गणितीय आविष्कार की गतिशील शक्ति तर्क नहीं, कल्पना है। — ए. डी मॉर्गन

11.1 परिचय

कक्षा XI में, जब हमने द्वि-आयामी विश्लेषणात्मक ज्यामिति और त्रि-आयामी ज्यामिति का परिचय पढ़ा, तब हमने केवल कार्तीय विधियों तक ही सीमित रखा। इस पुस्तक के पिछले अध्याय में हमने सदिशों की कुछ मूलभूत संकल्पनाओं का अध्ययन किया है। अब हम त्रि-आयामी ज्यामिति में सदिश बीजगणित का प्रयोग करेंगे। त्रि-आयामी ज्यामिति के इस दृष्टिकोण का उद्देश्य यह है कि यह अध्ययन को सरल और सुंदर बना देता है*।

इस अध्याय में हम दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा की दिक्-कोसाइनों और दिक्-अनुपातों का अध्ययन करेंगे तथा विभिन्न परिस्थितियों में अंतरिक्ष में रेखाओं और समतलों के समीकरणों पर भी चर्चा करेंगे, दो रेखाओं, दो समतलों, एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण, दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी और किसी बिंदु की समतल से दूरी। उपरोक्त अधिकांश परिणाम सदिश रूप में प्राप्त किए जाते हैं। फिर भी, हम इन परिणामों को कार्तीय रूप में भी अनूदित करेंगे जो कभी-कभी परिस्थिति की अधिक स्पष्ट ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक तस्वीर प्रस्तुत करता है।

लिऑनहार्ड ऑयलर $(\mathbf{1 7 0 7 - 1 7 8 3 })$

11.2 रेखा की दिक्-कोसाइनें और दिक्-अनुपात

अध्याय 10 से याद कीजिए कि यदि मूल बिंदु से गुज़रने वाली एक निर्देशित रेखा $L$, क्रमशः $x$, $y$ और $z$-अक्षों के साथ कोण $\alpha$, $\beta$ और $\gamma$ बनाती है, जिन्हें दिशा कोण कहा जाता है, तो इन कोणों की कोज्या, अर्थात् $\cos \alpha$, $\cos \beta$ और $\cos \gamma$ को निर्देशित रेखा $L$ की दिशा कोज्या कहा जाता है।

यदि हम $L$ की दिशा को उलट दें, तो दिशा कोण उनके पूरक कोणों, अर्थात् $\pi-\alpha$, $\pi-\beta$ और $\pi-\gamma$ से प्रतिस्थापित हो जाते हैं। इस प्रकार, दिशा कोज्या के चिह्न उलट जाते हैं।

चित्र 11.1

ध्यान दीजिए कि अंतरिक्ष में एक दी गई रेखा को दो विपरीत दिशाओं में बढ़ाया जा सकता है और इसलिए इसकी दो दिशा कोज्या समूह होते हैं। अंतरिक्ष में एक दी गई रेखा के लिए दिशा कोज्या का एक अद्वितीय समूह पाने के लिए, हमें दी गई रेखा को एक निर्देशित रेखा मानना होगा। इन अद्वितीय दिशा कोज्या को $l$, $m$ और $n$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

टिप्पणी यदि अंतरिक्ष में दी गई रेखा मूल बिंदु से नहीं गुज़रती है, तो उसकी दिशा कोज्या ज्ञात करने के लिए, हम मूल बिंदु से होकर दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा खींचते हैं। अब मूल बिंदु से एक निर्देशित रेखा लेते हैं और उसकी दिशा कोज्या ज्ञात करते हैं क्योंकि दो समानांतर रेखाओं का दिशा कोज्या समूह समान होता है।

किसी रेखा की दिक् कोज्याओं के समानुपाती कोई भी तीन संख्याएँ उस रेखा की दिक् अनुपात कहलाती हैं। यदि $l, m, n$ दिक् कोज्याएँ हों और $a, b, c$ किसी रेखा के दिक् अनुपात हों, तो $a=\lambda l, b=\lambda m$ और $c=\lambda n$, जहाँ कोई भी अशून्य $\lambda \in \mathbf{R}$ है।

