एक गणितज्ञ जानता है कि समस्या को कैसे हल करना है, वह उसे हल नहीं कर सकता। - मिल्ने

3.1 परिचय

शब्द ‘त्रिकोणमिति’ ग्रीक शब्दों ‘ट्रिगॉन’ और ‘मेट्रॉन’ से लिया गया है और इसका अर्थ है ‘त्रिभुज की भुजाओं की मापना’। यह विषय मूल रूप से त्रिभुजों से संबंधित ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए विकसित किया गया था। इसका अध्ययन समुद्री कप्तानों ने नौगमन के लिए, सर्वेयरों ने नई भूमि का नक्शा बनाने के लिए, इंजीनियरों और अन्य लोगों ने किया। वर्तमान में, त्रिकोणमिति का उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है जैसे कि भूकंप विज्ञान, विद्युत परिपथों की डिज़ाइन, परमाणु की स्थिति का वर्णन, समुद्र में ज्वार की ऊँचाई की भविष्यवाणी, संगीत स्वर का विश्लेषण और कई अन्य क्षेत्रों में।

आर्यभट्ट (476-550 ई.पू.)

पिछली कक्षाओं में, हमने न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों का अध्ययन किया है जो समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में होते हैं। हमने त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और ऊँचाई तथा दूरी से संबंधित समस्याओं को हल करने में त्रिकोणमितीय अनुपातों के अनुप्रयोग का भी अध्ययन किया है। इस अध्याय में, हम त्रिकोणमितीय अनुपातों की अवधारणा को त्रिकोणमितीय फलनों में व्यापक बनाएँगे और उनके गुणों का अध्ययन करेंगे।

3.2 कोण

चित्र 3.1

कोण एक दी गई किरण के अपने प्रारंभिक बिंदु के परितः घूर्णन का माप है। मूल किरण को प्रारंभिक भुजा कहा जाता है और घूर्णन के बाद किरण की अंतिम स्थिति को कोण की अंतिम भुजा कहा जाता है। घूर्णन का बिंदु शीर्ष कहलाता है। यदि घूर्णन की दिशा वामावर्त है, तो कोण को धनात्मक कहा जाता है और यदि घूर्णन की दिशा दक्षिणावर्त है, तो कोण ऋणात्मक होता है (चित्र 3.1)।

कोण का माप प्रारंभिक भुजा से अंतिम भुजा तक पहुँचने के लिए किया गया घूर्णन की मात्रा है। कोण मापने के लिए कई इकाइयाँ हैं। कोण की परिभाषा

चित्र 3.2

चित्र 3.2 एक इकाई सुझाता है, अर्थात् प्रारंभिक भुजा की स्थिति से एक पूर्ण चक्र, जैसा कि चित्र 3.2 में दिखाया गया है।

यह बड़े कोणों के लिए प्रायः सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, हम कह सकते हैं कि एक तेजी से घूमता पहिया प्रति सेकंड 15 चक्र का कोण बना रहा है। हम कोण की माप की दो अन्य इकाइयों का वर्णन करेंगे जो सबसे अधिक प्रयोग में लाई जाती हैं, अर्थात् डिग्री माप और रेडियन माप।

3.2.1 डिग्री माप

यदि प्रारंभिक भुजा से अंतिम भुजा तक एक घूर्णन $(\frac{1}{360})^{\text{वाँ }}$ चक्कर है, तो कोण की माप एक डिग्री कही जाती है, जिसे $1^{\circ}$ लिखा जाता है। एक डिग्री को 60 मिनटों में बाँटा जाता है, और एक मिनट को 60 सेकंडों में बाँटा जाता है। एक डिग्री का साठवाँ भाग एक मिनट कहलाता है, जिसे $1^{\prime}$ लिखा जाता है, और एक मिनट का साठवाँ भाग एक सेकंड कहलाता है, जिसे $1^{\prime \prime}$ लिखा जाता है। इस प्रकार, $\quad 1^{\circ}=60^{\prime}, \quad 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$

कुछ कोण जिनकी मापें $360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ हैं, आकृति 3.3 में दिखाए गए हैं।

आकृति 3.3

3.2.2 रेडियन माप

कोण की माप के लिए एक अन्य इकाई भी है, जिसे रेडियन माप कहा जाता है। एक इकाई वाले वृत्त (त्रिज्या 1 इकाई का वृत्त) में 1 इकाई लंबाई के चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण की माप 1 रेडियन कही जाती है। आकृति 3.4(i) से (iv) में, $OA$ प्रारंभिक भुजा है और $OB$ अंतिम भुजा है। आकृतियाँ उन कोणों को दिखाती हैं जिनकी मापें 1 रेडियन, -1 रेडियन, $1 \frac{1}{2}$ रेडियन और $-1 \frac{1}{2}$ रेडियन हैं।

आकृति 3.4 (i) - (iv)

हम जानते हैं कि 1 इकाई त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि $2 \pi$ होती है। इस प्रकार, प्रारंभिक भुजा का एक पूर्ण चक्कर $2 \pi$ रेडियन का कोण अंतरित करता है।

अधिक सामान्य रूप से, त्रिज्या $r$ वाले वृत्त में, लंबाई $r$ का चाप 1 रेडियन का कोण अंतरित करेगा। यह सुविदित है कि वृत्त के समान चाप केंद्र पर समान कोण अंतरित करते हैं। चूँकि त्रिज्या $r$ वाले वृत्त में, लंबाई $r$ का चाप उस कोण को अंतरित करता है जिसका मान 1 रेडियन है, इसलिए लंबाई $l$ का चाप उस कोण को अंतरित करेगा जिसका मान $\frac{l}{r}$ रेडियन है। इस प्रकार, यदि त्रिज्या $r$ वाले वृत्त में, लंबाई $l$ का चाप केंद्र पर $\theta$ रेडियन का कोण अंतरित करता है, तो हमारे पास $\theta=\frac{l}{r}$ या $l=r \theta$ है।

3.2.3 रेडियन और वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध

केंद्र $O$ वाले इकाई वृत्त पर विचार करें। मान लीजिए $A$ वृत्त पर कोई बिंदु है। OA को किसी कोण की प्रारंभिक भुजा मानें। तब वृत्त के चाप की लंबाई उस कोण का रेडियन माप देगी जो चाप वृत्त के केंद्र पर अंतरित करेगा। रेखा PAQ पर विचार करें जो बिंदु A पर वृत्त की स्पर्श रेखा है। मान लीजिए बिंदु A वास्तविक संख्या शून्य को दर्शाता है, AP धनात्मक वास्तविक संख्या को दर्शाता है और AQ ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है (चित्र 3.5)। यदि हम रेखा $AP$ को वृत्त के साथ वामावर्त दिशा में और $AQ$ को दक्षिणावर्त दिशा में लपेटें, तो प्रत्येक वास्तविक संख्या एक रेडियन माप से संगत होगी और इसके विपरीत। इस प्रकार, रेडियन माप और वास्तविक संख्याओं को एक ही माना जा सकता है।

