ज्यामिति, एक तार्किक प्रणाली के रूप में, बच्चों को मानव आत्मा की शक्ति—जो उनकी अपनी आत्मा की शक्ति है—का अनुभव कराने का एक साधन है और यहाँ तक कि सबसे शक्तिशाली साधन भी है। - एच. फ्रॉयडेनथल

9.1 भूमिका

हम पिछली कक्षाओं से द्वि-आयामी निर्देशांक ज्यामिति से परिचित हैं। मुख्यतः, यह बीजगणित और ज्यामिति का संयोजन है। बीजगणित के प्रयोग द्वारा ज्यामिति का क्रमबद्ध अध्ययन सर्वप्रथम प्रसिद्ध फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ रेने डेकार्ट द्वारा किया गया, जिनकी पुस्तक ‘ला ज्योमेट्री’ 1637 में प्रकाशित हुई। इस पुस्तक ने वक्र के समीकरण की अवधारणा और संबंधित विश्लेषणात्मक विधियों को ज्यामिति के अध्ययन में प्रस्तुत किया। विश्लेषण और ज्यामिति के इस परिणामी संयोजन को अब विश्लेषणात्मक ज्यामिति कहा जाता है। पिछली कक्षाओं में, हमने निर्देशांक ज्यामिति का अध्ययन प्रारंभ किया था, जहाँ हमने निर्देशांक अक्षों, निर्देशांक तल, तल में बिंदुओं को आलेखित करने,

दो बिंदुओं के बीच की दूरी, खंड सूत्र आदि के बारे में पढ़ा। ये सभी अवधारणाएँ निर्देशांक ज्यामिति की मूल बातें हैं।

आइए पिछली कक्षाओं में की गई निर्देशांक ज्यामिति का संक्षेप में पुनरावलोकन करें। याद दिलाने के लिए, बिंदुओं $(6,-4)$ और $(3,0)$ का XY-तल में स्थान चित्र 9.1 में दिखाया गया है।

आकृति 9.1

हम देख सकते हैं कि बिंदु $(6,-4)$ धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश $y$-अक्ष से 6 इकाई दूरी पर है और ऋणात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश $x$-अक्ष से 4 इकाई दूरी पर है। इसी प्रकार, बिंदु $(3,0)$ धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश $y$-अक्ष से 3 इकाई दूरी पर है और $x$-अक्ष से शून्य दूरी पर है। सूत्र:

हमने वहाँ निम्नलिखित महत्वपूर्ण सूत्र भी अध्ययन किए हैं

I. बिंदुओं $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $

उदाहरण के लिए, बिंदुओं $(6,-4)$ और $(3,0)$ के बीच की दूरी

$$ \sqrt{(3-6)^{2}+(0+4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5 \text{ इकाई है। } $$

II. बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतर रूप से $m:n$ अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक $(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n})$ होते हैं।

उदाहरण के लिए, बिंदु A $(1,-3)$ और $B(-3,9)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $1:3$ अनुपात में आंतर रूप से विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक $x=\frac{1 .(-3)+3.1}{1+3}=0$ $\text{ और } y=\frac{1.9+3 \cdot(-3)}{1+3}=0$ हैं।

III. विशेष रूप से, यदि $m=n$ हो, तो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ होते हैं।

IV. त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं, वह

$\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| .$

उदाहरण के लिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(4,4), (3,-2)$ और $(-3,16)$ हैं, वह है

$ \frac{1}{2}|4(-2-16)+3(16-4)+(-3)(4+2)|=\frac{|-54|}{2}=27 $

टिप्पणी यदि त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल शून्य है, तो तीन बिंदु $A, B$ और $C$ एक रेखा पर स्थित होते हैं, अर्थात् वे संरेख हैं।

इस अध्याय में, हम निर्देशांक ज्यामिति के अध्ययन को जारी रखेंगे ताकि सबसे सरल ज्यामितीय आकृति - सीधी रेखा के गुणों का अध्ययन किया जा सके। अपनी सादगी के बावजूद, रेखा ज्यामिति की एक महत्वपूर्ण अवधारणा है और यह हमारे दैनिक अनुभवों में कई रोचक और उपयोगी तरीकों से प्रवेश करती है। मुख्य ध्यान रेखा को बीजगणितीय रूप से निरूपित करने पर है, जिसके लिए ढाल सबसे आवश्यक है।

9.2 रेखा की ढाल

एक निर्देशांक समतल में एक रेखा $x$-अक्ष के साथ दो कोण बनाती है, जो पूरक होते हैं। वह कोण (मान लीजिए) $\theta$ जो रेखा $l$ द्वारा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया जाता है और जो प्रतिवर्त दिशा में मापा जाता है, रेखा का झुकाव कहलाता है। स्पष्टतः $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ (चित्र 9.2)।

चित्र 9.2

हम देखते हैं कि $x$-अक्ष के समानांतर रेखाएँ, या $x$-अक्ष के संपाती रेखाएँ, $0^{\circ}$ का झुकाव रखती हैं। एक ऊर्ध्वाधर रेखा (जो $y$-अक्ष के समानांतर या संपाती है) का झुकाव $90^{\circ}$ होता है।

परिभाषा 1 यदि $\theta$ किसी रेखा $l$ का झुकाव है, तो $\tan \theta$ को रेखा $l$ की ढाल या ग्रेडिएंट कहा जाता है।

