अधिकांश विज्ञानों में एक पीढ़ी जो किसी ने बनाया है उसे दूसरी पीढ़ी तोड़ देती है और जो किसी ने स्थापित किया है उसे दूसरी पीढ़ी उखाड़ फेंकती है। केवल गणित में हर पीढ़ी पुराने ढाँचे पर एक नई मंज़िल खड़ी करती है। - हरमन हैंकेल

10.1 भूमिका

अपने दैनिक जीवन में हम अनेक प्रश्नों का सामना करते हैं, जैसे - आपकी ऊँचाई क्या है? एक फुटबॉल खिलाड़ी को गेंद को कैसे मारना चाहिए ताकि वह गेंद अपनी टीम के दूसरे खिलाड़ी को पास दे सके? ध्यान दीजिए कि पहले प्रश्न का संभावित उत्तर 1.6 मीटर हो सकता है, एक ऐसी राशि जिसमें केवल एक मान (परिमाण) होता है जो एक वास्तविक संख्या है। ऐसी राशियों को अदिश कहा जाता है। हालाँकि, दूसरे प्रश्न का उत्तर एक ऐसी राशि है (जिसे बल कहा जाता है) जिसमें पेशीय शक्ति (परिमाण) और दिशा (जिस दिशा में दूसरा खिलाड़ी स्थित है) दोनों सम्मिलित होते हैं। ऐसी राशियों को सदिश कहा जाता है। गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में हम बार-बार दोनों प्रकार की राशियों से मिलते हैं, अर्थात् अदिश राशियाँ जैसे लंबाई, द्रव्यमान, समय, दूरी, चाल, क्षेत्रफल, आयतन, तापमान, कार्य, धन, वोल्टता, घनत्व, प्रतिरोध आदि और सदिश राशियाँ जैसे विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, भार, संवेग, विद्युत-क्षेत्र की तीव्रता आदि।

W.R. Hamilton $(1805-1865)$

इस अध्याय में, हम सदिशों के कुछ मूलभूत अवधारणाओं, सदिशों पर विभिन्न संक्रियाओं और उनके बीजगणितीय तथा ज्यामितीय गुणों का अध्ययन करेंगे। ये दो प्रकार के गुण, जब एक साथ विचार किए जाते हैं, तो सदिशों की अवधारणा को पूर्ण रूप देते हैं और ऊपर उल्लिखित विभिन्न क्षेत्रों में उनके महत्वपूर्ण उपयोगिता की ओर ले जाते हैं।

10.2 कुछ मूलभूत अवधारणाएँ

मान लीजिए ’ $l$ ’ समतल या त्रिविमीय स्थान में कोई सीधी रेखा है। इस रेखा को तीर के निशानों द्वारा दो दिशाएँ दी जा सकती हैं। इन दिशाओं में से एक निर्धारित दिशा वाली रेखा को निर्देशित रेखा कहा जाता है (चित्र 10.1 (i), (ii))।

चित्र 10.1

अब ध्यान दीजिए कि यदि हम रेखा $l$ को रेखाखंड AB तक सीमित कर दें, तो रेखा $l$ पर दो दिशाओं में से एक दिशा के साथ एक परिमाण निर्धारित हो जाता है, जिससे हमें एक निर्देशित रेखाखंड प्राप्त होता है (चित्र 10.1(iii))। इस प्रकार, एक निर्देशित रेखाखंड में परिमाण के साथ-साथ दिशा भी होती है।

परिभाषा 1 एक राशि जिसमें परिमाण के साथ-साथ दिशा भी हो, सदिश कहलाती है।

ध्यान दीजिए कि एक निर्देशित रेखाखंड एक सदिश है (चित्र 10.1(iii)), जिसे $\overrightarrow{{}AB}$ या सरलतः $\vec{a}$ द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे ‘सदिश $\overrightarrow{{}AB}$ ’ या ‘सदिश $\vec{a}$ ’ पढ़ा जाता है।

बिंदु $A$ जहाँ से सदिश $\overrightarrow{{}AB}$ प्रारंभ होता है, उसका प्रारंभिक बिंदु कहलाता है, और बिंदु $B$ जहाँ यह समाप्त होता है, उसका अंतिम बिंदु कहलाता है। किसी सदिश के प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं के बीच की दूरी को सदिश का परिमाण (या लंबाई) कहा जाता है, जिसे $|\overrightarrow{{}AB}|$, या $|\vec{a}|$, या $a$ द्वारा दर्शाया जाता है। तीर सदिश की दिशा को दर्शाता है।

नोट चूँकि लंबाई कभी ऋणात्मक नहीं होती, इसलिए संकेतन $|\vec{a}|<0$ का कोई अर्थ नहीं है।

स्थिति सदिश

कक्षा ग्यारहवीं से त्रिविमीय दक्षिणावर्त आयताकार निर्देशांक प्रणाली को याद कीजिए (चित्र 10.2(i))। मान लीजिए अंतरिक्ष में एक बिंदु $P$ है, जिसके निर्देशांक $(x, y, z)$ मूल बिंदु $O(0,0,0)$ के सापेक्ष हैं। तब, सदिश $\overrightarrow{{}OP}$ जिसका प्रारंभिक बिंदु $O$ और अंतिम बिंदु $P$ है, को बिंदु $P$ का मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष स्थिति सदिश कहा जाता है। दूरी सूत्र (कक्षा ग्यारहवीं से) का प्रयोग करते हुए, $\overrightarrow{{}OP}$ (या $\vec{r}$) का परिमाण निम्न प्रकार दिया जाता है

$$ |\overrightarrow{{}OP}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

व्यवहार में, बिंदुओं $A, B, C$ आदि के मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष स्थिति सदिशों को क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ आदि द्वारा दर्शाया जाता है (चित्र 10.2 (ii))।

चित्र 10.2

दिक् कोसाइन

बिंदु $P(x, y, z)$ के स्थिति सदिश $\overrightarrow{{}OP}$ (या $\vec{r}$ ) को चित्र 10.3 की तरह मानें। सदिश $\vec{r}$ द्वारा $x, y$ और $z$-अक्षों की धनात्मक दिशाओं के साथ बनाए गए कोण $\alpha$, $\beta, \gamma$ क्रमशः इसके दिक् कोण कहलाते हैं। इन कोणों की कोसाइन मान, अर्थात् $\cos \alpha, \cos \beta$ और $\cos \gamma$ को सदिश $\vec{r}$ के दिक् कोसाइन कहा जाता है, और सामान्यतः इन्हें क्रमशः $l, m$ और $n$ से दर्शाया जाता है।

चित्र 10.3 से, कोई यह देख सकता है कि त्रिभुज OAP समकोणीय है, और इसमें, हमारे पास $\cos \alpha=\frac{x}{r}$ है ($r$ का अर्थ $|\vec{r}|$ है)। इसी प्रकार, समकोणीय त्रिभुजों OBP और OCP से, हम $\cos \beta=\frac{y}{r}$ और $\cos \gamma=\frac{z}{r}$ लिख सकते हैं। इस प्रकार, बिंदु P के निर्देशक $(l r, m r, n r)$ के रूप में भी व्यक्त किए जा सकते हैं। दिक् कोसाइनों के समानुपाती संख्याएँ $l r, m r$ और $n r$ को सदिश $\vec{r}$ के दिक् अनुपात कहा जाता है, और इन्हें क्रमशः $a, b$ और $c$ से दर्शाया जाता है।

नोट कोई यह नोट कर सकता है कि $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ है लेकिन सामान्यतः $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 1$ होता है।

10.3 सदिशों के प्रकार

शून्य सदिश एक सदिश जिसके प्रारंभिक और अंतिम बिंदु एक ही हों, शून्य सदिश (या नल सदिश) कहलाता है, और इसे $\overrightarrow{{}0}$ द्वारा निरूपित किया जाता है। शून्य सदिश को निश्चित दिशा नहीं दी जा सकती क्योंकि इसका परिमाण शून्य होता है। या, वैकल्पिक रूप से, इसे किसी भी दिशा में माना जा सकता है। सदिश $\overrightarrow{{}AA}, \overrightarrow{{}BB}$ शून्य सदिश को निरूपित करते हैं,

इकाई सदिश एक सदिश जिसका परिमाण इकाई (अर्थात् 1 इकाई) हो, इकाई सदिश कहलाता है। किसी दिए गए सदिश $\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश को $\hat{a}$ द्वारा निरूपित किया जाता है।समप्रारंभिक सदिश दो या अधिक सदिश जिनका प्रारंभिक बिंदु समान हो, समप्रारंभिक सदिश कहलाते हैं।

समरेखीय सदिश दो या अधिक सदिश समरेखीय कहे जाते हैं यदि वे एक ही रेखा के समानांतर हों, चाहे उनके परिमाण और दिशा कुछ भी हों।

समान सदिश दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समान कहे जाते हैं, यदि उनके प्रारंभिक बिंदुओं की स्थिति की परवाह किए बिना उनका परिमाण और दिशा समान हो, और इसे $\vec{a}=\vec{b}$ लिखा जाता है।

सदिश का ऋणात्मक एक सदिश जिसका परिमाण किसी दिए गए सदिश (मान लीजिए, $\overrightarrow{{}AB}$) के समान हो, लेकिन दिशा उसके विपरीत हो, दिए गए सदिश का ऋणात्मक कहलाता है। उदाहरण के लिए, सदिश $\overrightarrow{{}BA}$ सदिश $\overrightarrow{{}AB}$ का ऋणात्मक है, और इसे $\overrightarrow{{}BA}=-\overrightarrow{{}AB}$ लिखा जाता है।

टिप्पणी उपर्युक्त परिभाषित सदिश इस प्रकार हैं कि उनमें से कोई भी समानांतर विस्थापन के अधीन हो सकता है बिना अपने परिमाण और दिशा को बदले। ऐसे सदिशों को मुक्त सदिश कहा जाता है। इस अध्याय में हम केवल मुक्त सदिशों से ही निपटेंगे।