चित्र 3.5

3.2.4 डिग्री और रेडियन के बीच संबंध चूंकि एक वृत्त केंद्र पर

एक ऐसा कोण बनाता है जिसका रेडियन माप $2 \pi$ है और उसका डिग्री माप $360^{\circ}$ है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि$ 2 \pi \text{ रेडियन }=360^{\circ} \quad \text{ या } \quad \pi \text{ रेडियन }=180^{\circ} $

उपरोक्त संबंध हमें रेडियन माप को डिग्री माप के पदों में और डिग्री माप को रेडियन माप के पदों में व्यक्त करने में सक्षम बनाता है। $\pi$ का सन्निकट मान $\frac{22}{7}$ लेते हुए, हम पाते हैं

$ 1 \text{ रेडियन }=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime} \text{ लगभग। } $

साथ ही $\quad 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$ रेडियन $=0.01746$ रेडियन लगभग।

कुछ सामान्य कोणों के डिग्री माप और रेडियन माप के बीच संबंध निम्नलिखित सारणी में दिए गए हैं:

डिग्री	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$	$90^{\circ}$	$180^{\circ}$	$270^{\circ}$	$360^{\circ}$
रेडियन	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3 \pi}{2}$	$2 \pi$

संकेतन परिपाटी

चूँकि कोणों को या तो डिग्री में या रेडियन में मापा जाता है, हम यह नियम अपनाते हैं कि जब भी हम कोण $\theta^{\circ}$ लिखते हैं, तो हमारा तात्पर्य उस कोण से है जिसका माप डिग्री में $\theta$ है, और जब भी हम कोण $\beta$ लिखते हैं, तो हमारा तात्पर्य उस कोण से है जिसका माप रेडियन में $\beta$ है।

ध्यान दें कि जब किसी कोण को रेडियन में व्यक्त किया जाता है, तो ‘रेडियन’ शब्द प्रायः छोड़ दिया जाता है। इस प्रकार, $\pi=180^{\circ}$ और $\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$ इस अर्थ के साथ लिखे जाते हैं कि $\pi$ और $\frac{\pi}{4}$ रेडियन माप हैं। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि

$ \begin{aligned} & \text{ रेडियन माप }=\frac{\pi}{180} \times \text{ डिग्री माप } \\ & \text{ डिग्री माप }=\frac{180}{\pi} \times \text{ रेडियन माप } \end{aligned} $

उदाहरण 1 $40^{\circ} 20^{\prime}$ को रेडियन माप में बदलें।

हल हम जानते हैं कि $180^{\circ}=\pi$ रेडियन।

इसलिए $\quad 40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}$ डिग्री $=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}$ रेडियन $=\frac{121 \pi}{540}$ रेडियन।

इसलिए

$ 40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{121 \pi}{540} \text{ रेडियन। } $

उदाहरण 2 6 रेडियन को डिग्री माप में बदलें।

हल हम जानते हैं कि $\pi$ रेडियन $=180^{\circ}$।

इसलिए

$ \begin{aligned} 6 \text{ रेडियन } & =\frac{180}{\pi} \times 6 \text{ डिग्री }=\frac{1080 \times 7}{22} \text{ डिग्री } \\ & =343 \frac{7}{11} \text{ डिग्री }=343^{\circ}+\frac{7 \times 60}{11} \text{ मिनट } \quad[\text{ क्योंकि } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\frac{2}{11} \text{ मिनट } \quad[\text{ क्योंकि } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ लगभग। } \end{aligned} $

इसलिए $\quad 6$ रेडियन $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ लगभग।

उदाहरण 3 उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसमें $60^{\circ}$ का केंद्रीय कोण $37.4 cm$ लंबाई का चाप अंतरित करता है ($\pi=\frac{22}{7}$ का प्रयोग कीजिए)।

हल यहाँ $l=37.4 cm$ और $\theta=60^{\circ}=\frac{60 \pi}{180}$ रेडियन $=\frac{\pi}{3}$

इसलिए, $\quad$ $r=\frac{l}{\theta}$ से, हमें प्राप्त होता है

$ r=\frac{37.4 \times 3}{\pi}=\frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 cm $

उदाहरण 4 एक घड़ी की मिनट की सुई $1.5 cm$ लंबी है। इसका सिरा 40 मिनट में कितनी दूरी तय करता है? ($\pi=3.14$ का प्रयोग कीजिए)।

हल 60 मिनट में, घड़ी की मिनट की सुई एक चक्र पूर्ण करती है। इसलिए, 40 मिनट में, मिनट की सुई $\frac{2}{3}$ चक्र घूमती है। इसलिए, $\theta=\frac{2}{3} \times 360^{\circ}$ या $\frac{4 \pi}{3}$ रेडियन। इसलिए, तय की गई आवश्यक दूरी दी जाती है

$ l=r \theta=1.5 \times \frac{4 \pi}{3} cm=2 \pi cm=2 \times 3.14 cm=6.28 cm . $

उदाहरण 5 यदि दो वृत्तों में समान लंबाई के चाप केंद्र पर क्रमशः $65^{\circ}$ और $110^{\circ}$ के कोण अंतरित करते हैं, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं। दिया गया है कि

$ \theta_1=65^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 65=\frac{13 \pi}{36} \text{ रेडियन } $

और

$ \theta_2=110^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 110=\frac{22 \pi}{36} \text{ रेडियन } $

मान लीजिए प्रत्येक चाप की लंबाई $l$ है। तब $l=r_1 \theta_1=r_2 \theta_2$, जिससे प्राप्त होता है

$ \frac{13 \pi}{36} \times r_1=\frac{22 \pi}{36} \times r_2 \text{, अर्थात् } \frac{r_1}{r_2}=\frac{22}{13} $

अतः $\quad r_1: r_2=22: 13$.

3.3 त्रिकोणमितीय फलन

पिछली कक्षाओं में हमने न्यून कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों को समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में पढ़ा है। अब हम त्रिकोणमितीय अनुपातों की परिभाषा को किसी भी कोण के लिए रेडियन माप के पदों में विस्तारित करेंगे और उन्हें त्रिकोणमितीय फलनों के रूप में अध्ययन करेंगे।

एक इकाई वृत्त पर विचार कीजिए जिसका केंद्र निर्देशांक अक्षों के मूल बिंदु पर है। मान लीजिए $P(a, b)$ वृत्त पर कोई बिंदु है जिस पर कोण $AOP=x$ रेडियन है, अर्थात् चाप $AP$ की लंबाई $x$ है (चित्र 3.6)।

चित्र 3.6

हम परिभाषित करते हैं $\cos x=a$ और $\sin x=b$ चूँकि $\triangle OMP$ एक समकोण त्रिभुज है, हमारे पास $OM^{2}+MP^{2}=OP^{2}$ या $a^{2}+b^{2}=1$ इस प्रकार, इकाई वृत्त पर प्रत्येक बिंदु के लिए, हमारे पास

$ a^{2}+b^{2}=1 \text{ या } \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $

चूँकि एक पूर्ण चक्र वृत्त के केंद्र पर $2 \pi$ रेडियन का कोण बनाता है,

$\angle AOB=\frac{\pi}{2}$, $\angle AOC=\pi$ और $\angle AOD=\frac{3 \pi}{2}$। सभी कोण जो $\frac{\pi}{2}$ के पूर्णांक गुणक हैं, चतुर्थीय कोण कहलाते हैं। बिंदुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमशः $(1,0),(0,1),(-1,0)$ और $(0,-1)$ हैं। इसलिए, चतुर्थीय कोणों के लिए, हमारे पास