एक रेखा जिसका झुकाव $90^{\circ}$ है, उसकी ढाल परिभाषित नहीं होती। रेखा की ढाल को $m$ द्वारा दर्शाया जाता है।

इस प्रकार, $m=\tan \theta, \theta \neq 90^{\circ}$ यह देखा जा सकता है कि $x$-अक्ष की ढाल शून्य होती है और $y$-अक्ष की ढाल परिभाषित नहीं होती।

9.2.1 रेखा की ढाल जब रेखा पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देश दिए गए हों

हम जानते हैं कि जब हमें एक रेखा पर दो बिंदु दिए जाते हैं तो वह रेखा पूरी तरह निर्धारित हो जाती है। इसलिए, हम रेखा की ढाल उस रेखा पर स्थित दो बिंदुओं के निर्देशों के पदों में ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

मान लीजिए $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा $l$ पर दो बिंदु हैं जिसका झुकाव $\theta$ है। स्पष्ट है कि $x_1 \neq x_2$, अन्यथा रेखा $x$-अक्ष के लंबवत हो जाएगी और उसकी ढाल परिभाषित नहीं होगी। रेखा $l$ का झुकाव न्यून या अधिक कोण हो सकता है। आइए इन दोनों स्थितियों को लें।

चित्र 9.3 (i) और (ii) में दिखाए अनुसार $x$-अक्ष पर लंब $QR$ और $RQ$ पर लंब $PM$ खींचिए।

स्थिति 1 जब कोण $\theta$ न्यून हो:

चित्र 9.3

(i), (\angle MPQ=\theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1))

इसलिए, रेखा (l) की ढाल (m=\tan \theta) है।

परंतु (\triangle MPQ) में, हमारे पास (\tan \theta=\frac{MQ}{MP}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)) है।

समीकरणों (1) और (2) से, हमारे पास

$ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $

स्थिति II जब कोण (\theta) अधिक कोण है:

आकृति 9.3 (ii) में, हमारे पास (\angle MPQ=180^{\circ}-\theta) है।

इसलिए, (\theta=180^{\circ}-\angle MPQ) है।

अब, रेखा (l) की ढाल (l=m=\tan \theta) है।

$$ \begin{aligned} & =\tan \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{MPQ}\right) \\ & =-\tan \angle \mathrm{MPQ} \\ & =-\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{MP}}=-\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{1}-x _{2}}=\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{2}-x _{1}} . \end{aligned} $$

फलस्वरूप, हम देखते हैं कि दोनों ही स्थितियों में बिंदुओं ((x_1, y_1)) और ((x_2, y_2)) से होकर जाने वाली रेखा की ढाल (m), (m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}) द्वारा दी जाती है।

9.2.2 निर्देशांक समतल में रेखाओं की समांतरता और लंबवत्ता की शर्तें उनकी ढालों के पदों में

एक निर्देशांक समतल में, मान लीजिए कि अ-ऊध्र्वाधर रेखाएँ (l_1) और (l_2) की ढालें क्रमशः (m_1) और (m_2) हैं। मान लीजिए उनके झुकाव क्रमशः (\alpha) और (\beta) हैं। यदि रेखा (\boldsymbol{l_1}), (\boldsymbol{l_2}) के समांतर है (आकृति 9.4), तो उनके झुकाव समान होते हैं, अर्थात्

आकृति 9.4

$ \alpha=\beta, \text{ और इसलिए, } \tan \alpha=\tan \beta $

इसलिए $\quad m _{1}=m _{2}$, अर्थात् उनकी ढालें समान हैं।

विपरीततः, यदि दो रेखाओं $l_1$ और $l_2$ की ढाल समान है, अर्थात्

$$ m_1=m_2 $$

तब

$$ \tan \alpha=\tan \beta \text{। } $$

टैजेंट फलन के गुणधर्म के अनुसार ($0^{\circ}$ और $180^{\circ}$ के बीच), $\alpha=\beta$।

इसलिए, रेखाएँ समानांतर हैं।

अतः, दो अ-ऊध्र्वाधर रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ तभी समानांतर होती हैं जब उनकी ढालें समान हों।

यदि रेखाएँ $ \boldsymbol{l_1 } $ और $\boldsymbol{l_2 } $ लंबवत हों (आकृति 9.5), तब $\beta=\alpha+90^{\circ}$।

आकृति 9.5

इसलिए, $\quad \tan \beta=\tan (\alpha+90^{\circ})$

$$ =-\cot \alpha=-\frac{1}{\tan \alpha} $$

अर्थात्, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ या $\quad m_1 m_2=-1$

विपरीततः, यदि $m_1 m_2=-1$, अर्थात् $\tan \alpha \tan \beta=-1$।

तब $\tan \alpha=-\cot \beta=\tan (\beta+90^{\circ})$ या $\tan (\beta-90^{\circ})$

इसलिए, $\alpha$ और $\beta$ में $90^{\circ}$ का अंतर है।

इस प्रकार, रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।

इसलिए, दो अ-ऊर्ध्व रेखाएँ तभी एक-दूसरे पर लंब होती हैं जब उनकी ढालें एक-दूसरे की ऋणात्मक व्युत्क्रम हों,

अर्थात् $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ या, $m_1 m_2=-1$।

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 1 रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए:

