दुनिया में कुरूप गणित के लिए कोई स्थायी स्थान नहीं है … गणितीय सौंदर्य को परिभाषित करना बहुत कठिन हो सकता है, पर यह बात किसी भी प्रकार के सौंदर्य पर उतनी ही सच है; हम सुंदर कविता का अर्थ ठीक-ठीक न जानते हों, पर इससे हमें यह अधिकार नहीं छिनता कि हम उसे पढ़ते समय उसे पहचान न सकें। — जी. एच. हार्डी

1.1 प्रस्तावना

याद कीजिए कि सम्बन्धों और फलनों, प्रान्त, सह-प्रान्त और परिसर की संकल्पना कक्षा XI में प्रस्तुत की गई थी, साथ ही विभिन्न प्रकार के विशिष्ट वास्तविक-मान फलनों और उनके आलेखों के साथ। गणित में ‘सम्बन्ध’ शब्द की संकल्पना अंग्रेज़ी भाषा में सम्बन्ध के अर्थ से ली गई है, जिसके अनुसार दो वस्तुएँ या मात्राएँ सम्बन्धित मानी जाती हैं यदि उनके बीच कोई पहचानने योग्य सम्बन्ध या कड़ी हो। मान लीजिए A किसी विद्यालय की कक्षा XII के विद्यार्थियों का समुच्चय है और B उसी विद्यालय की कक्षा XI के विद्यार्थियों का समुच्चय है। तब A से B के कुछ सम्बन्धों के उदाहरण इस प्रकार हैं

(i) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a, b का भाई है}\}$

(ii) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a, b की बहन है}\}$,

लेज्यून डिरichlet (1805-1859)

(iii) $\{(a, b) \in A \times B : \text{a की आयु b की आयु से अधिक है}\}$,

(iv) $\{(a, b) \in A \times B$ : अंतिम परीक्षा में a द्वारा प्राप्त कुल अंक b द्वारा प्राप्त कुल अंकों से कम हैं $\}$

(v) \{(a, b) ∈ A × B: a और b एक ही locality में रहते हैं\}। हालांकि, इससे सार निकालते हुए हम गणितीय रूप से A से B तक एक संबंध R को A × B का एक स्वेच्छ उपसमुच्चय परिभाषित करते हैं।

यदि (a, b) ∈ R, तो हम कहते हैं कि a संबंध R के अंतर्गत b से संबंधित है और इसे a R b लिखते हैं। सामान्यतः, (a, b) ∈ R होने पर हम इस बात की परवाह नहीं करते कि a और b के बीच कोई पहचानने योग्य संबंध या कड़ी है या नहीं। जैसा कि कक्षा XI में देखा गया है, फलन संबंधों का एक विशेष प्रकार हैं।

इस अध्याय में हम विभिन्न प्रकार के संबंधों और फलनों, फलनों की संयोजन, व्युत्क्रमणीय फलनों और द्विआधारी संक्रियाओं का अध्ययन करेंगे।

1.2 संबंधों के प्रकार

इस खंड में हम संबंधों के विभिन्न प्रकारों का अध्ययन करना चाहेंगे। हम जानते हैं कि एक समुच्चय A में संबंध A × A का एक उपसमुच्चय होता है। इस प्रकार, रिक्त समुच्चय φ और A × A दो चरम संबंध हैं। उदाहरण के लिए, समुच्चय A={1,2,3,4} में एक संबंध R को R={(a, b): a-b=10} द्वारा लिया जाए। यह रिक्त समुच्चय है, क्योंकि कोई भी युग्म (a, b) a-b=10 की शर्त को संतुष्ट नहीं करता। इसी प्रकार, R′={(a, b):|a-b| ≥ 0} पूरा समुच्चय A × A है, क्योंकि A × A के सभी युग्म (a, b) |a-b| ≥ 0 को संतुष्ट करते हैं। ये दो चरम उदाहरण हमें निम्नलिखित परिभाषाओं की ओर ले जाते हैं।

परिभाषा 1 एक समुच्चय A में एक संबंध R को रिक्त संबंध कहा जाता है, यदि A का कोई भी अवयव A के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है, अर्थात् R = φ ⊂ A × A।

परिभाषा 2 एक समुच्चय $A$ में एक संबंध $R$ सार्वत्रिक संबंध कहलाता है, यदि $A$ के प्रत्येक अवयव का संबंध $A$ के प्रत्येक अवयव से है, अर्थात् $R=A \times A$।

रिक्त संबंध और सार्वत्रिक संबंध दोनों को कभी-कभी तुच्छ संबंध कहा जाता है।

उदाहरण 1 मान लीजिए $A$ एक लड़कों के विद्यालय के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय है। दिखाइए कि $A$ में संबंध $R$ जो $R=\{(a, b): a$, $b$ की बहन है\}$ द्वारा दिया गया है, रिक्त संबंध है और $R^{\prime}=\{(a, b):$ $a$ और $b$ की ऊँचाइयों के बीच का अंतर 3 मीटर से कम है $\}$ सार्वत्रिक संबंध है।

हल चूँकि विद्यालय लड़कों का विद्यालय है, इसलिए विद्यालय का कोई भी विद्यार्थी किसी अन्य विद्यार्थी की बहन नहीं हो सकता। अतः $R=\phi$, जो दर्शाता है कि $R$ रिक्त संबंध है। यह भी स्पष्ट है कि विद्यालय के किन्हीं दो विद्यार्थियों की ऊँचाइयों का अंतर 3 मीटर से कम ही होगा। यह दर्शाता है कि $R^{\prime}=A \times A$ सार्वत्रिक संबंध है।

टिप्पणी कक्षा XI में हमने संबंध को निरूपित करने के दो तरीके देखे हैं, अर्थात् रास्टर विधि और समुच्चय निर्माण विधि। तथापि, समुच्चय $\{1,2,3,4\}$ में परिभाषित संबंध $R$ जो $R$ $=\{(a, b): b=a+1\}$ द्वारा दिया गया है, को अनेक लेखक $a R b$ यदि और केवल यदि $b=a+1$ के रूप में भी व्यक्त करते हैं। हम भी इस संकेतन का, जब भी सुविधाजनक हो, उपयोग कर सकते हैं।

