गणित, सामान्य रूप से, मूलतः स्वतःस्पष्ट वस्तुओं का विज्ञान है। — फेलिक्स क्लेन

2.1 प्रस्तावना

अध्याय 1 में हमने अध्ययन किया है कि किसी फलन $f$ का प्रतिलोम, जिसे $f^{-1}$ द्वारा दर्शाया जाता है, तभी अस्तित्व में आता है जब $f$ एक-एक तथा आच्छादक हो। बहुत-से फलन ऐसे होते हैं जो न तो एक-एक होते हैं, न आच्छादक, या दोनों नहीं, और इसलिए हम उनके प्रतिलोमों की बात नहीं कर सकते। कक्षा XI में हमने अध्ययन किया कि त्रिकोणमितीय फलन अपने प्राकृतिक प्रान्तों और परिसरों पर एक-एक तथा आच्छादक नहीं होते और इसलिए उनके प्रतिलोम अस्तित्व में नहीं आते। इस अध्याय में हम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रान्तों और परिसरों पर ऐसे प्रतिबंधों का अध्ययन करेंगे जो उनके प्रतिलोमों के अस्तित्व को सुनिश्चित करते हैं और उनके आचरण को आलेखीय प्रतिरूपों के माध्यम से देखेंगे। इसके अतिरिक्त कुछ प्रारंभिक गुणधर्मों पर भी चर्चा की जाएगी। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कलन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं क्योंकि वे अनेक समाकलनों को परिभाषित करने में काम आते हैं। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की संकल्पनाएँ विज्ञान और अभियांत्रिकी में भी प्रयुक्त होती हैं।

आर्यभट्ट

($476-550$ ई.)

2.2 मूलभूत संकल्पनाएँ

कक्षा XI में हमने त्रिकोणमितीय फलनों का अध्ययन किया है, जिन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

ज्या फलन, अर्थात् sine : $\mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

कोज्या फलन, अर्थात् $\cos : \mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

टैंजेंट फलन, अर्थात् $\tan : \mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

कोटैंजेंट फलन, अर्थात् $\cot : \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

सेकेंट फलन, अर्थात् sec : $\mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

कोसेकेंट फलन, अर्थात् $cosec: \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

हमने अध्याय 1 में यह भी सीखा है कि यदि $f: X \rightarrow Y$ इस प्रकार है कि $f(x)=y$ एकैकी तथा आच्छादक है, तो हम एक अद्वितीय फलन $g: Y \rightarrow X$ परिभाषित कर सकते हैं जिससे $g(y)=x$, जहाँ $x \in X$ और $y=f(x), y \in$ Y। यहाँ, $g$ का प्रांत = $f$ का परिसर और $g$ का परिसर = $f$ का प्रांत है। फलन $g$ को $f$ का प्रतिलोम कहा जाता है और इसे $f^{-1}$ द्वारा निरूपित किया जाता है। इसके अतिरिक्त, $g$ भी एकैकी तथा आच्छादक है और $g$ का प्रतिलोम $f$ है। इस प्रकार, $g^{-1}=(f^{-1})^{-1}=f$। हमारे पास यह भी है

तथा $$ (f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x $$ $$ (f \circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y $$

चूँकि साइन फलन का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और परास $[-1,1]$ है। यदि हम इसका प्रांत $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ तक सीमित कर दें, तो यह एकैक और आच्छादक हो जाता है तथा परास $[-1,1]$ रहता है। वास्तव में, साइन फलन को $\frac{-3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2},[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}],[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ आदि किसी भी अंतराल तक सीमित करने पर वह एकैक होता है और उसका परास $[-1,1]$ है। हम, इसलिए, इन सभी अंतरालों में साइन फलन का प्रतिलोम परिभाषित कर सकते हैं। हम साइन फलन का प्रतिलोम $\sin ^{-1}$ (आर्क साइन फलन) द्वारा दर्शाते हैं। इस प्रकार, $\sin ^{-1}$ एक ऐसा फलन है जिसका प्रांत $[-1,1]$ है और परास उपर्युक्त अंतरालों में से कोई भी हो सकता है, जैसे $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}],[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ या $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ आदि। इनमें से प्रत्येक अंतराल के अनुरूप हमें $\sin ^^{-1}$ फलन की एक शाखा प्राप्त होती है। वह शाखा जिसका परास $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है, मुख्य मान शाखा कहलाती है, जबकि अन्य अंतरालों को परास मानने पर $\sin ^{-1}$ की भिन्न-भिन्न शाखाएँ प्राप्त होती हैं। जब हम फलन $\sin ^{-1}$ की चर्चा करते हैं, तो हम उसे ऐसा फलन मानते हैं जिसका प्रांत $[-1,1]$ और परास $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है। हम लिखते हैं $\sin ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

