8.1 परिचय

गणित में, “अनुक्रम” शब्द का प्रयोग उसी प्रकार किया जाता है जैसा कि सामान्य अंग्रेज़ी में। जब हम कहते हैं कि वस्तुओं का एक संग्रह अनुक्रम में सूचीबद्ध है, तो हमारा आमतौर पर तात्पर्य होता है कि संग्रह इस प्रकार क्रमबद्ध है कि उसका एक पहला सदस्य, दूसरा सदस्य, तीसरा सदस्य इत्यादि पहचाना गया है। उदाहरण के लिए, विभिन्न समयों पर मानवों या जीवाणुओं की जनसंख्या एक अनुक्रम बनाती है। किसी बैंक में कई वर्षों तक जमा की गई राशि एक अनुक्रम बनाती है। किसी वस्तु के अवमूल्यित मान एक अनुक्रम में आते हैं। अनुक्रमों का मानवीय गतिविधियों के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण उपयोग है।

विशिष्ट प्रतिरूपों का अनुसरण करने वाले अनुक्रमों को श्रेढ़ियाँ कहा जाता है। पिछली कक्षा में हम समांतर श्रेढ़ी (A.P.) के बारे में पढ़ चुके हैं। इस अध्याय में, A.P. के बारे में और अधिक चर्चा करने के अतिरिक्त; समांतर माध्य, गुणोत्तर माध्य, A.M. और G.M. के बीच संबंध, क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के n पदों के योग के रूप में विशिष्ट श्रेणियाँ, प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के n पदों के योग और प्राकृतिक संख्याओं के घनों के n पदों के योग का भी अध्ययन किया जाएगा।

8.2 अनुक्रम

आइए निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

मान लीजिए कि 30 वर्षों की एक पीढ़ी की खाई है, हमें यह ज्ञात करना है कि किसी व्यक्ति के 300 वर्षों में कितने पूर्वज, अर्थात् माता-पिता, दादा-दादी, पर-दादा-पर-दादी आदि हो सकते हैं।

यहाँ, कुल पीढ़ियों की संख्या $=\frac{300}{30}=10$

पहली, दूसरी, तीसरी, …, दसवीं पीढ़ी के लिए व्यक्ति के पूर्वजों की संख्या क्रमशः $2,4,8,16,32, \ldots, 1024$ है। ये संख्याएँ एक ऐसा क्रम बनाती हैं जिसे हम अनुक्रम कहते हैं।

विभिन्न चरणों में 10 को 3 से भाग देने पर जो क्रमिक भागफल प्राप्त होते हैं, उन्हें देखें। इस प्रक्रिया में हमें $3,3.3,3.33,3.333, \ldots$ इत्यादि मिलते हैं। ये भागफल भी एक अनुक्रम बनाते हैं। अनुक्रम में आने वाली विभिन्न संख्याओं को उसके पद कहा जाता है। हम अनुक्रम के पदों को $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ आदि द्वारा दर्शाते हैं, जहाँ नीचे का अंक पद की स्थिति को दर्शाता है। $n^{\text{वाँ }}$ पद अनुक्रम की $n^{\text{वीं}}$ स्थिति पर स्थित संख्या होती है और इसे $a_n$ द्वारा दर्शाया जाता है। $n^{\text{वें}}$ पद को अनुक्रम का सामान्य पद भी कहा जाता है।

इस प्रकार, उपरोक्त उल्लिखित व्यक्ति के पूर्वजों के अनुक्रम के पद हैं:

$$ a_1=2, a_2=4, a_3=8, \ldots, a_{10}=1024 $$

इसी प्रकार, क्रमिक भागफलों के उदाहरण में

$$ a_1=3, a_2=3.3, a_3=3.33, \ldots, a_6=3.33333 \text{, आदि } $$

एक अनुक्रम जिसमें सीमित संख्या में पद हों, सीमित अनुक्रम कहलाता है। उदाहरण के लिए, पूर्वजों का अनुक्रम एक सीमित अनुक्रम है क्योंकि इसमें 10 पद हैं (एक निश्चित संख्या)।

एक अनुक्रम को अनन्त कहा जाता है, यदि वह परिमित अनुक्रम नहीं है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त उल्लिखित क्रमिक भागफलों की अनुक्रम एक अनन्त अनुक्रम है, अनन्त इस अर्थ में कि यह कभी समाप्त नहीं होता।

