गणित विज्ञानों की रानी है और अंकगणित गणित की रानी है। - गाउस

4.1 परिचय

पिछली कक्षाओं में, हमने एक और दो चरों में रैखिक समीकरणों और एक चर में द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया है। हमने देखा है कि समीकरण $x^{2}+1=0$ का कोई वास्तविक हल नहीं है क्योंकि $x^{2}+1=0$ से $x^{2}=-1$ प्राप्त होता है और प्रत्येक वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता। इसलिए, हमें वास्तविक संख्या प्रणाली को एक बड़ी प्रणाली तक विस्तारित करने की आवश्यकता है ताकि हम समीकरण $x^{2}=-1$ का हल खोज सकें। वास्तव में, मुख्य उद्देश्य समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ को हल करना है, जहाँ $D=b^{2}-4 a c<0$, जो वास्तविक संख्याओं की प्रणाली में संभव नहीं है।

डब्ल्यू. आर. हैमिल्टन (1805-1865 ई.)

4.2 सम्मिश्र संख्याएँ

आइए हम $\sqrt{-1}$ को प्रतीक $i$ से दर्शाते हैं। तब, हमारे पास $i^{2}=-1$ है। इसका अर्थ है कि $i$ समीकरण $x^{2}+1=0$ का एक हल है।

$a+i b$ के रूप की एक संख्या, जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं, को एक सम्मिश्र संख्या परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, $2+i 3,(-1)+i \sqrt{3}, 4+i(\frac{-1}{11})$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं।

सम्मिश्र संख्या $z=a+i b$ के लिए, $a$ को वास्तविक भाग कहा जाता है, जिसे $Re z$ द्वारा दर्शाया जाता है और $b$ को काल्पनिक भाग कहा जाता है जिसे $Im z$ द्वारा दर्शाया जाता है सम्मिश्र संख्या $z$ का। उदाहरण के लिए, यदि $z=2+i 5$, तब $Re z=2$ और $Im z=5$।

दो समिश्र संख्याएँ $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ तब बराबर होती हैं जब $a=c$ और $b=d$।

उदाहरण 1 यदि $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$, जहाँ $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास

$$ 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \tag{i} $$

(1) के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ 4 x=3,3 x-y=-6, $$

जिन्हें एक साथ हल करने पर, $x=\frac{3}{4}$ और $y=\frac{33}{4}$ प्राप्त होते हैं।

4.3 समिश्र संख्याओं का बीजगणित

इस खंड में, हम समिश्र संख्याओं का बीजगणित विकसित करेंगे।

4.3.1 दो समिश्र संख्याओं का योग

मान लीजिए $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ कोई दो समिश्र संख्याएँ हैं। तब, योग $z_1+z_2$ निम्नलिखित रूप से परिभाषित है:

$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$, जो पुनः एक समिश्र संख्या है।

उदाहरण के लिए, $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$

समिश्र संख्याओं का योग निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

(i) समापन नियम दो समिश्र संख्याओं का योग एक समिश्र संख्या होती है, अर्थात् $z_1+z_2$ एक समिश्र संख्या है सभी समिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए।

(ii) क्रमविनिमेय नियम किन्हीं दो समिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए, $z_1+z_2=z_2+z_1$

(iii) साहचर्य नियम किन्हीं तीन समिश्र संख्याओं $z_1, z_2, z_3$ के लिए, $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$।

(iv) योज्य पहचान का अस्तित्व समिश्र संख्या $0+i 0$ (जिसे 0 द्वारा निरूपित किया जाता है) का अस्तित्व होता है, जिसे योज्य पहचान या शून्य समिश्र संख्या कहा जाता है, ताकि प्रत्येक समिश्र संख्या $z$ के लिए, $z+0=z$।

(v) योज्य प्रतिलोम का अस्तित्व प्रत्येक समिश्र संख्या $z=a+i b$ के लिए, हमारे पास समिश्र संख्या $-a+i(-b)$ (जिसे $-z$ द्वारा दर्शाया जाता है) होती है, जिसे योज्य प्रतिलोम या $z$ का ऋण कहा जाता है। हम देखते हैं कि $z+(-z)=0$ (योज्य तत्समक)।

