आपके विद्यार्थियों को ज्ञान और वास्तविक जीवन के संबंध को स्पष्ट रूप से दिखाई देना चाहिए और उन्हें यह समझना चाहिए कि ज्ञान से दुनिया को कैसे बदला जा सकता है। - बर्ट्रेंड रसेल

10.1 परिचय

पिछले अध्याय 10 में, हमने रेखा के समीकरणों के विभिन्न रूपों का अध्ययन किया है। इस अध्याय में, हम कुछ अन्य वक्रों, अर्थात् वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय के बारे में पढ़ेंगे। परवलय और अतिपरवलय नाम अपोलोनियस ने दिए हैं। ये वक्र वास्तव में शंकु-च्छेद कहलाते हैं या अधिक सामान्यतः शंकु-च्छेद इसलिए क्योंकि इन्हें एक समतल और दोहरे थैले वाले लंबवृत्तीय शंकु के प्रतिच्छेद के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। इन वक्रों का ग्रहीय गति, दूरबीनों और एंटेना के डिज़ाइन, टॉर्च और ऑटोमोबाइल हेडलाइट्स में परावर्तकों आदि क्षेत्रों में बहुत व्यापक अनुप्रयोग हैं।

अपोलोनियस (262 ई.पू. -190 ई.पू.)

अब, आगामी खंडों में हम देखेंगे कि एक समतल और दोहरे थैले वाले लंबवृत्तीय शंकु के प्रतिच्छेद से विभिन्न प्रकार के वक्र कैसे प्राप्त होते हैं।

10.2 शंकु के च्छेद

माना $l$ एक निश्चित ऊर्ध्वाधर रेखा है और $m$ एक अन्य रेखा है जो इसे एक निश्चित बिंदु $V$ पर प्रतिच्छेद करती है और इस पर $\alpha$ कोण झुकी हुई है (चित्र 10.1)।

चित्र 10.1

मान लीजिए हम रेखा $m$ को रेखा $l$ के चारों ओर इस प्रकार घुमाते हैं कि कोण $\alpha$ स्थिर बना रहता है। तब उत्पन्न होने वाली सतह एक दो-नैप वाला लंबवृत्तीय खोखला शंकु है, जिसे आगे ‘शंकु’ कहा जाएगा और जो दोनों दिशाओं में अनिश्चित रूप से दूर तक फैला है (चित्र 10.2)।

चित्र 10.2

बिंदु $V$ को शीर्ष कहा जाता है; रेखा $l$ शंकु की अक्ष है। घूमने वाली रेखा $m$ को शंकु की जनित्र (generator) कहा जाता है। शीर्ष शंकु को दो भागों में बाँटता है, जिन्हें नैप्स कहा जाता है।

यदि हम एक समतल और एक शंकु का प्रतिच्छेद लें, तो प्राप्त होने वाले अनुप्रस्थ काट को शंकु-काट (conic section) कहा जाता है। इस प्रकार, शंकु-काट वे वक्र होते हैं जो एक लंबवृत्तीय शंकु को एक समतल द्वारा काटने पर प्राप्त होते हैं।

हम शंकु-काट की विभिन्न प्रकार की प्रजातियाँ प्राप्त करते हैं, जो प्रतिच्छेदी समतल की शंकु के सापेक्ष स्थिति और शंकु की ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ इसके बनाए गए कोण पर निर्भर करती हैं। मान लीजिए $\beta$ वह कोण है जो प्रतिच्छेदी समतल शंकु की ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ बनाता है (चित्र 10.3)।

चित्र 10.3

समतल का शंकु के साथ प्रतिच्छेदन या तो शंकु के शीर्ष पर हो सकता है या फिर नैप के किसी अन्य भाग पर — चाहे वह शीर्ष के नीचे हो या ऊपर।

10.2.1 वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय

जब समतल शंकु के नैप (शीर्ष को छोड़कर) को काटता है, तो निम्न स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं:

(a) जब $\beta=90^{\circ}$ हो, तो प्रतिच्छेदन एक वृत्त होता है (चित्र 10.4)।

चित्र 10.4

(b) जब $\alpha<\beta<90^{\circ}$ हो, तो प्रतिच्छेदन एक दीर्घवृत्त होता है (चित्र 10.5)।

चित्र 10.5

(c) जब $\beta=\alpha$ हो, तो प्रतिच्छेदन एक परवलय होता है (चित्र 10.6)।

चित्र 10.6

(उपरोक्त तीनों स्थितियों में, समतल शंकु के एक नैप को पूरी तरह से काटता है)।

(d) जब $0 \leq \beta<\alpha$ हो, तो समतल दोनों नैपों को काटता है और प्रतिच्छेदन वक्र एक अतिपरवलय होता है (चित्र 10.7)।

चित्र 10.7

10.2.2 अपकृत शंकु-चाप

जब तल शंकु के शीर्ष को काटता है, तो निम्नलिखित भिन्न-भिन्न स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं:

(a) जब $\alpha<\beta \leq 90^{\circ}$, तो प्रिच्छेद एक बिंदु होता है (Fig10.8)।

Fig10.8

(b) जब $\beta=\alpha$, तल शंकु की एक जनित्र को धारण करता है और प्रिच्छेद एक सीधी रेखा होती है (Fig10.9)।

Fig10.9

यह परवलय की अपकृत स्थिति है।

(c) जब $0 \leq \beta<\alpha$, प्रिच्छेद प्रतिच्छेद करती दो सीधी रेखाओं का युग्म होता है (Fig10.10)। यह अतिशयवाला की अपकृत स्थिति है।

Fig10.8 (a)

Fig10.8 (b)

आगामी खण्डों में हम इनमें से प्रत्येक शंकु-चाप के समीकरण मानक रूप में ज्यामितीय गुणधर्मों के आधार पर परिभाषित करके प्राप्त करेंगे।

10.3 वृत्त

परिभाषा 1 वृत्त तल के उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो तल के एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित होते हैं।

निश्चित बिंदु को वृत्त का केंद्र कहा जाता है और केंद्र से वृत्त के किसी बिंदु की दूरी को वृत्त की त्रिज्या कहा जाता है (चित्र 10.11)।

चित्र 10.11

यदि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर हो तो वृत्त का समीकरण सबसे सरल होता है। हालांकि, हम नीचे एक दिए गए केंद्र और त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण व्युत्पन्न करते हैं (चित्र 10.12)।

चित्र 10.12

माना C(h, k) वृत्त का केंद्र और r वृत्त की त्रिज्या है। माना P(x, y) वृत्त पर कोई बिंदु है (चित्र 10.12)। तब, परिभाषा से, |CP|=r। दूरी सूत्र द्वारा, हमारे पास

अर्थात्

$ \begin{aligned} & \sqrt{(x-h)^{2}+(y-k)^{2}}=r \ & (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} \end{aligned} $

यह केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का अभीष्ट समीकरण है।

उदाहरण 1 केंद्र (0,0) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ h=k=0। इसलिए, वृत्त का समीकरण x^{2}+y^{2}=r^{2} है।

उदाहरण 2 केंद्र (-3,2) और त्रिज्या 4 वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ $h=-3, k=2$ और $r=4$ है। इसलिए, अभीष्ट वृत्त का समीकरण है

$$ (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=16 $$

उदाहरण 3 वृत्त $x^{2}+y^{2}+8 x+10 y-8=0$ का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया समीकरण है

$$ (x^{2}+8 x)+(y^{2}+10 y)=8 $$

अब, कोष्ठक के भीतर वर्ग पूर्ण करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ (x^{2}+8 x+16)+(y^{2}+10 y+25)=8+16+25 $