उदाहरण 1 $40 किमी, दक्षिण से $30^{\circ}$ पश्चिम की दिशा में विस्थापन को आलेखीय रूप से दर्शाएं।

हल सदिश $\overrightarrow{{}OP}$ आवश्यक विस्थापन को दर्शाता है (चित्र 10.4)।

चित्र 10.4

उदाहरण 2 निम्नलिखित मापों को अदिश और सदिश के रूप में वर्गीकृत करें।

(i) $5 \mathrm{~s}$

(ii) $1000 \mathrm{~cm}^{3}$

(iii) $10 \mathrm{~N}$

(iv) $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$

(v) $10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$

(vi) $20 m / s$ उत्तर की ओर

हल

(i) समय-अदिश

(ii) आयतन-अदिश

(iii) बल-सदिश

(iv) चाल-अदिश

(v) घनत्व-अदिश

(vi) वेग-सदिश

उदाहरण 3 चित्र 10.5 में, कौन-से सदिश हैं:

(i) संरेख

(ii) समान

(iii) सहारंभ

हल

(i) संरेख सदिश: $\vec{a}, \vec{c}$ और $\vec{d}$।

(ii) समान सदिश : $\vec{a}$ और $\vec{c}$।

(iii) सहारंभ सदिश : $\vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{d}$।

10.4 सदिशों का योग

एक सदिश $\overrightarrow{{}AB}$ का सीधा अर्थ है बिन्दु A से बिन्दु B तक का विस्थापन। अब एक ऐसी स्थिति पर विचार करें जहाँ एक लड़की A से B तक जाती है और फिर B से C तक जाती है (चित्र 10.7)। बिन्दु A से बिन्दु C तक लड़की द्वारा किया गया कुल विस्थापन सदिश $\overrightarrow{{}AC}$ द्वारा दिया जाता है और इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

चित्र 10.7

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC} $

इसे सदिश योग का त्रिभुज नियम कहा जाता है।

सामान्यतः, यदि हमारे पास दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हों (चित्र 10.8 (i)), तो उन्हें जोड़ने के लिए उन्हें इस प्रकार स्थित किया जाता है कि एक का प्रारम्भिक बिन्दु दूसरे के अन्तिम बिन्दु से मेल खाता हो (चित्र 10.8(ii))।

चित्र 10.8

उदाहरण के लिए, चित्र 10.8 (ii) में, हमने सदिश $\vec{b}$ को उसके परिमाण और दिशा को बदले बिना इस प्रकार स्थानान्तरित किया है कि इसका प्रारम्भिक बिन्दु सदिश $\vec{a}$ के अन्तिम बिन्दु से मेल खाता हो। तब, सदिश $\vec{a}+\vec{b}$, जो त्रिभुज ABC की तीसरी भुजा AC द्वारा प्रदर्शित है, हमें सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का योग (या परिणामी) देता है, अर्थात् त्रिभुज ABC में (चित्र 10.8 (ii)), हमारे पास

$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}=\overrightarrow{{}AC} $

अब पुनः, चूँकि $\overrightarrow{{}AC}=-\overrightarrow{{}CA}$, उपरोक्त समीकरण से हमें प्राप्त होता है

$$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}+\overrightarrow{{}CA}=\overrightarrow{{}AA}=\overrightarrow{{}0} $$

इसका अर्थ है कि जब त्रिभुज की भुजाओं को क्रम में लिया जाता है, तो प्रारंभिक और अंतिम बिंदु एक ही हो जाते हैं, जिससे परिणामी शून्य होता है (चित्र 10.8(iii))।

अब, एक सदिश $\overrightarrow{{}BC^{\prime}}$ इस प्रकार बनाइए कि इसका परिमाण सदिश $\overrightarrow{{}BC}$ के समान हो, परंतु इसकी दिशा इसके विपरीत हो (चित्र 10.8 (iii)), अर्थात् $ \overrightarrow{{}BC^{\prime}}=-\overrightarrow{{}BC} $ तब, चित्र 10.8 (iii) से त्रिभुज नियम लागू करने पर हमें प्राप्त होता है $ \overrightarrow{{}AC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+(-\overrightarrow{{}BC})=\vec{a}-\vec{b} $

सदिश $\overrightarrow{{}AC^{\prime}}$ को $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का अंतर दर्शाने वाला कहा जाता है।

अब, एक नदी में एक नाव पर विचार करें जो नदी के एक किनारे से दूसरे किनारे की ओर नदी के प्रवाह के लंबवत दिशा में जा रही है। फिर, यह दो वेग सदिशों द्वारा प्रभावित होती है—एक वेग नाव को उसके इंजन द्वारा प्रदान किया जाता है और दूसरा नदी के पानी के प्रवाह का वेग है। इन दोनों वेगों के एक साथ प्रभाव के तहत, नाव वास्तव में एक भिन्न वेग से चलना शुरू करती है। नाव की प्रभावी गति और दिशा (अर्थात् परिणामी वेग) के बारे में सटीक विचार प्राप्त करने के लिए, हमारे पास निम्नलिखित सदिश योग का नियम है।

यदि हमारे पास दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हों जो एक समांतर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा में निरूपित किए गए हों (चित्र 10.9), तो उनका योग $\vec{a}+\vec{b}$ समांतर चतुर्भुज के उस विकर्ण द्वारा परिमाण और दिशा में निरूपित किया जाता है जो उनके सामान्य बिंदु से गुजरता है। इसे सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम कहा जाता है।

चित्र 10.9

टिप्पणी चित्र 10.9 से, त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए, कोई यह नोट कर सकता है कि

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ या $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ (चूंकि $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ )

जो समांतर चतुर्भुज नियम है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि सदिश योग के दोनों नियम एक-दूसरे के तुल्य हैं।

सदिश योग के गुण

गुणधर्म 1 किन्हीं दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए,

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

(क्रमविनिमेय गुणधर्म) प्रमाण समांतर चतुर्भुज $ABCD$ (चित्र 10.10) पर विचार करें। माना $\overrightarrow{{}AB}=\vec{a}$ और $\overrightarrow{{}BC}=\vec{b}$, तो त्रिभुज नियम का प्रयोग करते हुए, त्रिभुज $ABC$ से हमें प्राप्त होता है $ \overrightarrow{{}AC}=\vec{a}+\vec{b} $

अब, चूँकि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान और समांतर होती हैं, चित्र 10.10 से हमें प्राप्त होता है, $\overrightarrow{{}AD}=\overrightarrow{{}BC}=\vec{b}$ और $\overrightarrow{{}DC}=\overrightarrow{{}AB}=\vec{a}$। पुनः त्रिभुज नियम का प्रयोग करते हुए, त्रिभुज

चित्र 10.10 $ADC$ से हमें प्राप्त होता है

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AD}+\overrightarrow{{}DC}=\vec{b}+\vec{a} $

इसलिए

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

गुणधर्म 2 किन्हीं तीन सदिशों $a, b$ और $c$ के लिए

$ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) $

प्रमाण माना सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ को क्रमशः $\overrightarrow{{}PQ}, \overrightarrow{{}QR}$ और $\overrightarrow{{}RS}$ द्वारा प्रदर्शित किया गया है, जैसा कि चित्र 10.11(i) और (ii) में दिखाया गया है।

चित्र 10.11

तब $$\quad\quad\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{{}PQ}+\overrightarrow{{}QR}=\overrightarrow{{}PR}$$

और $$ \quad\quad\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}QR}+\overrightarrow{{}RS}=\overrightarrow{{}QS}$$

इसलिए $$ \quad\quad(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\overrightarrow{{}PR}+\overrightarrow{{}RS}=\overrightarrow{{}PS}$$

और $$\quad \quad\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{{}PQ}+\overrightarrow{{}QS}=\overrightarrow{{}PS}$$

अतः $$\quad(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$$

टिप्पणी सदिश योग का साहचर्य गुण हमें तीन सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के योग को $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ के रूप में बिना कोष्ठक के लिखने की सुविधा देता है।

ध्यान दें कि किसी भी सदिश $a$ के लिए, हमारे पास

$$ \vec{a}+\overrightarrow{{}0}=\overrightarrow{{}0}+\vec{a}=\vec{a} $$

यहाँ, शून्य सदिश $\overrightarrow{{}0}$ को सदिश योग के लिए योज्य तत्समक कहा जाता है।

10.5 एक सदिश का अदिश से गुणा

मान लीजिए $\vec{a}$ एक दिया गया सदिश है और $\lambda$ एक अदिश है। तब सदिश $\vec{a}$ का अदिश $\lambda$ से गुणनफल, जिसे $\lambda \vec{a}$ के रूप में निरूपित किया जाता है, को सदिश $\vec{a}$ का अदिश $\lambda$ से गुणा कहा जाता है। ध्यान दें कि, $\lambda \vec{a}$ भी एक सदिश है, जो सदिश $\vec{a}$ के समरेख है। सदिश $\lambda \vec{a}$ की दिशा सदिश $\vec{a}$ की दिशा के समान (या विपरीत) होती है, जैसे ही $\lambda$ का मान धनात्मक (या ऋणात्मक) होता है। साथ ही, सदिश $\lambda \vec{a}$ का परिमाण सदिश $\vec{a}$ के परिमाण का $|\lambda|$ गुना होता है, अर्थात्

$$ |\lambda \vec{a}|=|\lambda||\vec{a}| $$

एक सदिश का अदिश से गुणा का एक ज्यामितीय दृश्य चित्र 10.12 में दिया गया है।

चित्र 10.12

जब $\lambda=-1$, तब $\lambda \vec{a}=-\vec{a}$, जो एक ऐसा सदिश है जिसका परिमाण $\vec{a}$ के परिमाण के बराबर है और दिशा $\vec{a}$ की दिशा के विपरीत है। सदिश $-\vec{a}$ को सदिश $\vec{a}$ का ऋणात्मक (या योज्य प्रतिलोम) कहा जाता है और हमेशा हमारे पास

