नहीं हैं जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ हों। असंयुक्त समुच्चयों को वेन आरेख द्वारा चित्र 1.6 में दिखाए अनुसार निरूपित किया जा सकता है। उपरोक्त आरेख में, $A$ और $B$ असंयुक्त समुच्चय हैं।

सर्वनिष्ठ संक्रिया के कुछ गुणधर्म

(i) $A \cap B=B \cap A \quad$ (क्रमविनिमेय नियम)।

(ii) $(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C) \quad$ (साहचर्य नियम)।

(iii) $\phi \cap A=\phi, \cup \cap A=A \quad$ ($\phi$ और $\cup$ का नियम)।

(iv) $A \cap A=A \quad$ (इडेम्पोटेंट नियम) (v) $A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$ (वितरण नियम) अर्थात्, $\cap$ का संचालन $\cup$ पर वितरित होता है।

इसे निम्नलिखित वेन आरेखों [चित्र 1.7 (i) से (v)] से सरलता से देखा जा सकता है।

चित्र 1.6

1.9.3 समुच्चयों का अंतर

समुच्चयों A और B का इस क्रम में अंतर वह समुच्चय है जिसमें वे तत्व होते हैं जो A के हैं परंतु B के नहीं। प्रतीकात्मक रूप से, हम A - B लिखते हैं और इसे “A माइनस B” पढ़ते हैं।

उदाहरण 18 मान लीजिए $A=\{1,2,3,4,5,6\}, B=\{2,4,6,8\}$। $A-B$ और $B-A$ ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास, $A-B=\{1,3,5\}$, क्योंकि तत्व $1,3,5$ A के हैं परंतु B के नहीं हैं और $B-A=\{8\}$, क्योंकि तत्व 8 B का है परंतु A का नहीं है।

हम नोट करते हैं कि $A-B \neq B-A$।

उदाहरण 19 मान लीजिए $V={a, e, i, o, u}$ और $B={a, i, k, u}$। $V-B$ और $B-V$ ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास, $V-B={e, o}$, क्योंकि तत्व $e$, $o$ तो $V$ में हैं परंतु $B$ में नहीं हैं और $B-V={\{k\}}$, क्योंकि तत्व $k$ तो $B$ में है परंतु $V$ में नहीं है।

हम नोट करते हैं कि $V-B \neq B-V$। सेटबिल्डर संकेतन का प्रयोग करके हम अंतर की परिभाषा को इस प्रकार पुनर्लिखित कर सकते हैं

$\mathrm{A}-\mathrm{B}= \{x:x \in \mathrm{A और} x \notin \mathrm{B}\}$

दो समुच्चयों A और B का अंतर वेन आरेख द्वारा चित्र 1.8 में दिखाए अनुसार प्रस्तुत किया जा सकता है।

चित्र 1.8 छायांकित भाग दो समुच्चयों A और B का अंतर दर्शाता है

टिप्पणी समुच्चय $\mathrm{A}-\mathrm{B}, \hspace{1 mm} \mathrm{A} \bigcap \mathrm{B} \text{ और } \mathrm{B} - \mathrm{A}$ परस्पर असंयुक्त समुच्चय होते हैं, अर्थात् इनमें से किन्हीं दो समुच्चयों का सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय होता है जैसा कि चित्र 1.9 में दिखाया गया है

चित्र 1.9

1.10 एक समुच्चय का पूरक

मान लीजिए $\cup$ सार्वभौमिक समुच्चय है जिसमें सभी अभाज्य संख्याएँ हैं और $A$, $\cup$ का उपसमुच्चय है जिसमें वे सभी अभाज्य संख्याएँ हैं जो 42 के भाजक नहीं हैं। इस प्रकार, $A=\{x: x \in \cup$ और $x$, 42 का भाजक नहीं है $\}$। हम देखते हैं कि $2 \in U$ लेकिन $2 \notin A$, क्योंकि 2, 42 का भाजक है। इसी प्रकार, $3 \in \cup$ लेकिन $3 \notin A$, और $7 \in \cup$ लेकिन $7 \notin A$। अब 2, 3 और 7 वही एकमात्र तत्व हैं जो $\cup$ के हैं लेकिन $A$ के नहीं हैं। इन तीन अभाज्य संख्याओं का समुच्चय, अर्थात् समुच्चय $\{2,3,7\}$ को $A$ का $\cup$ के सापेक्ष पूरक कहा जाता है, और इसे $A^{\prime}$ द्वारा निरूपित किया जाता है। इसलिए हमारे पास $A^{\prime}=\{2,3,7\}$ है। इस प्रकार, हम देखते हैं कि

$$ A^{\prime}=\{x: x \in U \text { और } x \notin A\} \text { यह निम्नलिखित परिभाषा की ओर ले जाता है। } $$

