“विज्ञान का सम्पूर्णता कुछ नहीं है सिवाय रोज़मर्रा की सोच को निखारने के।” - अल्बर्ट आइंस्टीन

5.1 परिचय

यह अध्याय मूलतः कक्षा XI में फलनों के अवकलन के हमारे अध्ययन की निरंतरता है। हमने कुछ फलनों—जैसे बहुपदीय फलन और त्रिकोणमितीय फलन—को अवकलित करना सीखा था। इस अध्याय में हम निरंतरता, अवकलनीयता तथा इनके बीच के सम्बन्ध जैसे अत्यन्त महत्वपूर्ण विचारों का परिचय देंगे। हम त्रिकोणमितीय व्युत्क्रम फलनों का अवकलन भी सीखेंगे। आगे चलकर हम घातीय और लघुगणकीय फलनों नामक एक नये वर्ग के फलनों का परिचय देते हैं। ये फलन अवकलन की शक्तिशाली विधियों की ओर ले जाते हैं। हम कुछ ज्यामितीय रूप से स्पष्ट शर्तों को अवकल गणित के माध्यम से चित्रित करते हैं। इस प्रक्रिया में हम इस क्षेत्र के कुछ मौलिक प्रमेयों को सीखेंगे।

5.2 निरंतरता

हम प्रारम्भ करते हैं इस खण्ड को दो अनौपचारिक उदाहरणों से ताकि निरंतरता की भावना मिल सके। फलन पर विचार कीजिए

$$ f(x)=\begin{cases} 1, \text{ यदि } x \leq 0 \ 2, \text{ यदि } x>0 \end{cases}. $$

यह फलन निस्संदेश वास्तविक रेखा के प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित है। इस फलन का आलेख चित्र 5.1 में दिया गया है। आलेख से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि x-अक्ष के निकटवर्ती बिंदुओं पर फलन का मान एक-दूसरे के निकट रहता है, सिवाय x=0 के। 0 के निकट और बाईं ओर के बिंदुओं पर, अर्थात् -0.1, -0.01, -0.001 जैसे बिंदुओं पर, फलन का मान 1 है। 0 के निकट और दाईं ओर के बिंदुओं पर, अर्थात् 0.1, 0.01, 0.001 जैसे बिंदुओं पर, फलन का मान 2 है। बाएँ और दाएँ सीमा की भाषा का प्रयोग करते हुए हम कह सकते हैं कि 0 पर f की बायीं (क्रमशः दायीं) सीमा 1 (क्रमशः 2) है। विशेषतः बायीं और दायीं सीमाएँ मेल नहीं खातीं। हम यह भी देखते हैं कि x=0 पर फलन का मान बायीं सीमा से मेल खाता है। ध्यान दें कि जब हम आलेख खींचने का प्रयास करते हैं, तो हम इसे एक ही रेखा में नहीं खींच सकते, अर्थात् कागज के तल से कलम उठाए बिना इस फलन का आलेख नहीं खींचा जा सकता। वास्तव में, जब हम बाईं ओर से 0 पर आते हैं तो कलम उठाना पड़ता है। यह x=0 पर फलन के सतत न होने का एक उदाहरण है।

अब, परिभाषित फलन पर विचार करें

$$ f(x)=\begin{cases} & 1, \text{ यदि } x \neq 0 \\ & 2, \text{ यदि } x=0 \end{cases} $$

यह फलन भी प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित है। x=0 पर बायाँ और दायाँ सीमा दोनों 1 के बराबर हैं। परन्तु x=0 पर फलन का मान 2 है, जो बायीं और दायीं सीमा के सामान्य मान से मेल नहीं खाता। फिर, हम देखते हैं कि हम कलम को उठाए बिना फलन का आलेख नहीं खींच सकते। यह x=0 पर फलन के असतत होने का एक और उदाहरण है।

सरल शब्दों में, हम कह सकते हैं कि एक फलन किसी निश्चित बिंदु पर सतत है यदि हम कागज के तल से कलम को उठाए बिना उस बिंदु के आसपास फलन का आलेख खींच सकें।

गणितीय रूप से, इसे निम्नलिखित प्रकार से सटीक रूप से कहा जा सकता है:

परिभाषा 1 मान लीजिए f वास्तविक संख्याओं के एक उपसमुच्चय पर एक वास्तविक फलन है और c फलन f के प्रांत का एक बिंदु है। तब f, c पर सतत है यदि

$$ \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $$

अधिक विस्तार से, यदि बायाँ हस्त सीमा, दायाँ हस्त समा और फलन का मान $x=c$ पर अस्तित्व रखता है और आपस में बराबर है, तो $f$ को $x=c$ पर सतत कहा जाता है। याद कीजिए कि यदि $x=c$ पर दायाँ हस्त और बायाँ हस्त सीमा मेल खाती हैं, तो हम उस साझे मान को फलन की $x=c$ पर सीमा कहते हैं। इसलिए हम सततता की परिभाषा को इस प्रकार भी कह सकते हैं: एक फलन $x=c$ पर सतत है यदि फलन $x=c$ पर परिभाषित है और यदि फलन का मान $x=c$ पर फलन की $x=c$ पर सीमा के बराबर है। यदि $f$, $c$ पर सतत नहीं है, तो हम कहते हैं कि $f$, $c$ पर असतत है और $c$ को $f$ का असांतत्य बिंदु कहा जाता है।

उदाहरण 1 फलन $f$ जो $f(x)=2 x+3$ द्वारा दिया गया है, की $x=1$ पर सतता की जाँच कीजिए।

हल सर्वप्रथम ध्यान दीजिए कि फलन दिए गए बिंदु $x=1$ पर परिभाषित है और उसका मान 5 है। फिर फलन की $x=1$ पर सीमा ज्ञात कीजिए। स्पष्टतः

$$ \lim _{x \to 1} f(x)=\lim _{x \to 1}(2 x+3)=2(1)+3=5 $$

इस प्रकार $\qquad \lim _{x \to 1} f(x)=5=f(1)$

अतः, $f$, $x=1$ पर सतत है।

उदाहरण 2 परीक्षण कीजिए कि क्या फलन $f$ जो $f(x)=x^{2}$ द्वारा दिया गया है, $x=0$ पर सतत है।

हल सर्वप्रथम ध्यान दीजिए कि फलन दिए गए बिंदु $x=0$ पर परिभाषित है और उसका मान 0 है। फिर फलन की $x=0$ पर सीमा ज्ञात कीजिए। स्पष्टतः

$$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0^{2}=0 $$

इस प्रकार $\qquad \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)$

अतः, $f$, $x=0$ पर सतत है।

उदाहरण 3 फलन (f) जिसे (f(x)=|x|) द्वारा दिया गया है, की (x=0) पर सांतत्यता की चर्चा कीजिए।

हल परिभाषा से

$$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ यदि } x<0 \\ x, & \text{ यदि } x \geq 0\end{cases} $$

स्पष्ट है कि फलन 0 पर परिभाषित है और (f(0)=0). 0 पर (f) का बायाँ पक्ष सीमा है

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0 $$

इसी प्रकार, 0 पर (f) का दायाँ पक्ष सीमा है

$$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $$

इस प्रकार, बायाँ पक्ष सीमा, दायाँ पक्ष सीमा और फलन का मान (x=0) पर मेल खाते हैं। अतः, (f), (x=0) पर संतत है।

उदाहरण 4 दिखाइए कि फलन (f) जिसे

$$ f(x)= \begin{cases}x^{3}+3, & \text{ यदि } x \neq 0 \\ 1, & \text{ यदि } x=0\end{cases} $$

द्वारा दिया गया है, वह (x=0) पर संतत नहीं है।

हल फलन (x=0) पर परिभाषित है और इसका मान (x=0) पर 1 है। जब (x \neq 0), तो फलन एक बहुपद द्वारा दिया जाता है। अतः,

$$ \lim _{x \to 0} f(x)=\lim _{x \to 0}(x^{3}+3)=0^{3}+3=3 $$

चूँकि (x=0) पर (f) की सीमा, (f(0)) से मेल नहीं खाती, फलन (x=0) पर संतत नहीं है। यह ध्यान दिया जा सकता है कि (x=0) इस फलन के लिए असांतत्यता का एकमात्र बिंदु है।