(a) बिंदुओं $(3,-2)$ और $(-1,4)$ से होकर जाती है,

(b) बिंदुओं $(3,-2)$ और $(7,-2)$ से होकर जाती है,

(c) बिंदुओं $(3,-2)$ और $(3,4)$ से होकर जाती है,

(d) $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $60^{\circ}$ का झुकाव बनाती है।

हल (a) बिंदुओं $(3,-2)$ और $(-1,4)$ से होकर जाने वाली रेखा की ढाल

$$ m=\frac{4-(-2)}{-1-3}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} $$

(b) बिंदुओं $(3,-2)$ और $(7,-2)$ से होकर जाने वाली रेखा की ढाल

$$ m=\frac{-2-(-2)}{7-3}=\frac{0}{4}=0 $$

(c) बिंदुओं $(3,-2)$ और $(3,4)$ से होकर जाने वाली रेखा की ढाल

$ m=\frac{4-(-2)}{3-3}=\frac{6}{0} \text{, जो परिभाषित नहीं है। } $

(d) यहाँ रेखा का झुकाव $\alpha=60^{\circ}$ है। अतः रेखा की ढाल

$$ m=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \text{ है। } $$

9.2.3 दो रेखाओं के बीच का कोण

जब हं समतल में एक से अधिक रेखाओं के बारे में सोचते हैं, तो हम पाते हैं कि ये रेखाएँ या तो प्रतिच्छेद करती हैं या समानांतर होती हैं। यहाँ हम उनकी ढालों के पदों में दो रेखाओं के बीच के कोण की चर्चा करेंगे।

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ दो अ-ऊर्ध्व रेखाएँ हैं जिनकी ढालें क्रमशः $m_1$ और $m_2$ हैं। यदि $\alpha_1$ और $\alpha_2$ रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के क्रमशः झुकाव हैं। तब

$$ m_1=\tan \alpha_1 \text{ और } m_2=\tan \alpha_2 . $$

हम जानते हैं कि जब दो रेखाएँ एक-दूसर को काटती हैं, तो वे दो युग्मों में शीर्षाभिमुख कोण बनाती हैं, इस प्रकार कि किन्हीं दो संलग्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। मान लीजिए $\theta$ और $\phi$ रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बीच के संलग्न कोण हैं (चित्र 9.6)। तब

चित्र 9.6

$$ \theta=\alpha_2-\alpha_1 \text{ और } \alpha_1, \alpha_2 \neq 90^{\circ} \text{। } $$

इसलिए $\tan \theta=\tan (\alpha_2-\alpha_1)=\frac{\tan \alpha_2-\tan \alpha_1}{1+\tan \alpha_1 \tan \alpha_2}=\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \quad(.$ क्योंकि $.1+m_1 m_2 \neq 0)$ और $\phi=180^{\circ}-\theta$

इस प्रकार $\tan \phi=\tan (180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta=-\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$, क्योंकि $1+m_1 m_2 \neq 0$

अब, दो स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं:

स्थिति I यदि $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ धनात्मक है, तो $\tan \theta$ धनात्मक होगा और $\tan \phi$ ऋणात्मक होगा, जिसका अर्थ है कि $\theta$ न्यूनकोण होगा और $\phi$ अधिक कोण होगा।

स्थिति II यदि $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ऋणात्मक है, तो $\tan \theta$ ऋणात्मक होगा और $\tan \phi$ धनात्मक होगा, जिसका अर्थ है कि $\theta$ अधिक कोण होगा और $\phi$ न्यूनकोण होगा।

इस प्रकार, रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बीच का न्यूनकोण (मान लीजिए $\theta$), जिनकी प्रवणताएँ क्रमशः $m_1$ और $m_2$ हैं, निम्न प्रकार दिया जाता है

$ \tan \theta=|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}|, \text{ जैसा कि } 1+m_1 m_2 \neq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1) $

अधिक कोण (मान लीजिए $\phi$) $\phi=180^{\circ}-\theta$ का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।

उदाहरण 2 यदि दो रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है और एक रेखा की प्रवणता $\frac{1}{2}$ है, तो दूसरी रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि दो रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\theta$, जिनकी प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$\quad \tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \right| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1)$

मान लीजिए $m_1=\frac{1}{2}, m_2=m$ और $\theta=\frac{\pi}{4}$।

अब, इन मानों को (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \tan \frac{\pi}{4}=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| \text{ या } 1=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| $$

जो देता है $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=1$ या $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=-1$।

इसलिए $m=3$ या $m=-\frac{1}{3}$।

अतः, दूसरी रेखा की प्रवणता 3 या $-\frac{1}{3}$ है। चित्र 9.7 दो उत्तरों के कारण को समझाता है।

चित्र 9.7

उदाहरण 3 बिंदुओं $(-2,6)$ और $(4,8)$ से होकर जाने वाली रेखा, बिंदुओं $(8,12)$ और $(x, 24)$ से होकर जाने वाली रेखा के लंबवत् है। $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल बिंदुओं $(-2,6)$ और $(4,8)$ से होकर जाने वाली रेखा की प्रवणता है