यदि $(a, b) \in R$, तो हम कहते हैं कि $a$, $b$ से संबंधित है और हम इसे $a R b$ के रूप में निरूपित करते हैं।

गणित में महत्वपूर्ण भूमिका निभाने वाला एक सबसे महत्वपूर्ण संबंध समतुल्यता संबंध है। समतुल्यता संबंध का अध्ययन करने के लिए हम पहले तीन प्रकार के संबंधों पर विचार करते हैं, जिन्हें क्रमशः स्वतुल्य, सममित और संक्रामक कहा जाता है।

परिभाषा 3 एक समुच्चय $A$ में एक संबंध $R$ को कहा जाता है

(i) स्वतुल्य, यदि $(a, a) \in R$, प्रत्येक $a \in A$ के लिए,

(ii) सममित, यदि $(a_{1}, a_{2}) \in R$ इसका तात्पर्य है कि $(a_{2}, a_{1}) \in R$, सभी $a_{1}, a_{2} \in A$ के लिए।

(iii) संक्रामक, यदि $(a_{1}, a_{2}) \in R$ और $(a_{2}, a_{3}) \in R$ इसका तात्पर्य है कि $(a_{1}, a_{3}) \in R$, सभी $a_{1}, a_{2}$, $a_{3} \in A$ के लिए।

परिभाषा 4 एक समुच्चय $A$ में एक संबंध $R$ को समतुल्यता संबंध कहा जाता है यदि $R$ स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।

उदाहरण 2 मान लीजिए $T$ एक समतल में सभी त्रिभुजों का समुच्चय है और $T$ में एक संबंध $R$ इस प्रकार दिया गया है कि $R=\{(T_{1}, T_{2}): T_{1}.$ संपूरक है $.T_{2}\}$। दिखाइए कि $R$ एक समतुल्यता संबंध है।

हल $R$ स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के साथ संपूरक होता है। आगे, $(T_{1}, T_{2}) \in R \Rightarrow T_{1}$ संपूरक है $T_{2}$ से $\Rightarrow T_{2}$ संपूरक है $T_{1}$ से $\Rightarrow(T_{2}, T_{1}) \in R$। इसलिए, $R$ सममित है। इसके अतिरिक्त, $(T_{1}, T_{2}),(T_{2}, T_{3}) \in R \Rightarrow T_{1}$ संपूरक है $T_{2}$ से और $T_{2}$ संपूरक है $T_{3}$ से $\Rightarrow T_{1}$ संपूरक है $T_{3}$ से $\Rightarrow(T_{1}, T_{3}) \in R$। इसलिए, $R$ एक समतुल्यता संबंध है।

उदाहरण 3 मान लीजिए L एक समतल में सभी रेखाओं का समुच्चय है और R, L में एक संबंध है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: R = {(L₁, L₂): L₁, L₂ पर लंबवत् है}। दिखाइए कि R सममित है लेकिन न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रामक।

हल R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि एक रेखा L₁ स्वयं पर लंबवत् नहीं हो सकती, अर्थात् (L₁, L₁) ∉ R। R सममित है क्योंकि (L₁, L₂) ∈ R

$$ \begin{array}{ll} \Rightarrow & L₁, L₂ पर लंबवत् है \ \Rightarrow & L₂, L₁ पर लंबवत् है \ \Rightarrow & (L₂, L₁) ∈ R . \end{array} $$

R संक्रामक नहीं है। वास्तव में, यदि L₁, L₂ पर लंबवत् है और L₂, L₃ पर लंबवत् है, तो L₁ कभी भी L₃ पर लंबवत् नहीं हो सकती। वास्तव में, L₁, L₃ के समांतर है, अर्थात् (L₁, L₂) ∈ R, (L₂, L₃) ∈ R लेकिन (L₁, L₃) ∉ R।

चित्र 1.1

उदाहरण 4 दिखाइए कि समुच्चय {1,2,3} में संबंध R जो R = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)} द्वारा दिया गया है, स्वतुल्य है लेकिन न तो सममित है और न ही संक्रामक।

हल R स्वतुल्य है, क्योंकि (1,1), (2,2) और (3,3) सभी R में हैं। साथ ही, R सममित नहीं है, क्योंकि (1,2) ∈ R लेकिन (2,1) ∉ R। इसी प्रकार, R संक्रामक नहीं है, क्योंकि (1,2) ∈ R और (2,3) ∈ R लेकिन (1,3) ∉ R।

उदाहरण 5 दिखाइए कि पूर्णांकों के समुच्चय $\mathbf{Z}$ में संबंध $R$, जो $R=\{(a, b): 2 \text{ divides } a-b\}$ द्वारा दिया गया है, एक तुल्यता संबंध है।

हल $R$ स्वतुल्य है, क्योंकि सभी $a \in \mathbf{Z}$ के लिए 2, $(a-a)$ को विभाजित करता है। आगे, यदि $(a, b) \in R$, तो 2, $a-b$ को विभाजित करता है। इसलिए, 2, $b-a$ को विभाजित करता है। अतः, $(b, a) \in R$, जो दर्शाता है कि $R$ सममित है। इसी प्रकार, यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$, तो $a-b$ और $b-c$ दोनों 2 से विभाज्य हैं। अब, $a-c=(a-b)+(b-c)$ सम है (क्यों?)। इसलिए, $(a-c)$ 2 से विभाज्य है। यह दर्शाता है कि $R$ संक्रामक है। इस प्रकार, $R$, $\mathbf{Z}$ में एक तुल्यता संबंध है।

उदाहरण 5 में, ध्यान दें कि सभी सम पूर्णांक शून्य से संबंधित हैं, क्योंकि $(0, \pm 2),(0, \pm 4)$ आदि $R$ में हैं और कोई भी विषम पूर्णांक शून्य से संबंधित नहीं है, क्योंकि $(0, \pm 1),(0, \pm 3)$ आदि $R$ में नहीं हैं। इसी प्रकार, सभी विषम पूर्णांक एक से संबंधित हैं और कोई भी सम पूर्णांक एक से संबंधित नहीं है। इसलिए, सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय $E$ और सभी विषम पूर्णांकों का समुच्चय $O$, $\mathbf{Z}$ के उपसमुच्चय हैं जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं:

