सभी गणितीय सत्य सापेक्ष और प्रतिबंधित होते हैं - C.P. स्टेनमेट्ज़

4.1 परिचय

पिछले अध्याय में, हमने आव्यूहों और आव्यूहों के बीजगणित का अध्ययन किया है। हमने यह भी सीखा है कि बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को आव्यूहों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसका अर्थ है, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली जैसे

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

को $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है। अब, इस समीकरण प्रणाली का एक अद्वितीय हल है या नहीं, यह संख्या $a_1 b_2-a_2 b_1$ द्वारा निर्धारित होता है। (याद कीजिए कि यदि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ या, $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$, तब रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय हल होता है)। संख्या $a_1 b_2-a_2 b_1$ जो हल की अद्वितीयता को निर्धारित करती है, आव्यूह $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ से संबद्ध है और इसे A का सारणिक या det A कहा जाता है। सारणिकों का अभियांत्रिकी, विज्ञान, अर्थशास्त्र, सामाजिक विज्ञान आदि में व्यापक अनुप्रयोग है।

इस अध्याय में, हम सारे निर्धारकों का अध्ययन केवल तीसरे क्रम तक वास्तविक प्रविष्टियों के साथ करेंगे। साथ ही, हम निर्धारकों के विभिन्न गुणधर्मों, अल्पकोणों, सहखंडों और निर्धारकों के अनुप्रयोगों—जैसे त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालना, वर्ग आव्यूह का सहज और व्युत्क्रम, रैखिक समीकरणों के निकाय की संगतता व असंगतता और दो या तीन चरों वाले रैखिक समीकरणों का हल आव्यूह के व्युत्क्रम द्वारा—का अध्ययन करेंगे।

4.2 निर्धारक

प्रत्येक वर्ग आव्यूह $A=[a_{ij}]$ क्रम $n$ के साथ, हम एक संख्या (वास्तविक या समिश्र) जोड़ सकते हैं, जिसे वर्ग आव्यूह A का निर्धारक कहा जाता है, जहाँ $a_{ij}=A$ का $(i,j)$-वाँ अवयव है।

इसे एक ऐसा फलन माना जा सकता है जो प्रत्येक वर्ग आव्यूह को एक अद्वितीय संख्या (वास्तविक या समिश्र) से जोड़ता है। यदि $M$ वर्ग आव्यूहों का समुच्चय है, $K$ संख्याओं (वास्तविक या समिश्र) का समुच्चय है और $f: M \to K$ इस प्रकार परिभाषित है कि $f(A)=k$, जहाँ $A \in M$ और $k \in K$, तो $f(A)$ को $A$ का निर्धारक कहा जाता है। इसे $|A|$ या det A या $\Delta$ से भी दर्शाया जाता है।

यदि $A=\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}$ है, तो A का निर्धारक इस प्रकार लिखा जाता है $|A|=\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}=det(A)$

टिप्पणियाँ

(i) आव्यूह A के लिए, $|A|$ को A का निर्धारक पढ़ा जाता है, न कि A का मापांक।

(ii) केवल वर्ग आव्यूहों के ही निर्धारक होते हैं।

4.2.1 एक क्रम के आव्यूह का निर्धारक

मान लीजिए $A=[a]$ क्रम 1 का आव्यूह है, तो A का निर्धारक $a$ के बराबर परिभाषित किया जाता है।

4.2.2 दो क्रम के आव्यूह का निर्धारक

$\text{मान लीजिए}\qquad A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} \text{ एक } 2 \times 2 \text{ कोटि की मैट्रिक्स है,} $

तब $A$ का सारणिक इस प्रकार परिभाषित है:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

उदाहरण 1 मूल्यांकन कीजिए $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$।

हल हमारे पास $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=2(2)-4(-1)=4+4=8$ है।