$ \vec{a}+(-\vec{a})=(-\vec{a})+\vec{a}=\overrightarrow{{}0} $

इसके अतिरिक्त, यदि $\lambda=\frac{1}{|a|}$, बशर्ते $\vec{a} \neq 0$ अर्थात् $\vec{a}$ एक शून्य सदिश नहीं है,

तब $$ |\lambda \vec{a}|=|\lambda||\vec{a}|=\frac{1}{|\vec{a}|}|\vec{a}|=1 $$

अतः, $\lambda \vec{a}$ सदिश $\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश को दर्शाता है। हम इसे इस प्रकार लिखते हैं

$$ \hat{a}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} $$

टिप्पणी किसी भी अदिश $k$ के लिए, $k \overrightarrow{{}0}=\overrightarrow{{}0}$।

10.5.1 एक सदिश के घटक

आइए हम $x$-अक्ष, $y$-अक्ष और $z$-अक्ष पर क्रमशः बिंदु $A(1,0,0), B(0,1,0)$ और $C(0,0,1)$ लें। तब, स्पष्टतया

$$ |\overrightarrow{{}OA}|=1,|\overrightarrow{{}OB}|=1 \text{ और }|\overrightarrow{{}OC}|=1 $$

सदिश $\overrightarrow{{}OA}, \overrightarrow{{}OB}$ और $\overrightarrow{{}OC}$, जिनमें से प्रत्येक का परिमाण 1 है, क्रमशः अक्षों $OX, OY$ और $OZ$ के अनुदिश इकाई सदिश कहलाते हैं और क्रमशः $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ द्वारा दर्शाए जाते हैं (चित्र 10.13)।

अब, एक बिंदु P(x, y, z) के स्थिति सदिश $\overline{OP}$ पर विचार करें, जैसा कि आकृति 10.14 में दिखाया गया है। मान लीजिए P₁, बिंदु P से समतल XOY पर डाले गए लंब का पाद है। इस प्रकार, हम देखते हैं कि P₁P, z-अक्ष के समानांतर है। चूँकि $\hat{i}$, $\hat{j}$ और $\hat{k}$ क्रमशः x, y और z-अक्षों के अदिश सदिश हैं, और P के निर्देशांकों की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास $\overrightarrow{{}P_1 P}=\overrightarrow{{}OR}=z \hat{k}$ है। इसी प्रकार, $\overrightarrow{{}QP_1}=\overrightarrow{{}OS}=y \hat{j}$ और $\overrightarrow{{}OQ}=x \hat{i}$ है।

इसलिए, यह निष्कर्ष निकलता है कि

$$ \begin{aligned} & \overrightarrow{{}OP_1}=\overrightarrow{{}OQ}+\overrightarrow{{}QP_1}=x \hat{i}+y \hat{j} \ & \overrightarrow{{}OP}=\overrightarrow{{}OP_1}+\overrightarrow{{}P_1 P}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} \end{aligned} $$

अतः, O के सापेक्ष बिंदु P का स्थिति सदिश इस प्रकार दिया जाता है

$ \overrightarrow{{}OP}(\text{ या } \vec{r})=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} $

किसी सदिश का यह रूप उसके अवयव रूप कहलाता है। यहाँ, $x, y$ और $z$ को $\vec{r}$ के अदिश अवयव कहा जाता है, और $x \hat{i}, y \hat{j}$ और $z \hat{k}$ को क्रमशः अक्षों के अनुदिश $\vec{r}$ के सदिश अवयव कहा जाता है। कभी-कभी $x, y$ और $z$ को आयताकार अवयव भी कहा जाता है।

किसी सदिश $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ की लंबाई, पाइथागोरस प्रमेय को दो बार लगाकर सरलता से निर्धारित की जाती है। हम देखते हैं कि समकोण त्रिभुज OQP (चित्र 10.14)$^{\text{(F) }}$ में

$$ |\overrightarrow{{}OP_1}|=\sqrt{|\overrightarrow{{}OQ}|^{2}+|\overrightarrow{{}QP_1}|^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, $$

और समकोण त्रिभुज $OP_1 P$ में, हमारे पास

$$ \overrightarrow{{}OP}=\sqrt{|\overrightarrow{{}OP_1}|^{2}+|\overrightarrow{{}P_1 P}|^{2}}=\sqrt{(x^{2}+y^{2})+z^{2}} $$

अतः, किसी सदिश $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ की लंबाई दी जाती है $$ |\vec{r}|=|x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ कोई दो सदिश अवयव रूप $a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$ और $b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$ में दिए गए हैं, तब

(i) सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का योग (या परिणामी) दिया जाता है

$$ \vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1) \hat{i}+(a_2+b_2) \hat{j}+(a_3+b_3) \hat{k} $$

(ii) सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का अंतर दिया जाता है

$$ \vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1) \hat{i}+(a_2-b_2) \hat{j}+(a_3-b_3) \hat{k} $$

(iii) सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ तभी समान हैं जब

$$ a_1=b_1, a_2=b_2 \quad \text{ और } \quad a_3=b_3 $$

(iv) किसी अदिश $\lambda$ द्वारा सदिश $\vec{a}$ का गुणा इस प्रकार दिया जाता है

$$ \lambda \vec{a}=(\lambda a_1) \hat{i}+(\lambda a_2) \hat{j}+(\lambda a_3) \hat{k} $$

सदिशों का योग और किसी सदिश का अदिश से गुणा मिलकर निम्नलिखित वितरण नियम देते हैं:

मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ कोई दो सदिश हैं, तथा $k$ और $m$ कोई अदिश हैं। तब

(i) $k \vec{a}+m \vec{a}=(k+m) \vec{a}$

(ii) $k(m \vec{a})=(k m) \vec{a}$

(iii) $k(\vec{a}+\vec{b})=k \vec{a}+k \vec{b}$

टिप्पणियाँ

(i) यह देखा जा सकता है कि $\lambda$ का मान चाहे जो भी हो, सदिश $\lambda \vec{a}$ सदा ही सदिश $\vec{a}$ के संरेखीय होता है। वास्तव में, दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ तभी संरेखीय होते हैं जब कोई अशून्य अदिश $\lambda$ ऐसा होता है कि $\vec{b}=\lambda \vec{a}$। यदि सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ को घटक रूप में दिया गया है, अर्थात् $\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$ और $\vec{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$, तब दोनों सदिश तभी संरेखीय होते हैं जब

$$ \begin{array}{cc} & b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}=\lambda\left(a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}\right) \\ \Leftrightarrow & b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}=\left(\lambda a_1\right) \hat{i}+\left(\lambda a_2\right) \hat{j}+\left(\lambda a_3\right) \hat{k} \\ \Leftrightarrow & b_1=\lambda a_1, b_2=\lambda a_2, b_3=\lambda a_3 \\ \Leftrightarrow & \frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}=\lambda \end{array} $$

(ii) यदि $\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$ है, तो $a_1, a_2, a_3$ को $\vec{a}$ के दिक् अनुपात भी कहा जाता है।

(iii) यदि यह दिया गया है कि $l, m, n$ किसी सदिश के दिक् कोज्या हैं, तो $l \hat{i}+m \hat{j}+n \hat{k}$ $=(\cos \alpha) \hat{i}+(\cos \beta) \hat{j}+(\cos \gamma) \hat{k}$ उस सदिश की दिशा में इकाई सदिश है, जहाँ $\alpha, \beta$ और $\gamma$ वे कोण हैं जो सदिश क्रमशः $x, y$ और $z$ अक्षों से बनाता है।

उदाहरण 4 $x, y$ और $z$ के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}+z \hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}+y \hat{j}+\hat{k}$ समान हों।

हल ध्यान दीजिए कि दो सदिश तभी समान होते हैं जब उनके संगत घटक समान हों। इस प्रकार, दिए गए सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ तभी समान होंगे जब $ x=2, y=2, z=1 $

उदाहरण 5 मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}$। क्या $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ है? क्या सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समान हैं?

हल हमारे पास $|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$ और $|\vec{b}|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$

इसलिए, $|\vec{a}|=|\vec{b}|$। लेकिन, दोनों सदिश समान नहीं हैं क्योंकि उनके संगत घटक भिन्न हैं।

उदाहरण 6 सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ की दिशा में इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

हल किसी सदिश $\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}$ द्वारा दी जाती है।

अब $ |\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}}=\sqrt{14} $

इसलिए $ \hat{a}=\frac{1}{\sqrt{14}}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k})=\frac{2}{\sqrt{14}} \hat{i}+\frac{3}{\sqrt{14}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{14}} \hat{k} $

उदाहरण 7 सदिश $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}$ की दिशा में एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 7 इकाई हो।

हल दिए गए सदिश $\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $ \hat{a}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}=\frac{1}{\sqrt{5}}(\hat{i}-2 \hat{j})=\frac{1}{\sqrt{5}} \hat{i}-\frac{2}{\sqrt{5}} \hat{j} $ इसलिए, $\vec{a}$ की दिशा में और परिमाण 7 वाला सदिश $ 7 \hat{a}=7(\frac{1}{\sqrt{5}} \hat{i}-\frac{2}{\sqrt{5}} \hat{j})=\frac{7}{\sqrt{5}} \hat{i}-\frac{14}{\sqrt{5}} \hat{j} $

उदाहरण 8 सदिशों $\vec{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ के योग की दिशा में इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

हल दिए गए सदिशों का योग है

$ \begin{aligned} & \vec{a}+\vec{b}(=\vec{c}, \text{ मान लीजिए })=4 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k} \\ \text {और } \qquad & \quad|\vec{c}|=\sqrt{4^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{29} \end{aligned} $

इस प्रकार, अभीष्ट इकाई सदिश है

$$ \hat{c}=\frac{1}{|\vec{c}|} \vec{c}=\frac{1}{\sqrt{29}}(4 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k})=\frac{4}{\sqrt{29}} \hat{i}+\frac{3}{\sqrt{29}} \hat{j}-\frac{2}{\sqrt{29}} \hat{k} $$

उदाहरण 9 सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ के दिक अनुपात लिखिए और इस प्रकार इसके दिक कोज्याएँ परिकलित कीजिए।