अर्थात्

$ (x+4)^{2}+(y+5)^{2}=49 $

अर्थात्

$[x-(-4)]^2 + [y-(-5)]^2 = 7^2$

इसलिए, दिया गया वृत्त केंद्र $(-4,-5)$ और त्रिज्या 7 रखता है।

उदाहरण 4 उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं $(2,-2)$, और $(3,4)$ से होकर जाता है और जिसका केंद्र रेखा $x+y=2$ पर स्थित है।

हल माना वृत्त का समीकरण $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ है।

चूँकि वृत्त बिंदुओं $(2,-2)$ और $(3,4)$ से होकर जाता है, हमें है

$$ \begin{equation*} (2-h)^{2}+(-2-k)^{2}=r^{2} \tag{1} \end{equation*} $$

और $$ \begin{equation*} (3-h)^{2}+(4-k)^{2}=r^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

साथ ही चूँकि केंद्र रेखा $x+y=2$ पर स्थित है, हमें है

$$ \begin{equation*} h+k=2 \tag{3} \end{equation*} $$

समीकरणों (1), (2) और (3) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ h=0.7, \quad k=1.3 \text{ और } r^{2}=12.58 $

अतः, अभीष्ट वृत्त का समीकरण है

$ (x-0.7)^{2}+(y-1.3)^{2}=12.58 . $

10.4 परवलय

परिभाषा 2 परवलय समतल के उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो समतल में एक निश्चित रेखा और एक निश्चित बिंदु (रेखा पर स्थित नहीं) से समान दूरी पर हैं।

स्थिर रेखा को परवलय की निर्देशिका (directrix) कहा जाता है और स्थिर बिंदु $F$ को फोकस (focus) कहा जाता है (चित्र 10.13)। (‘पैरा’ का अर्थ है ‘के लिए’ और ‘बोला’ का अर्थ है ‘फेंकना’, अर्थात् वह आकृति जो तब वर्णित होती है जब आप गेंद को हवा में फेंकते हैं)।

चित्र 10.13

नोट - यदि स्थिर बिंदु स्थिर रेखा पर स्थित हो, तो समतल के उन बिंदुओं का समुच्चय, जो स्थिर बिंदु और स्थिर रेखा से समान दूरी पर हैं, वह स्थिर बिंदु से होकर जाने वाली और स्थिर रेखा पर लंबवत् सीधी रेखा होती है। हम इस सीधी रेखा को परवलय की अपभ्रष्ट स्थिति (degenerate case) कहते हैं।

फोकस से होकर जाने वाली और निर्देशिका पर लंबवत् रेखा को परवलय की अक्ष (axis) कहा जाता है। परवलय और अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु को परवलय का शीर्ष (vertex) कहा जाता है (चित्र 10.14)।

चित्र 10.14

10.4.1 परवलय के मानक समीकरण

यदि शीर्ष मूल बिंदु पर हो और सममिति का अक्ष $x$-अक्ष या $y$-अक्ष के अनुदर हो, तो परवलय का समीकरण सबसे सरल होता है। परवलय की ऐसी चार संभावित स्थितियाँ नीचे चित्र 10.15 (a) से (d) में दिखाई गई हैं।

(ए)

(ब)

$x^{2}=4 a y$

(स)

$x^{2}=-4 a y$

(द)

हम ऊपर Fig 10.15 (a) में दिखाए गए परवलय का समीकरण निम्नलिखित रूप से व्युत्पन्न करेंगे जिसका फोकस $(a, 0) a>0$ पर है और डायरेक्ट्रिक्स $x=-a$ है:

मान लीजिए F फोकस है और l डायरेक्ट्रिक्स है। मान लीजिए FM डायरेक्ट्रिक्स पर लंब है और FM को बिंदु O पर समद्विभाजित करें। MO को X तक बढ़ाएं। परवलय की परिभाषा के अनुसार, मध्य-बिंदु O परवलय पर है और इसे परवलय का शीर्ष कहा जाता है। O को मूल बिंदु लें, OX को x-अक्ष और OY को इस पर लंबवत् y-अक्ष लें। मान लीजिए डायरेक्ट्रिक्स से फोकस की दूरी $2 a$ है। तब फोकस के निर्देशांक $(a, 0)$ हैं और डायरेक्ट्रिक्स का समीकरण $x+a=0$ है जैसा कि Fig10.16 में है।

आकृति $\mathbf{1 0 . 1 6}$

मान लीजिए $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु इस प्रकार है कि

$$ PF=PB, \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) $$

जहाँ $PB$, $l$ पर लंबवत् है। बिंदु $B$ के निर्देशांक $(-a, y)$ हैं। दूरी सूत्र द्वारा, हमें प्राप्त है

$ PF=\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \text{ और } PB=\sqrt{(x+a)^{2}} $

चूँकि $PF=PB$, हमें प्राप्त है

$ \sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x+a)^{2}} $

अर्थात् $ \quad\quad\quad(x-a)^{2}+y^{2}=(x+a)^{2}$

या $\quad\quad\quad x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2}=x^{2}+2 a x+a^{2}$

या $\quad\quad\quad y^{2}=4 a x(a>0)$।

इसलिए, परवलय पर कोई भी बिंदु संतुष्ट करता है

$ y^{2}=4 a x \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) $

विपरीततः, मान लीजिए $P(x, y)$ समीकरण (2) को संतुष्ट करता है

$ \begin{aligned} PF & =\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \quad=\sqrt{(x-a)^{2}+4 a x} \ & =\sqrt{(x+a)^{2}}=PB \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3) \end{aligned} $

और इस प्रकार $P(x, y)$ परवलय पर स्थित है।

इस प्रकार, (2) और (3) से हमने सिद्ध किया है कि मूलबिंदु पर शीर्ष, $(a, 0)$ पर फोकस और $x=-a$ निर्देशिका वाले परवलय का समीकरण $y^{2}=4 a x$ है।

चर्चा समीकरण (2) में, चूँकि $a>0$, $x$ कोई भी धनात्मक मान या शून्य ले सकता है, परंतु कोई ऋणात्मक मान नहीं ले सकता, और वक्र प्रथम और चतुर्थ चतुर्थांश में अनिश्चित रूप से दूर तक फैला हुआ है। परवलय की अक्ष धनात्मक $x$-अक्ष है।

इसी प्रकार, हम निम्नलिखित में परवलयों के समीकरण व्युत्पन्न कर सकते हैं:

चित्र 11.15 (b) में $y^{2}=-4 a x$,

चित्र 11.15 (c) में $x^{2}=4 a y$,

चित्र $11.15(d)$ में $x^{2}=-4 a y$,

इन चारों समीकरणों को परवलयों के मानक समीकरण कहा जाता है।

नोट - परवलयों के मानक समीकरणों में फोकस एक निर्देशांक अक्ष पर होता है; शीर्ष मूल बिंदु पर होता है और इस प्रकार निर्देशांक रेखा अन्य निर्देशांक अक्ष के समानांतर होती है। यद्यपि, किसी भी बिंदु पर फोकस और किसी भी रेखा को निर्देशांक रेखा मानकर परवलयों के समीकरणों का अध्ययन यहाँ की सीमा से परे है।

परवलयों के मानक समीकरणों से, चित्र 10.15, हमें निम्नलिखित प्रेक्षण प्राप्त होते हैं:

1. परवलय परवलय की अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। यदि समीकरण में $y^{2}$ पद है, तो सममिति की अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश होती है और यदि समीकरण में $x^{2}$ पद है, तो सममिति की अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश होती है।

2. जब सममिति की अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश होती है, तो परवलय

(a) दाईं ओर खुलता है यदि $x$ का गुणांक धनात्मक है,

(b) बाईं ओर खुलता है यदि $x$ का गुणांक ऋणात्मक है।

3. जब सममिति की अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश होती है, तो परवलय

(c) ऊपर की ओर खुलता है यदि $y$ का गुणांक धनात्मक है,

(d) नीचे की ओर खुलता है यदि $y$ का गुणांक ऋणात्मक है।

10.4.2 लेटस रेक्टम

परिभाषा 3 परवलय का लेटस रेक्टम एक रेखाखंड होता है जो परवलय के अक्ष के लंबवत् होता है, फोकस से होकर गुजरता है और जिसके सिरे परवलय पर स्थित होते हैं (चित्र 10.17)।

चित्र 10.17

परवलय $ y^{2}= 4 a x $ का लेटस रेक्टम की लंबाई ज्ञात करने के लिए (चित्र 10.18)।

चित्र 10.18

परवलय की परिभाषा के अनुसार, $AF=AC$।

लेकिन $ \mathrm{AC}=\mathrm{FM}=2 a $

इसलिए $ \mathrm{AF}=2 a $

और चूंकि परवलय $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है, $AF=FB$ और इसलिए

$AB=$ लेटस रेक्टम की लंबाई $=4 a$।

उदाहरण 5 परवलय $y^{2}=8 x$ के फोकस के निर्देशांक, अक्ष, डायरेक्ट्रिक्स का समीकरण और लेटस रेक्टम ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया समीकरण $y^{2}$ को शामिल करता है, इसलिए सममिति अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है।

$x$ का गुणांक धनात्मक है, इसलिए परवलय दाईं ओर खुलता है। दिए गए समीकरण $y^{2}=4 a x$ से तुलना करने पर, हम पाते हैं कि $a=2$।

इस प्रकार, परवलय का फोकस $(2,0)$ है और परवलय की डायरेक्ट्रिक्स का समीकरण $x=-2$ है (चित्र 10.19)।

आकृति 10.19

लेटस रेक्टम की लंबाई $4 a=4 \times 2=8$ है।

उदाहरण 6 फोकस $(2,0)$ और निर्देशिका $x=-2$ वाले परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

हल चूँकि फोकस $(2,0)$, $x$-अक्ष पर स्थित है, $x$-अक्ष स्वयं परवलय का अक्ष है। इसलिए परवलय का समीकरान या तो $y^{2}=4 a x$ या $y^{2}=-4 a x$ के रूप का होगा। चूँकि निर्देशिका $x=-2$ है और फोकस $(2,0)$ है, परवलय $y^{2}=4 a x$ के रूप का होगा जिसमें $a=2$ है। इसलिए अभीष्ट समीकरण है

$ y^{2}=4(2) x=8 x $

उदाहरण 7 शीर्ष $(0,0)$ और फोकस $(0,2)$ वाले परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

हल चूँकि शीर्ष $(0,0)$ पर है और फोकस $(0,2)$ है जो $y$-अक्ष पर स्थित है, $y$-अक्ष परवलय का अक्ष है। इसलिए, परवलय का समीकरण $x^{2}=4 a y$ के रूप का होगा। इस प्रकार, हमें प्राप्त होता है

$ x^{2}=4(2) y \text{, अर्थात्, } x^{2}=8 y \text{। } $

उदाहरण 8 वह परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो $y$-अक्ष के परितः सममित है और बिंदु $(2,-3)$ से होकर जाता है।

हल चूँकि परवलय y-अक्ष के परितः सममित है और इसका शीर्ष मूलबिंदु पर है, इसलिए समीकरण का रूप x² = 4ay या x² = –4ay होगा, जहाँ चिह्न इस बात पर निर्भर करता है कि परवलय ऊपर की ओर खुलता है या नीचे की ओर। परंतु परवलय बिंदु (2, –3) से होकर गुजरता है जो चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है, इसलिए यह नीचे की ओर खुलेगा। अतः समीकरण का रूप x² = –4ay होगा।

चूँकि परवलय बिंदु (2, –3) से होकर गुजरता है, हमें प्राप्त होता है

$ 2² = –4a(–3) अर्थात् a = \frac{1}{3} $

इसलिए परवलय का समीकरण है

$ x² = –4(\frac{1}{3})y अर्थात् 3x² = –4y $

10.5 दीर्घवृत्त

परिभाषा 4 दीर्घवृत्त समतल के उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनकी समतल के दो निश्चित बिंदुओं से दूरियों का योग एक नियतांक होता है।

दोनों निश्चित बिंदुओं को दीर्घवृत्त की फोकाई (बहुवचन ‘फोकस’) कहा जाता है (चित्र10.20)।

चित्र10.20

नोट - वह नियतांक जो दीर्घवृत्त के किसी बिंदु की दोनों निश्चित बिंदुओं से दूरियों के योग के रूप में होता है, सदैव दोनों निश्चित बिंदुओं के बीच की दूरी से अधिक होता है।

रेखाखंड जो फोकसों को जोड़ता है, का मध्य बिंदु दीर्घवृत्त का केंद्र कहलाता है। दीर्घवृत्त के फोकसों से होकर जाने वाला रेखाखंड दीर्घ अक्ष कहलाता है और केंद्र से होकर जाने वाला तथा दीर्घ अक्ष पर लंबवत् रेखाखंड लघु अक्ष कहलाता है। दीर्घ अक्ष के अंतिम बिंदुओं को दीर्घवृत्त के शीर्ष कहा जाता है (चित्र 10.21)।

चित्र 10.21

हम दीर्घ अक्ष की लंबाई को $2 a$, लघु अक्ष की लंबाई को $2 b$ और फोकसों के बीच की दूरी को $2 c$ द्वारा दर्शाते हैं। इस प्रकार, अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई $a$ और अर्ध-लघु अक्ष की लंबाई $b$ है (चित्र 10.22)।

चित्र 10.22

10.5.1 अर्ध-दीर्घ अक्ष, अर्ध-लघु अक्ष और केंद्र से फोकस की दूरी के बीच संबंध (चित्र 10.23)

चित्र 10.23

लघु अक्ष के एक सिरे पर एक बिंदु $P$ लीजिए।

बिंदु $P$ से फोकसों की दूरियों का योग

$F_1P + F_2P = F_1O + OP + F_2P$

(चूँकि, $F_1P = F_1O + OP$)

$\quad \quad \quad \quad \quad = c + a +a - c = 2a$

अल्पाक्ष के एक सिरे पर एक बिंदु Q लीजिए।

बिंदु Q से नाभियों की दूरियों का योग

$F_1 P+F_2 Q=\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}=2 \sqrt{b^{2}+c^{2}}$

चूँकि P और Q दोनों दीर्घवृत्त पर स्थित हैं।

दीर्घवृत्त की परिभाषा से, हमारे पास

$ \begin{aligned} 2 \sqrt{b^{2}+c^{2}} & =2 a, \text{ अर्थात् } \quad a=\sqrt{b^{2}+c^{2}} \ \text{या} \quad \quad \quad \quad a^{2} & =b^{2}+c^{2}, \text{ अर्थात् } c=\sqrt{a^{2}-b^{2}} \end{aligned} $