परिभाषा 7 मान लीजिए $\cup$ सार्वभौमिक समुच्चय है और $A$, $\cup$ का एक उपसमुच्चय है। तब $A$ का पूरक वह समुच्चय है जिसमें $\cup$ के वे सभी तत्व हैं जो A के तत्व नहीं हैं। प्रतीकात्मक रूप से, हम $A^{\prime}$ लिखते हैं ताकि $\cup$ के सापेक्ष $A$ के पूरक को निरूपित किया जा सके। इस प्रकार,

$$ A^{\prime}=\{x: x \in U \text { और } x \notin A\} \text {. स्पष्ट रूप से } A^{\prime}=U-A $$

हम नोट करते हैं कि एक समुच्चय A के पूरक को वैकल्पिक रूप से इस प्रकार भी देखा जा सकता है कि यह सार्वभौमिक समुच्चय $\cup$ और समुच्चय $A$ के बीच का अंतर है।

उदाहरण 20 मान लीजिए $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ और $A=\{1,3,5,7,9\}$। $A^{\prime}$ ज्ञात कीजिए।

हल हम देखते हैं कि $2,4,6,8,10$ केवल वे तत्व हैं जो $\cup$ के हैं लेकिन A के नहीं। इसलिए $\quad A^{\prime}=\{2,4,6,8,10\}$।

उदाहरण 21 मान लीजिए $\cup$ किसी सह-शैक्षिक विद्यालय की कक्षा XI के सभी विद्यार्थियों का सार्वत्रिक समुच्चय है और $A$ कक्षा XI की सभी लड़कियों का समुच्चय है। A’ ज्ञात कीजिए।

हल चूँकि A सभी लड़कियों का समुच्चय है, इसलिए $A^{\prime}$ स्पष्टतः कक्षा के सभी लड़कों का समुच्चय है।

नोट - यदि $A$ सार्वत्रिक समुच्चय $\cup$ का उपसमुच्चय है, तो इसका पूरक $A^{\prime}$ भी $\cup$ का उपसमुच्चय है।

$ \text{फिर से उपरोक्त उदाहरण 20 में, हमारे पास }A’={2,4,6,8,10} $

$ इसलिए \quad (A’)={x:x\in \cup \text{और}x\notin A’ } $

$$ \begin{aligned} \mathrm{A}^{\prime} & =\{2,4,6,8,10\}\\ & =\left\{x: x \in \mathrm{U} \text { और } x \notin \mathrm{A}^{\prime}\right\}\\ & =\{1,3,5,7,9\}=\mathrm{A} \end{aligned} $$

पूरक की परिभाषा से यह स्पष्ट है कि सार्वत्रिक समुच्चय U के किसी भी उपसमुच्चय के लिए, हमारे पास ( A’)’ = A है

अब, हम निम्नलिखित उदाहरण में $(A \cup B)^{\prime}$ और $A^{\prime} \cap B^{\prime}$ के परिणाम ज्ञात करना चाहते हैं।

उदाहरण 22 मान लीजिए $U=\{1,2,3,4,5,6\}, A=\{2,3\}$ और $B=\{3,4,5\}$।

$A^{\prime}, B^{\prime}, A^{\prime} \cap B^{\prime}, A \cup B$ ज्ञात कीजिए और इस प्रकार दिखाइए कि $(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime}$।

हल स्पष्टतः $A^{\prime}=\{1,4,5,6\}, B^{\prime}=\{1,2,6\}$। इसलिए $A^{\prime} \cap B^{\prime}=\{1,6\}$

साथ ही $A \cup B=\{2,3,4,5\}$, ताकि $(A \cup B)^{\prime}=\{1,6\}$

$$ (A \cup B)^{\prime}=\{1,6\}=A^{\prime} \cap B^{\prime} $$

यह दिखाया जा सकता है कि उपरोक्त परिणाम सामान्य रूप में सत्य है। यदि $A$ और $B$ सार्वभौमिक समुच्चय $\cup$ के कोई दो उपसमुच्चय हैं, तो