$ \begin{aligned} & \cos 0^{\circ}=1 \quad \sin 0^{\circ}=0, \ & \cos \frac{\pi}{2}=0 \quad \sin \frac{\pi}{2}=1 \ & \cos \pi=-1 \quad \sin \pi=0 \ & \cos \frac{3 \pi}{2}=0 \quad \sin \frac{3 \pi}{2}=-1 \ & \cos 2 \pi=1 \quad \sin 2 \pi=0 \end{aligned} $

अब, यदि हम बिंदु $P$ से एक पूर्ण चक्र लेते हैं, तो हम फिर से उसी बिंदु $P$ पर वापस आते हैं। इस प्रकार, हम यह भी देखते हैं कि यदि $x$ किसी भी पूर्णांक गुणक $2 \pi$ से बढ़ता (या घटता) है, तो साइन और कोसाइन फलनों के मान नहीं बदलते। इस प्रकार,

$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x, n \in \mathbf{Z}, \cos (2 n \pi+x)=\cos x, n \in \mathbf{Z} $

आगे, $\sin x=0$, यदि $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \pm 3 \pi$, …, अर्थात् जब $x$, $\pi$ का पूर्णांक गुणक हो और $\cos x=0$, यदि $x= \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \pm \frac{5 \pi}{2}, \ldots$ अर्थात् $\cos x$ शून्य होता है जब $x$, $\frac{\pi}{2}$ का विषम गुणक हो। इस प्रकार

$ \begin{aligned} & \sin x=0 \text{ का तात्पर्य है } x=n \pi, \text{ जहाँ } n \text{ कोई पूर्णांक है } \ & \cos x=0 \text{ का तात्पर्य है } x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \text{, जहाँ } n \text{ कोई पूर्णांक है। } \end{aligned} $

हम अब अन्य त्रिकोणमितीय फलनों को sine और cosine फलनों के पदों में परिभाषित करते हैं:

$\text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}, x \neq n \pi$, जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है।

$\sec x=\frac{1}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है।

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है।

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, x \neq n \pi$, जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है।

हमने दिखाया है कि सभी वास्तविक $x$ के लिए, $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$

इससे अनुसरण करता है कि

$$ \begin{aligned} & 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x \ & 1+\cot ^{2} x=cosec^{2} x \end{aligned} $$

पिछली कक्षाओं में, हमने $0^{\circ}$, $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ और $90^{\circ}$ के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानों पर चर्चा की है। इन कोणों के लिए त्रिकोणमितीय फलनों के मान वही हैं जो पिछली कक्षाओं में अध्ययन किए गए त्रिकोणमितीय अनुपातों के हैं। इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित सारणी है:

	$0^{\circ}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3 \pi}{2}$	$2 \pi$
$\sin$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	0	-1	0
$\cos$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	0	-1	0	1
$\tan$	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	परिभाषित	0	परिभाषित नहीं	0

$cosec x$, $\sec x$ और $\cot x$ के मान क्रमशः $\sin x$, $\cos x$ और $\tan x$ के मानों के व्युत्क्रम होते हैं।

3.3.1 त्रिकोणमितीय फलनों का चिह्न

मान लीजिए $P(a, b)$ मूल बिंदु केंद्र वाले इकाई वृत्त पर एक बिंदु है जैसे कि $\angle AOP=x$। यदि $\angle AOQ=-x$ है, तो बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(a,-b)$ होंगे (चित्र 3.7)।

चित्र 3.7

इसलिए

$ \cos (-x)=\cos x $

और $\quad$ $ \sin (-x)=-\sin x $

चूंकि इकाई वृत्त पर प्रत्येक बिंदु $P(a, b)$ के लिए, $-1 \leq a \leq 1$ और

$-1 \leq b \leq 1$, हमारे पास सभी $x$ के लिए $-1 \leq \cos x \leq 1$ और $-1 \leq \sin x \leq 1$ है। हमने पिछली कक्षाओं में सीखा है कि प्रथम चतुर्थांश $(0<x<\frac{\pi}{2})$ में $a$ और $b$ दोनों धनात्मक होते हैं, द्वितीय चतुर्थांश $(\frac{\pi}{2}<x<\pi)$ में $a$ ऋणात्मक और $b$ धनात्मक होता है, तृतीय चतुर्थांश $(\pi<x<\frac{3 \pi}{2})$ में $a$ और $b$ दोनों ऋणात्मक होते हैं और चतुर्थ चतुर्थांश $(\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi)$ में $a$ धनात्मक और $b$ ऋणात्मक होता है। इसलिए, $\sin x$ के लिए $0<x<\pi$ पर धनात्मक है, और $\pi<x<2 \pi$ पर ऋणात्मक है। इसी प्रकार, $\cos x$ के लिए $0<x<\frac{\pi}{2}$ पर धनात्मक है, $\frac{\pi}{2}<x<\frac{3 \pi}{2}$ पर ऋणात्मक है और $\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi$ पर भी धनात्मक है। इसी तरह, हम विभिन्न चतुर्थांशों में अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के चिह्न ज्ञात कर सकते हैं। वास्तव में, हमारे पास निम्नलिखित सारणी है।

	I	II	III	IV
$\sin x$	+	+	-	-
$\cos x$	+	-	-	+
$\tan x$	+	-	+	-
$cosec x$	+	+	-	-
$\sec x$	+	-	-	+
$\cot x$	+	-	+	-

3.3.2 त्रिकोणमितीय फलनों का प्रांत और परिसर

साइन और कोसाइन फलनों की परिभाषा से, हम देखते हैं कि वे सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित हैं। आगे, हम देखते हैं कि प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,

$$ -1 \leq \sin x \leq 1 \text{ और }-1 \leq \cos x \leq 1 $$

इस प्रकार, $y=\sin x$ और $y=\cos x$ का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और परिसर अंतराल $[-1,1]$ है, अर्थात् $-1 \leq y \leq 1$।

चूँकि $ \text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}$, इसलिए $y=cosec x$ का डोमेन समुच्चय $\{x: x \in \mathbf{R}$ और $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ है और रेंज समुच्चय $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ या $y \leq-1\}$ है। इसी प्रकार, $y=\sec x$ का डोमेन समुच्चय $\{x: x \in \mathbf{R}.$ और $.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ है और रेंज समुच्चय $\{y: y \in \mathbf{R}, y \leq-1$ या $y \geq 1\}$ है। $y=\tan x$ का डोमेन समुच्चय $\{x: x \in \mathbf{R}$ और $.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ है और रेंज सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $y=\cot x$ का डोमेन समुच्चय $\{x: x \in \mathbf{R}$ और $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ है और रेंज सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