10.5.2 उत्केन्द्रता

परिभाषा 5 दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता दीर्घवृत्त के केंद्र से एक नाभि तक और दीर्घवृत्त के एक शीर्ष तक की दूरियों का अनुपात है (उत्केन्द्रता को $e$ से दर्शाया जाता है) अर्थात् $e=\frac{c}{a}$।

तब चूँकि नाभि केंद्र से $c$ की दूरी पर है, उत्केन्द्रता के पदों में नाभि केंद्र से ae की दूरी पर है।

10.5.3 दीर्घवृत्त के मानक समीकरण

दीर्घवृत्त का समीकरण सबसे सरल तब होता है जब दीर्घवृत्त का केंद्र मूलबिंदु पर हो और नाभियाँ $x$-अक्ष या $y$-अक्ष पर हों। ऐसे दो संभव उन्मुखीकरण चित्र 10.24 में दिखाए गए हैं।

हम चित्र 10.24 (a) में दिखाए गए दीर्घवृत्त का समीकरण व्युत्पन्न करेंगे जिसमें नाभियाँ $x$-अक्ष पर हैं।

माना $F_1$ और $F_2$ नाभियाँ हैं और $O$ रेखाखंड $F_1 F_2$ का मध्य-बिंदु है। माना $O$ मूलबिंदु है और $O$ से $F_2$ तक जाने वाली रेखा धनात्मक $x$-अक्ष है और $F_1$ तक जाने वाली रेखा ऋणात्मक $x$-अक्ष है। माना, $O$ से $x$-अक्ष पर लंबवत जाने वाली रेखा $y$-अक्ष है। माना $F_1$ के निर्देशांक $(-c, 0)$ हैं और $F_2$ के निर्देशांक $(c, 0)$ हैं (चित्र 10.25)।

चित्र 10.25

माना $P(x, y)$ दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु है इस प्रकार कि बिंदु $P$ से दोनों नाभियों की दूरियों का योग $2 a$ है, इसलिए दिया गया है

$ PF_1+PF_2=2 a . \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

दूरी सूत्र का प्रयोग करते हुए, हमारे पास है

$ \begin{aligned} & \qquad \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2 a \\ & \text{ अर्थात्, } \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \end{aligned} $

$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम पाते हैं

$ (x+c)^{2}+y^{2}=4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+(x-c)^{2}+y^{2} $

जो सरलीकरण पर देता है

$ \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=a-\frac{c}{a} x $

फिर से वर्ग करने और सरलीकरण करने पर, हम पाते हैं

$ \begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1 & \\ \text{ अर्थात्, } \quad \quad\quad \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 & (\text{ चूँकि } c^{2}=a^{2}-b^{2}) \end{aligned} $

अतः दीर्घवृत्त पर कोई भी बिंदु संतुष्ट करता है

$$ \begin{equation*} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \tag{2} \end{equation*} $$

विपरीततः, मान लीजिए $P(x, y)$ समीकरण (2) को $0<c<a$ के साथ संतुष्ट करता है। तब

$$ y^{2}=b^{2}(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}) $$

इसलिए, $PF_1=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{(x+c)^{2}+b^{2}(\frac{a^{2}-x^{2}}{a^{2}})} \\ & =\sqrt{(x+c)^{2}+(a^{2}-c^{2})(\frac{a^{2}-x^{2}}{a^{2}})}}(\text{ चूँकि } b^{2}=a^{2}-c^{2}) \\ & =\sqrt{(a+\frac{c x}{a})^{2}}=a+\frac{c}{a} x \end{aligned} $

इसी प्रकार $\quad PF_2=a-\frac{c}{a} x$

अतः $\quad PF_1+PF_2=a+\frac{c}{a} x+a-\frac{c}{a} x=2 a \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(3)$

इसलिए, कोई भी बिंदु जो $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ को संतुष्ट करता है, ज्यामितीय शर्त को संतुष्ट करता है और इसलिए $P(x, y)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है।

अतः (2) और (3) से, हमने सिद्ध किया कि मूलबिंदु के केंद्र वाले और x-अक्ष के अनुदिश दीर्घ अक्ष वाले दीर्घवृत्त का समीकरण

$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $

विचार-विमर्श ऊपर प्राप्त दीर्घवृत्त के समीकरण से यह अनुसरण करता है कि दीर्घवृत्त पर स्थित प्रत्येक बिंदु $P(x, y)$ के लिए, हमारे पास

$ \frac{x^{2}}{a^{2}}=1-\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1 \text{ है, अर्थात्, } x^{2} \leq a^{2} \text{, इसलिए }-a \leq x \leq a \text{ है। } $

इसलिए, दीर्घवृत्त रेखाओं $x=-a$ और $x=a$ के बीच स्थित है और इन रेखाओं को स्पर्श करता है।

इसी प्रकार, दीर्घवृत्त रेखाओं $y=-b$ और $y=b$ के बीच स्थित है और इन रेखाओं को स्पर्श करता है।

इसी प्रकार, हम चित्र 10.24 (b) में दी गई दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ प्राप्त कर सकते हैं। ये दोनों समीकरण दीर्घवृत्तों के मानक समीकरणों के रूप में जाने जाते हैं।

नोट - दीर्घवृत्तों के मानक समीकरणों में केंद्र मूल बिंदु पर होता है और दीर्घ तथा लघु अक्ष निर्देशांक अक्ष होते हैं। यद्यपि, किसी अन्य बिंदु पर केंद्र वाले दीर्घवृत्तों और केंद्र से गुजरने वाली किसी भी रेखा को दीर्घ अक्ष तथा केंद्र से गुजरने वाली और दीर्घ अक्ष पर लंबवत लघु अक्ष वाले दीर्घवृत्तों का अध्ययन यहाँ की सीमा से बाहर है।

दीर्घवृत्तों के मानक समीकरणों से (चित्र 10.24), हमें निम्नलिखित प्रेक्षण प्राप्त होते हैं:

1. दीर्घवृत्त दोनों निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष सममित है क्योंकि यदि $(x, y)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है, तो $(-x, y),(x,-y)$ और $(-x,-y)$ भी दीर्घवृत्त पर बिंदु हैं।

2. नाभि सदैव दीर्घ अक्ष पर स्थित होती है। दीर्घ अक्ष को सममिति अक्षों पर प्राप्त अंतःखंडों को ज्ञात करके निर्धारित किया जा सकता है। अर्थात्, यदि $x^{2}$ का गुणांक बड़ा हर वाला है, तो दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश होता है और यदि $y^{2}$ का गुणांक बड़ा हर वाला है, तो दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश होता है।

10.5.4 लेटस रेक्टम

परिभाषा 6 किसी दीर्घवृत्त का लेटस रेक्टम एक रेखाखंड होता है जो दीर्घ अक्ष पर लंबवत होता है, किसी एक नाभि से गुजरता है और जिसके अंतिम बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित होते हैं (चित्र 10.26)।

आकृति 10.26

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की लेटस रेक्टम की लंबाई ज्ञात करने के लिए

मान लीजिए $AF_2$ की लंबाई $l$ है।

तब बिंदु A के निर्देशांक $(c, l)$ हैं, अर्थात् $(a e, l)$

चूँकि A दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ पर स्थित है, इसलिए