प्रायः, यह सम्भव होता है कि नियम को, जो अनुक्रम के विभिन्न पदों को उत्पन्न करता है, बीजगणितीय सूत्र के रूप में व्यक्त किया जा सके। उदाहरण के लिए सम विचारें सम प्राकृत संख्याओं की अनुक्रम $2,4,6, \ldots$

$ \begin{aligned} & \text{ यहाँ } \quad a_1=2=2 \times 1 \quad a_2=4=2 \times 2 \ & a_3=6=2 \times 3 \quad a_4=8=2 \times 4 \ &\ldots & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots\ & a _{23}=46=2 \times 23, a _{24}=48=2 \times 24 \text{, और आगे भी। } \end{aligned} $

वास्तव में, हम देखते हैं कि इस अनुक्रम का $n^{\text{वाँ }}$ पद $a_n=2 n$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $n$ एक प्राकृत संख्या है। इसी प्रकार, विषम प्राकृत संख्याओं की अनुक्रम $1,3,5, \ldots$ में, $n^{\text{वाँ}}$ पद सूत्र $a_n=2 n-1$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ एक प्राकृत संख्या है। कुछ मामलों में, संख्याओं की ऐसी व्यवस्था $1,1,2,3,5,8, .$. में कोई दिखाई देने वाला प्रतिरूप नहीं होता, परन्तु अनुक्रम पुनरावृत्ति सम्बन्ध द्वारा उत्पन्न होता है जो इस प्रकार दिया गया है

$$ \begin{aligned} & a_1=a_2=1 \ & a_3=a_1+a_2 \ & a_n=a _{n-2}+a _{n-1}, n>2 \end{aligned} $$

इस अनुक्रम को फाइबोनैचि अनुक्रम कहा जाता है।

अभाज्य संख्याओं की अनुक्रम $2,3,5,7, \ldots$ में, हम पाते हैं कि $n^{\text{वें}}$ अभाज्य के लिए कोई सूत्र नहीं है। ऐसी अनुक्रम केवल मौखिक विवरण द्वारा वर्णित की जा सकती है।

हर अनुक्रम में हमें यह अपेक्षा नहीं करनी चाहिए कि उसके पद अनिवार्यतः किसी विशिष्ट सूत्र द्वारा दिए जाएँगे। फिर भी, हमें यह अपेक्षा होती है कि पदों को क्रमशः उत्पन्न करने के लिए कोई सैद्धांतिक योजना या नियम होगा, जैसे कि $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$।

उपर्युक्त को ध्यान में रखते हुए, एक अनुक्रम को एक ऐसे फलन के रूप में देखा जा सकता है जिसका प्रांत प्राकृत संख्याओं का समुच्चय या उसका कोई उपसमुच्चय हो। कभी-कभी हम फलन संकेतन a(n) का प्रयोग $a_n$ के लिए करते हैं।

8.3 श्रेणी

मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$, एक दिया गया अनुक्रम है। तब व्यंजक $ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots $ को दिए गए अनुक्रम से संबद्ध श्रेणी कहा जाता है। श्रेणी सीमित या असीमित होती है जैसा कि दिया गया अनुक्रम सीमित या असीमित होता है। श्रेणियों को अक्सर संक्षिप्त रूप में, जिसे सिग्मा संकेतन कहा जाता है, प्रस्तुत किया जाता है, जिसमें ग्रीक अक्षर $\sum$ (सिग्मा) का प्रयोग योग को दर्शाने के लिए किया जाता है। इस प्रकार, श्रेणी $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$ को $\sum_{k=1}^{n} a_k$ के रूप में संक्षिप्त किया जाता है।

टिप्पणी जब श्रेणी का प्रयोग किया जाता है, तो इससे तात्पर्य संकेतित योग से होता है न कि योगफल से। उदाहरण के लिए, $1+3+5+7$ एक सीमित श्रेणी है जिसमें चार पद हैं। जब हम “श्रेणी का योग” वाक्यांश का प्रयोग करते हैं, तो हमारा तात्पर्य उस संख्या से होता है जो पदों को जोड़ने से प्राप्त होती है, श्रेणी का योग 16 है।