प्रतिलोम फलनों की परिभाषा से यह अनुसरण करता है कि $\sin (\sin ^{-1} x)=x$ यदि $-1 \leq x \leq 1$ और $\sin ^{-1}(\sin x)=x$ यदि $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$। दूसरे शब्दों में, यदि $y=\sin ^{-1} x$, तो $\sin y=x$।

टिप्पणियाँ

(i) हमें अध्याय 1 से ज्ञात है कि यदि $y=f(x)$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है, तो $x=f^{-1}(y)$। इस प्रकार, $\sin ^{-1}$ फलन का आलेख मूल फलन के आलेख से $x$ और $y$ अक्षों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात् यदि $(a, b)$ एक बिंदु sine फलन के आलेख पर है, तो $(b, a)$ sine फलन के प्रतिलोम के आलेख पर संगत बिंदु बन जाता है। इस प्रकार, फलन $y=\sin ^{-1} x$ का आलेख $y=\sin x$ के आलेख से $x$ और $y$ अक्षों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जा सकता है। $y=\sin x$ और $y=\sin ^{-1} x$ के आलेख चित्र 2.1 (i), (ii), (iii) में दिए गए हैं। $y=\sin ^{-1} x$ के आलेख का गहरा भाग मुख्य मान शाखा को दर्शाता है।

(ii) यह दिखाया जा सकता है कि किसी प्रतिलोम फलन का आलेख संगत मूल फलन के आलेख से रेखा $y=x$ के साथ दर्पण प्रतिबिंब (अर्थात् परावर्तन) के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। यह $y=\sin x$ और $y=\sin ^{-1} x$ के आलेखों को एक ही अक्षों में देखकर कल्पना किया जा सकता है (चित्र 2.1 (iii))।

जैसे साइन फलन, कोसाइन फलन एक ऐसा फलन है जिसका डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और परिसर समुच्चय $[-1,1]$ है। यदि हम कोसाइन फलन के डोमेन को $[0, \pi]$ तक सीमित कर दें, तो यह एक-एक और आच्छादक हो जाता है तथा परिसर $[-1,1]$ रखता है। वास्तव में, कोसाइन फलन को अंतरालों $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ आदि में से किसी एक पर सीमित करने पर, ये द्विसूर्यक (bijective) होते हैं और परिसर $[-1,1]$ रखते हैं। हम, इसलिए, इनमें से प्रत्येक अंतराल में कोसाइन फलन का प्रतिलोम परिभाषित कर सकते हैं। हम कोसाइन फलन के प्रतिलोम को $\cos ^{-1}$ (आर्क कोसाइन फलन) द्वारा निरूपित करते हैं। इस प्रकार, $\cos ^{-1}$ एक ऐसा फलन है जिसका डोमेन $[-1,1]$ है और परिसर उपरोक्त अंतरालों $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ आदि में से कोई भी हो सकता है। प्रत्येक ऐसे अंतराल के अनुरूप, हम फलन $\cos ^^{-1}$ की एक शाखा प्राप्त करते हैं। वह शाखा जिसका परिसर $[0, \pi]$ है, फलन $\cos ^{-1}$ की मुख्य मान शाखा कहलाती है। हम लिखते हैं

$$ \cos ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] . $$

फलन $y=\cos ^{-1} x$ द्वारा दिया गया ग्राफ उसी प्रकार खींचा जा सकता है जैसे $y=\sin ^{-1} x$ के ग्राफ के बारे में चर्चा की गई थी। फलनों $y=\cos x$ और $y=\cos ^{-1} x$ के ग्राफ चित्र 2.2 (i) और (ii) में दिए गए हैं।

