गणित एक अत्यंत सटीक विज्ञान है और इसके निष्कर्ष पूर्ण प्रमाणों के योग्य होते हैं। - सी.पी. स्टेनमेट्ज़

7.1 प्रस्तावना

पिछली कक्षाओं में, हमने द्विपदों जैसे $a+b$ और $a-b$ के वर्ग और घन कैसे निकाले जाते हैं, यह सीखा है। उनका उपयोग करके, हम $(98)^{2}=(100-2)^{2},(999)^{3}=(1000-1)^{3}$ आदि जैसी संख्याओं के संख्यात्मक मान मूल्यांकन कर सकते थे। हालांकि, $(98)^{5},(101)^{6}$ आदि जैसी उच्च घातों के लिए, बार-बार गुणा करने से गणना कठिन हो जाती है। इस कठिनता को द्विपद प्रमेय के नाम से जाने जाने वाले एक प्रमेय द्वारा दूर किया गया। यह $(a+b)^{n}$ का विस्तार करने का एक आसान तरीका देता है, जहाँ $n$ एक पूर्णांक या परिमेय संख्या है। इस अध्याय में, हम केवल धनात्मक पूर्णांक सूचकांकों के लिए द्विपद प्रमेय का अध्ययन करते हैं।

ब्लेज़ पास्कल (1623-1662 ई.)

7.2 धनात्मक पूर्णांक सूचकांकों के लिए द्विपद प्रमेय

आइए नीचे दी गई पहले की गई सर्वसमिकाओं पर एक नज़र डालें:

$$ \begin{aligned} & (a+b)^{0}=1 ; a+b \neq 0 \\ & (a+b)^{1}=a+b \\ & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\ & (a+b)^{4}=(a+b)^{3}(a+b)=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \end{aligned} $$

इन विस्तारों में, हम देखते हैं कि

(i) प्रसार में पदों की कुल संख्या सूचकांक से एक अधिक होती है। उदाहरण के लिए, $(a+b)^{2}$ के प्रसार में पदों की संख्या 3 है जबकि $(a+b)^{2}$ का सूचकांक 2 है।

(ii) क्रमिक पदों में पहली राशि ’ $a$ ’ की घातें 1 से घटती जाती हैं जबकि दूसरी राशि ’ $b$ ’ की घातें 1 से बढ़ती जाती हैं।

(iii) प्रसार के प्रत्येक पद में, $a$ और $b$ के सूचकांकों का योग समान होता है और यह $a+b$ के सूचकांक के बराबर होता है।

हम अब इन प्रसारों में गुणांकों को निम्नलिखित रूप में व्यवस्थित करते हैं (चित्र 7.1):

चित्र 7.1

क्या हम इस सारणी में कोई प्रतिरूप देखते हैं जो हमें अगली पंक्ति लिखने में मदद करेगा? हाँ, हम देखते हैं। यह देखा जा सकता है कि सूचकांक 1 की पंक्ति में 1’s के योग से सूचकांक 2 की पंक्ति में 2 उत्पन्न होता है। सूचकांक 2 की पंक्ति में 1,2 और 2,1 के योग से सूचकांक 3 की पंक्ति में 3 और 3 उत्पन्न होते हैं और आगे भी। साथ ही, प्रत्येक पंक्ति की शुरुआत और अंत में 1 मौजूद होता है। इसे हमारी रुचि के किसी भी सूचकांक तक जारी रखा जा सकता है।

हम चित्र 7.2 में दिए गए प्रतिरूप को कुछ और पंक्तियाँ लिखकर बढ़ा सकते हैं।

पास्कल का त्रिभुज

चित्र 7.2 में दिया गया संरचना एक त्रिभुज की तरह दिखती है जिसका शीर्ष बिंदु 1 है और दोनों तिरछी भुजाओं पर नीचे की ओर बढ़ता है। संख्याओं की इस सरणी को पास्कल का त्रिभुज कहा जाता है, फ्रेंच गणितज्ञ ब्लेज़ पास्कल के नाम पर। इसे पिंगला द्वारा मेरु प्रस्तार भी कहा जाता है।