अब हम कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं।

उदाहरण 1 निम्नलिखित में से प्रत्येक अनुक्रम के पहले तीन पद लिखिए जो निम्नलिखित द्वारा परिभाषित हैं:

(i) $a_n=2 n+5$,

(ii) $a_n=\frac{n-3}{4}$।

हल (i) यहाँ $a_n=2 n+5$

$n=1,2,3$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है $ a_1=2(1)+5=7, a_2=9, a_3=11 $

इसलिए, अभीष्ट पद 7, 9 और 11 हैं।

(ii) यहाँ $a_n=\frac{n-3}{4}$। इस प्रकार, $a_1=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}, a_2=-\frac{1}{4}, a_3=0$

अतः, पहले तीन पद $-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}$ और 0 हैं।

उदाहरण 2 अनुक्रम का $20^{\text{वाँ }}$ पद क्या है जो $ a_n=(n-1)(2-n)(3+n) $ द्वारा परिभाषित है? हल $n=20$ रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} a _{20} & =(20-1)(2-20)(3+20) \\ & =19 \times(-18) \times(23) \\ &
=-7866 . \end{aligned} $$

उदाहरण 3 मान लीजिए अनुक्रम $a_n$ इस प्रकार परिभाषित है:

$$ a_1=1, a_n=a _{n-1}+2 \text{ for } n \geq 2 \text{. } $$

पहले पाँच पद ज्ञात कीजिए और संगत श्रेणी लिखिए।

हल हमारे पास है

$ \begin{aligned} & a_1=1, a_2=a_1+2=1+2=3, a_3=a_2+2=3+2=5, \\ & a_4=a_3+2=5+2=7, a_5=a_4+2=7+2=9 . \end{aligned} $

अतः, अनुक्रम के पहले पाँच पद $1,3,5,7$ और 9 हैं। संगत श्रेणी $1+3+5+7+9+\ldots$ है।

8.4 गुणोत्तर श्रेणी (G. P.)

आइए निम्नलिखित अनुक्रमों पर विचार करें:

(i) $2,4,8,16, \ldots$,

(ii) $\frac{1}{9}, \frac{-1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{-1}{243}$

(iii) $.01, .0001, .000001, \ldots$

इनमें से प्रत्येक अनुक्रम में, उनके पद कैसे आगे बढ़ते हैं? हम देखते हैं कि प्रत्येक पद, पहले को छोड़कर, एक निश्चित क्रम में आगे बढ़ता है।

(i) में, हमारे पास $a_1=2, \frac{a_2}{a_1}=2, \frac{a_3}{a_2}=2, \frac{a_4}{a_3}=2$ और आगे भी।

(ii) हम देखते हैं, $a_1=\frac{1}{9}, \frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}, \frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{3}, \frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{3}$ और आगे भी ऐसे ही।

इसी प्रकार, बताइए कि (iii) में पद कैसे बढ़ते हैं? यह देखा गया है कि प्रत्येक स्थिति में, प्रथम पद को छोड़कर प्रत्येक पद अपने ठीक पहले पद से एक स्थिर अनुपात में होता है। (i) में यह स्थिर अनुपात 2 है; (ii) में यह $-\frac{1}{3}$ है और (iii) में स्थिर अनुपात 0.01 है। ऐसी अनुक्रमों को गुणोत्तर अनुक्रम या गुणोत्तर श्रेणी कहा जाता है, जिसे संक्षेप में G.P. लिखा जाता है।

एक अनुक्रम $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ को गुणोत्तर श्रेणी कहा जाता है, यदि प्रत्येक पद शून्येतर हो और $\frac{a_{k+1}}{a_k}=r$ (स्थिर), जहाँ $k \geq 1$।

$a_1=a$ रखने पर, हमें एक गुणोत्तर श्रेणी प्राप्त होती है, $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots$, जहाँ $a$ को प्रथम पद कहा जाता है और $r$ को G.P. का सार्व अनुपात कहा जाता है। ऊपर दी गई गुणोत्तर श्रेणियों (i), (ii) और (iii) में सार्व अनुपात क्रमशः $2,-\frac{1}{3}$ और 0.01 हैं।

