संभावनाओं का सिद्धांत केवल तर्कशास्त्र का मात्रात्मक रूप से व्यवहार किया गया विज्ञान है - सी.एस. पीयर्स

13.1 परिचय

पियरे डे फर्मा $(1601-1665)$

पिछली कक्षाओं में, हमने संभावना को एक यादृच्छिक प्रयोग की घटनाओं की अनिश्चितता के माप के रूप में अध्ययन किया है। हमने रूसी गणितज्ञ, ए.एन. कोलमोगोरोव (1903-1987) द्वारा निरूपित अभिग्रह दृष्टिकोण पर चर्चा की और संभावना को प्रयोग के परिणामों के एक फलन के रूप में माना। हमने समान रूप से संभावित परिणामों की स्थिति में अभिग्रह सिद्धांत और शास्त्रीय संभावना सिद्धांत के बीच समतुल्यता भी स्थापित की। इस संबंध के आधार पर, हमने विवृत नमूना स्थानों से संबद्ध घटनाओं की संभावनाएँ प्राप्त कीं। हमने संभावना का योग नियम भी अध्ययन किया है। इस अध्याय में, हम उस महत्वपूर्ण संकल्पना की चर्चा करेंगे जिसे सशर्त संभावना कहा जाता है, जिसमें एक घटना की संभावना तब ज्ञात की जाती है जब यह मान लिया गया हो कि एक अन्य घटना घटित हो चुकी है; यह बेयेस प्रमेय, संभावना के गुणा नियम और घटनाओं की स्वतंत्रता को समझने में सहायक होगा। हम एक महत्वपूर्ण संकल्पना यादृच्छिक चर और इसकी संभावना बंटन तथा संभावना बंटन के माध्य और प्रसरण के बारे में भी सीखेंगे। अध्याय के अंतिम भाग में, हम एक महत्वपूर्ण विवृत संभावना बंटन, जिसे द्विपद बंटन कहा जाता है, का अध्ययन करेंगे। पूरे अध्याय में, जब तक अन्यथा न कहा गया हो, हम उन प्रयोगों को लेंगे जिनके परिणाम समान रूप से संभावित हों।

13.2 सप्रतिबंध प्रायिकता

प्रायिकता में अब तक हमने घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात करने की विधियों की चर्चा की है। यदि हमारे पास एक ही प्रतिदर्श समष्टि से दो घटनाएँ हों, तो क्या एक घटना के घटित होने की सूचना दूसरी घटना की प्रायिकता को प्रभावित करती है? आइए इस प्रश्न का उत्तर एक यादृच्छिक प्रयोग लेकर देने का प्रयास करें, जिसमें परिणाम समान रूप से घटित होने की संभावना रखते हैं।

तीन निष्पक्ष सिक्कों को उछालने के प्रयोग पर विचार करें। प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि है

$$ \mathrm{S}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} $$

चूँकि सिक्के निष्पक्ष हैं, हम प्रत्येक प्रतिदर्श बिंदु को प्रायिकता $\frac{1}{8}$ प्रदान कर सकते हैं। मान लीजिए $E$ घटना ‘कम से कम दो चेहते आते हैं’ और $F$ घटना ‘पहला सिक्का पूँछ दिखाता है’ है। तब

$\mathrm{E}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\}$

तथा $\mathrm{F}=\{ \mathrm{THH, THT, TTH, TTT} \}$

इसलिए $$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{P}(\{\mathrm{HHH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HHT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} \text { (क्यों ?) } $$

तथा $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTT}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} $$

जहाँ $\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{\mathrm{THH}\}$

इसलिए $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})=\frac{1}{8}$

अब, मान लीजिए हमें दिया गया है कि पहला सिक्का पूंछ दिखाता है, अर्थात् F घटित होता है, तो E के घटित होने की प्रायिकता क्या है? F के घटित होने की सूचना के साथ, हमें यह यकीन है कि जिन परिणामों में पहला सिक्का पूंछ नहीं देता, उन्हें E की प्रायिकता निकालते समय विचार में नहीं लेना चाहिए। यह सूचना हमारे प्रतिदर्श समष्टि को समुच्चय S से इसके उपसमुच्चय F तक सीमित कर देती है। दूसरे शब्दों में, यह अतिरिक्त सूचना वास्तव में यह बताती है कि स्थिति को एक नए यादृच्छिक प्रयोग के रूप में माना जा सकता है जिसका प्रतिदर्श समष्टि केवल उन्हीं परिणामों से बना है जो घटना F के अनुकूल हैं।

अब, F का वह प्रतिदर्श बिंदु जो घटना E के अनुकूल है, THH है।

इस प्रकार, F को प्रतिदर्श समष्टि मानते हुए E की प्रायिकता $=\frac{1}{4}$,

या $\quad$ यह मानते हुए कि घटना F घटित हो चुकी है, E की प्रायिकता $=\frac{1}{4}$

घटना E की यह प्रायिकता, यह मानते हुए कि F पहले ही घटित हो चुकी है, को सप्रतिबंध प्रायिकता कहा जाता है और इसे $P(E \mid F)$ द्वारा दर्शाया जाता है।

इस प्रकार $\quad P(E \mid F)=\frac{1}{4}$

ध्यान दें कि F के वे अवयव जो घटना E के अनुकूल हैं, वे E और F के उभयनिष्ठ अवयव हैं, अर्थात् $E \cap F$ के प्रतिदर्श बिंदु।

इस प्रकार, हम यह मानते हुए कि F घटित हो चुकी है, E की सप्रतिबंध प्रायिकता को इस प्रकार भी लिख सकते हैं

$$ \begin{aligned} P(E \mid F) & =\frac{\text{ प्रारंभिक घटनाएँ जो } E \cap F \text{ के अनुकूल हैं }}{\text{ प्रारंभिक घटनाएँ जो } F \text{ के अनुकूल हैं }} \ & =\frac{n(E \cap F)}{n(F)} \end{aligned} $$

अंश और हर को प्रतिदर्श समष्टि की कुल प्रारंभिक घटनाओं से भाग देने पर, हम देखते हैं कि $P(EIF)$ को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

$$ P(E \mid F)=\frac{\frac{n(E \cap F)}{n(S)}}{\frac{n(F)}{n(S)}}=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \tag{1} $$

टिप्पणी (1) तभी वैध है जब $P(F) \neq 0$ अर्थात् $F \neq \phi$ (क्यों?) इस प्रकार, हम सशर्त प्रायिकता को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं :

परिभाषा 1 यदि $E$ और $F$ किसी यादृच्छिक प्रयोग के एक ही प्रतिदर्श समष्टि से संबद्ध दो घटनाएँ हैं, तो घटना $E$ की सशर्त प्रायिकता, यह दिया गया है कि $F$ घटित हो चुकी है, अर्थात् $P(E \mid F)$ इस प्रकार दी जाती है

$$ P(EIF)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \text{ बशर्ते } P(F) \neq 0 $$

13.2.1 सशर्त प्रायिकता के गुण

मान लीजिए $E$ और $F$ किसी प्रयोग के प्रतिदर्श समष्टि $S$ की घटनाएँ हैं, तब हमारे पास है

गुण $1 P(S \mid F)=P(F \mid F)=1$

हम जानते हैं कि $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=1 $$

इस प्रकार $$ P(F \mid F)=\frac{P(F \cap F)}{P(F)}=\frac{P(F)}{P(F)}=1 $$

या $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{F})=1 $$

गुण 2 यदि $A$ और $B$ किसी प्रतिदर्श समष्टि $S$ की कोई दो घटनाएँ हैं और $F$, $S$ की ऐसी घटना है कि $P(F) \neq 0$, तो

$$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) $$

विशेषतः, यदि $A$ और $B$ असंयुक्त घटनाएँ हैं, तो

हम पाते हैं $$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) $$

हम जानते हैं $$ \begin{aligned} P((A \cup B) \mid F) & =\frac{P[(A \cup B) \cap F]}{P(F)} \ & =\frac{P[(A \cap F) \cup(B \cap F)]}{P(F)} \end{aligned} $$

(समुच्चयों के संघ का प्रतिच्छेदन पर वितरण नियम द्वारा)

$$ \begin{aligned} & =\frac{P(A \cap F)+P(B \cap F)-P(A \cap B \cap F)}{P(F)} \ & =\frac{P(A \cap F)}{P(F)}+\frac{P(B \cap F)}{P(F)}-\frac{P[(A \cap B) \cap F]}{P(F)} \ & =P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) \end{aligned} $$

जब $A$ और $B$ असंयुक्त घटनाएँ हैं, तब

$$ \begin{matrix}
& P((A \cap B) \mid F)=0 \ \Rightarrow \quad & P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) \end{matrix} $$

जब $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ असंयुक्त घटनाएँ हैं, तब $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid F)+\mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{F})$

गुण $3 P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F)$

गुण 1 से, हम जानते हैं कि $P(SIF)=1$

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & P(E \cup E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ क्योंकि } S=E \cup E^{\prime} \\ \Rightarrow & P(E \mid F)+P(E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ क्योंकि } E \text{ और } E^{\prime} \text{ विसंयुक्त घटनाएँ हैं } \\ \text{ इस प्रकार, } & P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F) & \end{matrix} $$

आइए अब कुछ उदाहरण लें।

उदाहरण 1 यदि $P(A)=\frac{7}{13}, P(B)=\frac{9}{13}$ और $P(A \cap B)=\frac{4}{13}$, तो $P(A \mid B)$ का मान निकालिए।

हल हमारे पास $P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}}=\frac{4}{9}$

उदाहरण 2 एक परिवार में दो बच्चे हैं। क्या प्रायिकता है कि दोनों बच्चे लड़के हों, यदि यह दिया गया है कि कम से कम एक लड़का है?

