जहाँ गणितीय तर्क प्राप्त हो सके, वहाँ किसी अन्य तर्क का प्रयोग करना उतना ही बड़ी मूर्खता है, जितनी मोमबत्ती हाथ में होते हुए अंधेरे में किसी वस्तु को टटोलना। - जॉन अर्बथनॉट

14.1 घटना

हमने यादृच्छिक प्रयोग और प्रयोग से संबद्ध प्रतिदर्श समष्टि के बारे में पढ़ा है। प्रतिदर्श समष्टि प्रयोग से संबंधित सभी प्रश्नों के लिए एक सार्वत्रिक समष्टि का कार्य करती है।

एक सिक्के को दो बार उछालने के प्रयोग पर विचार करें। इससे संबद्ध एक प्रतिदर्श समष्टि है $S=\{HH, HT, TH, TT\}$।

अब मान लीजिए कि हम उन परिणामों में रुचि रखते हैं जिनमें ठीक एक चित आने की घटना होती है। हम पाते हैं कि $HT$ और $TH$ ही ऐसे तत्व हैं जो इस घटना के होने से संगत हैं। ये दोनों तत्व समष्टि $E=\{HT, TH\}$ बनाते हैं।

हम जानते हैं कि समष्टि $E$ प्रतिदर्श समष्टि $S$ की एक उपसमष्टि है। इसी प्रकार, हम निम्नलिखित संगति पाते हैं घटनाओं और $S$ की उपसमष्टियों के बीच।

घटनाओं का वर्णन	‘S’ की संगत उपसमष्टि
पूंछों की संख्या ठीक 2 है	$\mathrm{A}=\{\mathrm{TT}\}$
पूंछों की संख्या कम-से-कम एक है	$\mathrm{B}=\{\mathrm{HT}, \mathrm{TH}, \mathrm{TT}\}$
चितों की संख्या अधिकतम एक है	$\mathrm{C}=\{\mathrm{HT}, \mathrm{TH}, \mathrm{TT}\}$
दूसरी उछाल चित नहीं है	$\mathrm{D}=\{\mathrm{HT}, \mathrm{TT}\}$
पूंछों की संख्या अधिकतम दो है	$\mathrm{S}=\{\mathrm{HH}, \mathrm{HT}, \mathrm{TH}, \mathrm{TT}\}$
पूंछों की संख्या दो से अधिक है	$\phi$

उपर्युक्त चर्चा सुझाती है कि प्रतिदर्श समष्टि का एक उपसमुच्चय एक घटना से संबद्ध होता है और एक घटना प्रतिदर्श समष्टि के उपसमुच्चय से संबद्ध होती है। इस प्रकाश में हम घटना को इस प्रकार परिभाषित करते हैं।

परिभाषा प्रतिदर्श समष्टि (S) का कोई भी उपसमुच्चय (E) एक घटना कहलाता है।

14.1.1 घटना की घटना

पासे को फेंकने के प्रयोग पर विचार करें। मान लें (E) घटना को “4 से कम संख्या प्रकट होती है” दर्शाता है। यदि वास्तव में पासे पर ‘1’ प्रकट होता है तो हम कहते हैं कि घटना (E) घटित हुई है। वास्तव में यदि परिणाम 2 या 3 हैं, तो हम कहते हैं कि घटना (E) घटित हुई है।

इस प्रकार, प्रतिदर्श समष्टि (S) की घटना (E) को घटित हुआ कहा जाता है यदि प्रयोग का परिणाम (\omega) इस प्रकार है कि (\omega \in E)। यदि परिणाम (\omega) इस प्रकार है कि (\omega \notin E), तो हम कहते हैं कि घटना (E) नहीं घटी है।

14.1.2 घटनाओं के प्रकार

घटनाओं को उनके तत्वों के आधार पर विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है।

1. असंभव और निश्चित घटनाएं रिक्त समुच्चय (\phi) और प्रतिदर्श समष्टि (S) घटनाओं का वर्णन करते हैं। वास्तव में (\phi) को असंभव घटना कहा जाता है और (S), अर्थात् संपूर्ण प्रतिदर्श समष्टि को निश्चित घटना कहा जाता है।

इनको समझने के लिए पासे को घुमाने के प्रयोग पर विचार करें। संबद्ध प्रतिदर्श समष्टि है $ S=\{1,2,3,4,5,6\} $

मान लें (E) घटना को “पासे पर प्रकट संख्या 7 का गुणज है” दर्शाता है। क्या आप घटना (E) से संबद्ध उपसमुच्चय लिख सकते हैं?

स्पष्टतः कोई भी परिणाम घटना में दी गई शर्त को संतुष्ट नहीं करता है, अर्थात् प्रतिदर्श समष्टि का कोई भी अवयव घटना $E$ की घटना को सुनिश्चित नहीं करता है। इस प्रकार, हम कहते हैं कि खाली समुच्चय केवल घटना $E$ से संगत है। दूसरे शब्दों में हम कह सकते हैं कि पासे के ऊपरी फलक पर 7 का गुणज होना असंभव है। इस प्रकार, घटना $E=\phi$ एक असंभव घटना है।

अब हम एक अन्य घटना $F$ “संख्या विषम या सम है” लेते हैं। स्पष्टतः $F=\{1,2,3,4,5,6\}=,S$, अर्थात् प्रयोग के सभी परिणाम घटना $F$ की घटना को सुनिश्चित करते हैं। इस प्रकार, घटना $F=S$ एक निश्चित घटना है।

2. सरल घटना यदि कोई घटना $E$ प्रतिदर्श समष्टि का केवल एक प्रतिदर्श बिंदु रखती है, तो इसे सरल (या प्राथमिक) घटना कहा जाता है। एक प्रतिदर्श समष्टि में $n$ भिन्न अवयव होने पर, ठीक $n$ सरल घटनाएँ होती हैं।

उदाहरण के लिए दो सिक्के उछालने के प्रयोग में, एक प्रतिदर्श समष्टि है

$$ S=\{HH, HT, TH, TT\} $$

इस प्रतिदर्श समष्टि के अनुरूप चार सरल घटनाएँ हैं। ये हैं

$$ E_1=\{HH\}, E_2=\{HT\}, E_3=\{TH\} \text{ और } E_4=\{TT\} $$

3. यौगिक घटना यदि किसी घटना में एक से अधिक प्रतिदर्श बिंदु हों, तो इसे यौगिक घटना कहा जाता है

उदाहरण के लिए, “एक सिक्के को तीन बार उछालने” के प्रयोग में घटनाएँ

E: ‘ठीक एक चेहरा प्रकट हुआ’

F: ‘कम से कम एक चेहरा प्रकट हुआ’

