प्रत्येक खोज का निकाय गणितीय रूप में होता है क्योंकि हमारे पास और कोई अन्य मार्गदर्शन नहीं है - डार्विन

6.1 परिचय

मान लीजिए आपके पास एक नंबर लॉक वाला सूटकेस है। नंबर लॉक में 4 पहिये हैं, प्रत्येक पर 0 से 9 तक के 10 अंक अंकित हैं। लॉक तभी खुलेगा जब 4 विशिष्ट अंक एक विशेष क्रम में बिना पुनरावृत्ति के व्यवस्थित हों। किसी कारणवश आप यह विशिष्ट अंकों की क्रम भूल गए हैं। आपको केवल पहला अंक याद है जो 7 है। लॉक खोलने के लिए आपको 3-अंकों की कितनी क्रमाएँ जाँचनी पड़ सकती हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए आप तुरंत शेष 9 अंकों में से 3 को एक बार में लेकर सभी संभव व्यवस्थाएँ सूचीबद्ध करना शुरू कर सकते हैं। लेकिन यह विधि थकाऊ होगी, क्योंकि संभव क्रमाओं की संख्या बड़ी हो सकती है। यहाँ, इस अध्याय में, हम कुछ बुनियादी गिनती तकनीकें सीखेंगे जो

हमें 3-अंकों की व्यवस्थाओं को वास्तव में सूचीबद्ध किए बिना इस प्रश्न का उत्तर देने में सक्षम बनाएँगी। वास्तव में, ये तकनीकें वस्तुओं की व्यवस्था और चयन के विभिन्न तरीकों की संख्या निर्धारित करने में उपयोगी होंगी बिना उन्हें वास्तव में सूचीबद्ध किए। पहले कदम के रूप में, हम एक सिद्धांत की जाँच करेंगे जो इन तकनीकों को सीखने के लिए सबसे मौलिक है।

6.2 गिनती का मौलिक सिद्धांत

आइए निम्नलिखित समस्या पर विचार करें। मोहन के पास 3 पैंट और 2 शर्ट हैं। वह एक पैंट और एक शर्ट की कितनी विभिन्न जोड़ियाँ पहन सकता है? एक पैंट चुनने के 3 तरीके हैं, क्योंकि 3 पैंट उपलब्ध हैं। इसी प्रकार, एक शर्ट 2 तरीकों से चुनी जा सकती है। प्रत्येक पैंट के चयन के लिए, शर्ट के 2 चयन हैं। इसलिए, एक पैंट और एक शर्ट की $3 \times 2=6$ जोड़ियाँ हैं।

आइए तीनों पैंटों को $P_1, P_2, P_3$ और दोनों शर्टों को $S_1, S_2$ नाम दें। तब, इन छह संभावनाओं को चित्र 6.1 में दर्शाया गया है।

चित्र 6.1

आइए इसी प्रकार की एक अन्य समस्या पर विचार करें।

सबनाम के पास 2 स्कूल बैग, 3 टिफिन बॉक्स और 2 पानी की बोतलें हैं। वह इन वस्तुओं को (प्रत्येक में से एक चुनकर) कितने तरीकों से ले जा सकती है?

एक स्कूल बैग 2 विभिन्न तरीकों से चुना जा सकता है। एक स्कूल बैग चुने जाने के बाद, एक टिफिन बॉक्स 3 विभिन्न तरीकों से चुना जा सकता है। इसलिए, स्कूल बैग और टिफिन बॉक्स की $2 \times 3=6$ जोड़ियाँ हैं। इनमें से प्रत्येक जोड़ी के लिए एक पानी की बोतल 2 विभिन्न तरीकों से चुनी जा सकती है।

इसलिए, सबनाम इन वस्तुओं को स्कूल ले जाने के लिए $6 \times 2=12$ विभिन्न तरीकों का उपयोग कर सकती है। यदि हम 2 स्कूल बैगों को $B_1, B_2$, तीन टिफिन बॉक्सों को $T_1, T_2, T_3$ और दो पानी की बोतलों को $W_1, W_2$ नाम दें, तो इन संभावनाओं को चित्र 6.2 में दर्शाया गया है।

चित्र 6.2

वास्तव में, उपर्युक्त प्रकार की समस्याओं को गणना के मूलभूत सिद्धांत, या सरलतः गुणन सिद्धांत, के अनुसार हल किया जाता है, जो कहता है:

“यदि कोई घटना m भिन्न-भिन्न तरीकों से घटित हो सकती है, जिसके बाद दूसरी घटना n भिन्न-भिन्न तरीकों से घटित हो सकती है, तो दी गई क्रम में घटनाओं की कुल संख्या m × n होगी।”

उपर्युक्त सिद्धांत को किसी भी सीमित संख्या की घटनाओं के लिए व्यापक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 घटनाओं के लिए सिद्धांत इस प्रकार है:

‘यदि कोई घटना m भिन्न-भिन्न तरीकों से घटित हो सकती है, जिसके बाद दूसरी घटना n भिन्न-भिन्न तरीकों से घटित हो सकती है, जिसके बाद तीसरी घटना p भिन्न-भिन्न तरीकों से घटित हो सकती है, तो दी गई क्रम में घटनाओं की कुल संख्या m × n × p होगी।’

पहली समस्या में, पैंट और कमीज पहनने के आवश्यक तरीकों की संख्या निम्नलिखित क्रमिक घटनाओं की घटित होने की भिन्न-भिन्न तरीकों की संख्या थी:

(i) पैंट चुनने की घटना

(ii) कमीज चुनने की घटना।

दूसरी समस्या में, आवश्यक तरीकों की संख्या निम्नलिखित क्रमिक घटनाओं की घटित होने की भिन्न-भिन्न तरीकों की संख्या थी:

(i) स्कूल बैग चुनने की घटना

(ii) टिफिन बॉक्स चुनने की घटना

(iii) एक पानी की बोतल चुनने की घटना।

यहाँ, दोनों ही मामलों में, प्रत्येक समस्या की घटनाएँ विभिन्न संभावित क्रमों में घटित हो सकती हैं। लेकिन, हमें संभावित क्रमों में से किसी एक को चुनना है और इस चुने हुए क्रम में घटनाओं की घटना के विभिन्न तरीकों की संख्या गिननी है।

उदाहरण 1 उन 4 अक्षरों वाले शब्दों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनका अर्थ हो या न हो, जो ROSE शब्द के अक्षरों से बनाए जा सकते हैं, जहाँ अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है।

हल उतने ही शब्द हैं जितने तरीके हैं 4 रिक्त स्थानों $\square \square \square \square$ को 4 अक्षरों से भरने के, यह ध्यान में रखते हुए कि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है। पहला स्थान 4 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है 4 अक्षरों R,O,S,E में से किसी एक से। इसके बाद, दूसरा स्थान शेष 3 अक्षरों में से किसी एक से 3 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है, इसके बाद तीसरा स्थान 2 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है; इसके बाद, चौथा स्थान 1 तरीके से भरा जा सकता है। इस प्रकार, गुणनफल के सिद्धांत से, 4 स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$ है। अतः, अभीष्ट शब्दों की संख्या 24 है।

नोट - यदि अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति होती, तो कितने शब्द बनाए जा सकते थे? कोई भी आसानी से समझ सकता है कि 4 रिक्त स्थानों में से प्रत्येक को क्रमशः 4 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है। अतः, अभीष्ट शब्दों की संख्या $=4 \times 4 \times 4 \times 4=256$।

उदाहरण 2 4 भिन्न-भिन्न रंगों के झंडे दिए गए हैं, तो कितने भिन्न-भिन्न संकेत बनाए जा सकते हैं, यदि एक संकेत में 2 झंडों का उपयोग करना होता है, एक दूसरे के नीचे?