हल माना $b$ लड़के के लिए और $g$ लड़की के लिए है। प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि है

$$ S=\{(b, b),(g, b),(b, g),(g, g)\} $$

माना $E$ और $F$ निम्नलिखित घटनाओं को दर्शाते हैं :

E : ‘दोनों बच्चे लड़के हैं’

$F$ : ‘कम से कम एक बच्चा लड़का है’

तब $$E=\{(b, b)\} और F=\{(b, b),(g, b),(b, g)\}$$

अब $$E \cap F=\{(b, b)\}$$

इस प्रकार $$ P(F)=\frac{3}{4} \text{ और } P(E \cap F)=\frac{1}{4} $$

अतः $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3} $$

उदाहरण 3 दस कार्ड, जिन पर 1 से 10 तक संख्याएँ अंकित हैं, एक बॉक्स में रखे गए हैं, उन्हें अच्छी तरह मिलाया गया और फिर एक कार्ड यादृच्छिक रूप से निकाला गया। यदि यह ज्ञात है कि निकाले गए कार्ड पर संख्या 3 से अधिक है, तो क्या प्रायिकता है कि वह एक सम संख्या है?

हल मान लीजिए A घटना है ‘निकाले गए कार्ड पर संख्या सम है’ और B घटना है ‘निकाले गए कार्ड पर संख्या 3 से बड़ी है’। हमें $P(A|B)$ ज्ञात करना है।

अब, प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि है $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

तब $$ A=\{2,4,6,8,10\}, B=\{4,5,6,7,8,9,10\} $$

और $$ A \cap B=\{4,6,8,10\} $$

साथ ही $$ P(A)=\frac{5}{10}, P(B)=\frac{7}{10} \text{ और } P(A \cap B)=\frac{4}{10} $$

$$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{10}}{\frac{7}{10}}=\frac{4}{7} $$

उदाहरण 4 एक स्कूल में 1000 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 430 लड़कियाँ हैं। यह ज्ञात है कि 430 में से 10\% लड़कियाँ कक्षा XII में पढ़ती हैं। यदि एक विद्यार्थी को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और वह लड़की है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह कक्षा XII में पढ़ती है?

हल मान लीजिए E घटना है कि एक यादृच्छिक रूप से चुना गया विद्यार्थी कक्षा XII में पढ़ता है और $F$ घटना है कि यादृच्छिक रूप से चुना गया विद्यार्थी लड़की है। हमें $P(E|F)$ ज्ञात करना है।

अब $\quad P(F)=\frac{430}{1000}=0.43$ और $P(E \cap F)=\frac{43}{1000}=0.043$(क्यों?)

तब $$\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{0.043}{0.43}=0.1$$

उदाहरण 5 एक पासे को तीन बार फेंका जाता है। घटनाएँ A और B इस प्रकार परिभाषित हैं:

A : तीसरी बार 4 आना

B : पहली बार 6 और दूसरी बार 5 आना

घटना A की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, दिया गया है कि B पहले ही घटित हो चुकी है।

हल प्रतिदर्श समष्टि में 216 परिणाम हैं।

अब

$\mathrm{A} =\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} (1,1,4) & (1,2,4) & \ldots & (1,6,4) & (2,1,4)& (2,2,4)& \ldots & (2,6,4) \\
(3,1,4) & (3,2,4) &\ldots & (3,6,4)& (4,1,4)& (4,2,4) &\ldots &(4,6,4) \\ (5,1,4) & (5,2,4) & \ldots & (5,6,4)& (6,1,4)&(6,2,4)& \ldots &(6,6,4) \\ \end{array}\right\rbrace $

$$ \begin{aligned} & B=\{(6,5,1),(6,5,2),(6,5,3),(6,5,4),(6,5,5),(6,5,6)\} \end{aligned} $$

तथा $$ A \cap B=\{(6,5,4)\} . $$

अब $$ P(B)=\frac{6}{216} \text{ और } P(A \cap B)=\frac{1}{216} $$

तब $$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{6}{216}}=\frac{1}{6} $$

उदाहरण 6 एक पासा दो बार फेंका गया और प्रकट संख्याओं का योग 6 देखा गया। सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है कि संख्या 4 कम-से-कम एक बार प्रकट हुई है?

हल मान लीजिए $E$ वह घटना है कि ‘संख्या 4 कम-से-कम एक बार प्रकट होती है’ और $F$ वह घटना है कि ‘प्रकट संख्याओं का योग 6 है’।

तब, $$ \begin{aligned} & E=\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2,4),(3,4),(5,4),(6,4)\} \\ & F=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\} \end{aligned} $$

तथा हमारे पास $$ P(E)=\frac{11}{36} \text{ और } P(F)=\frac{5}{36} $$

साथ ही $$ E \cap F=\{(2,4),(4,2)\} $$

इसलिए $$ P(E \cap F)=\frac{2}{36} $$

अतः, अभीष्ट प्रायिकता $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{5}{36}}=\frac{2}{5} $$

ऊपर चर्चा की गई सशर्त प्रायिकता के लिए, हमने प्रयोग की प्रारंभिक घटनाओं को समप्रायिक माना है और घटना की प्रायिकता के संगत परिभाषा का प्रयोग किया गया है। तथापि, यही परिभाषा सामान्य स्थिति में भी प्रयोग की जा सकती है जहाँ प्रतिदर्श समष्टि की प्रारंभिक घटनाएँ समप्रायिक नहीं हैं, प्रायिकताएँ $P(E \cap F)$ और $P(F)$ तदनुसार परिकलित की जाती हैं। आइए निम्नलिखित उदाहरण लें।

उदाहरण 7 एक सिक्के को उछालने के प्रयोग पर विचार करें। यदि सिक्का चित दिखाता है, तो उसे पुनः उछालें, किन्तु यदि वह पट दिखाता है, तो एक पासा फेंकें। उस घटना की सशर्त प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ‘पासे पर 4 से बड़ी संख्या आती है’ यह दिया गया है कि ‘कम-से-कम एक पट है’।

हल प्रयोग के परिणामों को निम्नलिखित आरेखीय विधि द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है जिसे ‘वृक्ष आरेख’ कहा जाता है।

प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टा को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है

$ S=\{(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} $

जहाँ $(H, H)$ दर्शाता है कि दोनों उछालों में चित आया और $(T, i)$ दर्शाता है कि प्रथम उछाल में पट आया और पासे पर संख्या $i$ आई जहाँ $i=1,2,3,4,5,6$। इस प्रकार, 8 प्रारंभिक घटनाओं को निर्धारित प्रायिकताएँ

$(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3)(T, 4),(T, 5),(T, 6)$ क्रमशः $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}$ हैं

जो कि आकृति 13.2 से स्पष्ट है।

मान लीजिए $F$ वह घटना है कि ‘कम से कम एक पूंछ है’ और $E$ वह घटना है ‘पासा 4 से बड़ी संख्या दिखाता है’।

तब $$ \begin{aligned} & F=\{(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} \\ & E=\{(T, 5),(T, 6)\} \text{ और } E \cap F=\{(T, 5),(T, 6)\} \end{aligned} $$

अब $$ \begin{aligned} P(F)= & P(\{(H, T)\})+P(\{(T, 1)\})+P(\{(T, 2)\})+P(\{(T, 3)\}) \\ & +P(\{(T, 4)\})+P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\}) \\ = & \frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4} \end{aligned} $$

और $\quad P(E \cap F)=P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\})=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$