G: ‘अधिकतम एक चेहरा प्रकट हुआ’ आदि

सभी यौगिक घटनाएँ हैं। इन घटनाओं से संबद्ध $S$ के उपसमुच्चय हैं

$ \begin{aligned} & E=\{HTT, THT, TTH\} \\ & F=\{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH\} \\ & G=\{TTT, \text{ THT, HTT, TTH }\} \end{aligned} $

उपरोक्त प्रत्येक उपसमुच्चय एक से अधिक प्रतिदर्श बिंदुओं को समाहित करते हैं, इसलिए ये सभी संयुक्त घटनाएँ हैं।

14.1.3 घटनाओं का बीजगणित

समुच्चय वाले अध्याय में हमने दो या दो से अधिक समुच्चयों को मिलाने की विभिन्न विधियों—सम्मिलन, सर्वनिष्ठ, अंतर, समुच्चय का पूरक आदि—के बारे में पढ़ा है। इसी प्रकार हम दो या दो से अधिक घटनाओं को तुल्य समुच्चय संकेतों का प्रयोग करके मिला सकते हैं।

मान लीजिए A, B, C किसी प्रयोग से संबद्ध घटनाएँ हैं जिसका प्रतिदर्श समष्टि S है।

1. पूरक घटना प्रत्येक घटना A के अनुरूप एक अन्य घटना $A^{\prime}$ होती है जिसे A की पूरक घटना कहा जाता है। इसे ‘A नहीं’ घटना भी कहते हैं।

उदाहरण के लिए, ‘तीन सिक्के उछालना’ प्रयोग लीजिए। इसकी संबद्ध प्रतिदर्श समष्टि है $ S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

मान लीजिए $A=\{HTH, HHT, THH\}$ वह घटना है जिसमें ‘केवल एक पूंछ प्रकट होती है’। स्पष्ट है कि परिणाम HTT के लिए घटना A घटित नहीं हुई। पर हम यह कह सकते हैं कि ‘A नहीं’ घटना घटित हुई है। इस प्रकार प्रत्येक परिणाम जो A में नहीं है, उसके साथ हम कहते हैं कि ‘A नहीं’ घटित हुई है।

इस प्रकार घटना A की पूरक घटना ‘A नहीं’ है

$ A^{\prime}=\{HHH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

या $ \quad \quad \quad \quad A^{\prime}=\{\omega: \omega \in S \text{और} \omega \notin A\}=S-A . $

2. घटना ‘A या B’ याद कीजिए कि दो समुच्चयों A और B का संघ, जिसे A $\cup$ B द्वारा दर्शाया जाता है, उन सभी अवयवों को सम्मिलित करता है जो या तो A में हैं या B में हैं या दोनों में हैं।

जब समुच्चय $A$ और $B$ किसी प्रतिदर्श समष्टि से संबद्ध दो घटनाएँ हों, तब ‘A $\cup B$ ’ वह घटना है ‘या तो $A$ या $B$ या दोनों’। इस घटना ‘A $\cup B$ ’ को ‘A या B’ भी कहा जाता है। इसलिए

$ \begin{aligned} \text{ घटना }^{\prime} A \text{ या } B^{\prime} & =A \cup B \\ & =\{\omega: \omega \in A \text{ या } \omega \in B\} \end{aligned} $

3. घटना ‘A और B’ हम जानते हैं कि दो समुच्चयों का सर्वनिष्ठ $A \cap B$ वह समुच्चय है जिन अवयवों में A और B दोनों सामान्य हों, अर्थात् जो ‘A और B’ दोनों से संबंधित हों।

यदि $A$ और $B$ दो घटनाएँ हैं, तो समुच्चय $A \cap B$ घटना ‘$A$ और $B$ ’ को दर्शाता है।

इस प्रकार, $ \quad A \cap B=\{\omega: \omega \in A और \omega \in B\} $

उदाहरण के लिए, ‘एक पासे को दो बार फेंकने’ के प्रयोग में मान लीजिए $A$ घटना है ‘पहली बार में अंक छह आना’ और B घटना है ‘दोनों अंकों का योग कम-से-कम 11 होना’ तब

$ A=\{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}, \text{ और } B=\{(5,6),(6,5),(6,6)\} $

इसलिए $\quad A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$

ध्यान दीजिए कि समुच्चय $A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$ घटना ‘पहली बार में अंक छह आना और दोनों अंकों का योग कम-से-कम 11 होना’ को दर्शा सकता है।

4. घटना ‘A लेकिन B नहीं’ हम जानते हैं कि A-B वह सभी अवयवों का समुच्चय है जो A में हैं लेकिन B में नहीं। इसलिए, समुच्चय A-B घटना ‘A लेकिन B नहीं’ को दर्शा सकता है। हम जानते हैं कि $ A-B=A \cap B^{\prime} $

उदाहरण 1 एक पासे को फेंकने के प्रयोग पर विचार करें। मान लीजिए A घटना ‘एक अभाज्य संख्या प्राप्त करना’, B घटना ‘एक विषम संख्या प्राप्त करना’ है। उन समुच्चयों को लिखिए जो घटनाओं को दर्शाते हैं (i) A या B (ii) A और B (iii) A लेकिन B नहीं (iv) ‘A नहीं’।

हल यहाँ $\quad S=\{1,2,3,4,5,6\}, A=\{2,3,5\}$ और $B=\{1,3,5\}$

स्पष्टतया

(i) ‘A या $B ‘=A \cup B=\{1,2,3,5\}$

(ii) ’ $A$ और $B ‘=A \cap B=\{3,5\}$

(iii) ‘A लेकिन $B$ नहीं’ $=A-B=\{2\}$

(iv) ’ $A$ नहीं’ $=A^{\prime}=\{1,4,6\}$

14.1.4 परस्पर्पवर्जी घटनाएँ

एक पासे को फेंकने के प्रयोग में, एक प्रतिदर्श समष्टि $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ है। घटनाओं पर विचार करें, $A$ ‘एक विषम संख्या प्रकट होती है’ और $B$ ‘एक सम संख्या प्रकट होती है’

स्पष्ट है कि घटना A घटना B को बाहर करती है और इसका विपरीत भी सत्य है। दूसरे शब्दों में, ऐसा कोई परिणाम नहीं है जो घटनाओं A और B की एक साथ घटना को सुनिश्चित करे। यहाँ

$A=\{1,3,5\}$ और $B=\{2,4,6\}$

स्पष्ट है कि $A \cap B=\phi$, अर्थात् $A$ और B असंयुक्त समुच्चय हैं।

सामान्यतया, दो घटनाएँ $A$ और B परस्पर्पवर्जी घटनाएँ कहलाती हैं यदि उनमें से किसी एक की घटना दूसरे की घटना को बाहर कर देती है, अर्थात् यदि वे एक साथ घटित नहीं हो सकतीं। इस स्थिति में समुच्चय A और B असंयुक्त होते हैं।