हल जितने तरीकों से 2 रिक्त स्थान $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ क्रम से 4 भिन्न-भिन्न रंगों के झंडों से भरे जा सकते हैं, उतने ही संकेत बनेंगे। ऊपर का रिक्त स्थान 4 भिन्न तरीकों से 4 में से किसी एक झंडे से भरा जा सकता है; इसके बाद, नीचे का रिक्त स्थान शेष 3 भिन्न झंडों में से किसी एक से 3 भिन्न तरीकों से भरा जा सकता है। अतः, गुणन सिद्धांत से, अभीष्ट संकेतों की संख्या $=4 \times 3=12$ है।

उदाहरण 3 अंक $1,2,3,4,5$ से कितनी 2 अंकों की सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है?

हल जितने तरीकों से 2 रिक्त स्थान $\square \square$ क्रम से दिए गए पाँच अंकों से भरे जा सकते हैं, उतने ही तरीके होंगे। यहाँ, इस स्थिति में, हम इकाई के स्थान को भरना प्रारंभ करते हैं, क्योंकि इस स्थान के लिए विकल्प केवल 2 और 4 ही हैं और यह 2 तरीकों से किया जा सकता है; इसके बाद, दहाई का स्थान 5 में से किसी भी अंक से 5 भिन्न तरीकों से भरा जा सकता है, क्योंकि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है। अतः, गुणन सिद्धांत से, अभीष्ट 2 अंकों की सम संख्याओं की संख्या $2 \times 5$, अर्थात् 10 है।

उदाहरण 4 उन भिन्न-भिन्न संकेतों की संख्या ज्ञात कीजिए जो कम-से-कम 2 झंडों को क्रम में (एक दूसरे के नीचे) एक ऊध्र्वाधर स्टाफ पर लगाकर बनाए जा सकते हैं, यदि पाँच भिन्न-भिन्न झंडे उपलब्ध हैं।

हल एक संकेत या तो 2 झंडों, 3 झंडों, 4 झंडों या 5 झंडों से बन सकता है। अब, आइए 2 झंडों, 3 झंडों, 4 झंडों और 5 झंडों वाले संभावित संकेतों की संख्या को अलग-अलग गिनें और फिर संबंधित संख्याओं को जोड़ें।

2 झंडों वाले संकेतों की संख्या उतनी होगी जितनी 2 खाली स्थानों $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ को क्रम में उपलब्ध 5 झंडों से भरने के तरीके हैं। गुणन नियम से, तरीकों की संख्या $5 \times 4=20$ है।

इसी प्रकार, 3 झंडों वाले संकेतों की संख्या उतनी होगी जितनी 3 खाली स्थानों $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \\ \hline \end{array}$ को क्रम में 5 झंडों से भरने के तरीके हैं।

तरीकों की संख्या $5 \times 4 \times 3=60$ है।

इसी तरह आगे बढ़ते हुए, हम पाते हैं कि

4 झंडों वाले संकेतों की संख्या $=5 \times 4 \times 3 \times 2=120$

और 5 झंडों वाले संकेतों की संख्या $=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$

इसलिए, आवश्यक संकेतों की संख्या $=20+60+120+120=320$ है।

6.3 क्रमचय

पिछले खंड के उदाहरण 1 में, हम वास्तव में अक्षरों की विभिन्न संभावित व्यवस्थाओं की गणना कर रहे हैं जैसे ROSE, REOS, …, आदि। यहाँ, इस सूची में प्रत्येक व्यवस्था दूसरी से भिन्न है। दूसरे शब्दों में, अक्षरों को लिखने का क्रम महत्वपूर्ण है। प्रत्येक व्यवस्था को 4 भिन्न अक्षरों की एक बार में सभी लेते हुए क्रमचय कहा जाता है। अब, यदि हमें यह निर्धारित करना है कि 3-अक्षर वाले कितने शब्द, अर्थपूर्ण या अनर्थपूर्ण, शब्द NUMBER के अक्षरों से बनाए जा सकते हैं, जहाँ अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, तो हमें NUM, NMU, MUN, NUB, …, आदि व्यवस्थाओं की गणना करनी होगी। यहाँ, हम 6 भिन्न अक्षरों के 3-3 लेते हुए क्रमचयों की गणना कर रहे हैं। आवश्यक शब्दों की संख्या $=6 \times 5 \times 4=120$ (गुणन सिद्धांत का प्रयोग करके)।

यदि अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति होती, तो आवश्यक शब्दों की संख्या $6 \times 6 \times 6=216$ होती।

परिभाषा 1 क्रमचय एक निश्चित क्रम में किसी संख्या में वस्तुओं की व्यवस्था है जो कुछ या सभी को एक साथ लिया जाता है।

निम्नलिखित उप-खंड में, हम इन प्रश्नों का तुरंत उत्तर देने के लिए आवश्यक सूत्र प्राप्त करेंगे।

6.3.1 क्रमचय जब सभी वस्तुएँ भिन्न हों

प्रमेय 1 $n$ भिन्न वस्तुओं के $r$ एक साथ लेते हुए क्रमचयों की संख्या, जहाँ $0<r \leq n$ और वस्तुएँ पुनरावृत्त नहीं होती हैं, $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$ है, जिसे ${ }^{n} P_r$ द्वारा दर्शाया जाता है।

प्रमाण उतने ही क्रमचय होंगे जितनी $r$ रिक्त स्थानों $ \underset{\leftarrow r \text{ रिक्त स्थान} \rightarrow}{\Large{\square \square \square \cdots }} \Large{\square}$ को

$n$ वस्तुओं द्वारा भरने के तरीके हैं। पहला स्थान $n$ तरीकों से भरा जा सकता है; जिसके बाद दूसरा स्थान $(n-1)$ तरीकों से भरा जा सकता है, जिसके बाद तीसरा स्थान $(n-2)$ तरीकों से भरा जा सकता है,…, $r$ वाँ स्थान $(n-(r-1))$ तरीकों से भरा जा सकता है। इसलिए, क्रम से $r$ रिक्त स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या $n(n-1)(n-2) \ldots(n-(r-1))$ या $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$ है।

${ }^{n} P$ के लिए यह व्यंजक भारी है और हमें एक ऐसी संकेतन की आवश्यकता है जो इस व्यंजक के आकार को कम करने में मदद करे। प्रतीक $n$! (जिसे factorial $n$ या $n$ factorial पढ़ा जाता है) हमारी मदद के लिए आता है। निम्नलिखित पाठ में हम जानेंगे कि वास्तव में $n$! का क्या अर्थ है।

6.3.2 फैक्टोरियल संकेतन

संकेतन $n$! पहले $n$ प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल दर्शाता है, अर्थात् गुणनफल $1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times(n-1) \times n$ को $n$ ! के रूप में दर्शाया जाता है। हम इस प्रतीक को ‘$n$ factorial’ पढ़ते हैं। इस प्रकार, $1 \times 2 \times 3 \times 4 \ldots \times(n-1) \times n=n$ !

$ \begin{aligned} & 1=1 ! \\ & 1 \times 2=2 ! \\ & 1 \times 2 \times 3=3 ! \\ & 1 \times 2 \times 3 \times 4=4 \text{ ! और इसी तरह। } \end{aligned} $

हम परिभाषित करते हैं $0 !=1$

हम लिख सकते हैं $5 !=5 \times 4 !=5 \times 4 \times 3 !=5 \times 4 \times 3 \times 2$ !

$$ =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \text{ ! } $$

स्पष्ट है, एक प्राकृत संख्या (n) के लिए

[ \begin{array}{rlrl} n ! & =n(n-1) ! & \ & =n(n-1)(n-2) ! & & \text { [ बशर्ते } n \geq 2] \ & =n(n-1)(n-2)(n-3) ! & & \text { [ बशर्ते } n \geq 3] \end{array} ]

आदि।

उदाहरण 5 मूल्यांकन कीजिए

(i) 5 !