इसलिए $\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{9}$

13.3 प्रायिकता पर गुणन प्रमेय

मान लीजिए $E$ और $F$ एक प्रतिदर्श समष्टि $S$ से संबद्ध दो घटनाएँ हैं। स्पष्टतः, समुच्चय $E \cap F$ वह घटना दर्शाता है कि $E$ और $F$ दोनों घटित हो चुकी हैं। दूसरे शब्दों में, $E \cap F$ घटनाओं $E$ और $F$ की एक साथ घटित होने को दर्शाता है। घटना $E \cap F$ को $EF$ भी लिखा जाता है।

अक्सर हमें घटना EF की प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, एक के बाद एक दो पत्ते खींचने के प्रयोग में हम ‘एक बादशाह और एक बेगम’ घटना की प्रायिकता ज्ञात करने में रुचि रख सकते हैं। घटना EF की प्रायिकता नीचे प्राप्त की गई सप्रतिबंध प्रायिकता का उपयोग करके प्राप्त की जाती है:

हम जानते हैं कि घटना F के घटित होने की दशा में घटना E की सप्रतिबंध प्रायिकता को P(E ∣ F) द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे

$$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}, P(F) \neq 0 $$

द्वारा दिया जाता है।

इस परिणाम से, हम लिख सकते हैं

$$ P(E \cap F)=P(F) . P(E \mid F) \tag{1} $$

इसके अतिरिक्त, हम जानते हैं कि

$$ \begin{aligned} & P(F \mid E)=\frac{P(F \cap E)}{P(E)}, P(E) \neq 0 \\ & P(F \mid E)=\frac{P(E \cap F)}{P(E)}(\text{ क्योंकि } E \cap F=F \cap E) \end{aligned} $$

इस प्रकार, $$ P(E \cap F)=P(E) . P(F \mid E) \tag{2} $$

(1) और (2) को मिलाकर, हम पाते हैं कि

$$ \begin{aligned} P(E \cap F) & =P(E) P(F \mid E) \\ & =P(F) P(E \mid F) \text{ बशर्ते } P(E) \neq 0 \text{ और } P(F) \neq 0 . \end{aligned} $$

उपर्युक्त परिणाम को प्रायिकता का गुणन नियम कहा जाता है।

अब हम एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 8 एक पात्र में 10 काली और 5 सफेद गेंदें हैं। पात्र से एक के बाद एक दो गेंदें बिना प्रतिस्थापना के निकाली जाती हैं। क्या प्रायिकता है कि दोनों निकाली गई गेंदें काली हैं?

हल मान लीजिए E और F क्रमशः वे घटनाएँ हैं कि पहली और दूसरी निकाली गई गेंद काली है। हमें P(E ∩ F) या P(EF) ज्ञात करना है।

अब $$ P(E)=P(\text{ पहले ड्रॉ में काली गेंद })=\frac{10}{15} $$

यह भी दिया गया है कि पहली ड्रॉ हुई गेंद काली है, अर्थात् घटना $E$ घटित हो चुकी है, अब पात्र में 9 काली गेंदें और पाँच सफेद गेंदें शेष हैं। इसलिए, यह प्रायिकता कि दूसरी ड्रॉ हुई गेंद काली है, यह दिया हुआ है कि पहली ड्रॉ हुई गेंद काली है, कुछ और नहीं बल्कि $F$ की सप्रतिबंध प्रायिकता है जबकि $E$ घटित हो चुकी है।

अर्थात् $$ P(F \mid E)=\frac{9}{14} $$

प्रायिकता के गुणन नियम से, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}) & =\mathrm{P}(\mathrm{E}) \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E})=\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G} \mid \mathrm{EF}) \\ & =\frac{10}{15} \times \frac{9}{14}=\frac{3}{7} \end{aligned} $$

दो से अधिक घटनाओं के लिए प्रायिकता का गुणन नियम यदि $E, F$ और $G$ प्रतिदर्श समष्टि की तीन घटनाएँ हैं, तो हमें प्राप्त होता है

$$ P(E \cap F \cap G)=P(E) P(F \mid E) P(G \mid(E \cap F))=P(E) P(F \mid E) P(G \mid E F) $$

इसी प्रकार, प्रायिकता का गुणन नियम चार या अधिक घटनाओं तक बढ़ाया जा सकता है।

निम्नलिखित उदाहरण तीन घटनाओं के लिए प्रायिकता के गुणन नियम के विस्तार को दर्शाता है।

उदाहरण 9 तीन पत्ते क्रमशः बिना प्रतिस्थापना के 52 अच्छी तरह से फेंटे गए पत्तों की गड्डी से निकाले गए। प्रायिकता क्या है कि पहले दो पत्ते बादशाह हैं और तीसरा निकाला गया पत्ता इक्का है?

हल माना K वह घटना है कि निकाला गया पत्ता बादशाह है और A वह घटना है कि निकाला गया पत्ता इक्का है। स्पष्ट है कि हमें P (KKA) ज्ञात करना है।

अब $$ P(K)=\frac{4}{52} $$

साथ ही, $P(K \mid K)$ दूसरे बादशाह की प्रायिकता है जबकि शर्त यह है कि एक बादशाह पहले ही निकाला जा चुका है। अब 51 पत्तों में से $(52-1)=51$ पत्तों में तीन बादशाह हैं।

इसलिए $$ P(K \mid K)=\frac{3}{51} $$

अंत में, $P(A \mid KK)$ तीसरे निकाले गए पत्ते के इक्का होने की प्रायिकता है जबकि शर्त यह है कि दो बादशाह पहले ही निकाले जा चुके हैं। अब बचे हुए 50 पत्तों में चार इक्के हैं।

इसलिए $$ P(A \mid KK)=\frac{4}{50} $$

प्रायिकता के गुणन नियम से, हम पाते हैं

$$ \begin{aligned} P(KKA) & =P(K) \quad P(K \mid K) \quad P(A \mid KK) \\ & =\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{4}{50}=\frac{2}{5525} \end{aligned} $$

13.4 स्वतंत्र घटनाएँ

52 ताश के पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकालने के प्रयोग पर विचार कीजिए, जिसमें प्राथमिक घटनाएँ समान रूप से संभावित मानी जाती हैं। यदि E और F क्रमशः घटनाएँ ‘निकाला गया पत्ता हुकुम का है’ और ‘निकाला गया पत्ता इक्का है’ को निरूपित करती हैं, तो

$$ P(E)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4} \text{ और } P(F)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13} $$

साथ ही $E$ और $F$ घटना ‘निकाला गया पत्ता हुकुम का इक्का है’ को निरूपित करती है ताकि

इसलिए $$ \begin{aligned} & P(E \cap F)=\frac{1}{52} \\ & P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{52}}{\frac{1}{13}}=\frac{1}{4} \end{aligned} $$

चूँकि
$P(E)=\frac{1}{4}=P(E \mid F)$, हम कह सकते हैं कि घटना $F$ के घटित होने से घटना $E$ की प्रायिकता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ा है।

हमें यह भी मिलता है
$$ P(F \mid E)=\frac{P(E \cap F)}{P(E)}=\frac{\frac{1}{52}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{13}=P(F) $$

पुनः, $P(F)=\frac{1}{13}=P(F \mid E)$ दर्शाता है कि घटना $E$ के घटित होने से घटना $F$ की प्रायिकता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ा है।

इस प्रकार, $E$ और $F$ दो ऐसी घटनाएँ हैं जिनमें से किसी एक की घटित होने की प्रायिकता दूसरे की घटित होने से प्रभावित नहीं होती।

इस प्रकार की घटनाओं को स्वतंत्र घटनाएँ कहा जाता है।

परिभाषा 2 दो घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र कही जाती हैं, यदि

$$ \begin{aligned} & P(F \mid E)=P(F) \text{ बशर्ते } P(E) \neq 0 \\ & P(E \mid F)=P(E) \text{ बशर्ते } P(F) \neq 0 \end{aligned} $$

और
इस प्रकार, इस परिभाषा में हमें $P(E) \neq 0$ और $P(F) \neq 0$ होना चाहिए

अब, प्रायिकता के गुणन नियम से, हमें मिलता है

$$ P(E \cap F)=P(E) \cdot P(F \mid E) \tag{1} $$

यदि $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं, तो (1) बन जाता है

$$ P(E \cap F)=P(E) \cdot P(F) \tag{2} $$

इस प्रकार, (2) का प्रयोग करते हुए, दो घटनाओं की स्वतंत्रता को इस प्रकार भी परिभाषित किया जाता है:

परिभाषा 3 मान लीजिए $E$ और $F$ एक ही यादृच्छिक प्रयोग से सम्बद्ध दो घटनाएँ हैं, तब $E$ और $F$ स्वतंत्र कही जाती हैं यदि

$$ P(E \cap F)=P(E) . P(F) $$

टिप्पणियाँ

(i) दो घटनाएँ $E$ और $F$ आश्रित कही जाती हैं यदि वे स्वतंत्र नहीं हैं, अर्थात् यदि
$ P(E \cap F) \neq P(E) . P(F) $

(ii) कभी-कभी स्वतंत्र घटनाओं और परस्पर अपवर्जी घटनाओं के बीच भ्रम होता है। ‘स्वतंत्र’ शब्द को ‘घटनाओं की प्रायिकता’ के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जबकि परस्पर अपवर्जी को घटनाओं (प्रतिदर्श समष्टि के उपसमुच्चय) के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। इसके अतिरिक्त, परस्पर अपवर्जी घटनाओं में कभी भी कोई उभयनिष्ठ परिणाम नहीं होता, लेकिन स्वतंत्र घटनाओं में उभयनिष्ठ परिणाम हो सकता है। स्पष्ट रूप से, ‘स्वतंत्र’ और ‘परस्पर अपवर्जी’ का एक ही अर्थ नहीं होता है।

दूसरे शब्दों में, दो स्वतंत्र घटनाएँ जिनकी घटित होने की प्रायिकता शून्येतर है, परस्पर अपवर्जी नहीं हो सकतीं, और इसका विपरीत भी सत्य है, अर्थात् दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ जिनकी घटित होने की प्रायिकता शून्येतर है, स्वतंत्र नहीं हो सकतीं।

(iii) दो प्रयोगों को स्वतंत्र कहा जाता है यदि हर घटना युग्म $E$ और $F$ के लिए, जहाँ $E$ पहले प्रयोग से संबद्ध है और $F$ दूसरे प्रयोग से संबद्ध है, दोनों प्रयोगों को एक साथ करने पर घटनाओं $E$ और $F$ के एक साथ घटित होने की प्रायिकता, दोनों प्रयोगों के आधार पर अलग-अलग परिकलित $P(E)$ और $P(F)$ का गुणनफल होती है, अर्थात् $P(E \cap F)=P(E)$। $P(F)$

(iv) तीन घटनाएँ A, B और C परस्पर स्वतंत्र कही जाती हैं, यदि

$$ \begin{aligned} P(A \cap B) & =P(A) P(B) \ P(A \cap C) & =P(A) P(C) \ P(B \cap C) & =P(B) P(C) \end{aligned} $$

$$ \text{ और } \quad P(A \cap B \cap C)=P(A) P(B) P(C) $$

यदि उपरोक्त में से कम से कम एक तीन दी गई घटनाओं के लिए सत्य नहीं है, तो हम कहते हैं कि घटनाएँ स्वतंत्र नहीं हैं।

उदाहरण 10 एक पासा फेंका गया। यदि E घटना ‘आने वाली संख्या 3 का गुणज है’ और F घटना ‘आने वाली संख्या सम है’ है, तो ज्ञात कीजिए कि क्या E और F स्वतंत्र हैं?

हल हम जानते हैं कि प्रतिदर्श समष्टि S = {1,2,3,4,5,6} है

अब $$ E = {3,6}, F = {2,4,6} \text{ और } E \cap F = {6} $$

तब $$ P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, P(F) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \text{ और } P(E \cap F) = \frac{1}{6} $$

स्पष्टतः $$ P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) $$

अतः E और F स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

उदाहरण 11 एक अनभिनत पासे को दो बार फेंका गया। मान लीजिए घटना A ‘पहली बार विषम संख्या’ और B घटना ‘दूसरी बार विषम संख्या’ है। घटनाओं A और B की स्वतंत्रता की जाँच कीजिए।

हल यदि प्रयोग के सभी 36 प्राथमिक घटनाओं को समप्रायिक माना जाए, तो हमारे पास

साथ ही $$ P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \text{ और } P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} $$

$$ P(A \cap B) = P(\text{दोनों बार विषम संख्या}) $$

$$ = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} $$

अब $$ P(A) P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$

स्पष्टतः $$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$

इस प्रकार, A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

उदाहरण 12 तीन सिक्के एक साथ उछाले गए। घटना E ‘तीन सिर या तीन पूंछ’, F ‘कम से कम दो सिर’ और G ‘अधिकतम दो सिर’ पर विचार कीजिए। युगलों (E,F), (E,G) और (F,G) में से कौन-कौन स्वतंत्र हैं? कौन-कौन आश्रित हैं?

हल प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि निम्नलिखित है

$$ S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $$

स्पष्ट रूप से $\quad E=\{HHH, TTT\}, F=\{HHH, HHT, HTH, THH\}$

तथा $$ G=\{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $$

साथ ही $E \cap F=\{HHH\}, E \cap G=\{TTT\}, F \cap G=\{HHT, HTH, THH\}$

इसलिए $$ \begin{array}{r} \mathrm{P}(\mathrm{E})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}, \mathrm{P}(\mathrm{F})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, \mathrm{P}(\mathrm{G})=\frac{7}{8} \\ \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\frac{1}{8}, \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{G})=\frac{1}{8}, \mathrm{P}(\mathrm{F} \cap \mathrm{G})=\frac{3}{8} \end{array} $$

साथ ही $$ P(E) \cdot P(F)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}, P(E) \cdot P(G)=\frac{1}{4} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{32} $$ $$ P(F) \cdot P(G)=\frac{1}{2} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{16} $$

इस प्रकार $$ P(E \cap F)=P(E) \cdot P(F) $$

$$ P(E \cap G) \neq P(E) \cdot P(G) $$

तथा $$ P(F \cap G) \neq P(F) . P(G) $$

अतः, घटनाएँ ( $E$ और $F$ ) स्वतंत्र हैं, और घटनाएँ $(E$ और $G)$ तथा $(F$ और $G)$ आश्रित हैं।

उदाहरण 13 सिद्ध कीजिए कि यदि $E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो घटनाएँ $E$ और $F^{\prime}$ भी स्वतंत्र हैं।

हल चूँकि $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं, हमारे पास है

$$ P(E \cap F)=P(E) . P(F) \tag{1} $$

आकृति 13.3 में वेन आरेख से यह स्पष्ट है कि $E \cap F$ और $E \cap F^{\prime}$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं और साथ ही $E=(E \cap F) \cup(E \cap F^{\prime})$।

इसलिए $$ P(E)=P(E \cap F)+P(E \cap F^{\prime}) $$

$$ \begin{aligned} P(E \cap F^{\prime})= & P(E)-P(E \cap F) \ = & P(E)-P(E) \cdot P(F) \ & (\text{ by }(1)) \ \text{ or } \qquad= & P(E)(1-P(F)) \ = & P(E) \cdot P(F^{\prime}) \end{aligned} $$

आकृति 13.3

इसलिए, $E$ और $F^{\prime}$ स्वतंत्र हैं

टिप्पणी इसी प्रकार से, यह दिखाया जा सकता है कि यदि घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं, तो

(a) $E^{\prime}$ और $F$ स्वतंत्र हैं,

(b) $E^{\prime}$ और $F^{\prime}$ स्वतंत्र हैं

उदाहरण 14 यदि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो $A$ और $B$ में से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता $1-P(A^{\prime}) P(B^{\prime})$ द्वारा दी जाती है

हल हमारे पास

$$ \begin{aligned} & P(\text{ at least one of } A \text{ and } B)=P(A \cup B) \ &=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \ &=P(A)+P(B)-P(A) P(B) \ &=P(A)+P(B)[1-P(A)] \ &=P(A)+P(B) . P(A^{\prime}) \ &=1-P(A^{\prime})+P(B) P(A^{\prime}) \ &=1-P(A^{\prime})[1-P(B)] \ &=1-P(A^{\prime}) P(B^{\prime}) \ & \text{ } \end{aligned} $$

13.5 बेयज़ प्रमेय

मान लीजिए कि दो थैलियाँ I और II हैं। थैली I में 2 सफेद और 3 लाल गेंदें हैं और थैली II में 4 सफेद और 5 लाल गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छया दोनों में से किसी एक थैली से निकाली जाती है। हम किसी थैले के चयन की प्रायिकता (अर्थात् $\frac{1}{2}$) या किसी विशेष थैले (मान लीजिए थैली I) से किसी विशेष रंग (मान लीजिए सफेद) की गेंद निकालने की प्रायिकता ज्ञात कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, यदि यह दिया गया हो कि गेंद किस थैले से निकाली गई है, तो हम यह ज्ञात कर सकते हैं कि निकाली गई गेंद किस रंग की है। पर क्या हम यह ज्ञात कर सकते हैं कि गेंद किस थैले से निकाली गई है (मान लीजिए थैली II), यदि निकाली गई गेंद का रंग दिया गया हो? यहाँ हमें उल्टी प्रायिकता ज्ञात करनी है—कि घटना घटित होने के पश्चात थैली II के चयन की प्रायिकता क्या है—जब घटना घटित हो चुकी है। प्रसिद्ध गणितज्ञ जॉन बेज़ ने सशर्त प्रायिकता का प्रयोग करके इस उल्टी प्रायिकता की समस्या का समाधान किया। उनके द्वारा विकसित सूत्र को ‘बेज़ प्रमेय’ कहा जाता है, जिसे उनकी मृत्यु के पश्चात 1763 में प्रकाशित किया गया। बेज़ प्रमेय को कथन और प्रमाण से पहले आइए एक परिभाषा और कुछ प्रारंभिक परिणाम लें।

