गणित बहुत-सी बातों को अनेक तरीकों से कहने की कला है। - मैक्सवेल

5.1 परिचय

पिछली कक्षाओं में हमने एक चर और दो चरों वाले समीकरणों का अध्ययन किया है और कुऺ कथन-समस्याओं को समीकरणों के रूप में अनुवाद करके हल भी किया है। अब एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: ‘क्या हर कथन-समस्या को हमेशा समीकरण के रूप में अनुवादित किया जा सकता है?’ उदाहरण के लिए, आपकी कक्षा के सभी विद्यार्थियों की ऊँचाई 160 cm से कम है। आपकी कक्षा में अधिकतम 60 मेज़ या कुर्सी या दोनों समा सकते हैं। यहाँ हमें कुऺ कथन मिलते हैं जिनमें ‘<’ (कम से), ‘>’ (अधिक से), ‘≤’ (कम से या बराबर) और ‘≥’ (अधिक से या बराबर) जैसे चिह्न होते हैं, जिन्हें असमानताएँ कहा जाता है।

इस अध्याय में हम एक और दो चरों वाली रैखिक असमानताओं का अध्ययन करेंगे। असमानताओं का अध्ययन विज्ञान, गणित, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, मनोविज्ञान आदि क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने में बहुत उपयोगी है।

5.2 असमानताएँ

आइए निम्नलिखित परिस्थितियों पर विचार करें:

(i) रवि बाज़ार में चावल खरीदने ₹ 200 लेकर जाता है, जो 1 kg के पैकेटों में उपलब्ध है। एक पैकेट चावल की कीमत ₹ 30 है। यदि x चावल के पैकेटों की संख्या को दर्शाता है, जो वह खरीदता है, तो उसके द्वारा खर्च की गई कुल राशि ₹ 30x होती है। चूँकि उसे चावल केवल पैकेटों में ही खरीदना है, वह संभवतः ₹ 200 की पूरी राशि खर्च नहीं कर पाएगा। (क्यों?) इसलिए

$$ 30 x<200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

स्पष्ट है कि कथन (i) एक समीकरण नहीं है क्योंकि इसमें समानता का चिह्न शामिल नहीं है। (ii) रेशमा के पास ₹ 120 हैं और वह कुछ रजिस्टर और पेन खरीदना चाहती है। एक रजिस्टर की लागत ₹ 40 है और एक पेन की लागत ₹ 20 है। इस स्थिति में, यदि $x$ रजिस्टरों की संख्या और $y$ पेनों की संख्या को दर्शाता है जो रेशमा खरीदती है, तो उसके द्वारा खर्च की गई कुल राशि ₹ $(40 x+20 y)$ है और हमारे पास

$$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

चूंकि इस स्थिति में खर्च की गई कुल राशि ₹ 120 तक हो सकती है। ध्यान दें कि कथन (2) में दो कथन शामिल हैं

$ \text{ और } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

कथन (3) एक समीकरण नहीं है, अर्थात् यह एक असमानता है जबकि कथन (4) एक समीकरण है।

परिभाषा 1 दो वास्तविक संख्याएं या दो बीजगणितीय व्यंजक जिन्हें चिह्न ’ $<$,’, ‘>’, ’ $\leq$ ’ या ’ $\geq$ ’ द्वारा संबद्ध किया गया हो, एक असमानता बनाते हैं।

उपरोक्त (1), (2) और (3) जैसे कथन असमानताएं हैं।

$3<5 ; 7>5$ संख्यात्मक असमानताओं के उदाहरण हैं जबकि

$x<5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ अक्षरात्मक असमानताओं के कुछ उदाहरण हैं। $3<5<7($ इसे 5, 3 से बड़ा और 7 से छोटा है के रूप में पढ़ा जाता है), $3 \leq x<5($ इसे $x$, 3 से बड़ा या बराबर और 5 से छोटा है के रूप में पढ़ा जाता है) और $2<y \leq 4$ दोहरी असमानताओं के उदाहरण हैं। असमानताओं के कुछ और उदाहरण हैं:

$$ \begin{align*} & a x+b<0 \tag{5}\\ & a x+b>0 \tag{6}\\ & a x+b \leq 0 \tag{7}\\ & a x+b \geq 0 \tag{8}\\ & a x+b y<c \tag{9}\\ & a x+b y>c \tag{10}\\ & a x+b y \leq c \tag{11}\\ & a x+b y \geq c \tag{12}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \tag{13}\\ & a x^{2}+b x+c>0 \tag{14} \end{align*} $$