द्विपद के उच्च घातों के लिए विस्तार भी पास्कल के त्रिभुज का उपयोग करके संभव हैं। आइए $(2 x+3 y)^{5}$ का विस्तार पास्कल के त्रिभुज का उपयोग करके करें। सूचकांक 5 के लिए पंक्ति है

$$ \begin{matrix} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} $$

इस पंक्ति और हमारे प्रेक्षणों (i), (ii) और (iii) का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} (2 x+3 y)^{5} & =(2 x)^{5}+5(2 x)^{4}(3 y)+10(2 x)^{3}(3 y)^{2}+10(2 x)^{2}(3 y)^{3}+5(2 x)(3 y)^{4}+(3 y)^{5} \\ & =32 x^{5}+240 x^{4} y+720 x^{3} y^{2}+1080 x^{2} y^{3}+810 x y^{4}+243 y^{5} \end{aligned} $

अब, यदि हमें $(2 x+3 y)^{12}$ का विस्तार ज्ञात करना हो, तो हमें पहले सूचकांक 12 के लिए पंक्ति प्राप्त करनी होगी। यह पास्कल के त्रिभुज की सभी पंक्तियों को सूचकांक 12 तक लिखकर किया जा सकता है। यह थोड़ी लंबी प्रक्रिया है। जैसा आप प्रेक्षित करते हैं, यदि हमें अभी भी बड़ी घातों वाले विस्तारों की आवश्यकता हो, तो प्रक्रिया अधिक कठिन हो जाएगी।

इस प्रकार हम एक नियम खोजने का प्रयास करते हैं जो हमें किसी भी घात के लिए द्विपद के विस्तार को पास्कल के त्रिभुज की उन सभी पंक्तियों को लिखे बिना खोजने में मदद करेगा, जो वांछित सूचकांक की पंक्ति से पहले आती हैं।

इसके लिए, हम पहले पढ़े गए संयोजन (combinations) की अवधारणा का उपयोग करके पास्कल त्रिभुज (Pascal’s triangle) की संख्याओं को पुनः लिखते हैं। हम जानते हैं कि ${ }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$ और $n$ एक ऋणात्मक नहीं (non-negative) पूर्णांक है। साथ ही, ${ }^{n} C_0=1={ }^{n} C_n$ पास्कल त्रिभुज को अब इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है (चित्र 7.3)

चित्र 7.3 पास्कल त्रिभुज

इस प्रतिरूप (pattern) को देखते हुए, हम अब पास्कल त्रिभुज की किसी भी सूचकांक (index) के लिए पंक्ति को पहले की पंक्तियाँ लिखे बिना लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, सूचकांक 7 के लिए पंक्ति इस प्रकार होगी

$$ { }^{7} C_0 \quad{ }^{7} C_1 \quad{ }^{7} C_2 \quad{ }^{7} C_3 \quad{ }^{7} C_4 \quad{ }^{7} C_5 \quad{ }^{7} C_6 \quad{ }^{7} C_7 $$

इस प्रकार, इस पंक्ति और प्रेक्षणों (i), (ii) और (iii) का उपयोग करते हुए, हमारे पास

$(a+b)^{7}={ }^{7} C_0 a^{7}+7 C_1 a^{6} b+{ }^{7} C_2 a^{5} b^{2}+{ }^{7} C_3 a^{4} b^{3}+7 C_4 a^{3} b^{4}+{ }^{7} C_5 a^{2} b^{5}+{ }^{7} C_6 a b^{6}+{ }^{7} C_7 b^{7}$

किसी द्विपद (binomial) का विस्तार किसी भी धनात्मक पूर्णांक सूचकांक, मान लीजिए $n$, तक इन प्रेक्षणों का उपयोग करके देखा जा सकता है। हम अब किसी भी धनात्मक पूर्णांक सूचकांक तक द्विपद के विस्तार को लिखने की स्थिति में हैं।