4.3.2 दो समिश्र संख्याओं का अंतर

कोई भी दो समिश्र संख्याएँ $z_1$ और $z_2$ दी गई हों, तो अंतर $z_1-z_2$ इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

उदाहरण के लिए,

$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $

और

$ \begin{aligned} & (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i \\ & \quad(2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i \end{aligned} $

4.3.3 दो समिश्र संख्याओं का गुणन

मान लीजिए $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ कोई भी दो समिश्र संख्याएँ हैं। तब, गुणनफल $z_1 z_2$ इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$$ z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c) $$

उदाहरण के लिए, $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$

समिश्र संख्याओं के गुणन में निम्नलिखित गुण होते हैं, जिन्हें हम बिना प्रमाण के बता रहे हैं।

(i) बंद नियम दो समिश्र संख्याओं का गुणनफल एक समिश्र संख्या होता है, गुणनफल $z_1 z_2$ एक समिश्र संख्या होती है सभी समिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए।

(ii) क्रमविनिमेय नियम किन्हीं दो समिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए,

$$ z_1 z_2=z_2 z_1 $$

(iii) साहचर्य नियम किन्हीं तीन समिश्र संख्याओं $z_1, z_2, z_3$ के लिए,

$$ (z_1 z_2) z_3=z_1(z_2 z_3) \text{. } $$

(iv) गुणात्मक तत्समक का अस्तित्व समिश्र संख्या $1+i 0$ (जिसे 1 द्वारा दर्शाया जाता है) का अस्तित्व होता है, जिसे गुणात्मक तत्समक कहा जाता है ताकि $z .1=z$, प्रत्येक समिश्र संख्या $z$ के लिए।

(v) गुणात्मक व्युत्क्रम का अस्तित्व प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या $z=a+i b$ या $a+b i(a \neq 0, b \neq 0)$ के लिए, हमारे पास सम्मिश्र संख्या $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}(.$ जिसे $\frac{1}{z}$ या $.z^{-1})$ द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसे $z$ का गुणात्मक व्युत्क्रम कहा जाता है, इस प्रकार कि

$z \cdot \frac{1}{z}=1$ (गुणात्मक तत्समक)।

(vi) वितरण नियम किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2, z_3$ के लिए,

(a) $z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2+z_1 z_3$

(b) $(z_1+z_2) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$

4.3.4 दो सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन

किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ को दिया गया है, जहाँ $z_2 \neq 0$, भागफल $\frac{z_1}{z_2}$ इस प्रकार परिभाषित है

$ \frac{z_1}{z_2}=z_1 \frac{1}{z_2} $

उदाहरण के लिए, मान लीजिए $\quad z_1=6+3 i$ और $z_2=2-i$

तब

$ \frac{z_1}{z_2}=((6+3 i) \times \frac{1}{2-i})=(6+3 i)(\frac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \frac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}) $

$ =(6+3 i)(\frac{2+i}{5})=\frac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\frac{1}{5}(9+12 i) $

4.3.5 $i$ की घात

हम जानते हैं कि

$ \begin{bmatrix} i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i, & i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1 \\ i^{5}=(i^{2})^{2} i=(-1)^{2} i=i, & i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1, \text{ आदि } \end{bmatrix} $

साथ ही, हमारे पास $\quad i^{-1}=\frac{1}{i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1$,

$$ i^{-3}=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{1}=1 $$

सामान्य रूप से, किसी पूर्णांक $k$ के लिए, $i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$

4.3.6 एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या के वर्गमूल

ध्यान दें कि $i^{2}=-1$ और $(-i)^{2}=i^{2}=-1$

इसलिए, -1 के वर्गमूल $i,-i$ हैं। हालांकि, प्रतीक $\sqrt{-1}$ से हमारा तात्पर्य केवल $i$ है।