टिप्पणी कुछ लेखक दिक् अनुपात को दिक् संख्याएँ भी कहते हैं।

मान लीजिए $a, b, c$ किसी रेखा के दिक् अनुपात हैं और $l, m$ तथा $n$ उस रेखा की दिक् कोज्याएँ (d.c.’s) हैं। तब

$$ \frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}=k \text{ (मान लीजिए), } k \text{ एक नियतांक है। } $$

इसलिए $ \qquad l=a k, m=b k, n=c k $

परंतु $ \qquad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 $

इसलिए $ \qquad k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=1 $

या $ \qquad k= \pm \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

अतः (1) से, रेखा की d.c.’s हैं $ \qquad l= \pm \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m= \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

जहाँ, $k$ के इच्छित चिह्न के अनुसार, $l, m$ और $n$ के लिए या तो धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न लिया जाता है। किसी भी रेखा के लिए, यदि $a, b, c$ उस रेखा के दिक् अनुपात हों, तो $k a, k b, k c ; k \neq 0$ भी दिक् अनुपातों का एक समुच्चय है। इसलिए, किसी रेखा के किन्हीं दो दिक् अनुपात समुच्चय भी समानुपाती होते हैं। साथ ही, किसी भी रेखा के अनंत दिक् अनुपात समुच्चय हो सकते हैं।

11.2.1 दो बिन्दुओं से होकर जाने वाली रेखा की दिक् कोज्याएँ

चूँकि दो दिए गए बिंदुओं से केवल एक ही रेखा गुजरती है, हम बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा की दिक् कोसाइनों को इस प्रकार निर्धारित कर सकते हैं (चित्र 11.2 (a))।

चित्र 11.2

मान लीजिए $l, m, n$ रेखा PQ की दिक् कोसाइनें हैं और यह क्रमशः $x, y$ और $z$-अक्षों के साथ कोण $\alpha, \beta$ और $\gamma$ बनाती है।

बिंदुओं $P$ और $Q$ से XY-तल पर लंब डालिए जो क्रमशः $R$ और $S$ पर मिलते हैं। बिंदु $P$ से $QS$ पर लंब डालिए जो $N$ पर मिलता है। अब, समकोण त्रिभुज $PNQ$ में, $\angle PQN=\gamma$ (चित्र 11.2 (b))।

$$ \begin{aligned} & \cos \gamma=\frac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{PQ}}=\frac{z _{2}-z _{1}}{\mathrm{PQ}} \ & \cos \alpha=\frac{x _{2}-x _{1}}{\mathrm{PQ}} \text { और } \cos \beta=\frac{y _{2}-y _{1}}{\mathrm{PQ}} \end{aligned} $$

इसलिए अतः, बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड की दिक् कोसाइनें हैं

$$ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $$

जहाँ $ \qquad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

टिप्पणी बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड की दिक् अनुपात इस प्रकार ली जा सकती हैं

$$ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \text{ या } x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 $$

उदाहरण 1 यदि कोई रेखा क्रमशः धनात्मक $x, y$ और $z$-अक्षों के साथ $90^{\circ}, 60^{\circ}$ और $30^{\circ}$ का कोण बनाती है, तो इसकी दिक् कोज्या ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए रेखा की दिक् कोज्याएँ $l, m, n$ हैं। तब $l=\cos 90^{\circ}=0, m=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, $n=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$।

उदाहरण 2 यदि किसी रेखा की दिक् अनुपात 2, - 1, - 2 हैं, तो इसकी दिक् कोज्या निर्धारित कीजिए।

हल दिक् कोज्याएँ हैं

$$ \frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} $$

या $\qquad \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}$

उदाहरण 3 दो बिंदुओं $(-2,4,-5)$ और $(1,2,3)$ से होकर जाने वाली रेखा की दिक् कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि दो बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ से होकर जाने वाली रेखा की दिक् कोज्याएँ दी जाती हैं