13.5.1 प्रतिदर्श समष्टि का विभाजन

घटनाओं का एक समुच्चय $E_1, E_2, \ldots, E_n$ प्रतिदर्श समष्टि $S$ का एक विभाजन कहलाता है यदि

(a) $E_i \cap E_j=\phi, i \neq j, i, j=1,2,3, \ldots, n$

(b) $E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n=S$ और

(c) $P(E_i)>0$ सभी $i=1,2, \ldots, n$ के लिए।

दूसरे शब्दों में, घटनाएँ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ नमूना समष्टि $S$ का एक विभाजन निरूपित करती हैं यदि वे युग्मतः असंयुक्त, समग्र और अशून्य प्रायिकताएँ रखती हैं।

उदाहरण के तौर पर, हम देखते हैं कि कोई भी अरिक्त घटना $E$ और उसकी पूरक घटना $E^{\prime}$ नमूना समष्टि $S$ का एक विभाजन बनाती हैं क्योंकि वे $E \cap E^{\prime}=\phi$ और $E \cup E^{\prime}=S$ को संतुष्ट करती हैं।

चित्र 13.3 के वेन आरेख से कोई भी आसानी से देख सकता है कि यदि $E$ और $F$ नमूना समष्टि $S$ से संबद्ध कोई भी दो घटनाएँ हैं, तो समुच्चय $\{E \cap F^{\prime}, E \cap F, E^{\prime} \cap F, E^{\prime} \cap F^{\prime}\}$ नमूना समष्टि $S$ का एक विभाजन है। यह उल्लेखनीय है कि नमूना समष्टि का विभाजन अद्वितीय नहीं होता है। एक ही नमूना समष्टि के कई विभाजन हो सकते हैं।

अब हम एक प्रमेय सिद्ध करेंगे जिसे कुल प्रायिकता का प्रमेय कहा जाता है।

13.5.2 कुल प्रायिकता का प्रमेय

मान लीजिए $\{E_1, E_2, \ldots, E_n\}$ नमूना समष्टि $S$ का एक विभाजन है, और मान लीजिए कि प्रत्येक घटना $E_1, E_2, \ldots, E_n$ की घटित होने की अशून्य प्रायिकता है। मान लीजिए $A$ कोई घटना है जो $S$ से संबद्ध है, तो

$ \begin{aligned} P(A) & =P(E_1) P(AlE_1)+P(E_2) P(AlE_2)+\ldots+P(E_n) P(AlE_n) \\ & =\sum _{j=1}^{n} P(E_j) P(AlE_j) \end{aligned} $

प्रमाण दिया गया है कि $E_1, E_2, \ldots, E_n$ नमूना समष्टि $S$ का एक विभाजन है (चित्र 13.4)। इसलिए,

$$ S=E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n $$

और $$ E_i \cap E_j=\phi, i \neq j, i, j=1,2, \ldots, n $$

अब, हम जानते हैं कि किसी भी घटना $A$ के लिए,

$$ \begin{aligned} A & =A \cap S \\ & =A \cap(E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n) \\ & =(A \cap E_1) \cup(A \cap E_2) \cup \ldots \cup(A \cap E_n) \end{aligned} $$

चित्र 13.4

साथ ही $A \cap E_i$ और $A \cap E_j$ क्रमशः $E_i$ और $E_j$ के उपसमुच्चय हैं। हम जानते हैं कि $E_i$ और $E_j$ असंयुक्त हैं, जब $i \neq j$, इसलिए, $A \cap E_i$ और $A \cap E_j$ भी सभी $i \neq j, i, j=1,2, \ldots, n$ के लिए असंयुक्त हैं।

इस प्रकार, $$ \begin{aligned} P(A) & =P[(A \cap E_1) \cup(A \cap E_2) \cup \ldots . . \cup(A \cap E_n)] \\ & =P(A \cap E_1)+P(A \cap E_2)+\ldots+P(A \cap E_n) \end{aligned} $$

अब, प्रायिकता के गुणन नियम से, हमें मिलता है

अब $ P(A \cap E_i)=P(E_i) P(AlE_i) \text{ क्योंकि } P(E_i) \neq 0 \forall i=1,2, \ldots, n $

इसलिए, $$ P(A)=P(E_1) P(AlE_1)+P(E_2) P(AlE_2)+\ldots+P(E_n) P(AlE_n) $$

या $$ P(A)=\sum _{j=1}^{n} P(E_j) P(AlE_j) $$

उदाहरण 15 एक व्यक्ति ने एक निर्माण कार्य स्वीकार किया है। प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं: 0.65 कि हड़ताल होगी, 0.80 कि यदि हड़ताल नहीं होती है तो निर्माण कार्य समय पर पूरा हो जाएगा, और 0.32 कि यदि हड़ताल होती है तो निर्माण कार्य समय पर पूरा हो जाएगा। निर्धारित कीजिए कि निर्माण कार्य के समय पर पूरा होने की प्रायिकता क्या है।

हल मान लीजिए A वह घटना है कि निर्माण कार्य समय पर पूरा हो जाएगा, और B वह घटना है कि हड़ताल होगी। हमें $P(A) ज्ञात करना है।

हमारे पास है
$
\begin{aligned}
P(B) & =0.65, P(\text{ no strike })=P(B^{\prime})=1-P(B)=1-0.65=0.35 \
P(A \mid B) & =0.32, P(A \mid B^{\prime})=0.80
\end{aligned}
$

चूँकि घटनाएँ B और B’ नमूना समष्टि S का एक विभाजन बनाती हैं, इसलिए कुल प्रायिकता के प्रमेय से हमारे पास है

$$
=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{B})+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}^{\prime}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{B}^{\prime}\right)
$$

$$
\begin{aligned}
& =0.65 \times 0.32+0.35 \times 0.8 \
& =0.208+0.28=0.488
\end{aligned}
$$

इस प्रकार, प्रायिकता कि निर्माण कार्य समय पर पूरा हो जाएगा 0.488 है।

अब हम बेज़ प्रमेय को कथनित और सिद्ध करेंगे।

बेज़ प्रमेय यदि $E_1, E_2, \ldots, E_n$ n गैर-रिक्त घटनाएँ हैं जो नमूना समष्टि $S$ का एक विभाजन बनाती हैं, अर्थात् $E_1, E_2, \ldots, E_n$ युग्मतः असंयुक्त हैं और $E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n=S$ तथा A कोई भी घटना है जिसकी प्रायिकता शून्येतर है, तो

$$
P(E_i \mid A)=\frac{P(E_i) P(AlE_i)}{\sum _{j=1}^{n} P(E_j) P(AlE_j)} \text{ for any } i=1,2,3, \ldots, n
$$

सिद्धता सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र से हम जानते हैं कि

$$
\begin{aligned}
P(E_i \mid A) & =\frac{P(A \cap E_i)}{P(A)} \
& =\frac{P(E_i) P(AlE_i)}{P(A)} \text{ (by multiplication rule of probability) } \
& =\frac{P(E_i) P(AlE_i)}{\sum _{j=1}^{n} P(E_j) P(AlE_j)} \text{ (by the result of theorem of total probability) }
\end{aligned}
$$

टिप्पणी जब बे-सेस प्रमेय लागू की जाती है, तो निम्नलिखित शब्दावली आमतौर पर प्रयोग की जाती है।
घटनाएँ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ को परिकल्पनाएँ कहा जाता है।
प्रायिकता $P(E_i)$ को परिकल्पना $E_i$ की अपरियोजित (a priori) प्रायिकता कहा जाता है।
प्रतिबंधित प्रायिकता $P(E_i \mid A)$ को परिकल्पना $E_i$ की उपरियोजित (a posteriori) प्रायिकता कहा जाता है।