उदाहरण 2 मूल्यांकन कीजिए $\begin{vmatrix}x & x+1 \\ x-1 & x\end{vmatrix}$

हल हमारे पास

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

4.2.3 $3 \times 3$ कोटि की मैट्रिक्स का सारणिक

तीन कोटि की मैट्रिक्स का सारणिक इसे द्वितीय कोटि के सारणिकों के पदों में व्यक्त करके निर्धारित किया जा सकता है। इसे किसी पंक्ति (या स्तंभ) के साथ सारणिक का प्रसार कहा जाता है। क्रम 3 के सारणिक के प्रसार के छह तरीके होते हैं, जो तीनों पंक्तियों $(R_1, R_2.$ और $.R_3)$ और तीनों स्तंभों $(C_1, C_2.$ और $C_3)$ में से प्रत्येक के अनुरूप होते हैं, जो नीचे दिखाए अनुसार समान मान देते हैं।

वर्ग मैट्रिक्स $A=[a _{i j}] _{3 \times 3}$ के सारणिक पर विचार कीजिए

$\text{अर्थात्}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

प्रथम पंक्ति $(\mathbf{R} _1)$ के साथ प्रसार

चरण 1 $\mathbf{R} _ {1}$ के प्रथम अवयव $ a _ {11}$ को $(-1)^{(1+1)}[(-1)^{.\text{प्रत्ययों का योग } a _ {11} \text{ में}}.$ से गुणा करें और द्वितीय कोटि के सारणिक से जो $|A|$ की प्रथम पंक्ति $(R_1)$ और प्रथम स्तंभ $(C _ {1})$ के अवयवों को हटाने पर प्राप्त होता है, क्योंकि $a _ {11}$ स्थित है $ R _ {1} $ और $ C _ {1} $ में,

$\text{अर्थात,}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

चरण 2 $R_1$ के द्वितीय अवयव $a _{12}$ को $(-1)^{1+2}[(-1)^{\text{प्रत्ययों का योग } a _{12} \text{ में}}]$ से गुणा करें और द्वितीय कोटि के सारणिक से जो $|A|$ की प्रथम पंक्ति $(R_1)$ और द्वितीय स्तंभ $(C_2)$ के अवयवों को हटाने पर प्राप्त होता है, क्योंकि $a _{12}$ स्थित है $R_1$ और $C_2$ में,

अर्थात, $\quad(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{23} \ a _{31} & a _{33}\end{vmatrix}$

चरण 3 $R_1$ के तृतीय अवयव $a _{13}$ को $(-1)^{1+3}[(-1)^{\text{प्रत्ययों का योग } a _{13} \text{ में}}]$ से गुणा करें और द्वितीय कोटि के सारणिक से जो $|A|$ की प्रथम पंक्ति $(R_1)$ और तृतीय स्तंभ $(C_3)$ के अवयवों को हटाने पर प्राप्त होता है, क्योंकि $a _{13}$ स्थित है $R_1$ और $C_3$ में,

अर्थात, $\quad(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{22} \ a _{31} & a _{32}\end{vmatrix}$

चरण 4 अब A के सारणिक का विस्तार, अर्थात्, $|A|$ को उपरोक्त चरणों 1, 2 और 3 में प्राप्त तीनों पदों के योग के रूप में लिखा गया है

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{या} \qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

नोट हम चारों चरणों को एक साथ लागू करेंगे।

दूसरी पंक्ति $(\mathbf{R} _2)$ के साथ विस्तार

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $$

$R_2$ के साथ विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) \\ & -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

प्रथम स्तंभ $(C_1)$ के साथ प्रसार

$$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $$

$C_1$ के साथ प्रसार करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}) \end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

स्पष्ट है कि (1), (2) और (3) में $|A|$ के मान समान हैं। यह पाठक के अभ्यास के लिए छोड़ा गया है कि वह सत्यापित करे कि $R_3, C_2$ और $C_3$ के साथ विस्तार करने पर $|A|$ के मान, (1), (2) या (3) में प्राप्त $|A|$ के मान के बराबर हैं।