$(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime}$। इसी प्रकार, $(A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}$। इन दोनों परिणामों को शब्दों में इस प्रकार कहा गया है:

दो समुच्चयों के संघ का पूरक उनके पूरकों का प्रतिच्छेदन होता है और दो समुच्चयों के प्रतिच्छेदन का पूरक उनके पूरकों का संघ होता है। इन्हें डी मॉर्गन के नियम कहा जाता है। ये नियम गणितज्ञ डी मॉर्गन के नाम पर रखे गए हैं।

एक समुच्चय $A$ का पूरक $A^{\prime}$ वेन आरेख द्वारा चित्र 1.10 में दिखाए अनुसार प्रस्तुत किया जा सकता है।

चित्र 1.10 छायांकित भाग समुच्चय A के पूरक को दर्शाता है।

पूरक समुच्चयों के कुछ गुणधर्म

1. पूरक नियम:

(i) $A \cup A^{\prime}=U$

(ii) $A \cap A^{\prime}=\phi$

2. डी मॉर्गन का नियम:

(i) $(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime}$

(ii) $(A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}$

3. द्विपूरक नियम: $(A^{\prime})^{\prime}=A$

4. रिक्त समुच्चय और सार्वभौमिक समुच्चय के नियम $\phi^{\prime}= \cup$ और $ \cup^{\prime}=\phi$।

इन नियमों को वेन आरेखों का प्रयोग करके सत्यापित किया जा सकता है।

विविध उदाहरण

उदाहरण 23 दिखाइए कि “CATARACT” शब्द को लिखने के लिए आवश्यक अक्षरों का समुच्चय और “TRACT” शब्द को लिखने के लिए आवश्यक अक्षरों का समुच्चय समान हैं।

हल मान लीजिए $X$ “CATARACT” में आने वाले अक्षरों का समुच्चय है। तब

$$ X=\{C, A, T, R\} $$

मान लीजिए $Y$ “TRACT” में आने वाले अक्षरों का समुच्चय है। तब

$$ Y=\{T, R, A, C, T\}=\{T, R, A, C\} $$

चूँकि $X$ का प्रत्येक अवयव $Y$ में है और $Y$ का प्रत्येक अवयव $X$ में है। इसलिए $X=Y$।

उदाहरण 24 समुच्चय $\{-1,0,1\}$ के सभी उपसमुच्चयों की सूची बनाइए।

हल मान लीजिए $A=\{-1,0,1\}$। $A$ का वह उपसमुच्चय जिसमें कोई अवयव नहीं है, रिक्त समुच्चय $\phi$ है। $A$ के एक-एक अवयव वाले उपसमुच्चय हैं $\{-1\},\{0\},\{1\}$। $A$ के दो-दो अवयव वाले उपसमुच्चय हैं $\{-1,0\},\{-1,1\},\{0,1\}$। $A$ के तीनों अवयवों वाला उपसमुच्चय स्वयं $A$ है। अतः $A$ के सभी उपसमुच्चय हैं $\phi,\{-1\},\{0\},\{1\},\{-1,0\},\{-1,1\}$, $\{0,1\}$ और $\{-1,0,1\}$।

उदाहरण 25 दिखाइए कि $A \cup B=A \cap B$ हो तो $A=B$

हल मान लीजिए $a \in A$। तब $a \in A \cup B$। चूँकि A $\cup B=A \cap B$, $a \in A \cap B$। अतः $a \in B$। इसलिए $A \subset B$। इसी प्रकार, यदि $b \in B$, तब $b \in A \cup B$। चूँकि

$A \cup B=A \cap B$, $b \in A \cap B$। अतः $b \in A$। इसलिए $B \subset A$। अतः $A=B$

सारांश

यह अध्याय समुच्चयों से संबंधित कुछ आधारभूत परिभाषाओं और संक्रियाओं से संबंधित है। इन्हें नीचे संक्षेप में दिया गया है:

एक समुच्चय वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह होता है।

एक समुच्चय जिसमें कोई अवयव नहीं होता है, रिक्त समुच्चय कहलाता है।

एक समुच्चय जिसमें तत्वों की निश्चित संख्या होती है, उसे परिमित समुच्चय कहा जाता है, अन्यथा समुच्चय को अपरिमित समुच्चय कहा जाता है।