बे-सेस प्रमेय को “कारणों” की प्रायिकता का सूत्र भी कहा जाता है। चूँकि $E_i$’s नमूना समष्टि $S$ का एक विभाजन हैं, इसलिए इनमें से एक और केवल एक घटना $E_i$ घटित होती है (अर्थात् इनमें से एक घटना अवश्य घटित होगी और केवल एक ही घटित हो सकती है)। अतः उपरोक्त सूत्र हमें किसी विशेष $E_i$ (अर्थात् एक “कारण”) की प्रायिकता देता है, यह दिया गया है कि घटना $A$ घटित हो चुकी है।

बे-सेस प्रमेय की विविध परिस्थितियों में अनुप्रयोग होते हैं, जिनमें से कुछ निम्नलिखित उदाहरणों में दिखाए गए हैं।

उदाहरण 16 थैले I में 3 लाल और 4 काली गेंदें हैं जबकि दूसरे थैले II में 5 लाल और 6 काली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से इनमें से किसी एक थैले से निकाली जाती है और यह लाल पाई जाती है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद थैले II से निकाली गई थी।

हल मान लीजिए $E_1$ थैले I को चुनने की घटना है, $E_2$ थैले II को चुनने की घटना है और $A$ लाल गेंद निकालने की घटना है।

तब
$$ P(E_1)=P(E_2)=\frac{1}{2} $$

साथ ही
$ P(A \mid E_1)=P(\text{थैले } I \text{ से लाल गेंद निकालना})=\frac{3}{7} $

और
$$ P(A \mid E_2)=P(\text{थैले II से लाल गेंद निकालना})=\frac{5}{11} $$

अब, यह दिया गया है कि गेंद लाल है, तो इसके थैले II से निकाले जाने की प्रायिकता $P(E_2 \mid A)$ है।

$$ P(E_2 \mid A)=\frac{P(E_2) P(A_2 E_2)}{P(E_1) P(A_1 E_1)+P(E_2) P(A_I E_2)}=\frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{7}+\frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}=\frac{35}{68} $$

उदाहरण 17 तीन समान डिब्बे I, II और III दिए गए हैं, प्रत्येक में दो सिक्के हैं। डिब्बे I में दोनों सिक्के सोने के हैं, डिब्बे II में दोनों चांदी के हैं और डिब्बे III में एक सोने का और एक चांदी का सिक्का है। एक व्यक्ति यादृच्छिक रूप से एक डिब्बा चुनता है और एक सिक्का निकालता है। यदि सिक्का सोने का है, तो क्या प्रायिकता है कि डिब्बे में दूसरा सिक्का भी सोने का है?

हल मान लीजिए $E_1, E_2$ और $E_3$ वे घटनाएँ हैं जिनमें डिब्बे I, II और III क्रमशः चुने जाते हैं।

तब $$ P(E_1)=P(E_2)=P(E_3)=\frac{1}{3} $$

साथ ही, मान लीजिए A वह घटना है कि ‘निकाला गया सिक्का सोने का है’

तब $$ \begin{aligned} & P(AIE_1)=P(\text{ डिब्बे } I \text{ से एक सोने का सिक्का })=\frac{2}{2}=1 \\ & P(AIE_2)=P(\text{ डिब्बे II से एक सोने का सिक्का })=0 \\ & P(AIE_3)=P(\text{ डिब्बे III से एक सोने का सिक्का })=\frac{1}{2} \end{aligned} $$

अब, यह प्रायिकता कि डिब्बे में दूसरा सिक्का भी सोने का है $$ \begin{aligned} & =\text{ वह प्रायिकता कि सोने का सिक्का डिब्बे } I \text{ से निकाला गया है। } \\ & =P(E_1 \mid A) \end{aligned} $$

बेज़ प्रमेय द्वारा, हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} P(E_1 \mid A) & =\frac{P(E_1) P(AlE_1)}{P(E_1) P(AlE E_1)+P(E_2) P(AlE_2)+P(E_3) P(AlE_3)} \\ & =\frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1+\frac{1}{3} \times 0+\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}=\frac{2}{3} \end{aligned} $

उदाहरण 25 मान लीजिए कि एक एचआईवी परीक्षण की विश्वसनीयता निम्नलिखित रूप से निर्दिष्ट की गई है:

एचआईवी वाले लोगों में, 90% परीक्षण रोग का पता लगाते हैं लेकिन 10% अनदेखे रह जाते हैं। एचआईवी से मुक्त लोगों में, 99% परीक्षणों को एचआईवी-नेगेटिव माना जाता है लेकिन 1% को एचआईवी-पॉजिटिव के रूप में निदान किया जाता है। एक बड़ी आबादी से, जिसमें केवल 0.1% लोगों को एचआईवी है, एक व्यक्ति को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, एचआईवी परीक्षण दिया जाता है, और रोगविज्ञानी उसे/उसे एचआईवी-पॉजिटिव के रूप में रिपोर्ट करता है। क्या संभावना है कि व्यक्ति वास्तव में एचआईवी है?

हल मान लीजिए E घटना को दर्शाता है कि चुना गया व्यक्ति वास्तव में एचआईवी है और A घटना को दर्शाता है कि व्यक्ति का एचआईवी परीक्षण पॉजिटिव के रूप में निदान किया गया है। हमें P(E|A) खोजना है।

साथ ही E’ घटना को दर्शाता है कि चुना गया व्यक्ति वास्तव में एचआईवी नहीं है।

स्पष्ट रूप से, {E, E’} आबादी के सभी लोगों के नमूना स्थान का एक विभाजन है। हमें दिया गया है कि

$$ \begin{aligned} & P(E)=0.1 \%=\frac{0.1}{100}=0.001 \\ & P\left(E^{\prime}\right)=1-P(E)=0.999 \end{aligned} $$

$ \begin{aligned} P(A \mid E)= & P(Person \text{ tested as HIV+ive given that he/she } \\ & \quad \text{ is actually having HIV }) = & 90 \%=\frac{90}{100}=0.9 \end{aligned} $

और $P(A \mid E^{\prime})=P($ Person tested as HIV +ive given that he/she is actually not having HIV) $=1 \%=0.01$

अब, बेयेस प्रमेय द्वारा

$ \begin{aligned} P(E \mid A) & =\frac{P(E) P(A \mid E)}{P(E) P(A \mid E)+P(E^{\prime}) P(AlE^{\prime})} \\ & =\frac{0.001 \times 0.9}{0.001 \times 0.9+0.999 \times 0.01}=\frac{90}{1089} \\ & =0.083 \text{ लगभग } \end{aligned} $

इस प्रकार, यदि किसी यादृच्छिक रूप से चुने गए व्यक्ति की HIV जाँच +ive आती है, तो उसके वास्तव में HIV ग्रस्त होने की प्रायिकता 0.083 है।

उदाहरण 19 एक कारखाने में जो बोल्ट बनाता है, मशीनें A, B और C क्रमशः $25 \%, 35 \%$ और $40 \%$ बोल्ट बनाती हैं। उनके उत्पादन में से क्रमशः 5, 4 और 2 प्रतिशत बोल्ट खराब हैं। एक बोल्ट यादृच्छिक रूप से उत्पादन में से निकाला गया और वह खराब पाया गया। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह मशीन $B$ द्वारा बनाया गया है?

हल मान लीजिए घटनाएँ $B_1, B_2, B_3$ निम्नलिखित हैं :

$B_1$ : बोल्ट मशीन $A$ द्वारा बनाया गया है

$B_2$ : बोल्ट मशीन $B$ द्वारा बनाया गया है

$B_3$ : बोल्ट मशीन $C$ द्वारा बनाया गया है

स्पष्ट है कि $B_1, B_2, B_3$ परस्पर अपवर्जी और परिपूर्ण घटनाएँ हैं और इस प्रकार वे प्रतिदर्श समष्टि का विभाजन निरूपित करती हैं।

मान लीजिए घटना $E$ है ‘बोल्ट खराद है’। घटना $E$, $B_1$ या $B_2$ या $B_3$ के साथ घटित होती है। दिया गया है कि,

$$ \mathrm{P}\left(\mathrm{B} _{1}\right)=25 \%=0.25, \mathrm{P}\left(\mathrm{B} _{2}\right)=0.35 \text { और } \mathrm{P}\left(\mathrm{B} _{3}\right)=0.40 $$

पुनः $P(E_1 B_1)=$ प्रायिकता कि निकाला गया बोल्ट खराद है, यह दिया गया है कि वह मशीन $A$ द्वारा बनाया गया है $=5 \%=0.05$

इसी प्रकार (\mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid B _{2}\right)=0.04, \mathrm{P}\left(\mathrm{ElB} _{3}\right)=0.02)