$ m_1=\frac{8-6}{4-(-2)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $

बिंदुओं $(8,12)$ और $(x, 24)$ से जाने वाली रेखा की ढाल है

$ m_2=\frac{24-12}{x-8}=\frac{12}{x-8} $

चूँकि दोनों रेखाएँ लंबवत हैं, $m_1 m_2=-1$, जिससे मिलता है

$$ \frac{1}{3} \times \frac{12}{x-8}=-1 \text{ या } x=4 \text{।} $$

9.3 रेखा के समीकरण के विभिन्न रूप

हम जानते हैं कि समतल में प्रत्येक रेखा पर अनंत बिंदु होते हैं। रेखा और बिंदुओं के बीच यह संबंध हमें निम्न समस्या का समाधान खोजने की ओर ले जाता है:

हम कैसे कह सकते हैं कि एक दिया गया बिंदु दी गई रेखा पर स्थित है? इसका उत्तर यह हो सकता है कि दी गई रेखा के लिए उन बिंदुओं पर एक निश्चित शर्त होनी चाहिए जो रेखा पर स्थित हैं। मान लीजिए $P(x, y)$ XY-समतल में एक स्वेच्छ बिंदु है और $L$ दी गई रेखा है। रेखा $L$ के समीकरण के लिए हम बिंदु $P$ के लिए एक ऐसा कथन या शर्त बनाना चाहते हैं जो सत्य हो जब $P$, $L$ पर हो, अन्यथा असत्य हो। निस्संदेह यह कथन चरों $x$ और $y$ को सम्मिलित करने वाला एक बीजगणितीय समीकरण है। अब हम विभिन्न परिस्थितियों में रेखा के समीकरण की चर्चा करेंगे।

9.3.1 क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ

यदि कोई क्षैतिज रेखा $L$, $x$-अक्ष से $a$ दूरी पर है, तो रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु का कोटि या तो $a$ होता है या $-a$ [चित्र 9.8 (a)]। इसलिए, रेखा $L$ का समीकरण या तो $y=a$ है या $y=-a$। चिह्न का चयन रेखा की स्थिति पर निर्भर करेगा, जैसे रेखा $y$-अक्ष के ऊपर है या नीचे। इसी प्रकार, $y$-अक्ष से $b$ दूरी पर स्थित एक ऊध्र्वाधर रेखा का समीकरण या तो $x=b$ है या $x=-b$ [चित्र 9.8(b)]।

उदाहरण 4 अक्षों के समांतर और $(-2,3)$ से होकर जाने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।

चित्र 9.9

हल रेखाओं की स्थिति चित्र 9.9 में दिखाई गई है। $x$-अक्ष के समांतर रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु का $y$-निर्देशांक 3 है, इसलिए, $x$-अक्ष के समांतर और $(-2,3)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $y=3$ है। इसी प्रकार, $y$-अक्ष के समांतर और $(-2,3)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $x=-2$ है।

9.3.2 बिंदु-ढाल रूप

मान लीजिए $P_0(x_0, y_0)$ एक अचल बिंदु है, जो एक अ-ऊध्र्वाधर रेखा $L$ पर स्थित है, जिसकी ढाल $m$ है। मान लीजिए $P(x, y)$ रेखा L पर कोई स्वेच्छ बिंदु है (चित्र 9.10)।

चित्र 9.10

तब, परिभाषा के अनुसार, L की ढाल दी गई है

$ m=\frac{y-y_0}{x-x_0} \text{, अर्थात्, } y-y_0=m(x-x_0) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

चूँकि बिंदु $P_0(x_0, y_0)$ के साथ-साथ L पर सभी बिंदु $(x, y)$ समीकरण (1) को संतुष्ट करते हैं और समतल में कोई अन्य बिंदु (1) को संतुष्ट नहीं करता। समीकरण (1) वास्तव में दी गई रेखा L का समीकरण है।

इस प्रकार, बिंदु $(x, y)$ निश्चित बिंदु $(x_0, y_0)$ से ढाल m वाली रेखा पर तभी स्थित है, जब उसके निर्देश समीकरण

$$ y-y_0=m(x-x_0) $$

को संतुष्ट करें।

उदाहरण 5 ढाल -4 वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $(-2,3)$ से होकर जाती है।

हल यहाँ $m=-4$ और दिया गया बिंदु $(x_0, y_0)$ है $(-2,3)$।

ऊपर दी गई ढाल-अंतःखंड रूप सूत्र (1) से, दी गई रेखा का समीकरण है

$y-3=-4(x+2)$ या

$4 x+y+5=0$, जो अभीष्ट समीकरण है।

9.3.3 दो-बिंदु रूप

मान लीजिए रेखा L दो दिए गए बिंदुओं $P_1(x_1, y_1)$ और $P_2(x_2, y_2)$ से होकर जाती है। मान लीजिए $P(x, y)$, L पर एक सामान्य बिंदु है (चित्र 9.11)।

तीनों बिंदु $P_1, P_2$ और P संरेख हैं, इसलिए, हमारे पास

चित्र 9.11 $P_1 P$ की ढाल = $P_1 P_2$ की ढाल

$ \text{ अर्थात्, } \quad \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \quad \text{ या } \quad y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \text{। } $

इस प्रकार, बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण

$$ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

उदाहरण 6 बिंदुओं $(1,-1)$ और $(3,5)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण लिखिए।

हल यहाँ $x_1=1, y_1=-1, x_2=3$ और $y_2=5$। रेखा के समीकरण के लिए उपरोक्त दो-बिंदु रूप (2) का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ y-(-1)=\frac{5-(-1)}{3-1}(x-1) $$

