SATHEE CUET: Chapter 3 Matrices

गणित के विभिन्न शाखाओं में आवृत्तियों का ज्ञान आवश्यक है। आवृत्तियाँ गणित के सबसे शक्तिशाली उपकरणों में से एक हैं। यह गणितीय उपकरण अन्य सीधे तरीकों की तुलना में हमारे कार्य को काफी हद तक सरल बना देता है। आवृत्तियों की अवधारणा का विकास रैखिक समीकरणों के समूह को हल करने के संक्षिप्त और सरल तरीकों को प्राप्त करने के प्रयास का परिणाम है। आवृत्तियों का उपयोग केवल रैखिक समीकरणों के समूह में गुणांकों के प्रतिनिधित्व के रूप में नहीं किया जाता है, बल्कि आवृत्तियों की उपयोगिता इस उपयोग से कहीं आगे तक जाती है। आवृत्ति संकेतन और संचालन व्यक्तिगत कंप्यूटर के लिए इलेक्ट्रॉनिक स्प्रेडशीट प्रोग्रामों में उपयोग किए जाते हैं, जिसे बदले में व्यापार और विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में बजटिंग, बिक्री पूर्वानुमान, लागत अनुमान, प्रयोग के परिणामों का विश्लेषण आदि के लिए उपयोग किया जाता है। साथ ही, कई भौतिक संचालन जैसे आवर्धन, घूर्णन और समतल के माध्यम से परावर्तन को गणितीय रूप से आवृत्तियों द्वारा दर्शाया जा सकता है। आवृत्तियों का उपयोग क्रिप्टोग्राफी में भी किया जाता है। यह गणितीय उपकरण केवल विज्ञान की कुछ शाखाओं में ही नहीं, बल्कि जेनेटिक्स, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, आधुनिक मनोविज्ञान और औद्योगिक प्रबंधन में भी उपयोग किया जाता है।

इस अध्याय में, हम आवृत्ति और आवृत्ति बीजगणित की मूल बातों से परिचित होना रोचक पाएंगे।

3.2 आवृत्ति

मान लीजिए हम यह जानकारी देना चाहते हैं कि राधा के पास 15 नोटबुक हैं। हम इसे [15] के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, यह समझते हुए कि कोष्ठक के अंदर की संख्या राधा के पास मौजूद नोटबुकों की संख्या है। अब, यदि हम यह बताना चाहें कि राधा के पास 15 नोटबुक और 6 पेन हैं, तो हम इसे $\begin{bmatrix}15 & 6\end{bmatrix}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, यह समझते हुए कि कोष्ठक के अंदर पहली संख्या नोटबुकों की संख्या है जबकि दूसरी संख्या राधा के पास मौजूद पेनों की संख्या है। अब मान लीजिए कि हम राधा और उसकी दो सहेलियों फौजिया और सिमरन द्वारा नोटबुकों और पेनों के स्वामित्व की निम्नलिखित जानकारी व्यक्त करना चाहते हैं:

$$ \begin{array}{llllll} \text { राधा } & \text { के पास } & 15 & \text { नोटबुक } & \text { और } & 6 \text { पेन हैं, } \\ \text { फौजिया } & \text { के पास } & 10 & \text { नोटबुक } & \text { और } & 2 \text { पेन हैं, } \\ \text { सिमरन } & \text { के पास } & 13 & \text { नोटबुक } & \text { और } & 5 \text { पेन हैं। } \end{array} $$

अब इसे सारणीबद्ध रूप में इस प्रकार व्यवस्थित किया जा सकता है:

$$ \begin{array}{lcc} & \text { नोटबुक } & \text { पेन } \\ \text { राधा } & 15 & 6 \\ \text { फौजिया } & 10 & 2 \\ \text { सिमरन } & 13 & 5 \end{array} $$

या

	राधा	फौजिया	सिमरन
नोटबुक	15	10	13
पेन	6	2	5

जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

पहली व्यवस्था में पहले स्तंभ की प्रविष्टियाँ क्रमशः राधा, फौजिया और सिमरन के पास मौजूद नोटबुकों की संख्या को दर्शाती हैं और दूसरे स्तंभ की प्रविष्टियाँ क्रमशः राधा, फौजिया और सिमरन के पास मौजूद पेनों की संख्या को दर्शाती हैं। इसी प्रकार, दूसरी व्यवस्था में पहली पंक्ति की प्रविष्टियाँ क्रमशः राधा, फौजिया और सिमरन के पास मौजूद नोटबुकों की संख्या को दर्शाती हैं। दूसरी पंक्ति की प्रविष्टियाँ क्रमशः राधा, फौजिया और सिमरन के पास मौजूद पेनों की संख्या को दर्शाती हैं। इस प्रकार की व्यवस्था या प्रदर्शन को मैट्रिक्स कहा जाता है। औपचारिक रूप से हम मैट्रिक्स को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:

परिभाषा 1 मैट्रिक्स संख्याओं या फलनों का एक क्रमबद्ध आयताकार आयतन होता है। संख्याएँ या फलन मैट्रिक्स के तत्व या प्रविष्टियाँ कहलाते हैं।

हम मैट्रिक्स को बड़े अक्षरों से दर्शाते हैं। निम्नलिखित मैट्रिक्स के कुछ उदाहरण हैं:

$$ A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\frac{1}{2} \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \frac{5}{7} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1+x & x^{3} & 3 \\ \cos x & \sin x+2 & \tan x \end{bmatrix} $$

उपरोक्त उदाहरणों में, तत्वों की क्षैतिज रेखाओं को मैट्रिक्स की पंक्तियाँ कहा जाता है और तत्वों की ऊर्ध्वाधर रेखाओं को मैट्रिक्स के स्तंभ कहा जाता है। इस प्रकार $A$ में 3 पंक्तियाँ और 2 स्तंभ हैं, $B$ में 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं जबकि $C$ में 2 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं।

3.2.1 मैट्रिक्स का क्रम

एक मैट्रिक्स जिसमें $m$ पंक्तियाँ और $n$ स्तंभ हों, को $m \times n$ क्रम की मैट्रिक्स या सरलतः $m \times n$ मैट्रिक्स (को $m$ बाई $n$ मैट्रिक्स के रूप में पढ़ा जाता है) कहा जाता है। अतः उपरोक्त मैट्रिक्स के उदाहरणों को देखते हुए, हमारे पास $A$ एक $3 \times 2$ मैट्रिक्स है, $B$ एक $3 \times 3$ मैट्रिक्स है और $C$ एक $2 \times 3$ मैट्रिक्स है। हम देखते हैं कि $A$ में $3 \times 2=6$ तत्व हैं, $B$ और $C$ में क्रमशः 9 और 6 तत्व हैं।

सामान्यतः, एक $m \times n$ मैट्रिक्स निम्नलिखित आयताकार bmatrix होती है:

$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m \times n} $

या $ A=[a_{i j}]_{m \times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in N $

इस प्रकार $i^{\text {वाँ }}$ पंक्ति में तत्व $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \ldots, a_{i n}$ होते हैं, जबकि $j^{\text {वाँ }}$ स्तंभ तत्वों $a_{1 j}, a_{2 j}, a_{3 j}, \ldots, a_{m j}$ से बना होता है,

सामान्यतः $a_{i j}$, $i^{\text {वीं}}$ पंक्ति और $j^{\text {वें}}$ स्तंभ में स्थित एक तत्व है। हम इसे $A$ का $(i, j)^{\text {वाँ }}$ तत्व भी कह सकते हैं। एक $m \times n$ आव्यूह में तत्वों की संख्या $m n$ के बराबर होगी।

नोट इस अध्याय में

1. हम संकेत $A=[a_{i j}]_{m \times n}$ का पालन करेंगे, जो दर्शाता है कि $A$ क्रम $m \times n$ का एक आव्यूह है।

2. हम केवल उन आव्यूहों पर विचार करेंगे जिनके तत्व वास्तविक संख्याएँ या वास्तविक मान लेने वाले फलन हैं।

हम किसी भी बिंदु $(x, y)$ को समतल में एक आव्यूह (स्तंभ या पंक्ति) के रूप में $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ (या $.[x, y]$) द्वारा भी निरूपित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए बिंदु $P(0,1)$ का आव्यूह निरूपण इस प्रकार दिया जा सकता है

$$ \mathbf{P}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text { या }\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} $$

ध्यान दीजिए कि इस प्रकार हम एक बंद सरलरेखीय आकृति के शीर्षों को भी आव्यूह के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक चतुर्भुज $A B C D$ को शीर्षों A $(1,0), B(3,2), C(1,3), D(-1,2)$ के साथ लीजिए।

अब, चतुर्भुज $ABCD$ को आव्यूह रूप में इस प्रकार निरूपित किया जा सकता है

इस प्रकार, आव्यूहों का उपयोग समतल में ज्यामितीय आकृतियों के शीर्षों के निरूपण के रूप में किया जा सकता है।

अब, आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1 तीन कारखानों I, II और III में पुरुष और महिला श्रमिकों की संख्या के संबंध में निम्नलिखित जानकारी पर विचार करें

	पुरुष श्रमिक	महिला श्रमिक
I	30	25
II	25	31
III	27	26

उपरोक्त जानकारी को $3 \times 2$ आव्यूह के रूप में प्रस्तुत करें। तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ की प्रविष्टि क्या दर्शाती है?

हल जानकारी को निम्नलिखित $3 \times 2$ आव्यूह के रूप में प्रस्तुत किया गया है:

$$ A=\begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix} $$

तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ की प्रविष्टि कारखाना III में महिला श्रमिकों की संख्या को दर्शाती है।

उदाहरण 2 यदि किसी आव्यूह में 8 अवयव हैं, तो इसके संभावित क्रम क्या हो सकते हैं?