असमिकाएँ (5), (6), (9), (10) और (14) कड़ी असमिकाएँ हैं जबकि असमिकाएँ (7), (8), (11), (12), और (13) ढीली असमिकाएँ हैं। असमिकाएँ (5) से (8) तक एक चर $x$ में रैखिक असमिकाएँ हैं जब $a \neq 0$, जबकि असमिकाएँ (9) से (12) तक दो चरों $x$ और $y$ में रैखिक असमिकाएँ हैं जब $a \neq 0, b \neq 0$। असमिकाएँ (13) और (14) रैखिक नहीं हैं (वास्तव में, ये एक चर $x$ में द्विघात असमिकाएँ हैं जब $a \neq 0)$।

इस अध्याय में, हम स्वयं को केवल एक और दो चरों में रैखिक असमिकाओं के अध्ययन तक सीमित रखेंगे।

5.3 एक चर में रैखिक असमिकाओं के बीजगणितीय हल और उनका आलेखीय निरूपण

आइए हम असमिका (1) पर विचार करें जो कि खंड 6.2 की है, अर्थात्, $30 x<200$ ध्यान दें कि यहाँ $x$ चावल के पैकेटों की संख्या को दर्शाता है। स्पष्ट है कि $x$ ऋणात्मक पूर्णांक या भिन्न नहीं हो सकता। इस असमिका का बायाँ पक्ष (L.H.S.) $30 x$ है और दायाँ पक्ष (RHS) 200 है। इसलिए, हमारे पास है

$ \begin{aligned} & \text{ For } x=0 \text{, L.H.S. }=30(0)=0<200(\text{ R.H.S. }) \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=1 \text{, L.H.S. }=30(1)=30<200 \text{ (R.H.S.), which is true. } \\ & \text{ For } x=2 \text{, L.H.S. }=30(2)=60<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=3 \text{, L.H.S. }=30(3)=90<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=4 \text{, L.H.S. }=30(4)=120<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=5 \text{, L.H.S. }=30(5)=150<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=6 \text{, L.H.S. }=30(6)=180<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=7 \text{, L.H.S. }=30(7)=210<200 \text{, which is false. } \end{aligned} $

उपरोक्त स्थिति में, हम पाते हैं कि $x$ के वे मान, जो उपरोक्त असमानता को एक सत्य कथन बनाते हैं, $0,1,2,3,4,5,6$ हैं। $x$ के ये मान, जो उपरोक्त असमानता को एक सत्य कथन बनाते हैं, असमानता के हल कहलाते हैं और समुच्चय ${0,1,2,3,4,5,6}$ को इसका हल समुच्चय कहा जाता है।

इस प्रकार, एक चर वाली किसी असमानता का कोई भी हल चर का ऐसा मान है जो उसे एक सत्य कथन बनाता है।

हमने उपरोक्त असमानता का हल प्रयास और त्रुटि विधि से निकाला है, जो बहुत कारगर नहीं है। स्पष्टतः, यह विधि समय लेने वाली है और कभी-कभी व्यवहार्य भी नहीं होती है। हमारे पास असमानताओं को हल करने के लिए कोई बेहतर या व्यवस्थित तकनीक होनी चाहिए। इससे पहले कि हम वह करें, हमें संख्यात्मक असमानताओं की कुछ और विशेषताओं से गुजरना चाहिए और उन्हें नियमों के रूप में अपनाना चाहिए जबकि हम असमानताओं को हल कर रहे हों।