हल ध्यान दीजिए कि किसी सदिश $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ के दिक अनुपात $a, b, c$ केवल उस सदिश के घटक $x, y$ और $z$ होते हैं। अतः दिए गए सदिश के लिए, हमारे पास $a=1, b=1$ और $c=-2$ है। इसके अतिरिक्त, यदि $l, m$ और $n$ दिए गए सदिश की दिक कोज्याएँ हैं, तो

$$ l=\frac{a}{|\vec{r}|}=\frac{1}{\sqrt{6}}, \quad m=\frac{b}{|\vec{r}|}=\frac{1}{\sqrt{6}}, \quad n=\frac{c}{|\vec{r}|}=\frac{-2}{\sqrt{6}} \text{ क्योंकि }|\vec{r}|=\sqrt{6} $$

इस प्रकार, दिक कोज्याएँ $(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}})$ हैं।

10.5.2 दो बिंदुओं को जोड़ने वाला सदिश

यदि $P_1(x_1, y_1, z_1)$ और $P_2(x_2, y_2, z_2)$ कोई दो बिंदु हैं, तो $P_1$ और $P_2$ को जोड़ने वाला सदिश $\overrightarrow{{}P_1} _2$ है (चित्र 10.15)।
बिंदुओं $P_1$ और $P_2$ को मूल बिंदु $O$ से जोड़कर, और त्रिभुज नियम लागू करते हुए, त्रिभुज $OP_1 P_2$ से हमें मिलता है
$ \overrightarrow{{}OP_1}+\overrightarrow{{}P_1} _2=\overrightarrow{{}OP_2} $

सदिश जोड़ के गुणों का उपयोग करते हुए, उपरोक्त समीकरण इस प्रकार बन जाता है

चित्र 10.15

$$ \text{ अर्थात् } \quad \begin{aligned} \overrightarrow{{}P_1} _2 & =\overrightarrow{{}OP_2}-\overrightarrow{{}OP_1} \ \overrightarrow{{}P_1} _2 & =(x_2 \hat{i}+y_2 \hat{j}+z_2 \hat{k})-(x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k}) \ & =(x_2-x_1) \hat{i}+(y_2-y_1) \hat{j}+(z_2-z_1) \hat{k} \end{aligned} $$

सदिश $\overrightarrow{{}P_1} _2$ का परिमाण इस प्रकार दिया गया है
$$ |\overrightarrow{{}P_1} _2|=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

उदाहरण 10 बिंदुओं $P(2,3,0)$ और $Q(-1,-2,-4)$ को जोड़ने वाला सदिश ज्ञात कीजिए जो $P$ से $Q$ की ओर निर्देशित है।

हल चूँकि सदिश को P से Q की ओर निर्देशित होना है, स्पष्ट है कि P प्रारंभिक बिंदु है और $Q$ अंतिम बिंदु है। इसलिए, $P$ और $Q$ को जोड़ने वाला अभीष्ट सदिश $\overrightarrow{{}PQ}$ है, जो इस प्रकार दिया गया है

$$ \begin{aligned} & \overrightarrow{{}PQ}=(-1-2) \hat{i}+(-2-3) \hat{j}+(-4-0) \hat{k} \\ \text { अर्थात् } \qquad & \overrightarrow{{}PQ}=-3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k} \end{aligned} $$

10.5.3 अनुपात सूत्र

मान लीजिए $P$ और $Q$ दो बिंदु हैं जिन्हें स्थिति सदिशों $\overrightarrow{{}OP}$ और $\overrightarrow{{}OQ}$ द्वारा मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष दर्शाया गया है। तब बिंदुओं $P$ और $Q$ को मिलाने वाला रेखाखंड किसी तीसरे बिंदु, मान लीजिए R, द्वारा दो तरीकों से विभाजित किया जा सकता है - आंतरिक रूप से (चित्र 10.16) और बाह्य रूप से (चित्र 10.17)। यहाँ हम बिंदु R के लिए मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष स्थिति सदिश $\overrightarrow{{}OR}$ ज्ञात करना चाहते हैं। हम दोनों स्थितियों को एक-एक करके लेते हैं।

चित्र 10.16

स्थिति II जब R, PQ को आंतरिक रूप से विभाजित करता है (चित्र 10.16)। यदि $R$, $\overrightarrow{{}PQ}$ को इस प्रकार विभाजित करता है कि $m \overrightarrow{{}RQ}=n \overrightarrow{{}PR}$,

जहाँ $m$ और $n$ धनात्मक अदिश हैं, हम कहते हैं कि बिंदु $R$, $\overrightarrow{{}PQ}$ को आंतरिक रूप से $m: n$ के अनुपात में विभाजित करता है। अब त्रिभुजों ORQ और OPR से, हमारे पास है

$$ \overrightarrow{{}RQ}=\overrightarrow{{}OQ}-\overrightarrow{{}OR}=\vec{b}-\vec{r} $$

$$ \text { और } \qquad \overrightarrow{{}PR}=\overrightarrow{{}OR}-\overrightarrow{{}OP}=\vec{r}-\vec{a} $$

$$ \begin{aligned} \text { इसलिए, हमारे पास है } \qquad m(\vec{b}-\vec{r}) & =n(\vec{r}-\vec{a}) \quad \text{ (क्यों?) } \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \text {या } \qquad \vec{r} & =\frac{m \vec{b}+n \vec{a}}{m+n} \qquad \text{ (सरलीकरण पर) } \end{aligned} $$

इसलिए, बिंदु $R$ का स्थिति सदिश, जो बिंदुओं $P$ और $Q$ को आंतरिक रूप से $m: n$ के अनुपात में विभाजित करता है, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \overrightarrow{{}OR}=\frac{m \vec{b}+n \vec{a}}{m+n} $$

स्थिति II जब R, PQ को बाह्य रूप से विभाजित करता है (चित्र 10.17)। हम इसे पाठक के लिए अभ्यास के रूप में छोड़ते हैं कि वह सत्यापित करे कि बिंदु $R$ का स्थिति सदिश, जो रेखाखंड $P Q$ को बाह्य रूप से $m: n$ के अनुपात में विभाजित करता है, अर्थात् $\frac{PR}{QR}=\frac{m}{n}$, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है $ \overrightarrow{{}OR}=\frac{m \vec{b}-n \vec{a}}{m-n} $

चित्र 10.17

टिप्पणी यदि $R$, $PQ$ का मध्य बिंदु है, तो $m=n$। और इसलिए, स्थिति I से, $\overrightarrow{{}PQ}$ का मध्य बिंदु $R$, अपना स्थिति सदिश इस प्रकार रखेगा $ \overrightarrow{{}OR}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} $

उदाहरण 11 दो बिंदु $P$ और $Q$ पर विचार करें जिनके स्थिति सदिश $\overrightarrow{{}OP}=3 \vec{a}-2 \vec{b}$ और $\overrightarrow{{}OQ}=\vec{a}+\vec{b}$ हैं। एक बिंदु $R$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जो $P$ और $Q$ को जोड़ने वाली रेखा को $2: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है, (i) आंतरिक रूप से, और (ii) बाह्य रूप से।

हल

(i) बिंदु $R$ का स्थिति सदिश, जो $P$ और $Q$ को आंतरिक रूप से $2: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है, निम्नलिखित है

$$ \overrightarrow{{}OR}=\frac{2(\vec{a}+\vec{b})+(3 \vec{a}-2 \vec{b})}{2+1}=\frac{5 \vec{a}}{3} $$

(ii) बिंदु (R) जो बिंदुओं (P) और (Q) को बाह्य रूप से अनुपात (2:1) में विभाजित करता है, का स्थिति सदिश

[ \overrightarrow{{}OR}=\frac{2(\vec{a}+\vec{b})-(3 \vec{a}-2 \vec{b})}{2-1}=4 \vec{b}-\vec{a} ]

उदाहरण 12 दिखाइए कि बिंदु (A(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})), (B(\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})), (C(3 \hat{i}-4 j-4 \hat{k})) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

हल हमारे पास

[ \begin{aligned} & \overrightarrow{{}AB}=(1-2) \hat{i}+(-3+1) \hat{j}+(-5-1) \hat{k}=-\hat{i}-2 \hat{j}-6 \hat{k} \ & \overrightarrow{{}BC}=(3-1) \hat{i}+(-4+3) \hat{j}+(-4+5) \hat{k}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \end{aligned} ]

[ \overrightarrow{{}CA}=(2-3) \hat{i}+(-1+4) \hat{j}+(1+4) \hat{k}=-\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k} ]

इसके अतिरिक्त, ध्यान दें कि

[ |\overrightarrow{{}AB}|^{2}=41=6+35=|\overrightarrow{{}BC}|^{2}+|\overrightarrow{{}CA}|^{2} ]

अतः, त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

10.6 दो सदिशों का गुणनफल

अब तक हमने सदिशों के योग और अंतर के बारे में पढ़ा है। सदिशों के संबंध में हम जिस अन्य बीजगणितीय संक्रिया की चर्चा करना चाहते हैं, वह है उनका गुणन। हमें याद होगा कि दो संख्याओं का गुणनफल एक संख्या होता है, दो आव्यूहों का गुणनफल पुनः एक आव्यूह होता है। परंतु फलनों के संदर्भ में हम उन्हें दो प्रकार से गुणा कर सकते हैं, अर्थात् बिन्दुवार गुणन और दो फलनों की संयोजन। इसी प्रकार, दो सदिशों का गुणन भी दो प्रकार से परिभाषित है, अर्थात् अदिश (या बिन्दु) गुणन जिसका परिणाम एक अदिश होता है, और सदिश (या क्रॉस) गुणन जिसका परिणाम एक सदिश होता है। सदिशों के इन दो प्रकार के गुणनों के आधार पर उनका उपयोग ज्यामिति, यांत्रिकी और अभियांत्रिकी में विविध अनुप्रयोगों में किया गया है। इस खंड में हम इन दो प्रकार के गुणनों की चर्चा करेंगे।