हल हम जानते हैं कि यदि कोई आव्यूह $m \times n$ क्रम का है, तो इसमें $m n$ अवयव होते हैं। इस प्रकार, 8 अवयवों वाले आव्यूह के सभी संभावित क्रम ज्ञात करने के लिए, हम उन सभी क्रमबद्ध युग्मों को खोजेंगे जिनका गुणनफल 8 है।

इस प्रकार, सभी संभावित क्रमबद्ध युग्म हैं $(1,8),(8,1),(4,2),(2,4)$ अतः संभावित क्रम हैं $1 \times 8,8 \times 1,4 \times 2,2 \times 4$

उदाहरण 3 एक $3 \times 2$ आव्यूह बनाइए जिसके अवयव $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|$ द्वारा दिए गए हैं।

हल सामान्यतः एक $3 \times 2$ आव्यूह दिया जाता है $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$।

अब $\quad$ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|, i=1,2,3 \text{ और } j=1,2$

इसलिए $\quad a_{11}=\frac{1}{2}|1-3 \times 1|=1 \quad a_{12}=\frac{1}{2}|1-3 \times 2|=\frac{5}{2}$

$$ \begin{matrix} a_{21}= \frac{1}{2}|2-3 \times 1|=\frac{1}{2} & a_{22}=\frac{1}{2}|2-3 \times 2|=2 \\ \\ a_{31} =\frac{1}{2}|3-3 \times 1|=0 & a_{32} =\frac{1}{2}|3-3 \times 2|=\frac{3}{2} \end{matrix} $$

अतः अभीष्ट आव्यूह दिया जाता है $A=\begin{bmatrix}1 & \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}$।

3.3 आव्यूहों के प्रकार

इस खंड में, हम आव्यूहों के विभिन्न प्रकारों की चर्चा करेंगे।

(i) स्तंभ आव्यूह

एक आव्यूह को स्तंभ आव्यूह कहा जाता है यदि उसमें केवल एक स्तंभ हो।

उदाहरण के लिए, $A=\begin{bmatrix}{c}0 \\ \sqrt{3} \\ -1 \\ 1 / 2\end{bmatrix}$ एक स्तंभ आव्यूह है क्रम $4 \times 1$ का।

सामान्यतः, $A=[a_{i j}]_{m \times 1}$ एक स्तंभ आव्यूह है क्रम $m \times 1$ का।

(ii) पंक्ति आव्यूह

एक आव्यूह को पंक्ति आव्यूह कहा जाता है यदि उसमें केवल एक पंक्ति हो।

उदाहरण के लिए, $B=[\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \sqrt{5} & 2 & 3\end{bmatrix}]_{1 \times 4}$ एक पंक्ति आव्यूह है।

सामान्यतः, $B=[b_{i j}]_{1 \times n}$ एक पंक्ति आव्यूह है क्रम $1 \times n$ का।

(iii) वर्ग आव्यूह

एक ऐसा आव्यूह जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर हो, वर्ग आव्यूह कहलाता है। इस प्रकार एक $m \times n$ आव्यूह वर्ग आव्यूह कहा जाता है यदि $m=n$ और इसे क्रम ‘$n$’ का वर्ग आव्यूह कहा जाता है।

उदाहरण के लिए $A=\begin{bmatrix}3 & -1 & 0 \ \frac{3}{2} & 3 \sqrt{2} & 1 \ 4 & 3 & -1\end{bmatrix}$ एक क्रम 3 का वर्ग आव्यूह है।

सामान्यतः, $A=[a_{i j}]_{m \times m}$ एक क्रम $m$ का वर्ग आव्यूह है।

नोट यदि $A=[a_{i j}]$ एक क्रम $n$ का वर्ग आव्यूह है, तो तत्व (प्रविष्टियाँ) $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{n n}$

आव्यूह A के विकर्ण का निर्माण करते हैं। इस प्रकार, यदि $A=\begin{bmatrix}1 & -3 & 1 \ 2 & 4 & -1 \ 3 & 5 & 6\end{bmatrix}$।

तो A के विकर्ण के तत्व 1, 4, 6 हैं।

(iv) विकर्ण आव्यूह

एक वर्ग आव्यूह $B=[b_{ij}]{m\times m}$ को विकर्ण आव्यूह कहा जाता है यदि इसके सभी अ-विकर्ण तत्व शून्य हों, अर्थात् एक आव्यूह $B=[b{ij}]{m\times m}$ विकर्ण आव्यूह कहलाता है यदि $b{i j}=0$, जब $i \neq j$।

उदाहरण के लिए, $A=[4]$, $B=\begin{bmatrix}-1 & 0 \ 0 & 2\end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix}-1.1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$, क्रमशः क्रम 1,2,3 के विकर्ण आव्यूह हैं।

(v) अदिश आव्यूह

एक विकर्ण आव्यूह को अदिश आव्यूह कहा जाता है यदि इसके विकर्ण तत्व समान हों, अर्थात् एक वर्ग आव्यूह $B=[b_{i j}]_{n \times n}$ अदिश आव्यूह कहलाता है यदि

$$ \begin{aligned} & b_{i j}=0, \quad \text { जब } i \neq j \ & b_{i j}=k, \quad \text { जब } i=j, \text{ किसी नियतांश } k \text{ के लिए।} \end{aligned} $$

उदाहरण के लिए $A=[3], \quad B=[\begin{bmatrix}-1 & 0 \ 0 & -1\end{bmatrix}], \quad C=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 0 & 0 \ 0 & \sqrt{3} & 0 \ 0 & 0 & \sqrt{3}\end{bmatrix}$

क्रमशः क्रम 1, 2 और 3 की स्केलर आव्यूह हैं।

(vi) इकाई आव्यूह

एक वर्ग आव्यूह जिसमें विकर्ण के अवयव सभी 1 हैं और शेष सभी शून्य हैं, इकाई आव्यूह कहलाता है। दूसरे शब्दों में, वर्ग आव्यूह $A=[a_{i j}]{n \times n}$ एक इकाई आव्यूह है, यदि $a{ij}=\begin{cases}1 & \text { यदि } & i=j \ 0 & \text { यदि } & i \neq j\end{cases}.$.

हम क्रम $n$ के इकाई आव्यूह को $I_{n}$ द्वारा दर्शाते हैं। जब क्रम संदर्भ से स्पष्ट हो, तो हम इसे केवल I लिखते हैं।

उदाहरण के लिए [1], $\begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}\sqrt 3 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & \sqrt 3\end{bmatrix}$ क्रमशः क्रम 1, 2 और 3 के इकाई आव्यूह हैं।

ध्यान दीजिए कि जब $k=1$ हो तो एक स्केलर आव्यूह इकाई आव्यूह बन जाता है। पर प्रत्येक इकाई आव्यूह स्पष्टतः एक स्केलर आव्यूह होता है।

(vii) शून्य आव्यूह

एक आव्यूह को शून्य आव्यूह या नल आव्यूह कहा जाता है यदि उसके सभी अवयव शून्य हों।

उदाहरण के लिए, $[0],\begin{bmatrix}0 & 0 \ 0 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\end{bmatrix},[0,0]$ सभी शून्य आव्यूह हैं। हम शून्य आव्यूह को $O$ द्वारा दर्शाते हैं। इसका क्रम संदर्भ से स्पष्ट होगा।

3.3.1 _आव्यूहों की समानता

परिभाषा 2 दो आव्यूह $A=[a_{i j}]$ और $B=[b_{i j}]$ तब समान कहे जाते हैं जब

(i) वे समान क्रम के हों

(ii) $A$ का प्रत्येक अवयव $B$ के संगत अवयव के बराबर हो, अर्थात् सभी $i$ और $j$ के लिए $a_{i j}=b_{i j}$।

उदाहरण के लिए, $\begin{bmatrix}2 & 3 \ 0 & 1\end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix}2 & 3 \ 0 & 1\end{bmatrix}$ समान आव्यूह हैं, परंतु $\begin{bmatrix}3 & 2 \ 0 & 1\end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix}2 & 3 \ 0 & 1\end{bmatrix}$ समान आव्यूह नहीं हैं। प्रतीकात्मक रूप से, यदि दो आव्यूह $A$ और $B$ समान हों, तो हम $A=B$ लिखते हैं।

$ \text { यदि }\begin{bmatrix} x & y \ z & a \ b & c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1.5 & 0 \ 2 & \sqrt{6} \ 3 & 2 \end{bmatrix} \text {, तो }$ $x=-1.5, y=0, z=2, a=\sqrt{6}, b=3, c=2 $

उदाहरण 4 यदि $\begin{bmatrix}x+3 & z+4 & 2 y-7 \ -6 & a-1 & 0 \ b-3 & -21 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 6 & 3 y-2 \ -6 & -3 & 2 c+2 \ 2 b+4 & -21 & 0\end{bmatrix}$

तो $a, b, c, x, y$ और $z$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल चूँकि दिए गए आव्यूह समान हैं, इसलिए उनके संगत अवयव भी समान होने चाहिए। संगत अवयवों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} & x+3=0, \ & z+4=6 \ & 2 y-7=3 y-2 \ & a-1=-3, \ & 0=2 c+2 \ & b-3=2 b+4 \text {, } \end{aligned} $$

सरल करने पर, हम पाते हैं

$$ a=-2, b=-7, c=-1, x=-3, y=-5, z=2 $$

उदाहरण 5 निम्न समीकरण से $a, b, c$, और $d$ के मान ज्ञात कीजिए:

$$ \begin{bmatrix} 2 a+b & a-2 b \ 5 c-d & 4 c+3 d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -3 \ 11 & 24 \end{bmatrix} $$