अतः, बेज़ प्रमेय द्वारा, हमारे पास है

$$ \begin{aligned} \mathrm{P}\left(\mathrm{B} _{2} \mid \mathrm{E}\right) & =\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{B} _{2}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{ElB} _{2}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B} _{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{ElB} _{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B} _{2}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{ElB} _{2}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B} _{3}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E}+\mid \mathrm{B} _{3}\right)} \\ & =\frac{0.35 \times 0.04}{0.25 \times 0.05+0.35 \times 0.04+0.40 \times 0.02}=\frac{0.0140}{0.0345}=\frac{28}{69} \end{aligned} $$

उदाहरण 20 एक डॉक्टर एक मरीज से मिलने जा रहा है। पिछले अनुभव से यह ज्ञात है कि वह ट्रेन, बस, स्कूटर या अन्य परिवहन साधनों से आने की प्रायिकताएँ क्रमशः (\frac{3}{10}, \frac{1}{5}, \frac{1}{10}) और (\frac{2}{5}) हैं। यदि वह ट्रेन, बस और स्कूटर से आता है तो देर से आने की प्रायिकताएँ क्रमशः (\frac{1}{4}, \frac{1}{3}), और (\frac{1}{12}) हैं, लेकिन यदि वह अन्य परिवहन साधनों से आता है तो वह देर से नहीं आएगा। जब वह आता है, वह देर से आता है। प्रायिकता क्या है कि वह ट्रेन से आया है?

हल मान लीजिए (E) वह घटना है कि डॉक्टर मरीज से मिलने देर से आता है और मान लीजिए (T_1, T_2, T_3, T_4) क्रमशः वे घटनाएँ हैं कि डॉक्टर ट्रेन, बस, स्कूटर और अन्य परिवहन साधनों से आता है।

फिर $$ P(T_1)=\frac{3}{10}, P(T_2)=\frac{1}{5}, P(T_3)=\frac{1}{10} \text{ और } P(T_4)=\frac{2}{5} \quad \text{ (दिया गया है) } $$

$ P(ElT_1)=\text{ प्रायिकता कि देर से आने वाला डॉक्टर ट्रेन से आता है }=\frac{1}{4} $

इसी प्रकार, $P(E \mid T_2)=\frac{1}{3}, P(E \mid T_3)=\frac{1}{12}$ और $P(E \mid T_4)=0$, चूँकि यदि वह अन्य परिवहन साधनों से आता है तो वह देर से नहीं आता है।

इसलिए, बेज़ प्रमेय द्वारा, हमारे पास है

$P(T_1 \mid E)=$ प्रायिकता कि देर से आने वाला डॉक्टर ट्रेन से आता है

$$ \begin{aligned} & =\frac{P(T_1) P(ElT_1)}{P(T_1) P(E \mid T_1)+P(T_2) P(ElT T_2)+P(T_3) P(ElT_3)+P(T_4) P(ElT_4)} \\ & =\frac{\frac{3}{10} \times \frac{1}{4}}{\frac{3}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{10} \times \frac{1}{12}+\frac{2}{5} \times 0}=\frac{3}{40} \times \frac{120}{18}=\frac{1}{2} \end{aligned} $$

अतः, अभीष्ट प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।

उदाहरण 21 एक व्यक्ति के बारे में ज्ञात है कि वह सच बोलता है 4 में से 3 बार। वह एक पासा फेंकता है और बताता है कि यह छः आया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वास्तव में छः आया है।

हल माना $E$ वह घटना है कि व्यक्ति पासा फेंकने पर छः आने की सूचना देता है और माना $S_1$ वह घटना है कि छः आता है और $S_2$ वह घटना है कि छः नहीं आता है।

फिर $ \begin{aligned} & P(S_1)=\text{ प्रायिकता कि छः आता है }=\frac{1}{6} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & P(S_2)=\text{ प्रायिकता कि छः नहीं आता है }=\frac{5}{6} \end{aligned} $

$$P(ElS_1)=\text{ प्रायिकता कि आदमी यह रिपोर्ट करता है कि छक्का आया है जबकि छक्का आया है}$$

प्रायिकता कि आदमी सच बोलता है $=\frac{3}{4} $

$\mathrm{P}\left(\mathrm{ElS} _2\right)=$ प्रायिकता कि आदमी यह रिपोर्ट करता है कि छक्का आया है जबकि पासे पर छक्का वास्तव में नहीं आया है

= प्रायिकता कि आदमी सच नहीं बोलता $=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$ इस प्रकार, बेज़ प्रमेय द्वारा, हम पाते हैं

$\mathrm{P}(\mathrm{S}, \mathrm{E})=$ प्रायिकता कि आदमी की रिपोर्ट कि छक्का आया है वास्तव में छक्का है

$ \begin{aligned} & =\frac{P(S_1) P(E \mid S_1)}{P(S_1) P(EIS_1)+P(S_2) P(E \mid S_2)} & =\frac{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}+\frac{5}{6} \times \frac{1}{4}}=\frac{1}{8} \times \frac{24}{8}=\frac{3}{8} \end{aligned} $

अतः, अभीष्ट प्रायिकता $\frac{3}{8}$ है।

टिप्पणी एक यादृच्छिक चर एक वास्तविक मान वाला फलन होता है जिसका प्रांत किसी यादृच्छिक प्रयोग के प्रतिदर्श समष्टि होता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए हम एक सिक्के को लगातार दो बार उछालने का प्रयोग करते हैं। प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि है

$$S=\{HH, HT, TH, TT\}$$.

यदि $X$ प्राप्त हुए चितों की संख्या को दर्शाता है, तो $X$ एक यादृच्छिक चर है और प्रत्येक परिणाम के लिए इसका मान नीचे दिया गया है :

$$ X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1, X(TT)=0 . $$

एक ही प्रतिदर्श समष्टि पर एक से अधिक यादृच्छिक चर परिभाषित किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए $Y$ उपरोक्त प्रतिदर्श समष्टि $S$ के प्रत्येक परिणाम के लिए चितों की संख्या में से पटों की संख्या घटाकर प्राप्त मान को दर्शाता है।

$$ Y(HH)=2, Y(HT)=0, Y(TH)=0, Y(TT)=-2 $$

इस प्रकार, $X$ और $Y$ दो भिन्न यादृच्छिक चर हैं जो एक ही प्रतिदर्श समष्टि $S$ पर परिभाषित हैं।

विविध उदाहरण

उदाहरण 22 रंगीन गेंदों को चार बक्सों में निम्न सारणी के अनुसार वितरित किया गया है:

बॉक्स	रंग
I	3	4	5	6
II	2	2	2	2
III	1	2	3	1
IV	4	3	1	5

एक बॉक्स यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और फिर चुने गए बॉक्स से एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। गेंद का रंग काला है, तो क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद बॉक्स III से है?

हल मान लीजिए $A, E_1, E_2, E_3$ और $E_4$ घटनाएँ निम्न प्रकार परिभाषित हैं:

$ \begin{matrix} A: \text{ एक काली गेंद चुनी जाती है } & E_1: \text{ बॉक्स I चुना जाता है } \\ E_2: \text{ बॉक्स II चुना जाता है } & E_3: \text{ बॉक्स III चुना जाता है } \\ E_4: \text{ बॉक्स IV चुना जाता है } & \end{matrix} $

चूँकि बक्सों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,

इसलिए $ P(E_1)=P(E_2)=P(E_3)=P(E_4)=\frac{1}{4} $

साथ ही $ P(AlE E_1)=\frac{3}{18}, P(AlE_2)=\frac{2}{8}, P(AlE_3)=\frac{1}{7} \text{ और } P(AlE_4)=\frac{4}{13} $

$P($ बॉक्स III चुना जाता है, यह दिया हुआ है कि निकाली गई गेंद काली है $)=P(E_3 \mid A)$। बेज़ प्रमेय द्वारा,

$ \begin{aligned} P(E_3 \mid A) & =\frac{P(E_3) \cdot P(AlE_3)}{P(E_1) P(Al E_1)+P(E_2) P(AlE_2)+P(E_3) P(AlE_3)+P(E_4) P(AlE_4)} \\ & =\frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{7}}{\frac{1}{4} \times \frac{3}{18}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{7}+\frac{1}{4} \times \frac{4}{13}}=0.165 \end{aligned} $

उदाहरण 23 $A$ और $B$ एक पासा वैकल्पिक रूप से फेंकते हैं जब तक कि उनमें से कोई एक ‘6’ न प्राप्त कर ले और खेल जीत ले। यदि A पहले फेंकता है, तो उनकी जीतने की क्रमशः प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए S सफलता (‘6’ प्राप्त करना) को दर्शाता है और $F$ असफलता (‘6’ न प्राप्त करना) को दर्शाता है।

