गणित सभी विज्ञानों की रानी और दासी दोनों है - ई.टी. बेल

11.1 परिचय

आपको याद होगा कि एक तल में किसी बिंदु की स्थिति ज्ञात करने के लिए हमें तल में दो परस्पर लंबवत् प्रतिच्छेदी रेखाओं की आवश्यकता होती है। इन रेखाओं को निर्देशांक अक्ष कहा जाता है और दो संख्याओं को अक्षों के सापेक्ष बिंदु के निर्देशांक कहा जाता है। वास्तविक जीवन में हमें केवल तल में स्थित बिंदुओं से ही नहीं निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए, समय के विभिन्न बिंदुओं पर अंतरिक्ष में फेंके गए गेंद की स्थिति या एक जगह से दूसरी जगह उड़ते समय विमान की उड़ान के दौरान विभिन्न समयों पर उसकी स्थिति पर विचार करें।

इसी प्रकार, यदि हमें किसी कमरे की छत से लटकते बिजली के बल्ब के सबसे निचले बिंदु या कमरे में लगे पंखे की केंद्रीय नोक का स्थान ज्ञात करना हो, तो हमें न केवल उस बिंदु की कमरे की दो परस्पर लंबवाली दीवारों से लंबवत दूरियाँ चाहिए होंगी, बल्कि बिंदु की फर्श से ऊँचाई भी चाहिए होगी। इसलिए हमें दो नहीं, बल्किन तीन संख्याओं की आवश्यकता होती है, जो बिंदु की तीन परस्पर लंबवाले समतलों—कमरे के फर्श और दो संलग्न दीवारों—से लंबवत दूरियों को दर्शाती हैं। ये तीन संख्याएँ, जो तीन दूरियों को दर्शाती हैं, बिंदु के निर्देशांक कहलाती हैं, जो तीन निर्देशांक समतलों के सापेक्ष होती हैं। इस प्रकार, अंतरिक्ष में एक बिंदु के तीन निर्देशांक होते हैं। इस अध्याय में हम त्रिविमीय अंतरिक्ष में ज्यामिति की मूलभूत संकल्पनाओं का अध्ययन करेंगे।

11.2 त्रिविमीय अंतरिक्ष में निर्देशांक अक्ष और निर्देशांक समतल

तीन समतलों को इस प्रकार विचारें जो बिंदु $O$ पर परस्पर काटते हैं और ये तीनों समतल एक-दूसरे पर लंबवत हैं (चित्र 11.1)। ये तीन समतल रेखाओं $X^{\prime} OX, Y^{\prime} OY$ और $Z^{\prime} OZ$ के साथ काटते हैं, जिन्हें क्रमशः $x, y$ और $z$-अक्ष कहा जाता है। हम ध्यान दें कि ये रेखाएँ एक-दूसरे पर लंबवत हैं। ये रेखाएँ आयताकार निर्देशांक प्रणाली बनाती हैं। समतल XOY, YOZ और ZOX, जिन्हें क्रमशः XY-समतल, YZ-समतल और ZX-समतल कहा जाता है, तीन निर्देशांक समतलों के रूप में जाने जाते हैं। हम XOY समतल को कागज के समतल के रूप में लेते हैं और

चित्र 11.1 में रेखा $Z^{\prime} OZ$ समतल $XOY$ पर लंबवत है। यदि कागज़ का समतल क्षैतिज माना जाए, तो रेखा $Z^{\prime} OZ$ ऊध्र्वाधर होगी। XY-समतल से ऊपर OZ की दिशा में मापी गई दूरियों को धनात्मक लिया जाता है और OZ$^{\prime}$ की दिशा में नीचे मापी गई दूरियों को ऋणात्मक लिया जाता है। इसी प्रकार, ZX-समतल के दायीं ओर OY के साथ मापी गई दूरी को धनात्मक, ZX-समतल के बायीं ओर और OY$^{\prime}$ के साथ मापी गई दूरी को ऋणात्मक, YZ-समतल के सामने OX के साथ मापी गई दूरी को धनात्मक और इसके पीछे OX$^{\prime}$ के साथ मापी गई दूरी को ऋणात्मक लिया जाता है। बिंदु O को निर्देशांक तंत्र का मूलबिंदु कहा जाता है। तीन निर्देशांक समतल अंतरिक्ष को आठ भागों में विभाजित करते हैं जिन्हें अष्टक कहा जाता है। इन अष्टकों को $XOYZ, X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY Y, XOY ’ Z, XOYZ$, $X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY^{\prime} Z^{\prime}$ और $XOY^{\prime} Z^{\prime}$ नाम दिया जा सकता है और क्रमशः I, II, III, …, VIII द्वारा निरूपित किया जाता है।