7.2.1 किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए द्विपद प्रमेय,

$ (a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

प्रमाण प्रमाण गणितीय आगमन के सिद्धांत को लागू करके प्राप्त किया जाता है।

माना दिया गया कथन है

$ P(n):(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

$n=1$ के लिए, हमारे पास है

$ P(1):(a+b)^{1}={ }^{1} C_0 a^{1}+{ }^{1} C_1 b^{1}=a+b $

इस प्रकार, $P(1)$ सत्य है।

माना $P(k)$ किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए सत्य है, अर्थात्

$ (a+b)^{k}={ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_k b^{k} $

हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ भी सत्य है, अर्थात्,

$ (a+b)^{k+1}={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_{k+1} b^{k+1} $

अब, $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$ $ =(a+b)({ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_{k-1} a b^{k-1}+{ }^{k} C_k b^{k}) [\text{से}(1)] $ $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+{ }^{k} C_1 a^{k} b+{ }^{k} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a^{2} b^{k-1}+{ }^{k} C_k a b^{k}+{ }^{k} C_0 a^{k} b$ $+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b^{2}+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{3}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1}$ [वास्तविक गुणा द्वारा] $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+({ }^{k} C_1+{ }^{k} C_0) a^{k} b+({ }^{k} C_2+{ }^{k} C_1) a^{k-1} b^{2}+\ldots$ $+({ }^{k} C_k+{ }^{k} C _{k-1}) a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1} \quad$ [समान पदों को समूहबद्ध करके] $={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_k a b^{k}+{ }^{k+1} C _{k+1} b^{k+1}$ (इसका उपयोग करते हुए ${ }^{k+1} C_0=1,{ }^{k} C_r+{ }^{k} C _{r-1}={ }^{k+1} C_r \quad$ और $\quad{ }^{k} C_k=1={ }^{k+1} C _{k+1}$ )

इस प्रकार, यह सिद्ध किया गया है कि जब भी $P(k)$ सत्य है, तब $P(k+1)$ सत्य है। इसलिए, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, $P(n)$ प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए सत्य है।

हम इस प्रमेय को $(x+2)^{6}$ का विस्तार करके दर्शाते हैं :

$ \begin{aligned} (x+2)^{6} & ={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{5} \cdot 2+{ }^{6} C_2 x^{4} 2^{2}+{ }^{6} C_3 x^{3} \cdot 2^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2} \cdot 2^{4}+{ }^{6} C_5 x \cdot 2^{5}+{ }^{6} C_6 \cdot 2^{6} . \\ & =x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64 \end{aligned} $

इस प्रकार $(x+2)^{6}=x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64$.

निरीक्षण

1. संकेतन $\sum_{k=0}^{n}{ }^{n} C_k a^{n-k} b^{k}$ का अर्थ है

${ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+\ldots+{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n-n} b^{n}$, जहाँ $b^{0}=1=a^{n-n}$।

अतः प्रमेय को इस प्रकार भी कहा जा सकता है

$$ (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{k} a^{n-k} b^{k} $$

2. द्विपद प्रमेय में आने वाले गुणांक ${ }^{n} C_r$ को द्विपद गुणांक कहा जाता है।

3. $(a+b)^{n}$ के प्रसार में $(n+1)$ पद होते हैं, अर्थात् घातांक से एक अधिक।

4. प्रसार के क्रमिक पदों में $a$ का घातांक एक इकाई कम होता जाता है। यह प्रथम पद में $n$ होता है, द्वितीय पद में $(n-1)$ होता है, और इसी प्रकार अंतिम पद में शून्य पर समाप्त होता है। साथ ही $b$ का घातांक एक इकाई बढ़ता जाता है, प्रथम पद में शून्य से प्रारंभ होकर, द्वितीय पद में 1 होता है और इसी प्रकार अंतिम पद में $n$ पर समाप्त होता है।

5. $(a+b)^{n}$ के प्रसार में, प्रथम पद में $a$ और $b$ के घातांकों का योग $n+0=n$ है, द्वितीय पद में $(n-1)+1=n$ है और इसी प्रकार अंतिम पद में $0+n=n$ है। इस प्रकार, यह देखा जा सकता है कि प्रसार के प्रत्येक पद में $a$ और $b$ के घातांकों का योग $n$ है।