(ii) 7 !

(iii) (7 !-5) !

हल

(i) (5 !=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5=120)

(ii) 7 ! (=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7=5040)

और

(iii) (7 !-5 !=5040-120=4920).

उदाहरण 6 परिकलन कीजिए (i) (\frac{7 !}{5 !})

(ii) (\frac{12 !}{(10 !)(2 !)})

हल

(i) हमारे पास (\frac{7 !}{5 !}=\frac{7 \times 6 \times 5 !}{5 !}=7 \times 6=42)

और

(ii) (\frac{12 !}{(10 !)(2 !)}=\frac{12 \times 11 \times(10 !)}{(10 !) \times(2)}=6 \times 11=66).

उदाहरण 7 मूल्यांकन कीजिए (\frac{n !}{r !(n-r) !}), जब (n=5, r=2).

हल हमें (\frac{5 !}{2 !(5-2) !}) मूल्यांकन करना है (चूँकि (n=5, r=2))

हमारे पास (\quad \frac{5 !}{2 !(5-2) !}=\frac{5 !}{2 ! \times 3 !}=\frac{5 \times 4}{2}=10)

उदाहरण 8 यदि (\frac{1}{8 !}+\frac{1}{9 !}=\frac{x}{10 !}), तो (x) ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास (\frac{1}{8 !}+\frac{1}{9 \times 8 !}=\frac{x}{10 \times 9 \times 8 !})

इसलिए (1+\frac{1}{9}=\frac{x}{10 \times 9}\ या (\frac{10}{9}=\frac{x}{10 \times 9})

इसलिए

[ x=100 . ]

6.3.3 ({ }^{n} P_r) के सूत्र की व्युत्पत्ति

[ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !}, 0 \leq r \leq n ]

अब हम उस चरण पर वापस चलते हैं जहाँ हमने निम्नलिखित सूत्र निर्धारित किया था:

[ { }^{n} P_r=n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1) ]

अंश और हर को $(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1$ से गुणा करने पर, हम पाते हैं

$ { }^{n} P_r=\frac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1}{(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1}=\frac{n !}{(n-r) !}, $

इस प्रकार $\quad \quad \quad$ $ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !} \text{, जहाँ } 0<r \leq n $

यह ${ }^{n} P_r$ के लिए पिछले व्यंजक की तुलना में अधिक सुविधाजनक व्यंजक है।

विशेषतः, जब $r=n,{ }^{n} P_n=\frac{n !}{0 !}=n$ !

क्रमचयों की गणना केवल उन तरीकों की संख्या गिनना है जिनमें कुछ या सभी वस्तुओं को एक समय में पुनः व्यवस्थित किया जाता है। एक भी वस्तु की व्यवस्था न करना, सभी वस्तुओं को छोड़ देने के समान है और हम जानते हैं कि ऐसा करने का केवल एक ही तरीका है। इस प्रकार, हम पा सकते हैं

$$ { }^{n} P_0=1=\frac{n !}{n !}=\frac{n !}{(n-0) !} \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad\ldots(1) $$

अतः, सूत्र (1) $r=0$ के लिए भी लागू होता है।

इस प्रकार $\quad \quad \quad$ $ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !}, 0 \leq r \leq n $

प्रमेय 2 $n$ भिन्न वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को एक समय में लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या, जहाँ पुनरावृत्ति की अनुमति है, $n^{r}$ है।

प्रमेय 1 के प्रमाण के समान ही है और इसे पाठक स्वयं व्युत्पन्न करें।

यहाँ, हम ${ }^{n} P_r$ के सूत्र का उपयोग करके पिछले अनुभाग की कुछ समस्याओं को हल कर रहे हैं ताकि इसकी उपयोगिता को दर्शाया जा सके।

उदाहरण 1 में, आवश्यक शब्दों की संख्या $={ }^{4} P_4=4 !=24$। यहाँ पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है। यदि पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो आवश्यक शब्दों की संख्या $4^{4}=256$ होगी।

शब्द NUMBER के अक्षरों से बनाए जा सकने वाले 3-अक्षरीय शब्दों की संख्या $={ }^{6} P_3=\frac{6 !}{3 !}=4 \times 5 \times 6=120$। यहाँ भी पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है। यदि पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो आवश्यक शब्दों की संख्या $6^{3}=216$ होगी।

12 व्यक्तियों के एक समूह से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष चुने जाने के तरीकों की संख्या, यह मानते हुए कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद नहीं संभाल सकता, स्पष्ट रूप से

$${ }^{12} P_2=\frac{12 !}{10 !}=11 \times 12=132$$।

6.3.4 क्रमपरिवर्तन जब सभी वस्तुएँ विभिन्न नहीं हैं

मान लीजिए हमें शब्द ROOT के अक्षरों को पुनः व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है। इस स्थिति में, शब्द के सभी अक्षर भिन्न नहीं हैं। यहाँ 2 O हैं, जो एक ही प्रकार के हैं। आइए अस्थायी रूप से 2 O को भिन्न मानें, मान लीजिए, $O_1$ और $O_2$। इस स्थिति में 4 भिन्न अक्षरों के क्रमपरिवर्तन की संख्या, जब सभी एक साथ लिए जाएँ, 4 ! है। इनमें से एक क्रमपरिवर्तन को लीजिए, मान लीजिए, $RO_1 O_2 T$। इस क्रमपरिवर्तन के अनुरूप, हमारे पास 2 ! क्रमपरिवर्तन $RO_1 O_2 T$ और $RO_2 O_1 T$ हैं, जो ठीक एक ही क्रमपरिवर्तन होंगे यदि $O_1$ और $O_2$ को भिन्न नहीं माना जाता, अर्थात् यदि $O_1$ और $O_2$ दोनों स्थानों पर एक ही O हैं। इसलिए, आवश्यक क्रमपरिवर्तनों की संख्या $=\frac{4 !}{2 !}=3 \times 4=12$।

क्रमचय जब $O_1, O_2$ भिन्न हों।
वही $O$ होने पर।

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RO}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{T} \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{O}_1 \mathrm{T}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ROOT}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RO}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{T} \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{O}_1 \mathrm{T}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ROOT}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RO}_1 \mathrm{T} \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{T} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ROTO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{T} \mathrm{O}_1 \mathrm{RO}_2 \\ \mathrm{TO}_2 \mathrm{R} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{TORO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RTO}_1 \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{RTO}_2 \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{RTOO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{TRO}_1 \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{TRO}_2 \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{TROO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{O}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{RT} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{O}_1 \text { TR }\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OORT}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{RO}_2 \mathrm{~T} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{RO}_1 \mathrm{~T}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OROT}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{TO}_2 \mathrm{R} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{TO}_1 \mathrm{R}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OTOR}$

$\left.\begin{array}{lll}\mathrm{O}_1 \mathrm{R} \mathrm{TO}_2 \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{R} \mathrm{T} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ORTO}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{TR}_2 \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{TRO}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OTRO}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{O}_2 \text { TR } \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{O}_1 \text { TR }\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OOTR}$

आइए अब शब्द INSTITUTE के अक्षरों को पुनः व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करें। इस मामले में 9 अक्षर हैं, जिनमें I 2 बार आता है और $T$ 3 बार आता है।