$ \begin{aligned} & \frac{(a e)^{2}}{a^{2}}+\frac{l^{2}}{b^{2}}=1 \\ & \Rightarrow l^{2}=b^{2}(1-e^{2}) \\ & \text{परंतु} \quad \quad \quad e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=1-\frac{b^{2}}{a^{2}} \end{aligned} $

अतः $ \quad \quad \quad l^{2}=\frac{b^{4}}{a^{2}}, \text{ अर्थात् } l=\frac{b^{2}}{a} $

चूँकि दीर्घवृत्त y-अक्ष के सापेक्ष सममित है (निःसंदेह, यह दोनों निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष सममित है), $AF_2=F_2 B$ और इसलिए लेटस रेक्टम की लंबाई $\frac{2 b^{2}}{a}$ है।

उदाहरण 9 दीर्घवृत्त $ \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1 $ के फोकस, शीर्ष, प्रमुख अक्ष की लंबाई, अल्प अक्ष, उत्केंद्रता और लेटस रेक्टम के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल चूँकि $\frac{x^{2}}{25}$ का हर $\frac{y^{2}}{9}$ के हर से बड़ा है, प्रमुख अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है। दिए गए समीकरण की तुलना $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & a=5 \text{ और } b=3 . \text{ साथ ही } \\ & c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-9}=4 \end{aligned} $

इसलिए, फोकस के निर्देशांक $(-4,0)$ और $(4,0)$ हैं, शीर्ष $(-5,0)$ और $(5,0)$ हैं। प्रमुख अक्ष की लंबाई 10 इकाई है, लघु अक्ष की लंबाई $2b$ 6 इकाई है और उत्केंद्रता $\frac{4}{5}$ है और लेटस रेक्टम $\frac{2b^{2}}{a}=\frac{18}{5}$ है।

उदाहरण 10 दीर्घवृत्त $9x^{2}+4y^{2}=36$ के फोकस, शीर्ष, प्रमुख और लघु अक्षों की लंबाइयों और उत्केंद्रता के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण मानक रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 $$

चूंकि $\frac{y^{2}}{9}$ का हर $\frac{x^{2}}{4}$ के हर से बड़ा है, प्रमुख अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है। दिए गए समीकरण की मानक समीकरण से तुलना करने पर

$ \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1, \text{ हमारे पास } b=2 \text{ और } a=3 $

साथ ही $\quad c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$

और $\quad e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

इसलिए फोकस $(0, \sqrt{5})$ और $(0,-\sqrt{5})$ हैं, शीर्ष $(0,3)$ और $(0,-3)$ हैं, प्रमुख अक्ष की लंबाई 6 इकाई है, लघु अक्ष की लंबाई 4 इकाई है और दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{5}}{3}$ है।

उदाहरण 11 उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(\pm 13,0)$ और फोकस $(\pm 5,0)$ हैं।

हल चूंकि शीर्ष $x$-अक्ष पर हैं, समीकरण इस रूप का होगा

$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, \text{ जहां } a \text{ अर्ध-प्रमुख अक्ष है। } $

दिया गया है कि $a=13, c=\pm 5$।

इसलिए, संबंध $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ से, हमें प्राप्त होता है

$ 25=169-b^{2} \text{, अर्थात् } b=12 $

अतः दीर्घवृत्त का समीकरण है $\frac{x^{2}}{169}+\frac{y^{2}}{144}=1$।

उदाहरण 12 दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी दीर्घ अक्ष की लंबाई 20 है और नाभियाँ $(0, \pm 5)$ हैं।

हल चूँकि नाभियाँ $y$-अक्ष पर हैं, दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है। इसलिए, दीर्घवृत्त का समीकरण रूप $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ का है।

दिया गया है कि $ \quad \quad \quad \quad \quad a=\text{ अर्ध-दीर्घ अक्ष }=\frac{20}{2}=10 $

और संबंध

$$ \begin{aligned} & \quad \quad \quad \quad \quad c^{2}=a^{2}-b^{2} \text{ देता है } \\ & \quad \quad \quad \quad \quad 5^{2}=10^{2}-b^{2} \text{ अर्थात् } b^{2}=75 \end{aligned} $$

इसलिए, दीर्घवृत्त का समीकरण है

$ \frac{x^{2}}{75}+\frac{y^{2}}{100}=1 $

उदाहरण 13 दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है और जो बिंदुओं $(4,3)$ और $(-1,4)$ से होकर जाता है।

हल दीर्घवृत्त का मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है। चूँकि बिंदु $(4,3)$ और $(-1,4)$ दीर्घवृत्त पर स्थित हैं, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \quad \quad \quad \quad \frac{16}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}}=1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) \\ & \text{और }\quad \quad \frac{1}{a^{2}}+\frac{16}{b^{2}}=1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) \end{aligned} $

समीकरणों (1) और (2) को हल करने पर, हम पाते हैं कि $a^{2}=\frac{247}{7}$ और $b^{2}=\frac{247}{15}$।

अतः अभीष्ट समीकरण है

$ \frac{x^{2}}{(\frac{247}{7})}+\frac{y^{2}}{\frac{247}{15}}=1 \text{, अर्थात् } 7 x^{2}+15 y^{2}=247 $

10.6 अतिपरवलय

परिभाषा 7 अतिपरवलय उस समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनकी समतल में स्थित दो निश्चित बिंदुओं से दूरियों का अंतर एक नियतांक होता है।

“अंतर” शब्द जो परिभाषा में प्रयुक्त हुआ है, उसका अर्थ है कि दूरस्थ बिंदु की दूरी में से निकटस्थ बिंदु की दूरी घटाना। दो निश्चित बिंदुओं को अतिपरवलय की नाभियाँ कहा जाता है। रेखाखंड जो नाभियों को मिलाता है, उसका मध्य-बिंदु अतिपरवलय का केंद्र कहलाता है। नाभियों से होकर जाने वाली रेखा को अनुप्रस्थ अक्ष कहा जाता है और केंद्र से होकर जाने वाली रेखा जो अनुप्रस्थ अक्ष के लंबवत होती है, उसे संयुक्त अक्ष कहा जाता है। वे बिंदु जहाँ अतिपरवलय अनुप्रस्थ अक्ष को काटता है, अतिपरवलय के शीर्ष कहलाते हैं (चित्र 10.27)।

चित्र 10.27

हम दोनों नाभियों के बीच की दूरी को $2 c$ से, दो शीर्षों के बीच की दूरी (अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई) को $2 a$ से निरूपित करते हैं और हम मात्रा $b$ को इस प्रकार परिभाषित करते हैं

$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$

साथ ही $2 b$ संयुक्त अक्ष की लंबाई होती है (चित्र 10.28)।

चित्र 10.28

अचर $P_1 F_2-P_1 F_1$ ज्ञात करने के लिए:

चित्र 10.28 में बिंदु $P$ को $A$ और $B$ पर लेने पर, हमें प्राप्त होता है

$BF_1-BF_2=AF_2-AF_1$ (अतिशयोक्ति की परिभाषा के अनुसार)

$BA+AF_1-BF_2=AB+BF_2-AF_1$

अर्थात्, $AF_1=BF_2$

इस प्रकार, $BF_1-BF_2=BA+AF_1-BF_2=BA=2 a$

10.6.1 उत्केन्द्रता

परिभाषा 8 दीर्घवृत्त की तरह, अनुपात $e=\frac{c}{a}$ को अतिशयोक्ति की उत्केन्द्रता कहा जाता है। चूँकि $c \geq a$, उत्केन्द्रता कभी एक से कम नहीं होती। उत्केन्द्रता के पदों में, केंद्र से नाभियों की दूरी ae होती है।