हम आगे देखते हैं कि प्रथम चतुर्थांश में, जैसे-जैसे $x$ 0 से $\frac{\pi}{2}$ तक बढ़ता है, $\sin x$ 0 से 1 तक बढ़ता है, जैसे-जैसे $x$ $\frac{\pi}{2}$ से $\pi$ तक बढ़ता है, $\sin x$ 1 से 0 तक घटता है। तृतीय चतुर्थांश में, जैसे-जैसे $x$ $\pi$ से $\frac{3 \pi}{2}$ तक बढ़ता है, $\sin x$ 0 से -1 तक घटता है और अंत में, चतुर्थ चतुर्थांश में, जैसे-जैसे $x$ $\frac{3 \pi}{2}$ से $2 \pi$ तक बढ़ता है, $\sin x$ -1 से 0 तक बढ़ता है। इसी प्रकार, हम अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के व्यवहार की चर्चा कर सकते हैं। वास्तव में, हमारे पास निम्नलिखित सारणी है:

	प्रथम चतुर्थांश	द्वितीय चतुर्थांश	तृतीय चतुर्थांश	चतुर्थ चतुर्थांश
$\sin$	0 से 1 तक बढ़ता है	1 से 0 तक घटता है	0 से -1 तक घटता है	-1 से 0 तक बढ़ता है
$\cos$	1 से 0 तक घटता है	0 से -1 तक घटता है	-1 से 0 तक बढ़ता है	0 से 1 तक बढ़ता है
tan	0 से $\infty$ तक बढ़ता है	$-\infty$ से 0 तक बढ़ता है	0 से $\infty$ तक बढ़ता है	$-\infty$ से 0 तक बढ़ता है
$\cot$	$\infty$ से 0 तक घटता है	0 से $-\infty$ तक घटता है	$\infty$ से 0 तक घटता है	0 से $-\infty$ तक घटता है
sec	1 से $\infty$ तक बढ़ता है	$-\infty$ से -1 तक बढ़ता है	-1 से $-\infty$ तक घटता है	$\infty$ से 1 तक घटता है
$cosec$	$\infty$ से 1 तक घटता है	1 से $\infty$ तक बढ़ता है	$-\infty$ से -1 तक बढ़ता है	-1 से $-\infty$ तक घटता है

टिप्पणी उपरोक्त सारणी में, कथन $\tan x$ का $0$ से $\infty$ (अनन्त) तक बढ़ना $0<x<\frac{\pi}{2}$ के लिए सरलतः यह दर्शाता है कि $\tan x$ का मान $x$ के बढ़ने के साथ बढ़ता है जब $0<x<\frac{\pi}{2}$ और $x$ के $\frac{\pi}{2}$ की ओर बढ़ने पर यह स्वेच्छया बड़े धनात्मक मान ग्रहण करता है। इसी प्रकार, यह कहना कि चतुर्थ चतुर्थांश में $cosec x$ का मान $-1$ से $-\infty$ (ऋण अनन्त) तक घटता है, इसका तात्पर्य है कि $x \in(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi)$ के लिए $cosec x$ घटता है और $x$ के $2 \pi$ की ओर बढ़ने पर यह स्वेच्छया बड़े ऋणात्मक मान ग्रहण करता है। प्रतीक $\infty$ और $-\infty$ केवल फलनों और चरों के कुछ विशिष्ट व्यवहारों को निर्दिष्ट करते हैं।

हम पहले ही देख चुके हैं कि $\sin x$ और $\cos x$ के मान $2 \pi$ के अन्तराल के बाद पुनरावृत्त होते हैं। इसलिए, $cosec x$ और $\sec x$ के मान भी $2 \pi$ के अन्तराल के बाद पुनरावृत्त होंगे।

हम अगले खण्ड में देखेंगे कि $\tan (\pi+x)=\tan x$। इसलिए, $\tan x$ के मान $\pi$ के अन्तराल के बाद पुनरावृत्त होंगे। चूँकि $\cot x$, $\tan x$ का व्युत्क्रम है, इसके मान भी $\pi$ के अन्तराल के बाद पुनरावृत्त होंगे। इस ज्ञान और त्रिकोणमितीय फलनों के व्यवहार का उपयोग करके हम इन फलनों के आलेख बना सकते हैं। इन फलनों के आलेख नीचे दिए गए हैं:

उदाहरण 6 यदि $\cos x=-\frac{3}{5}, x$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, तो अन्य पाँच त्रिकोणमितीय फलनों के मान ज्ञात कीजिए।

हल चूँकि $\cos x=-\frac{3}{5}$, हमारे पास $\sec x=-\frac{5}{3}$

अब $\quad \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$, अर्थात्, $\sin ^{2} x=1-\cos ^{2} x$

या

$ \sin ^{2} x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25} $

अतः $\quad \sin x= \pm \frac{4}{5}$

चूँकि $x$ तीसरे चतुर्थांश में है, $\sin x$ ऋणात्मक है। इसलिए

$ \sin x=-\frac{4}{5} $

जो यह भी देता है

$ cosec x=-\frac{5}{4} $

आगे, हमारे पास

$ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{4}{3} \text{ और } \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{3}{4} $

उदाहरण 7 यदि $\cot x=-\frac{5}{12}, x$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है, तो अन्य पाँच त्रिकोणमितीय फलनों के मान ज्ञात कीजिए।

हल चूँकि cot $x=-\frac{5}{12}$, हमारे पास $\tan x=-\frac{12}{5}$

अब $\quad \sec ^{2} x=1+\tan ^{2} x=1+\frac{144}{25}=\frac{169}{25}$

अतः

$ \sec x= \pm \frac{13}{5} $

चूँकि $x$ दूसरे चतुर्थांश में है, sec $x$ ऋणात्मक होगा। इसलिए

$ \sec x=-\frac{13}{5} $

जो यह भी देता है

$ \cos x=-\frac{5}{13} $

आगे, हमारे पास

$ \sin x=\tan x \cos x=(-\frac{12}{5}) \times(-\frac{5}{13})=\frac{12}{13} $

और $\quad \text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}=\frac{13}{12}$.

उदाहरण 8 $\sin \frac{31 \pi}{3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि $\sin x$ के मान $2 \pi$ के अंतराल के बाद दोहराते हैं। इसलिए

$ \sin \frac{31 \pi}{3}=\sin (10 \pi+\frac{\pi}{3})=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \text{।} $

उदाहरण 9 $\cos (-1710^{\circ})$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि $\cos x$ के मान $2 \pi$ या $360^{\circ}$ के अंतराल के बाद दोहराते हैं। इसलिए,

$\cos (-1710^{\circ})=\cos (-1710^{\circ}+5 \times 360^{\circ})\\ =\cos (-1710^{\circ}+1800^{\circ})=\cos 90^{\circ}=0 . $

3.4 दो कोणों के योग और अंतर के त्रिकोणमितीय फलन

इस खंड में, हम दो संख्याओं (कोणों) के योग और अंतर के त्रिकोणमितीय फलनों के लिए व्यंजक व्युत्पन्न करेंगे और संबंधित व्यंजकों पर चर्चा करेंगे। इस संबंध में मूल परिणामों को त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कहा जाता है। हमने देखा है कि

1. $\sin (-x)=-\sin x$

2. $\cos (-x)=\cos x$

अब हम कुछ और परिणामों को सिद्ध करेंगे:

3. $\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$

मूल बिंदु केंद्र वाले इकाई वृत्त पर विचार कीजिए। मान लीजिए $x$ कोण $P_4 OP_1$ है और $y$ कोण $P_1 OP_2$ है। तब $(x+y)$ कोण $P_4 OP_2$ है। साथ ही मान लीजिए $(-y)$ कोण $P_4 OP_3$ है। इसलिए, $P_1, P_2, P_3$ और $P_4$ के निर्देशांक होंगे $P_1(\cos x, \sin x)$, $P_2[\cos (x+y), \sin (x+y)], P_3[\cos (-y), \sin (-y)]$ और $P_4(1,0)$ (चित्र 3.14)।

आकृति 3.14

त्रिभुजों $P_1 OP_3$ और $P_2 OP_4$ पर विचार करें। वे सर्वांगसम हैं (क्यों?). इसलिए, $P_1 P_3$ और $P_2 P_4$ बराबर हैं। दूरी सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} P_1 P_3^{2} & =[\cos x-\cos (-y)]^{2}+[\sin x-\sin (-y]^{2}. \\ & =(\cos x-\cos y)^{2}+(\sin x+\sin y)^{2} \\ & =\cos ^{2} x+\cos ^{2} y-2 \cos x \cos y+\sin ^{2} x+\sin ^{2} y+2 \sin x \sin y \\ & =2-2(\cos x \cos y-\sin x \sin y) \quad(\text{ क्यों?) } \end{aligned} $$

साथ ही, $\quad P_2 P_4{ }^{2}=[1-\cos (x+y)]^{2}+[0-\sin (x+y)]^{2}$

$ \begin{aligned} & =1-2 \cos (x+y)+\cos ^{2}(x+y)+\sin ^{2}(x+y) \\ & =2-2 \cos (x+y) \end{aligned} $

चूँकि $P_1 P_3=P_2 P_4$, हमारे पास $P_1 P_3^{2}=P_2 P_4{ }^{2}$ है।

इसलिए, $2-2(\cos x \cos y-\sin x \sin y)=2-2 \cos (x+y)$।

अतः $\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$

4. $\cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y$

पहचान 3 में $y$ को $-y$ से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \cos (x+(-y))=\cos x \cos (-y)-\sin x \sin (-y) \\ & \text{ या } \quad \cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y \end{aligned} $

5. $\cos (\frac{\pi}{2}-x)=\sin x$

यदि हम पहचान (4) में $x$ को $\frac{\pi}{2}$ और $y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें, तो हम प्राप्त करते हैं

$ \cos (\frac{\pi}{2}-x)=\cos \frac{\pi}{2} \cos x+\sin \frac{\pi}{2} \sin x=\sin x $

6. $\sin (\frac{\pi}{2}-x)=\cos x$

पहचान 5 का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

$ \sin (\frac{\pi}{2}-x)=\cos [\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{2}-x)]=\cos x $

7. $\quad \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y$

हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} \sin (x+y) & =\cos (\frac{\pi}{2}-(x+y))=\cos ((\frac{\pi}{2}-x)-y) \ & =\cos (\frac{\pi}{2}-x) \cos y+\sin (\frac{\pi}{2}-x) \sin y \ & =\sin x \cos y+\cos x \sin y \end{aligned} $

8. $\begin{aligned} \quad \sin (x-y) & =\sin x \cos y-\cos x \sin y \end{aligned} $ यदि हम पहचान 7 में $y$ को $-y$ से प्रतिस्थापित करें, तो हमें परिणाम मिलता है।

9. पहचानों $3,4,7$ और 8 में $x$ और $y$ के उपयुक्त मान लेकर, हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:

$ \begin{aligned} \cos (\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x & \sin (\frac{\pi}{2}+x)=\cos x \ \cos (\pi-x)=-\cos x & \sin (\pi-x)=\sin x \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \cos (\pi+x)=-\cos x & \sin (\pi+x)=-\sin x \ \cos (2 \pi-x)=\cos x & \sin (2 \pi-x)=-\sin x \end{aligned} $

$\tan x, \cot x, \sec x$ और $cosec x$ के लिए समान परिणाम $\sin$ $x$ और $\cos x$ के परिणामों से प्राप्त किए जा सकते हैं।

10. यदि कोणों $x, y$ और $(x+y)$ में से कोई भी $\frac{\pi}{2}$ का विषम गुणज नहीं है, तो

$ \tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y} $

चूँकि $x, y$ और $(x+y)$ में से कोई भी $\frac{\pi}{2}$ का विषम गुणज नहीं है, इसलिए यह स्पष्ट है कि $\cos x$, $\cos y$ और $\cos (x+y)$ शून्येतर हैं। अब

$ \tan (x+y)=\frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)}=\frac{\sin x \cos y+\cos x \sin y}{\cos x \cos y-\sin x \sin y} \text{. } $

अंश और हर को $\cos x \cos y$ से विभाजित करने पर, हमें मिलता है

$ \begin{aligned} \tan (x+y) & =\dfrac{\dfrac{\sin x \cos y}{\cos x \cos y}+\dfrac{\cos x \sin y}{\cos x \cos y}}{\dfrac{\cos x \cos y}{\cos x \cos y}-\dfrac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y}} \ & =\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y} \end{aligned} $

11. $\tan (x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y}$

यदि हम पहचान 10 में $y$ को $-y$ से प्रतिस्थापित करें, तो हमें मिलता है

$ \begin{aligned} \tan (x-y) & =\tan [x+(-y)] \ & =\frac{\tan x+\tan (-y)}{1-\tan x \tan (-y)}=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y} \end{aligned} $

12. यदि कोई भी कोण $x, y$ और $(x+y)$, $\pi$ का गुणज नहीं है, तो

$ \cot (x+y)=\frac{\cot x \cot y-1}{\cot y+\cot x} $

चूँकि, न तो $x$, न $y$ और न ही $(x+y)$, $\pi$ का गुणज है, हम पाते हैं कि $\sin x$ sin $y$ और $\sin (x+y)$ अशून्य हैं। अब,

$ \cot (x+y)=\frac{\cos (x+y)}{\sin (x+y)}=\frac{\cos x \cos y-\sin x \sin y}{\sin x \cos y+\cos x \sin y} $

अंश और हर को $\sin x \sin y$ से विभाजित करने पर, हमें मिलता है

$ \cot (x+y)=\frac{\cot x \cot y-1}{\cot y+\cot x} $

13. $\cot (\boldsymbol{{}x}-\boldsymbol{{}y})=\frac{\cot \boldsymbol{{}x} \cot \boldsymbol{{}y}+\mathbf{1}}{\cot \boldsymbol{{}y}-\cot \boldsymbol{{}x}}$ यदि कोई भी कोण $x, y$ और $x-y$, $\pi$ का गुणज नहीं है

यदि हम पहचान 12 में $y$ को $-y$ से प्रतिस्थापित करें, तो परिणाम मिलता है

14. $\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=2 \cos ^{2} x-1=1-2 \sin ^{2} x=\frac{1-\tan ^{2} x}{1+\tan ^{2} x}$