जहाँ $ \qquad \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

यहाँ $P$ है $(-2,4,-5)$ और $Q$ है $(1,2,3)$।

इसलिए $ \qquad P Q=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(2-4)^{2}+(3-(-5))^{2}}=\sqrt{77} $

इस प्रकार, दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा की दिक् कोज्याएँ हैं

$ \qquad \frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}} $

उदाहरण 4 $x, y$ और $z$-अक्षों की दिक् कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल $x$-अक्ष, $x, y$ और $z$-अक्ष के साथ क्रमशः $0^{\circ}, 90^{\circ}$ और $90^{\circ}$ के कोण बनाता है। इसलिए, $x$-अक्ष की दिक्-कोसाइनें $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ अर्थात् $1,0,0$ हैं। इसी प्रकार, $y$-अक्ष और $z$-अक्ष की दिक्-कोसाइनें क्रमशः $0,1,0$ और $0,0,1$ हैं।

उदाहरण 5 दिखाइए कि बिंदु A $(2,3,-4), B(1,-2,3)$ और $C(3,8,-11)$ संरेख हैं।

हल A और B को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात

$1-2,-2-3,3+4$ अर्थात् $-1,-5,7$ हैं।

B और C को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $3-1,8+2,-11-3$, अर्थात् $2,10,-14$ हैं।

यह स्पष्ट है कि $AB$ और $BC$ के दिक्-अनुपात समानुपाती हैं, इसलिए, $AB$, $BC$ के समांतर है। परंतु बिंदु $B$ दोनों $AB$ और $BC$ में उभयनिष्ठ है। इसलिए, $A, B, C$ संरेख बिंदु हैं।

11.3 अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण

हमने कक्षा XI में द्वि-आयामी रेखाओं के समीकरण का अध्ययन किया है, अब हम अंतरिक्ष में रेखा के सदिश और कार्तीय समीकरणों का अध्ययन करेंगे।

एक रेखा को विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है यदि

(i) वह एक दिए गए बिंदु से होकर गुजरती है और दी गई दिशा रखती है, या

(ii) वह दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरती है।

11.3.1 एक दिए गए बिंदु से होकर जाने वाली और $\vec{a}$ दी गई सदिश $\vec{b}$ के समांतर रेखा का समीकरण

माना आयताकार निर्देशांक तंत्र के मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष दिए गए बिंदु A का स्थिति सदिश $\vec{a}$ है। माना रेखा $l$ बिंदु A से होकर जाती है और दिए गए सदिश $\vec{b}$ के समानांतर है। माना रेखा पर एक स्वेच्छ बिंदु P का स्थिति सदिश $\vec{r}$ है (चित्र 11.3)।

तब $\overrightarrow{{}AP}$ सदिश $\vec{b}$ के समानांतर है, अर्थात् $\overrightarrow{{}AP}=\lambda \vec{b}$, जहाँ $\lambda$ कोई वास्तविक संख्या है।

परंतु $$ \overrightarrow{{}AP}=\overrightarrow{{}OP}-\overrightarrow{{}OA} $$

अर्थात् $$\lambda \vec{b}=\vec{r}-\vec{a}$$

विपरीततः, प्राचल $\lambda$ के प्रत्येक मान के लिए यह समीकरण रेखा पर बिंदु P का स्थिति सदिश देता है। अतः रेखा का सदिश समीकरण दिया गया है

$$ \begin{equation*} \vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \tag{1} \end{equation*} $$

टिप्पणी यदि $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$, तो $a, b, c$ रेखा की दिक् अनुपात हैं और विपरीततः, यदि $a, b, c$ किसी रेखा की दिक् अनुपात हैं, तो $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ रेखा के समानांतर होगा। यहाँ $b$ को $|\vec{b}|$ से भ्रमित नहीं होना चाहिए। सदिश रूप से कार्तीय रूप का व्युत्पन्न