10.6.2 अतिशयोक्ति का मानक समीकरण

अतिशयोक्ति का समीकरन सबसे सरल होता है यदि अतिशयोक्ति का केंद्र मूल बिंदु पर हो और नाभियाँ $x$-अक्ष या $y$-अक्ष पर हों। ऐसी दो संभावित अभिविन्यास चित्र 10.29 में दिखाए गए हैं।

हम उस अतिशयोक्ति के लिए समीकरण व्युत्पन्न करेंगे जो चित्र 10.29(a) में दिखाई गई है, जिसमें नाभियाँ $x$-अक्ष पर हैं।

माना $F_1$ और $F_2$ नाभियाँ हैं और $O$ रेखाखंड $F_1 F_2$ का मध्य-बिंदु है। माना $O$ मूलबिंदु है और $O$ से होकर $F_2 तक जाने वाली रेखा धनात्मक $x$-अक्ष है और $F_1 तक जाने वाली रेखा ऋणात्मक $x$-अक्ष है। $O$ से होकर $x$-अक्ष के लंबवत् जाने वाली रेखा $y$-अक्ष है। माना $F_1$ के निर्देशांक $\mathbf X^{\prime}$ $(-c, 0)$ हैं और $F_2$ के $(c, 0)$ हैं (चित्र 10.30)।

चित्र 10.30

माना $P(x, y)$ अतिशयोन पर कोई बिंदु है इस प्रकार कि बिंदु $P$ से दूरस्थ बिंदु की दूरी में निकटस्थ बिंदु की दूरी का अंतर $2 a$ है। अतः दिया गया है, $PF_1-PF_2=2 a$

दूरी सूत्र का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \quad \quad \quad \quad \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2 a \\ &\text{अर्थात्, } \quad \quad \quad \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2 a+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \end{aligned} $

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ (x+c)^{2}+y^{2}=4 a^{2}+4 a \quad \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+(x-c)^{2}+y^{2} $

और सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \frac{c x}{a}-a=\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} $

पुनः वर्ग करने और और सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{c^{2}-a^{2}}=1 $

अर्थात् $\quad \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad$ (चूँकि $c^{2}-a^{2}=b^{2}$ )

अतः अतिशयोन पर कोई भी बिंदु $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ को संतुष्ट करता है

इसके विपरीत, मान लीजिए $P(x, y)$ उपरोक्त समीकरण को $0<a<c$ के साथ संतुष्ट करता है। तब

$ y^{2}=b^{2}(\frac{x^{2}-a^{2}}{a^{2}}) $

इसलिए,

$ \begin{aligned} PF_1 & =+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} \\ & =+\sqrt{(x+c)^{2}+b^{2}(\frac{x^{2}-a^{2}}{a^{2}})}=a+\frac{c}{a} x \end{aligned} $

इसी प्रकार, $\quad PF_2=a-\frac{a}{c} x$

अतिशयोक्ति में $c>a$; और चूँकि $P$ रेखा $x=a$ के दाईं ओर है, $x>a, \frac{c}{a} x>a$. इसलिए,

$ a-\frac{c}{a} x \text{ ऋणात्मक हो जाता है। इस प्रकार, } PF_2=\frac{c}{a} x-a \text{। } $

इसलिए $ \quad \quad \quad \quad PF_1-PF_2=a+\frac{c}{a} x-\frac{c x}{a}+a=2 a $

साथ ही, ध्यान दें कि यदि $P$ रेखा $x=-a$ के बाईं ओर है, तब

$ PF_1=-(a+\frac{c}{a} x), PF_2=a-\frac{c}{a} x $

उस स्थिति में $PF_2-PF_1=2 a$. इसलिए, कोई भी बिंदु जो $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ को संतुष्ट करता है, अतिशयोक्ति पर स्थित होता है।

इस प्रकार, हमने सिद्ध किया कि मूल बिंदु $(0,0)$ और अनुप्रस्थ अक्ष $x$-अक्ष के साथ अतिशयोक्ति का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।

नोट - एक अतिशयोक्ति जिसमें $a=b$ होता है उसे समबाहु अतिशयोक्ति कहा जाता है।

चर्चा अतिशयोक्ति के समीकरण से जो हमने प्राप्त किया है, यह अनुसरण करता है कि अतिशयोक्ति पर प्रत्येक बिंदु $(x, y)$ के लिए, $\frac{x^{2}}{a^{2}}=1+\frac{y^{2}}{b^{2}} \geq 1$।

अर्थात्, $|\frac{x}{a}| \geq 1$, अर्थात्, $x \leq-a$ या $x \geq a$. इसलिए, वक्र का कोई भी भाग रेखाओं $x=+a$ और $x=-a$ के बीच नहीं आता है, (अर्थात् अनुबंध अक्ष पर कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं)।

इसी प्रकार, हम आकृति 11.31 (b) में दिखाए गए अतिशयोक्ति (hyperbola) का समीकरण निकाल सकते हैं: $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$ ये दोनों समीकरण अतिशयोक्तियों के मानक समीकरणों के रूप में जाने जाते हैं।

नोट - अतिशयोक्तियों के मानक समीकरणों में अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्ष निर्देशांक अक्ष होते हैं और केंद्र मूल बिंदु पर होता है। हालांकि, किसी भी दो लंबवत रेखाओं को अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्ष मानकर अतिशयोक्तियाँ हो सकती हैं, लेकिन ऐसे मामलों का अध्ययन उच्च कक्षाओं में किया जाएगा।

अतिशयोक्तियों के मानक समीकरणों से (आकृति 10.27), हम निम्नलिखित प्रेक्षण करते हैं:

1. अतिशयोक्ति दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित होती है, क्योंकि यदि $(x, y)$ अतिशयोक्ति पर एक बिंदु है, तो $(-x, y),(x,-y)$ और $(-x,-y)$ भी अतिशयोक्ति पर बिंदु हैं।

2. नाभि हमेशा अनुप्रस्थ अक्ष पर होती हैं। यह धनात्मक पद होता है जिसका हर अनुप्रस्थ अक्ष देता है। उदाहरण के लिए, $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ में अनुप्रस्थ अक्ष $x$-अक्ष के अनुद्र 6 की लंबाई है, जबकि $\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{16}=1$ में अनुप्रस्थ अक्ष $y$-अक्ष के अनुद्र 10 की लंबाई है।

10.6.3 लेटस रेक्टम

परिभाषा 9 अतिशयोक्ति का लेटस रेक्टम एक रेखाखंड होता है जो किसी भी नाभि से होकर अनुप्रस्थ अक्ष पर लंबवत होता है और जिसके अंत्य बिंदु अतिशयोक्ति पर स्थित होते हैं।

दीर्घवृत्त (ellipse) की तरह, यह दिखाना आसान है कि अतिशयोक्ति में लेटस रेक्टम की लंबाई $\frac{2 b^{2}}{a}$ होती है।

उदाहरण 14 अतिपरवलयों की नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, उत्केन्द्रता, लेटस रेक्टम की लंबाई ज्ञात कीजिए:

(i) $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$, (ii) $y^{2}-16 x^{2}=16$

हल (i) समीकरण $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ की मानक समीकरण

$ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $

से तुलना करने पर

यहाँ, $a=3, b=4$ और $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{9+16}=5$