या $ -3 x+y+4=0 \text{, जो अभीष्ट समीकरण है। } $

9.3.4 ढाल-अंतःखंड रूप

कभी-कभी एक रेखा हमें इसकी ढाल और किसी एक अक्ष पर अंतःखंड के माध्यम से ज्ञात होती है। अब हम ऐसी रेखाओं के समीकरण ज्ञात करेंगे।

स्थिति I मान लीजिए एक रेखा $L$ जिसकी ढाल $m$ है, $y$-अक्ष को मूल बिंदु से दूरी $c$ पर काटती है (चित्र 9.12)। दूरी $c$ को रेखा L का $y$ अंतःखंड कहा जाता है। स्पष्टतः, बिंदु के निर्देशांक जहाँ रेखा $y$-अक्ष से मिलती है, $(0, c)$ हैं। इस प्रकार, $L$ की ढाल $m$ है और यह एक निश्चित बिंदु $(0, c)$ से होकर जाती है। अतः, बिंदु-ढाल रूप से, $L$ का समीकरण है

चित्र 9.12

$$ y-c=m(x-0) $$

या $\quad y=m x+c$

इस प्रकार, ढाल $m$ और $y$-अंतःखंड $c$ वाली रेखा पर बिंदु $(x, y)$ तभी उस रेखा पर स्थित होता है जब

$ y=m x+c \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(3) $

ध्यान दें कि $c$ का मान धनात्मक या ऋणात्मक होगा, यह इस बात पर निर्भर करता है कि $y$-अक्ष के धनात्मक या ऋणात्मक भाग पर अंतःखंड बना है।

स्थिति II मान लीजिए रेखा $L$ जिसकी ढाल $m$ है, $x$-अंतःखंड $d$ बनाती है। तब $L$ का समीकरण $ y=m(x-d) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(4) $

छात्र इस समीकरण को स्वयं स्थिति I की भाँति उसी विधि से निकाल सकते हैं।

उदाहरण 7 उन रेखाओं के समीकरण लिखिए जिनके लिए $\tan \theta=\frac{1}{2}$, जहाँ $\theta$ रेखा का झुकाव है और (i) $y$-अंतःखंड $-\frac{3}{2}$ है (ii) $x$-अंतःखंड 4 है।

हल (i) यहाँ, रेखा की ढाल $m=\tan \theta=\frac{1}{2}$ और $y$-अंतःखंड $c=-\frac{3}{2}$ है।

अतः, उपर्युक्त ढाल-अंतःखंड रूप (3) से रेखा का समीकरण है

$ y=\frac{1}{2} x-\frac{3}{2} \text{ या } 2 y-x+3=0 \text{, } $

जो अभीष्ट समीकरण है।

(ii) यहाँ, हमारे पास $m=\tan \theta=\frac{1}{2}$ और $d=4$ है।

अतः, उपर्युक्त ढाल-अंतःखंड रूप (4) से रेखा का समीकरण है

$$ y=\frac{1}{2}(x-4) \text{ या } 2 y-x+4=0 \text{, } $$

जो अभीष्ट समीकरण है।

9.3.5 अंतःखंड-रूप

मान लीजिए एक रेखा L अक्षों पर x-अंतःखंड a और y-अंतःखंड b बनाती है। स्पष्ट है कि L, x-अक्ष को बिंदु (a, 0) पर और y-अक्ष को बिंदु (0, b) पर मिलती है (चित्र 9.13)। रेखा के समीकरण के दो-बिंदु रूप से, हमारे पास है

चित्र 9.13

y-0 = (b-0)/(0-a) (x-a) या ay = -bx + ab, अर्थात् x/a + y/b = 1

इस प्रकार, रेखा का समीकरण जो क्रमशः x- और y-अक्षों पर अंतःखंड a और b बनाती है, है

x/a + y/b = 1 … (5)

उदाहरण 8 वह रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो क्रमशः x- और y-अक्षों पर अंतःखंड -3 और 2 बनाती है।

हल यहाँ a = -3 और b = 2 है। ऊपर दिए अंतःखंड रूप (5) से, रेखा का समीकरण है

x/(-3) + y/2 = 1 या 2x - 3y + 6 = 0

किसी भी समीकरण को Ax + By + C = 0 के रूप में, जहाँ A और B एक साथ शून्य नहीं हैं, सामान्य रैखिक समीकरण या रेखा का सामान्य समीकरण कहा जाता है।

9.4 किसी बिंदु की रेखा से दूरी

किसी बिंदु की रेखा से दूरी वह लंबाई है जो बिंदु से रेखा पर डाले गए लंब की होती है। मान लीजिए L: Ax + By + C = 0 एक रेखा है, जिसकी बिंदु P(x₁, y₁) से दूरी d है। बिंदु P से रेखा L पर एक लंब PM डालिए (चित्र 9.14)। यदि

रेखा $x$- और $y$-अक्षों को बिंदुओं $Q$ और $R$ पर क्रमशः मिलती है। तब बिंदुओं के निर्देशांक $Q(-\frac{C}{A}, 0)$ और $R(0,-\frac{C}{B})$ हैं। इस प्रकार, त्रिभुज $P Q R$ का क्षेत्रफल दिया गया है

$ \text{ क्षेत्रफल }(\Delta PQR)=\frac{1}{2} PM \cdot QR \text{, जो देता है } PM=\frac{2 क्षेत्रफल(\Delta PQR)}{QR} \quad \quad \quad \ldots (1) $