आपको याद होगा कि रैखिक समीकरणों को हल करते समय हम निम्नलिखित नियमों का पालन करते थे:

नियम 1 समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्याएँ जोड़ी (या घटाई) जा सकती हैं।

नियम 2 समीकरण के दोनों पक्षों को समान (शून्येतर) संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जा सकता है।

असमिकाओं को हल करने के मामले में हम पुनः इन्हीं नियमों का पालन करते हैं, केवल एक अंतर के साथ कि नियम 2 में जब भी हम असमिका के दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा (या विभाजित) करते हैं, तो असमिका का चिह्न उलट जाता है (अर्थात् ‘<’ बन जाता है ‘>’, ‘$\leq$’ बन जाता है ‘$\geq$’ आदि)। यह निम्न तथ्यों से स्पष्ट है:

$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ जबकि }-3<-2 \ & -8<-7 \text{ जबकि }(-8)(-2)>(-7)(-2), \text{ अर्थात् } 16>14 . \end{aligned} $

इस प्रकार हम असमिका को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम प्रस्तुत करते हैं:

नियम 1 असमिका के दोनों पक्षों में समान संख्याएँ जोड़ी (या घटाई) जा सकती हैं बिना असमिका के चिह्न को प्रभावित किए।

नियम 2 असमिका के दोनों पक्षों को समान धनात्मक संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जा सकता है। परंतु जब दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो असमिका का चिह्न उलट जाता है।

अब आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1 $30 x<200$ को हल कीजिए जब (i) $x$ एक प्राकृतिक संख्या है, (ii) $x$ एक पूर्णांक है।

हल हमें दिया गया है $30 x<200$

या $\quad \frac{30 x}{30}<\frac{200}{30}$ (नियम 2), अर्थात् $x<20 / 3$.

(i) जब $x$ एक प्राकृतिक संख्या है, इस स्थिति में $x$ के निम्नलिखित मान कथन को सत्य बनाते हैं।

$$ x=1,2,3,4,5,6 $$

असमिका का हल समुच्चय है $\{1,2,3,4,5,6\}$।

(ii) जब $x$ एक पूर्णांक है, तो दी गई असमिका के हल हैं

$$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $$

असमिका का हल समुच्चय है $ \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \} $

उदाहरण 2 हल कीजिए $5 x-3<3 x+1$ जब (i) $x$ एक पूर्णांक है, (ii) $x$ एक वास्तविक संख्या है।

हल हमारे पास, $5 x-3<3 x+1$

या $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (नियम 1)

या $\quad \quad$ $5 x<3 x+4$

या $\quad \quad$ $5 x-3 x<3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (नियम 2)

या $\quad \quad$ $2 x<4$

या $\quad \quad$ $x<2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (नियम 3)

(i) जब $x$ एक पूर्णांक है, तो दी गई असमिका के हल हैं

$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $

(ii) जब $x$ एक वास्तविक संख्या है, तो असमिका के हल $x<2$ द्वारा दिए जाते हैं, अर्थात् सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ जो 2 से कम हैं। इसलिए, असमिका का हल समुच्चय है $x \in(-\infty, 2)$।

हमने प्राकृत संख्याओं के समुच्चय, पूर्णांकों के समुच्चय और वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में असमिकाओं के हलों पर विचार किया है। आगे से, जब तक अन्यथा न कहा जाए, हम इस अध्याय में असमिकाओं को वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में हल करेंगे।

उदाहरण 3 हल कीजिए $4 x+3<6 x+7$।

हल हमारे पास, $\quad 4 x+3<6 x+7$

या $\quad 4 x-6 x<6 x+4-6 x$

या $\quad-2 x<4 \quad$ या $x>-2$

अर्थात्, सभी वास्तविक संख्याएँ जो -2 से बड़ी हैं, दिए गए असमानता के हल हैं। इसलिए, हल समुच्चय है $(-2, \infty)$।

उदाहरण 4 हल कीजिए $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$।

हल हमारे पास $\quad \quad \quad \quad$ $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$