(i) $E$ के सभी तत्व एक-दूसरे से संबंधित हैं और $O$ के सभी तत्व एक-दूसरे से संबंधित हैं।

(ii) $E$ का कोई भी तत्व $O$ के किसी भी तत्व से संबंधित नहीं है और इसका विपरीत भी सत्य है।

(iii) $E$ और $O$ असंयुक्त हैं और $\mathbf{Z}=E \cup O$।

उपसमुच्चय $E$ को शून्य को समाविष्ट समतुल्यता वर्ग कहा जाता है और इसे [0] द्वारा निरूपित किया जाता है। इसी प्रकार, $O$ वह समतुल्यता वर्ग है जो 1 को समाविष्ट करता है और इसे [1] द्वारा निरूपित किया जाता है। ध्यान दें कि $[0] \neq [1]$, $[0] = [2r]$ और $[1] = [2r+1]$, जहाँ $r \in \mathbf{Z}$। वास्तव में, जो हमने ऊपर देखा है वह किसी भी समुच्चय $X$ में एक स्वेच्छ समतुल्यता संबंध $R$ के लिए सत्य है। यदि किसी स्वेच्छ समुच्चय $X$ में कोई स्वेच्छ समतुल्यता संबंध $R$ दिया गया हो, तो $R$, $X$ को परस्पर विभक्त उपसमुच्चयों $A_i$ में विभाजित करता है, जिन्हें $X$ के विभाजन या उपविभाजन कहा जाता है, जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं:

(i) प्रत्येक $i$ के लिए, $A_i$ के सभी तत्व परस्पर संबंधित हैं।

(ii) कोई भी $A_i$ का तत्व किसी भी $A_j$ के तत्व से संबंधित नहीं है, जहाँ $i \neq j$।

(iii) $\cup A_j = X$ और $A_i \cap A_j = \phi$, जहाँ $i \neq j$।

उपसमुच्चयों $A_i$ को समतुल्यता वर्ग कहा जाता है। इस परिस्थिति की रोचक बात यह है कि हम इसके विपरीत दिशा में भी जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, समुच्चय $\mathbf{Z}$ के एक ऐसे विभाजन पर विचार करें जो तीन परस्पर विभक्त उपसमुच्चयों $A_1$, $A_2$ और $A_3$ द्वारा दिया गया है, जिनका संघ $\mathbf{Z}$ है, और

$$ \begin{aligned} & A_1 = {x \in \mathbf{Z}: x \text{ एक गुणज है 3 का}} = {\ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots} \ & A_2 = {x \in \mathbf{Z}: x-1 \text{ एक गुणज है 3 का}} = {\ldots, -5, -2, 1, 4, 7, \ldots} \ & A_3 = {x \in \mathbf{Z}: x-2 \text{ एक गुणज है 3 का}} = {\ldots, -4, -1, 2, 5, 8, \ldots} \end{aligned} $$

$\mathbf{Z}$ में एक संबंध $R$ को $R=\{(a, b): 3$ भाजक है $a-b\}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। उदाहरण 5 में प्रयुक्त तर्कों के समान तर्कों का अनुसरण करते हुए, हम दिखा सकते हैं कि $R$ एक तुल्यता संबंध है। साथ ही, $A_{1}$ उन सभी पूर्णांकों के समुच्चय के संगत है जो $\mathbf{Z}$ में शून्य से संबंधित हैं, $A_{2}$ उन सभी पूर्णांकों के समुच्चय के संगत है जो 1 से संबंधित हैं और $A_{3}$ उन सभी पूर्णांकों के समुच्चय के संगत है जो $\mathbf{Z}$ में 2 से संबंधित हैं। इस प्रकार, $A_{1}=[0], A_{2}=[1]$ और $A_{3}=[2]$। वास्तव में, $A_{1}=[3 r], A_{2}=[3 r+1]$ और $A_{3}=[3 r+2]$, सभी $r \in \mathbf{Z}$ के लिए।

उदाहरण 6 मान लीजिए $R$ एक संबंध है जो समुच्चय $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ में R=$\{(a, b) :$ a और b दोनों या तो विषम हैं या सम हैं $\}$ द्वारा परिभाषित है। दिखाइए कि $R$ एक तुल्यता संबंध है। आगे, दिखाइए कि उपसमुच्चय $\{1,3,5,7\}$ के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और उपसमुच्चय $\{2,4,6\}$ के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं, लेकिन उपसमुच्चय $\{1,3,5,7\}$ का कोई भी अवयव उपसमुच्चय $\{2,4,6\}$ के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है।

हल दिए गए किसी भी अवयव $a$ जो A में है, $a$ और $a$ दोनों या तो विषम या सम होने चाहिए, ताकि $(a, a) \in R$ हो। आगे, $(a, b) \in R \Rightarrow$ $a$ और $b$ दोनों या तो विषम या सम होने चाहिए $\Rightarrow(b, a) \in R$। इसी प्रकार, $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \Rightarrow$ सभी अवयव $a, b, c$, एक साथ या तो सम या विषम होने चाहिए $\Rightarrow(a, c) \in R$। इसलिए, $R$ एक तुल्यता सम्बन्ध है। आगे, $\{1,3,5,7\}$ के सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं, क्योंकि इस उपसमुच्चय के सभी अवयव विषम हैं। इसी प्रकार, उपसमुच्चय $\{2,4,6\}$ के सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं, क्योंकि ये सभी सम हैं। साथ ही, उपसमुच्चय $\{1,3,5,7\}$ का कोई भी अवयव उपसमुच्चय $\{2,4,6\}$ के किसी भी अवयव से सम्बन्धित नहीं हो सकता, क्योंकि $\{1,3,5,7\}$ के अवयव विषम हैं, जबकि $\{2,4,6\}$ के अवयव सम हैं।

1.3 फलनों के प्रकार

फलन की अवधारणा के साथ-साथ कुछ विशेष फलनों जैसे पहचान फलन, अचर फलन, बहुपद फलन, परिमेय फलन, मापांक फलन, साइनम फलन आदि और उनके आलेख कक्षा ग्यारह में दिए गए हैं।