अतः किसी भी पंक्ति या स्तंभ के साथ सारणिक का विस्तार करने पर समान मान प्राप्त होता है।

टिप्पणियाँ

(i) आसान गणना के लिए, हम उस पंक्ति या स्तंभ के साथ सारणिक का विस्तार करेंगे जिसमें शून्यों की अधिकतम संख्या हो।

(ii) विस्तार करते समय, $(-1)^{i+j}$ से गुणा करने के बजाय, हम +1 या -1 से तब गुणा कर सकते हैं जब $(i+j)$ सम है या विषम।

(iii) मान लीजिए $A=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 4 & 0\end{vmatrix}$ और $B=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix}$। तब, यह सत्यापित करना आसान है कि $A=2 B$। साथ ही $|A|=0-8=-8$ और $|B|=0-2=-2$।

ध्यान दीजिए, $|A|=4(-2)=2^{2}|B|$ या $|A|=2^{n}|B|$, जहाँ $n=2$ वर्ग आव्यूहों $A$ और $B$ की कोटि है।

सामान्यतः, यदि $A=k B$ जहाँ $A$ और $B$ कोटि $n$ के वर्ग आव्यूह हैं, तो $|A|=k^{n}$ $|B|$, जहाँ $n=1,2,3$

उदाहरण 3 सारणिक $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}$ का मान निकालिए।

हल ध्यान दीजिए कि तीसरे स्तंभ में, दो प्रविष्टियाँ शून्य हैं। इसलिए तीसरे स्तंभ $(C_3)$ के साथ विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

उदाहरण 4 $\Delta=\begin{vmatrix}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{vmatrix}$ का मान निकालिए

हल $R_1$ के साथ विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

उदाहरण 5 उन $x$ के मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए $\begin{vmatrix}3 & x \ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \ 4 & 1\end{vmatrix}$।

हल हमारे पास $\begin{vmatrix}3 & x \ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \ 4 & 1\end{vmatrix}$

अर्थात् $\qquad 3-x^{2}=3-8$

$\text{अर्थात्}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \ \end{aligned} $

अतः $\qquad\ x= \pm 2 \sqrt{2}$

4.3 त्रिभुज का क्षेत्रफल

पिछली कक्षाओं में हमने पढ़ा है कि एक त्रिभुज जिसके शीर्ष $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं, का क्षेत्रफल व्यंजक $\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+.$ $.x_3(y_1-y_2)]$ द्वारा दिया जाता है। अब इस व्यंजक को एक सारणिक के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \tag{1}\ x _{2} & y _{2} & 1 \ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right| $$

टिप्पणियाँ

(i) चूँकि क्षेत्रफल एक धनात्मक राशि है, हम सदैव (1) में सारणिक का निरपेक्ष मान लेते हैं।

(ii) यदि क्षेत्रफल दिया गया हो, तो गणना के लिए सारणिक के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मानों का प्रयोग करें।

(iii) तीन संरेख बिंदुओं द्वारा बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।

उदाहरण 6 उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(3,8),(-4,2)$ और $(5,1)$ हैं।

हल त्रिभुज का क्षेत्रफल दिया गया है

$$ \begin{aligned} \Delta & =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 1 \ -4 & 2 & 1 \ 5 & 1 & 1 \end{array}\right|=\frac{1}{2}[3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)] \ & =\frac{1}{2}(3+72-14)=\frac{61}{2} \end{aligned} $$

उदाहरण 7 निर्धारकों का प्रयोग कर बिंदु $A(1,3)$ और $B(0,0)$ को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए और $k$ ज्ञात कीजिए यदि $D(k, 0)$ एक ऐसा बिंदु है कि त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है।

हल मान लीजिए $P(x, y)$ बिंदु AB पर कोई बिंदु है। तब, त्रिभुज ABP का क्षेत्रफल शून्य है (क्यों?).