फिर से पासे को फेंकने के प्रयोग में, घटनाओं A ‘एक विषम संख्या आती है’ और घटना $B$ ‘4 से कम संख्या आती है’ पर विचार करें।

स्पष्ट है कि $A=\{1,3,5\}$ और $B=\{1,2,3\}$

अब $3 \in A$ के साथ-साथ $3 \in B$ भी है

इसलिए, A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ नहीं हैं।

टिप्पणी प्रतिदर्श समष्टि की सरल घटनाएँ हमेशा परस्पर अपवर्जी होती हैं।

14.1.5 निकायपूर्ण घटनाएँ

पासे को फेंकने के प्रयोग पर विचार करें। हमारे पास $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ है। आइए निम्नलिखित घटनाओं को परिभाषित करें

A: ‘4 से कम संख्या आती है’,

B: ‘2 से अधिक परंतु 5 से कम संख्या आती है’

और C: ‘4 से अधिक संख्या आती है’।

तब $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ और $C=\{5,6\}$। हम देखते हैं कि

$$ A \cup B \cup C=\{1,2,3\} \cup\{3,4\} \cup\{5,6\}=S . $$

इस प्रकार की घटनाएँ $A, B$ और $C$ निकायपूर्ण घटनाएँ कहलाती हैं। सामान्यतः, यदि $E_1, E_2, \ldots, E_n$ प्रतिदर्श समष्टि $S$ की $n$ घटनाएँ हैं और यदि

$$ E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \ldots \cup E_n=\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S $$

तो $E_1, E_2, \ldots, E_n$ को निकायपूर्ण घटनाएँ कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, घटनाएँ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ निकायपूर्ण कही जाती हैं यदि प्रयोग किए जाने पर उनमें से कम-से-कम एक घटना अवश्य घटित होती है।

आगे, यदि $E_i \cap E_j=\phi$ जहाँ $i \neq j$ अर्थात् घटनाएँ $E_i$ और $E_j$ युग्मवार असंयुक्त हैं और $\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S$, तो घटनाएँ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ को परस्पर अपवर्जी और निकायपूर्ण घटनाएँ कहा जाता है।

अब हम कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं।

उदाहरण 2 दो पासे फेंके जाते हैं और पासों पर आने वाले अंकों का योग नोट किया जाता है। आइए इस प्रयोग से जुड़ी निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें

A: ‘योग सम है’।

B: ‘योग 3 का गुणज है’।

C: ‘योग 4 से कम है’।

$D$ : ‘योग 11 से अधिक है’।

इन घटनाओं में से कौन-से युग्म परस्पर अपवर्जी हैं?

हल प्रतिदर्श समष्टि में 36 अवयव हैं $S=\{(x, y): x, y=1,2,3,4,5,6\}$।

तब $ A= \{(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)\} $

$ B= \{(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(3,3),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4), (6,6)\} $

$ C= \{(1,1),(2,1),(1,2)\} \text{ और } D=\{(6,6)\} $

हम पाते हैं कि

$ A \cap B=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)\} \neq \phi $

इसलिए, $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ नहीं हैं।

इसी प्रकार $A \cap C \neq \phi, A \cap D \neq \phi, B \cap C \neq \phi$ और $B \cap D \neq \phi$।

इस प्रकार, घटनाओं के युग्म, $(A, C),(A, D),(B, C),(B, D)$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ नहीं हैं।

साथ ही $C \cap D=\phi$ और इसलिए $C$ और $D$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं।

उदाहरण 3 एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है, निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें। प्रकट होता है’।

$\mathrm{A}$ : ‘कोई सिर नहीं प्रकट होता’, $\mathrm{B}$ : ‘ठीक एक सिर प्रकट होता’ और $\mathrm{C}$ : ‘कम से कम दो सिर

क्या ये परस्पर अपवर्जी और परिस्थापी घटनाओं का समुच्चय बनाते हैं?

हल प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि है

$S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \}$

और $A=\{TTT\}, B=\{HTT, THT, TTH\}, C=\{HHT, HTH, THH, HHH\}$

अब $\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}=\{\mathrm{TTT}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HHH}\}=\mathrm{S}$

इसलिए, $A, B$ और $C$ परिसमाप्त घटनाएँ हैं।

इसके अतिरिक्त, $\quad A \cap B=\phi, A \cap C=\phi$ और $B \cap C=\phi$

इसलिए, घटनाएँ युग्मतः असंयुक्त हैं, अर्थात् वे परस्पर अपवर्जी हैं।

अतः A, B और C परस्पर अपवर्जी और परिसमाप्त घटनाओं का एक समुच्चय बनाती हैं।

14.2 प्रायिकता की अभिगृहीति दृष्टिकोण

पिछले खंडों में, हमने यादृच्छिक प्रयोग, प्रतिदर्श समष्टि और इन प्रयोगों से संबद्ध घटनाओं पर विचार किया है। हम अपने दैनिक जीवन में घटनाओं की घटने की संभावनाओं के बारे में कई शब्द प्रयोग करते हैं। प्रायिकता सिद्धांत इन घटनाओं के घटने या न घटने की संभावनाओं को मात्रात्मक रूप देने का प्रयास करता है।

पिछली कक्षाओं में, हमने कुछ विधियाँ अध्ययन की हैं जिनके द्वारा किसी प्रयोग से संबद्ध घटना को प्रायिकता प्रदान की जाती है, जब प्रयोग के कुल परिणामों की संख्या ज्ञात हो।

अभिगृहीति दृष्टिकोण किसी घटना की प्रायिकता वर्णित करने का एक अन्य तरीका है। इस दृष्टिकोण में प्रायिकताएँ प्रदान करने के लिए कुछ अभिगृहित या नियम निर्धारित किए जाते हैं।

मान लीजिए $S$ किसी यादृच्छिक प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि है। प्रायिकता $P$ एक वास्तविक मान फलन है जिसका प्रांत $S$ की सामर्थ समष्टि है और परिसर अंतराल $[0,1]$ है, जो निम्नलिखित अभिगृहितों को संतुष्ट करता है

$\begin{matrix} \text{ (i) किसी भी घटना } E \text{ के लिए}, P(E) \geq 0 & \text{ (ii) } P(S)=1\end{matrix} $

(iii) यदि $E$ और $F$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, तो $P(E \cup F)=P(E)+P(F)$।

(iii) से यह सिद्ध होता है कि $P(\phi)=0$। इसे सिद्ध करने के लिए हम $F=\phi$ लेते हैं और यह देखते हैं कि $E$ और $\phi$ असंयुक्त घटनाएँ हैं। इसलिए, अभिगृहित (iii) से हमें मिलता है

$ P(E \cup \phi)=P(E)+P(\phi) \text{ या } \quad P(E)=P(E)+P(\phi) \text{ अर्थात् } P(\phi)=0 \text{।} $