10.6.1 दो सदिशों का अदिश (या बिन्दु) गुणन

परिभाषा 2 दो अशून्य सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का अदिश गुणन, जिसे $\vec{a} \cdot \vec{b}$ द्वारा निरूपित किया जाता है, इस प्रकार परिभाषित है $ \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $ जहाँ, $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है, $0 \leq \theta \leq \pi$ (चित्र 10.19)। यदि या तो $\vec{a}=0$ या $\vec{b}=0$ है तो $\theta$ परिभाषित नहीं होता, और इस स्थिति में हम $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ परिभाषित करते हैं।

चित्र 10.19

टिप्पणियाँ

1. $\vec{a} \cdot \vec{b}$ एक वास्तविक संख्या होती है।

२. मान लीजिए (\vec{a}) और (\vec{b}) दो अशून्य सदिश हैं, तब (\vec{a} \cdot \vec{b}=0) तभी होता है जब (\vec{a}) और (\vec{b}) एक-दूसरे के लंबवत् हों।
अर्थात्
$$\vec{a} \cdot \vec{b}=0 \leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$$

३. यदि (\theta=0), तब (\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|)

विशेषतः, (\vec{a} \cdot \vec{a}=|\vec{a}|^{2}), क्योंकि इस स्थिति में (\theta) का मान 0 है।

४. यदि (\theta=\pi), तब (\vec{a} \cdot \vec{b}=-|\vec{a}||\vec{b}|)

विशेषतः, (\vec{a} \cdot \vec{b}=-|\vec{a}||\vec{b}|), क्योंकि इस स्थिति में (\theta) का मान (\pi) है।

५. टिप्पणियाँ 2 और 3 के दृष्टिगत, परस्पर लंबवत् इकाई सदिशों (\hat{i}, \hat{j}) और (\hat{k}) के लिए,

हम पाते हैं
$$ \begin{aligned} & \hat{i} \cdot \hat{i}=\hat{j} \cdot \hat{j}=\hat{k} \cdot \hat{k}=1, \ & \hat{i} \cdot \hat{j}=\hat{j} \cdot \hat{k}=\hat{k} \cdot \hat{i}=0 \end{aligned} $$

६. दो अशून्य सदिशों (\vec{a}) और (\vec{b}) के बीच का कोण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}, \text{ या } \theta=\cos ^{-1}(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}) $$

७. अदिश गुणनफल क्रमविनिमयी होता है। अर्थात्

$$ \vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a} $$

अदिश गुणनफल के दो महत्वपूर्ण गुण

गुण 1 (अदिश गुणनफल का योग पर वितरणीय गुण) मान लीजिए (\vec{a}, \vec{b}) और (\vec{c}) कोई तीन सदिश हैं, तब

$ \vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c} $

गुणधर्म 2 मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ कोई दो सदिश हैं, और 1 कोई अदिश है। तब

$$ (\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b}=(\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b}=\lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})=\vec{a} \cdot(\lambda \vec{b}) $$

यदि दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ को घटक रूप में क्रमशः $a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$ और $b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$ दिए गए हैं, तो उनका अदिश गुणनफल इस प्रकार होता है

$ \begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b}= & (a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \cdot(b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}) \ = & a_1 \hat{i} \cdot(b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k})+a_2 \hat{j} \cdot(b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k})+a_3 \hat{k} \cdot(b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}) \ \text{ इस प्रकार } = & a_1 b_1(\hat{i} \cdot \hat{i})+a_1 b_2(\hat{i} \cdot \hat{j})+a_1 b_3(\hat{i} \cdot \hat{k})+a_2 b_1(\hat{j} \cdot \hat{i})+a_2 b_2(\hat{j} \cdot \hat{j})+a_2 b_3(\hat{j} \cdot \hat{k}) +a_3 b_1(\hat{k} \cdot \hat{i})+a_3 b_2(\hat{k} \cdot \hat{j})+a_3 b_3(\hat{k} \cdot \hat{k}) \text{ (उपरोक्त गुणधर्मों 1 और 2 का प्रयोग करते हुए) } \ = & a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 \qquad \text{ ((प्रेक्षण 5 का प्रयोग करते हुए)) } \ \qquad & \vec{a} \cdot \vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 \end{aligned} $

10.6.2 एक सदिश का एक रेखा पर प्रक्षेप

मान लीजिए एक सदिश $\overrightarrow{{}AB}$ किसी दी गई दिशाबद्ध रेखा $l$ (मान लीजिए) के साथ वामावर्त दिशा में कोण $\theta$ बनाता है (चित्र 10.20)। तब $l$ पर $\overrightarrow{{}AB}$ का प्रक्षेप एक सदिश $\vec{p}$ (मान लीजिए) है, जिसका परिमाण $|\overrightarrow{{}AB}||\cos \theta|$ है, और $\vec{p}$ की दिशा रेखा $l$ की दिशा के समान (या विपरीत) है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि $\cos \theta$ धनात्मक है या ऋणात्मक। सदिश $\vec{p}$

चित्र 10.20 को प्रक्षेप सदिश कहा जाता है, और इसके परिमाण $|\vec{p}|$ को सरलतः सदिश $\overrightarrow{{}AB}$ की दिशाबद्ध रेखा $l$ पर प्रक्षेप कहा जाता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रत्येक चित्रों में (चित्र 10.20 (i) से (iv)), रेखा $l$ के अनुदिश $\overrightarrow{{}AB}$ का प्रक्षेप सदिश सदिश $\overrightarrow{{}AC}$ है।

टिप्पणियाँ

1. यदि $\hat{p}$ रेखा $l$ के अनुदिश इकाई सदिश है, तो सदिश $\vec{a}$ का रेखा $l$ पर प्रक्षेप $\vec{a} \cdot \hat{p}$ द्वारा दिया जाता है।

2. सदिश $\vec{a}$ का अन्य सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है $$ \vec{a} \cdot \hat{b}, \quad \text{ या } \quad \vec{a} \cdot(\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}), \text{ या } \frac{1}{|\vec{b}|}(\vec{a} \cdot \vec{b}) $$

3. यदि $\theta=0$ है, तो सदिश $\overrightarrow{{}A B}$ का प्रक्षेप सदिश स्वयं $\overrightarrow{{}A B}$ होगा और यदि $\theta=\pi$ है, तो सदिश $\overrightarrow{{}AB}$ का प्रक्षेप सदिश $\overrightarrow{{}BA}$ होगा।

4. यदि $\theta=\frac{\pi}{2}$ या $\theta=\frac{3 \pi}{2}$ है, तो सदिश $\overrightarrow{{}A B}$ का प्रक्षेप सदिश शून्य सदिश होगा।

टिप्पणी यदि $\alpha, \beta$ और $\gamma$ सदिश $\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$ के दिक् कोण हैं, तो इसकी दिक् कोसाइनें इस प्रकार दी जा सकती हैं

$$ \cos \alpha=\frac{\vec{a} \cdot \hat{i}}{|\vec{a}||\hat{i}|}=\frac{a_1}{|\vec{a}|}, \cos \beta=\frac{a_2}{|\vec{a}|}, \text{ और } \cos \gamma=\frac{a_3}{|\vec{a}|} $$

साथ ही, ध्यान दें कि $|\vec{a}| \cos \alpha,|\vec{a}| \cos \beta$ और $|\vec{a}| \cos \gamma$ क्रमशः $OX, OY$ और $OZ$ के अनुदिश सदिश $\vec{a}$ के प्रक्षेप हैं। अर्थात् सदिश $\vec{a}$ के अदिश घटक $a_1, a_2$ और $a_3$ क्रमशः $x$-अक्ष, $y$-अक्ष और $z$-अक्ष के अनुदिश सदिश $\vec{a}$ के प्रक्षेप हैं। आगे, यदि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है, तो इसे इसकी दिक् कोसाइनों के पदों में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$ \vec{a}=\cos \alpha \hat{i}+\cos \beta \hat{j}+\cos \gamma \hat{k} $$

उदाहरण 13 दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनकी परिमाण क्रमशः 1 और 2 हैं और जब $\vec{a} \cdot \vec{b}=1$ है।

हल दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b}=1,|\vec{a}|=1$ और $|\vec{b}|=2$। हमारे पास

$$ \theta=\cos ^{-1}(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|})=\cos ^{-1}(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{3} $$

उदाहरण 14 सदिशों $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ के बीच कोण ‘$\theta$’ ज्ञात कीजिए।

हल दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

अब $$ \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} $$

इसलिए, हमारे पास $\quad \cos \theta=\frac{-1}{3}$

अतः अभीष्ट कोण है $$ \theta=\cos ^{-1}(-\frac{1}{3}) $$

उदाहरण 15 यदि $\vec{a}=5 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$ है, तो दिखाइए कि सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ लंबवत् हैं।

हल हम जानते हैं कि दो अशून्य सदिश लंबवत् होते हैं यदि उनका स्केलर गुणनफल शून्य हो।

यहाँ $$ \vec{a}+\vec{b}=(5 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})+(\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k})=6 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k} $$

और $$ \vec{a}-\vec{b}=(5 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})-(\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k})=4 \hat{i}-4 \hat{j}+2 \hat{k} $$

इसलिए $$ (\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=(6 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) \cdot(4 \hat{i}-4 \hat{j}+2 \hat{k})=24-8-16=0 $$

अतः $\quad \vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ लंबवत् सदिश हैं।

उदाहरण 16 सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ का प्रक्षेपण सदिश $\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ पर ज्ञात कीजिए।

हल सदिश $\vec{a}$ का प्रक्षेपण सदिश $\vec{b}$ पर निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \frac{1}{|\vec{b}|}(\vec{a} \cdot \vec{b})=\frac{(2 \times 1+3 \times 2+2 \times 1)}{\sqrt{(1)^{2}+(2)^{2}+(1)^{2}}}=\frac{10}{\sqrt{6}}=\frac{5}{3} \sqrt{6} $$

उदाहरण 17 $|\vec{a}-\vec{b}|$ ज्ञात कीजिए, यदि दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=4$।