दो फलनों का योग, अंतर, गुणा और भाग भी अध्ययन किया गया है। चूँकि फलन की अवधारणा गणित में और अन्य विषयों में भी अत्यंत महत्वपूर्ण है, हम अपने अध्ययन को वहीं से आगे बढ़ाना चाहेंगे जहाँ हमने पहले छोड़ा था। इस खंड में हम फलनों के विभिन्न प्रकारों का अध्ययन करना चाहेंगे।

विधियाँ $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ और $f_{4}$ निम्नलिखित आरेखों द्वारा दी गई हैं।

चित्र 1.2 में, हम देखते हैं कि $X_{1}$ के भिन्न-भिन्न अवयवों के प्रतिबिंब विधि $f_{1}$ के अंतर्गत भिन्न-भिन्न हैं, परंतु $X_{1}$ के दो भिन्न अवयवों 1 और 2 के प्रतिबिंब विधि $f_{2}$ के अंतर्गत समान हैं, अर्थात् $b$। इसके अतिरिक्त, $X_{2}$ में कुछ अवयव जैसे $e$ और $f$ ऐसे हैं जो $X_{1}$ के किसी भी अवयव के प्रतिबिंब नहीं हैं विधि $f_{1}$ के अंतर्गत, जबकि $X_{3}$ के सभी अवयव $X_{1}$ के किसी न किसी अवयव के प्रतिबिंब हैं विधि $f_{3}$ के अंतर्गत। उपरोक्त प्रेक्षण निम्नलिखित परिभाषाओं की ओर ले जाते हैं:

परिभाषा 5 एक विधि $f: X \rightarrow Y$ को एक-एक (या इंजेक्टिव) परिभाषित किया जाता है, यदि $X$ के भिन्न-भिन्न अवयवों के प्रतिबिंब $f$ के अंतर्गत भिन्न-भिन्न हों, अर्थात् प्रत्येक $x_{1}, x_{2} \in X$ के लिए, $f(x_{1})=f(x_{2})$ से $x_{1}=x_{2}$ अनुसरण करता है। अन्यथा, $f$ को बहु-एक कहा जाता है।

विधियाँ $f_{1}$ और $f_{4}$ चित्र 1.2 (i) और (iv) में एक-एक हैं और विधियाँ $f_{2}$ और $f_{3}$ चित्र 1.2 (ii) और (iii) में बहु-एक हैं।

परिभाषा 6 एक विधि $f: X \rightarrow Y$ को आच्छादक (या सर्जेक्टिव) कहा जाता है, यदि $Y$ का प्रत्येक अवयव $X$ के किसी अवयव का प्रतिबिंब हो $f$ के अंतर्गत, अर्थात् प्रत्येक $y \in Y$ के लिए, $X$ में कोई अवयव $x$ उपस्थित है जैसे कि $f(x)=y$।

विधियाँ $f_{3}$ और $f_{4}$ चित्र 1.2 (iii), (iv) में आच्छादक हैं और विधि $f_{1}$ चित्र 1.2 (i) में आच्छादक नहीं है क्योंकि $X_{2}$ के अवयव $e, f$ किसी भी अवयव के प्रतिबिंब नहीं हैं $X_{1}$ के विधि $f_{1}$ के अंतर्गत।

चित्र 1.2 (i) से (iv)

टिप्पणी $f: X \rightarrow Y$ आच्छादक (onto) है यदि और केवल यदि $f$ का परास (Range) $Y$ है।

परिभाषा 7 एक फलन $f: X \rightarrow Y$ को एक-एक और आच्छादक (या द्वि-निष्ठ) कहा जाता है, यदि $f$ एक-एक और आच्छादक दोनों है।

चित्र 1.2 (iv) में दिया गया फलन $f_{4}$ एक-एक और आच्छादक है।

उदाहरण 7 मान लीजिए A किसी विद्यालय की कक्षा $X$ के सभी 50 विद्यार्थियों का समुच्चय है। मान लीजिए $f: A \rightarrow \mathbf{N}$ एक फलन है जो $f(x)=$ विद्यार्थी $x$ का रोल नंबर द्वारा परिभाषित है। दिखाइए कि $f$ एक-एक है पर आच्छादक नहीं है।

हल कक्षा के दो भिन्न-भिन्न विद्यार्थियों का रोल नंबर समान नहीं हो सकता। इसलिए, $f$ एक-एक होना चाहिए। हम बिना किसी हानि के यह मान सकते हैं कि विद्यार्थियों के रोल नंबर 1 से 50 तक हैं। इसका तात्पर्य है कि $\mathbf{N}$ का 51 कक्षा के किसी भी विद्यार्थी का रोल नंबर नहीं है, इसलिए 51, $X$ के किसी भी अवयव की $f$ के अंतर्गत प्रतिबिंब नहीं हो सकता। अतः, $f$ आच्छादक नहीं है।

उदाहरण 8 दिखाइए कि फलन $f: \mathbf{N}\rightarrow \mathbf{N}$, जो $f(x)=2 x$ द्वारा दिया गया है, एक-एक है पर आच्छादक नहीं है।

हल फलन $f$ एक-एक है, क्योंकि $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow 2 x_{1}=2 x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}$। इसके अतिरिक्त, $f$ आच्छादक नहीं है, क्योंकि $1 \in \mathbf{N}$ के लिए ऐसा कोई $x$ in $\mathbf{N}$ नहीं है कि $f(x)=2 x=1$।

उदाहरण 9 सिद्ध कीजिए कि फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, जो $f(x)=2 x$ द्वारा दिया गया है, एकैकी तथा आच्छादक है।
हल $f$ एकैकी है, क्योंकि $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow 2 x_{1}=2 x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}$। साथ ही, यदि $R$ में कोई वास्तविक संख्या $y$ दी गई हो, तो $R$ में $\frac{y}{2}$ का अस्तित्व है जिससे $f(\frac{y}{2})=2 .(\frac{y}{2})=y$। अतः $f$ आच्छादक है।

आकृति 1.3

उदाहरण 10 दिखाइए कि फलन $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$, जो $f(1)=f(2)=1$ तथा प्रत्येक $x>2$ के लिए $f(x)=x-1$ द्वारा दिया गया है, आच्छादक है परन्तु एकैकी नहीं है।