इसलिए, नाभियों के निर्देशांक $( \pm 5,0)$ हैं और शीर्षों के निर्देशांक $( \pm 3,0)$ हैं।साथ ही,

उत्केन्द्रता $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}$। लेटस रेक्टम $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{32}{3}$

(ii) समीकरण को दोनों ओर 16 से विभाजित करने पर, हमें $\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{1}=1$ प्राप्त होता है

समीकरण की मानक समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर, हम पाते हैं कि $a=4, b=1$ और $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$।

इसलिए, नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm \sqrt{17})$ हैं और शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm 4)$ हैं। साथ ही,

उत्केन्द्रता $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{17}}{4}$। लेटस रेक्टम $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{1}{2}$।

उदाहरण 15 उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ $(0, \pm 3)$ और शीर्ष $(0, \pm \frac{\sqrt{11}}{2})$ हैं।

हल चूँकि नाभि y-अक्ष पर है, अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$ के रूप का है

चूँकि शीर्ष $(0, \pm \frac{\sqrt{11}}{2})$ हैं, $a=\frac{\sqrt{11}}{2}$

साथ ही, चूँकि नाभियाँ $(0, \pm 3)$ हैं; $c=3$ और $b^{2}=c^{2}-a^{2}=\frac{25}{4}$।

इसलिए, अतिपरवलय का समीकरण है

$ \frac{y^{2}}{(\frac{11}{4})}-\frac{x^{2}}{(\frac{25}{4})}=1 \text{, अर्थात् } 100 y^{2}-44 x^{2}=275 $

उदाहरण 16 अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकि नाभियाँ $(0, \pm 12)$ हैं और लेटस रेक्टम की लंबाई 36 है।

हल चूँकि नाभियाँ $(0, \pm 12)$ हैं, इसलिए $c=12$ है।

लेटस रेक्टम की लंबाई $=\frac{2 b^{2}}{a}=36$ या $b^{2}=18 a$

$ \begin{aligned} & \text{इसलिए} \quad \quad\quad\quad c^{2}=a^{2}+b^{2} ; \text{ देता है } \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 144=a^{2}+18 a \\ & \text{अर्थात् } \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad a^{2}+18 a-144=0, \\ & \text{इसलिए } \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad a=-24,6 . \end{aligned} $

चूँकि $a$ ऋणात्मक नहीं हो सकता, हम $a=6$ लेते हैं और इसलिए $b^{2}=108$ है।

इसलिए, अभीष्ट अतिपरवलय का समीकरण है $\frac{y^{2}}{36}-\frac{x^{2}}{108}=1$, अर्थात् $3 y^{2}-x^{2}=108$

विविध उदाहरण

उदाहरण 17 एक परabolic दर्पण की नाभि, चित्र 10.31 में दिखाए अनुसार, अपने शीर्ष से $5 cm$ की दूरी पर है। यदि दर्पण $45 cm$ गहरा है, तो दूरी $AB$ ज्ञात कीजिए (चित्र 10.31)।

चित्र 10.31

हल चूँकि फोकस से शीर्ष की दूरी 5 सेमी है, इसलिए a = 5। यदि मूल बिंदु शीर्ष पर लिया जाए और दर्पण का अक्ष धनात्मक x-अक्ष के अनुदिश हो, तो परवलयिक अनुप्रस्थ काट का समीकरण है

$ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad y^{2}=4(5) x=20 x $

ध्यान दें कि $ \quad\quad\quad\quad\quad x=45 . \text{ इस प्रकार } $

$ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad y^{2}=900 $

इसलिए $ \quad\quad\quad\quad\quad\quad y= \pm 30 $

अतः $\quad\quad\quad\quad\quad\quad AB = 2y = 2 \times 30 = 60 \text{सेमी} $।

उदाहरण 18 एक बीम अपने सिरों पर ऐसे सहारों द्वारा टिकाया गया है जो 12 मीटर दूर हैं। चूँकि भार इसके केंद्र पर केंद्रित है, केंद्र पर 3 सेमी का विक्षेप है और विक्षेपित बीम एक परवलय के आकार में है। केंद्र से कितनी दूरी पर विक्षेप 1 सेमी है?

हल मान लीजिए शीर्ष निम्नतम बिंदु पर है और अक्ष ऊर्ध्वाधर है। निर्देशांक अक्ष को चित्र 10.32 में दिखाए अनुसार चुना गया है।

चित्र 10.32

परवलय का समीकरण रूप x^{2}=4 a y लेता है। चूँकि यह बिंदु (6, \frac{3}{100}) से होकर जाता है, हमारे पास (6)^{2}=4 a(\frac{3}{100}) है, अर्थात् a=\frac{36 \times 100}{12}=300 मी

मान लीजिए AB बीम का विक्षेप है जो \frac{1}{100} मी है। B के निर्देशांक (x, \frac{2}{100}) हैं।

$ \begin{aligned} \text{इसलिए } \quad\quad\quad\quad\quad x^{2} & =4 \times 300 \times \frac{2}{100}=24 \\ \text{अर्थात् }\quad\quad\quad\quad\quad x & =\sqrt{24} \quad=2 \sqrt{6} \text{ मीटर } \end{aligned} $

उदाहरण 19 $ एक$ छड़ $AB$ जिसकी लंबाई $15 सेमी$ है, दो निर्देशांक अक्षों के बीच इस प्रकार टिकी है कि अंत बिंदु $A$, $x$-अक्ष पर और अंत बिंदु $B$, $y$-अक्ष पर स्थित है। छड़ पर एक बिंदु $P(x, y)$ इस प्रकार लिया गया है कि $A P=6 सेमी$। दिखाइए कि $P$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।

हल मान लीजिए $AB$ छड़ है जो OX के साथ $\theta$ कोण बनाती है जैसा कि चित्र 10.33 में दिखाया गया है और $P(x, y)$ उस पर स्थित बिंदु है जिससे $\quad AP=6 \text{सेमी}$ है।

चित्र 10.33

$ \begin{aligned} & \text {चूँकि } \quad \quad \quad\quad AB=15 \text{ सेमी, इसलिए हमारे पास } \\ & \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad PB=9 \text{ सेमी है।} \end{aligned} $

$P$ से $PQ$ और $PR$ खींचिए जो क्रमशः $y$-अक्ष और $x$-अक्ष पर लंबवत् हैं।

चित्र से $\quad\quad\quad \quad \Delta PBQ, \cos \theta=\frac{x}{9}$

चित्र से $ \quad\quad\quad \quad \Delta PRA, \sin \theta=\frac{y}{6} $

चूँकि $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$

$ (\frac{x}{9})^{2}+(\frac{y}{6})^{2}=1 $

या $ \quad\quad\quad \quad \frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{36}=1 $

इस प्रकार $P$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।

सारांश

इस अध्याय में निम्नलिखित अवधारणाओं और व्यापकीकरणों का अध्ययन किया जाता है।

एक वृत्त समतल के उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो समतल के एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर होते हैं।

केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण

$ (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} . $

एक परवलय समतल के उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो समतल की एक निश्चित रेखा और एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर होते हैं।

फोकस $(a, 0) a>0$ और निर्देशिका $x=-a$ वाले परवलय का समीकरण

$ y^{2}=4 a x $

परवलय का लेटस रेक्टम एक रेखाखंड है जो परवलय के अक्ष के लंबवत होता है, फोकस से होकर गुजरता है और जिसके अंत्य बिंदु परवलय पर स्थित होते हैं।