हल हमारे पास

$$ \begin{aligned} |\vec{a}-\vec{b}|^{2} & =(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b}) \ & =\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} & =|\vec{a}|^{2}-2(\vec{a} \cdot \vec{b})+|\vec{b}|^{2} \ & =(2)^{2}-2(4)+(3)^{2} \end{aligned} $$

उदाहरण 18 यदि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है और $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot(\vec{x}+\vec{a})=8$, तो $|\vec{x}|$ ज्ञात कीजिए।

हल चूँकि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है, $|\vec{a}|=1$। साथ ही,

$$ (\vec{x}-\vec{a}) \cdot(\vec{x}+\vec{a})=8 $$

या $ \vec{x} \cdot \vec{x}+\vec{x} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{x}-\vec{a} \cdot \vec{a}=8 $

या $ |\vec{x}|^{2}-1=8 \text{ अर्थात् }|\vec{x}|^{2}=9 $

इसलिए $|\vec{x}|=3 $ (चूँकि किसी सदिश का परिमाण ऋणात्मक नहीं होता)।

उदाहरण 19 किन्हीं दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए, हमेशा $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq|\vec{a}||\vec{b}|$ (कॉशी-श्वार्ज़ असमानता)।

हल असमानता सरलता से सत्य होती है जब या तो $\vec{a}=\overrightarrow{{}0}$ या $\vec{b}=\overrightarrow{{}0}$ हो। वास्तव में, ऐसी स्थिति में हमारे पास $|\vec{a} \cdot \vec{b}|=0=|\vec{a}||\vec{b}|$ होता है। इसलिए, मान लीजिए कि $|\vec{a}| \neq 0 \neq|\vec{b}|$ है।

फिर, हमारे पास इसलिए $$ \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a} | \vec{b}|}=|\cos \theta| \leq 1 $$

$\quad|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq|\vec{a}||\vec{b}|$

चित्र 10.21

उदाहरण 20 किन्हीं दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए, हमारे पास सदैव $|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$ (त्रिभुज असमानता) होता है।

हल असमानता सरलता से सत्य होती है यदि या तो

$$ \begin{aligned} |\vec{a}+\vec{b}|^{2}= & (\vec{a}+\vec{b})^{2}=(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}) \\ = & \vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b} \\ = & |\vec{a}|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2} \\ \leq & |\vec{a}|^{2}+2|\vec{a} \cdot \vec{b}|+|\vec{b}|^{2} \\ \leq & |\vec{a}|^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}|+|\vec{b}|^{2} \\ = & (|\vec{a}|+|\vec{b}|)^{2} \\ & |\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}| \end{aligned} $$

टिप्पणी यदि त्रिभुज असमानता में (उपरोक्त उदाहरण 20 में) समानता हो, अर्थात्

तब $$ \begin{aligned} |\vec{a}+\vec{b}| & =|\vec{a}|+|\vec{b}| \\ |\overrightarrow{{}AC}| & =|\overrightarrow{{}AB}|+|\overrightarrow{{}BC}| \end{aligned} $$

दर्शाते हुए कि बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।

उदाहरण 21 दिखाइए कि बिंदु $A(-2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}), B(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$ और $C(7 \hat{i}-\hat{k})$ संरेख हैं।

हल हमारे पास

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{{}AB} & =(1+2) \hat{i}+(2-3) \hat{j}+(3-5) \hat{k}=3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k} \\ \overrightarrow{{}BC} & =(7-1) \hat{i}+(0-2) \hat{j}+(-1-3) \hat{k}=6 \hat{i}-2 \hat{j}-4 \hat{k} \\ \overrightarrow{{}AC} & =(7+2) \hat{i}+(0-3) \hat{j}+(-1-5) \hat{k}=9 \hat{i}-3 \hat{j}-6 \hat{k} \\ |\overrightarrow{{}AB}| & =\sqrt{14},|\overrightarrow{{}BC}|=2 \sqrt{14} \text{ और }|\overrightarrow{{}AC}|=3 \sqrt{14} \end{aligned} $$

इसलिए $$ |\overrightarrow{{}AC}|=|\overrightarrow{{}AB}|+|\overrightarrow{{}BC}| $$

अतः बिंदु A, B और C संरेख हैं।

नोट उदाहरण 21 में, आप यह देख सकते हैं कि यद्यपि $\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}+\overrightarrow{{}CA}=\overrightarrow{{}0}$ है, लेकिन बिंदु $A, B$ और $C$ किसी त्रिभुज के शीर्ष नहीं बनाते हैं।

10.6.3 दो सदिशों का वेक्टर (या क्रॉस) गुणनफल

अनुच्छेद 10.2 में, हमने त्रिविमीय दक्षिणावर्ती आयताकार निर्देशांक प्रणाली पर चर्चा की है। इस प्रणाली में, जब धनात्मक $x$-अक्ष को धनात्मक $y$-अक्ष में दक्षिणावर्त घुमाया जाता है, तो एक दक्षिणावर्त (मानक) पेचकश धनात्मक $z$-अक्ष की दिशा में आगे बढ़ता है (चित्र 10.22(i))।

दायें हाथ के निर्देशांक तंत्र में, जब उंगलियों को धनात्मक $x$-अक्ष से दूर धनात्मक $y$-अक्ष की ओर मोड़ा जाता है, तब दायें हाथ का अंगूठा धनात्मक $z$-अक्ष की दिशा में इशारा करता है (चित्र 10.22(ii))।

चित्र 10.22

परिभाषा 3 दो अशून्य सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का सदिश गुणनफल, $\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है $ \vec{a} \times \vec{b}=|\vec{a | \vec{b}| \sin \theta \hat{n}, $ जहाँ $\theta$, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है, $0 \leq \theta \leq \pi$ और $\hat{n}$, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश है, इस प्रकार कि $\vec{a}$, $\vec{b}$ और $\hat{n}$ एक दायां हाथ तंत्र बनाते हैं (चित्र 10.23)। अर्थात्, दायां हाथ तंत्र जो $\vec{a}$ से $\vec{b}$ तक घूमता है, वह $\hat{n}$ की दिशा में चलता है।

चित्र 10.23

यदि या तो $\vec{a}=\overrightarrow{{}0}$ या $\vec{b}=\overrightarrow{{}0}$ है, तो $\theta$ परिभाषित नहीं होता है और इस स्थिति में, हम $\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{{}0}$ परिभाषित करते हैं।

प्रेक्षण

1. $\vec{a} \times \vec{b}$ एक सदिश है।

2. मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो अशून्य सदिश हैं। तब $\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{{}0}$ तभी होता है जब $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक-दूसरे के समानांतर (या संरेख) हों, अर्थात्,

$ \vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{{}0} \leftrightarrow \vec{a} || \vec{b} $

विशेष रूप से, $\vec{a} \times \vec{a}=\overrightarrow{{}0}$ और $\vec{a} \times(-\vec{a})=\overrightarrow{{}0}$, क्योंकि पहली स्थिति में, $\theta=0$ और दूसरी स्थिति में, $\theta=\pi$, जिससे $\sin \theta$ का मान 0 हो जाता है।

3. यदि $\theta=\frac{\pi}{2}$ हो तो $\vec{a} \times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$।

4. टिप्पणियाँ 2 और 3 के आलोक में, परस्पर लंबवत् इकाई सदिशों $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ (चित्र 10.24) के लिए, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=\overrightarrow{{}0} \ & \hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \quad \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}, \quad \hat{k} \times \hat{i}=\hat{j} \end{aligned} $

चित्र 10.24

5. सदिश गुणनफल के पदों में, दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण इस प्रकार दिया जा सकता है

$$ \sin \theta=\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a} | \vec{b}|} $$

6. यह सदैव सत्य है कि सदिश गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता, क्योंकि $\vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a}$। वास्तव में, $\vec{a} \times \vec{b}=|\vec{a} | \vec{b}| \sin \theta \hat{n}$, जहाँ $\vec{a}, \vec{b}$ और $\hat{n}$ एक दक्षिणावर्त तंत्र बनाते हैं, अर्थात् $\theta$ को $\vec{a}$ से $\vec{b}$ तक मापा जाता है, आकृति 10.25 (i)। जबकि, $\vec{b} \times \vec{a}=|\vec{a} | \vec{b}| \sin \theta \hat{n}_1$, जहाँ $\vec{b}, \vec{a}$ और $\hat{n}_1$ एक दक्षिणावर्त तंत्र बनाते हैं अर्थात् $\theta$ को $\vec{b}$ से $\vec{a}$ तक मापा जाता है, आकृति 10.25(ii)।

आकृति 10.25

इस प्रकार, यदि हम मान लें कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ कागज के तल में स्थित हैं, तो $\hat{n}$ और $\hat{n}_1$ दोनों कागज के तल के लंबवत् होंगे। पर, $\hat{n}$ कागज के ऊपर की ओर निर्देशित होता है जबकि $\hat{n}_1$ कागज के नीचे की ओर निर्देशित होता है। अर्थात् $\hat{n}_1=-\hat{n}$।

अतः $$ \begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} & =|\vec{a} | \vec{b}| \sin \theta \hat{n} \ & =-|\vec{a} | \vec{b}| \sin \theta \hat{n}_1=-\vec{b} \times \vec{a} \end{aligned} $$

7. प्रेक्षण 4 और 6 के दृष्टिकोण से, हमारे पास $$ \hat{j} \times \hat{i}=-\hat{k}, \quad \hat{k} \times \hat{j}=-\hat{i} \text { और } \hat{i} \times \hat{k}=-\hat{j} \text {. } $$

8. यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक त्रिभुज की संलग्न भुजाओं को दर्शाते हैं तो इसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}}$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल की परिभाषा से, हमें चित्र 10.26 से प्राप्त होता है,
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD}$।
लेकिन $\mathrm{AB}=|\vec{b}|$ (जैसा कि दिया गया है), और $\mathrm{CD}=|\vec{a}| \sin \theta$।
इस प्रकार, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}|\vec{b}||\vec{a}| \sin \theta=\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$।