माना दिए गए बिंदु A के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ हैं और रेखा की दिक् अनुपात $a, b, c$ हैं। माना किसी बिंदु P के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं। तब

$$ \overrightarrow{{}r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} ; \overrightarrow{{}a}=x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k} $$

और $$ \vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k} $$

इन मानों को (1) में प्रतिस्थापित करने और $\hat{i}, \hat{j}$ तथा $\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} x=x _{1}+\lambda a ; \quad y=y _{1}+\lambda b ;\quad z=z _{1}+\lambda c \tag{2} \end{equation*} $$

ये रेखा के प्राचलिक समीकरण हैं। (2) से प्राचल $\lambda$ को विलोपित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} \frac{x-x _{1}}{a}=\frac{y-y _{1}}{b}=\frac{z-z _{1}}{c} \tag{3} \end{equation*} $$

यह रेखा का कार्तीय समीकरण है।

टिप्पणी यदि $l, m, n$ रेखा की दिक्-कोज्याएँ हैं, तो रेखा का समीकरण है

$$ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $$

उदाहरण 6 बिंदु $(5,2,-4)$ से होकर जाने वाली और सदिश $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$ के समांतर रेखा के सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास

$$ \vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k} \text{ और } \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k} $$

इसलिए, रेखा का सदिश समीकरण है

$$ \vec{r}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) $$

अब, $\vec{r}$ रेखा पर स्थित किसी बिंदु $P(x, y, z)$ का स्थिति सदिश है।

इसलिए, $$\quad x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$$ $$ =(5+3 \lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(-4-8 \lambda) \hat{k} $$

$\lambda$ को समाप्त करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8} $$

जो कार्तesian रूप में रेखा का समीकरण है।

11.4 दो रेखाओं के बीच का कोण

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ दो रेखाएँ हैं जो मूल बिंदु से होकर गुजरती हैं और जिनकी दिशा अनुपात क्रमशः $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ हैं। मान लीजिए $P$, $L_1$ पर एक बिंदु है और $Q$, $L_2$ पर एक बिंदु है। निर्देशित रेखाओं $OP$ और $OQ$ पर विचार करें जैसा कि चित्र 11.6 में दिया गया है। मान लीजिए $\theta$, OP और OQ के बीच का न्यून कोण है। अब याद कीजिए कि निर्देशित रेखा खंड OP और OQ सदिश हैं जिनके घटक क्रमशः $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ हैं। इसलिए, उनके बीच का कोण $\theta$ दिया गया है $\cos \theta=\left|\frac{a _{1} a _{2}+b _{1} b _{2}+c _{1} c _{2}}{\sqrt{a _{1}^{2}+b _{1}^{2}+c _{1}^{2}} \sqrt{a _{2}^{2}+b _{2}^{2}+c _{2}^{2}}}\right|$ द्वारा

$\sin \theta$ के पदों में रेखाओं के बीच का कोण दिया गया है

$$ \begin{aligned} \sin \theta & =\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \ & =\sqrt{1-\frac{(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \ & =\frac{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})-(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}}{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})} \sqrt{(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \ & =\frac{\sqrt{(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}+(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}} \end{aligned} $$

नोट यदि रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ मूल बिंदु से नहीं गुजरती हैं, तो हम रेखाएँ $L_1^{\prime}$ और $L_2^{\prime}$ ले सकते हैं जो क्रमशः $L_1$ और $L_2$ के समांतर हैं और मूल बिंदु से गुजरती हैं।

यदि रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के लिए दिक् अनुपातों के बजाय दिक् कोज्याएँ दी गई हैं, अर्थात् $L_1$ के लिए $l_1, m_1, n_1$ और $L_2$ के लिए $l_2, m_2, n_2$, तो (1) और (2) निम्नलिखित रूप लेते हैं:

$$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| \quad(\text{ क्योंकि } l_1^{2}+m_1^{2}+n_1^{2}=1=l_2^{2}+m_2^{2}+n_2^{2}) $$