या $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$

या $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$

या $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, अर्थात्, } x \geq 8$

इस प्रकार, सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ जो 8 से बड़ी या बराबर हैं, दिए गए असमानता के हल हैं, अर्थात्, $x \in[8, \infty)$।

उदाहरण 5 हल कीजिए $7 x+3<5 x+9$। संख्या रेखा पर हल का आलेख दिखाइए।

हल हमारे पास $7 x+3<5 x+9$ या $2 x<6$ या $x<3$

हल का आलेखीय निरूपण फिग 5.1 में दिया गया है।

फिग 5.1

उदाहरण 6 हल कीजिए $\frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$। संख्या रेखा पर हल का आलेख दिखाइए।

हल हमारे पास $ \frac{3 x-4}{2}\geq\frac{x+1}{4}-1$

$ \text{या} \quad \frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x-3}{4} $

$ \text{या} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $

या $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$

या $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$

या $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$

हल का आलेखीय निरूपण फिग 5.2 में दिया गया है।

आकृति 5.2

उदाहरण 7 कक्षा XI के एक विद्यार्थी को प्रथम और द्वितीय सत्रीय परीक्षा में क्रमशः 62 और 48 अंक प्राप्त हुए हैं। वार्षिक परीक्षा में न्यूनतम कितने अंक प्राप्त करे कि उसका औसत कम से कम 60 अंक हो जाए।

हल मान लीजिए $x$ विद्यार्थी को वार्षिक परीक्षा में प्राप्त अंक हैं। तब

$ \frac{62+48+x}{3} \geq 60 $

या $\quad \quad \quad \quad 110+x \geq 180$

या $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 70$

अतः विद्यार्थी को कम से कम 70 अंक प्राप्त करने होंगे ताकि उसका औसत कम से कम 60 अंक हो।

उदाहरण 8 क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के ऐसे सभी युग्म ज्ञात कीजिए, जिनमें दोनों संख्याएँ 10 से बड़ी हों और उनका योग 40 से कम हो।

हल मान लीजिए $x$ दो क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं में छोटी संख्या है, ताकि दूसरी संख्या $x+2$ हो। तब हमें होना चाहिए

$$ \begin{equation*} x>10 \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} \text{ और } \quad \quad \quad x>10 \tag{2} \end{equation*} $$

(2) को हल करने पर, हम पाते हैं

$$ \begin{equation*} 2 x+2<40 \tag{3} \end{equation*} $$

अर्थात् $$x<19 \quad \quad \quad \quad \quad \quad\ldots (3) $$

(1) और (3) से, हम पाते हैं

$$ 10<x<19 $$

चूँकि $x$ एक विषम संख्या है, $x$ मान 11,13,15 और 17 ले सकती है। अतः अभीष्ट संभव युग्म होंगे $(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)$

विविध उदाहरण

उदाहरण 9 हल कीजिए $-8 \leq 5 x-3<7$.

हल इस स्थिति में, हमारे पास दो असमिकाएँ हैं, $-8 \leq 5 x-3$ और $5 x-3<7$, जिन्हें हम एक साथ हल करेंगे। हमारे पास $-8 \leq 5 x-3<7$

या $\quad-5 \leq 5 x<10$

$ \text{ या } \quad-1 \leq x<2 $

उदाहरण 10 हल कीजिए $-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$.

हल हमारे पास $\quad-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$

या $\quad-10 \leq 5-3 x \leq 16 \quad$ या $\quad-15 \leq-3 x \leq 11$

या $\quad 5 \geq x \geq-\frac{11}{3}$

जिसे $\frac{-11}{3} \leq x \leq 5$ के रूप में लिखा जा सकता है

उदाहरण 11 असमिकाओं की प्रणाली को हल कीजिए:

$$ \begin{aligned} & 3 x-7<5+x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \\ & 11-5 x \leq 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) \end{aligned} $$

और हलों को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए।

हल असमिका (1) से, हमारे पास

$$ 3 x - 7 < 5 + x $$

या $ \quad x < 6 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$

साथ ही, असमिका (2) से, हमारे पास

$$ 11-5 x \leq 1 $$

या $ \quad - 5 x \leq-10 \quad \text{ अर्थात् } x \geq 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(4)$