हल दो आव्यूहों की समानता के अनुसार, संगत अवयवों की समानता रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{bmatrix} 2 a+b & =4 & 5 c-d & =11 \ a-2 b & =-3 & 4 c+3 d & =24 \end{bmatrix} $$

इन समीकरणों को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ a=1, b=2, c=3 \text { और } d=4 $$

3.4 आव्यूहों पर संक्रियाएँ

इस खंड में, हम आव्यूहों पर कुछ संक्रियाओं का परिचय देंगे, अर्थात् आव्यूहों का योग, एक आव्यूह को अदिश से गुणा, अंतर और आव्यूहों का गुणा।

3.4.1 आव्यूहों का योग

मान लीजिए फातिमा के पास स्थान A और B पर दो कारखाने हैं। प्रत्येक कारखाना लड़कों और लड़कियों के लिए खेल-जूते तीन भिन्न मूल्य श्रेणियों 1, 2 और 3 में बनाता है। प्रत्येक कारखाने द्वारा उत्पादित मात्राएँ नीचे दिए गए आव्यूहों के रूप में दर्शाई गई हैं:

मान लीजिए फातिमा प्रत्येक मूल्य श्रेणी में खेल-जूतों की कुल उत्पादन जानना चाहती है। तब कुल उत्पादन

श्रेणी 1 में : लड़कों के लिए $(80+90)$, लड़कियों के लिए $(60+50)$

श्रेणी 2 में : लड़कों के लिए $(75+70)$, लड़कियों के लिए $(65+55)$

श्रेणी 3 में : लड़कों के लिए $(90+75)$, लड़कियों के लिए $(85+75)$

इसे आव्यूह रूप में इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

$\begin{bmatrix}80+90 & 60+50 \ 75+70 & 65+55 \ 90+75 & 85+75\end{bmatrix}$।

यह नई मैट्रिक्स उपरोक्त दो मैट्रिक्सों का योग है। हम देखते हैं कि दो मैट्रिक्सों का योग एक ऐसी मैट्रिक्स होती है जिसे दी गई मैट्रिक्सों के संगत अवयवों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इसके अतिरिक्त, दोनों मैट्रिक्सों का क्रम समान होना चाहिए।

इस प्रकार, यदि $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{bmatrix}$ एक $2 \times 3$ मैट्रिक्स है और $B=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{bmatrix}$ एक अन्य

$2 \times 3$ मैट्रिक्स है। तब, हम परिभाषित करते हैं $A+B=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23}\end{bmatrix}$।

सामान्य रूप से, यदि $A=[a_{i j}]$ और $B=[b_{i j}]$ समान क्रम, मान लीजिए $m \times n$, की दो मैट्रिक्सें हैं। तब, दो मैट्रिक्सों A और B का योग एक मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया जाता है $= [c _{ij}] _{m \times n} $, जहाँ $ c _{i j} = a _{ij} + b _{ij} $, i और j के सभी संभव मानों के लिए।

उदाहरण 6 दिया गया है $A=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}2 & \sqrt{5} & 1 \\ -2 & 3 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$, $A+B$ ज्ञात कीजिए

चूँकि A, B समान क्रम $2 \times 3$ की हैं। इसलिए, A और B का योग परिभाषित है और इस प्रकार दिया गया है

$$ A+B=\begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} & 1+\sqrt{5} & 1-1 \\ 2-2 & 3+3 & 0+\frac{1}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} & 1+\sqrt{5} & 0 \\ 0 & 6 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $$

नोट

1. हम इस बात पर ज़ोर देते हैं कि यदि A और B एक ही क्रम के नहीं हैं, तो A + B परिभाषित नहीं है। उदाहरण के लिए यदि $A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}$, तो $A+B$ परिभाषित नहीं है।

2. हम यह देख सकते हैं कि आव्यूहों का योग समान क्रम के आव्यूहों के समुच्चय पर एक द्विआधारी संक्रिया का उदाहरण है।

3.4.2 आव्यूह को अदिश से गुणा

अब मान लीजिए कि फातिमा ने कारखाने A में सभी श्रेणियों में उत्पादन दोगुना कर दिया है (3.4.1 देखें)।

पहले कारखाने A द्वारा उत्पादित मात्राएँ (मानक इकाइयों में) थीं

संशोधित मात्राएँ जो कारखाने $A$ द्वारा उत्पादित की गई हैं, नीचे दी गई हैं:

इसे आव्यूह रूप में $\begin{bmatrix}160 & 120 \\ 150 & 130 \\ 180 & 170\end{bmatrix}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है। हम देखते हैं कि

नया आव्यूह पिछले आव्यूह के प्रत्येक अवयव को 2 से गुणा करके प्राप्त किया गया है।

सामान्यतः, हम आव्यूह को अदिश से गुणा इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं: यदि $ A=[a_{ij}]_{m\times n} $ एक आव्यूह है और k एक अदिश है, तो k A एक अन्य आव्यूह है जो A के प्रत्येक अवयव को अदिश k से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

दूसरे शब्दों में, $ kA = k[a_{ij}]_ {m\times n} $ $ =[k(a _{ij})] _{m\times n} $ अर्थात्, $ (i,j)^{th} $ अवयव kA का $ka _ {ij} $ है सभी संभावित मानों के लिए i और j

उदाहरण के लिए, यदि $A=\begin{bmatrix}3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt{5} & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5\end{bmatrix}$, तब

$$ 3 A=3[\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt{5} & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix}]=[\begin{bmatrix} 9 & 3 & 4.5 \\ 3 \sqrt{5} & 21 & -9 \\ 6 & 0 & 15 \end{bmatrix}] $$

आव्यूह का ऋणात्मक आव्यूह का ऋणात्मक $-A$ द्वारा दर्शाया जाता है। हम परिभाषित करते हैं $-A=(-1) A$. उदाहरण के लिए, मान लीजिए $$ \begin{aligned} A & =\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -5 & x \end{bmatrix}, \text { तब }-A \text{ दिया जाता है } \\ -A & =(-1) A=(-1)\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -5 & x \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 5 & -x \end{bmatrix} \end{aligned} $$

आव्यूहों का अंतर यदि $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}]$ दो आव्यूह समान क्रम के हैं, मान लीजिए $m \times n$, तब अंतर $A-B$ को एक आव्यूह $D=[d_{i j}]$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,

जहाँ $d_{i j}=a_{i j}-b_{i j}$, सभी मानों के लिए $i$ और $j$। दूसरे शब्दों में, $D=A-B=A+(-1) B$, अर्थात् आव्यूह $A$ और आव्यूह - B का योग।

उदाहरण 7 यदि $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2\end{bmatrix}$, तब $2 A-B$ ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास

$$ \begin{aligned} & 2 A-B=2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \ & =\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -3 & 1 & -3 \ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \ & \begin{bmatrix} 2-3 & 4+1 & 6-3 \ 4+1 & 6+0 & 2-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

3.4.3 आव्यूह योजना के गुणधर्म

आव्यूहों की योजना निम्नलिखित गुणधर्मों को संतुष्ट करती है:

(i) क्रमविनिमेय नियम यदि $A=[a_{i j}]$, $B=[b_{i j}]$ समान क्रम, मान लीजिए $m \times n$, के आव्यूह हों, तो $A+B=B+A$।

अब $$ \begin{aligned} A+B & =[a_{i j}]+[b_{i j}]=[a_{i j}+b_{i j}] \ & =[b_{i j}+a_{i j}] \text { (संख्याओं की योजना क्रमविनिमेय होती है) } \ & =([b_{i j}]+[a_{i j}])=B+A \end{aligned} $$

(ii) साहचर्य नियम किन्हीं तीन आव्यूहों $A=[a_{i j}]$, $B=[b_{i j}]$, $C=[c_{i j}]$ के लिए समान क्रम, मान लीजिए $m \times n$, $(A+B)+C=A+(B+C)$।

अब $$ \begin{aligned} (A+B)+C & =([a_{i j}]+[b_{i j}])+[c_{i j}] \ & =[a_{i j}+b_{i j}]+[c_{i j}]=[(a_{i j}+b_{i j})+c_{i j}] \ & =[a_{i j}+(b_{i j}+c_{i j})] \quad(\text { क्यों? }) \ & =[a_{i j}]+[(b_{i j}+c_{i j})]=[a_{i j}]+([b_{i j}]+[c_{i j}])=A+(B+C) \end{aligned} $$

(iii योजनात्मक तत्समक की उपस्थिति मान लीजिए $A=[a_{i j}]$ एक $m \times n$ आव्यूह है और $O$ एक $m \times n$ शून्य आव्यूह है, तो $A+O=O+A=A$। दूसरे शब्दों में, आव्यूह योजना के लिए $O$ योजनात्मक तत्समक है।

(iv) योज्य प्रतिलोम का अस्तित्व मान लीजिए $A=[a_{ij}]{m \times n}$ कोई भी आव्यूह है, तब हमारे पास एक अन्य आव्यूह है $-A=[-a{ij}]_{m \times n}$ इस प्रकार कि $A+(-A)=(-A)+A=O$. अतः $-A$, $A$ का योज्य प्रतिलोम या $A$ का ऋणात्मक है।

3.4.4 आव्यूह के अदिश गुणन के गुणधर्म

यदि $A=[a_{i j}]$ और $B=[b_{i j}]$ दो समान क्रम के आव्यूह हों, मान लीजिए $m \times n$, और $k$ तथा $l$ अदिश हैं, तब

(i) $k(A+B)=k A+k B$, (ii) $(k+l) A=k A+l A$

(iii) $k(A+B)=k([a_{i j}]+[b_{i j}])$

$$ \begin{aligned} & =k[a_{i j}+b_{i j}]=[k(a_{i j}+b_{i j})]=[(k a_{i j})+(k b_{i j})] \\ & =[k a_{i j}]+[k b_{i j}]=k[a_{i j}]+k[b_{i j}]=k A+k B \end{aligned} $$

(iv) $(k+l) A=(k+l)[a_{i j}]$

$$ =[(k+l) a_{i j}]+[k a_{i j}]+[l a_{i j}]=k[a_{i j}]+l[a_{i j}]=k A+l A $$

उदाहरण 8 यदि $A=\begin{bmatrix}8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1\end{bmatrix}$ है, तब वह आव्यूह $X$ ज्ञात कीजिए जिससे कि $2 A+3 X=5 B$.