हल $f$ एकैकी नहीं है, क्योंकि $f(1)=f(2)=1$। परन्तु $f$ आच्छादक है, क्योंकि यदि कोई $y \in \mathbf{N}, y \neq 1$ दिया गया हो, तो हम $x$ को $y+1$ चुन सकते हैं जिससे $f(y+1)=y+1-1=y$। साथ ही $1 \in \mathbf{N}$ के लिए, हमारे पास $f(1)=1$ है।

उदाहरण 11 दिखाइए कि फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, जो $f(x)=x^{2}$ के रूप में परिभाषित है, न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

हल चूँकि $f(-1)=1=f(1)$, इसलिए $f$ एकैकी नहीं है। साथ ही, सह-प्रांत $\mathbf{R}$ का अवयव $-2$ प्रांत $\mathbf{R}$ के किसी अवयव $x$ का प्रतिबिंब नहीं है (क्यों?)। अतः $f$ आच्छादक नहीं है।

उदाहरण 12 दिखाइए कि $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$, जो

$$ f(x)=\begin{aligned} & x+1, \text{ यदि } x \text{ विषम है, } \\ & x-1, \text{ यदि } x \text{ सम है } \end{aligned} $$ द्वारा दिया गया है, एकैकी तथा आच्छादक दोनों है।

चित्र 1.4

हल मान लीजिए $f(x_{1})=f(x_{2})$। ध्यान दीजिए कि यदि $x_{1}$ विषम है और $x_{2}$ सम है, तो हमें $x_{1}+1=x_{2}-1$ मिलेगा, अर्थात् $x_{2}-x_{1}=2$ जो असंभव है। इसी प्रकार, $x_{1}$ के सम और $x_{2}$ के विषम होने की संभावना को भी इसी तर्क से नकारा जा सकता है। इसलिए, $x_{1}$ और $x_{2}$ दोनों या तो विषम होंगे या सम होंगे। मान लीजिए $x_{1}$ और $x_{2}$ दोनों विषम हैं। तब $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}+1=x_{2}+1 \Rightarrow x_{1}=x_{2}$। इसी प्रकार, यदि $x_{1}$ और $x_{2}$ दोनों सम हैं, तब भी $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}-1=x_{2}-1 \Rightarrow x_{1}=x_{2}$। इस प्रकार, $f$ एकैकी है। साथ ही, सह-क्षेत्र $\mathbf{N}$ में कोई भी विषम संख्या $2 r+1$ क्षेत्र $\mathbf{N}$ के $2 r+2$ की प्रतिबिंब है और सह-क्षेत्र $\mathbf{N}$ में कोई भी सम संख्या $2 r$ क्षेत्र $\mathbf{N}$ के $2 r-1$ की प्रतिबिंब है। इस प्रकार, $f$ आच्छादक है।

उदाहरण 13 दिखाइए कि एक आच्छादक फलन $f:\{1,2,3\} \Rightarrow\{1,2,3\}$ सदैव एकैकी होता है।

हल मान लीजिए $f$ एकैकी नहीं है। तब क्षेत्र के दो अवयव, मान लीजिए 1 और 2, ऐसे हैं जिनके सह-क्षेत्र में प्रतिबिंब समान हैं। साथ ही, 3 का प्रतिबिंब $f$ के अंतर्गत केवल एक अवयव हो सकता है। इसलिए, परिसर समुच्चय में सह-क्षेत्र $\{1,2,3\}$ के अधिकतम दो अवयव हो सकते हैं, जो दर्शाता है कि $f$ आच्छादक नहीं है, एक विरोधाभास। इसलिए, $f$ अवश्य एकैकी होना चाहिए।

उदाहरण 14 दिखाइए कि एक एकैकी फलन $f:\{1,2,3\} \rightarrow\{1,2,3\}$ आवश्यक रूप से आच्छादी होगा।

हल चूँकि $f$ एकैकी है, इसलिए $\{1,2,3\}$ के तीन अवयवों को सहप्रान्त $\{1,2,3\}$ के 3 भिन्न-भिन्न अवयवों पर $f$ द्वारा ले जाना चाहिए। अतः, $f$ का आच्छादी होना आवश्यक है।

टिप्पणी उदाहरण 13 और 14 में उल्लिखित परिणाम एक स्वेच्छित परिमित समुच्चय $X$ के लिए भी सत्य हैं, अर्थात् एक एकैकी फलन $f: X \rightarrow X$ आवश्यक रूप से आच्छादी होता है और एक आच्छादी प्रतिचित्र $f: X \rightarrow X$ आवश्यक रूप से एकैकी होता है, प्रत्येक परिमित समुच्चय $X$ के लिए। इसके विपरीत, उदाहरण 8 और 10 दर्शाते हैं कि एक अनन्त समुच्चय के लिए ऐसा नहीं हो सकता। वास्तव में, यह परिमित और अनन्त समुच्चय के बीच एक विशेष अन्तर है।

1.4 फलनों की संयोजन और व्युत्क्रमणीय फलन

परिभाषा 8 मान लीजिए $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow C$ दो फलन हैं। तब $f$ और $g$ का संयोजन, जिसे $g \circ f$ द्वारा दर्शाया जाता है, को फलन $g \circ f: A \rightarrow C$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जो $$g o f(x)=g(f(x)), \forall x \in A$$

आकृति 1.5

उदाहरण 15 मान लीजिए $f:\{2,3,4,5\} \rightarrow\{3,4,5,9\}$ और $g:\{3,4,5,9\} \rightarrow\{7,11,15\}$ फलन इस प्रकार परिभाषित हैं: $f(2)=3, f(3)=4, f(4)=f(5)=5$ और $g(3)=g(4)=7$ तथा $g(5)=g(9)=11$। $g \circ f$ ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास (g \circ f(2)=g(f(2))=g(3)=7, g \circ f(3)=g(f(3))=g(4)=7), (g \circ f(4)=g(f(4))=g(5)=11) और (g \circ f(5)=g(5)=11) है।

उदाहरण 16 (g \circ f) और (f \circ g) ज्ञात कीजिए, यदि (f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}) और (g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}) को (f(x)=\cos x) और (g(x)=3 x^{2}) द्वारा दिया गया है। दिखाइए कि (g \circ f \neq f \circ g) है।