11.3 अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक

अंतरिक्ष में निर्देशांक अक्षों, निर्देशांक समतलों और मूलबिंदु से युक्त एक निश्चित निर्देशांक तंत्र चुनने के बाद, हम अब समझाते हैं कि किस प्रकार अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु के साथ हम तीन निर्देशांक $(x, y, z)$ संबद्ध करते हैं और इसके विपरीत, तीन संख्याओं की तिकड़ी $(x, y, z)$ दिए जाने पर हम अंतरिक्ष में बिंदु कैसे स्थिर करते हैं।

आकृति 11.2

किसी बिंदु P को अंतरिक्ष में दिया गया है, हम XY-तल पर एक लंब PM डालते हैं जिसमें M इस लंब का पाद है (आकृति 11.2)। फिर, बिंदु M से, हम x-अक्ष पर एक लंब ML खींचते हैं, जो इसे L पर मिलता है। मान लीजिए OL = x, LM = y और MP = z है। तब x, y और z को क्रमशः बिंदु P के x, y और z निर्देशांक कहा जाता है अंतरिक्ष में। आकृति 11.2 में, हम देख सकते हैं कि बिंदु P(x, y, z) अष्टक XOYZ में स्थित है और इसलिए सभी x, y, z धनात्मक हैं। यदि P किसी अन्य अष्टक में होता, तो x, y और z के चिह्न तदनुसार बदल जाते। इस प्रकार, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु P के अनुरूप वास्तविक संख्याओं का एक क्रमबद्ध त्रिक (x, y, z) होता है।

विपरीत रूप से, किसी भी त्रिक (x, y, z) को देने पर, हम पहले x-अक्ष पर बिंदु L को x के अनुरूप स्थिर करेंगे, फिर XY-तल में बिंदु M को इस प्रकार स्थित करेंगे कि (x, y) बिंदु M के XY-तल में निर्देशांक हों। ध्यान दें कि LM, x-अक्ष पर लंब है या y-अक्ष के समानांतर है। बिंदु M तक पहुंचने के बाद, हम XY-तल पर एक लंब MP खींचते हैं और उस पर z के अनुरूप बिंदु P को स्थित करते हैं। इस प्रकार प्राप्त बिंदु P के निर्देशांक (x, y, z) होंगे। इस प्रकार, अंतरिक्ष के बिंदुओं और वास्तविक संख्याओं के क्रमबद्ध त्रिक (x, y, z) के बीच एक-से-एक संगति होती है।

वैकल्पिक रूप से, बिंदु $P$ से स्थान में तीन समतल खींचते हैं जो निर्देशांक समतलों के समानांतर हैं, जो क्रमशः $x$-अक्ष, $y$-अक्ष और $z$-अक्ष को बिंदुओं $A, B$ और $C$ पर मिलते हैं (चित्र 11.3)। मान लीजिए $OA=x, OB=y$ और $OC=z$ है। तब, बिंदु $P$ के निर्देशांक $x, y$ और $z$ होंगे और हम $P(x, y, z)$ लिखते हैं। इसके विपरीत, दिए गए $x, y$ और $z$ से, हम तीनों निर्देशांक अक्षों पर बिंदुओं $A, B$ और $C$ को स्थित करते हैं। बिंदुओं $A, B$ और $C$ से हम क्रमशः YZ-समतल, ZX-समतल और XY-समतल के समानांतर समतल खींचते हैं,