हल हमारे पास $2 A+3 X=5 B$

या $\hspace{17 mm}$$ 2 A+3 X-2 A=5 B-2 A $

या $\hspace{17 mm}$$2 A-2 A+3 X=5 B-2 A$ $\quad \quad$ (आव्यूह योजन क्रमविनिमेय है)

या $\hspace{17 mm}$$O+3 X=5 B-2 A$ $\hspace{17 mm}$(– 2A, 2A का योज्य प्रतिलोम है)

या $\hspace{17 mm}$$3 X=5 B-2 A$ $\hspace{25 mm}$(O योज्य तत्समक है)

या $\hspace{17 mm}$$X=\frac{1}{3}(5 B-2 A)$

$$ X=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}5\begin{bmatrix} 2 & -2 \ 4 & 2 \ -5 & 1 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 8 & 0 \ 4 & -2 \ 3 & 6 \end{bmatrix}\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}\begin{bmatrix} 10 & -10 \ 20 & 10 \ -25 & 5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -16 & 0 \ -8 & 4 \ -6 & -12 \end{bmatrix}\end{pmatrix} $$

$$ =\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 10-16 & -10+0 \ 20-8 & 10+4 \ -25-6 & 5-12 \end{bmatrix}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix} -6 & -10 \ 12 & 14 \ -31 & -7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & \frac{-10}{3} \ 4 & \frac{14}{3} \ \frac{-31}{3} & \frac{-7}{3} \end{bmatrix} $$

उदाहरण 9 X और Y ज्ञात कीजिए, यदि X+Y=\begin{bmatrix}5 & 2 \ 0 & 9\end{bmatrix} और X-Y=\begin{bmatrix}3 & 6 \ 0 & -1\end{bmatrix}.

हल हमारे पास (X+Y)+(X-Y)=\begin{bmatrix}5 & 2 \ 0 & 9\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3 & 6 \ 0 & -1\end{bmatrix}.

या $$ \begin{gathered} (X+X)+(Y-Y)=\begin{bmatrix} 8 & 8 \ 0 & 8 \end{bmatrix} \Rightarrow 2 X=\begin{bmatrix} 8 & 8 \ 0 & 8 \end{bmatrix} \ X=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 8 & 8 \ 0 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 4 \ 0 & 4 \end{bmatrix} \end{gathered} $$

साथ ही $$ (X+Y)-(X-Y)=\begin{bmatrix} 5 & 2 \ 0 & 9 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & 6 \ 0 & -1 \end{bmatrix} $$

या $$ (X-X)+(Y+Y)=\begin{bmatrix} 5-3 & 2-6 \ 0 & 9+1 \end{bmatrix} \Rightarrow 2 Y=\begin{bmatrix} 2 & -4 \ 0 & 10 \end{bmatrix} $$

या $$ Y=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2 & -4 \ 0 & 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -2 \ 0 & 5 \end{bmatrix} $$

उदाहरण 10 निम्न समीकरण से $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए:

$$ 2\begin{bmatrix} x & 5 \ 7 & y-3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3 & -4 \ 1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 & 6 \ 15 & 14 \end{bmatrix} $$

हल हमारे पास है

$$ 2\begin{bmatrix} x & 5 \ 7 & y-3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3 & -4 \ 1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 & 6 \ 15 & 14 \end{bmatrix} \Rightarrow\begin{bmatrix} 2 x & 10 \ 14 & 2 y-6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3 & -4 \ 1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 & 6 \ 15 & 14 \end{bmatrix} $$

$$\begin{aligned} & \text { या }\begin{bmatrix} 2 x+3 & 10-4 \ 14+1 & 2 y-6+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 & 6 \ 15 & 14 \end{bmatrix} \Rightarrow\begin{bmatrix} 2 x+3 & 6 \ 15 & 2 y-4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 & 6 \ 15 & 14 \end{bmatrix} \ & \text { या } \quad 2 x+3=7 \quad \text { और } \quad 2 y-4=14 \quad \text { (क्यों?) } \ & \text { या } \quad 2 x=7-3 \quad \text { और } \quad 2 y=18 \ & \text { या } x=\frac{4}{2} \quad \text { और } \quad y=\frac{18}{2} \ & \text { अर्थात् } x=2 \quad \text { और } \quad y=9 \text {. } \end{aligned} $$

उदाहरण 11 दो किसान रामकिशन और गुरचरण सिंह केवल तीन प्रकार की चावल की किस्में उगाते हैं, जिनमें बासमती, परमल और नौरा शामिल हैं। सितंबर और अक्टूबर के महीनों में इन दोनों किसानों द्वारा इन चावल की किस्मों की बिक्री (रुपयों में) निम्नलिखित आव्यूहों $A$ और $B$ द्वारा दी गई है।

सितंबर की बिक्री (रुपयों में) $$ A=\begin{bmatrix} \text { बासमती } & \text { परमल } & \text { नौरा } \\ 10,000 & 20,000 & 30,000 \\ 50,000 & 30,000 & 10,000 \end{bmatrix} \substack{ { }\\ \\ \substack{\text { रामकिशन } \\ \\ \text { गुरचरण सिंह }}} $$ अक्टूबर की बिक्री (रुपयों में) $$ B=\begin{bmatrix} \text { बासमती } & \text { परमल } & \text { नौरा } \\ 5000 & 10,000 & 6000 \\ 20,000 & 10,000 & 10,000 \end{bmatrix} \substack{ { }\\ \\ \substack{\text { रामकिशन } \\ \\ \text { गुरचरण सिंह }}} $$

(i) प्रत्येक किसान की प्रत्येक किस्म के लिए सितंबर और अक्टूबर की संयुक्त बिक्री ज्ञात कीजिए।

(ii) सितंबर से अक्टूबर तक बिक्री में हुई कमी ज्ञात कीजिए।

(iii) यदि दोनों किसानों को कुल बिक्री पर $2 %$ का लाभ प्राप्त होता है, तो अक्टूबर में बेची गई प्रत्येक किस्म के लिए प्रत्येक किसान का लाभ परिकलित कीजिए।

हल

(i) प्रत्येक किसान की प्रत्येक किस्म के लिए सितंबर और अक्टूबर की संयुक्त बिक्री निम्नलिखित है

$$ A+B=\begin{bmatrix} \text { बासमती } & \text { परमल } & \text { नौरा } \\ 15,000 & 30,000 & 36,000 \\ 70,000 & 40,000 & 20,000 \end{bmatrix} \substack{ { }\\ \\ \substack{\text { रामकिशन } \\ \\ \text { गुरचरण सिंह }}} $$ (ii) सितंबर से अक्टूबर तक बिक्री में परिवर्तन निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$$ A-B=\begin{bmatrix} \text { बासमती } & \text { परमल } & \text { नौरा } \\ 5000 & 10,000 & 24,000 \\ 30,000 & 20,000 & 0 \end{bmatrix} \substack{ { }\\ \\ \substack{\text { रामकिशन } \\ \\ \text { गुरचरण सिंह }}} $$

(iii) $B$ का $2 %=\frac{2}{100} \times B=0.02 \times B$

$$ =0.02\begin{bmatrix} \text { बासमती } & \text { परमल } & \text { नौरा } \\ 5000 & 10,000 & 6000 \\ 20,000 & 10,000 & 10,000 \end{bmatrix} \substack{ { }\\ \\ \substack{\text { रामकिशन } \\ \\ \text { गुरचरण सिंह }}} $$

$$ =\begin{bmatrix} \text { बासमती } & \text { परमल } & \text { नौरा } \\ 100 & 200 & 120 \\ 400 & 200 & 200 \end{bmatrix} \substack{ { }\\ \\ \substack{\text { रामकिशन } \\ \\ \text { गुरचरण सिंह }}} $$

इस प्रकार, अक्टूबर में रामकिशन को चावल की प्रत्येक किस्म की बिक्री पर क्रमशः ₹ 100, ₹ 200 और ₹ 120 का लाभ प्राप्त होता है, और गुरचरण सिंह को चावल की प्रत्येक किस्म की बिक्री पर क्रमशः ₹ 400, ₹ 200 और ₹ 200 का लाभ प्राप्त होता है।

3.4.5 आव्यूहों का गुणा

मान लीजिए मीरा और नदीम दो मित्र हैं। मीरा 2 पेन और 5 कहानी की किताबें खरीदना चाहती है, जबकि नदीम को 8 पेन और 10 कहानी की किताबों की जरूरत है। वे दोनों दरें पूछने एक दुकान पर जाते हैं जो इस प्रकार बताई जाती हैं:

$$ \text { पेन - ₹ } 5 \text { प्रति, कहानी की किताब - ₹ } 50 \text { प्रति। } $$