परवलय $y^{2}=4 a x$ के लेटस रेक्टम की लंबाई $4 a$ है।

एक दीर्घवृत्त समतल के उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनकी समतल के दो निश्चित बिंदुओं से दूरियों का योग एक स्थिरांक होता है।

दीर्घवृत्त का समीकरण जिसके फोकस $x$-अक्ष पर हैं $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।

दीर्घवृत्त का लेटस रेक्टम एक रेखाखंड है जो प्रमुख अक्ष के लंबवत किसी एक फोकस से होकर गुजरता है और जिसके अंत्य बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित होते हैं।

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लेटस रेक्टम की लंबाई $\frac{2 b^{2}}{a}$ है।

दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता दीर्घवृत्त के केंद्र से एक फोकस तक की दूरी और दीर्घवृत्त के एक शीर्ष तक की दूरी के बीच का अनुपात होता है।

एक अतिपरवलय समतल के उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनकी समतल के दो निश्चित बिंदुओं से दूरियों का अंतर एक स्थिरांक होता है।

$ x $-अक्ष पर नाभियाँ रखने वाले अतिशयोक्ति (hyperbola) का समीकरण है : $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

अतिशयोक्ति का लेटस रेक्टम एक ऐसा रेखाखंड है जो अनुप्रस्थ अक्ष पर लंबवत् किसी नाभि से होकर जाता है और जिसके सिरे अतिशयोक्ति पर स्थित होते हैं।

अतिशयोक्ति $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लेटस रेक्टम की लंबाई है : $\frac{2 b^{2}}{a}$।

अतिशयोक्ति की उत्केन्द्रता (eccentricity) अतिशयोक्ति के केंद्र से एक नाभि की दूरी और एक शीर्ष की दूरी का अनुपात होता है।

ऐतिहासिक टिप्पणी

ज्यामिति गणित की सबसे प्राचीन शाखाओं में से एक है। यूनानी ज्यामितिज्ञों ने कई ऐसे वक्रों के गुणों का अध्ययन किया जिनका सैद्धांतिक और व्यावहारिक महत्व है। यूक्लिड ने लगभग 300 ई.पू. में ज्यामिति पर अपना ग्रंथ लिखा। वे पहले व्यक्ति थे जिन्होंने भौतिक विचारों से सुझाए गए कुछ अभिगृहितों के आधार पर ज्यामितीय आकृतियों को संगठित किया। प्राचीन भारतीयों और यूनानियों ने प्रारंभ में ज्यामिति का अध्ययन किया और उन्होंने बुनियादी रूप से बीजगणित की प्रक्रिया का कोई उपयोग नहीं किया। यूक्लिड और शुल्बसूत्रों आदि द्वारा दिए गए ज्यामिति के संश्लेषणात्मक दृष्टिकोण को लगभग 1300 वर्षों तक जारी रखा गया। 200 ई.पू. में, एपोलोनियस ने ‘द कोनिक’ नामक पुस्तक लिखी जो शंकु-च्छेदों के बारे में थी और जिसमें कई महत्वपूर्ण खोजें थीं जो अठारह शताब्दियों तक अनुपम बनी रहीं।

आधुनिक विश्लेषणात्मक ज्यामिति को ‘कार्तीय’ कहा जाता है, रेने डेकार्ट (1596-1650) के नाम पर, जिसकी प्रासंगिक ‘ला ज्योमेट्री’ 1637 में प्रकाशित हुई थी। लेकिन विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मूलभूत सिद्धांत और विधि की खोज पहले ही पियरे डे फर्मा (1601-1665) कर चुके थे। दुर्भाग्य से, फर्मा की इस विषय पर रचना, जिसका शीर्षक था ‘एड लोकस प्लानोस एट सो लिडोस आइसागोगे’ (समतल और ठोस बिंदुपथों का परिचय), केवल मरणोपरांत 1679 में प्रकाशित हुई। इसलिए, डेकार्ट को विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अद्वितीय आविष्कारक के रूप में माना गया।

आइज़ेक बैरो ने कार्तीय विधि का प्रयोग करने से परहेज किया। न्यूटन ने अनिर्धारित गुणांकों की विधि का प्रयोग वक्रों के समीकरण खोजने के लिए किया। उन्होंने ध्रुवीय और द्विध्रुवीय सहित कई प्रकार के निर्देशांकों का प्रयोग किया। लाइब्निट्ज़ ने ‘अभिस्का’, ‘ऑर्डिनेट’ और ‘निर्देशांक’ शब्दों का प्रयोग किया। एल’ हॉस्पिटल (लगभग 1700) ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति पर एक महत्वपूर्ण पाठ्यपुस्तक लिखी।

क्लेरॉ (1729) ने दूरी सूत्र देने वाले पहले व्यक्ति थे, यद्यपि एक असुविधाजनक रूप में। उन्होंने रैखिक समीकरण का अंतःखंड रूप भी दिया। क्रेमर (1750) ने औपचारिक रूप से दो अक्षों का प्रयोग किया और वृत्त का समीकरण इस रूप में दिया:

$ (y-a)^{2}+(b-x)^{2}=r $

उन्होंने अपने समय की विश्लेषणात्मक ज्यामिति का सर्वोत्तम विवरण प्रस्तुत किया। मोंज (1781) ने रेखा के समीकरण का आधुनिक ‘बिंदु-ढाल’ रूप इस प्रकार दिया:

$ y-y^{\prime}=a(x-x^{\prime}) $

और दो रेखाओं की लंबवत्ता की शर्त इस रूप में दी: $a a^{\prime}+1=0$।

एस.एफ. लैक्रोइक्स (1765-1843) एक प्रचुर पाठ्यपुस्तक लेखक थे, लेकिन विश्लेषणात्मक ज्यामिति में उनके योगदान बिखरे हुए मिलते हैं। उन्होंने रेखा के समीकरण का ‘दो-बिंदु’ रूप इस प्रकार दिया था

$ y-\beta=\frac{\beta^{\prime}-\beta}{\alpha^{\prime}-\alpha}(x-\alpha) $

और बिंदु $(\alpha, \beta)$ से रेखा $y=a x+b$ पर डाले गए लंब की लंबाई इस प्रकार $\frac{(\beta-a-b)}{\sqrt{1+a^{2}}}$।

दो रेखाओं के बीच कोण ज्ञात करने के लिए उनका सूत्र $\tan \theta=(\frac{a^{\prime}-a}{1+a a^{\prime}})$ था। यह, निश्चित रूप से, आश्चर्यजनक है कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की खोज के 150 वर्ष से अधिक समय बाद ऐसे आवश्यक मूलभूत सूत्र की प्रतीक्षा करनी पड़ी। 1818 में, एक सिविल इंजीनियर सी. लैमे ने दो लोकस $E=0$ और $E^{\prime}=0$ के प्रतिच्छेद बिंदुओं से गुजरने वाले वक्र के रूप में $m E+m^{\prime} E^{\prime}=0$ दिया।

गणित और विज्ञान दोनों में कई महत्वपूर्ण खोजें शांकव काटन से जुड़ी हुई हैं। यूनानियों ने विशेष रूप से आर्किमिडीज़ (287-212 ई.पू.) और एपोलोनियस (200 ई.पू.) ने इन शांकव काटन का अध्ययन उनकी सुंदरता के लिए किया। ये वक्र आज के समय में बाह्य अंतरिक्ष की खोज और परमाणु कणों के व्यवहार के अनुसंधान के लिए भी महत्वपूर्ण उपकरण हैं।