चित्र 11.3

क्रमशः। इन तीन समतलों, अर्थात् ADPF, BDPE और CEPF के प्रतिच्छेदन बिंदु स्पष्ट रूप से बिंदु $P$ है, जो क्रमबद्ध त्रय $(x, y, z)$ के अनुरूप है। हम देखते हैं कि यदि $P(x, y, z)$ स्थान में कोई बिंदु है, तो $x, y$ और $z$ क्रमशः YZ, ZX और XY समतलों से लंबवत दूरियां हैं।

नोट - मूल बिंदु $O$ के निर्देशांक $(0,0,0)$ हैं। $x$-अक्ष पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(x, 0,0)$ होंगे और YZ-समतल में किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(0, y, z)$ होंगे।

टिप्पणी किसी बिंदु के निर्देशांकों का चिह्न निर्धारित करता है कि बिंदु किस अष्टांश में स्थित है। निम्न तालिका आठ अष्टांशों में निर्देशांकों के चिह्न दिखाती है।

तालिका 11.1

उदाहरण 1 चित्र 11.3 में, यदि $P$ बिंदु $(2,4,5)$ है, तो $F$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल बिंदु $F$ के लिए, OY के अनुदूर मापी गई दूरी शून्य है। इसलिए, $F$ के निर्देशांक $(2,0,5)$ हैं।

उदाहरण 2 वे अष्टांश ज्ञात कीजिए जिनमें बिंदु $(-3,1,2)$ और $(-3,1,-2)$ स्थित हैं।

हल तालिका 11.1 से, बिंदु $(-3,1,2)$ द्वितीय अष्टांश में तथा बिंदु $(-3,1,-2)$ षष्ठ अष्टांश में स्थित है।

11.4 दो बिंदुओं के बीच की दूरी

हमने द्वि-आयामी निर्देशांक तंत्र में दो बिंदुओं के बीच की दूरी का अध्ययन किया है। आइए अब इसे त्रि-आयामी तंत्र तक बढ़ाएँ।

मान लीजिए $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ दो बिंदु आयताकार अक्षों $OX, OY$ और $OZ$ के संदर्भ में हैं। बिंदुओं $P$ और $Q$ से समन्वय समतलों के समांतर समतल खींचिए ताकि एक आयताकार समांतरषट्फलक बन जाए जिसका एक विकर्ण PQ है (चित्र 11.4)।

चित्र 11.4

अब, चूँकि $\angle PAQ$ एक समकोण है, त्रिभुज PAQ में,

$ PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(1) $

साथ ही, त्रिभुज ANQ समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle ANQ$ समकोण है।

इसलिए $\quad\quad\quad AQ^{2}=AN^{2}+NQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(2)$

(1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है

$$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{AN}^{2}+\mathrm{NQ}^{2} $

अब $\quad\quad\quad\mathrm{PA}=y _{2}-y _{1}, \mathrm{AN}=x _{2}-x _{1}$ और $\mathrm{NQ}=z _{2}-z _{1}$

इसलिए $\quad\quad\quad\mathrm{PQ}^{2}=\left(x _{2}-x _{1}\right)^{2}+\left(y _{2}-y _{1}\right)^{2}+\left(z _{2}-z _{1}\right)^{2}$

अतः $\quad\quad\quad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

यह हमें दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी देता है।

विशेष रूप से, यदि $x_1=y_1=z_1=0$, अर्थात् बिंदु $P$ मूल बिंदु $O$ है, तो $OQ=\sqrt{x_2{ }^{2}+y_2{ }^{2}+z_2{ }^{2}}$, जो मूल बिंदु $O$ और किसी भी बिंदु $Q(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी देता है।

उदाहरण 3 बिंदुओं $P(1,-3,4)$ और $Q(-4,1,2)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल बिंदुओं $P(1,-3,4)$ और $Q(-4,1,2)$ के बीच की दूरी PQ