अस्थायी रूप से, आइए इन अक्षरों को भिन्न मानें और उन्हें $I_1, I_2, T_1, T_2, T_3$ के रूप में नाम दें। 9 भिन्न अक्षरों की क्रमचयों की संख्या, इस स्थिति में, सभी को एक साथ लेने पर 9 ! है। एक ऐसे क्रमचय पर विचार करें, मान लीजिए, $I_1 NT_1 SI_2 T_2 UE_3$। यहाँ यदि $I_1, I_2$ समान नहीं हैं और $T_1, T_2, T_3$ समान नहीं हैं, तो $I_1, I_2$ को 2 ! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है और $T_1, T_2, T_3$ को 3 ! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए, $2 ! \times 3$ ! क्रमचय बस इस चुने गए क्रमचय $I_1 NT_1 SI_2 T_2 UET_3$ के अनुरूप होंगे। अतः भिन्न क्रमचयों की कुल संख्या $\frac{9 !}{2 ! 3 !}$ होगी।

हम निम्नलिखित प्रमेयों को (बिना प्रमाण के) कह सकते हैं:

प्रमेय 3 $n$ वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ $p$ वस्तुएँ समान प्रकार की हैं और शेष सभी भिन्न हैं $=\frac{n !}{p !}$।

वास्तव में, हमारे पास एक और अधिक सामान्य प्रमेय है।

प्रमेय 4 n वस्तुओं की क्रमचयों की संख्या, जिनमें p₁ वस्तुएँ एक प्रकार की हैं, p₂ दूसरे प्रकार की हैं, …, p_k kवें प्रकार की हैं और शेष, यदि कोई हों, तो भिन्न-भिन्न प्रकार की हैं, $\frac{n !}{p_1 ! p_2 ! \ldots p_k !}$ होती है।

उदाहरण 9 शब्द ALLAHABAD के अक्षरों के क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ 9 वस्तुएँ (अक्षर) हैं जिनमें 4A, 2L हैं और शेष सभी भिन्न हैं। अतः अभीष्ट व्यवस्थाओं की संख्या

$$=\frac{9 !}{4 ! 2 !}=\frac{5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9}{2}=7560$$

उदाहरण 10 अंक 1 से 9 का प्रयोग करके कितनी 4-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?

हल यहाँ क्रम महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए 1234 और 1324 दो भिन्न संख्याएँ हैं। इसलिए, जितने 9 भिन्न अंकों में से 4-4 अंकों के क्रमचय बनाए जा सकते हैं, उतनी ही 4 अंकीय संख्याएँ होंगी।

अतः अभीष्ट 4 अंकीय संख्याएँ $={ }^{9} P_4=\frac{9 !}{(9-4) !}=\frac{9 !}{5 !}=9 \times 8 \times 7 \times 6=3024$.

उदाहरण 11 अंक $0,1,2,3,4,5$ से 100 और 1000 के बीच की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?

हल 100 और 1000 के बीच की हर संख्या एक 3-अंकीय संख्या है। हमें पहले 6 अंकों में से 3 अंकों को एक बार में लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या ज्ञात करनी है। यह संख्या ${ }^{6} P_3$ होगी। लेकिन इन क्रमचयों में वे सभी भी शामिल होंगे जिनमें 0 सैकड़ों के स्थान पर है। उदाहरण के लिए, $092,042, \ldots$, आदि ऐसी संख्याएँ हैं जो वास्तव में 2-अंकीय संख्याएँ हैं और इसलिए ऐसी संख्याओं की संख्या को ${ }^{6} P_3$ से घटाकर आवश्यक संख्या प्राप्त करनी होगी। ऐसी संख्याओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 0 को सैकड़ों के स्थान पर स्थिर करते हैं और शेष 5 अंकों में से 2 अंकों को एक बार में लेकर पुनः व्यवस्थित करते हैं। यह संख्या ${ }^{5} P_2$ है। इसलिए

आवश्यक संख्या $\quad={ }^{6} P_3-{ }^{5} P_2=\frac{6 !}{3 !}-\frac{5 !}{3 !}$

$ =4 \times 5 \times 6-4 \times 5=100 $

उदाहरण 12 $n$ का मान ज्ञात कीजिए जैसे कि (i) ${ }^{n} P_5=42{ }^{n} P_3, n>4$ (ii) $\frac{{ }^{n} P_4}{{ }^{n-1} P_4}=\frac{5}{3}, n>4$

हल (i) दिया गया है कि

$$ { }^{n} \mathrm{P} _{5}=42{ }^{n} \mathrm{P} _{3} $$

या $\quad \quad \quad \quad$ $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=42 n(n-1)(n-2)$

चूँकि $\quad \quad \quad \quad$ $n>4 \quad$ इसलिए $n(n-1)(n-2) \neq 0$

इसलिए, दोनों पक्षों को $n(n-1)(n-2)$ से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$\begin{array}{ll} {} & (n-3(n-4)=42 \\ \text{या}\quad\quad & n^{2}-7 n-30=0 \\ \text{या} & n^{2}-10 n+3 n-30 \\ \text{या} & (n-10)(n+3)=0 \\ \text{या} & n-10=0 \text{ या } \quad n+3=0 \\ \text{या} & n=10 \quad \text{ या } \quad n=-3 \end{array}$$

चूँकि $n$ ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए $n=10$।

(ii) यह दिया गया है कि $\frac{{ }^{n} P _4}{{ }^{n-1} P _4}=\frac{5}{3}$

इसलिए $\quad \quad 3 n(n-1)(n-2)(n-3)=5(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$

या $\quad \quad3 n=5(n-4) \quad[$ क्योंकि $(n-1)(n-2)(n-3) \neq 0, n>4]$

या $\quad \quad n=10$.

उदाहरण 13 $r$ ज्ञात कीजिए, यदि $5{ }^{4} P_r=6{ }^{5} P _{r-1}$.

हल हमारे पास $5{ }^{4} P_r=6{ }^{5} P _{r-1}$

या $ \quad\quad5 \times \frac{4 !}{(4-r) !}=6 \times \frac{5 !}{(5-r+1) !} $

या $ \quad\quad\frac{5 !}{(4-r) !}=\frac{6 \times 5 !}{(5-r+1)(5-r)(5-r-1) !} $

या $\quad(6-r)(5-r)=6$

या $\quad r^{2}-11 r+24=0$

या $\quad r^{2}-8 r-3 r+24=0$

या $\quad(r-8)(r-3)=0$

या $\quad r=8$ या $r=3$.

इसलिए $\quad r=8,3$.

उदाहरण 14 शब्द DAUGHTER के अक्षरों से बनाए जा सकने वाले विभिन्न 8-अक्षरीय क्रमों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि

(i) सभी स्वर एक साथ आएँ

(ii) सभी स्वर एक साथ न आएँ।

हल (i) शब्द DAUGHTER में 8 भिन्न-भिन्न अक्षर हैं, जिनमें 3 स्वर हैं, अर्थात् A, U और E। चूँकि स्वरों को एक साथ आना है, हम थोड़ी देर के लिए इन्हें एक ही वस्तु (AUE) मान सकते हैं। यह एक वस्तु शेष 5 अक्षरों (वस्तुओं) के साथ मिलकर कुल 6 वस्तुओं के रूप में गिनी जाएगी। फिर हम इन 6 वस्तुओं की सभी को एक साथ लेकर क्रमचयों की गणना करते हैं। यह संख्या होगी ${ }^{6} P_6=6$ !। इनमें से प्रत्येक क्रमचय के अनुरूप, हमारे पास तीन स्वरों A, U, E के सभी को एक साथ लेकर क्रमचय 3 ! होंगे। इसलिए गुणन नियम से अभीष्ट क्रमचयों की संख्या $=6 ! \times 3 !=4320$ होगी।

(ii) यदि हमें उन क्रमचयों की गणना करनी है जिनमें सभी स्वर कभी भी एक साथ नहीं आते, तो पहले हमें 8 अक्षरों के सभी संभव क्रमचयों की गणना करनी होगी, जो 8 ! तरीकों से किए जा सकते हैं। फिर हमें इस संख्या से वे क्रमचय घटाने होंगे जिनमें स्वर सदैव एक साथ रहते हैं।

इसलिए अभीष्ट संख्या

$$ \begin{aligned} 8 !-6 ! \times 3 ! & =6 !(7 \times 8-6) \ & =2 \times 6 !(28-3) \ & =50 \times 6 !=50 \times 720=36000 \end{aligned} $$

उदाहरण 15 4 लाल, 3 पीले और 2 हरे डिस्क को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है यदि समान रंग की डिस्कें अविभाज्य हैं?