चित्र 2.2 (i)

चित्र 2.2 (ii)

आइए अब हम $cosec^{-1} x$ और $\sec ^{-1} x$ पर चर्चा करें जैसा निम्नलिखित है:

चूँकि, $cosec x=\frac{1}{\sin x}$, इसलिए cosec फंक्शन का डोमेन समुच्चय $\{x: x \in \mathbf{R}$ और $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ है और रेंज समुच्चय $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ या $y \leq -1\}$ अर्थात् समुच्चय $\mathbf{R}-(-1,1)$ है। इसका अर्थ है कि $y=cosec x$ सभी वास्तविक मान ग्रहण करता है, सिवाय $-1<y<1$ के और यह $\pi$ के पूर्णांक गुणकों के लिए परिभाषित नहीं है। यदि हम cosec फंक्शन के डोमेन को $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$ तक सीमित कर दें, तो यह एक-से-एक और आच्छादक होता है और इसकी रेंज समुच्चय $\mathbf{R}-(-1,1)$ होती है। वास्तव में, cosec फंक्शन को उपरोक्त अंतरालों में से किसी एक पर सीमित किया जाए, जैसे $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}]-\{-\pi\},[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$, $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-\{\pi\}$ आदि, तो ये द्वि-आच्छादक होते हैं और इनकी रेंज सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $\mathbf{R}-(-1,1)$ होती है। इस प्रकार $cosec^{-1}$ को एक ऐसे फंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका डोमेन $\mathbf{R}-(-1,1)$ है और रेंज उपरोक्त अंतरालों में से कोई भी हो सकती है, जैसे $\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}-\{-\pi\}, \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}-\{0\},[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-\{\pi\}$ आदि। रेंज $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$ के अनुरूप फंक्शन को $cosec^{-1}$ का प्रधान मान शाखा कहा जाता है। इस प्रकार हमारे पास प्रधान शाखा है

$$ cosec^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\} $$

$y=cosec x$ और $y=cosec^{-1} x$ के ग्राफ Fig 2.3 (i), (ii) में दिए गए हैं।

चूँकि $\sec x=\frac{1}{\cos x}$, इसलिए $y=\sec x$ का डोमेन समुच्चय $\mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}.$, $n \in \mathbf{Z}\}$ है और रेंज समुच्चय $\mathbf{R}-(-1,1)$ है। इसका अर्थ है कि sec (सेकेंट फलन) सभी वास्तविक मान ग्रहण करता है, सिवाय $-1<y<1$ के और यह $\frac{\pi}{2}$ के विषम गुणजों के लिए परिभाषित नहीं है। यदि हम सेकेंट फलन के डोमेन को $[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\}$ तक सीमित कर दें, तो यह एकैक और आच्छादक हो जाता है और इसकी रेंज समुच्चय $\mathbf{R}-(-1,1)$ होती है। वास्तव में, सेकेंट फलन को किसी भी अंतराल $[-\pi, 0]-\{\frac{-\pi}{2}\},[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\},[\pi, 2 \pi]-\{\frac{3 \pi}{2}\}$ आदि तक सीमित करने पर यह द्वि-निष्कर्ष होता है और इसकी रेंज $\mathbf{R}-\{-1,1\}$ होती है। इस प्रकार $\sec ^{-1}$ को एक ऐसे फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका डोमेन $\mathbf{R}-(-1,1)$ है और रेंज उपरोक्त अंतरालों $[-\pi, 0]-\{\frac{-\pi}{2}\},[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\},[\pi, 2 \pi]-\{\frac{3 \pi}{2}\}$ आदि में से कोई भी हो सकती है। इन अंतरालों में से प्रत्येक के अनुरूप, हमें फलन $sec^{-1}$ की विभिन्न शाखाएँ प्राप्त होती हैं। वह शाखा जिसकी रेंज $[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\}$ है, फलन $sec^{-1}$ की मुख्य मान शाखा कहलाती है। इस प्रकार हमारे पास

$$ \sec ^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\} $$

फलनों $y=\sec x$ और $y=\sec ^{-1} x$ के ग्राफ चित्र 2.4 (i), (ii) में दिए गए हैं।