जैसा कि समांतर श्रेणी के मामले में होता है, बड़ी संख्या में पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी का $n^{\text{वाँ}}$ पद या $n$ पदों का योग ज्ञात करना, उन सूत्रों के बिना कठिन होगा जिन्हें हम अगले खंड में विकसित करेंगे। हम इन सूत्रों में निम्नलिखित संकेतों का प्रयोग करेंगे:

$ \begin{aligned} & a=\text{ प्रथम पद, } r=\text{ सार्व अनुपात, } l=\text{ अंतिम पद, } \ & n=\text{ पदों की संख्या, } \ & S_n=\text{ प्रथम } n \text{ पदों का योग। } \end{aligned} $

8.4.1 G.P. का व्यापक पद

आइए एक G.P. पर विचार करें जिसका प्रथम अशून्य पद ’ $a$ ’ है और सार्व अनुपात ’ $r$ ’ है। इसके कुछ पद लिखिए। दूसरा पद $a$ को $r$ से गुणा करने पर प्राप्त होता है, इस प्रकार $a_2=a r$। इसी प्रकार, तीसरा पद $a_2$ को $r$ से गुणा करने पर प्राप्त होता है। इस प्रकार, $a_3=a_2 r=a r^{2}$, और इसी तरह आगे।

हम नीचे इन और कुछ और पदों को लिखते हैं।

$1^{\text{वां }}$ पद $=a_1=a=a r^{1-1}, 2^{\text{वां }}$ पद $=a_2=a r=a r^{2-1}, 3^{\text{वां }}$ पद $=a_3=a r^{2}=a r^{3-1}$ $4^{\text{वां }}$ पद $=a_4=a r^{3}=a r^{4-1}, 5^{\text{वां }}$ पद $=a_5=a r^{4}=a r^{5-1}$

क्या आप एक प्रतिरूप देखते हैं? $16^{\text{वां }}$ पद क्या होगा?

$$ a _{16}=a r^{16-1}=a r^{15} $$

इसलिए, प्रतिरूप सुझाता है कि G.P. का $n^{\text{वां }}$ पद $a_n=a r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है। इस प्रकार, $a$, G.P. को $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots a r^{n-1} ; a, a r, a r^{2}, \ldots, a r^{n-1} \ldots ;$ के रूप में लिखा जा सकता है; जैसे G.P. क्रमशः परिमित या अनंत है। श्रेणी $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}$ या $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}+\ldots$ को क्रमशः परिमित या अनंत गुणोत्तर श्रेणी कहा जाता है।

8.4.2. G.P. के $n$ पदों का योग

मान लीजिए एक G.P. का प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है। मान लीजिए $S_n$ द्वारा G.P. के प्रथम $n$ पदों का योग निरूपित करते हैं। तब

$$ S_n=a+a^{n}+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

स्थिति 1 यदि $r=1$, तो हमारे पास $S_n=a+a+a+\ldots+a(n$ पद $)=n a$

स्थिति 2 यदि $r \neq 1$, (1) को $r$ से गुणा करने पर, हमारे पास

$$ r S_n=a r+a r^{2}+a r^{3}+\ldots+a r^{n} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

(2) को (1) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है $$(1-r) S_n=a-a r^{n}=a(1-r^{n})$$

इससे प्राप्त होता है

$$ \mathrm{S} n=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \text { या } \mathrm{S} _{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} $$

उदाहरण 4 G.P. $5,25,125, \ldots$ का $10^{\text{वां }}$ और $n^{\text{वां }}$ पद ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ $a=5$ और $r=5$। इस प्रकार, $a _{10}=5(5)^{10-1}=5(5)^{9}=5^{10}$ और $a_n=a r^{n-1}=5(5)^{n-1}=5^{n}$।

उदाहरण 5 G.P. 2,8,32,… के $n$ पदों में से कौन-सा पद 131072 है?