हल डिस्कों की कुल संख्या $4+3+2=9$ है। 9 डिस्कों में से 4 पहले प्रकार की (लाल), 3 दूसरे प्रकार की (पीली) और 2 तीसरे प्रकार की (हरी) हैं।

इसलिए, व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{9 !}{4 ! 3 ! 2 !}=1260$ है।

उदाहरण 16 शब्द INDEPENDENCE के अक्षरों की व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। इन व्यवस्थाओं में से कितनी व्यवस्थाएं ऐसी हैं जिनमें

(i) शब्द P से प्रारंभ होते हैं

(ii) सभी स्वर हमेशा एक साथ आते हैं

(iii) स्वर कभी भी एक साथ नहीं आते

(iv) शब्द I से प्रारंभ होकर P पर समाप्त होते हैं?

हल कुल 12 अक्षर हैं, जिनमें N 3 बार, E 4 बार और D 2 बार आता है और बाकी सभी भिन्न हैं। इसलिए

अभीष्ट व्यवस्थाओं की संख्या $=\frac{12 !}{3 ! 4 ! 2 !}=1663200$

(i) आइए P को बायें छोर पर स्थिर करें, फिर हम शेष 11 अक्षरों की व्यवस्थाएं गिनते हैं। इसलिए P से प्रारंभ होने वाले शब्दों की अभीष्ट संख्या

$$ =\frac{11 !}{3 ! 2 ! 4 !}=138600 $$

(ii) दिए गए शब्द में 5 स्वर हैं, जो कि 4 E और 1 I हैं। चूँकि उन्हें हमेशा एक साथ रहना है, हम उन्हें अस्थायी रूप से एकल वस्तु EEEEI मानते हैं। यह एकल वस्तु शेष 7 वस्तुओं के साथ मिलकर कुल 8 वस्तुओं का निर्माण करेगी। इन 8 वस्तुओं, जिनमें 3 N और 2 D हैं, को $8 !$ $\overline{3 ! 2 !}$ तरीकों से पुनः व्यवस्थित किया जा सकता है। इनमें से प्रत्येक व्यवस्था के अनुरूप, 5 स्वरों E, E, E, E और I को $\frac{5 !}{4 !}$ तरीकों से पुनः व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए गुणन सिद्धांत से, अभीष्ट व्यवस्थाओं की संख्या

$$ =\frac{8 !}{3 ! 2 !} \times \frac{5 !}{4 !}=16800 $$

(iii) आवश्यक व्यवस्थाओं की संख्या = कुल व्यवस्थाओं की संख्या (बिना किसी प्रतिबंध के) - वह संख्या जिसमें सभी स्वर एक साथ आते हैं।

$$ =1663200-16800=1646400 $$

(iv) मान लीजिए हम I और P को चरम सिरों पर स्थिर करते हैं (I बाएँ छोर पर और P दाएँ छोर पर)। हमारे पास 10 अक्षर शेष बचते हैं।

इसलिए, आवश्यक व्यवस्थाओं की संख्या $ =\frac{10 !}{3 ! 2 ! 4 !}=12600 $

6.4 संयोजन

अब मान लीजिए कि 3 लॉन टेनिस खिलाड़ियों X, Y, Z का एक समूह है। 2 खिलाड़ियों की एक टीम बनानी है। हम ऐसा कितने तरीकों से कर सकते हैं? क्या X और Y की टीम, Y और X की टीम से भिन्न है? यहाँ क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। वास्तव में, टीम को बनाने के केवल 3 संभव तरीके हैं।

ये हैं XY, YZ और ZX (चित्र 6.3)।

यहाँ, प्रत्येक चयन को 3 भिन्न वस्तुओं में से 2 को एक साथ लेने का संयोजन कहा जाता है। संयोजन में क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता है।

अब कुछ और उदाहरणों पर विचार करते हैं।

बारह व्यक्ति एक कमरे में मिलते हैं और प्रत्येक अन्य सभी से हाथ मिलाता है। हम हाथ मिलाने की संख्या कैसे निर्धारित करें। X द्वारा Y से हाथ मिलाना और Y द्वारा X से हाथ मिलाना दो भिन्न हाथ मिलाने नहीं होंगे। यहाँ क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। हाथ मिलाने की संख्या उतनी ही होगी जितने 12 भिन्न वस्तुओं में से 2 को एक साथ लेने के संयोजन हैं।

एक वृत्त पर सात बिंदु स्थित हैं। इन बिंदुओं को युग्मवार जोड़कर कितनी जीवाएँ खींची जा सकती हैं? जितने 7 विभिन्न वस्तुओं के 2-2 के संयोजन बनते हैं, उतनी ही जीवाएँ होंगी।

अब हम $n$ विभिन्न वस्तुओं को एक बार में $r$ लेकर बनने वाले संयोजनों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र प्राप्त करते हैं, जिसे ${ }^{n} C_r$ द्वारा दर्शाया जाता है।

मान लीजिए हमारे पास 4 विभिन्न वस्तुएँ A, B, C और D हैं। यदि हमें इनमें से 2-2 को लेकर संयोजन बनाने हों, तो वे होंगे $AB, AC, AD, BC, BD, CD$। यहाँ $AB$ और $BA$ एक ही संयोजन हैं क्योंकि क्रम संयोजन को नहीं बदलता। इसीलिए हमने BA, CA, DA, CB, DB और DC को इस सूची में शामिल नहीं किया है। 4 विभिन्न वस्तुओं के 2-2 लेकर बनने वाले संयोजनों की संख्या 6 है, अर्थात् ${ }^{4} C_2=6$।

सूची में प्रत्येक संयोजन के अनुरूप, हम 2! क्रमचय प्राप्त कर सकते हैं क्योंकि प्रत्येक संयोजन में मौजूद 2 वस्तुओं को 2! तरीकों से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए क्रमचयों की संख्या $={ }^{4} C_2 \times 2$! है।

दूसरी ओर, 4 विभिन्न वस्तुओं को 2-2 लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या $={ }^{4} P_2$ है।

इसलिए $\quad { }^{4} P_2= ^{4} C_2 \times 2 !$ या $\frac{4 !}{(4-2) ! 2 !}= ^{4} C_2$

अब, मान लीजिए हमारे पास 5 भिन्न वस्तुएँ A, B, C, D, E हैं। इनमें से एक समय में 3 लेकर यदि संचय बनाने हों, तो वे होंगे $ABC, ABD, ABE, BCD, BCE$, $CDE, ACE, ACD, ADE, BDE$। इनमें से प्रत्येक ${ }^{5} C_3$ संचय के अनुरूप 3! क्रमचय होते हैं, क्योंकि प्रत्येक संचय में मौजूद तीन वस्तुओं को 3! तरीकों से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए, क्रमचयों की कुल संख्या $={ }^{5} C_3 \times 3$!