हल हमारे पास (g \circ f(x)=g(f(x))=g(\cos x)=3(\cos x)^{2}=3 \cos ^{2} x) है। इसी प्रकार, (f \circ g(x)=f(g(x))=f(3 x^{2})=\cos (3 x^{2})) है। ध्यान दीजिए कि (3 \cos ^{2} x \neq \cos 3 x^{2}), जब (x=0) है। इसलिए, gof (\neq) fog है।

परिभाषा 9 एक फलन (f: X \rightarrow Y) व्युत्क्रमणीय होने के लिए परिभाषित किया जाता है, यदि एक फलन (g: Y \rightarrow X) का अस्तित्व होता है ताकि (g \circ f=I_{X}) और (f \circ g=I_{Y}) हो। फलन (g) को (f) का व्युत्क्रम कहा जाता है और इसे (f^{-1}) द्वारा दर्शाया जाता है।

इस प्रकार, यदि (f) व्युत्क्रमणीय है, तो (f) एक-एक और आच्छादक होना चाहिए और इसके वि�लोम, यदि (f) एक-एक और आच्छादक है, तो (f) व्युत्क्रमणीय होना चाहिए। यह तथ्य किसी फलन (f) को व्युत्क्रमणीय सिद्ध करने में महत्वपूर्ण रूप से सहायक होता है यह दिखाकर कि (f) एक-एक और आच्छादक है, विशेष रूप से जब (f) के वास्तविक व्युत्क्रम को निर्धारित नहीं करना होता है।

उदाहरण 17 मान लीजिए (f: \mathbf{N} \rightarrow Y) एक फलन है जिसे (f(x)=4 x+3) के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ, (Y=\{y \in \mathbf{N}: y=4 x+3) किसी (x \in \mathbf{N}) के लिए\}) है। दिखाइए कि (f) व्युत्क्रमणीय है। व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

हल Y के एक स्वेच्छ तत्व y पर विचार करें। Y की परिभाषा के अनुसार, y = 4x + 3, किसी x ∈ N के लिए। इससे दिखता है कि x = (y − 3)/4। g : Y → N को g(y) = (y − 3)/4 द्वारा परिभाषित करें। अब, g ∘ f(x) = g(f(x)) = g(4x + 3) = (4x + 3 − 3)/4 = x तथा

f ∘ g(y) = f(g(y)) = f((y − 3)/4) = 4(y − 3)/4 + 3 = y − 3 + 3 = y। इससे दिखता है कि g ∘ f = I_N और f ∘ g = I_Y, जिससे निष्कर्ष निकलता है कि f व्युत्क्रमणीय है और g, f का व्युत्क्रम है।

विविध उदाहरण

उदाहरण 18 यदि R₁ और R₂ किसी समुच्चय A पर तुल्यता सम्बन्ध हैं, तो दिखाइए कि R₁ ∩ R₂ भी एक तुल्यता सम्बन्ध है।

हल चूँकि R₁ और R₂ तुल्यता सम्बन्ध हैं, (a, a) ∈ R₁ और (a, a) ∈ R₂ ∀ a ∈ A। इससे (a, a) ∈ R₁ ∩ R₂, ∀ a, जिससे R₁ ∩ R₂ स्वतुल्य है। आगे, (a, b) ∈ R₁ ∩ R₂ ⇒ (a, b) ∈ R₁ और (a, b) ∈ R₂ ⇒ (b, a) ∈ R₁ और (b, a) ∈ R₂ ⇒ (b, a) ∈ R₁ ∩ R₂, अतः R₁ ∩ R₂ सममित है। इसी प्रकार, (a, b) ∈ R₁ ∩ R₂ और (b, c) ∈ R₁ ∩ R₂ ⇒ (a, c) ∈ R₁ और (a, c) ∈ R₂ ⇒ (a, c) ∈ R₁ ∩ R₂। इससे दिखता है कि R₁ ∩ R₂ संक्रामक है। इस प्रकार, R₁ ∩ R₂ एक तुल्यता सम्बन्ध है।

उदाहरण 19 मान लीजिए $R$ धनात्मक पूर्णांकों के क्रमित युग्मों के समुच्चय $A$ पर एक संबंध है, जो $(x, y) R(u, v)$ द्वारा परिभाषित है यदि और केवल यदि $x v=y u$। दिखाइए कि $R$ एक तुल्यता संबंध है।

हल स्पष्ट है, $(x, y) R(x, y), \forall(x, y) \in A$, चूँकि $x y=y x$। यह दर्शाता है कि $R$ स्वतुल्य है। आगे, $(x, y) R(u, v) \Rightarrow x v=y u \Rightarrow u y=v x$ और इसलिए $(u, v) R(x, y)$। यह दर्शाता है कि $R$ सममित है। इसी प्रकार, $(x, y) R(u, v)$ और $(u, v) R(a, b) \Rightarrow x v=y u$ और $u b=v a \Rightarrow x v \frac{a}{u}=y u \frac{a}{u} \Rightarrow x v \frac{b}{v}=y u \frac{a}{u} \Rightarrow x b=y a$ और इसलिए $(x, y) R(a, b)$। इस प्रकार, $R$ संक्रामक है। इस प्रकार, $R$ एक तुल्यता संबंध है।

उदाहरण 20 मान लीजिए $X=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$। मान लीजिए $R_{1}$ एक संबंध है $X$ में दिया गया $R_{1}=\{(x, y): x-y$ विभाज्य है 3 से और $R _{2}$ एक अन्य संबंध है $X$ पर दिया गया $R _{2}= \{(x, y):\{x, y \} \subset \{1,4,7 \}\}$ या $\{x, y \} \subset \{2,5,8 \}$ या $\{x, y\} \subset \{3,6,9 \}\}$। दिखाइए कि $R _{1}=R _{2}$।