यदि हम असमिकाओं (3) और (4) का ग्राफ संख्या रेखा पर खींचें, तो हम देखते हैं कि $x$ के वे मान जो दोनों में सामान हैं, फिगर 5.3 में मोटी रेखा द्वारा दर्शाए गए हैं।

इस प्रकार, प्रणाली का हल वास्तविक संख्याएँ $x$ हैं जो 2 और 6 के बीच में हैं, 2 सहित, अर्थात् $2 \leq x<6$

उदाहरण 12 एक प्रयोग में, हाइड्रोक्लोरिक एसिड के एक विलयन को 30° और 35° सेल्सियस के बीच रखना है। यदि रूपांतरण सूत्र C = 5/9 (F − 32) दिया गया है, जहाँ C और F क्रमशः सेल्सियस और फारेनहाइट में तापमान को दर्शाते हैं, तो तापमान की सीमा फारेनहाइट डिग्री में क्या होगी?

हल दिया गया है कि 30 < C < 35।

C = 5/9 (F − 32) रखने पर, हम पाते हैं
30 < 5/9 (F − 32) < 35

या
9/5 × 30 < (F − 32) < 9/5 × 35

या
54 < (F − 32) < 63
या
86 < F < 95।

इस प्रकार, तापमान की अभीष्ट सीमा 86°F और 95°F के बीच है।

उदाहरण 13 एक निर्माता के पास 12% अम्लीय विलयन के 600 लीटर हैं। इसमें कितने लीटर 30% अम्लीय विलयन मिलाया जाए कि परिणामी मिश्रण में अम्ल की मात्रा 15% से अधिक परंतु 18% से कम हो?

हल मान लीजिए x लीटर 30% अम्लीय विलयन मिलाया जाता है। तो कुल मिश्रण = (x + 600) लीटर

इसलिए
30% × x + 12% × 600 > 15% × (x + 600)

और
30% × x + 12% × 600 < 18% × (x + 600)

$ \begin{array}{ll} \text{या} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)>\frac{15}{100}(x+600) \\ \\ \text{और} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)<\frac{18}{100}(x+600) \\ \\ \text{या}& 30 x+7200>15 x+9000 \\ \text{और} & 30 x+7200<18 x+10800 \\ \text{या} & 15 x>1800 \text{ और } 12 x<3600 \\ \text{या} & x>120 \text{ और } x<300, \\ \text{अर्थात्} & 120<x<300 \end{array} $

इस प्रकार, अम्ल के $30 %$ विलयन के लिए आवश्यक लीटरों की संख्या 120 लीटर से अधिक परन्तु 300 लीटर से कम होनी चाहिए।

सारांश

दो वास्तविक संख्याएँ या दो बीजगणितीय व्यंजक चिह्नों $<,>, \leq$ या $\geq$ द्वारा सम्बद्ध होकर एक असमिका बनाते हैं।

किसी असमिका के दोनों पक्षों में समान संख्याएँ जोड़ी (या घटाई) जा सकती हैं।

किसी असमिका के दोनों पक्षों को समान धनात्मक संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जा सकता है। परन्तु जब दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जाता है, तब असमिका उलट जाती है।

वे मान $x$ के, जो किसी असमिका को एक सत्य कथन बनाते हैं, असमिका के हल कहलाते हैं।

संख्या रेखा पर $x<a$ (या $x>a$ ) को निरूपित करने के लिए, संख्या $a$ पर एक वृत्त लगाइए और संख्या $a$ के बाईं ओर (या दाईं ओर) गहरी रेखा खींचिए।

संख्या रेखा पर $x \leq a$ ( या $x \geq a$ ) को निरूपित करने के लिए, संख्या $a$ पर एक गहरा वृत्त लगाइए और संख्या $x$ के बाईं ओर (या दाईं ओर) की रेखा को गहरा कीजिए।