इसलिए $\quad{ }^{5} P_3={ }^{5} C_3 \times 3$ ! या $\quad \frac{5 !}{(5-3) ! 3 !}={ }^{5} C_3$

ये उदाहरण निम्नलिखित प्रमेय को सुझाते हैं जो क्रमचय और संचय के बीच संबंध दिखाता है:

प्रमेय 5 ${ }^{n} P_r={ }^{n} C_r r!, 0<r \leq n$.

प्रमाण ${ }^{n} C_r$ के प्रत्येक संचय के अनुरूप हमारे पास $r$! क्रमचय होते हैं, क्योंकि प्रत्येक संचय में मौजूद $r$ वस्तुओं को $r$ ! तरीकों से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

अतः, एक समय में $r$ वस्तुओं को लेकर $n$ भिन्न वस्तुओं के क्रमचयों की कुल संख्या ${ }^{n} C_r \times r !$ है। दूसरी ओर, यह ${ }^{n} P_r$ है।

इस प्रकार $ { }^{n} P_r={ }^{n} C_r \times r !, 0<r \leq n $

टिप्पणियाँ 1. उपर्युक्त से $\frac{n !}{(n-r) !}={ }^{n} C_r \times r !$, अर्थात् $\quad{ }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}$।

विशेषतः, यदि $r=n$, तब ${ }^{n} C_n=\frac{n !}{n ! 0 !}=1$।

२. हम ${ }^{n} C_0=1$ परिभाषित करते हैं, अर्थात् $n$ भिन्न वस्तुओं में से कुछ भी न चुने जाने की संख्या 1 मानी जाती है। संयोजनों की गणना करना केवल यह गिनना है कि किसी समय कुछ या सभी वस्तुओं को चुनने के कितने तरीके हैं। कुछ भी न चुनना उन सभी वस्तुओं को छोड़ देने के समान है और हम जानते हैं कि ऐसा करने का केवल एक ही तरीका है। इस प्रकार हम ${ }^{n} C_0=1$ परिभाषित करते हैं।

३. चूँकि $\frac{n !}{0 !(n-0) !}=1={ }^{n} C_0$, सूत्र ${ }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}$ भी $r=0$ पर लागू होता है।

इसलिए $ { }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n . $

४. $\quad{ }^{n} C _{n-r}=\frac{n !}{(n-r) !(n-(n-r)) !}=\frac{n !}{(n-r) ! r !}={ }^{n} C_r$, अर्थात् $n$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं का चयन करना, $(n-r)$ वस्तुओं को अस्वीकार करने के समान है।

५. $\quad{ }^{n} C_a={ }^{n} C_b \Rightarrow a=b$ या $a=n-b$, अर्थात् $n=a+b$

प्रमेय ६ ${ }^{n} C_r+{ }^{n} C _{r-1}={ }^{n+1} C_r$

प्रमाण हमारे पास $\quad{ }^{n} C_r+{ }^{n} C _{r-1}=\frac{n !}{r !(n-r) !}+\frac{n !}{(r-1) !(n-r+1) !}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{n !}{r \times(r-1) !(n-r) !}+\frac{n !}{(r-1) !(n-r+1)(n-r) !} \\ & =\frac{n !}{(r-1) !(n-r) !}[\frac{1}{r}+\frac{1}{n-r+1}] \\ & =\frac{n !}{(r-1) !(n-r) !} \times \frac{n-r+1+r}{r(n-r+1)}=\frac{(n+1) !}{r !(n+1-r) !}={ }^{n+1} C_r \end{aligned} $$

उदाहरण १७ यदि ${ }^{n} C_9={ }^{n} C_8$, तो ${ }^{n} C _{17}$ ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास ${ }^{n} C_9={ }^{n} C_8$

अर्थात्, $\quad \frac{n !}{9 !(n-9) !}=\frac{n !}{(n-8) ! 8 !}$

या $ \quad\quad\quad \frac{1}{9}=\frac{1}{n-8} \text{ या } n-8=9 \text{ या } n=17 $

इसलिए $ \quad \quad { }^{n} C _{17}={ }^{17} C _{17}=1 . $

उदाहरण 18 2 पुरुषों और 3 महिलाओं के एक समूह से 3 व्यक्तियों की एक समिति बनाई जानी है। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है? इनमें से कितनी समितियाँ 1 पुरुष और 2 महिलाओं की होंगी?

हल यहाँ क्रम मायने नहीं रखता। इसलिए, हमें संयोजनों की गणना करनी होगी। उतनी ही समितियाँ होंगी जितने 5 अलग-अलग व्यक्तियों में से 3 को एक साथ लेने के संयोजन हैं। अतः अभीष्ट तरीकों की संख्या $={ }^{5} C_3=\frac{5 !}{3 ! 2 !}=\frac{4 \times 5}{2}=10$।

अब, 2 पुरुषों में से 1 पुरुष ${ }^{2} C_1$ तरीकों से चुना जा सकता है और 3 महिलाओं में से 2 महिलाएँ ${ }^{3} C_2$ तरीकों से चुनी जा सकती हैं। इसलिए अभीष्ट समितियों की संख्या

$$ ={ }^{2} C_1 \times{ }^{3} C_2=\frac{2 !}{1 ! 1 !} \times \frac{3 !}{2 ! 1 !}=6 $$

उदाहरण 19 52 पत्तों की एक गड्डी से 4 पत्ते चुनने के कितने तरीके हैं? इनमें से कितने तरीकों में

(i) चारों पत्ते एक ही सूट के हैं,

(ii) चारों पत्ते चार अलग-अलग सूटों के हैं,

(iii) चेहरे के पत्ते हैं,

(iv) दो लाल पत्ते और दो काले पत्ते हैं,

(v) सभी पत्ते एक ही रंग के हैं?

हल 52 पत्तों में से 4 पत्ते चुनने के उतने तरीके होंगे जितने 52 अलग-अलग वस्तुओं में से 4 को एक साथ लेने के संयोजन हैं। इसलिए अभीष्ट तरीकों की संख्या

$$ ={ }^{52} \mathrm{C}_{4}=\frac{52 !}{4 ! 48 !}=\frac{49 \times 50 \times 51 \times 52}{2 \times 3 \times 4}=270725 $$

(i) चार प्रकार के सूट होते हैं: हीरा, क्लब, स्पेड, हृदय और प्रत्येक सूट के 13 पत्ते होते हैं। इसलिए, 4 हीरों को चुनने के ${ }^{13} C_4$ तरीके हैं। इसी प्रकार, 4 क्लबों को चुनने के ${ }^{13} C_4$ तरीके हैं, 4 स्पेडों को चुनने के ${ }^{13} C_4$ तरीके हैं और 4 हृदयों को चुनने के ${ }^{13} C_4$ तरीके हैं। इसलिए

अभीष्ट तरीकों की संख्या $={ }^{13} C_4+{ }^{13} C_4+{ }^{13} C_4+{ }^{13} C_4$।

$$ =4 \times \frac{13 !}{4 ! 9 !}=2860 $$

(ii) प्रत्येक सूट में 13 पत्ते होते हैं। इसलिए, हीरा के 13 पत्तों में से 1 पत्ता चुनने के ${ }^{13} C_1$ तरीके हैं, हृदय के 13 पत्तों में से 1 पत्ता चुनने के ${ }^{13} C_1$ तरीके हैं, क्लब के 13 पत्तों में से 1 पत्ता चुनने के ${ }^{13} C_1$ तरीके हैं, स्पेड के 13 पत्तों में से 1 पत्ता चुनने के ${ }^{13} C_1$ तरीके हैं। इसलिए, गुणन सिद्धांत द्वारा, अभीष्ट तरीकों की संख्या

$$ ={ }^{13} C_1 \times{ }^{13} C_1 \times{ }^{13} C_1 \times{ }^{13} C_1=13^{4} $$