हल ध्यान दें कि समुच्चयों \{1,4,7\}, \{2,5,8\} और \{3,6,9\} की विशेषता यह है कि इन समुच्चयों में किन्हीं भी दो अवयवों के बीच का अंतर 3 का गुणज होता है। इसलिए, $(x, y) \in R_{1} \Rightarrow x-y$ 3 का गुणज है $\Rightarrow$ \{x, y\} $\subset$ \{1,4,7\} या \{x, y\} $\subset$ \{2,5,8\} या \{x, y\} $\subset$ \{3,6,9\} $\Rightarrow (x, y) \in R_{2}$। अतः, $R_{1} \subset R_{2}$। इसी प्रकार, \{x, y\} $\in R_{2} \Rightarrow$ \{x, y\} $\subset$ \{1,4,7\} या \{x, y\} $\subset$ \{2,5,8\} या \{x, y\} $\subset$ \{3,6,9\} $\Rightarrow x-y$ 3 से विभाज्य है $\Rightarrow$ \{x, y\} $\in R_{1}$। यह दर्शाता है कि $R_{2} \subset R_{1}$। अतः, $R_{1}=R_{2}$।

उदाहरण 21 मान लीजिए $f: X \rightarrow Y$ एक फलन है। $X$ में एक संबंध $R$ को $R=\{(a, b): f(a)=f(b)\}$ द्वारा परिभाषित कीजिए। जांचिए कि क्या $R$ एक तुल्यता संबंध है या नहीं।

हल प्रत्येक $a \in X$ के लिए, $(a, a) \in R$, क्योंकि $f(a)=f(a)$, जो दर्शाता है कि $R$ स्वतुल्य है। इसी प्रकार, $(a, b) \in R \Rightarrow f(a)=f(b) \Rightarrow f(b)=f(a) \Rightarrow (b, a) \in R$। इसलिए, $R$ सममित है। आगे, $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \Rightarrow f(a)=f(b)$ और $f(b)=f(c) \Rightarrow f(a)=f(c) \Rightarrow (a, c) \in R$, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $R$ संक्रामक है। अतः, $R$ एक तुल्यता संबंध है।

उदाहरण 22 समुच्चय $A=\{1,2,3\}$ से स्वयं तक सभी एक-एक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल {1,2,3} से स्वयं तक एकैकी फलन तीन प्रतीकों 1,2,3 पर क्रमचय है। इसलिए, {1,2,3} से स्वयं तक कुल एकैकी मैपों की संख्या तीन प्रतीकों 1,2,3 पर कुल क्रमचयों की संख्या के समान है जो 3! = 6 है।

उदाहरण 23 मान लीजिए A = {1,2,3}। तो दिखाइए कि (1,2) और (2,3) को सम्मिलित करने वाले, स्वतुल्य तथा संक्रामक परन्तु सममित नहीं, सम्बन्धों की संख्या तीन है।

हल सबसे छोटा सम्बन्ध R₁ जिसमें (1,2) और (2,3) हैं, जो स्वतुल्य तथा संक्रामक है पर सममित नहीं, {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)} है। अब, यदि हम R₁ में युग्म (2,1) जोड़कर R₂ प्राप्त करें, तो सम्बन्ध R₂ स्वतुल्य, संक्रामक होगा पर सममित नहीं। इसी प्रकार, हम R₁ में (3,2) जोड़कर R₃ प्राप्त कर सकते हैं। परन्तु हम एक साथ दोनों युग्म (2,1),(3,2) या एकल युग्म (3,1) नहीं जोड़ सकते, क्योंकि ऐसा करने पर संक्रामकता बनाए रखने के लिए शेष युग्म भी जोड़ने पड़ेंगे और इस प्रक्रिया में सम्बन्ध सममित भी हो जाएगा जो अभीष्ट नहीं है। इस प्रकार, अभीष्ट सम्बन्धों की कुल संख्या तीन है।

उदाहरण 24 दिखाइए कि समुच्चय {1,2,3} में (1,2) और (2,1) को सम्मिलित करने वाले तुल्यता सम्बन्धों की संख्या दो है।

हल सबसे छोटा तुल्यता सम्बन्ध $R_{1}$ जिसमें $(1,2)$ और $(2,1)$ सम्मिलित हैं, वह है $\{(1,1)$, $(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}$। अब हमारे पास केवल 4 युग्म शेष हैं, अर्थात् $(2,3),(3,2)$, $(1,3)$ और $(3,1)$। यदि हम इनमें से कोई एक, मान लीजिए $(2,3)$, को $R_{1}$ में जोड़ते हैं, तो सममिति के लिए हमें $(3,2)$ भी जोड़ना होगा और अब संक्रमणिता के लिए हम बाध्य हैं कि $(1,3)$ और $(3,1)$ भी जोड़ें। इस प्रकार, $R_{1}$ से बड़ा एकमात्र तुल्यता सम्बन्ध सर्वव्यापी सम्बन्ध है। यह दर्शाता है कि $(1,2)$ और $(2,1)$ को सम्मिलित करने वाले तुल्यता सम्बन्धों की कुल संख्या दो है।

उदाहरण 25 तत्समक फलन $I_{\mathbf{N}}: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ को $I_{\mathbf{N}}(x)=x \forall x \in \mathbf{N}$ के रूप में परिभाषित माना गया है। दिखाइए कि यद्यपि $I_{\mathbf{N}}$ आच्छादक है, परंतु $I_{\mathbf{N}}+I_{\mathbf{N}}: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ को

$$ (I_{N}+I_{N})(x)=I_{N}(x)+I_{N}(x)=x+x=2 x \text { आच्छादक नहीं है। } $$

हल स्पष्ट है कि $I_{N}$ आच्छादक है। परंतु $I_{N}+I_{N}$ आच्छादक नहीं है, क्योंकि हम सह-क्षेत्र $\mathbf{N}$ में 3 नामक एक ऐसा अवयव पा सकते हैं कि जिसके लिए क्षेत्र $\mathbf{N}$ में कोई ऐसा $x$ अस्तित्व में नहीं है जिससे $(I_{N}+I_{N})(x)=2 x=3$ हो।

उदाहरण 26 एक फलन $f:[0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow \mathbf{R}$ जो $f(x)=\sin x$ द्वारा दिया गया है और $g:[0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow \mathbf{R}$ जो $g(x)=\cos x$ द्वारा दिया गया है, पर विचार कीजिए। दिखाइए कि $f$ और $g$ एकैकी हैं, परंतु $f+g$ एकैकी नहीं है।