मान लीजिए $S$ एक प्रतिदर्श समष्टि है जिसमें परिणाम $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ हैं, अर्थात्

$$ S=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\} $$

प्रायिकता की अभिगृहित परिभाषा से यह सिद्ध होता है कि

(i) प्रत्येक $\omega_i \in S$ के लिए $0 \leq P(\omega_i) \leq 1$

(ii) $P(\omega_1)+P(\omega_2)+\ldots+P(\omega_n)=1$

(iii) किसी भी घटना $A$ के लिए, $P(A)=\sum P(\omega_i), \omega_i \in A$।

नोट - यह ध्यान देने योग्य है कि एकल समुच्चय $\{\omega_i\}$ को प्रारंभिक घटना कहा जाता है और संकेतात्मक सुविधा के लिए हम $P(\{\omega_i\})$ के लिए $P(\omega_i)$ लिखते हैं।

उदाहरण के लिए, ‘सिक्का उछालने’ के प्रयोग में हम प्रत्येक परिणाम $H$ और $T$ को संख्या $\frac{1}{2}$ निर्धारित कर सकते हैं।

अर्थात् $ \quad \quad \quad \quad P(H)=\frac{1}{2} \text{ और } P(T)=\frac{1}{2} $

स्पष्ट है कि यह निर्धारण दोनों शर्तों को संतुष्ट करता है, अर्थात् प्रत्येक संख्या न तो शून्य से कम है और न ही 1 से अधिक

और $ P(H)+P(T)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 $

इसलिए, इस स्थिति में हम कह सकते हैं कि $H$ की प्रायिकता $=\frac{1}{2}$, और $T$ की प्रायिकता $=\frac{1}{2}$

यदि हम $P(H)=\frac{1}{4}$ और $P(T)=\frac{3}{4}\quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ लें

क्या यह निर्धारण अभिगृहीति उपागम की शर्तों को संतुष्ट करता है?

हाँ, इस स्थिति में, $H$ की प्रायिकता $=\frac{1}{4}$ और $T$ की प्रायिकता $=\frac{3}{4}$ है।

हम पाते हैं कि दोनों निर्धारण (1) और (2), $H$ और $T$ की प्रायिकता के लिए वैध हैं।

वास्तव में, हम दोनों परिणामों को संख्याएँ $p$ और $(1-p)$ इस प्रकार दे सकते हैं कि $0 \leq p \leq 1$ और $P(H)+P(T)=p+(1-p)=1$

यह निर्धारण भी प्रायिकता के अभिगृहीति उपागम की दोनों शर्तों को संतुष्ट करता है। अतः हम कह सकते हैं कि किसी प्रयोग के परिणामों को प्रायिकताएँ देने के कई तरीके (वास्तव में अनंत) हैं। अब हम कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं।

उदाहरण 4 मान लीजिए एक प्रतिदर्श समष्टि है $S=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_6\}$। निम्नलिखित में से कौन-से प्रत्येक परिणाम को प्रायिकताओं का निर्धारण वैध है?

(a)	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$
(b)	1	0	0	0	0	0
(c)	$\frac{1}{8}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$-\frac{1}{4}$	$-\frac{1}{3}$
(d)	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{3}{2}$
(e)	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6

हल (a) शर्त (i): प्रत्येक संख्या $p(\omega_i)$ धनात्मक और एक से कम है। शर्त (ii): प्रायिकताओं का योग

$$ =\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=1 $$

इसलिए, यह निर्धारण वैध है

(b) शर्त (i): प्रत्येक संख्या $p(\omega_i)$ या तो 0 है या 1 है।

शर्त (ii) प्रायिकताओं का योग $=1+0+0+0+0+0=1$

इसलिए, नियत नियुक्ति वैध है

(c) शर्त (i) दो प्रायिकताएँ $p(\omega_5)$ और $p(\omega_6)$ ऋणात्मक हैं, नियुक्ति वैध नहीं है

(d) चूँकि $p(\omega_6)=\frac{3}{2}>1$, नियुक्ति वैध नहीं है

(e) चूँकि, प्रायिकताओं का योग $=0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6=2.1$, नियुक्ति वैध नहीं है।

14.2.1 एक घटना की प्रायिकता

मान लीजिए $S$ एक प्रतिदर्श समष्टि है जो प्रयोग ‘एक मशीन द्वारा उत्पादित तीन क्रमागत पेनों की जाँच करना और उन्हें अच्छा (गैर-दोषपूर्ण) और खराब (दोषपूर्ण) वर्गीकृत करना’ से संबद्ध है। इस जाँच के परिणामस्वरूप हमें 0,1,2 या 3 दोषपूर्ण पेन मिल सकते हैं।

इस प्रयोग से संबद्ध एक प्रतिदर्श समष्टि है

$ S=\{BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\} $

जहाँ $B$ एक दोषपूर्ण या खराब पेन के लिए है और $G$ गैर-दोषपूर्ण या अच्छे पेन के लिए है।

मान लीजिए परिणामों को निम्नलिखित प्रायिकताएँ दी गई हैं

$\begin{array}{lllllllll} \text{प्रतिदर्श बिंदु:} & BBB & BBG & BGB & GBB & BGG & GBG & GGB & GGG \\ \\ \text{प्रायिकता: } & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \end{array} $

मान लीजिए घटना A: वहाँ ठीक एक दोषपूर्ण पेन है और घटना B: वहाँ कम-से-कम दो दोषपूर्ण पेन हैं।

इसलिए $A=\{BGG, GBG, GGB\}$ और $B=\{BBG, BGB, GBB, BBB\}$

अब $\quad P(A)=\sum P(\omega_i), \forall \omega_i \in A$

$ =P(BGG)+P(GBG)+P(GGB)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} $

और

$\mathrm{P}(\mathrm{B})=\sum \mathrm{P}\left(\omega _{i}\right), \forall \omega _{i} \in \mathrm{B}$ $$ =\mathrm{P}(\mathrm{BBG})+\mathrm{P}(\mathrm{BGB})+\mathrm{P}(\mathrm{GBB})+\mathrm{P}(\mathrm{BBB})=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} $$

आइए एक और प्रयोग पर विचार करें “सिक्का दो बार उछालना”

इस प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि है $S=\{HH, HT, TH, TT\}$

आइए परिणामों को निम्नलिखित प्रायिकताएँ दी गई हैं

$ P(HH)=\frac{1}{4}, P(HT)=\frac{1}{7}, P(TH)=\frac{2}{7}, P(TT)=\frac{9}{28} $

स्पष्ट रूप से यह नियतता सूत्रमय दृष्टिकोण की शर्तों को पूरा करती है। अब, आइए घटना $E$ की प्रायिकता ज्ञात करें: ‘दोनों उछाल समान परिणाम देते हैं’।