प्रत्येक को कितना पैसा खर्च करना होगा? स्पष्ट है, मीरा को ₹ $(5 \times 2+50 \times 5)$ यानी ₹ 260 की जरूरत है, जबकि नदीम को $(8 \times 5+50 \times 10)$ ₹ यानी ₹ 540 की जरूरत है। आव्यूह प्रतिनिधित्व के संदर्भ में, हम उपरोक्त जानकारी को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$ \begin{array}{ccc} \text { आवश्यकताएँ } & \text{ प्रति टुकड़ा कीमत (रुपये में) } & \text{ आवश्यक धनराशि (रुपये में) } \\ \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 8 & 10 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 5 \\ 50 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 5 \times 2+5 \times 50 \\ 8 \times 5+10 \times 50 & \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}260 \\ 540\end{bmatrix} \end{array} $

मान लीजिए कि वे दूसरी दुकान से दरें पूछते हैं, जो इस प्रकार बताई जाती हैं:

$$ \text { पेन }-\text{ ₹ } 4 \text{ प्रति, कहानी की किताब }-\text{ ₹ } 40 \text{ प्रति। } $$

अब, मीरा और नदीम द्वारा खरीदारी करने के लिए आवश्यक धनराशि क्रमशः ₹ $(4 \times 2+40 \times 5)=₹ 208$ और ₹ $(8 \times 4+10 \times 40)=₹ 432$ होगी।

पुनः, उपरोक्त जानकारी को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

$ \begin{array}{ccc} \text { आवश्यकताएँ } & \text{ प्रति टुकड़ा मूल्य (रुपये में) } & \text{ आवश्यक धनराशि (रुपये में) } \\ \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 8 & 10 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 4 \\ 40 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 4 \times 2+40 \times 5 \\8 \times 4+10 \times 40 & \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}208 \\ 432\end{bmatrix} \end{array} $

अब, दोनों स्थितियों की जानकारी को मैट्रिक्स के रूप में इस प्रकार संयुक्त किया जा सकता है:

$ \begin{array}{ccc} \text { आवश्यकताएँ } & \text{ प्रति टुकड़ा मूल्य (रुपये में) } & \text{ आवश्यक धनराशि (रुपये में) } \\ \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 8 & 10 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 50 & 40 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 5 \times 2+5 \times 50 & 4 \times 2+40 \times 40 & \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 260 & 208 \\ 540 & 432 \end{bmatrix} \end{array} $

उपरोक्त मैट्रिक्स गुणा का एक उदाहरण है। हम देखते हैं कि दो मैट्रिक्स A और B का गुणा करने के लिए, A में स्तंभों की संख्या B में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। इसके अतिरिक्त, गुणनफल मैट्रिक्स के अवयव प्राप्त करने के लिए, हम A की पंक्तियाँ और B के स्तंभ लेते हैं, उनके तत्वों को एक-एक कर गुणा करते हैं और योग निकालते हैं। औपचारिक रूप से, हम मैट्रिक्स गुणा को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:

दो आव्यूहों A और B का गुणनफल तभी परिभाषित होता है जब A के स्तम्भों की संख्या B की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो। मान लीजिए $A=[a_{i j}]$ एक $m \times n$ आव्यूह है और $B=[b_{j k}]$ एक $n \times p$ आव्यूह है। तब आव्यूहों A और B का गुणनफल $m \times p$ कोटि का आव्यूह C होता है। आव्यूह C के $(i, k)^{\text {th }}$ अवयव $c_{i k}$ को प्राप्त करने के लिए, हम A की $i^{t h}$ पंक्ति और B के $k^{\text {th}}$ स्तम्भ को लेते हैं, उन्हें अवयववार गुणा करते हैं और इन सभी गुणनफलों का योग लेते हैं। दूसरे शब्दों में,
यदि $A=[a _ {ij}] _ {m \times n}, B = [b _ {jk} ]_ {n \times p} $, तब A की $i^{th}$ पंक्ति $[a _ {i1} a_{i2} \ldots a _ {in}]$ है और B का $k^t {th}$ स्तम्भ $\begin{bmatrix}{c}b_{1 k} \\ b_{2 k} \\ \vdots \\ b_{n k}\end{bmatrix}$ है, तब $c_{i k}=a_{i 1} b_{1 k}+a_{i 2} b_{2 k}+a_{i 3} b_{3 k}+\ldots+a_{i n} b_{n k}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} b_{j k}$।

आव्यूह $C=[c_{i k}]_{m \times p}$ आव्यूह A और B का गुणनफल है।

उदाहरण के लिए, यदि $C=\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 4\end{bmatrix}$ और $D=\begin{bmatrix}2 & 7 \\ -1 & 1 \\ 5 & -4\end{bmatrix}$ है, तब गुणनफल $C D$ परिभाषित है
और इसे $C D=\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 7 \\ -1 & 1 \\ 5 & -4\end{bmatrix}$ द्वारा दिया गया है। यह एक $2 \times 2$ आव्यूह है जिसमें प्रत्येक प्रविष्टि C की किसी पंक्ति के साथ D के किसी स्तम्भ की संगत प्रविष्टियों के गुणनफलों का योग है। ये चार गणनाएँ हैं

उदाहरण 12 $AB$ ज्ञात कीजिए, यदि $A=\begin{bmatrix}6 & 9 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}2 & 6 & 0 \\ 7 & 9 & 8\end{bmatrix}$.

हल आव्यूह A में 2 स्तंभ हैं जो B की पंक्तियों की संख्या के बराबर हैं। इसलिए AB परिभाषित है। अब

$$\begin{aligned} AB & =\begin{bmatrix} 6(2)+9(7) & 6(6)+9(9) & 6(0)+9(8) \\ 2(2)+3(7) & 2(6)+3(9) & 2(0)+3(8) \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 12+63 & 36+81 & 0+72 \\ 4+21 & 12+27 & 0+24 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 75 & 117 & 72 \\ 25 & 39 & 24 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

टिप्पणी यदि $AB$ परिभाषित है, तो $BA$ परिभाषित होना आवश्यक नहीं है। उपरोक्त उदाहरण में, $AB$ परिभाषित है लेकिन $BA$ परिभाषित नहीं है क्योंकि B में 3 स्तंभ हैं जबकि A में केवल 2 (न कि 3) पंक्तियाँ हैं। यदि $A, B$ क्रमशः $m \times n, k \times l$ आव्यूह हैं, तो $AB$ और $BA$ दोनों तभी परिभाषित होते हैं जब $n=k$ और $l=m$ हो। विशेष रूप से, यदि $A$ और $B$ दोनों समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं, तो $AB$ और $BA$ दोनों परिभाषित होते हैं।

आव्यूह गुणन का असम्म्यता गुण

अब, हम एक उदाहरण देखकर यह समझेंगे कि यदि $AB$ और $BA$ दोनों परिभाषित भी हों, तो यह आवश्यक नहीं कि $AB=BA$ हो।

उदाहरण 13 यदि $A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1\end{bmatrix}$, तो $A B$, $B A$ ज्ञात कीजिए। दिखाइए कि $AB \neq BA$।

हल चूँकि A एक $2 \times 3$ आव्यूह है और B एक $3 \times 2$ आव्यूह है। इसलिए AB और BA दोनों परिभाषित हैं और क्रमशः $2 \times 2$ और $3 \times 3$ कोटि के आव्यूह हैं। ध्यान दें कि

$$\begin{aligned} & AB=\begin{bmatrix}{rcc} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2-8+6 & 3-10+3 \\ -8+8+10 & -12+10+5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 10 & 3 \end{bmatrix} \\ & BA=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2-12 & -4+6 & 6+15 \\ 4-20 & -8+10 & 12+25 \\ 2-4 & -4+2 & 6+5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -10 & 2 & 21 \\ -16 & 2 & 37 \\ -2 & -2 & 11 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

स्पष्ट है कि $AB \neq BA$

उपरोक्त उदाहरण में $AB$ और $BA$ दोनों भिन्न-भिन्न कोटि के हैं और इसलिए $AB \neq BA$। लेकिन कोई यह सोच सकता है कि शायद $A B$ और $B A$ समान हो सकते हैं यदि वे समान कोटि के हों। लेकिन ऐसा नहीं है, यहाँ हम एक उदाहरण देते हैं जो दिखाता है कि यद्यपि AB और BA समान कोटि के हों, वे समान नहीं हो सकते।

उदाहरण 14 यदि $A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$, तो $A B=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}$।

तथा $$ BA=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} . \text { स्पष्ट है } AB \neq BA . $$

इस प्रकार आव्यूह गुणा क्रमवाचक नहीं है।

नोट इसका अर्थ यह नहीं है कि $AB \neq BA$ प्रत्येक ऐसे आव्यूह युगल $A, B$ के लिए है जिनके लिए $AB$ और $BA$ परिभाषित हैं। उदाहरण के लिए,

यदि $A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 4\end{bmatrix}$, तो $A B=B A=\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 8\end{bmatrix}$

ध्यान दें कि समान कोटि के विकर्णीय आव्यूहों का गुणन क्रमविनिमेय होता है।

शून्य आव्यूह दो अशून्य आव्यूहों के गुणनफल के रूप में

हम जानते हैं कि वास्तविक संख्याओं $a, b$ के लिए यदि $a b=0$, तो या तो $a=0$ या $b=0$। यह आव्यूहों के लिए आवश्यक नहीं है, हम इसे एक उदाहरण से देखेंगे।

उदाहरण 15 $A B$ ज्ञात कीजिए, यदि $A=\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}3 & 5 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$।

हल हमारे पास $AB=\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 5 \\ 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$।