साथ ही, क्षेत्रफल $(\Delta PQR)=\frac{1}{2}\left|x_1(0+\frac{C}{B})+(-\frac{C}{A})(-\frac{C}{B}-y_1)+0(y_1-0)\right|$

$$ =\frac{1}{2}|x_1 \frac{C}{B}+y_1 \frac{C}{A}+\frac{C^{2}}{AB}| $$

या 2 क्षेत्रफल $(\Delta PQR)=|\frac{C}{AB}| \cdot|A _{x_1}+B y_1+C|$, और

$$ QR=\sqrt{(0+\frac{C}{A})^{2}+(\frac{C}{B}-0)^{2}}=|\frac{C}{AB}| \sqrt{A^{2}+B^{2}} $$

(1) में क्षेत्रफल $(\triangle PQR)$ और $QR$ के मान प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

$$ PM=\frac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} $$

या

$$ d=\frac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} . $$

इस प्रकार, बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $A x+B y+C=0$ की लंबवत दूरी $(d)$ दी गई है

$$ d=\frac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} . $$

9.4.1 दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी

हम जानते हैं कि दो समांतर रेखाओं की ढलाइयाँ समान होती हैं। इसलिए, दो समांतर रेखाओं को रूप में लिया जा सकता है

$\quad \quad \quad\quad y=m x+c_1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

और $\quad \quad \quad y=m x+c_2 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$

रेखा (1) $x$-अक्ष को बिंदु $A(-\frac{c_1}{m}, 0)$ पर काटेगी जैसा कि चित्र 9.15 में दिखाया गया है।

चित्र 9.15

दो रेखाओं के बीच की दूरी बिंदु A से रेखा (2) पर डाले गए लंब की लंबाई के बराबर होती है। इसलिए, रेखाओं (1) और (2) के बीच की दूरी

$$ \frac{|(-m)(-\frac{c_1}{m})+(-c_2)|}{\sqrt{1+m^{2}}} \text{ या } d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{1+m^{2}}} \text{ है। } $$

इस प्रकार, दो समांतर रेखाओं $y=m x+c_1$ और $y=m x+c_2$ के बीच की दूरी $d$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{1+m^{2}}} $$

यदि रेखाएं सामान्य रूप में दी गई हैं, अर्थात् $A x+B y+C_1=0$ और $A x+B y+C_2=0$,

तो उपरोक्त सूत्र रूप लेगा $d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

विद्यार्थी इसे स्वयं व्युत्पन्न कर सकते हैं।

उदाहरण 9 बिंदु $(3,-5)$ की रेखा $3 x-4 y-26=0$ से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल दी गई रेखा है $3 x-4 y-26=0$

(1) की रेखा के सामान्य समीकरण $A x+B y+C=0$ से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ A=3, B=-4 \text{ और } C=-26 $$

दिया गया बिंदु है $(x_1, y_1)=(3,-5)$। दिए गए बिंदु की दी गई रेखा से दूरी है

$$ d=\frac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\frac{|3.3+(-4)(-5)-26|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{3}{5} . $$

उदाहरण 10 समांतर रेखाओं $3 x-4 y+7=0$ और $3 x-4 y+5=0$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

हल यहाँ A=3, B=-4, C₁=7 और C₂=5 है। इसलिए अभीष्ट दूरी है

$$ d=\frac{|7-5|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{2}{5} $$

विविध उदाहरण

उदाहरण 11 यदि रेखाएँ 2x+y-3=0, 5x+ky-3=0 और 3x-y-2=0 संगामी हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

हल तीन रेखाओं को संगामी कहा जाता है, यदि वे एक सामान्य बिंदु से होकर जाती हैं, अर्थात् किन्हीं दो रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु की तीसरी रेखा पर स्थिति। यहाँ दी गई रेखाएँ हैं

$$ \begin{aligned} & 2 x+y-3=0 \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \ & 5 x+k y-3=0 \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) \ & 3 x-y-2=0 \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3) \end{aligned} $$

(1) और (3) को क्रॉस-गुणन विधि से हल करने पर हम पाते हैं

$$ \frac{x}{-2-3}=\frac{y}{-9+4}=\frac{1}{-2-3} \quad \text{ या } \quad x=1, y=1 \text{।} $$

इसलिए दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु (1,1) है। चूँकि उपरोक्त तीनों रेखाएँ संगामी हैं, बिंदु (1,1) समीकरण (2) को संतुष्ट करेगा, अतः

$ 5.1+k .1-3=0 \text{ या } k=-2 \text{।} $

उदाहरण 12 रेखा 4x-y=0 की बिंदु P(4,1) से धनात्मक x-अक्ष के साथ 135° का कोण बनाती रेखा के अनुदर मापी गई दूरी ज्ञात कीजिए।

हल दी गई रेखा है 4x-y=0 \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1)

रेखा (1) से बिंदु $P(4,1)$ की दूरी को दूसरी रेखा के साथ ज्ञात करने के लिए, हमें दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु को खोजना होगा। इस उद्देश्य के लिए, हम पहले दूसरी रेखा का समीकरण ज्ञात करेंगे (चित्र 9.16)। दूसरी रेखा की प्रवणता $\tan 135^{\circ}=-1$ है। बिंदु $P(4,1)$ से गुजरने वाली -1 प्रवणता वाली रेखा का समीकरण है