दो समुच्चय A और B समान कहे जाते हैं यदि उनमें ठीक-ठीक वही तत्व हों।

एक समुच्चय A को समुच्चय B का उपसमुच्चय कहा जाता है, यदि A का प्रत्येक तत्व B का भी तत्व हो। अंतराल $\mathbf{R}$ के उपसमुच्चय होते हैं।

दो समुच्चयों A और B का संघ उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो या तो $A$ में हैं या $B$ में हैं।

दो समुच्चयों A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो उभयतः हैं। दो समुच्चयों A और B का अंतर इस क्रम में उन तत्वों का समुच्चय है जो $A$ से संबंधित हैं परंतु $B$ से नहीं।

किन्हीं दो समुच्चयों $A$ और $B$ के लिए, $(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime}$ और $(A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}$

ऐतिहासिक टिप्पणी

समुच्चयों की आधुनिक सिद्धांत मुख्यतः जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर (1845-1918) द्वारा उत्पन्न मानी जाती है। समुच्चय सिद्धांत पर उनके पत्र कभी-कभी 1874 से 1897 के बीच प्रकट हुए। समुच्चय सिद्धांत का उनका अध्ययन तब आया जब वे $a_1 \sin x+a_2 \sin 2 x+a_3 \sin 3 x+\ldots$ रूप के त्रिकोणमितीय श्रेणियों का अध्ययन कर रहे थे। उन्होंने 1874 में एक पत्र में प्रकाशित किया कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को पूर्णांकों के साथ एक-से-एक संगत में नहीं रखा जा सका। 1879 से आगे, उन्होंने कई पत्र प्रकाशित किए जिनमें अमूर्त समुच्चयों की विभिन्न विशेषताएँ दिखाई गईं।

कैंटर के कार्य को एक अन्य प्रसिद्ध गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड (1831-1916) ने अच्छी तरह से स्वीकार किया। लेकिन क्रोनेकर (1810-1893) ने उन्हें अनंत समुच्चय को सीमित समुच्चय के समान दृष्टिकोण से देखने के लिए फटकारा। एक अन्य जर्मन गणितज्ञ गॉटलॉब फ्रेगे ने सदी के मोड़ पर समुच्चय सिद्धांत को तर्क के सिद्धांतों के रूप में प्रस्तुत किया। तब तक संपूर्ण समुच्चय सिद्धांत सभी समुच्चयों के समुच्चय की अस्तित्व की धारणा पर आधारित था। यह प्रसिद्ध अंग्रेज़ दार्शनिक बर्ट्रेंड रसेल (1872-1970) था जिसने 1902 में दिखाया कि सभी समुच्चयों के समुच्चय के अस्तित्व की धारणा एक विरोधाभास की ओर ले जाती है। इससे प्रसिद्ध रसेल का विरोधाभास उत्पन्न हुआ। पॉल आर. हालमोस अपनी पुस्तक ‘नैव समुच्चय सिद्धांत’ में इसके बारे में लिखते हैं कि “कुछ भी सब कुछ नहीं समेटता”।

रसेल का विरोधाभास एकमात्र ऐसा नहीं था जो समुच्चय सिद्धांत में उत्पन्न हुआ। कई विरोधाभास बाद में कई गणितज्ञों और तर्कशास्त्रियों द्वारा उत्पन्न किए गए। इन सभी विरोधाभासों के परिणामस्वरूप, समुच्चय सिद्धांत का पहला अभिगृहीतिकरण 1908 में अर्न्स्ट ज़र्मेलो द्वारा प्रकाशित किया गया। एक अन्य को अब्राहम फ्रेंकेल ने 1922 में प्रस्तावित किया। जॉन वॉन न्यूमैन ने 1925 में स्पष्ट रूप से नियमितता का अभिगृहीत प्रस्तुत किया। बाद में 1937 में पॉल बर्नेयज़ ने अधिक संतोषजनक अभिगृहीतिकरण का एक समूह दिया। इन अभिगृहीतों में संशोधन कुर्ट गोडेल ने 1940 में अपने ग्रंथ में किया। इसे वॉन न्यूमैन-बर्नेयज़ (VNB) या गोडेल-बर्नेयज़ (GB) समुच्चय सिद्धांत के रूप में जाना गया।

इन सभी कठिनाइयों के बावजूद, कैंटर का समुच्चय सिद्धांत आज के गणित में प्रयोग किया जाता है। वास्तव में, आजकल गणित की अधिकांश अवधारणाएँ और परिणाम समुच्चय सैद्धांतिक भाषा में व्यक्त किए जाते हैं।