इस प्रकार, यदि दो आव्यूहों का गुणनफल एक शून्य आव्यूह है, तो यह आवश्यक नहीं कि आव्यूहों में से एक शून्य आव्यूह हो।

3.4.6 आव्यूहों के गुणन के गुणधर्म

आव्यूहों के गुणन में निम्नलिखित गुणधर्म होते हैं, जिन्हें हम बिना प्रमाण के बताते हैं।

1. साहचर्य नियम किन्हीं तीन आव्यूहों $A, B$ और $C$ के लिए। हमारे पास $(AB) C=A(BC)$, जब भी समता के दोनों पक्ष परिभाषित हों।

2. वितरण नियम तीन आव्यूहों $A, B$ और $C$ के लिए।

(i) $A(B+C)=AB+AC$

(ii) $(A+B) C=AC+BC$, जब भी समता के दोनों पक्ष परिभाषित हों।

3. प्रत्येक वर्ग आव्यूह A के लिए, समान कोटि का एक तत्समक आव्यूह ऐसा होता है कि $IA=AI=A$।

अब हम इन गुणों की पुष्टि उदाहरणों द्वारा करेंगे।

उदाहरण 16 यदि $A=\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4\end{bmatrix}$ और $C=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1\end{bmatrix}$ है, तो $A(BC),(AB) C$ ज्ञात कीजिए और दिखाइए कि $(AB) C=A(BC)$।

हल हमारे पास $A B=\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+0+1 & 3+2-4 \\ 2+0-3 & 6+0+12 \\ 3+0-2 & 9-2+8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ -1 & 18 \\ 1 & 15\end{bmatrix}$

$(AB)(C)=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ -1 & 18 \\ 1 & 15\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2+2 & 4+0 & 6-2 & -8+1 \\ -1+36 & -2+0 & -3-36 & 4+18 \\ 1+30 & 2+0 & 3-30 & -4+15\end{bmatrix}$ $=\begin{bmatrix}4 & 4 & 4 & -7 \\ 35 & -2 & -39 & 22 \\ 31 & 2 & -27 & 11\end{bmatrix}$ अब $\quad BC=\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+6 & 2+0 & 3-6 & -4+3 \\ 0+4 & 0+0 & 0-4 & 0+2 \\ -1+8 & -2+0 & -3-8 & 4+4\end{bmatrix}$ $$ =\begin{bmatrix} 7 & 2 & -3 & -1 \\ 4 & 0 & -4 & 2 \\ 7 & -2 & -11 & 8 \end{bmatrix} $$

$\quad A(BC)=\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}7 & 2 & -3 & -1 \\ 4 & 0 & -4 & 2 \\ 7 & -2 & -11 & 8\end{bmatrix}$ $$\begin{aligned} \text{ इसलिए } \qquad & =\begin{bmatrix} 7+4-7 & 2+0+2 & -3-4+11 & -1+2-8 \\ 14+0+21 & 4+0-6 & -6+0-33 & -2+0+24 \\ 21-4+14 & 6+0-4 & -9+4-22 & -3-2+16 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 4 & 4 & 4 & -7 \\ 35 & -2 & -39 & 22 \\ 31 & 2 & -27 & 11 \end{bmatrix} . \text { स्पष्ट है, (AB) C =A (BC) } \end{aligned} $$

उदाहरण 17 यदि $A=\begin{bmatrix}0 & 6 & 7 \\ -6 & 0 & 8 \\ 7 & -8 & 0\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}2 \\ -2 \\ 3\end{bmatrix}$

$AC, BC$ और $(A+B) C$ की गणना कीजिए। साथ ही सत्यापित कीजिए कि $(A+B) C=AC+BC$

हल अब, $A+B=\begin{bmatrix}0 & 7 & 8 \\ -5 & 0 & 10 \\ 8 & -6 & 0\end{bmatrix}$

इसलिए $\quad(A+B) C=\begin{bmatrix}0 & 7 & 8 \\ -5 & 0 & 10 \\ 8 & -6 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 \\ -2 \\ 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0-14+24 \\ -10+0+30 \\ 16+12+0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10 \\ 20 \\ 28\end{bmatrix}$

आगे $\quad AC=\begin{bmatrix}0 & 6 & 7 \\ -6 & 0 & 8 \\ 7 & -8 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 \\ -2 \\ 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0-12+21 \\ -12+0+24 \\ 14+16+0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9 \\ 12 \\ 30\end{bmatrix}$

और $\quad BC=\begin{bmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 \\ -2 \\ 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0-2+3 \\ 2+0+6 \\ 2-4+0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\ 8 \\ -2\end{bmatrix}$

इसलिए $\quad AC+BC=\begin{bmatrix}9 \\ 12 \\ 30\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 \\ 8 \\ -2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10 \\ 20 \\ 28\end{bmatrix}$

स्पष्ट है,
$\quad(A+B) C=AC+BC$

उदाहरण 18 यदि $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1\end{bmatrix}$, तो दिखाएं कि $A^{3}-23 A-40 I=O$

हल हमारे पास $A^{2}=A \cdot A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15\end{bmatrix}$

इसलिए
$$ A^{3}=A A^{2}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix} $$

अब $$\begin{aligned} A^{3}-23 A-40 I & =\begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix}-23\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}-40\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -23 & -46 & -69 \\ -69 & 46 & -23 \\ -92 & -46 & -23 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -40 & 0 & 0 \\ 0 & -40 & 0 \\ 0 & 0 & -40 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 63-23-40 & 46-46+0 & 69-69+0 \\ 69-69+0 & -6+46-40 & 23-23+0 \\ 92-92+0 & 46-46+0 & 63-23-40 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=O \end{aligned} $$

उदाहरण 19 एक विधानसभा चुनाव में, एक राजनीतिक समूह ने एक पब्लिक रिलेशन्स फर्म को अपने उम्मीदवार को तीन तरीकों से प्रचारित करने के लिए नियुक्त किया: टेलीफोन, घर-घर जाकर, और पत्र। प्रति संपर्क लागत (पैसे में) मैट्रिक्स $A$ में दी गई है

$$ A=\text { प्रति संपर्क लागत } \\ \quad\quad\quad\quad \begin{bmatrix} 40 \\ 100 \\ 50 \end{bmatrix} \large{\substack{ {}\\ \\ \substack{\text { टेलीफोन } \\ \\ \text { घर-घर जाकर } \\ \\ \text { पत्र }}}} $$

दो शहरों $X$ और $Y$ में किए गए प्रत्येक प्रकार के संपर्कों की संख्या टेलीफोन $\quad$ घर-घर जाकर $\quad$ पत्र

$B=\begin{bmatrix}1000 & 500 & 5000 \\ 3000 & 1000 & 10,000\end{bmatrix} \rightarrow \large{\substack{ {} \substack{ X \\ \\ Y}}}$ शहरों X और Y में समूह द्वारा खर्च की गई कुल राशि ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास है

$$\begin{aligned} BA & =\begin{bmatrix} 40,000+50,000+250,000 \\ 120,000+100,000+500,000 \end{bmatrix} \rightarrow \large{\substack{ {} \substack{ X \\ \\ Y}}} \\ & =\begin{bmatrix} 340,000 \\ 720,000 \end{bmatrix} \rightarrow \large{\substack{ {} \substack{ X \\ \\ Y}}} \end{aligned} $$

इसलिए दोनों शहरों में समूह द्वारा खर्च की गई कुल राशि 340,000 पैसे और 720,000 पैसे है, अर्थात् $\text{ ₹ } 3400$ और $\text{ ₹ } 7200$, क्रमशः।

3.5 आव्यूह का स्थानांतरण

इस खंड में हम आव्यूह के स्थानांतरण तथा सममित और विषम-सममित जैसे विशेष प्रकार के आव्यूहों के बारे में सीखेंगे।

परिभाषा 3 यदि $A=[a_{i j}]$ एक $m \times n$ आव्यूह है, तो A की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त आव्यूह को A का स्थानांतरण कहा जाता है। आव्यूह A के स्थानांतरण को $A^{\prime}$ या $(A^{T})$ द्वारा दर्शाया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि $A=[a _{i j}] _{m \times n}$ है, तो $A^{\prime}=[a _{j i}] _{n \times m}$ है। उदाहरण के लिए,

$$ \begin{aligned} & \mathrm{A}=\left[a _{i j}\right] _{m \times n} \text {, तो } \mathrm{A}^{\prime}=\left[a _{j i}\right] _{n \times m} \text { होगा। उदाहरण के लिए, यदि } \\ & \mathrm{A}=\left[\begin{array}{cr} 3 & 5 \\ \sqrt{3} & 1 \\ 0 & \frac{-1}{5} \end{array}\right] _{3 \times 2} \text { है तो } \mathrm{A}^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc} 3 & \sqrt{3} & 0 \\ 5 & 1 & \frac{-1}{5} \end{array}\right] _{2 \times 3} \text { होगा। } \end{aligned} $$

3.5.1 आव्यूहों के परिवर्त के गुणधर्म

हम अब आव्यूहों के परिवर्त के निम्नलिखित गुणधर्मों को बिना प्रमाण के बताते हैं। इन्हें उपयुक्त उदाहरणों द्वारा सत्यापित किया जा सकता है। किसी भी उपयुक्त क्रमों के आव्यूहों A और B के लिए, हमारे पास है (i) $(A^{\prime})^{\prime}=A$, (ii) $(k A)^{\prime}=k A^{\prime}$ (जहाँ $k$ कोई भी अचर है) (iii) $(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$ (iv) $(A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$

उदाहरण 20 यदि $A=\begin{bmatrix}3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4\end{bmatrix}$, तो सत्यापित करें कि (i) $(A^{\prime})^{\prime}=A$, (ii) $(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$,