अंत में, हम अब $\tan ^{-1}$ और $\cot ^{-1}$ पर चर्चा करते हैं।

हम जानते हैं कि tan फलन (टैंजेंट फलन) का प्रांत समुच्चय $\{x: x \in \mathbf{R}.$ और $.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ है और परिसर $\mathbf{R}$ है। इसका अर्थ है कि फलन $\frac{\pi}{2}$ के विषम गुणजों के लिए परिभाषित नहीं है। यदि हम टैंजेंट फलन के प्रांत को $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ तक सीमित कर दें, तो यह एकैक और आच्छादक होता है तथा इसका परिसर $\mathbf{R}$ होता है। वास्तव में, टैंजेंट फलन को अंतरालों $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ आदि में से किसी पर भी सीमित किया जाए, तो वह द्वि-निष्ठ होता है और इसका परिसर $\mathbf{R}$ होता है। इस प्रकार $\tan ^{-1}$ को एक ऐसे फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका प्रांत $\mathbf{R}$ है और परिसर उपरोक्त अंतरालों $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ आदि में से कोई भी हो सकता है। ये अंतराल फलन $\tan ^{-1}$ की विभिन्न शाखाएँ देते हैं। परिसर $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ वाली शाखा को फलन $\tan ^{-1}$ की मुख्य मान शाखा कहा जाता है। इस प्रकार हमारे पास

$$ \tan ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $$

फलन $y=\tan x$ और $y=\tan ^{-1} x$ के आलेख चित्र 2.5 (i), (ii) में दिए गए हैं।

हम जानते हैं कि cot फलन (cotangent function) का प्रान्त समुच्चय है $\{x: x \in \mathbf{R}$ और $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ और परास है $\mathbf{R}$। इसका अर्थ है कि cotangent फलन $\pi$ के पूर्णांक गुणजों के लिए परिभाषित नहीं है। यदि हम cotangent फलन के प्रान्त को $(0, \pi)$ तक सीमित कर दें, तो यह एकैकी तथा आच्छादक होता है और इसका परास $\mathbf{R}$ है। वास्तव में, cotangent फलन को अंतराल $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ आदि में से किसी एक पर सीमित करने पर यह एकैकी तथा आच्छादक होता है और इसका परास $\mathbf{R}$ है। इस प्रकार $\cot ^{-1}$ को एक ऐसे फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका प्रान्त $\mathbf{R}$ है और परास उपरोक्त अंतरालों $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ आदि में से कोई एक है। ये अंतराल फलन $\cot ^{-1}$ की विभिन्न शाखाएँ देते हैं। वह फलन जिसका परास $(0, \pi)$ है, को फलन $\cot ^{-1}$ की मुख्य मान शाखा कहा जाता है। इस प्रकार हमारे पास

$$ \cot ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(0, \pi) $$

$y=\cot x$ और $y=\cot ^{-1} x$ के आलेख चित्र 2.6 (i), (ii) में दिए गए हैं।

निम्न सारणी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों (मुख्य मान शाखाओं) को उनके प्रान्तों और परासों के साथ देती है।

नोट

1. $\sin ^{-1} x$ को $(\sin x)^{-1}$ से भ्रमित नहीं करना चाहिए। वास्तव में $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ और इसी प्रकार अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के लिए भी।

2. जब भी किसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की शाखा का उल्लेख नहीं किया जाता है, तो हम उस फलन की मुख्य मान शाखा का अभिप्राय रखते हैं।

3. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान जो मुख्य शाखा की सीमा में आता है, उस प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान कहलाता है।