यहाँ $\quad \quad \quad \quad E=\{HH, TT\}$

अब $\quad \quad \quad \quad P(E)=\Sigma P(w_i)$, सभी $w_i \in E$ के लिए

$ =P(HH)+P(TT)=\frac{1}{4}+\frac{9}{28}=\frac{4}{7} $

घटना $F$ : ‘ठीक दो सिर’, के लिए हमारे पास $F=\{HH\}$

और $ \quad \quad \quad \quad P(F)=P(HH)=\frac{1}{4} $

14.2.2 समान रूप से संभावित परिणामों की प्रायिकताएँ

आइए किसी प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि हो

$$S=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\} .$$

आइए सभी परिणाम समान रूप से घटित होने वाले हों, अर्थात् प्रत्येक सरल घटना के घटित होने की संभावना समान हो।

अर्थात् $ \quad \quad \quad \quad P(\omega_i)=p, \text{ सभी } \omega_i \in S \text{ के लिए जहाँ } 0 \leq p \leq 1 $

$ \begin{aligned} \text{चूँकि } \quad \quad \quad \quad& \sum _{i=1}^{n} P(\omega_i)=1 \text{ अर्थात् } p+p+\ldots+p(n \text{ बार })=1 \\ \text{या}\quad \quad \quad \quad & n p=1 \text{ अर्थात् } p=\frac{1}{n} \end{aligned} $

मान लीजिए $S$ एक प्रतिदर्श समष्टि है और $E$ एक घटना है, इस प्रकार कि $n(S)=n$ और $n(E)=m$। यदि प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित है, तब यह अनुसरण करता है कि

$ P(E)=\frac{m}{n} \quad=\frac{\text{ घटना } E \text{ के अनुकूल परिणामों की संख्या }}{\text{ कुल संभावित परिणाम }} $

14.2.3 घटना ’ $A$ या $B$ ’ की प्रायिकता

अब हम घटना ‘A या B’ की प्रायिकता ज्ञात करते हैं, अर्थात् $P(A \cup B)$

मान लीजिए $A=\{HHT, HTH, THH\}$ और $B=\{HTH, THH, HHH\}$ ‘एक सिक्के को तीन बार उछालने’ से संबद्ध दो घटनाएँ हैं

स्पष्ट है कि $A \cup B=\{HHT, HTH, THH, HHH\}$

अब $ \quad \quad \quad \quad P(A \cup B)=P(HHT)+P(HTH)+P(THH)+P(HHH) $

यदि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं, तब

$$ P(A \cup B)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} $$

साथ ही $ \quad \quad \quad \quad P(A)=P(HHT)+P(HTH)+P(THH)=\frac{3}{8} $

और $ \quad \quad \quad \quad P(B)=P(HTH)+P(THH)+P(HHH)=\frac{3}{8} $

इसलिए $ \quad \quad \quad \quad P(A)+P(B)=\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{6}{8} $

यह स्पष्ट है कि $ \quad \quad P(A \cup B) \neq P(A)+P(B)$

बिंदु HTH और THH दोनों A और B में उभयनिष्ठ हैं। $P(A)+P(B)$ की गणना में बिंदुओं HTH और THH की प्रायिकताएँ, अर्थात् $A \cap B$ के अवयव दो बार सम्मिलित हैं। इस प्रकार प्रायिकता $P(A \cup B)$ प्राप्त करने के लिए हमें $P(A)+P(B)$ से $A \cap B$ में नमूना बिंदुओं की प्रायिकताएँ घटानी पड़ती हैं।

अर्थात् $ \begin{aligned} P(A \cup B) & =P(A)+P(B)-\sum P(\omega_i), \forall \omega_i \in A \cap B \\ & =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \end{aligned} $

इस प्रकार हम देखते हैं कि, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

सामान्यतः, यदि $A$ और $B$ किसी यादृच्छिक प्रयोग से संबद्ध कोई दो घटनाएँ हैं, तो घटना की प्रायिकता की परिभाषा से, हमारे पास है

$$ P(A \cup B)=\sum p(\omega_i), \forall \omega_i \in A \cup B $$

चूँकि $\quad \quad \quad A\cup B = (A-B) \cup (A \cap B)\cup (B-A)$

हमारे पास है $P(A \cup B)=[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A-B)]+[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in A \cap B]+[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in B-A]$ (क्योंकि $A-B, A \cap B$ और $B-A$ परस्पर अपवर्जी हैं)

साथ ही $P(A)+P(B)=\left[\sum p(\omega_i) \forall \omega_i \in A\right]+\left[\sum p(\omega_i) \forall \omega_i \in B\right]$

$ \begin{aligned} = & {\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A-B) \cup(A \cap B)\right]+\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(B-A) \cup(A \cap B)\right] } \ = & {\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A-B)\right]+\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A \cap B)\right]+\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(B-A)\right]+} \ & {\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A \cap B)\right] } \ = & P(A \cup B)+\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in A \cap B\right] \quad[using(1)] \ = & P(A \cup B)+P(A \cap B) . \end{aligned} $

इसलिए $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$।

वैकल्पिक रूप से, इसे निम्नानुसार भी सिद्ध किया जा सकता है:

$A \cup B=A \cup(B-A)$, जहाँ $A$ और $B-A$ परस्पर अपवर्जी हैं, और $B=(A \cap B) \cup(B-A)$, जहाँ $A \cap B$ और $B-A$ परस्पर अपवर्जी हैं। प्रायिकता के सिद्धांत (iii) का उपयोग करने पर, हम पाते हैं

$ \quad \quad \quad \quad P(A \cup B)=P(A)+P(B-A) \quad \quad \quad \quad \ldots(2) $

और $ \quad \quad \quad \quad P(B)=P(A \cap B)+P(B-A) \quad \quad \quad \quad \ldots(3) $

(3) को (2) से घटाने पर प्राप्त होता है

$$ P(A \cup B) - P(B) = P(A) - P(A \cap B) $$

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

उपरोक्त परिणाम को आगे वेन आरेख (चित्र 14.1) को देखकर सत्यापित किया जा सकता है

चित्र 14.1

यदि (A) और (B) असंयुक्त समुच्चय हैं, अर्थात् वे परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, तो (A \cap B=\phi) इसलिए
(P(A \cap B)=P(\phi)=0)

इस प्रकार, परस्पर अपवर्जी घटनाओं (A) और (B) के लिए, हमारे पास

(P(A \cup B)=P(A)+P(B))
जो प्रायिकता का अभिग्रह (iii) है।

14.2.4 घटना ‘नहीं (A)’ की प्रायिकता

मान लीजिए घटना (A=\{2,4,6,8\}) जो 1 से 10 तक अंकित दस पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता निकालने के प्रयोग से संबद्ध है। स्पष्टतः प्रतिदर्श समष्टि (S=\{1,2,3, \ldots, 10\}) है।

यदि सभी परिणाम (1,2, \ldots, 10) समान रूप से संभावित माने जाते हैं, तो प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता (\frac{1}{10}) है।