(iii) $(k B)^{\prime}=k B^{\prime}$, जहाँ $k$ कोई भी अचर है।

हल (i) हमारे पास है

$$ A=\begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow A^{\prime}=\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ \sqrt{3} & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow(A^{\prime})^{\prime}=\begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}=A $$

इस प्रकार $\quad(A^{\prime})^{\prime}=A$

(ii) हमारे पास

$$ A=\begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow A+B=\begin{bmatrix} 5 & \sqrt{3}-1 & 4 \\ 5 & 4 & 4 \end{bmatrix} $$

इसलिए $\quad(A+B)^{\prime}=\begin{bmatrix}5 & 5 \\ \sqrt{3}-1 & 4 \\ 4 & 4\end{bmatrix}$

अब $\quad A^{\prime}=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ \sqrt{3} & 2 \\ 2 & 0\end{bmatrix}, B^{\prime}=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 4\end{bmatrix}$,

इसलिए $\quad A^{\prime}+B^{\prime}=\begin{bmatrix}5 & 5 \\ \sqrt{3}-1 & 4 \\ 4 & 4\end{bmatrix}$

इस प्रकार $\quad(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$

(iii) हमारे पास

$$ k B=k\begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 k & -k & 2 k \\ k & 2 k & 4 k \end{bmatrix} $$ फिर $\quad(k B)^{\prime}=\begin{bmatrix}2 k & k \\ -k & 2 k \\ 2 k & 4 k\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 4\end{bmatrix}=k B^{\prime}$

इस प्रकार $$ (k B)^{\prime}=k B^{\prime} $$

उदाहरण 21 यदि $A=\begin{bmatrix}-2 \\ 4 \\ 5\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & 3 & -6\end{bmatrix}$, सत्यापित करें कि $(A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$.

हल हमारे पास

$$ A=\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 1 & 3 & -6 \end{bmatrix} $$

फिर $$ AB=\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 & -6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & -6 & 12 \\ 4 & 12 & -24 \\ 5 & 15 & -30 \end{bmatrix} $$

अब $$\begin{aligned} & A^{\prime}=\begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \end{bmatrix}, B^{\prime}=\begin{bmatrix} 1 \ 3 \ -6 \end{bmatrix} \ & B^{\prime} A^{\prime}=\begin{bmatrix} 1 \ 3 \ -6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \ -6 & 12 & 15 \ 12 & -24 & -30 \end{bmatrix}=(AB)^{\prime} \end{aligned} $$

स्पष्टतया $$ (AB)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime} $$

3.6 सममित और विषम-सममित आव्यूह

परिभाषा 4 एक वर्ग आव्यूह $A=[a_{i j}]$ को सममित कहा जाता है यदि $A^{\prime}=A$, अर्थात् $[a_{i j}]=[a_{j i}]$ सभी संभावित मानों के लिए $i$ और $j$ के।

$$ \text { उदाहरण के लिए } A=\begin{bmatrix} \sqrt{3} & 2 & 3 \ 2 & -1.5 & -1 \ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \text { एक सममित आव्यूह है क्योंकि } A^{\prime}=A $$

परिभाषा 5 एक वर्ग आव्यूह $A=[a_{i j}]$ को विषम-सममित आव्यूह कहा जाता है यदि $A^{\prime}=-A$, अर्थात् $a_{j i}=-a_{i j}$ सभी संभावित मानों के लिए $i$ और $j$ के। अब, यदि हम $i=j$ रखें, तो हमें मिलता है $a_{i i}=-a_{i i}$। इसलिए $2 a_{i i}=0$ या $a_{i i}=0$ सभी $i$ के लिए।

इसका अर्थ है कि विषम-सममित आव्यूह के सभी विकर्ण तत्व शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, आव्यूह $B=\begin{bmatrix}0 & e & f \ -e & 0 & g \ -f & -g & 0\end{bmatrix}$ एक विषम-सममित आव्यूह है क्योंकि $B^{\prime}=-B$

अब, हम सममित और विषम-सममित आव्यूहों के कुछ परिणामों को सिद्ध करने जा रहे हैं।

प्रमेय 1 किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए जिसमें वास्तविक संख्याओं की प्रविष्टियाँ हों, $A+A^{\prime}$ एक सममित आव्यूह है और $A-A^{\prime}$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

उपपत्ति माना (B=A+A^{\prime}), तब

$$\begin{aligned} B^{\prime} & =(A+A^{\prime})^{\prime} \ & =A^{\prime}+(A^{\prime})^{\prime}(\text { क्योंकि }(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}) \ & =A^{\prime}+A(\text { क्योंकि }(A^{\prime})^{\prime}=A) \ & =A+A^{\prime}(\text { क्योंकि } A+B=B+A) \ & =B \end{aligned} $$

अतः (B=A+A^{\prime}) एक सममित आव्यूह है

अब माना $$ C=A-A^{\prime} $$

$$\begin{aligned} C^{\prime} & =(A-A^{\prime})^{\prime}=A^{\prime}-(A^{\prime})^{\prime} \quad \text { (क्यों?) } \ & =A^{\prime}-A \quad(\text { क्यों? }) \ & =-(A-A^{\prime})=-C \end{aligned} $$

अतः $$ C=A-A^{\prime} \text { एक विषम सममित आव्यूह है। } $$

प्रमेय 2 कोई भी वर्ग आव्यूह एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उपपत्ति माना A एक वर्ग आव्यूह है, तब हम लिख सकते हैं

$$ A=\frac{1}{2}(A+A^{\prime})+\frac{1}{2}(A-A^{\prime}) $$

प्रमेय 1 से, हम जानते हैं कि ((A+A^{\prime})) एक सममित आव्यूह है और ((A-A^{\prime})) एक विषम सममित आव्यूह है। चूँकि किसी भी आव्यूह (A) के लिए, ((k A)^{\prime}=k A^{\prime}), इसलिए (\frac{1}{2}(A+A^{\prime})) सममित आव्यूह है और (\frac{1}{2}(A-A^{\prime})) विषम सममित आव्यूह है। इस प्रकार, कोई भी वर्ग आव्यूह एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण 22 आव्यूह (B=\begin{bmatrix}2 & -2 & -4 \ -1 & 3 & 4 \ 1 & -2 & -3\end{bmatrix}) को एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल यहाँ

$$ B^{\prime}=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -4 & 4 & -3 \end{bmatrix} $$

माना $$ P=\frac{1}{2}(B+B^{\prime})=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 & -3 & -3 \\ -3 & 6 & 2 \\ -3 & 2 & -6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & \frac{-3}{2} & \frac{-3}{2} \\ \frac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \frac{-3}{2} & 1 & -3 \end{bmatrix} $$

अब $$ P^{\prime}=\begin{bmatrix} 2 & \frac{-3}{2} & \frac{-3}{2} \\ \frac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \frac{-3}{2} & 1 & -3 \end{bmatrix}=P $$

इस प्रकार $$ P=\frac{1}{2}(B+B^{\prime}) \text { एक सममित आव्यूह है। } $$

साथ ही, माना $\quad Q=\frac{1}{2}(B-B^{\prime})=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 & -1 & -5 \\ 1 & 0 & 6 \\ 5 & -6 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & \frac{-1}{2} & \frac{-5}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 3 \\ \frac{5}{2} & -3 & 0\end{bmatrix}$

तब $$ Q^{\prime}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{3} \\ \frac{-1}{2} & 0 & -3 \\ \frac{-5}{2} & 3 & 0 \end{bmatrix}=-Q $$

इस प्रकार $$ Q=\frac{1}{2}(B-B^{\prime}) \text { एक विषम सममित आव्यूह है। } $$

अब $$ P+Q=\begin{bmatrix} 2 & \frac{-3}{2} & \frac{-3}{2} \\ \frac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \frac{-3}{2} & 1 & -3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & \frac{-1}{2} & \frac{-5}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 3 \\ \frac{5}{2} & -3 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}=B $$

इस प्रकार, B को एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया गया है।

3.7 व्युत्क्रमणीय आव्यूह

परिभाषा 6 यदि (A) क्रम (m) की एक वर्ग आव्यूह है, और यदि क्रम (m) का एक अन्य वर्ग आव्यूह (B) इस प्रकार विद्यमान है कि (AB=BA=I), तो (B) को (A) का व्युत्क्रम आव्यूह कहा जाता है और इसे (A^{-1}) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। उस स्थिति में (A) व्युत्क्रमणीय कहलाता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए (A=\begin{bmatrix}2 & 3 \ 1 & 2\end{bmatrix}) और (B=\begin{bmatrix}2 & -3 \ -1 & 2\end{bmatrix}) दो आव्यूह हैं।

अब $$\begin{aligned} AB & =\begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{bmatrix} \ & =\begin{bmatrix} 4-3 & -6+6 \ 2-2 & -3+4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}=I \end{aligned} $$

साथ ही (BA=\begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{bmatrix}=I\। इस प्रकार (B), (A) का व्युत्क्रम है, दूसरे शब्दों में (B=A^{-1}) और (A), (B) का व्युत्क्रम है, अर्थात् (A=B^{-1})

टिप्पणी

1. एक आयताकार आव्यूह का व्युत्क्रम आव्यूह नहीं होता, क्योंकि गुणनफलों (BA) और (AB) को परिभाषित होने और बराबर होने के लिए यह आवश्यक है कि आव्यूह (A) और (B) समान क्रम के वर्ग आव्यूह हों।