(iii) 12 फेस कार्ड हैं और इन 12 कार्डों में से 4 को चुना जाना है। यह ${ }^{12} C_4$ तरीकों से किया जा सकता है। इसलिए, अभीष्ट तरीकों की संख्या $=\frac{12 !}{4 ! 8 !}=495$।

(iv) 26 लाल कार्ड और 26 काले कार्ड हैं। इसलिए, अभीष्ट तरीकों की संख्या

$$ \begin{aligned} & ={ }^{26} \mathrm{C} _{2} \times{ }^{26} \mathrm{C} _{2} \\ & =\frac{26 !}{2 ! 24 !}^{2}=(325)^{2}=105625 \end{aligned} $$

(v) 26 लाल कार्डों में से 4 लाल कार्डों का चयन ${ }^{26} C_4$ तरीकों से किया जा सकता है। 26 काले कार्डों में से 4 काले कार्डों का चयन ${ }^{26} C_4$ तरीकों से किया जा सकता है।

इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या $={ }^{26} C_4+{ }^{26} C_4$ $$ =2 \times \frac{26 !}{4 ! 22 !}=29900 . $$

विविध उदाहरण

उदाहरण 20 शब्द INVOLUTE के अक्षरों से 3 स्वर और 2 व्यंजन वाले कितने शब्द, अर्थपूर्ण या अर्थहीन, बनाए जा सकते हैं?

हल शब्द INVOLUTE में 4 स्वर हैं, अर्थात् I,O,E,U और 4 व्यंजन हैं, अर्थात् $N, V, L$ और $T$।

4 में से 3 स्वरों के चयन के तरीकों की संख्या $={ }^{4} C_3=4$।

4 में से 2 व्यंजनों के चयन के तरीकों की संख्या $={ }^{4} C_2=6$।

इसलिए, 3 स्वरों और 2 व्यंजनों के संयोजनों की संख्या $4 \times 6=24$ है।

अब, इन 24 संयोजनों में से प्रत्येक में 5 अक्षर होते हैं जिन्हें आपस में 5 ! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए, विभिन्न शब्दों की आवश्यक संख्या $24 \times 5 !=2880$ है।

उदाहरण 21 एक समूह में 4 लड़कियाँ और 7 लड़के हैं। कितने तरीकों से 5 सदस्यों की एक टीम चुनी जा सकती है यदि टीम में (i) कोई लड़की नहीं है? (ii) कम से कम एक लड़का और एक लड़की है? (iii) कम से कम 3 लड़कियाँ हैं?

हल (i) चूँकि टीम में कोई लड़की शामिल नहीं होगी, इसलिए केवल लड़कों का चयन किया जाना है। 7 लड़कों में से 5 लड़कों का चयन ${ }^{7} C_5$ तरीकों से किया जा सकता है। इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या $={ }^{7} C_5=\frac{7 !}{5 ! 2 !}=\frac{6 \times 7}{2}=21$

(ii) चूँकि हर टीम में कम से कम एक लड़का और एक लड़की होनी चाहिए। इसलिए, टीम इस प्रकार हो सकती है

(a) 1 लड़का और 4 लड़कियाँ

(b) 2 लड़के और 3 लड़कियाँ

(c) 3 लड़के और 2 लड़कियाँ

(d) 4 लड़के और 1 लड़की।

1 लड़का और 4 लड़कियों को ${ }^{7} C_1 \times{ }^{4} C_4$ तरीकों से चुना जा सकता है।

2 लड़के और 3 लड़कियों को ${ }^{7} C_2 \times{ }^{4} C_3$ तरीकों से चुना जा सकता है।

3 लड़के और 2 लड़कियों को ${ }^{7} C_3 \times{ }^{4} C_2$ तरीकों से चुना जा सकता है।

4 लड़के और 1 लड़की को ${ }^{7} C_4 \times{ }^{4} C_1$ तरीकों से चुना जा सकता है।

इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या

$ \begin{aligned} & ={ }^{7} C_1 \times{ }^{4} C_4+{ }^{7} C_2 \times{ }^{4} C_3+{ }^{7} C_3 \times{ }^{4} C_2+{ }^{7} C_4 \times{ }^{4} C_1 \\ & =7+84+210+140=441 \end{aligned} $

(iii) चूँकि टीम में कम से कम 3 लड़कियाँ होनी चाहिए, टीम इस प्रकार हो सकती है (a) 3 लड़कियाँ और 2 लड़के, या (b) 4 लड़कियाँ और 1 लड़का।

ध्यान दें कि टीम में सभी 5 लड़कियाँ नहीं हो सकतीं, क्योंकि समूह में केवल 4 लड़कियाँ हैं।

3 लड़कियों और 2 लड़कों को ${ }^{4} C_3 \times{ }^{7} C_2$ तरीकों से चुना जा सकता है।

4 लड़कियों और 1 लड़के को ${ }^{4} C_4 \times{ }^{7} C_1$ तरीकों से चुना जा सकता है।

इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या

$ ={ }^{4} C_3 \times{ }^{7} C_2+{ }^{4} C_4 \times{ }^{7} C_1=84+7=91 $

उदाहरण 22 उन शब्दों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका अर्थ हो या न हो, जो शब्द AGAIN के सभी अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकते हैं। यदि इन शब्दों को शब्दकोश के क्रम में लिखा जाए, तो $50^{\text{वाँ }}$ शब्द क्या होगा?

हल शब्द AGAIN में 5 अक्षर हैं, जिनमें A दो बार आता है। इसलिए, आवश्यक शब्दों की संख्या $=\frac{5 !}{2 !}=60$ है।

A से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या प्राप्त करने के लिए, हम अक्षर A को बाईं ओर के चरम स्थान पर स्थिर करते हैं, फिर शेष 4 अक्षरों को सभी एक साथ पुनर्व्यवस्थित करते हैं। इन 4 अक्षरों की उतनी ही व्यवस्थाएँ होंगी जितनी 4 भिन्न वस्तुओं की 4-4 चयनों की क्रमचय होंगी। इसलिए, A से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या $=4 !=24$ है। फिर, G से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या $=\frac{4 !}{2 !}=12$ है क्योंकि G को बाईं ओर के चरम स्थान पर रखने के बाद हमारे पास अक्षर A, A, I और N बचते हैं। इसी प्रकार, अगले अक्षर I से शुरू होने वाले 12 शब्द हैं। अब तक प्राप्त कुल शब्दों की संख्या $=24+12+12=48$ है। $49^{\text{वाँ}}$ शब्द NAAGI है। $50^{\text{वाँ}}$ शब्द NAAIG है।

उदाहरण 23 अंकों $1,2,0,2,4,2,4$ का प्रयोग करके 1000000 से बड़ी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

हल चूँकि 1000000 एक 7-अंकीय संख्या है और प्रयोग किए जाने वाले अंकों की संख्या भी 7 है। इसलिए, गिनी जाने वाली संख्याएँ केवल 7-अंकीय होंगी। साथ ही, संख्याओं को 1000000 से बड़ा होना है, इसलिए वे या तो 1, 2 या 4 से शुरू हो सकती हैं।

1 से शुरू होने वाली संख्याओं की संख्या $=\frac{6 !}{3 ! 2 !}=\frac{4 \times 5 \times 6}{2}=60$ है, क्योंकि जब 1 को बाईं ओर के चरम स्थान पर स्थिर किया जाता है, तो पुनर्व्यवस्थित किए जाने वाले शेष अंक $0,2,2,2$, 4,4 होंगे, जिनमें $3,2 s$ और $2,4 s$ हैं।