चित्र 9.16

$$ y-1=-1(x-4) \text{ या } x+y-5=0 \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) $$

(1) और (2) को हल करने पर, हमें $x=1$ और $y=4$ प्राप्त होता है ताकि दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु $Q(1,4)$ है। अब, बिंदु $P(4,1)$ से रेखा (1) की दूरी रेखा (2) के साथ $=$ बिंदुओं $P(4,1)$ और $Q(1,4)$ के बीच की दूरी है।

$$ =\sqrt{(1-4)^{2}+(4-1)^{2}}=3 \sqrt{2} \text{ इकाई। } $$

उदाहरण 13 यह मानते हुए कि सीधी रेखाएं एक बिंदु के लिए समतल दर्पण की तरह कार्य करती हैं, रेखा $x-3 y+4=0$ में बिंदु $(1,2)$ का प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $Q(h, k)$ बिंदु $P(1,2)$ का रेखा

$$ x-3 y+4=0 \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) $$

में प्रतिबिंब है। इसलिए, रेखा (1) रेखाखंड PQ का लंब समद्विभाजक है (चित्र 9.17)।

चित्र 9.17

इसलिए रेखा $PQ$ की ढाल $=\frac{-1}{\text{ रेखा } x-3 y+4=0 \text{ की ढाल}}$,

इसलिए $\frac{k-2}{h-1}=\frac{-1}{\frac{1}{3}} \quad$ या $\quad 3 h+k=5\quad \quad\quad\quad\quad\ldots(2)$

और $PQ$ का मध्य-बिंदु, अर्थात् बिंदु $(\frac{h+1}{2}, \frac{k+2}{2})$ समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा, इसलिए

$$ \frac{h+1}{2}-3(\frac{k+2}{2})+4=0 \text{ या } h-3 k=-3 \quad \quad\quad\quad\quad\ldots(3) $$

(2) और (3) को हल करने पर, हमें $h=\frac{6}{5}$ और $k=\frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।

इसलिए, रेखा (1) में बिंदु $(1,2)$ का प्रतिबिंब $(\frac{6}{5}, \frac{7}{5})$ है।

उदाहरण 14 दिखाइए कि रेखाओं $y=m_1 x+c_1, y=m_2 x+c_2$ और $x=0$ द्वारा बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{(c_1-c_2)^{2}}{2|m_1-m_2|}$ है।

हल दी गई रेखाएँ हैं

$y=m_1 x+c_1 \quad \quad\quad\quad\quad\ldots(1)$

$y=m_2 x+c_2\quad \quad\quad\quad\quad\ldots(2)$

$x=0\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$

हम जानते हैं कि रेखा $y=m x+c$ रेखा $x=0$ ($y$-अक्ष) को बिंदु $(0, c)$ पर मिलती है। इसलिए, रेखाओं (1) से (3) द्वारा बनाए गए त्रिभुज के दो शीर्ष $P(0, c_1)$ और $Q(0, c_2)$ हैं (चित्र 9.18)।

चित्र 9.18

तीसरा शीर्ष समीकरणों (1) और (2) को हल करके प्राप्त किया जा सकता है। (1) और (2) को हल करने पर, हमें मिलता है

$$ x=\frac{(c_2-c_1)}{(m_1-m_2)} \text{ और } y=\frac{(m_1 c_2-m_2 c_1)}{(m_1-m_2)} $$

इसलिए, त्रिभुज का तीसरा शीर्ष $R(\frac{(c_2-c_1)}{(m_1-m_2)}, \frac{(m_1 c_2-m_2 c_1)}{(m_1-m_2)})$ है।

अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल

$ =\frac{1}{2}|0(\frac{m_1 c_2-m_2 c_1}{m_1-m_2}-c_2)+\frac{c_2-c_1}{m_1-m_2}(c_2-c_1)+0(c_1-\frac{m_1 c_2-m_2 c_1}{m_1-m_2})|=\frac{(c_2-c_1)^{2}}{2|m_1-m_2|} $

उदाहरण 15 एक रेखा इस प्रकार है कि रेखाओं $5 x-y+4=0$ और $3 x+4 y-4=0$ के बीच का इसका खंड बिंदु $(1,5)$ पर समद्विभाजित होता है। इसका समीकरण प्राप्त कीजिए।

हल दी गई रेखाएँ हैं

$$5 x-y+4=0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$$

$$3 x+4 y-4=0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(2)$$

मान लीजिए अभीष्ट रेखा रेखाओं (1) और (2) को क्रमशः बिंदुओं $(\alpha_1, \beta_1)$ और $(\alpha_2, \beta_2)$ पर प्रतिच्छेद करती है (चित्र 9.19)। इसलिए

चित्र 9.19

$ \begin{aligned} & 5 \alpha_1-\beta_1+4=0 \text{ और } \\ & 3 \alpha_2+4 \beta_2-4=0 \end{aligned} $

या $\beta_1=5 \alpha_1+4$ और $\beta_2=\frac{4-3 \alpha_2}{4}$।

हमें दिया गया है कि अभीष्ट रेखा के खंड का मध्य बिंदु, जो $(\alpha_1, \beta_1)$ और $(\alpha_2, \beta_2)$ के बीच है, $(1,5)$ है। इसलिए

$ \frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}=1 \text{ और } \frac{\beta_1+\beta_2}{2}=5 \text{, } $