7.2.2 कुछ विशेष स्थितियाँ

$(a+b)^{n}$ के प्रसार में,

(i) $a=x$ और $b=-y$ लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} (x-y)^{n} & =[x+(-y)]^{n} \ & ={ }^{n} C_0 x^{n}+{ }^{n} C_1 x^{n-1}(-y)+{ }^{n} C_2 x^{n-2}(-y)^{2}+{ }^{n} C_3 x^{n-3}(-y)^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n(-y)^{n} \ & ={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}-{ }^{n} C_3 x^{n-3} y^{3}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n} \end{aligned} $

इस प्रकार $(x-y)^{n}={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n}$

इसका प्रयोग करते हुए, हमारे पास $\quad(x-2 y)^{5}={ }^{5} C_0 x^{5}-{ }^{5} C_1 x^{4}(2 y)+{ }^{5} C_2 x^{3}(2 y)^{2}-{ }^{5} C_3 x^{2}(2 y)^{3}+$

$ \begin{aligned} & { }^{5} C_4 x(2 y)^{4}-{ }^{5} C_5(2 y)^{5} \ = & x^{5}-10 x^{4} y+40 x^{3} y^{2}-80 x^{2} y^{3}+80 x y^{4}-32 y^{5} . \end{aligned} $

(ii) $a=1, b=x$ लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{gathered} (1+x)^{n}={ }^{n} C_0(1)^{n}+{ }^{n} C_1(1)^{n-1} x+{ }^{n} C_2(1)^{n-2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \ ={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \end{gathered} $

इस प्रकार $\quad(1+x)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n}$

विशेष रूप से, $x=1$ के लिए, हमारे पास है

$ 2^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots+{ }^{n} C_n $

(iii) $a=1, b=-x$ लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ (1-x)^{n}={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n x^{n} $

विशेष रूप से, $x=1$ के लिए, हमें मिलता है

$ 0={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n $

उदाहरण 1 $(x^{2}+\frac{3}{x})^{4}, x \neq 0$ का विस्तार कीजिए।

हल द्विपद प्रमेय का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} x^{2}+\frac{3}{x} & ={ }^{4} C_0(x^{2})^{4}+{ }^{4} C_1(x^{2})^{3}(\frac{3}{x})+{ }^{4} C_2(x^{2})^{2}(\frac{3}{x})^{2}+{ }^{4} C_3(x^{2})(\frac{3}{x})^{3}+{ }^{4} C_4(\frac{3}{x})^{4} \ & =x^{8}+4 \cdot x^{6} \cdot \frac{3}{x}+6 \cdot x^{4} \cdot \frac{9}{x^{2}}+4 \cdot x^{2} \cdot \frac{27}{x^{3}}+\frac{81}{x^{4}} \ & =x^{8}+12 x^{5}+54 x^{2}+\frac{108}{x}+\frac{81}{x^{4}} . \end{aligned} $

उदाहरण 2 $(98)^{5}$ का मान निकालिए।

हल हम 98 को दो ऐसी संख्याओं के योग या अंतर के रूप में व्यक्त करते हैं जिनके घात सरलता से निकाले जा सकें, और फिर द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हैं।

$98=100-2$ लिखिए

इसलिए, $(98)^{5}=(100-2)^{5}$ $ \begin{aligned} = & { }^{5} C_0(100)^{5}-{ }^{5} C_1(100)^{4} .2+{ }^{5} C_2(100)^{3} 2^{2} \ & -{ }^{5} C_3(100)^{2}(2)^{3}+{ }^{5} C_4(100)(2)^{4}-{ }^{5} C_5(2)^{5} \ = & 10000000000-5 \times 100000000 \times 2+10 \times 1000000 \times 4-10 \times 10000 \ & \times 8+5 \times 100 \times 16-32 \ = & 10040008000-1000800032=9039207968 . \end{aligned} $

उदाहरण 3 (1.01) ${ }^{1000000}$ और 10,000 में से कौन बड़ा है?