अब हम कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं:

उदाहरण 1 $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})=y$। तब, $\sin y=\frac{1}{\sqrt{2}}$।

हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}$ की मुख्य मान शाखा की सीमा $\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ है और $\sin (\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$ है। इसलिए, $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{4}$ है।

उदाहरण 2 $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})=y$। तब,

$$ \cot y=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\cot (\frac{\pi}{3})=\cot (\pi-\frac{\pi}{3})=\cot (\frac{2 \pi}{3}) $$

हम जानते हैं कि $\cot ^{-1}$ के प्रधान मान शाखा का परिसर $(0, \pi)$ है और $\cot (\frac{2 \pi}{3})=\frac{-1}{\sqrt{3}}$ है। इसलिए, $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ का प्रधान मान $\frac{2 \pi}{3}$ है।

2.3 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म

इस खंड में, हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्मों को सिद्ध करेंगे। यहाँ उल्लेख किया जा सकता है कि ये परिणाम संगत प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की प्रधान मान शाखाओं के भीतर और जहाँ-जहाँ वे परिभाषित हैं, वैध हैं। कुछ परिणाम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांतों के सभी मानों के लिए वैध नहीं हो सकते हैं। वास्तव में, वे केवल $x$ के कुछ ऐसे मानों के लिए वैध होंगे जिनके लिए प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन परिभाषित हैं। हम प्रांत में $x$ के इन मानों के विवरण में नहीं जाएँगे क्योंकि यह चर्चा इस पाठ्यपुस्तक की सीमा से बाहर चली जाती है।

आइए याद करें कि यदि $y=\sin ^{-1} x$ है, तो $x=\sin y$ है और यदि $x=\sin y$ है, तो $y=\sin ^{-1} x$ है। यह इसके समतुल्य है

$$ \sin (\sin ^{-1} x)=x, x \in[-1,1] \text { और } \sin ^{-1}(\sin x)=x, x \in[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $$

प्रांत के उपयुक्त मानों के लिए शेष त्रिकोणमितीय फलनों के लिए भी इसी प्रकार के परिणाम लागू होते हैं। अब हम कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं।

उदाहरण 3 दिखाइए कि

(i) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \sin ^{-1} x,-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

(ii) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x, \frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$

हल

(i) माना (x=\sin \theta). तब (\sin ^{-1} x=\theta). हमारे पास

[ \begin{aligned} \sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}) \ & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta)=\sin ^{-1}(\sin 2 \theta)=2 \theta \ & =2 \sin ^{-1} x \end{aligned} ]

(ii) मान लीजिए (x=\cos \theta), फिर ऊपर की तरह आगे बढ़ने पर, हम पाते हैं, (\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x)

उदाहरण 4 (\tan ^{-1} \frac{\cos x}{1-\sin x},-\frac{3 \pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}) को सरलतम रूप में व्यक्त कीजिए।

हल हम लिखते हैं

[ \begin{aligned} \tan ^{-1}(\frac{\cos x}{1-\sin x}) & =\tan ^{-1}[\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\sin ^{2} \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}] \ & =\tan ^{-1}[\frac{(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})^{2}}] \ & =\tan ^{-1}[\frac{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}]=\tan ^{-1}[\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}] \ & =\tan ^{-1}[\tan (\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})]=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} \end{aligned} ]

उदाहरण 5 (\cot ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}), x>1) को सरलतम रूप में लिखिए।

हल माना (x=\sec \theta), तब (\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}=\tan \theta)

इसलिए, (\cot ^{-1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\cot ^{-1}(\cot \theta)=\theta=\sec ^{-1} x), जो सरलतम रूप है।

विविध उदाहरण

उदाहरण 6 $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})$ का मान ज्ञात कीजिए

हल हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}(\sin x)=x$। इसलिए, $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\frac{3 \pi}{5}$

लेकिन $\quad \frac{3 \pi}{5} \notin[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, जो कि $\sin ^{-1} x$ की प्रधान शाखा है