हल मान लीजिए 131072 दी गई G.P. का $n^{\text{वां }}$ पद है। यहाँ $a=2$ और $r=4$।

इसलिए $\quad 131072=a_n=2(4)^{n-1}$ या $65536=4^{n-1}$

इससे प्राप्त होता है $\quad 4^{8}=4^{n-1}$।

अतः $n-1=8$, अर्थात् $n=9$। इसलिए, 131072 G.P. का $9^{\text{वां }}$ पद है।

उदाहरण 6 एक G.P. में, $3^{\text{रा }}$ पद 24 है और $6^{\text{वां }}$ पद 192 है। $10^{\text{वां }}$ पद ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ, $a_3=a r^{2}=24 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

और $ \quad \quad a_6=a r^{5}=192 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) को (1) से भाग देने पर, हमें $r=2$ प्राप्त होता है। $r=2$ को (1) में रखने पर, हमें $a=6$ प्राप्त होता है।

अतः $a _{10}=6(2)^{9}=3072$।

उदाहरण 7 समांतर श्रेणी $1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\ldots$ के प्रथम $n$ पदों का योग और प्रथम 5 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ $a=1$ और $r=\frac{2}{3}$। इसलिए

$$ S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{[1-(\frac{2}{3})^{n}]}{1-\frac{2}{3}}=3[1-(\frac{2}{3})^{n}] $$

विशेष रूप से, $\quad S_5=3[1-(\frac{2}{3})^{5}]=3 \times \frac{211}{243}=\frac{211}{81}$.

उदाहरण 8 G.P. $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots$ के कितने पदों की आवश्यकता है ताकि योग $\frac{3069}{512}$ प्राप्त हो?

हल मान लीजिए आवश्यक पदों की संख्या $n$ है। दिया गया है कि $a=3, r=\frac{1}{2}$ और $S_n=\frac{3069}{512}$

चूँकि $ \quad \quad \quad S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r} $

इसलिए $ \quad \quad \quad \frac{3069}{512}=\frac{3(1-\frac{1}{2^{n}})}{1-\frac{1}{2}}=6(1-\frac{1}{2^{n}}) $

या $ \quad \quad \quad \frac{3069}{3072}=1-\frac{1}{2^{n}} $

या $\quad \quad \quad\frac{1}{2^{n}} =1-\frac{3069}{3072}=\frac{3}{3072}=\frac{1}{1024}$

या $\quad \quad \quad2^{n} =1024=2^{10}, \text{ जिससे } n=10$

उदाहरण 9 एक G.P. के पहले तीन पदों का योग $\frac{13}{12}$ है और उनका गुणनफल -1 है। सार्व अनुपात और पद ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $\frac{a}{r}, a$, ar G.P. के पहले तीन पद हैं। तब

$$ \frac{a}{r}+a r+a=\frac{13}{12} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

और $\quad(\frac{a}{r})(a)(a r)=-1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) से, हमें $a^{3}=-1$ मिलता है, अर्थात् $a=-1$ (केवल वास्तविक मूलों पर विचार करते हुए)

(1) में $a=-1$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ -\frac{1}{r}-1-r=\frac{13}{12} \text{ या } 12 r^{2}+25 r+12=0 \text{। } $$

यह $r$ में एक द्विघात है, हल करने पर, हमें $r=-\frac{3}{4}$ या $-\frac{4}{3}$ मिलता है।

इस प्रकार, गुणोत्तर श्रेणी के तीन पद हैं : $\frac{4}{3},-1, \frac{3}{4}$ जब $r=\frac{-3}{4}$ और $\frac{3}{4},-1, \frac{4}{3}$ जब $r=\frac{-4}{3}$,

उदाहरण10 अनुक्रम 7, 77, 777, 7777, … के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल यह गुणोत्तर श्रेणी नहीं है, फिर भी हम इसे गुणोत्तर श्रेणी से संबद्ध कर सकते हैं पदों को इस प्रकार लिखकर

$ S_n=7+77+777+7777+\ldots \text{ to } n \text{ terms } $ $ \begin{aligned} & =\frac{7}{9}[9+99+999+9999+\ldots \text{ to } n \text{ term }] \\ & =\frac{7}{9}[(10-1)+(10^{2}-1)+(10^{3}-1)+(10^{4}-1)+\ldots n \text{ terms }] \\ & =\frac{7}{9}[(10+10^{2}+10^{3}+\ldots n \text{ terms })-(1+1+1+\ldots n \text{ terms })] \\ & =\frac{7}{9} \left[ \frac{10(10^{n}-1)}{10-1}-n\right]=\frac{7}{9}\left[\frac{10(10^{n}-1)}{9}-n \right] . \end{aligned} $

उदाहरण 11 एक व्यक्ति के 2 माता-पिता, 4 दादा-दादी, 8 परदादा-परदादी आदि हैं। उसकी अपनी पीढ़ी से पहले की दस पीढ़ियों के दौरान उसके पूर्वजों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ $a=2, r=2$ और $n=10$

योग सूत्र का प्रयोग करते हुए $\quad S_n=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$

हमारे पास $ \quad\quad\quad\quad S_{10}=2(2^{10}-1)=2046 $

अतः, व्यक्ति से पहले के पूर्वजों की संख्या 2046 है।

8.4.3 गुणोत्तर माध्य (G.M.)

दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य संख्या $\sqrt{a b}$ होता है। इसलिए, 2 और 8 का गुणोत्तर माध्य 4 है। हम देखते हैं कि तीन संख्याएँ $2,4,8$ गुणोत्तर श्रेणी के क्रमागत पद हैं। यह दो संख्याओं के गुणोत्तर माध्य की अवधारणा का व्यापकीकरण है।

किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं (a) और (b) को दिया गया हो, हम उनके बीच चाहे जितनी संख्याएँ चाहें डाल सकते हैं ताकि परिणामी अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) में हो।

मान लीजिए (G_1, G_2, \ldots, G_n) संख्याएँ धनात्मक संख्याओं (a) और (b) के बीच की (n) संख्याएँ हैं इस प्रकार कि (a, G_1, G_2, G_3, \ldots, G_n, b) एक G.P. है। इस प्रकार, (b) को ((n+2)^{\text{वाँ}}) पद मानते हुए, हमारे पास

( b=a r^{n+1}, \quad \text{ या } \quad r=(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}} \text{।} )

अतः (G_1=a r=a(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}, G_2=a r^{2}=a(\frac{b}{a})^{\frac{2}{n+1}}, G_3=a r^{3}=a(\frac{b}{a})^{\frac{3}{n+1}}),

[ G_n=a r^{n}=a(\frac{b}{a})^{\frac{n}{n+1}} ]

उदाहरण12 1 और 256 के बीच तीन संख्याएँ डालिए ताकि परिणामी अनुक्रम एक G.P. हो।

हल मान लीजिए (G_1, G_2, G_3) तीन संख्याएँ 1 और 256 के बीच इस प्रकार हैं कि (1, G_1, G_2, G_3, 256) एक G.P. है।

इसलिए (\quad 256=r^{4}) जिससे (r= \pm 4) (केवल वास्तविक मूल लेते हुए)

(r=4) के लिए, हमारे पास (G_1=a r=4, G_2=a r^{2}=16, G_3=a r^{3}=64)

इसी प्रकार, (r=-4) के लिए, संख्याएँ हैं (-4,16) और -64।

अतः, हम 1 और 256 के बीच 4, 16, 64 डाल सकते हैं ताकि परिणामी अनुक्रम G.P. में हों।

8.5 A.M. और G.M. के बीच संबंध

मान लीजिए (A) और (G) दो दी गई धनात्मक वास्तविक संख्याओं (a) और (b) का क्रमशः A.M. और G.M. है। तब

[ A=\frac{a+b}{2} \text{ और } G=\sqrt{a b} ]

इस प्रकार, हमारे पास

( \begin{aligned} A-G & =\frac{a+b}{2}-\sqrt{a b}=\frac{a+b-2 \sqrt{a b}}{2} \\ & =\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2} \geq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) \end{aligned} )

(1) से, हम संबंध $A \geq G$ प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 13 यदि दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ का समांतर माध्य (A.M.) और गुणोत्तर माध्य (G.M.) क्रमशः 10 और 8 हैं, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल दिया है कि A.M. $=\frac{a+b}{2}=10 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

और $ \text{ G.M. }=\sqrt{a b}=8 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(1) और (2) से, हम पाते हैं

$$ \begin{aligned} & a+b=20 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3)\\ & a b=64 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $$

(3), (4) से $a$ और $b$ का मान सर्वसमिका $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b$ में रखने पर, हम पाते हैं

$$(a-b)^{2}=400-256=144$$

या $\quad \quad \quad a-b= \pm 12 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (5)$

(3) और (5) को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ a=4, b=16 \text{ या } a=16, b=4 $$

इस प्रकार, संख्याएँ $a$ और $b$ क्रमशः 4,16 या 16,4 हैं।

विविध उदाहरण

उदाहरण 14 यदि $a, b, c, d$ और $p$ भिन्न-भिन्न वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0$, तो दिखाइए कि $a, b, c$ और $d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

हल दिया है कि

$ (a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

परंतु बायाँ पक्ष (L.H.S.)