इस प्रकार, $$ P(S)=\frac{1}{6}, P(F)=\frac{5}{6} $$

$P(A$ पहले फेंक में जीतता है $)=P(S)=\frac{1}{6}$

A को तीसरा फेंक मिलता है, जब A द्वारा पहला फेंक और B द्वारा दूसरा फेंक असफल रहते हैं।

इसलिए, $\quad P(A$ तीसरे फेंक में जीतता है $)=P(FFS)=P(F) P(F) P(S)=\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}$ $ =(\frac{5}{6})^{2} \times \frac{1}{6} $

$P(A$ पाँचवें फेंक में जीतता है $)=P($ FFFFS $)=(\frac{5}{6})^{4}(\frac{1}{6})$ और इसी प्रकार।

अतः, $ \begin{aligned} P(\text{ A जीतता है }) & =\frac{1}{6}+(\frac{5}{6})^{2}(\frac{1}{6})+(\frac{5}{6})^{4}(\frac{1}{6})+\ldots \\ \end{aligned} $

$$\begin{aligned} & =\frac{\frac{1}{6}}{1-\frac{25}{36}}=\frac{6}{11} \\ P(B \text{ जीतता है }) & =1-P(\text{ A जीतता है })=1-\frac{6}{11}=\frac{5}{11} \end{aligned}$$

टिप्पणी यदि $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}+\ldots$, जहाँ $|r|<1$, तो इस अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $\frac{a}{1-r} \cdot($ कक्षा XI की पाठ्यपुस्तक का A.1.3 देखें) द्वारा दिया जाता है।

उदाहरण 24 यदि कोई मशीन सही ढंग से सेट की जाती है, तो वह $90 \%$ स्वीकार्य वस्तुएँ उत्पन्न करती है। यदि यह गलत ढंग से सेट की जाती है, तो यह केवल $40 \%$ स्वीकार्य वस्तुएँ उत्पन्न करती है। पिछले अनुभव से पता चलता है कि $80 \%$ सेटअप सही ढंग से किए जाते हैं। यदि किसी निश्चित सेटअप के बाद मशीन 2 स्वीकार्य वस्तुएँ उत्पन्न करती है, तो यह ज्ञात कीजिए कि मशीन सही ढंग से सेट की गई है।

हल मान लीजिए A वह घटना है कि मशीन 2 स्वीकार्य वस्तुएँ उत्पन्न करती है।
साथ ही मान लीजिए $B_1$ सही सेटअप की घटना को दर्शाता है और $B_2$ गलत सेटअप की घटना को दर्शाता है।

अब $$ P(B_1)=0.8, P(B_2)=0.2 $$ $$ P(AlB_1)=0.9 \times 0.9 \text{ और } P(AlB_2)=0.4 \times 0.4 $$

इसलिए $$ \begin{aligned} \mathrm{P}\left(\mathrm{B} _{1} \mid \mathrm{A}\right) & =\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{B} _{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{B} _{1}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B} _{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{B} _{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B} _{2}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{B} _{2}\right)} \\ & =\frac{0.8 \times 0.9 \times 0.9}{0.8 \times 0.9 \times 0.9+0.2 \times 0.4 \times 0.4}=\frac{648}{680}=0.95 \end{aligned} $$

सारांश

अध्याय की प्रमुख विशेषताएँ हैं -

• किसी घटना $E$ की सप्रतिबंध प्रायिकता, जब घटना $F$ घटित हो चुकी हो, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}, P(F) \neq 0$

• $\Delta 0 \leq P(E \mid F) \leq 1, \quad P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F)$

$P((E \cup F) \mid G)=P(E \mid G)+P(F \mid G)-P((E \cap F) \mid G)$

• $\Delta P(E \cap F)=P(E) P(F \mid E), P(E) \neq 0$

$P(E \cap F)=P(F) P(EIF), P(F) \neq 0$

• यदि E और F स्वतंत्र हैं, तो

$P(E \cap F)=P(E) P(F)$

$P(EIF)=P(E), P(F) \neq 0$

$P(F \mid E)=P(F), P(E) \neq 0$

• कुल प्रायिकता का प्रमेय

मान लीजिए $\{E_1, E_2, \ldots, E_n\}$ एक प्रतिदर्श समष्टि का विभाजन है और मान लीजिए कि प्रत्येक $E_1, E_2, \ldots, E_n$ की प्रायिकता शून्येतर है। मान लीजिए $A$ कोई ऐसी घटना है जो $S$ से संबद्ध है, तो $P(A)=P(E_1) P(AlE_1)+P(E_2) P(AlE_2)+\ldots+P(E_n) P(AlE_n)$

• बेज़ का प्रमेय यदि $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ऐसी घटनाएँ हैं जो प्रतिदर्श समष्टि $S$ का विभाजन बनाती हैं, अर्थात् $E_1, E_2, \ldots, E_n$ युग्मतः असंयुक्त हैं और $E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n=S$ है और $A$ कोई भी ऐसी घटना है जिसकी प्रायिकता शून्येतर है, तो

$$ P(E_i \mid A)=\frac{P(E_i) P(A \mid E_i)}{\sum _{j=1}^{n} P(E_j) P(A \mid E_j)} $$

ऐतिहासिक टिप्पणी

पासे के खेल में संभावनाओं की माप का सबसे पहला संकेत 1477 में डांटे की डिवाइन कॉमेडी की एक टिप्पणी में प्रकट हुआ। जेरोनिमो कार्डेन (1501-1576) द्वारा लिखा गया जुए पर एक निबंध liber de Ludo Alcae, उनकी मृत्यु के बाद 1663 में प्रकाशित हुआ। इस निबंध में, उन्होंने दो पासे फेंके जाने पर प्रत्येक घटना के लिए अनुकूल मामलों की संख्या दी है।
गैलीलियो (1564-1642) ने तीन पासों के खेल में संयोग के सही मूल्यांकन के बारे में आकस्मिक टिप्पणियाँ दीं। गैलीलियो ने विश्लेषण किया कि जब तीन पासे फेंके जाते हैं, तो प्रकट होने वाली संख्याओं का योग 9 की तुलना में 10 होने की अधिक संभावना होती है, क्योंकि 10 के पक्ष में अनुकूल मामलों की संख्या 9 के पक्ष में अनुकूल मामलों की संख्या से अधिक है।

इन प्रारंभिक योगदानों के अलावा, यह सामान्य रूप से स्वीकार किया जाता है कि प्रायिकता विज्ञान की सच्ची उत्पत्ति सत्रहवीं सदी के दो महान पुरुषों, पास्कल (1623-1662) और पियरे डे फर्मा (1601-1665) के बीच पत्राचार में निहित है। एक फ्रेंच जुआरी, शेवालिये डे मेट्रे ने पास्कल से अनुरोध किया कि वह अपने सैद्धांतिक तर्क और जुए से एकत्रित अवलोकन के बीच प्रतीत होने वाले विरोधाभास की व्याख्या करें। लगभग 1654 में लिखे गए पत्रों की एक श्रृंखला में, पास्कल और फर्मा ने प्रायिकता विज्ञान की पहली नींव रखी। पास्कल ने समस्या को बीजगणितीय तरीके से हल किया जबकि फर्मा ने संयोजन की विधि का प्रयोग किया।

महान डच वैज्ञानिक, हायगेन्स (1629-1695), पास्कल और फर्मा के पत्राचार की सामग्री से परिचित हुए और प्रायिकता पर पहली पुस्तक “De Ratiociniis in Ludo Aleae” प्रकाशित की, जिसमें जुए के खेलों पर प्रायिकता के कई रोचक बजाय कठिन समस्याओं के समाधान हैं।
प्रायिकता सिद्धांत पर अगला महान कार्य जैकोब बर्नौली (1654-1705) द्वारा है, एक महान पुस्तक “Ars Conjectendi” के रूप में, जिसे उनके भतीजे निकोलस बर्नौली ने 1713 में उनकी मृत्यु के बाद प्रकाशित किया। उन्हें सबसे महत्वपूर्ण प्रायिकता बंटनों में से एक, द्विपद बंटन (Binomial distribution) की खोज का श्रेय दिया जाता है।
प्रायिकता पर अगली उल्लेखनीय कृति 1993 में है। ए. एन. कोलमोगोरोव (1903-1987) को प्रायिकता की अभिग्रह सिद्धांत (axiomatic theory of probability) का श्रेय दिया जाता है। उनकी पुस्तक ‘Foundations of probability’, जो 1933 में प्रकाशित हुई, प्रायिकता को एक समुच्चय फलन के रूप में प्रस्तुत करती है और इसे ‘क्लासिक’ माना जाता है।