चित्र 10.26

9. यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक त्रिभुज की संलग्न भुजाओं को दर्शाते हैं तो इसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल की परिभाषा से, हमें चित्र 10.26 से प्राप्त होता है,
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} AB \cdot CD$।
लेकिन $AB=|\vec{b}|$ (जैसा कि दिया गया है), और $CD=|\vec{a}| \sin \theta$।
इस प्रकार, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}|\vec{b}||\vec{a}| \sin \theta=\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$।
समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल $=|\vec{b}||\vec{a}| \sin \theta=|\vec{a} \times \vec{b}|$।

चित्र 10.26

हम अब सदिश गुणनफल के दो महत्वपूर्ण गुणों को कहते हैं।

गुण 3 (सदिश गुणनफल का योग पर वितरण): यदि $\vec{a}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ कोई तीन सदिश हैं और $\lambda$ एक अदिश है, तो

(i) $\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}$

(ii) $\lambda(\vec{a} \times \vec{b})=(\lambda \vec{a}) \times \vec{b}=\vec{a} \times(\lambda \vec{b})$

मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो सदिश इस प्रकार घटक रूप में दिए गए हैं कि क्रमशः $a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$ और $b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$। तब उनका क्रॉस गुणनफल निम्नलिखित द्वारा दिया जा सकता है

$$ \vec{a} \times \vec{b}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} $$

व्याख्या हमारे पास है

$$ \begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b}= & (a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \times(b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}) \ = & a_1 b_1(\hat{i} \times \hat{i})+a_1 b_2(\hat{i} \times \hat{j})+a_1 b_3(\hat{i} \times \hat{k})+a_2 b_1(\hat{j} \times \hat{i}) \ & +a_2 b_2(\hat{j} \times \hat{j})+a_2 b_3(\hat{j} \times \hat{k}) \ & +a_3 b_1(\hat{k} \times \hat{i})+a_3 b_2(\hat{k} \times \hat{j})+a_3 b_3(\hat{k} \times \hat{k}) \ = & a_1 b_2(\hat{i} \times \hat{j})-a_1 b_3(\hat{k} \times \hat{i})-a_2 b_1(\hat{i} \times \hat{j}) \ & +a_2 b_3(\hat{j} \times \hat{k})+a_3 b_1(\hat{k} \times \hat{i})-a_3 b_2(\hat{j} \times \hat{k}) \end{aligned} $$

(गुणधर्म 1 द्वारा)

(चूँकि $\hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=0$ और $\hat{i} \times \hat{k}=-\hat{k} \times \hat{i}, \hat{j} \times \hat{i}=-\hat{i} \times \hat{j}$ और $\hat{k} \times \hat{j}=-\hat{j} \times \hat{k}$ )

$$ \begin{aligned} = & a_1 b_2 \hat{k}-a_1 b_3 \hat{j}-a_2 b_1 \hat{k}+a_2 b_3 \hat{i}+a_3 b_1 \hat{j}-a_3 b_2 \hat{i} \\ & (\text{ क्योंकि } \hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i} \text{ और } \hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}) \\ = & (a_2 b_3-a_3 b_2) \hat{i}-(a_1 b_3-a_3 b_1) \hat{j}+(a_1 b_2-a_2 b_1) \hat{k} \\ = & \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \end{aligned} $$

उदाहरण 22 ज्ञात कीजिए $|\vec{a} \times \vec{b}|$, यदि $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}+5 \hat{j}-2 \hat{k}$

हल हमारे पास

$$ \begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} & = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & -2 \end{vmatrix} \\ & =\hat{i}(-2-15)-(-4-9) \hat{j}+(10-3) \hat{k}=-17 \hat{i}+13 \hat{j}+7 \hat{k} \end{aligned} $$

इसलिए $|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{(-17)^{2}+(13)^{2}+(7)^{2}}=\sqrt{507}$

उदाहरण 23 प्रत्येक सदिश $(\vec{a}+\vec{b})$ और $(\vec{a}-\vec{b})$ पर लंबवत् एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए, जहाँ $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \quad \vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$।

हल हमारे पास $\vec{a}+\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $\vec{a}-\vec{b}=-\hat{j}-2 \hat{k}$

एक सदिश जो $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ दोनों पर लंबवत् है, दिया जाता है

अब $$ (\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 3 & 4 \ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} =-2 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k} \quad(=\vec{c}, \text{ say }) $$

$$ |\vec{c}|=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2 \sqrt{6} $$

इसलिए, अभीष्ट इकाई सदिश है $$ \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}=\frac{-1}{\sqrt{6}} \hat{i}+\frac{2}{\sqrt{6}} \hat{j}-\frac{1}{\sqrt{6}} \hat{k} $$

नोट किसी भी समतल के दो लंबवत दिशाएँ होती हैं। इस प्रकार, $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ के लंबवत एक अन्य इकाई सदिश $\frac{1}{\sqrt{6}} \hat{i}-\frac{2}{\sqrt{6}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{6}} \hat{k}$ होगा। पर वह $(\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})$ का परिणाम होगा।

उदाहरण 24 उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष बिन्दु $A(1,1,1), B(1,2,3)$ और $C(2,3,1)$ हैं।

हल हमारे पास $\overrightarrow{{}AB}=\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\overrightarrow{{}AC}=\hat{i}+2 \hat{j}$ है। दिए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}|\overrightarrow{{}AB} \times \overrightarrow{{}AC}|$ है।

अब, $$ \overrightarrow{{}AB} \times \overrightarrow{{}AC}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 0 & 1 & 2 \ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} =-4 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k} $$

इसलिए $$ |\overrightarrow{{}AB} \times \overrightarrow{{}AC}|=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21} $$

इस प्रकार, अभीष्ट क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{21}$ है

उदाहरण 25 एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आसन्न भुजाएँ सदिशों $\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ द्वारा दी गई हैं।

हल एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, जिसकी आसन्न भुजाएँ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं, $|\vec{a} \times \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।

अब $$ \vec{a} \times \vec{b}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & 1 & 4 \ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} =5 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k} $$

इसलिए $$ |\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{25+1+16}=\sqrt{42} $$

और इस प्रकार, अभीष्ट क्षेत्रफल $\sqrt{42}$ है।

विविध उदाहरण

उदाहरण 26 XY-तल में सभी इकाई सदिशों को लिखिए।

हल मान लीजिए $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}$ XY-तल में एक इकाई सदिश है (चित्र 10.28)। फिर, चित्र से, हमें $x=\cos \theta$ और $y=\sin \theta$ प्राप्त होता है (चूँकि $|\vec{r}|=1$)। इसलिए, हम सदिश $\vec{r}$ को इस प्रकार लिख सकते हैं

$$ \vec{r}(=\overrightarrow{{}OP})=\cos \theta \hat{i}+\sin \theta \hat{j} $$

स्पष्टतः, $$ |\vec{r}|=\sqrt{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}=1 $$

चित्र 10.28

इसके अतिरिक्त, जैसे ही $\theta$ का मान 0 से $2 \pi$ तक बदलता है, बिंदु $P$ (चित्र 10.28) वृत्त $x^{2}+y^{2}=1$ को प्रतिदिश दिशा में खींचता है, और यह सभी संभव दिशाओं को कवर करता है। इसलिए, (1) XY-तल में प्रत्येक इकाई सदिश देता है।

उदाहरण 27 यदि $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, 2 \hat{i}+5 \hat{j}, 3 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ और $\hat{i}-6 \hat{j}-\hat{k}$ बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः हैं, तो $\overrightarrow{{}A B}$ और $\overrightarrow{{}C D}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। निष्कर्ष निकालिए कि $\overrightarrow{{}AB}$ और $\overrightarrow{{}CD}$ संरेख हैं।

हल ध्यान दें कि यदि $\theta$, $A B$ और $C D$ के बीच का कोण है, तो $\theta$, $\overrightarrow{{}AB}$ और $\overrightarrow{{}CD}$ के बीच का कोण भी है।

अब $$ \begin{aligned} \overrightarrow{{}AB} & =\text{ बिंदु } B \text{ का स्थिति सदिश }-\text{ बिंदु } A \text{ का स्थिति सदिश } \\ & =(2 \hat{i}+5 \hat{j})-(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=\hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k} \end{aligned} $$

इसलिए $$ |\overrightarrow{{}AB}|=\sqrt{(1)^{2}+(4)^{2}+(-1)^{2}}=3 \sqrt{2} $$

इसी प्रकार $ \overrightarrow{{}CD}=-2 \hat{i}-8 \hat{j}+2 \hat{k} \text{ और }|\overrightarrow{{}CD}|=6 \sqrt{2} $

इस प्रकार $$ \begin{aligned} \cos \theta & =\frac{\overrightarrow{{}AB} \cdot \overrightarrow{{}CD}}{|\overrightarrow{{}AB}||\overrightarrow{{}CD}|} \\ & =\frac{1(-2)+4(-8)+(-1)(2)}{(3 \sqrt{2})(6 \sqrt{2})}=\frac{-36}{36}=-1 \end{aligned} $$

चूँकि $0 \leq \theta \leq \pi$, इसलिए $\theta=\pi$ है। इससे दिखता है कि $\overrightarrow{{}A B}$ और $\overrightarrow{{}C D}$ संरेख हैं।

वैकल्पिक रूप से, $\overrightarrow{{}AB}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{{}CD}$ जिसका तात्पर्य है कि $\overrightarrow{{}AB}$ और $\overrightarrow{{}CD}$ संरेख सदिश हैं।

उदाहरण 28 मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=4,|\vec{c}|=5$ और प्रत्येक अन्य दोनों के योगफल पर लंब है, तो $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया है $\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=0, \vec{b} \cdot(\vec{c}+\vec{a})=0, \vec{c} \cdot(\vec{a}+\vec{b})=0$।