$ =(a^{2} p^{2}-2 a b p+b^{2})+(b^{2} p^{2}-2 b c p+c^{2})+(c^{2} p^{2}-2 c d p+d^{2}), $

जो देता है $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2} \geq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$

चूँकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग अ-ऋणात्मक होता है, इसलिए (1) और (2) से हमें प्राप्त होता है, $\quad(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}=0$

या

$ a p-b=0, b p-c=0, c p-d=0 $

इसका तात्पर्य है कि $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=p$

अतः $a, b, c$ और $d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

सारांश

एक अनुक्रम से हमारा तात्पर्य संख्याओं की एक ऐसी व्यवस्था से है जो किसी नियम के अनुसार निश्चित क्रम में हो। साथ ही, हम अनुक्रम को एक ऐसे फलन के रूप में परिभाषित करते हैं जिसका डोमेन प्राकृत संख्याओं का समुच्चय या ${1,2,3, \ldots . k}$ प्रकार का कोई उपसमुच्चय हो। एक अनुक्रम जिसमें सीमित संख्या में पद हों, सीमित अनुक्रम कहलाता है। यदि कोई अनुक्रम सीमित न हो तो उसे अनन्त अनुक्रम कहा जाता है।

मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, \ldots$ अनुक्रम है, तो योग $a_1+a_2+a_3+\ldots$ को श्रेणी कहा जाता है। यदि किसी श्रेणी में सीमित संख्या में पद हों तो उसे सीमित श्रेणी कहा जाता है।

एक अनुक्रम को गुणोत्तर प्रगति या गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) कहा जाता है, यदि किसी भी पद का अपने पूर्ववर्ती पड़ से अनुपात सर्वत्र समान हो। इस नियत गुणांक को सार्व अनुपात कहा जाता है। सामान्यतः हम गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम पद को $a$ और उसके सार्व अनुपात को $r$ द्वारा व्यक्त करते हैं। गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य या $n^{\text{वाँ}}$ पद $a_n=a r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।

गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n$ $\mathrm{S} _{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$ या $\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है, यदि $r \neq 1$

दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य (G.M.) $\sqrt{a b}$ द्वारा दिया जाता है, अर्थात् अनुक्रम $a, G, b$ गुणोत्तर श्रेणी है।

ऐतिहासिक टिप्पणी

प्रमाण मिलता है कि बाबिलवासियों को, लगभग 4000 वर्ष पूर्व, अंकगणितीय और ज्यामितीय अनुक्रमों का ज्ञान था। बोथियस (510) के अनुसार, प्रारंभिक ग्रीक लेखकों को अंकगणितीय और ज्यामितीय अनुक्रमों की जानकारी थी। भारतीय गणितज्ञों में, आर्यभट्ट (476) ने प्राकृत संख्याओं के वर्गों और घनों के योग का सूत्र अपने प्रसिद्ध ग्रंथ आर्यभटीयम में दिया, जो लगभग 499 ई. में लिखा गया था। उन्होंने $n$ पदों तक के अंकगणितीय अनुक्रम का योग ज्ञात करने का सूत्र भी दिया, जो $p^{\text{वें }}$ पद से प्रारंभ होता है। प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त (598), महावीर (850) और भास्कर (1114-1185) ने भी वर्गों और घनों के योग पर विचार किया। गणित में महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों वाले एक अन्य विशिष्ट प्रकार के अनुक्रम, जिसे फाइबोनैचि अनुक्रम कहा जाता है, की खोज इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फाइबोनैचि (1170-1250) ने की। सत्रहवीं शताब्दी ने श्रेणियों को विशिष्ट रूपों में वर्गीकृत करने की गवाही दी। 1671 में जेम्स ग्रेगरी ने अनंत अनुक्रम के संदर्भ में अनंत श्रेणी शब्द का प्रयोग किया। अनुक्रम और श्रेणी से संबंधित अवधारणाओं को उपयुक्त रूप से सूत्रबद्ध करना केवल बीजगणितीय और समुच्चय सैद्धांतिक उपकरणों के कठोर विकास के माध्यम से संभव हो सका।