और $$ \sin \theta=\sqrt{(l_1 m_2-l_2 m_1)^{2}-(m_1 n_2-m_2 n_1)^{2}+(n_1 l_2-n_2 l_1)^{2}} $$

दिक् अनुपातों $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ वाली दो रेखाएँ

(i) लंबवत् हैं अर्थात् यदि $\theta=90^{\circ}$ है तो (1) से

$$ a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 $$

(ii) समांतर हैं अर्थात् यदि $\theta=0$ है तो (2) से

$$\frac{\boldsymbol{a} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{a} _{2}}=\frac{\boldsymbol{b} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{b} _{\mathbf{2}}}=\frac{\boldsymbol{c} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{c} _{2}}$$

अब, जब दो रेखाओं के समीकरण दिए गए हों तो हम उनके बीच का कोण निकालते हैं। यदि $\theta$ न्यून कोण है तो रेखाओं $\vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} _{1}$ और $\vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} _{2}$ के बीच का कोण कार्तesian रूप में, यदि $\theta$ रेखाओं के बीच का कोण है

तब $$ \begin{aligned} \cos \theta & =\left|\frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{\left|\vec{b}_1\right|\left|\vec{b}_2\right|}\right|
\end{aligned} $$

$$ \frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1} \tag{1} $$

और $$ \frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2} \tag{2} $$

जहाँ, $a_1, b _{1,} c_1$ और $a _{2,}, b_2, c_2$ क्रमशः रेखाओं (1) और (2) के दिक् अनुपात हैं, तब

$$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}| $$

उदाहरण 7 दी गई रेखा युगल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

$$ \vec{r}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) $$

और $$ \vec{r}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+\mu(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) $$

हल यहाँ $ \vec{b} _ {1}=\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k} $ और $ \vec{b} _ {2}=3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k} $

दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ दिया गया है

$$ \begin{aligned} \cos \theta & = |\frac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}| = |\frac{(\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k})}{\sqrt{1 + 4+ 4} \sqrt{9 + 4 + 36}}| \\ & =|\frac{3+4+12}{3 \times 7}|=\frac{19}{21} ) \end{aligned} $$

इसलिए $$ \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right) $$

उदाहरण 8 रेखाओं के युग्म के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

तथा $$ \begin{aligned} & \frac{x+3}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{4} \\ & \frac{x+1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2} \end{aligned} $$

हल प्रथम रेखा के दिक् अनुपात 3, 5, 4 हैं और द्वितीय रेखा के दिक् अनुपात $1,1,2$ हैं। यदि $\theta$ उनके बीच का कोण है, तब

$$ \cos \theta=|\frac{3.1+5.1+4.2}{\sqrt{3^{2}+5^{2}+4^{2}} \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}}|=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{6}}=\frac{16}{5 \sqrt{2} \sqrt{6}}=\frac{8 \sqrt{3}}{15} $$

इसलिए, अभीष्ट कोण $\cos ^{-1}(\frac{8 \sqrt{3}}{15})$ है।

11.5 दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी

यदि दो रेखाएँ अंतरिक्ष में किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनके बीच की न्यूनतम दूरी शून्य होती है। साथ ही, यदि दो रेखाएँ अंतरिक्ष में समांतर हैं, तो उनके बीच की न्यूनतम दूरी लंबवत् दूरी होगी, अर्थात् एक रेखा पर स्थित बिंदु से दूसरी रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई।

आगे, एक अंतरिक्ष में ऐसी रेखाएँ होती हैं जो न तो प्रतिच्छेद करती हैं और न ही समानांतर होती हैं। वास्तव में, ऐसी रेखाएँ समतलीय नहीं होती हैं और इन्हें विषम रेखाएँ कहा जाता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए हम एक कमरे को लेते हैं जिसका आकार 1, 3, 2 इकाई है