हल चूँकि किसी भी दो भिन्न-भिन्न अवयवों $x_{1}$ और $x_{2}$ के लिए $[0, \frac{\pi}{2}]$ में, $\sin x_{1} \neq \sin x_{2}$ और $\cos x_{1} \neq \cos x_{2}$, इसलिए $f$ और $g$ दोनों एकैकी होने चाहिए। परंतु $(f+g)(0)=\sin 0+\cos 0=1$ और $(f+g)(\frac{\pi}{2})=\sin \frac{\pi}{2}+\cos \frac{\pi}{2}=1$। अतः $f+g$ एकैकी नहीं है।

सारांश

इस अध्याय में हमने विभिन्न प्रकार के संबंधों और तुल्यता संबंध, फलनों की संयोजन, व्युत्क्रमणीय फलनों और द्विआधारी संक्रियाओं का अध्ययन किया। इस अध्याय की मुख्य विशेषताएँ इस प्रकार हैं:

• रिक्त संबंध वह संबंध $R$ है जो $X$ में $R=\phi \subset X \times X$ द्वारा दिया गया है।

• सार्वभौमिक संबंध वह संबंध $R$ है जो $X$ में $R=X \times X$ द्वारा दिया गया है।

• स्वतुल्य संबंध $R$ वह संबंध है जिसमें $(a, a) \in R \forall a \in X$।

• सममित संबंध $R$ वह संबंध है जो $(a, b) \in R$ होने पर $(b, a) \in R$ को निहित करता है।

• संक्रामक संबंध $R$ वह संबंध है जो $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ होने पर $(a, c) \in R$ को निहित करता है।

• तुल्यता संबंध $R$ वह संबंध है जो स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हो।

• तुल्यता वर्ग $[a]$ जिसमें $a \in X$ किसी तुल्यता संबंध $R$ के लिए, $X$ का वह उपसमुच्चय है जिसमें सभी ऐसे अवयव $b$ हैं जो $a$ से संबंधित हैं।

• एक फलन $f: X \rightarrow Y$ एकैकी (या इंजेक्टिव) है यदि $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2} \forall x_{1}, x_{2} \in X$।

• एक फलन (f: X \rightarrow Y) आच्छादी (या सर्जेक्टिव) है यदि दिए गए किसी भी (y \in Y) के लिए, (\exists x \in X) ऐसा है कि (f(x)=y)।

• एक फलन (f: X \rightarrow Y) एक-एक तथा आच्छादी (या बाइजेक्टिव) है, यदि (f) एक-एक भी है और आच्छादी भी।

• एक परिमित समुच्चय (X) दिया गया हो, तो एक फलन (f: X \rightarrow X) एक-एक है (क्रमशः आच्छादी) तभी यदि (f) आच्छादी है (क्रमशः एक-एक)। यह परिमित समुच्चय की विशिष्टता है। यह अपरिमित समुच्चय के लिए सत्य नहीं है।

ऐतिहासिक टिप्पणी

फलन की अवधारणा एक लंबे समय तक विकसित होती रही है, जिसकी शुरुआत आर. डेकार्टेस (1596-1650) से हुई, जिन्होंने अपने पांडुलिपि “जियोमेट्री” में 1637 में ‘फलन’ शब्द का प्रयोग किसी चर $x$ की धनात्मक पूर्ण घात $x^{n}$ के अर्थ में किया था, जबकि वे हाइपरबोला, परवलय और दीर्घवृत्त जैसी ज्यामितीय वक्रों का अध्ययन कर रहे थे। जेम्स ग्रेगोरी (1636-1675) ने अपने कार्य “वेरा सर्कुली एट हाइपरबोल क्वाड्रेचुरा” (1667) में फलन को एक ऐसी मात्रा माना जो अन्य मात्राओं से क्रमागत बीजगणितीय संक्रियाओं या किसी अन्य संक्रियाओं द्वारा प्राप्त की जाती है। बाद में जी. डब्ल्यू. लाइबनिट्ज़ (1646-1716) ने अपनी पांडुलिपि “मेथोडस टैंजेन्टियम इनवर्सा, सेउ डी फंक्शनिबस” में 1673 में ‘फलन’ शब्द का प्रयोग एक ऐसी मात्रा के लिए किया जो एक वक्र पर बिंदु से बिंदु तक परिवर्तित होती है, जैसे कि वक्र पर किसी बिंदु के निर्देशांक, वक्र की ढाल, बिंदु पर स्पर्श रेखा और अभिलंब। हालांकि, अपनी पांडुलिपि “हिस्टोरिया” (1714) में, लाइबनिट्ज़ ने ‘फलन’ शब्द का प्रयोग उन मात्राओं के लिए किया जो किसी चर पर निर्भर करती हैं। वे ‘$x^{\prime}$ का फलन’ वाक्यांश का प्रयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे। जॉन बर्नौली (1667-1748) ने 1718 में पहली बार संकेत $\phi x$ का प्रयोग $x$ के फलन को दर्शाने के लिए किया। लेकिन $f, F, \phi, \psi \ldots$ जैसे प्रतीकों को फलनों को दर्शाने के लिए सामान्य रूप से अपनाना लियोनहार्ड ऑयलर (1707-1783) ने 1734 में अपनी पांडुलिपि “एनालिसिस इन्फिनिटोरम” के पहले भाग में किया। बाद में, जोसेफ लुई लाग्रांज (1736-1813) ने अपनी पांडुलिपियाँ “थियोरी डेस फंक्शन एनालिटिक्स” 1793 में प्रकाशित कीं, जहाँ उन्होंने विश्लेषणात्मक फलन के बारे में चर्चा की और $f(x), F(x)$, $\phi(x)$ आदि संकेतों का प्रयोग $x$ के विभिन्न फलनों के लिए किया। तत्पश्चात, लेजून डिरिचलेट (1805-1859) ने फलन की वह परिभाषा दी जिसका प्रयोग तब तक किया जाता रहा जब तक कि वर्तमान में प्रयुक्त समुच्चय सिद्धांत आधारित फलन की परिभाषा नहीं दी गई, जो समुच्चय सिद्धांत के जॉर्ज कैंटर (1845-1918) द्वारा विकसित होने के बाद दी गई। वर्तमान में हमारे लिए ज्ञात समुच्चय सिद्धांत आधारित फलन की परिभाषा केवल डिरिखलेट द्वारा दी गई परिभाषा का एक कठोर रूप में निरूपण है।