$\text{इसलिए}\qquad \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \ 1 & 3 & 1 \ x & y & 1 \end{array}\right|=0 $

$\text{इससे प्राप्त होता है}\qquad \frac{1}{2}(y-3 x)=0 \text { या } y=3 x $

जो अभीष्ट रेखा AB का समीकरण है।

इसके अतिरिक्त, चूँकि त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है, हमारे पास है

$ \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \ 0 & 0 & 1 \ k & 0 & 1 \end{vmatrix}= \pm 3 $

इससे प्राप्त होता है, $\frac{-3 k}{2}= \pm 3$, अर्थात् $k=\mp 2$।

4.4 उपसारणिक और सहखंड

इस खंड में, हम उपसारणिक और सहखंडों का प्रयोग कर एक निर्धारक के प्रसार को संक्षिप्त रूप में लिखना सीखेंगे।

परिभाषा 1 किसी सारणिक के अवयव (a_{ij}) का लघुपरिमाण वह सारणिक है जो उसकी (i)वीं पंक्ति और (j)वां स्तंभ हटाने पर प्राप्त होता है जिसमें अवयव (a_{ij}) स्थित है। अवयव (a_{ij}) का लघुपरिमाण (M_{ij}) द्वारा दर्शाया जाता है।

टिप्पणी क्रम (n(n \geq 2)) की किसी सारणिक के अवयव का लघुपरिमाण क्रम (n-1) की एक सारणिक होता है।

उदाहरण 8 सारणिक (\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}) में अवयव 6 का लघुपरिमाण ज्ञात कीजिए।

हल चूँकि 6 दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ में स्थित है, इसका लघुपरिमाण (M_{23}) इस प्रकार दिया गया है

$ M_{23}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \ 7 & 8 \end{vmatrix}=8-14=-6 \text{ (प्राप्त किया गया } \Delta \text{ में } R_2 \text{ और } C_3 \text{ हटाकर)।} $

परिभाषा 2 किसी अवयव (a_{ij}) का सहखंड, जिसे (A_{ij}) द्वारा दर्शाया जाता है, इस प्रकार परिभाषित है

$ A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} \text{, जहाँ } M_{ij} \text{ अवयव } a_{ij} \text{ का लघुपरिमाण है।} $

उदाहरण 9 सारणिक (\begin{vmatrix}1 & -2 \ 4 & 3\end{vmatrix}) के सभी अवयवों के लघुपरिमाण और सहखंड ज्ञात कीजिए।

हल अवयव (a_{ij}) का लघुपरिमाण (M_{ij}) है।

यहाँ (a_{11}=1) है। इसलिए (M_{11}=) अवयव (a_{11}) का लघुपरिमाण (=3)

$$ \begin{aligned} & \mathrm{M}{12}=\text{अवयव } a{12} \text{ का लघुपरिमाण } =4 \ & \mathrm{M}{21}=\text{अवयव } a{21} \text{ का लघुपरिमाण } =-2 \ & \mathrm{M}{22}=\text{अवयव } a{22} \text{ का लघुपरिमाण } =1 \end{aligned} $$

अब, अवयव (a_{ij}) का सहखंड (A_{ij}) है। इसलिए

$$ \begin{aligned} & A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=(-1)^{2}(3)=3 \\ & A _{12}=(-1)^{1+2} \quad M _{12}=(-1)^{3}(4)=-4 \\ & A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)^{3}(-2)=2 \\ & A _{22}=(-1)^{2+2} \quad M _{22}=(-1)^{4}(1)=1 \end{aligned} $$

उदाहरण 10 निर्धारक में तत्वों $a _{11}, a _{21}$ के अल्प और सहखंडज्ञात कीजिए $ \Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

हल अल्प और सहखंड की परिभाषा से, हमारे पास

$a _{11}$ का अल्प $=M _{11}=\begin{vmatrix}a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$
$a _{11}$ का सहखंड $=A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$
$a _{21}$ का अल्प $=M _{21}=\begin{vmatrix}a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32}$
$a _{21}$ का सहखंड $=A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})=-a _{12} a _{33}+a _{13} a _{32}$