हल 1.01 को विभाजित करके और द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके प्रारंभिक पदों को लिखने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} (1.01)^{1000000} & =(1+0.01)^{1000000} \\ & ={ }^{1000000} C_0+{ }^{1000000} C_1(0.01)+\text{ अन्य धनात्मक पद } \\ & =1+1000000 \times 0.01+\text{ अन्य धनात्मक पद } \\ & =1+10000+\text{ अन्य धनात्मक पद } \\ & >10000 \end{aligned} $

इसलिए $\quad(1.01)^{1000000}>10000$

उदाहरण 4 द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि $6^{n}-5 n$ को 25 से विभाजित करने पर सदैव शेषफल 1 बचता है।

हल दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए यदि हम ऐसी संख्याएँ $q$ और $r$ ज्ञात कर सकें कि $a=b q+r$, तो हम कहते हैं कि $b$, $a$ को विभाजित करती है तथा $q$ भागफल है और $r$ शेषफल है। इस प्रकार, यह दिखाने के लिए कि $6^{n}-5 n$ को 25 से विभाजित करने पर शेषफल 1 बचता है, हम सिद्ध करते हैं कि $6^{n}-5 n=25 k+1$, जहाँ $k$ कोई प्राकृत संख्या है।

हमारे पास

$ (1+a)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 a+{ }^{n} C_2 a^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n} $

$a=5$ के लिए, हम पाते हैं

$$ (1+5)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 5+{ }^{n} C_2 5^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n 5^{n} $$

अर्थात् $$ \quad (6)^{n}=1+5 n+5^{2} \cdot{ }^{n} C_2+5^{3} \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n} $$

अर्थात् $$\quad 6^{n}-5 n=1+5^{2}({ }^{n} C_2+{ }^{n} C_3 5+\ldots+5^{n-2})$$

या $$\quad 6^{n}-5 n=1+25({ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2})$$

या $$ \quad 6^{n}-5 n=25 k+1 \quad \text{ जहाँ } k={ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2} $$

यह दर्शाता है कि जब 25 से विभाजित किया जाता है, तो $6^{n}-5 n$ से शेषफल 1 बचता है।

सारांश

• किसी धनात्मक पूर्णांकीय $n$ के लिए द्विपद का प्रसार द्विपद प्रमेय द्वारा दिया जाता है, जो है $(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+$ ${ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n}$

• प्रसार के गुणांकों को एक सरणी में व्यवस्थित किया जाता है। इस सरणी को पास्कल का त्रिभुज कहा जाता है।

ऐतिहासिक टिप्पणी

प्राचीन भारतीय गणितज्ञ $(x+y)^{n}, 0 \leq n \leq 7$ के प्रसारों में गुणांकों के बारे में जानते थे। इन गुणांकों की व्यवस्था मेरु-प्रस्तर नामक आरेख के रूप में की गई थी, जिसे पिंगल ने अपनी पुस्तक छंद शास्त्र (200 ई.पू.) में दिया था। यह त्रिभुजाकार व्यवस्था चीनी गणितज्ञ चू-शि-की के 1303 के कार्य में भी पाई जाती है। द्विपद गुणांकों की संज्ञा सर्वप्रथम जर्मन गणितज्ञ माइकल स्टीफेल (1486-1567) ने लगभग 1544 में प्रस्तुत की। बोम्बेली (1572) ने $(a+b)^{n}$ के प्रसार में गुणांक दिए, जहाँ $n=1,2 \ldots, 7$ और ऑट्रेड (1631) ने इन्हें $n=1,2, \ldots, 10$ के लिए दिया। अंकगणितीय त्रिभुज, जिसे लोकप्रिय रूप से पास्कल का त्रिभुज कहा जाता है और जो पिंगल के मेरुप्रस्तर के समान है, का निर्माण फ्रेंच गणितज्ञ ब्लेज़ पास्कल (1623-1662) ने 1665 में किया था।

पूर्णांकीय मानों के लिए द्विपद प्रमेय का वर्तमान स्वरूप पास्कल द्वारा लिखित ट्रेट दु त्रियांज अंकगणित में प्रकट हुआ, जिसे उनकी मृत्यु के बाद 1665 में प्रकाशित किया गया।