अब, हम देख सकते हैं कि $i$ और $-i$ दोनों समीकरण $x^{2}+1=0$ या $x^{2}=-1$ के हल हैं।

इसी प्रकार $\quad(\sqrt{3} i)^{2}=(\sqrt{3})^{2} i^{2}=3(-1)=-3$

$$ (-\sqrt{3} i)^{2}=(-\sqrt{3})^{2} i^{2}=-3 $$

इसलिए, -3 के वर्गमूल $\sqrt{3} i$ और $-\sqrt{3} i$ हैं।

फिर, प्रतीक $\sqrt{-3}$ का अर्थ केवल $\sqrt{3} i$ को दर्शाना है, अर्थात् $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$।

सामान्यतः, यदि $a$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, तो $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$,

हम पहले से जानते हैं कि $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$ सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए होता है। यह परिणाम तब भी सत्य रहता है जब या तो $a>0, b<0$ या $a<0, b>0$। यदि $a<0, b<0$ हो तो क्या होगा? आइए जांचें।

ध्यान दें कि

$ \begin{aligned} i^{2} & =\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)} \text{ (यह मानकर कि } \sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b} \text{ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए) } \\ & =\sqrt{1}=1 \text{, जो कि इस तथ्य के विरुद्ध है कि } i^{2}=-1 \end{aligned} $

इसलिए, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$ यदि $a$ और $b$ दोनों ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हों।

इसके अतिरिक्त, यदि $a$ और $b$ में से कोई भी शून्य है, तो स्पष्ट है कि $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$।

4.3.7 सर्वसमिकाएँ

हम निम्नलिखित सर्वसमिका को सिद्ध करते हैं

$ (z_1+z_2)^{2}=z_1^{2}+z_2^{2}+2 z_1 z_2 \text{, सभी समिश्र संख्याओं } z_1 \text{ और } z_2 \text{ के लिए। } $

प्रमाण हमारे पास, $(z_1+z_2)^{2}=(z_1+z_2)(z_1+z_2)$,

$$ \begin{aligned} =(z_1+z_2) z_1+(z_1+z_2) z_2 & \text{ (वितरण नियम) } \\ =z_1^{2}+z_2 z_1+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (वितरण नियम) } \\ =z_1^{2}+z_1 z_2+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (गुणा का क्रमविनिमय नियम) } \\ =z_1^{2}+2 z_1 z_2+z_2^{2} & \end{aligned} $$

इसी प्रकार, हम निम्नलिखित सर्वसमिकाओं को सिद्ध कर सकते हैं:

(i) $(z_1-z_2)^{2}=z_1^{2}-2 z_1 z_2+z_2^{2}$

(ii) $(z_1+z_2)^{3}=z_1^{3}+3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}+z_2^{3}$

(iii) $(z_1-z_2)^{3}=z_1^{3}-3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}-z_2^{3}$

(iv) $z_1^{2}-z_2^{2}=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$

वास्तव में, कई अन्य सर्वसमिकाएँ जो सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य हैं, सभी समिश्र संख्याओं के लिए भी सत्य सिद्ध की जा सकती हैं।

उदाहरण 2 निम्नलिखित को $a+b i$ के रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}$

हल (i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)=\frac{-5}{8} i^{2}=\frac{-5}{8}(-1)=\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+i 0$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}=2 \times \frac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\frac{1}{256}(i^{2})^{2} i=\frac{1}{256} i$.

उदाहरण 3 $(5-3 i)^{3}$ को $a+i b$ के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल हमारे पास, $(5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$

$$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i . $$

उदाहरण 4 $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$ को $a+i b$ के रूप में व्यक्त कीजिए

हल हमारे पास है, $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)=(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$

$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i $

4.4 एक समिश्र संख्या का मापांक और संयुग्मी

मान लीजिए $z=a+i b$ एक समिश्र संख्या है। तब, $z$ का मापांक, जिसे $|z|$ द्वारा दर्शाया जाता है, को अ-ऋणात्मक वास्तविक संख्या $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ परिभाषित किया जाता है, अर्थात् $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ और $z$ का संयुग्मी, जिसे $\bar{z}$ द्वारा दर्शाया जाता है, समिश्र संख्या $a-i b$ होती है, अर्थात् $\bar{z}=a-i b$।