कुल संख्याएँ 2 से प्रारंभ होने वाली $=\frac{6 !}{2 ! 2 !}=\frac{3 \times 4 \times 5 \times 6}{2}=180$

और कुल संख्याएँ 4 से प्रारंभ होने वाली $=\frac{6 !}{3 !}=4 \times 5 \times 6=120$

इसलिए, अभीष्ट संख्याओं की संख्या $=60+180+120=360$।

वैकल्पिक विधि

7-अंकीय व्यवस्थाओं की संख्या, स्पष्ट है, $\frac{7 !}{3 ! 2 !}=420$। लेकिन, इसमें वे सभी संख्याएँ भी शामिल होंगी, जिनमें बायें छोर पर 0 है। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6 !}{3 ! 2 !}$ (बायें छोर पर 0 को स्थिर करके) $=60$। इसलिए, अभीष्ट संख्याओं की संख्या $=420-60=360$।

नोट - यदि सूची में दिए गए एक या एक से अधिक अंक दोहराए गए हैं, तो यह समझा जाएगा कि किसी भी संख्या में, अंकों का उपयोग उतनी बार किया जा सकता है जितनी बार वे सूची में दिए गए हैं, उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरण में 1 और 0 का उपयोग केवल एक बार किया जा सकता है जबकि 2 और 4 का उपयोग क्रमशः 3 बार और 2 बार किया जा सकता है।

उदाहरण 24 5 लड़कियों और 3 लड़कों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है ताकि कोई भी दो लड़के एक साथ न हों?

हल आइए पहले 5 लड़कियों को बैठाते हैं। यह 5 ! तरीकों से किया जा सकता है। प्रत्येक ऐसी व्यवस्था के लिए, तीनों लड़कों को केवल क्रॉस चिह्नित स्थानों पर बैठाया जा सकता है।

$$ \times G \times G \times G \times G \times G \times . $$

6 क्रॉस चिह्नित स्थान हैं और तीनों लड़कों को ${ }^{6} P_3$ तरीकों से बैठाया जा सकता है। इसलिए, गुणन सिद्धांत द्वारा, कुल तरीकों की संख्या

$$ \begin{aligned} & =5 ! \times{ }^{6} P_3=5 ! \times \frac{6 !}{3 !} \ & =4 \times 5 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6=14400 . \end{aligned} $$

सारांश

• गणना का मूलभूत सिद्धांत यदि कोई घटना m विभिन्न तरीकों से घटित हो सकती है, जिसके बाद दूसरी घटना n विभिन्न तरीकों से घटित हो सकती है, तो दी गई क्रम में घटनाओं की कुल संख्या m × n होती है।

• n विभिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं की क्रमचय संख्या, जहाँ पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, को ^{n}P_r से दर्शाया जाता है और यह ^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!} द्वारा दी जाती है, जहाँ 0 ≤ r ≤ n।

• n! = 1 × 2 × 3 × … × n

• n! = n × (n-1)!

• n विभिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं की क्रमचय संख्या, जहाँ पुनरावृत्ति की अनुमति है, n^{r} होती है।

• ◆ n वस्तुओं के सभी एक साथ लिए गए क्रमचयों की संख्या, जहाँ p₁ वस्तुएँ प्रथम प्रकार की हैं, p₂ वस्तुएँ द्वितीय प्रकार की हैं, …, pₖ वस्तुएँ k-वें प्रकार की हैं और शेष, यदि कोई हों, सभी भिन्न हैं, \frac{n!}{p₁! p₂! … pₖ!} होती है।

• n विभिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं के संयोजनों की संख्या, जिसे ^{n}C_r से दर्शाया जाता है, ^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}, 0 ≤ r ≤ n द्वारा दी जाती है।

ऐतिहासिक नोट

क्रमपरिवर्तन और संयोजन की अवधारणाओं का उद्भव भारत में जैन धर्म के आगमन से और शायद उससे भी पहले देखा जा सकता है। यद्यपि श्रेय जैनों को जाता है, जिन्होंने इस विषयवस्तु को गणित में एक स्वतंत्र विषय के रूप में विकल्प नाम से विकसित किया।

जैनों में महावीर (लगभग 850 ई.) शायद विश्व के पहले गणितज्ञ हैं, जिन्हें क्रमपरिवर्तन और संयोजनों की सामान्य सूत्र देने का श्रेय दिया जाता है।

छठी शताब्दी ई.पू. में सुश्रुत ने अपने आयुर्वेदिक ग्रंथ सुश्रुत संहिता में कहा है कि 6 विभिन्न स्वादों से एक-एक कर, दो-दो कर आदि कुल 63 संयोजन बनाए जा सकते हैं। पिंगल, तीसरी शताब्दी ई.पू. के एक संस्कृत विद्वान, अपने ग्रंथ छन्द सूत्र में किसी दी गई संख्या के अक्षरों से एक-एक कर, दो-दो कर आदि संयोजनों की संख्या निर्धारित करने की विधि देते हैं। भास्कराचार्य (जन्म 1114 ई.) ने क्रमपरिवर्तन और संयोजन की विषयवस्तु को अंक पाश नाम से अपने प्रसिद्ध ग्रंथ लीलावती में निपटाया। महावीर द्वारा पहले ही दिए गए ${ }^{n} C_r$ और ${ }^{n} P_r$ के सामान्य सूत्रों के अतिरिक्त, भास्कराचार्य इस विषय से संबंधित कई महत्वपूर्ण प्रमेय और परिणाम देते हैं।

भारत के बाहर, क्रमचय और संचय विषय की शुरुआत चीन में प्रसिद्ध पुस्तक आई-किंग (परिवर्तनों की पुस्तक) से हुई थी। इस कार्य के लगभग समय को बताना कठिन है, क्योंकि 213 ई.पू. सम्राट ने देश की सभी पुस्तकों और पांडुलिपियों को जलाने का आदेश दिया था, जिसे सौभाग्य से पूरी तरह से अमल में नहीं लाया गया। यूनानियों और बाद में लैटिन लेखकों ने भी क्रमचय और संचय सिद्धांत पर कुछ छिटपुट कार्य किया।

कुछ अरबी और हिब्रू लेखकों ने खगोल विज्ञान के अध्ययन में क्रमचय और संचय की अवधारणाओं का उपयोग किया। उदाहरण के लिए, रब्बी बेन एज़्रा ने ज्ञात ग्रहों को दो-दो, तीन-तीन आदि लेकर संचयों की संख्या निर्धारित की। यह लगभग 1140 के आसपास था। ऐसा प्रतीत होता है कि रब्बी बेन एज़्रा को ${ }^{n} C_r$ का सूत्र नहीं पता था। हालांकि, वह ${ }^{n} C_r={ }^{n} C _{n-r}$ को विशिष्ट मानों $n$ और $r$ के लिए जानता था। 1321 में, लेवी बेन गर्सन, एक अन्य हिब्रू लेखक ने ${ }^{n} P_r$, ${ }^{n} P_n$ और ${ }^{n} C_r$ के लिए सामान्य सूत्र प्रस्तुत किए।

पहली पुस्तक जो क्रमचय और संचय विषय का पूर्ण उपचार देती है, वह आर्स कॉन्जेक्टेंडी है, जिसे एक स्विस, जैकब बर्नौली (1654 - 1705) ने लिखा था, और जिसे 1713 में उनकी मृत्यु के बाद प्रकाशित किया गया। यह पुस्तक मूलतः क्रमचय और संचय के सिद्धांत को समाहित करती है जैसा कि आज जाना जाता है।