चित्र 11.5 क्रमशः $x, y$ और $z$-अक्षों के अनुदिश चित्र 11.5।

रेखा GE जो छत के विकर्ण में जाती है और रेखा DB जो छत के एक कोने से A के ठीक ऊपर होकर गुजरती है और दीवार के विकर्ण में नीचे जाती है। ये रेखाएँ विषम हैं क्योंकि ये न तो समानांतर हैं और न ही कभी मिलती हैं।

दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी से हमारा तात्पर्य है कि एक रेखा पर स्थित बिंदु को दूसरी रेखा पर स्थित बिंदु से इस प्रकार जोड़ा जाए कि प्राप्त रेखाखंड की लंबाई न्यूनतम हो। विषम रेखाओं के लिए, न्यूनतम दूरी की रेखा दोनों रेखाओं के लंबवत होगी।

11.5.1 दो विषम रेखाओं के बीच की दूरी

हम अब निम्नलिखित तरीके से दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी निर्धारित करते हैं: मान लीजिए $l_1$ और $l_2$ दो विषम रेखाएँ हैं जिनके समीकरण हैं (चित्र 11.6)

तथा $$ \vec{r} = \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1} \tag{1}$$ $$ \vec{r} = \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b} _ {2} \tag{2} $$

$l_{1}$ पर कोई बिंदु $ S $ लें जिसकी स्थिति सदिश $ \overrightarrow{{}a}_ {1} $ है और $l_{2}$ पर बिंदु $ T $, जिसकी स्थिति सदिश $ \overrightarrow{{}a}_ {2} $ है। तब लघुतम दूरी सदिश का परिमाण, ST का लघुतम दूरी की रेखा की दिशा में प्रक्षेप का परिमाण के बराबर होगा (देखें 10.6.2)।

यदि $\overrightarrow{{}PQ}$, $l_1$ और $l_2$ के बीच की लघुतम दूरी सदिश है, तो यह $ \vec{b} _1$ और $ \vec{b} _2$ दोनों पर लंबवत होने के कारण, $\overrightarrow{{}PQ}$ के अनुदिश इकाई सदिश $\hat{n}$ इस प्रकार होगी

चित्र 11.6

$$ \hat{n} = \frac{ \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|} \tag{3} $$

तब $$ \overrightarrow{{}PQ}=d \hat{n} $$

जहाँ, $d$ लघुतम दूरी सदिश का परिमाण है। मान लीजिए $\theta$, $\overrightarrow{{}ST}$ और $\overrightarrow{{}PQ}$ के बीच का कोण है। तब

पर $$ \begin{aligned} PQ & = ST|\cos \theta| \\ \cos \theta & = |\frac{\overrightarrow{{}PQ} \cdot \overrightarrow{{}ST}}{|\overrightarrow{{}PQ}||\overrightarrow{{}ST}|}| \\ & = |\frac{d \hat{n} \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{d ST}| \quad(\text{ चूंकि } \overrightarrow{{}ST}= \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1}) \\ & = |\frac{( \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{ST| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| \end{aligned} $$

अतः, अभीष्ट लघुतम दूरी है

या $$ \begin{aligned} & d = PQ = ST|\cos \theta| \\ & \boldsymbol{{}d} = |\frac{(\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2} \times \vec{a} _ {1})}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| \end{aligned} $$

कार्तesian रूप

तथा $$ l _{1}: \frac{x-x _{1}}{a _{1}}=\frac{y-y _{1}}{b _{1}}=\frac{z-z _{1}}{c _{1}} $$

तथा $$ l _{2}: \frac{x-x _{2}}{a _{2}}=\frac{y-y _{2}}{b _{2}}=\frac{z-z _{2}}{c _{2}} $$

$$ \frac{\left|\begin{array}{ccc} x _{2}-x _{1} & y _{2}-y _{1} & z _{2}-z _{1} \\ a _{1} & b _{1} & c _{1} \\ a _{2} & b _{2} & c _{2} \end{array}\right|}{\sqrt{\left(b _{1} c _{2}-b _{2} c _{1}\right)^{2}+\left(c _{1} a _{2}-c _{2} a _{1}\right)^{2}+\left(a _{1} b _{2}-a _{2} b _{1}\right)^{2}}} $$