हालांकि $\quad \sin (\frac{3 \pi}{5})=\sin (\pi-\frac{3 \pi}{5})=\sin \frac{2 \pi}{5}$ और $\frac{2 \pi}{5} \in[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

इसलिए $\quad \sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\sin ^{-1}(\sin \frac{2 \pi}{5})=\frac{2 \pi}{5}$

सारांश

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत और परिसर (प्रधान मान शाखाएँ) निम्नलिखित सारणी में दिए गए हैं:

• $\sin ^{-1} x$ को $(\sin x)^{-1}$ से भ्रमित नहीं करना चाहिए। वास्तव में $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ और अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के लिए भी ऐसा ही है।
• किसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान जो उसकी मुख्य मान शाखा में आता है, उसे उस प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान कहा जाता है।

किसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान, जो उसकी मुख्य
$y=\sin ^{-1} x \Rightarrow x=\sin y$
$x=\sin y \Rightarrow y=\sin ^{-1} x$
$\sin (\sin ^{-1} x)=x$
$\sin ^{-1}(\sin x)=x$

ऐतिहासिक टिप्पणी

त्रिकोणमिति का अध्ययन सर्वप्रथम भारत में प्रारंभ हुआ। प्राचीन भारतीय गणितज्ञ, आर्यभट्ट (476 ई.), ब्रह्मगुप्त (598 ई.), भास्कर प्रथम (600 ई.) और भास्कर द्वितीय (1114 ई.) ने त्रिकोणमिति के महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए। यह सारा ज्ञान भारत से अरब गया और फिर वहाँ से यूरोप पहुँचा। यूनानियों ने भी त्रिकोणमिति का अध्ययन प्रारंभ किया था, परंतु उनकी विधि इतनी असुविधाजनक थी कि जब भारतीय विधि ज्ञात हुई, तो उसे तुरंत संपूर्ण विश्व में अपनाया गया।

भारत में, आधुनिक त्रिकोणमितीय फलनों के पूर्वज, जिसे किसी कोण की ज्या कहा जाता है, और ज्या फलन का प्रतिपादन सिद्धांतों (संस्कृत खगोलीय ग्रंथों) की गणित में मुख्य योगदानों में से एक है।

भास्कर प्रथम (लगभग 600 ई.) ने $90^{\circ}$ से अधिक कोणों के लिए साइन फलनों के मान ज्ञात करने के सूत्र दिए। सोलहवीं शताब्दी की मलयालम रचना युक्तिभाषा में $\sin (A+B)$ के प्रसार के लिए एक प्रमाण है। $18^{\circ}, 36^{\circ}, 54^{\circ}, 72^{\circ}$ आदि के साइन या कोसाइन के लिए सटीक व्यंजक भास्कर द्वितीय ने दिए।

चिह्न $\sin ^{-1} x, \cos ^{-1} x$, आदि, जो $arc \sin x, arc \cos x$, आदि के लिए हैं, खगोलशास्त्री सर जॉन एफ.डब्ल्यू. हरशेल (1813) ने सुझाए। थेल्स (लगभग 600 ई.पू.) का नाम अपरिवर्त रूप से ऊँचाई और दूरी की समस्याओं से जुड़ा है। उन्हें मिश्र के एक महान पिरामिड की ऊँचाई निर्धारित करने का श्रेय दिया जाता है, जिसमें उन्होंने पिरामिड और एक ज्ञात ऊँचाई के सहायक डंडे (या ग्नोमन) की छायाएँ मापीं और अनुपातों की तुलना की:

$$ \frac{H}{S}=\frac{h}{S}=\tan \text { (सूर्य की ऊँचाई) } $$

थेल्स ने समान त्रिभुजों की भुजाओं की समानुपातिकता के माध्यम से समुद्र में स्थित एक जहाज की दूरी की भी गणना की बताई जाती है। ऊँचाई और दूरी पर आधारित समस्याएँ, जो समानता के गुण का उपयोग करती हैं, प्राचीन भारतीय ग्रंथों में भी पाई जाती हैं।