अब

[ \begin{aligned} P(A) & =P(2)+P(4)+P(6)+P(8) \
& =\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \end{aligned} ]

तथा घटना ‘नहीं (A)’ = (A^{\prime}=\{1,3,5,7,9,10\})

अब

(\quad\quad\quad\quad P(A^{\prime})=P(1)+P(3)+P(5)+P(7)+P(9)+P(10))

(=\frac{6}{10}=\frac{3}{5})

इस प्रकार,
(\quad\quad\quad\quad P(A^{\prime})=\frac{3}{5}=1-\frac{2}{5}=1-P(A))

साथ ही, हम जानते हैं कि (A^{\prime}) और (A) परस्पर अपवर्जी और परिपूर्ण घटनाएँ हैं, अर्थात्

[ A \cap A^{\prime}=\phi \text{ और } A \cup A^{\prime}=S ]

या (\quad P(A \cup A^{\prime})=P(S))

अब (\quad P(A)+P(A^{\prime})=1, \quad) अभिग्रह (ii) और (iii) का प्रयोग करके।

या (\quad P(A^{\prime})=P(नहीं A)=1-P(A))

अब हम कुछ उदाहरणों और अभ्यासों पर विचार करते हैं जिनमें, जब तक अन्यथा न कहा जाए, समान रूप से संभावित परिणाम माने जाते हैं।

उदाहरण 5 52 पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। यदि प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्ता

(i) एक हीरा होगा

(ii) एक इक्का नहीं होगा

(iii) एक काला पत्ता होगा (अर्थात् एक क्लब या, एक ईंट)

(iv) एक हीरा नहीं होगा

(v) एक काला पत्ता नहीं होगा।

हल जब 52 पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है, तो संभावित परिणामों की संख्या 52 होती है।

(i) मान लीजिए A घटना है ‘निकाला गया पत्ता हीरा है’ स्पष्टतः समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या 13 है।

इसलिए, $\quad P(A)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$

अर्थात् हीरे के पत्ते की प्रायिकता $=\frac{1}{4}$

(ii) हम मान लेते हैं कि घटना ‘निकाला गया पत्ता इक्का है’ B है

इसलिए ‘निकाला गया पत्ता इक्का नहीं है’ B’ होना चाहिए।

हम जानते हैं कि $P(B^{\prime})=1-P(B)=1-\frac{4}{52}=1-\frac{1}{13}=\frac{12}{13}$

(iii) मान लीजिए $C$ घटना को ‘निकाला गया पत्ता काला पत्ता है’ दर्शाता है इसलिए, समुच्चय $C$ में अवयवों की संख्या = 26

अर्थात् $\quad \quad P(C)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$

इस प्रकार, काले पत्ते की प्रायिकता $=\frac{1}{2}$।

(iv) हमने ऊपर (i) में मान लिया कि A घटना है ‘निकाला गया पत्ता हीरा है’, इसलिए घटना ‘निकाला गया पत्ता हीरा नहीं है’ को A’ या ’not A’ द्वारा दर्शाया जा सकता है

अब $P(not A)=1-P(A)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

(v) घटना ‘निकाला गया पत्ता काला पत्ता नहीं है’ को $C^{\prime}$ या ’not $C$ ’ द्वारा दर्शाया जा सकता है।

हम जानते हैं कि $P(not C)=1-P(C)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

इसलिए, काला पत्ता नहीं होने की प्रायिकता $=\frac{1}{2}$

उदाहरण 6 एक थैले में 9 डिस्क हैं जिनमें 4 लाल, 3 नीली और 2 पीली हैं। डिस्क आकार और आकार में समान हैं। थैले से एक डिस्क यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। प्रायिकता की गणना करें कि वह (i) लाल होगी, (ii) पीली होगी, (iii) नीली होगी, (iv) नीली नहीं होगी, (v) या तो लाल या नीली होगी।

हल कुल 9 डिस्क हैं इसलिए संभावित परिणामों की कुल संख्या 9 है।

माना घटनाएँ A, B, C इस प्रकार परिभाषित हैं

$A$ : ‘निकाली गई डिस्क लाल है’

$B$ : ‘निकाली गई डिस्क पीली है’

$C$ : ‘निकाली गई डिस्क नीली है’.

(i) लाल डिस्कों की संख्या $=4$, अर्थात् $n(A)=4$

इसलिए $ \quad \quad \quad \quad P(A)=\frac{4}{9} $

(ii) पीली डिस्कों की संख्या $=2$, अर्थात् $n(B)=2$

इसलिए, $\quad P(B)=\frac{2}{9}$

(iii) नीली डिस्कों की संख्या $=3$, अर्थात् $n(C)=3$

इसलिए, $\quad P(C)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

(iv) स्पष्ट है कि घटना ‘नीली नहीं’ ‘न C’ है। हम जानते हैं कि P(न C)=1-P(C)

इसलिए $\quad P(\text{न } C)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

(v) घटना ‘या तो लाल या नीली’ समुच्चय ‘A या C’ द्वारा वर्णित की जा सकती है

चूँकि, A और C परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, हमारे पास है

$ P(A \text{ या } C)=P(A \cup C)=P(A)+P(C)=\frac{4}{9}+\frac{1}{3}=\frac{7}{9} $

उदाहरण 7 दो विद्यार्थी अनिल और अशिमा एक परीक्षा में सम्मिलित हुए। प्रायिकता कि अनिल परीक्षा उत्तीर्ण करेगा 0.05 है और कि अशिमा परीक्षा उत्तीर्ण करेगी 0.10 है। प्रायिकता कि दोनों परीक्षा उत्तीर्ण करेंगे 0.02 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि

(a) अनिल और अशिमा दोनों परीक्षा उत्तीर्ण नहीं करेंगे।

(b) कम से कम उनमें से एक परीक्षा पास नहीं करेगा और

(c) उनमें से केवल एक ही परीक्षा पास करेगा।

हल माना $E$ और $F$ घटनाएँ क्रमशः अनिल और आशिमा परीक्षा पास करेंगे। दिया गया है कि

$$ P(E)=0.05, P(F)=0.10 \text{ और } P(E \cap F)=0.02 $$

तब

(a) घटना ‘अनिल और आशिमा दोनों परीक्षा पास नहीं करेंगे’ को $E^{\prime} \cap F^{\prime}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

चूँकि, $E^{\prime}$ है ‘नहीं $E$’, अर्थात् अनिल परीक्षा पास नहीं करेगा और $F^{\prime}$ है ‘नहीं $F$’, अर्थात् आशिमा परीक्षा पास नहीं करेगी।

यह भी $\quad E^{\prime} \cap F^{\prime}=(E \cup F)^{\prime}$ (डिमॉर्गन के नियम द्वारा)