$ \begin{aligned} PQ & =\sqrt{(-4-1)^{2}+(1+3)^{2}+(2-4)^{2}} \\ & =\sqrt{25+16+4} \\ & =\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \text{ इकाई } \end{aligned} $

उदाहरण 4 दिखाइए कि बिंदु $P(-2,3,5)$, $Q(1,2,3)$ और $R(7,0,-1)$ संरेख हैं।

हल हम जानते हैं कि बिंदु तब संरेख कहे जाते हैं जब वे एक रेखा पर हों।

अब,

$ \begin{aligned} & PQ=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} \ & QR=\sqrt{(7-1)^{2}+(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}=2\sqrt{14} \end{aligned} $

और

$ PR=\sqrt{(7+2)^{2}+(0-3)^{2}+(-1-5)^{2}}=\sqrt{81+9+36}=\sqrt{126}=3\sqrt{14} $

इस प्रकार, $PQ+QR=PR$। अतः, $P$, $Q$ और $R$ संरेखीय हैं।

उदाहरण 5 क्या बिंदु A $(3,6,9)$, B$(10,20,30)$ और C $(25,-41,5)$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं?

हल दूरी सूत्र द्वारा, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} AB^{2} & =(10-3)^{2}+(20-6)^{2}+(30-9)^{2} \ & =49+196+441=686 \ BC^{2} & =(25-10)^{2}+(-41-20)^{2}+(5-30)^{2} \ & =225+3721+625=4571 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} CA^{2} & =(3-25)^{2}+(6+41)^{2}+(9-5)^{2} \ & =484+2209+16=2709 \end{aligned} $

हम पाते हैं कि $\quad \quad\quad CA^{2}+AB^{2} \neq BC^{2}$।

अतः, त्रिभुज $ABC$ समकोण त्रिभुज नहीं है।

उदाहरण 6 बिंदुओं $P$ के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जैसे कि $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$, जहाँ $A$ और $B$ बिंदु $(3,4,5)$ और $(-1,3,-7)$ हैं, क्रमशः।

हल माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।

यहाँ

$ \begin{aligned} & PA^{2}=(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2} \ & PB^{2}=(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2} \end{aligned} $

दी गई शर्त $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$ द्वारा, हमें प्राप्त होता है

$ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}+(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2}=2 k^{2} \ \text{ अर्थात् } \quad 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-4 x-14 y+4 z=2 k^{2}-109 . $

विविध उदाहरण

उदाहरण 7 दिखाइए कि बिंदु A $(1,2,3)$, B (-1, -2, -1), C (2, 3, 2) और $D(4,7,6)$ एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष हैं, लेकिन यह आयत नहीं है।

हल यह दिखाने के लिए कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, हमें यह दि�ाना होगा कि विपरीत भुजाएं बराबर हैं। ध्यान दें कि

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & BC=\sqrt{(2+1)^{2}+(3+2)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \\ & CD=\sqrt{(4-2)^{2}+(7-3)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & DA=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-7)^{2}+(3-6)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \end{aligned} $

चूँकि $A B=C D$ और $B C=A D, A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है।

अब, यह सिद्ध करना आवश्यक है कि $ABCD$ आयत नहीं है। इसके लिए, हम दिखाते हैं कि विकर्ण $AC$ और $BD$ असमान हैं। हमारे पास

$ \begin{aligned} & AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \\ & BD \quad=\sqrt{(4+1)^{2}+(7+2)^{2}+(6+1)^{2}}=\sqrt{25+81+49}=\sqrt{155} . \end{aligned} $

चूँकि $A C \neq B D, A B C D$ आयत नहीं है।

नोट - हम यह भी दिखा सकते हैं कि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है, इस गुणधर्म का उपयोग करके कि विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

उदाहरण 8 उन बिंदुओं $P$ के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिससे उसकी बिंदुओं $A(3,4,-5)$ और $B(-2,1,4)$ से दूरियाँ बराबर हों।

हल यदि $P(x, y, z)$ कोई ऐसा बिंदु है कि $PA=PB$।

अब $\sqrt{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}} = \sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}}$