2. यदि (B), (A) का व्युत्क्रम है, तो (A) भी (B) का व्युत्क्रम है।

प्रमेय 3 (व्युत्क्रम की अद्वितीयता) एक वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम, यदि विद्यमान है, तो अद्वितीय होता है। प्रमाण मान लीजिए (A=[a_{i j}]) क्रम (m) का एक वर्ग आव्यूह है। यदि संभव हो, तो मान लीजिए (B) और (C), (A) के दो व्युत्क्रम हैं। हम दिखाएँगे कि (B=C)।

चूँकि B, A का व्युत्क्रम है $$ AB=BA=I $$

चूँकि (C) भी (A) का व्युत्क्रम है $$ AC=CA=I $$

इस प्रकार $$ B=BI=B(AC)=(BA) C=IC=C $$

प्रमेय 4 यदि A और B समान कोटि के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, तो (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹।

प्रमाण आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से हमें प्राप्त होता है

या (AB)(AB)⁻¹ = I

या $$ A^{-1}(AB)(AB)^{-1}=A^{-1} I \bigcirc(\text { दोनों पक्षों को बाएँ से } A^{-1} \text{ से गुणा करने पर }) $$

$(A^{-1} A) B(A B)^{-1}=A^{-1} \quad(.$ क्योंकि $.A^{-1} I=A^{-1})$

या IB $(A B)^{-1}=A^{-1}$

या $B(AB)^{-1}=A^{-1}$

या $$ B^{-1} B(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1} $$

या $I(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$

अतः $(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$

विविध उदाहरण

उदाहरण 23 यदि $A=\begin{bmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix}$, तो सिद्ध कीजिए कि $A^{n}=\begin{bmatrix}\cos n \theta & \sin n \theta \\ -\sin n \theta & \cos n \theta\end{bmatrix}, n \in \mathbf{N}$।

हल हम गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके परिणाम को सिद्ध करेंगे।

हमें है $$\begin{aligned} & P(n): \text { यदि } A=\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \text {, तो } A^{n}=\begin{bmatrix} \cos n \theta & \sin n \theta \\ -\sin n \theta & \cos n \theta \end{bmatrix}, n \in \mathbf{N} \\ & P(1): A=\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \text {, इसलिए } A^{1}=\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \end{aligned} $$

इसलिए, परिणाम n = 1 के लिए सत्य है।

मान लीजिए परिणाम n = k के लिए सत्य है। अतः

$$ P(k): A=\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \text {, तो } A^{k}=\begin{bmatrix} \cos k \theta & \sin k \theta \ -\sin k \theta & \cos k \theta \end{bmatrix} $$

अब, हम सिद्ध करते हैं कि परिणाम $n=k+1$ के लिए सत्य है।

अब $$\begin{aligned} A^{k+1} & =A \cdot A^{k}=\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos k \theta & \sin k \theta \ -\sin k \theta & \cos k \theta \end{bmatrix} \ & =\begin{bmatrix} \cos \theta \cos k \theta-\sin \theta \sin k \theta & \cos \theta \sin k \theta+\sin \theta \cos k \theta \ -\sin \theta \cos k \theta+\cos \theta \sin k \theta & -\sin \theta \sin k \theta+\cos \theta \cos k \theta \end{bmatrix} \ & =\begin{bmatrix} \cos (\theta+k \theta) & \sin (\theta+k \theta) \ -\sin (\theta+k \theta) & \cos (\theta+k \theta) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos (k+1) \theta & \sin (k+1) \theta \ -\sin (k+1) \theta & \cos (k+1) \theta \end{bmatrix} \end{aligned} $$

इसलिए, परिणाम $n=k+1$ के लिए सत्य है। इस प्रकार गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, हमारे पास $A^{n}=\begin{bmatrix}\cos n \theta & \sin n \theta \ -\sin n \theta & \cos n \theta\end{bmatrix}$, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है।

उदाहरण 24 यदि $A$ और $B$ समान क्रम的对称 आव्यूह हैं, तो दिखाएं कि $A B$ सिमिट्रिक है यदि और केवल यदि $A$ और $B$ कम्यूट करते हैं, अर्थात् $AB=BA$।

हल चूँकि A और B दोनों सममित आव्यूह हैं, इसलिए $A^{\prime}=A$ और $B^{\prime}=B$।

मान लीजिए $\quad AB$ सममित है, तब $(AB)^{\prime}=AB$

परंतु $$\begin{aligned} (AB)^{\prime} & =B^{\prime} A^{\prime}=BA(\text { क्यों? }) \\ BA & =AB \end{aligned} $$

इसलिए

विपरीततः, यदि $AB=BA$, तब हम दिखाएँगे कि $AB$ सममित है।

अब $$\begin{aligned} (AB)^{\prime} & =B^{\prime} A^{\prime} \\ & =B A(\text { चूँकि } A \text{ और } B \text{ सममित हैं}) \\ & =AB \end{aligned} $$

इसलिए $AB$ सममित है।

उदाहरण 25 मान लीजिए $A=\begin{bmatrix}2 & -1 \\ 3 & 4\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}5 & 2 \\ 7 & 4\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}2 & 5 \\ 3 & 8\end{bmatrix}$. एक ऐसा आव्यूह $D$ ज्ञात कीजिए कि $CD-AB=O$।

हल चूँकि A, B, C सभी क्रम 2 के वर्ग आव्यूह हैं, और CD - AB सुपरिभाषित है, $D$ अवश्य ही क्रम 2 का वर्ग आव्यूह होगा।

मान लीजिए $$\begin{aligned} & D=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} . \text { तब } CD-AB=0 \text{ देता है } \\ & {\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}=O} \\ & {\begin{bmatrix} 2 a+5 c & 2 b+5 d \\ 3 a+8 c & 3 b+8 d \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 43 & 22 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}} \\ & {\begin{bmatrix} 2 a+5 c-3 & 2 b+5 d \\ 3 a+8 c-43 & 3 b+8 d-22 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}} \end{aligned} $$

या
आव्यूहों की समता द्वारा, हमें प्राप्त होता है

$$\begin{bmatrix} 2 a+5 c-3=0 \\ 3 a+8 c-43=0 \\ 2 b+5 d=0 \\ 3 b+8 d-22=0 \end{bmatrix} $$

अतः $$ D=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -191 & -110 \\ 77 & 44 \end{bmatrix} $$

सारांश

एक आव्यूह संख्याओं या फलनों का एक क्रमबद्ध आयताकार आव्यूह होता है।
एक आव्यूह जिसमें $m$ पंक्तियाँ और $n$ स्तंभ हों, को $m \times n$ कोटि का आव्यूह कहा जाता है।
$[a_{i j}]_{m \times 1}$ एक स्तंभ आव्यूह है।
$[a_{i j}]_{1 \times n}$ एक पंक्ति आव्यूह है।
एक $m \times n$ आव्यूह वर्ग आव्यूह होता है यदि $m=n$।
$A=[a _{i j}] _{m \times m}$ एक विकर्ण आव्यूह है यदि $a _{i j}=0$, जब $i \neq j$।
$A=[a_{ij}]_{n \times n}$ एक अदिश आव्यूह है यदि $a _ {i j}=0$, जब $i \neq j, a _ {ij}=k$, $k$ कोई स्थिरांक है, जब $i=j$।
$A=[a _{ij}] _{n \times n}$ एक इकाई आव्यूह है, यदि $a _{i j}=1$, जब $i=j, a _{i j}=0$, जब $i \neq j$।
एक शून्य आव्यूह के सभी अवयव शून्य होते हैं।
$A=[a_ {i j}]=[b_ {i j}]=B$ यदि (i) A और B समान कोटि के हैं, (ii) $a_{i j}=b_{i j}$ सभी संभावित मानों के लिए $i$ और $j$ के। $k A=k[a_ {i j}]_ {m \times n}=[k(a_{i j})] _{m \times n}$
$\Delta-A=(-1) A$
$\Delta A-B=A+(-1) B$
$\Delta A+B=B+A$
$(A+B)+C=A+(B+C)$, जहाँ $A, B$ और $C$ समान कोटि के हैं।
$\Delta k(A+B)=k A+k B$, जहाँ $A$ और $B$ समान कोटि के हैं, $k$ स्थिरांक है।
$ (k+l) A=k A+l A$, जहाँ $k$ और $l$ स्थिरांक हैं।
यदि (A=[a_{i j}]{m \times n}) और (B=[b{j k}]{n \times p}) है, तो (AB=C=[c{i k}]{m \times p}), जहाँ (c{i k}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} b_{j k})
(i) (A(BC)=(AB) C),

(ii) (A(B+C)=AB+AC), (iii) ((A+B) C=AC+BC)
(\Delta) यदि (A=[a_{i j}]{m \times n}) है, तो (A^{\prime}) या (A^{T}=[a{j i}]_{n \times m})
(i) ((A^{\prime})^{\prime}=A), (ii) ((k A)^{\prime}=k A^{\prime}), (iii) ((A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}), (iv) ((AB)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime})
(A) एक सममित आव्यूह है यदि (A^{\prime}=A) हो।
(\Delta) (A) एक विषम-सममित आव्यूह है यदि (A^{\prime}=-A) हो।
कोई भी वर्ग आव्यूह एक सममित और एक विषम-सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
(\Delta) यदि (A) और (B) दो वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि (AB=BA=I), तो (B), (A) का व्युत्क्रम आव्यूह है और इसे (A^{-1}) द्वारा निरूपित किया जाता है और (A), (B) का व्युत्क्रम है।
(\Delta) वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम, यदि वह अस्तित्व में है, अद्वितीय होता है।

अध्याय 3 मैट्रिसेस

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3.1 परिचय