अब $\quad P(E \cup F)=P(E)+P(F)-P(E \cap F)$

या $\quad P(E \cup F)=0.05+0.10-0.02=0.13$

इसलिए $P(E^{\prime} \cap F^{\prime})=P(E \cup F)^{\prime}=1-P(E \cup F)=1-0.13=0.87$

(b) $P$ (कम से कम उनमें से एक पास नहीं करेगा)

$=1-P($ दोनों पास करेंगे $)$

$=1-0.02=0.98$

(c) घटना केवल उनमें से एक ही परीक्षा पास करेगा वही घटना है या तो (अनिल पास करेगा और आशिमा पास नहीं करेगी) या (अनिल पास नहीं करेगा और आशिमा पास करेगी) अर्थात् $E \cap F^{\prime}$ या $E^{\prime} \cap F$, जहाँ $E \cap F^{\prime}$ और $E^{\prime} \cap F$ परस्पर अपवर्जी हैं।

इसलिए, $P($ केवल उनमें से एक पास करेगा $) \quad=P(E \cap F^{\prime}.$ या $.E^{\prime} \cap F)$

$ \begin{aligned} & =P(E \cap F^{\prime})+P(E^{\prime} \cap F)=P(E)-P(E \cap F)+P(F)-P(E \cap F) \\ & =0.05-0.02+0.10-0.02=0.11 \end{aligned} $

उदाहरण 8 दो पुरुषों और दो महिलाओं में से दो व्यक्तियों की एक समिति चुनी जाती है। क्या प्रायिकता है कि समिति में (a) कोई पुरुष नहीं होगा? (b) एक पुरुष होगा? (c) दो पुरुष होंगे?

हल कुल व्यक्तियों की संख्या $=2+2=4$। इन चार व्यक्तियों में से दो को ${ }^{4} C_2$ तरीकों से चुना जा सकता है।

(a) समिति में कोई पुरुष नहीं होने का अर्थ है कि समिति में दो महिलाएँ होंगी। दो महिलाओं में से दो को ${ }^{2} C_2=1$ तरीके से चुना जा सकता है।

इसलिए $\quad P($ कोई पुरुष नहीं $)=\frac{{ }^{2} C_2}{{ }^{4} C_2}=\frac{1 \times 2 \times 1}{4 \times 3}=\frac{1}{6}$

(b) समिति में एक पुरुष होने का अर्थ है कि एक महिला है। 2 में से एक पुरुष को ${ }^{2} C_1$ तरीकों से चुना जा सकता है और 2 में से एक महिला को ${ }^{2} C_1$ तरीकों से चुना जा सकता है। दोनों को मिलाकर उन्हें ${ }^{2} C_1 \times{ }^{2} C_1$ तरीकों से चुना जा सकता है।

इसलिए $\quad P($ एक पुरुष $)=\frac{{ }^{2} C_1 \times{ }^{2} C_1}{{ }^{4} C_2}=\frac{2 \times 2}{2 \times 3}=\frac{2}{3}$

(c) दो पुरुषों को ${ }^{2} C_2$ तरीके से चुना जा सकता है।

अतः $ \quad\quad\quad\quad P(\text{ दो पुरुष })=\frac{{ }^{2} C_2}{{ }^{4} C_2}=\frac{1}{{ }^{4} C_2}=\frac{1}{6} $

विविध उदाहरण

उदाहरण 9 अपने अवकाश पर वीणा चार शहरों (A, B, C और D) में यादृच्छिक क्रम में जाती है। क्या प्रायिकता है कि वह

(i) $\mathrm{A}$ से पहले $\mathrm{B}$ जाती है?

(ii) A, B से पहले और B, C से पहले?

(iii) A पहले और B अंत में?

(iv) A या तो पहले या दूसरे स्थान पर?

(v) A ठीक B से पहले?

हल चार शहरों A, B, C या D की वीणा जिन क्रमों में यात्रा कर सकती है, उनकी संख्या 4! अर्थात् 24 है। इसलिए, n(S) = 24। चूँकि प्रयोग के प्रतिदर्श समष्टि में तत्वों की संख्या 24 है, इन सभी परिणामों को समप्रायिक माना जाता है। प्रयोग के लिए एक प्रतिदर्श समष्टि है

[ \begin{aligned} S = & {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, \ & BACD, BADC, BDAC, BDCA, BCAD, BCDA, \ & CABD, CADB, CBDA, CBAD, CDAB, CDBA, \ & DABC, DACB, DBCA, DBAC, DCAB, DCBA} \end{aligned} ]

(i) माना घटना ‘वह A से पहले B की यात्रा करती है’ को E द्वारा दर्शाया गया है।
[ \begin{aligned} \text{इसलिए, } E = & {ABCD, CABD, DABC, ABDC, CADB, DACB, \ & ACBD, ACDB, ADBC, CDAB, DCAB, ADCB} \end{aligned} ]

इस प्रकार (\quad P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2})

(ii) माना घटना ‘वीणा A से पहले B और B से पहले C की यात्रा करती है’ को F द्वारा दर्शाया गया है।
यहाँ (F={ABCD, DABC, ABDC, ADBC})

इसलिए, (P(F)=\frac{n(F)}{n(S)}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6})

छात्रों को सलाह दी जाती है कि वे (iii), (iv) और (v) के लिए प्रायिकता ज्ञात करें।

उदाहरण 10 प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि जब 52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से 7 पत्तों का एक हाथ खींचा जाता है, तो उसमें (i) सभी Kings हों (ii) 3 Kings हों (iii) कम-से-कम 3 Kings हों।

हल संभावित हाथों की कुल संख्या (={}^{52} C_7)

(i) 4 किंग्स वाले हाथों की संख्या $={ }^{4} C_4 \times{ }^{48} C_3$ (शेष 48 कार्डों में से अन्य 3 कार्ड चुने जाने चाहिए)

इसलिए $\quad P($ एक हाथ में 4 किंग्स होंगे $)=\frac{{ }^{4} C_4 \times{ }^{48} C_3}{{ }^{52} C_7}=\frac{1}{7735}$

(ii) 3 किंग्स और 4 गैर-किंग कार्ड वाले हाथों की संख्या $={ }^{4} C_3 \times{ }^{48} C_4$

इसलिए $\quad P(3$ किंग्स $)=\frac{{ }^{4} C_3 \times{ }^{48} C_4}{{ }^{52} C_7}=\frac{9}{1547}$

(iii) $P($ कम से कम 3 किंग $)=P(3$ किंग्स या 4 किंग्स $)$

$$ =P(3 \text{ किंग्स })+P(4 \text{ किंग्स}) $$

$$ =\frac{9}{1547}+\frac{1}{7735}=\frac{46}{7735} $$

उदाहरण 11 यदि A, B, C एक यादृच्छिक प्रयोग से संबद्ध तीन घटनाएँ हैं, तो सिद्ध करें कि