11.5.2 समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी

यदि दो रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ समानांतर हैं, तो वे समतलीय हैं। माना रेखाएँ इस प्रकार दी गई हैं

$$ \begin{align*} & \vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} \tag{1}\\ & \vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} \tag{2} \end{align*} $$

जहाँ, $ \vec{a} _1$ बिंदु $S$ का स्थिति सदिश है जो $l_1$ पर स्थित है और $ \vec{a} _2$ बिंदु $T$ का स्थिति सदिश है जो $l_2$ पर स्थित है चित्र 11.7.

चूँकि $l_1, l_2$ समतलीय हैं, यदि $T$ से रेखा $l_1$ पर डाले गए लंब का पाद $P$ है, तो रेखाओं $l_1$ और $l_2$ के बीच की दूरी $=|TP|$ है।

माना $\theta$ सदिशों $\overrightarrow{{}ST}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है। तब

$$ \vec{b} \times \overrightarrow{{}ST}=(|\vec{b}||\overrightarrow{{}ST}| \sin \theta) \hat{n} \ldots \tag{3} $$

जहाँ $\hat{n}$ इकाई सदिश है जो रेखाओं $l_1$ और $l_2$ के समतल के लंबवत है।

लेकिन $$ \overrightarrow{{}ST} = \vec{a} _2 - \vec{a} _1 $$

इसलिए, (3) से, हमें प्राप्त होता है $$ \begin{matrix} & \quad \vec{b} \times ( \vec{a} _2 - \vec{a} _1) = \vec{b} , |PT| \hat{n} \quad (\text{चूंकि } PT = ST \sin \theta) \\ \text{अर्थात्,} & |\vec{b} \times ( \vec{a} _2 - \vec{a} _1)| = |\vec{b}| , |PT| \cdot 1 \quad (\text{क्योंकि } |\hat{n}| = 1) \end{matrix} $$

इसलिए, दी गई समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी

$$ d=|\overrightarrow{{}\mathbf{P T}}| = |\frac{\vec{b} \times(\vec{a} _ {2}-\vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}| $$

उदाहरण 9 रेखाओं $l_1$ और $l_2$ के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए जिनके सदिश समीकरण हैं

$$ \begin{aligned} & \vec{r} =\hat{i}+\hat{j}+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \\ \text{ और } \qquad& \vec{r} =2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}) \end{aligned} $$

हल (1) और (2) की तुलना क्रमशः $\vec{r} = \vec{a} _ {1} + \lambda \vec{b} _ {1} $ और $ \overrightarrow{{}r} = \overrightarrow{{}a} _ {2} + \mu \overrightarrow{{}b} _ {2} $ से करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & a _{1}=\hat{i}+\hat{j}, b _{1}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \ & a _{2}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \text { और } b _{2}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k} \end{aligned} $

इसलिए $\qquad a _{2}-a _{1}=\hat{i}-\hat{k}$

और $\qquad b _{1} \times b _{2}=(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \times(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k})$

$$ =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & -1 & 1 \ 3 & -5 & 2 \end{array}\right|=3 \hat{i}-\hat{j}-7 \hat{k} $$

इसलिए, $$ \left|b _{1} \times b _{2}\right|=\sqrt{9+1+49}=\sqrt{59} $$

अतः, दी गई रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी दी गई है

$$ d=|\frac{(\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}) \cdot(\overrightarrow{{}a}_ {2}-\overrightarrow{{}a}_ {1})}{|\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}|}|=\frac{|3-0+7|}{\sqrt{59}}=\frac{10}{\sqrt{59}} $$