हम जानते हैं कि

$ \cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y $

$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

$ \begin{aligned} \cos 2 x & =\cos ^{2} x-\sin ^{2} x \ & =\cos ^{2} x-(1-\cos ^{2} x)=2 \cos ^{2} x-1 \end{aligned} $

पुनः, $\quad \cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x$

$ =1-\sin ^{2} x-\sin ^{2} x=1-2 \sin ^{2} x . $

हमारे पास है

$ \cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=\frac{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x} $

अंश और हर दोनों को $\cos ^{2} x$ से विभाजित करने पर, हम पाते हैं

$ \cos 2 x=\frac{1-\tan ^{2} x}{1+\tan ^{2} x}, x \neq n \pi+\frac{\pi}{2} \text{, जहाँ } n \text{ एक पूर्णांक है } $

15. $\sin 2 x=2 \sin x \cos x=\frac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x} \quad x \neq n \pi+\frac{\pi}{2}$, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है

हमारे पास है

$ \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y $

$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं $\sin 2 x=2 \sin x \cos x$।

पुनः

$ \sin 2 x=\frac{2 \sin x \cos x}{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x} $

प्रत्येक पद को $\cos ^{2} x$ से विभाजित करने पर, हम पाते हैं

$ \sin 2 x=\frac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x} $

16. $\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$ यदि $2 x \neq n \pi+\frac{\pi}{2}$, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है

हम जानते हैं कि

$ \tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y} $

$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं $\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$

17. $\sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x$

हमारे पास है,

$ \begin{aligned} \sin 3 x & =\sin (2 x+x) \ & =\sin 2 x \cos x+\cos 2 x \sin x \ & =2 \sin x \cos x \cos x+(1-2 \sin ^{2} x) \sin x \ & =2 \sin x(1-\sin ^{2} x)+\sin x-2 \sin ^{3} x \ & =2 \sin x-2 \sin ^{3} x+\sin x-2 \sin ^{3} x \ & =3 \sin x-4 \sin ^{3} x \end{aligned} $

18. $\cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x$

हमारे पास,

$ \begin{aligned} \cos 3 x & =\cos (2 x+x) \ & =\cos 2 x \cos x-\sin 2 x \sin x \ & =(2 \cos ^{2} x-1) \cos x-2 \sin x \cos x \sin x \ & =(2 \cos ^{2} x-1) \cos x-2 \cos x(1-\cos ^{2} x) \ & =2 \cos ^{3} x-\cos x-2 \cos x+2 \cos ^{3} x \ & =4 \cos ^{3} x-3 \cos x . \end{aligned} $

19. $\tan 3 x=\frac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x}$ यदि $3 x \neq n \pi+\frac{\pi}{2}$, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है

हमारे पास $\tan 3 x=\tan (2 x+x)$

$ =\frac{\tan 2 x+\tan x}{1-\tan 2 x \tan x}=\frac{\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}+\tan x}{1-\frac{2 \tan x \cdot \tan x}{1-\tan ^{2} x}} $

$ =\frac{2 \tan x+\tan x-\tan ^{3} x}{1-\tan ^{2} x-2 \tan ^{2} x}=\frac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x} $

20.

$ \text{ (i) } \cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $

(ii) $\cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$

(iii) $\sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

(iv) $\sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$

हम जानते हैं कि

$\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

और $\quad \cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$

(1) और (2) को जोड़ने और घटाने पर हम पाते हैं

$ \cos (x+y)+\cos (x-y)=2 \cos x \cos y \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $

और $\quad \cos (x+y)-\cos (x-y)=-2 \sin x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (4)$

आगे $\sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (5)$

और $\quad \sin (x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (6)$

(5) और (6) को जोड़ने और घटाने पर हम पाते हैं

$$ \begin{aligned} & \sin (x+y)+\sin (x-y)=2 \sin x \cos y \quad \quad \quad \quad \ldots (7) \\ & \sin (x+y)-\sin (x-y)=2 \cos x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (8) \end{aligned} $$

मान लीजिए $x+y=\theta$ और $x-y=\phi$. इसलिए

$ x=(\frac{\theta+\phi}{2}) \text{ और } y=(\frac{\theta-\phi}{2}) $

(3), (4), (7) और (8) में $x$ और $y$ के मान रखने पर हम पाते हैं

$ \begin{aligned} & \cos \theta+\cos \phi=2 \cos (\frac{\theta+\phi}{2}) \cos (\frac{\theta-\phi}{2}) \\ & \cos \theta-\cos \phi=-2 \sin (\frac{\theta+\phi}{2}) \sin (\frac{\theta-\phi}{2}) \\ & \sin \theta+\sin \phi=2 \sin (\frac{\theta+\phi}{2}) \cos (\frac{\theta-\phi}{2}) \end{aligned} $

$ \sin \theta-\sin \phi=2 \cos (\frac{\theta+\phi}{2}) \sin (\frac{\theta-\phi}{2}) $

चूंकि $\theta$ और $\phi$ कोई भी वास्तविक मान ले सकते हैं, हम $\theta$ को $x$ और $\phi$ को $y$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

इस प्रकार, हम पाते हैं

$ \begin{aligned} & \cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} ; \cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}, \ & \sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} ; \sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} . \end{aligned} $

टिप्पणी 20 में दी गई पहचानों के भाग के रूप में, हम निम्नलिखित परिणामों को सिद्ध कर सकते हैं:

21. (i) $2 \cos x \cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y)$

(ii) $-2 \sin x \sin y=\cos (x+y)-\cos (x-y)$

(iii) $2 \sin x \cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)$

(iv) $2 \cos x \sin y=\sin (x+y)-\sin (x-y)$.

उदाहरण 10 सिद्ध कीजिए कि

$ 3 \sin \frac{\pi}{6} \sec \frac{\pi}{3}-4 \sin \frac{5 \pi}{6} \cot \frac{\pi}{4}=1 $

हल हमारे पास

$ \begin{aligned} \text{ बायाँ पक्ष } & =3 \sin \frac{\pi}{6} \sec \frac{\pi}{3}-4 \sin \frac{5 \pi}{6} \cot \frac{\pi}{4} \ & =3 \times \frac{1}{2} \times 2-4 \sin (\pi-\frac{\pi}{6}) \times 1=3-4 \sin \frac{\pi}{6} \ & =3-4 \times \frac{1}{2}=1=\text{ दायाँ पक्ष } \end{aligned} $

उदाहरण 11 $\sin 15^{\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास

$ \begin{aligned} \sin 15^{\circ} & =\sin (45^{\circ}-30^{\circ}) \ & =\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \ & =\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} . \end{aligned} $

उदाहरण 12 $\tan \frac{13 \pi}{12}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास

$ \begin{aligned} \tan \frac{13 \pi}{12} & =\tan (\pi+\frac{\pi}{12})=\tan \frac{\pi}{12}=\tan (\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}) \ & =\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan \frac{\pi}{6}}{1+\tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{6}}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3} \end{aligned} $

उदाहरण 13 सिद्ध कीजिए कि

$ \frac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\frac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y} . $

हल हमारे पास

$ \text{ बायाँ पक्ष }=\frac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\frac{\sin x \cos y+\cos x \sin y}{\sin x \cos y-\cos x \sin y} $