$ \begin{aligned} P(A \cup B \cup C) & =P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C) \\ & -P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C) \end{aligned} $

हल मान लीजिए $E=B \cup C$ ताकि

$$ \begin{aligned} P(A \cup B \cup C) & =P(A \cup E) \\ & =P(A)+P(E)-P(A \cap E) \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) \end{aligned} $$

अब

$$ \begin{aligned} P(E) & =P(B \cup C) \\ & =P(B)+P(C)-P(B \cap C) \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) \end{aligned} $$

साथ ही $\quad A \cap E=A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$ [समुच्चयों के अंतर पर संघ का वितरण गुण प्रयुक्त करते हुए]।

इस प्रकार $ P(A \cap E)=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[(A \cap B) \cap(A \cap C)] $

$ =P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[A \cap B \cap C] \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $

(2) और (3) को (1) में प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} P[A \cup B \cup C]= & P(A)+P(B)+P(C)-P(B \cap C) \ & -P(A \cap B)-P(A \cap C)+P(A \cap B \cap C) \end{aligned} $

उदाहरण 12 एक रिले दौड़ में पाँच टीमें A, B, C, D और E हैं।

(a) क्या प्रायिकता है कि A, B और C क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे स्थान पर आएँ।

(b) क्या प्रायिकता है कि A, B और C पहले तीन स्थानों पर आएँ (किसी भी क्रम में) (यह मान लीजिए कि सभी समापन क्रम समान रूप से संभाव्य हैं)

हल यदि हम प्रतिदर्श समष्टि को पहले तीन स्थानों के सभी समापन क्रमों के रूप में लें, तो हमारे पास ${ }^{5} P_3$, अर्थात् $\frac{5 !}{(5-3) !}=5 \times 4 \times 3=60$ प्रतिदर्श बिंदु होंगे, प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{60}$ होगी।

(a) A, B और C क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे स्थान पर आते हैं। इसके लिए केवल एक समापन क्रम है, अर्थात् $ABC$।

इस प्रकार $P(A, B$ और $C$ क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे स्थान पर आते हैं $)=\frac{1}{60}$।

(b) A, B और C पहले तीन समापनकर्ता हैं। A, B और C के लिए 3 ! व्यवस्थाएँ होंगी। इसलिए इस घटना से संगत प्रतिदर्श बिंदु 3 ! संख्या में होंगे।

इसलिए $\quad P(A, B$ और $C$ पहले तीन समापनकर्ता हैं $)=\frac{3 !}{60}=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$

सारांश

इस अध्याय में, हमने प्रायिकता की अभिगृहीट दृष्टिकोण के बारे में अध्ययन किया। इस अध्याय की मुख्य विशेषताएँ इस प्रकार हैं:

• घटना: प्रतिदर्श समष्टि का एक उपसमुच्चय

• असंभव घटना: रिक्त समुच्चय

• निश्चित घटना: सम्पूर्ण प्रतिदर्श समष्टि

• पूरक घटना या ‘न घटना’: समुच्चय $A$ ’ या $S-A$

• घटना A या B: समुच्चय A $\cup$ B

• घटना $A$ और $B$ : समुच्चय $A \cap B$

• घटना $A$ और नहीं $B$ : समुच्चय $A-B$

• परस्पर अपवर्जी घटना: $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं यदि $A \cap B=\phi$

• परस्पर अपवर्जी और व्यापक घटनाएँ: घटनाएँ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ परस्पर अपवर्जी और व्यापक हैं यदि $E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n=S$ और $E_i \cap E_j=\phi \forall i \neq j$

• प्रायिकता: संख्या $P(\omega_i)$ नमूना बिंदु $\omega_i$ से संबद्ध है जैसे कि

  (i) $0 \leq P(\omega_i) \leq 1$

  (ii) $\sum P(\omega_i)$ सभी $\omega_i \in S$ के लिए =1

  (iii) $P(A)=\sum P(\omega_i)$ सभी $\omega_i \in A$ के लिए। संख्या $P(\omega_i)$ को परिणाम $\omega_i$ की प्रायिकता कहा जाता है

• समप्रायिक परिणाम: सभी परिणाम समान प्रायिकता के साथ

• किसी घटना की प्रायिकता: समान रूप से समप्रायिक परिणामों वाले परिमित नमूना समष्टि के लिए किसी घटना की प्रायिकता $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$, जहाँ $n(A)=$ समुच्चय A में तत्वों की संख्या, $n(S)=$ समुच्चय S में तत्वों की संख्या।

• यदि $A$ और $B$ कोई दो घटनाएँ हैं, तो

  $ \begin{aligned} & P(A \text{ या } B)=P(A)+P(B)-P(A \text{ और } B) \\ & \text{ समतुल्य रूप से, } P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \end{aligned} $

• यदि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं, तो $P(A$ या $B)=P(A)+P(B)$

• यदि $A$ कोई घटना है, तो

  $ P(\text{नहीं } A)=1-P(A) $

ऐतिहासिक नोट

प्रायिकता सिद्धांत, गणित की अन्य अनेक शाखाओं की तरह, व्यावहारिक आवश्यकताओं से विकसित हुआ। इसकी उत्पत्ति 16वीं शताब्दी में हुई जब एक इतालवी चिकित्सक और गणितज्ञ जेरोम कार्डन (1501-1576) ने इस विषय पर पहली पुस्तक “Book on Games of Chance” (Biber de Ludo Aleae) लिखी। यह पुस्तक उनकी मृत्यु के बाद 1663 में प्रकाशित हुई।

1654 में, एक जुआरी शेवालिये डे मेट्रे ने प्रसिद्ध फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ ब्लेज़ पास्कल (1623-1662) से कुछ पासों की समस्याओं के लिए संपर्क किया। पास्कल इन समस्याओं में रुचि लेने लगे और प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे डे फर्मा (1601-1665) के साथ चर्चा की। पास्कल और फर्मा दोनों ने स्वतंत्र रूप से समस्या का समाधान किया। पास्कल और फर्मा के अलावा, प्रायिकता सिद्धांत में उत्कृष्ट योगदान क्रिश्चियन हायगेंस (1629-1665), एक डच, जे. बर्नौली (1654-1705), डे मोइव्रे (1667-1754), एक फ्रांसीसी पियरे लाप्लास (1749-1827), रूसी पी.एल चेबिशेव (1821-1897), ए.ए. मार्कोव (1856-1922) और ए.एन. कोलमोगोरोव (1903-1987) ने भी दिया। कोलमोगोरोव को प्रायिकता की सामयिक सिद्धांत का श्रेय दिया जाता है। उनकी पुस्तक ‘Foundations of Probability’ जो 1933 में प्रकाशित हुई, प्रायिकता को एक समुच्चय फलन के रूप में प्रस्तुत करती है और इसे एक क्लासिक माना जाता है।