उदाहरण 10 रेखाओं $l_1$ और $l_2$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जो दी गई हैं $$ \begin{aligned} & \vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \ \text{ और } \qquad& \vec{r}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \end{aligned} $$

हल दोनों रेखाएँ समानांतर हैं (क्यों?) हमारे पास

$$ \overrightarrow{{}a}_ {1}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}, \overrightarrow{{}a}_ {2}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k} \text{ और } \vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k} $$

इसलिए, रेखाओं के बीच की दूरी दी गई है

$$ \begin{aligned} & d =\left|\frac{\vec{b} \times( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}\right| =\left|\frac{ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 3 & 6 \ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} }{\sqrt{4+9+36}}\right| , \ &=\frac{|-9 \hat{i}+14 \hat{j}-4 \hat{k}|}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{293}}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{293}}{7} \ \end{aligned} $$

सारांश

• एक रेखा की दिक् कोसाइनें वे कोसाइन हैं जो रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों की धनात्मक दिशाओं के साथ बनाए गए कोणों के होते हैं।

• यदि $l, m, n$ एक रेखा की दिक् कोसाइनें हैं, तो $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$।

• दो बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ को मिलाने वाली रेखा की दिक् कोसाइनें

• $ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

हैं, जहाँ $PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

• $\Delta$ एक रेखा की दिक् अनुपात वे संख्याएँ हैं जो रेखा की दिक् कोसाइनों के समानुपाती होती हैं।
• यदि $l, m, n$ दिक् कोसाइनें हैं और $a, b, c$ एक रेखा के दिक् अनुपात हैं तो

$$ l=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} ; m=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} ; n=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $$

• तिरछी रेखाएँ (Skew lines) वे रेखाएँ होती हैं जो न तो समानांतर होती हैं और न ही काटती हैं। ये भिन्न-भिन्न समतलों में स्थित होती हैं।
• तिरछी रेखाओं के बीच का कोण वह कोण होता है जो किसी बिंदु (वरीयतः मूल बिंदु से) प्रत्येक तिरछी रेखा के समानांतर खींची गई दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच बनता है।
• यदि दो रेखाओं की दिक्-कोसाइनें क्रमशः $l_1, m_1, n_1$ और $l_2, m_2, n_2$ हैं; और $\theta$ दोनों रेखाओं के बीच का न्यून कोण है; तो

$$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| $$

यदि दो रेखाओं की दिक्-अनुपात क्रमशः $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ हैं और $\theta$ दोनों रेखाओं के बीच का न्यून कोण है; तो

$$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}| $$

• एक रेखा का सदिश समीकरण जो दिए गए बिंदु से गुजरती है जिसका स्थिति सदिश $\vec{a}$ है और दिए गए सदिश $\vec{b}$ के समानांतर है, $\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$ होता है।

• एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और दिक्-कोसाइनें $l, m, n$ वाली रेखा का समीकरण $ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $ होता है।

• एक रेखा का सदिश समीकरण जो दो बिंदुओं से गुजरती है जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं, $\vec{r}=\vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a})$ होता है।

• $\Delta$ यदि $\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1}$ और $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\lambda \vec{b} _ {2}$ के बीच का न्यून कोण $\theta$ है, तो $\cos \theta=|\frac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}|$

• $\checkmark$ यदि $\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}$ और $\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$

• दो रेखाओं के समीकरण हैं, तो दोनों रेखाओं के बीच का न्यून कोटि कोण $\cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2|$ द्वारा दिया जाता है।

• दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी वह रेखाखंड है जो दोनों रेखाओं पर लंबवत होता है।

• $\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1}$ और $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b} _ {2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी

$$ |\frac{( \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| $$

• रेखाओं: $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $ \frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2} \text{ के बीच की न्यूनतम दूरी } $

$$ \frac{ \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \ a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} }{\sqrt{(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}+(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}}} $$

समानांतर रेखाओं $\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b}$ और $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b}$ के बीच की दूरी

$$|\frac{\vec{b} \times( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}|$$