अंश और हर को $\cos x \cos y$ से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \text { बायाँ पक्ष }=\frac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\frac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y}=\text { दायाँ पक्ष } $

उदाहरण 14 दिखाइए कि

$ \tan 3 x \tan 2 x \tan x=\tan 3 x-\tan 2 x-\tan x $

हल हम जानते हैं कि $3 x=2 x+x$

इसलिए, $\tan 3 x=\tan (2 x+x)$

या $\quad \tan 3 x=\frac{\tan 2 x+\tan x}{1-\tan 2 x \tan x}$

या

$ \tan 3 x-\tan 3 x \tan 2 x \tan x=\tan 2 x+\tan x $

या

$ \tan 3 x-\tan 2 x-\tan x=\tan 3 x \tan 2 x \tan x $

या

$ \tan 3 x \tan 2 x \tan x=\tan 3 x-\tan 2 x-\tan x . $

उदाहरण 15 सिद्ध कीजिए कि

$ \cos (\frac{\pi}{4}+x)+\cos (\frac{\pi}{4}-x)=\sqrt{2} \cos x $

हल सर्वसमिका 20(i) का प्रयोग करते हुए, हमारे पास

$ \begin{aligned} \text{ बायाँ पक्ष } & =\cos (\frac{\pi}{4}+x)+\cos (\frac{\pi}{4}-x) \\ & =2 \cos (\frac{\frac{\pi}{4}+x+\frac{\pi}{4}-x}{2}) \cos (\frac{\frac{\pi}{4}+x-(\frac{\pi}{4}-x)}{2}) \\ & =2 \cos \frac{\pi}{4} \cos x=2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x=\sqrt{2} \cos x=\text{ दायाँ पक्ष } \end{aligned} $

उदाहरण 16 सिद्ध कीजिए कि $\frac{\cos 7 x+\cos 5 x}{\sin 7 x-\sin 5 x}=\cot x$

हल सर्वसमिकाएँ 20 (i) और 20 (iv) का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \text{ बायाँ पक्ष }=\frac{2 \cos \frac{7 x+5 x}{2} \cos \frac{7 x-5 x}{2}}{2 \cos \frac{7 x+5 x}{2} \sin \frac{7 x-5 x}{2}}=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x=\text{ दायाँ पक्ष } $

उदाहरण 17 सिद्ध कीजिए कि $=\frac{\sin 5 x-2 \sin 3 x+\sin x}{\cos 5 x-\cos x}=\tan x$

हल हमारे पास है

$ \begin{aligned} \text{ बायाँ पक्ष } & =\frac{\sin 5 x-2 \sin 3 x+\sin x}{\cos 5 x-\cos x}=\frac{\sin 5 x+\sin x-2 \sin 3 x}{\cos 5 x-\cos x} \\ & =\frac{2 \sin 3 x \cos 2 x-2 \sin 3 x}{-2 \sin 3 x \sin 2 x}=-\frac{\sin 3 x(\cos 2 x-1)}{\sin 3 x \sin 2 x} \\ & =\frac{1-\cos 2 x}{\sin 2 x}=\frac{2 \sin ^{2} x}{2 \sin x \cos x}=\tan x=\text{ दायाँ पक्ष } \end{aligned} $

विविध उदाहरण

उदाहरण 18 यदि $\sin x=\frac{3}{5}, \cos y=-\frac{12}{13}$, जहाँ $x$ और $y$ दोनों द्वितीय चतुर्थांश में स्थित हैं, तो $\sin (x+y)$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} & \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (1) \\ & \cos ^{2} x=1-\sin ^{2} x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25} \end{aligned} $

इसलिए $\quad \cos x= \pm \frac{4}{5}$.

चूँकि $x$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है, $\cos x$ ऋणात्मक है।

अतः $\quad \cos x=-\frac{4}{5}$

अब $\quad \sin ^{2} y=1-\cos ^{2} y=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$

अर्थात् $\quad \sin y= \pm \frac{5}{13}$.

चूँकि $y$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है, अतः $\sin y$ धनात्मक है। इसलिए, $\sin y=\frac{5}{13}$। (1) में $\sin x, \sin y, \cos x$ और $\cos y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \sin (x+y)=\frac{3}{5} \times(-\frac{12}{13})+(-\frac{4}{5}) \times \frac{5}{13}=-\frac{36}{65}-\frac{20}{65}=-\frac{56}{65} $$

उदाहरण 19 सिद्ध कीजिए कि $ \cos 2 x \cos \frac{x}{2}-\cos 3 x \cos \frac{9 x}{2}=\sin 5 x \sin \frac{5 x}{2} $

हल हमारे पास है

ब.प. $=\frac{1}{2}[2 \cos 2 x \cos \frac{x}{2}-2 \cos \frac{9 x}{2} \cos 3 x]$ $ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}[\cos (2 x+\frac{x}{2})+\cos (2 x-\frac{x}{2})-\cos (\frac{9 x}{2}+3 x)-\cos (\frac{9 x}{2}-3 x)] \\ & =\frac{1}{2}[\cos \frac{5 x}{2}+\cos \frac{3 x}{2}-\cos \frac{15 x}{2}-\cos \frac{3 x}{2}]=\frac{1}{2}[\cos \frac{5 x}{2}-\cos \frac{15 x}{2}] \\ & =\frac{1}{2}[-2 \sin {\frac{\frac{5 x}{2}+\frac{15 x}{2}}{2}} \sin {\frac{\frac{5 x}{2}-\frac{15 x}{2}}{2}}] \\ & =-\sin 5 x \sin (-\frac{5 x}{2})=\sin 5 x \sin \frac{5 x}{2}=\text{ द.प. } \end{aligned} $

उदाहरण 20 $\tan \frac{\pi}{8}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $x=\frac{\pi}{8}$। तब $2 x=\frac{\pi}{4}$।

अब $\quad \tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$

या

$$ \tan \frac{\pi}{4}=\frac{2 \tan \frac{\pi}{8}}{1-\tan ^{2} \frac{\pi}{8}} $$

मान लीजिए $y=\tan \frac{\pi}{8}$। तब $1=\frac{2 y}{1-y^{2}}$

या $\quad y^{2}+2 y-1=0$

इसलिए

$ y=\frac{-2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}=-1 \pm \sqrt{2} $

चूँकि $\frac{\pi}{8}$ प्रथम चतुर्थांश में है, $y=\tan \frac{\pi}{8}$ धनात्मक है। अतः

$$ \tan \frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1 $$

उदाहरण 21 यदि $\tan x=\frac{3}{4}, \pi<x<\frac{3 \pi}{2}$, तो $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ और $\tan \frac{x}{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल चूँकि $\pi<x<\frac{3 \pi}{2}, \cos x$ ऋणात्मक है।

साथ ही $ \quad \frac{\pi}{2}<\frac{x}{2}<\frac{3 \pi}{4} $

इसलिए, $\sin \frac{x}{2}$ धनात्मक है और $\cos \frac{x}{2}$ ऋणात्मक है।

अब

$$ \sec ^{2} x=1+\tan ^{2} x=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16} $$

इसलिए

$$ \cos ^{2} x=\frac{16}{25} \quad \text{ या } \cos x=-\frac{4}{5} \quad \text{ (क्यों?) } $$

अब

$$ 2 \sin ^{2} \frac{x}{2}=1-\cos x=1+\frac{4}{5}=\frac{9}{5} \text{।} $$

इसलिए $ \quad \sin ^{2} \frac{x}{2}=\frac{9}{10} $

या $ \sin \frac{x}{2}=\frac{3}{\sqrt{10}} \quad \text{ (क्यों?) } $

पुनः $ \quad 2 \cos ^{2} \frac{x}{2}=1+\cos x=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5} $

इसलिए

$\quad \cos ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1}{10}$ या $ \cos \frac{x}{2}=-\frac{1}{\sqrt{10}}(\text{ क्यों? }) $

अतः

$$\quad \tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}} \times(\frac{-\sqrt{10}}{1})=-3$$।

उदाहरण 22 सिद्ध कीजिए कि $\cos ^{2} x+\cos ^{2}(x+\frac{\pi}{3})+\cos ^{2}(x-\frac{\pi}{3})=\frac{3}{2}$.