या $\quad\quad (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}=(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}$

या $\quad \quad 10 x+6 y-18 z-29=0$।

उदाहरण 9 एक त्रिभुज ABC का केन्द्रक बिंदु $(1,1,1)$ पर है। यदि A और B के निर्देशांक क्रमशः $(3,-5,7)$ और $(-1,7,-6)$ हैं, तो बिंदु C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल माना C के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं और केन्द्रक G के निर्देशांक $(1,1,1)$ हैं। तब

इसलिए $\quad \frac{x+3-1}{3}=1$, या $x=1$ $ \begin{array}{ll} \frac{y-5+7}{3}=1, & \text { या } y=1 \\ \frac{z+7-6}{3}=1, & \text { या } z=2 . \end{array} $

अतः, C के निर्देशांक $(1,1,2)$ हैं।

सारांश

त्रि-आयाम में, आयताकार कार्तीय निर्देशांक तंत्र की निर्देशांक अक्ष तीन परस्पर लंब रेखाएँ होती हैं। इन्हें $x$, $y$ और $z$-अक्ष कहा जाता है।

अक्षों के युग्मों द्वारा निर्धारित तीन समतल निर्देशांक समतल होते हैं, जिन्हें XY, YZ और ZX-समतल कहा जाता है।

तीन निर्देशांक समतल अंतरिक्ष को आठ भागों में विभाजित करते हैं, जिन्हें अष्टांत कहा जाता है। त्रि-आयामी ज्यामिति में किसी बिंदु P के निर्देशांक हमेशा त्रिक $(x, y, z)$ के रूप में लिखे जाते हैं। यहाँ $x, y$ और $z$, YZ, ZX और XY-समतलों से दूरियाँ हैं।

(i) $x$-अक्ष पर कोई भी बिंदु $(x, 0,0)$ के रूप का होता है

(ii) $y$-अक्ष पर कोई भी बिंदु $(0, y, 0)$ के रूप का होता है

(iii) $z$-अक्ष पर कोई भी बिंदु $(0,0, z)$ के रूप का होता है।

दो बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

द्वारा दी जाती है।

ऐतिहासिक टिप्पणी

रेन देकार्त (1596-1650), विश्लेषणात्मक ज्यामिति के जनक, ने मूलतः 1637 में केवल समतलीय ज्यामिति से काम किया। यही बात उनके सह-आविष्कारक पियरे फर्मा (1601-1665) और ला हायर (1640-1718) पर भी लागू होती है। यद्यपि त्रि-आयामी निर्देशांक ज्यामिति के सुझाव उनके कार्यों में पाए जा सकते हैं, परंतु कोई विवरण नहीं है। देकार्त के पास तीन आयामों में निर्देशांकों का विचार था, परंतु उसे विकसित नहीं किया। जे. बर्नौली (1667-1748) ने 1715 में लाइबनिट्ज़ को लिखे एक पत्र में तीन निर्देशांक समतलों का परिचय दिया, जिनका हम आज उपयोग करते हैं। यह एंट्वान पेरेंट (1666-1716) थे, जिन्होंने 1700 में फ्रेंच अकादमी में प्रस्तुत एक पत्र में पहली बार विश्लेषणात्मक ठोस ज्यामिति का एक व्यवस्थित विकास प्रस्तुत किया।

एल. यूलर (1707-1783) ने त्रि-आयामी निर्देशांक ज्यामिति को व्यवस्थित रूप से अपनाया, 1748 में अपनी “ज्यामिति का परिचय” के दूसरे खंड की परिशिष्ट में अध्याय 5 में।

19वीं सदी के मध्य तक प्रतीक्षा नहीं की गई जब तक कि ज्यामिति को तीन से अधिक आयामों तक नहीं बढ़ाया गया, जिसका प्रसिद्ध अनुप्रयोग आइंस्टीन के सापेक्षता सिद्धांत के स्पेस-टाइम कॉन्टिन्यूअम में है।