अब $$ \begin{aligned} |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2}= & (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^{2}=(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \ = & \vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})+\vec{b} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot(\vec{a}+\vec{c}) \ & +\vec{c} \cdot(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c} \cdot \vec{c} \ = & |\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2} \ = & 9+16+25=50 \end{aligned} $$

इसलिए $$ |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{50}=5 \sqrt{2} $$

उदाहरण 29 तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ शर्त $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}0}$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=4$ और $|\vec{c}|=2$ हो, तो राशि $\mu=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान निकालिए।

हल चूँकि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}0}$, हमारे पास

या $$ \begin{matrix} \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}0}=0 \\ \vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}=0 \end{matrix} $$ $$ \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}=-|\vec{a}|^{2}=-9 $$ $$ \vec{b} \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=0 $$ $$ \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}=-|\vec{b}|^{2}=-16 $$

इसी प्रकार $$ \vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{c}=-4 $$

(1), (2) और (3) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है $$ \begin{matrix} 2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{a} \cdot \vec{c})=-29 \\ 2 \mu=-29, \text{ अर्थात्, } \mu=\frac{-29}{2} \end{matrix} $$

उदाहरण 30 यदि परस्पर लंबवत् इकाई सदिशों $ \hat {i}, \hat {j} $ और $ \hat {k}$ के दाहिने हाथ के तंत्र के संदर्भ में, $\vec{\alpha}=3 \hat {i} - \hat {j}, \vec{\beta}=2 \hat {i} + \hat {j} - 3 \hat {k}$ है, तो $\vec{\beta}$ को $\vec{\beta}=\vec{\beta} _ {1} + \vec{\beta} _ {2}$ के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ $\vec{\beta} _ {1}$ सदिश $\vec{\alpha}$ के समांतर है और $\vec{\beta} _ {2}$ सदिश $\vec{\alpha}$ के लंबवत् है।

हल मान लीजिए $\vec{\beta} _ {1} =\lambda \vec{\alpha}, \lambda$ एक अदिश है, अर्थात् $\vec{\beta} _ {1} = 3 \lambda \hat {i} - \lambda \hat {j}$.

अब $$ \vec{\beta} _ {2}=\vec{\beta}-\vec{\beta} _ {1}=(2-3 \lambda) \hat{i}+(1+\lambda) \hat{j}-3 \hat{k} $$

अब, चूँकि $\vec{\beta} _ {2}$ को सदिश $\vec{\alpha}$ के लंबवत् होना है, हमें $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} _ {2}=0$ होना चाहिए। अर्थात्

या $$ 3(2-3 \lambda)-(1+\lambda)=0 $$

या $$ \lambda=\frac{1}{2} $$

इसलिए $$ \vec{\beta} _{1}=\frac{3}{2} \hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j} \text { और } \quad \vec{\beta} _{2}=\frac{1}{2} \hat{i}+\frac{3}{2} \hat{j}-3 \hat{k} $$

सारांश

• बिंदु $P(x, y, z)$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{{}OP}(=\vec{r})=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ द्वारा दिया जाता है, और इसका परिमाण $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।

• किसी सदिश के अदिश घटक उसके दिशानुपात होते हैं, और ये क्रमशः अक्षों पर प्रक्षेपों को दर्शाते हैं।

• किसी भी सदिश के परिमाण $(r)$, दिशानुपात $(a, b, c)$ और दिशा कोज्याएँ $(l, m, n)$ इस प्रकार संबंधित हैं:

$$ l=\frac{a}{r}, \quad m=\frac{b}{r}, \quad n=\frac{c}{r} $$

• क्रम में लिए गए त्रिभुज की तीन भुजाओं का सदिश योग $\overrightarrow{{}0}$ होता है।

• दो सहप्रारंभिक सदिशों का सदिश योग समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिया जाता है जिसकी संलग्न भुजाएँ दिए गए सदिश हैं।

• किसी दिए गए सदिश को अदिश $\lambda$ से गुणा करने पर सदिश का परिमाण गुणांक $|\lambda|$ से बदल जाता है, और दिशा समान रहती है (या विपरीत हो जाती है) जैसे $\lambda$ का मान धनात्मक (या ऋणात्मक) होता है।

• किसी दिए गए सदिश $\vec{a}$ के लिए, सदिश $\hat{a}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ दिशा में इकाई सदिश देता है $\vec{a}$ की।

• बिंदु $R$ का स्थिति सदिश जो बिंदुओं $P$ और $Q$ को मिलाने वाले रेखाखंड को अनुपात $m:n$ में विभाजित करता है, जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं, (i) आंतरिक रूप से, $\frac{n \vec{a}+m \vec{b}}{m+n}$ द्वारा दिया जाता है। (ii) बाह्य रूप से, $\frac{m \vec{b}-n \vec{a}}{m-n}$ द्वारा दिया जाता है।

• दो दिए गए सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का स्केलर गुणनफल जिनके बीच कोण $\theta$ है, इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$ \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $$

• साथ ही, जब $\vec{a} \cdot \vec{b}$ दिया जाता है, तब सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण ‘$\theta$’ निर्धारित किया जा सकता है $$ \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} $$ $\Delta$ यदि $\theta$ दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है, तब उनका क्रॉस गुणनफल इस प्रकार दिया जाता है $$ \vec{a} \times \vec{b}=|\vec{a} | \vec{b}| \sin \theta \hat{n} $$

• जहाँ $\hat{n}$ एक इकाई सदिश है जो उस समतल के लंबवत है जिसमें $\vec{a}$ और $\vec{b}$ स्थित हैं। इस प्रकार कि $\vec{a}, \vec{b}, \hat{n}$ दक्षिण हस्त निर्देशांक अक्षों की प्रणाली बनाते हैं।

• यदि हमारे पास दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं, जिन्हें घटक रूप में $\vec{a}=a _ {1} \hat{i}+a _ {2} \hat{j}+a _ {3} \hat{k}$ और $\vec{b}=b _ {1} \hat{i}+b _ {2} \hat{j}+b _ {3} \hat{k}$ के रूप में दिया गया है और $\lambda$ कोई अदिश है, तब $$ \begin{aligned} \vec{a}+\vec{b} & =(a _ {1}+b _ {1}) \hat{i}+(a _ {2}+b _ {2}) \hat{j}+(a _ {3}+b _ {3}) \hat{k} \ \lambda \vec{a} & =(\lambda a _ {1}) \hat{i}+(\lambda a _ {2}) \hat{j}+(\lambda a _ {3}) \hat{k} \ \vec{a} \cdot \vec{b} & =a _ {1} b _ {1}+a _ {2} b _ {2}+a _ {3} b _ {3} \end{aligned} $$ $$ \text{ और } \quad \vec{a} \times \vec{b}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} \text{। } $$

ऐतिहासिक टिप्पणी

शब्द वेक्टर लैटिन शब्द vectus से लिया गया है, जिसका अर्थ है “ले जाना”। आधुनिक वेक्टर सिद्धांत की मूलभूत विचारधारा लगभग 1800 ई. से शुरू होती है, जब कास्पर वेसेल (1745-1818) और जीन रॉबर्ट आर्गांड (1768-1822) ने वर्णन किया कि किसी समिश्र संख्या $a+i b$ को निर्देशित रेखाखंड के माध्यम से निर्देशांक तल में ज्यामितीय व्याख्या दी जा सकती है। विलियम रोवन हैमिल्टन (1805-1865), एक आयरिश गणितज्ञ, ने अपनी पुस्तक Lectures on Quaternions (1853) में किसी निर्देशित रेखाखंड के लिए सर्वप्रथम ‘वेक्टर’ शब्द प्रयोग किया। हैमिल्टन की क्वाटरनियन विधि (चार वास्तविक संख्याओं का क्रमबद्ध समुच्चय: $a+b \hat{i}+c \hat{j}+d \hat{k}, \hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ जो कुछ बीजगणितीय नियमों का पालन करता है) त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वेक्टरों के गुणा की समस्या का एक समाधान था। यद्यपि यहाँ यह उल्लेख करना आवश्यक है कि व्यावहारिक रूप से वेक्टर की संकल्पना और उनके योग की जानकारी बहुत पहले से थी, जबसे अरस्तू (384-322 ई.पू.), एक ग्रीक दार्शनिक और प्लेटो (427-348 ई.पू.) का शिष्य, का समय था। उस समय यह माना जाता था कि दो या अधिक बलों की संयुक्त क्रिया को समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार उन्हें जोड़कर देखा जा सकता है। बलों की संरचना के लिए सही नियम, अर्थात् बल वेक्टोरियल रूप से जुड़ते हैं, लंबवत् बलों के संदर्भ में स्टीविन-साइमन (1548-1620) द्वारा खोजा गया था। 1586 ई. में उसने अपनी निबंध De Beghinselen der Weeghconst (“तोलन कला के सिद्धांत”) में बलों की ज्यामितीय योग की व्याख्या की, जिससे यांत्रिकी के विकास में एक बड़ी छलांग लगी। परंतु सामान्य वेक्टर संकल्पना को बनने में अगले 200 वर्ष और लग गए।

1880 में, जोसैया विलार्ड गिब्स (1839-1903), एक अमेरिकी भौतिकविद् और गणितज्ञ, और ओलिवर हेविसाइड (1850-1925), एक अंग्रेज़ अभियंता, ने जिसे हम आज वेक्टर विश्लेषण कहते हैं, उसे मूलतः क्वाटर्नियन के वास्तविक (स्केलर) भाग को उसकाल्पनिक (वेक्टर) भाग से अलग करके बनाया। 1881 और 1884 में, गिब्स ने “एलिमेंट्स ऑफ़ वेक्टर एनालिसिस” नामक एक निबंध मुद्रित किया। इस पुस्तक ने वेक्टरों का एक व्यवस्थित और संक्षिप्त विवरण दिया। हालाँकि, वेक्टरों के अनुप्रयोगों को प्रदर्शित करने का अधिकांश श्रेय डी. हेविसाइड और पी.जी. टेट (1831-1901) को जाता है, जिन्होंने इस विषय में महत्वपूर्ण योगदान दिया।