हल हमारे पास

$ \begin{aligned} \text{ बायाँ पक्ष } & =\frac{1+\cos 2 x}{2}+\frac{1+\cos (2 x+\frac{2 \pi}{3})}{2}+\frac{1+\cos (2 x-\frac{2 \pi}{3})}{2} . \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x+\cos (2 x+\frac{2 \pi}{3})+\cos (2 x-\frac{2 \pi}{3})] \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x+2 \cos 2 x \cos \frac{2 \pi}{3}] \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x+2 \cos 2 x \cos (\pi-\frac{\pi}{3})] \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x-2 \cos 2 x \cos \frac{\pi}{3}] \\ & =\frac{1}{2}[3+\cos 2 x-\cos 2 x]=\frac{3}{2}=\text{ दायाँ पक्ष } \end{aligned} $

सारांश

यदि किसी वृत्त जिसकी त्रिज्या $r$ है, में लंबाई $l$ का एक चाप $\theta$ रेडियन का कोण बनाता है, तो $l=r \theta$

रेडियन माप $=\frac{\pi}{180} \times$ डिग्री माप

डिग्री माप $=\frac{180}{\pi} \times$ रेडियन माप

$\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1$

$1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x$

$1+\cot ^{2} x=cosec^{2} x$

$ \cos (2 n \pi+x)=\cos x$

$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x$

$ \sin (-x)=-\sin x$

$ \cos (-x)=\cos x$

• $ \cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$

• $\cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y$

$\cos (\frac{\pi}{2}-x)=\sin x$ $\sin (\frac{\pi}{2}-x)=\cos x$

$ \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y$

$ \sin (x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y$

$ \cos (\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x$

$ \sin (\frac{\pi}{2}+x)=\cos x$

$\cos (\pi-x)=-\cos x$

$ \sin (\pi-x)=\sin x$

$\cos (\pi+x)=-\cos x$

$\sin (\pi+x)=-\sin x$

$\cos (2 \pi-x)=\cos x$

$\sin (2 \pi-x)=-\sin x$

यदि कोणों $x, y$ और $(x \pm y)$ में से कोई भी $\frac{\pi}{2}$ का विषम गुणज नहीं है, तो

$\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}$

$\tan (x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y}$

यदि कोणों $x, y$ और $(x \pm y)$ में से कोई भी $\pi$ का गुणज नहीं है, तो

$\cot (x+y)=\frac{\cot x \cot y-1}{\cot y+\cot x}$

$\cot (x-y)=\frac{\cot x \cot y+1}{\cot y-\cot x}$

$\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=2 \cos ^{2} x-1=1-2 \sin ^{2} x=\frac{1-\tan ^{2} x}{1+\tan ^{2} x}$

$\sin 2 x=2 \sin x \cos x=\frac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x}$

$\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$

$\sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x$

$\cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x$

$\tan 3 x=\frac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x}$

(i) $\cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

(ii) $\cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$

(iii) $\sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

(iv) $\sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$

(i) $2 \cos x \cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y)$

(ii) $-2 \sin x \sin y=\cos (x+y)-\cos (x-y)$

(iii) $2 \sin x \cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)$

(iv) $2 \cos x \sin y=\sin (x+y)-\sin (x-y)$.

ऐतिहासिक टिप्पणी

त्रिकोणमिति का अध्ययन सर्वप्रथम भारत में प्रारंभ हुआ। प्राचीन भारतीय गणितज्ञों आर्यभट्ट (476), ब्रह्मगुप्त (598), भास्कर प्रथम (600) और भास्कर द्वितीय (1114) ने महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए। यह सारा ज्ञान पहले भारत से मध्य-पूर्व गया और वहाँ से यूरोप पहुँचा। यूनानियों ने भी त्रिकोणमिति का अध्ययन प्रारंभ किया था, पर उनकी विधि इतनी असुविधाजनक थी कि जब भारतीय पद्धति ज्ञात हुई तो उसे तुरंत संपूर्ण विश्व में अपना लिया गया।

भारत में आधुनिक त्रिकोणमितीय फलनों के पूर्ववर्ती, जिसे कोण की ज्या कहा जाता है, तथा ज्या फलन का प्रस्ताव गणित के इतिहास में सिद्धांतों (संस्कृत खगोलीय ग्रंथों) का प्रमुख योगदान है।

भास्कर प्रथम (लगभग 600) ने $90^{\circ}$ से अधिक कोणों के लिए ज्या फलनों के मान ज्ञात करने के सूत्र दिए। सोलहवीं शताब्दी की मलयालम रचना युक्तिभाषा (काल) में $\sin (A+B)$ के विस्तार का प्रमाण है। $18^{\circ}, 36^{\circ}, 54^{\circ}, 72^{\circ}$ आदि के ज्या या कोज्या के ठीक-ठीक व्यंजन भास्कर द्वितीय द्वारा दिए गए हैं।

चिह्न $\sin ^{-1} x, \cos ^{-1} x$, आदि, जो arc $\sin x$, arc $\cos x$, आदि के लिए हैं, खगोलशास्त्री सर जॉन एफ.डब्ल्यू. हरशेल (1813) द्वारा सुझाए गए। थेल्स (लगभग 600 ई.पू.) का नाम सदा ऊँचाई और दूरी की समस्याओं से जुड़ा रहता है। उन्हें मिश्र के एक विशाल पिरामिड की ऊँचाई निर्धारित करने का श्रेय दिया जाता है, जिसमें उन्होंने पिरामिड और ज्ञात ऊँचाई वाले एक सहायक डंडे (या ग्नोमन) की छायाओं को मापकर अनुपातों की तुलना की।

$$ \frac{H}{S}=\frac{h}{s}=\tan (\text{ सूर्य की ऊँचाई }) $$

थेल्स के बारे में यह भी कहा जाता है कि उसने समुद्र में स्थित एक जहाज़ की दूरी समरूप त्रिभुजों की भुजाओं की समानुपातिकता के आधार पर निकाली थी। ऊँचाई और दूरी पर आधारित समस्याएँ, जो समरूपता के गुणधर्म का उपयोग करती हैं, प्राचीन भारतीय ग्रंथों में भी पाई जाती हैं।