उदाहरण के लिए, $\quad|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$,

और

$ \overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5 $

ध्यान दीजिए कि अ-शून्य समिश्र संख्या $z$ का गुणात्मक व्युत्क्रम निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$ \begin{aligned} & \quad z^{-1}=\frac{1}{a+i b}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \ & \text{ या } z \bar{z}=|z|^{2} \end{aligned} $

इसके अतिरिक्त, निम्नलिखित परिणाम आसानी से व्युत्पन्न किए जा सकते हैं।

किन्हीं दो समिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए, हमारे पास है

(i) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$

(ii) $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ बशर्ते $|z_2| \neq 0$

(iii) $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$

(iv) $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $

(v) $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} बशर्ते z_2\neq0 $.

उदाहरण 5 $2-3 i$ का गुणात्मक व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

हल माना $z=2-3 i$

तब $\quad \bar{z}=2+3 i$ और $\quad|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$

इसलिए, $2-3 i$ का गुणज व्युत्क्रम निम्न प्रकार से दिया गया है

$ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i $

उपरोक्त कार्य निम्न प्रकार से भी दोहराया जा सकता है,

$ \begin{aligned} z^{-1} & =\frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \end{aligned} $

उदाहरण 6 निम्न को $a+i b$ के रूप में व्यक्त कीजिए

(i) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$

(ii) $i^{-35}$

हल (i) हमारे पास, $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \frac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\frac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$

$$ =\frac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\frac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $$

(ii) $i^{-35}=\frac{1}{i^{35}}=\frac{1}{(i^{2})^{17} i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^{2}}=i$

4.5 आर्गांड समतल और ध्रुवीय निरूपण

हम पहले से जानते हैं कि वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक क्रमित युग्म $(x, y)$ के अनुरूप, हमें XY-समतल में एक अद्वितीय बिंदु प्राप्त होता है और इसके विपरीत, परस्पर लंब रेखाओं के समूह के संदर्भ में जिसे $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के रूप में जाना जाता है। सम्मिश्र संख्या $x+i y$ जो क्रमित युग्म $(x, y)$ के अनुरूप है, को ज्यामितीय रूप से XY-समतल में अद्वितीय बिंदु $P(x, y)$ के रूप में निरूपित किया जा सकता है और इसके विपरीत।

कुछ समिश्र संख्याएँ जैसे $2+4 i,-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$ और $1-2 i$ जो क्रमशः क्रमित युग्मों $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0),(-5,-2)$ और $(1,-2)$ के अनुरूप हैं, को आकृति 4.1 में बिंदुओं $A, B, C, D, E$ और $F$ द्वारा ज्यामितीय रूप से निरूपित किया गया है।

आकृति 4.1

वह समतल जिसके प्रत्येक बिंदु पर एक समिश्र संख्या निर्धारित की गई हो, समिश्र समतल या आर्गैंड समतल कहलाता है।

स्पष्ट है कि आर्गैंड समतल में समिश्र संख्या $x+i y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ का मापांक बिंदु $P(x, y)$ और मूल बिंदु $O(0,0)$ के बीच की दूरी है (आकृति 4.2)। $x$-अक्ष के बिंदु $a+i 0$ रूप की समिश्र संख्याओं के अनुरूप होते हैं और $y$-अक्ष के बिंदु $0+i b$ रूप की समिश्र संख्याओं के अनुरूप होते हैं। आर्गैंड समतल में $x$-अक्ष और $y$-अक्ष को क्रमशः वास्तविक अक्ष और काल्पनिक अक्ष कहा जाता है।

आकृति 4.2

एक समिश्र संख्या (z=x+i y) और उसकी संयुग्मी (z=x-i y) का आर्गैंड तल में प्रतिनिधित्व क्रमशः बिंदु (P(x, y)) और (Q(x,-y)) हैं।
ज्यामितीय रूप से, बिंदु ((x,-y)), बिंदु ((x, y)) का वास्तविक अक्ष पर दर्पण प्रतिबिंब है (चित्र 4.3)।