या

$$ \begin{aligned} & \alpha_1+\alpha_2=2 \text{ और } \frac{5 \alpha_1+4+\frac{4-3 \alpha_2}{4}}{2}=5 \text{, } \\ & \text{ या } \alpha_1+\alpha_2=2 \text{ और } 20 \alpha_1-3 \alpha_2=20 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \end{aligned} $$

(3) में दी गई समीकरणों को $\alpha_1$ और $\alpha_2$ के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \alpha_1=\frac{26}{23} \text{ और } \alpha_2=\frac{20}{23} \text{ और इसलिए, } \beta_1=5 \cdot \frac{26}{23}+4=\frac{222}{23} \text{। } $$

अभीष्ट रेखा का समीकरण जो बिंदुओं $(1,5)$ और $(\alpha_1, \beta_1)$ से होकर जाती है, है

$$ y-5=\frac{\beta_1-5}{\alpha_1-1}(x-1) \text{ या } y-5=\frac{\frac{222}{23}-5}{\frac{26}{23}-1}(x-1) $$

या $ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 107 x-3 y-92=0 $

जो अभीष्ट रेखा का समीकरण है।

उदाहरण 16 दिखाइए कि एक चल बिंदु का पथ, जिसकी दो रेखाओं $3 x-2 y=5$ और $3 x+2 y=5$ से दूरियाँ समान हैं, एक सीधी रेखा है।

हल दी गई रेखाएँ हैं

$ \begin{aligned} & \quad\quad \quad 3 x-2 y=5 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots (1)\\ & \text{ और } \quad 3 x+2 y=5 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(2) \end{aligned} $

मान लीजिए $(h, k)$ कोई बिंदु है, जिसकी रेखाओं (1) और (2) से दूरियाँ समान हैं। इसलिए

$ \frac{|3 h-2 k-5|}{\sqrt{9+4}}=\frac{|3 h+2 k-5|}{\sqrt{9+4}} \text{ या }|3 h-2 k-5|=|3 h+2 k-5|, $

जो देता है $3 h-2 k-5=3 h+2 k-5$ या $-(3 h-2 k-5)=3 h+2 k-5$।

इन दो संबंधों को हल करने पर हमें $k=0$ या $h=\frac{5}{3}$ प्राप्त होता है। इस प्रकार, बिंदु $(h, k)$ समीकरणों $y=0$ या $x=\frac{5}{3}$ को संतुष्ट करता है, जो सीधी रेखाओं को दर्शाते हैं। इसलिए, रेखाओं (1) और (2) से समान दूरी पर स्थित बिंदु का पथ एक सीधी रेखा है।

सारांश

• बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली अ-ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल $(m)$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}, \quad x_1 \neq x_2$.

• यदि कोई रेखा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ कोण $\alpha$ बनाती है, तो रेखा की ढाल निम्नलिखित द्वारा दी जाती है $m=\tan \alpha, \alpha \neq 90^{\circ}$.

• क्षैतिज रेखा की ढाल शून्य होती है और ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल अपरिभाषित होती है।

• रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बीच का न्यून कोण (मान लीजिए $\theta$) जिनकी ढालें $m_1$ और $m_2$ हैं, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है $$ \tan \theta=\left|\frac{m _{2}-m _{1}}{1+m _{1} m _{2}}\right|, 1+m _{1} m _{2} \neq 0 $$.

• दो रेखाएं तभी समानांतर होती हैं जब उनकी ढालें समान हों।

• दो रेखाएं तभी लंबवत होती हैं जब उनकी ढालों का गुणनफल -1 हो।

• तीन बिंदु A, B और C तभी संरेख हैं, जब $AB$ की ढाल = $BC$ की ढाल हो।

• $x$-अक्ष से दूरी $a$ वाली क्षैतिज रेखा का समीकरण या तो $y=a$ या $y=-a$ है।

• $y$-अक्ष से दूरी $b$ वाली ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण या तो $x=b$ या $x=-b$ है।

• बिंदु $(x, y)$ ढाल $m$ वाली रेखा पर और निश्चित बिंदु $(x_o, y_o)$ से गुजरने वाली रेखा पर तभी स्थित होता है, जब उसके निर्देशांक समीकरण $y-y_0=m(x-x_0)$ को संतुष्ट करते हैं।

• बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$ द्वारा दिया जाता है।

• ढाल $m$ और $y$-इंटरसेप्ट $c$ वाली रेखा पर स्थित बिंदु $(x, y)$ तभी उस रेखा पर होता है जब $y=m x+c$ हो।

• यदि कोई रेखा जिसकी ढाल $m$ है, $x$-इंटरसेप्ट $d$ बनाती है, तो रेखा का समीकरण $y=m(x-d)$ है।

• $x$-और $y$-अक्ष पर क्रमशः अंतःखंड $a$ और $b$ बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ है।

• किसी भी समीकरण को जिसका रूप $A x+By+C=0$ हो, जहाँ $A$ और $B$ एक साथ शून्य नहीं हैं, सामान्य रैखिक समीकरण या रेखा का सामान्य समीकरण कहा जाता है।

• बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $A x+B y+C=0$ की लंबवत दूरी $(d)$ $d=\frac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$ द्वारा दी जाती है।

• समांतर रेखाओं $A x+B y+C_1=0$ और $A x+B y+C_2=0$ के बीच की दूरी $d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$ द्वारा दी जाती है।