टिप्पणी उदाहरण 21 में निर्धारक $\Delta$ को $R_1$ के साथ प्रसारित करने पर, हमारे पास

$ \begin{aligned} \Delta & =(-1)^{1+1} a _{11}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{23} \ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{22} \ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \ & =a _{11} A _{11}+a _{12} A _{12}+a _{13} A _{13} \text{, जहाँ } A _{i j} \text{ element } a _{i j} का कोफैक्टर है \ & =\text{ } R_1 \text{ के तत्वों और उनके संगत कोफैक्टरों के गुणनफलों का योग } \end{aligned} $

इसी प्रकार, $\Delta$ की गणना विस्तार की अन्य पाँच विधियों से भी की जा सकती है, अर्थात् $R_2, R_3$, $C_1, C_2$ और $C_3$ के साथ।

अतः $\Delta$ = किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के तत्वों और उनके संगत कोफैक्टरों के गुणनफलों का योग है।

नोट यदि किसी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों को किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के सहखंडों से गुणा किया जाए, तो उनका योग शून्य होता है। उदाहरण के लिए,

$ \begin{aligned} \Delta & =a _{11} A _{21}+a _{12} A _{22}+a _{13} A _{23} \ & =a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{12}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{13}(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \ & =\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \ a _{11} & a _{12} & a _{13} \ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}=0 \text{ क्योंकि } R_1 \text{ और } R_2 \text{ समान हैं } \end{aligned} $

इसी प्रकार, हम अन्य पंक्तियों और स्तंभों के लिए भी प्रयास कर सकते हैं।

उदाहरण 11 सारणिक

$ \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \ 6 & 0 & 4 \ 1 & 5 & -7 \end{vmatrix} \text{ के अवयवों के अल्पगण और सहखंड ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि } a _{11} A _{31}+a _{12} A _{32}+a _{13} A _{33}=0 $

हल हमारे पास $M _{11}=\begin{vmatrix}0 & 4 \ 5 & -7\end{vmatrix}=0-20=-20 ; A _{11}=(-1)^{1+1}(-20)=-20$

$M _{12}=\begin{vmatrix}6 & 4 \ 1 & -7\end{vmatrix}=-42-4=-46 ; \quad A _{12}=(-1)^{1+2}(-46)=46$

$M _{13}=\begin{vmatrix}6 & 0 \ 1 & 5\end{vmatrix}=30-0=30 ; \quad A _{13}=(-1)^{1+3}(30)=30$

$M _{21}=\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 5 & -7\end{vmatrix}=21-25=-4 ; \quad A _{21}=(-1)^{2+1}(-4)=4$

$M _{22}=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 1 & -7\end{vmatrix}=-14-5=-19 ; \quad A _{22}=(-1)^{2+2}(-19)=-19$

$M _{23}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ 1 & 5\end{vmatrix}=10+3=13 ; \quad A _{23}=(-1)^{2+3}(13)=-13$

$M _{31}=\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 0 & 4\end{vmatrix}=-12-0=-12 ; \quad A _{31}=(-1)^{3+1}(-12)=-12$

$M _{32}=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 6 & 4\end{vmatrix}=8-30=-22 ; \quad A _{32}=(-1)^{3+2}(-22)=22$

और $\quad M _{33}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ 6 & 0\end{vmatrix}=0+18=18 ; \quad A _{33}=(-1)^{3+3}(18)=18$

अब $\quad a _{11}=2, a _{12}=-3, a _{13}=5 ; A _{31}=-12, A _{32}=22, A _{33}=18$

इसलिए $\quad a _{11} A _{31}+a _{12} A _{32}+a _{13} A _{33}$

$=2(-12)+(-3)(22)+5(18)=-24-66+90=0$