चित्र 4.2

विविध उदाहरण

उदाहरण 7 (\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}) की संयुग्मी ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास, (\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)})

$ \begin{aligned} & =\frac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}=\frac{12+5 i}{4+3 i} \times \frac{4-3 i}{4-3 i} \\ & =\frac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\frac{63-16 i}{25}=\frac{63}{25}-\frac{16}{25} i \end{aligned} $

इसलिए, (\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}) की संयुग्मी (\frac{63}{25}+\frac{16}{25} i) है।

उदाहरण 8 यदि (x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}), तो सिद्ध कीजिए कि (x^{2}+y^{2}=1)।

हल हमारे पास,

$ x+i y=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i $

इस प्रकार, (x-i y=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i)

इसलिए,

$ \begin{aligned} x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y) & =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=1 \end{aligned} $

सारांश

एक संख्या जिसका रूप $a+i b$ हो, जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं, को सम्मिश्र संख्या कहा जाता है, $a$ को वास्तविक भाग और $b$ को सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग कहा जाता है।

मान लीजिए $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ है। तब

(i) $z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$

(ii) $z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c)$

किसी भी अशून्य सम्मिश्र संख्या $z=a+i b(a \neq 0, b \neq 0)$ के लिए, $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}$ नामक सम्मिश्र संख्या का अस्तित्व होता है, जिसे $\frac{1}{z}$ या $z^{-1}$ द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे $z$ का गुणनात्मक व्युत्क्रम कहा जाता है ताकि $(a+i b) \frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=1+i 0$ $=1$

किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए, $i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$

सम्मिश्र संख्या $z=a+i b$ का संयुग्मी, जिसे $\bar{z}$ द्वारा दर्शाया जाता है, $\bar{z}=a-i b$ द्वारा दिया जाता है।

ऐतिहासिक नोट

यह तथ्य कि वास्तविक संख्या प्रणाली में किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल अस्तित्व में नहीं होता, यूनानियों ने पहचाना था। परन्तु श्रेय भारतीय गणितज्ञ महावीर (850 ई.) को जाता है, जिन्होंने इस कठिनाई को सर्वप्रथम स्पष्ट रूप से कहा। “वे अपने ग्रन्थ ‘गणितसार संग्रह’ में कहते हैं—‘प्रकृति के नियमानुसार कोई ऋण (राशि) वर्ग (राशि) नहीं होती, इसलिए इसका वर्गमूल भी नहीं होता।’ भास्कर, एक अन्य भारतीय गणितज्ञ, भी अपने 1150 ई. में लिखे ग्रन्थ बीजगणित में लिखते हैं—‘ऋण राशि का कोई वर्गमूल नहीं होता, क्योंकि यह वर्ग नहीं है।’ कार्डन (1545) ने समीकरणों

$ x+y=10, x y=40 $

को हल करने की समस्या पर विचार किया। उसने $x=5+\sqrt{-15}$ तथा $y=5-\sqrt{-15}$ इसका हल प्राप्त किया, जिसे उसने यह कहकर त्याग दिया कि ये संख्याएँ ‘निरुपयोगी’ हैं। अल्बर्ट जिरार्ड (लगभग 1625) ने ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल को स्वीकार किया और कहा कि इससे हमें बहुपद समीकरण की घात के बराबर मूल प्राप्त करने में सहायता मिलेगी। आयलर ने सर्वप्रथम $\sqrt{-1}$ के लिए प्रतीक $i$ प्रस्तुत किया और डब्ल्यू. आर. हैमिल्टन (लगभग 1830) ने समिश्र संख्या $a+i b$ को वास्तविक संख्याओं के एक क्रमित युग्म $(a, b)$ के रूप में माना, जिससे उसने इसे एक शुद्ध गणितीय परिभाषा दी और तथाकथित ‘काल्पनिक संख्याओं’ के प्रयोग से बचा।