उदाहरण 5 उन बिंदुओं की जाँच कीजिए जहाँ नियत फलन (f(x)=k) संतत है।

हल फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है और परिभाषा से, किसी भी वास्तविक संख्या पर इसका मान (k) के बराबर है। मान लीजिए (c) कोई वास्तविक संख्या है। तब

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} k=k $$

चूँकि $f(c)=k=\lim _{x \to c} f(x)$ किसी भी वास्तविक संख्या $c$ के लिए, फलन $f$ प्रत्येक वास्तविक संख्या पर संतत है।

उदाहरण 6 सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं पर तत्सम फलन, जिसे $f(x)=x$ द्वारा दिया गया है, प्रत्येक वास्तविक संख्या पर संतत है।

हल फलन स्पष्ट रूप से प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित है और प्रत्येक वास्तविक संख्या $c$ के लिए $f(c)=c$ है।

साथ ही, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c$

इस प्रकार, $\lim _{x \to c} f(x)=c=f(c)$ और इसलिए फलन प्रत्येक वास्तविक संख्या पर संतत है।

किसी फलन की एक दिए गए बिंदु पर संतातता को परिभाषित करने के बाद, अब हम इस परिभाषा का एक स्वाभाविक विस्तार करते हैं ताकि फलन की संततता पर चर्चा कर सकें।

परिभाषा 2 एक वास्तविक फलन $f$ को संतत कहा जाता है यदि वह $f$ के प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत हो। इस परिभाषा को थोड़ा विस्तार से समझाने की आवश्यकता है। मान लीजिए $f$ एक बंद अंतराल $[a, b]$ पर परिभाषित फलन है, तो $f$ के संतत होने के लिए उसे $[a, b]$ के प्रत्येक बिंदु — अंतिम बिंदुओं $a$ और $b$ सहित — पर संतत होना चाहिए। $a$ पर $f$ की संततता का अर्थ है और $b$ पर $f$ की संततता का अर्थ है

$$ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a) $$

$$ \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b) $$

ध्यान दीजिए कि $\lim _{x \to a^{-}} f(x)$ और $\lim _{x \to b^{+}} f(x)$ का कोई अर्थ नहीं होता। इस परिभाषा के परिणामस्वरूप, यदि $f$ केवल एक बिंदु पर परिभाषित है, तो वह वहाँ संतत है, अर्थात् यदि $f$ का प्रांत एकल-बिंदु समुच्चय है, तो $f$ एक संतत फलन है।

उदाहरण 7 क्या $f(x)=|x|$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है?

हल हम (f) को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं

$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ यदि } x<0 \\ x, & \text{ यदि } x \geq 0\end{cases} $

उदाहरण 3 से, हम जानते हैं कि (f), (x=0) पर संतत है।

मान लीजिए (c) एक वास्तविक संख्या है जैसे कि (c<0). तब (f(c)=-c).

इसके अतिरिक्त $$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x)=-c$$

चूँकि (\lim _{x \to c} f(x)=f(c)), (f) सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं पर संतत है।

अब, मान लीजिए (c) एक वास्तविक संख्या है जैसे कि (c>0). तब (f(c)=c). इसके अतिरिक्त

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c $$

चूँकि (\lim _{x \to c} f(x)=f(c)), (f) सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर संतत है। अतः, (f) सभी बिंदुओं पर संतत है।

उदाहरण 8 फलन (f) की संततता पर चर्चा कीजिए जो (f(x)=x^{3}+x^{2}-1) द्वारा दिया गया है।

हल स्पष्ट है कि (f) प्रत्येक वास्तविक संख्या (c) पर परिभाषित है और (c) पर इसका मान (c^{3}+c^{2}-1) है। हम यह भी जानते हैं कि

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}\left(x^{3}+x^{2}-1\right)=c^{3}+c^{2}-1 $$

इस प्रकार (\lim _{x \to c} f(x)=f(c)), और अतः (f) प्रत्येक वास्तविक संख्या पर संतत है। इसका अर्थ है कि (f) एक संतत फलन है।

उदाहरण 9 फलन (f) की संततता पर चर्चा कीजिए जो (f(x)=\frac{1}{x}, x \neq 0) द्वारा परिभाषित है।

हल कोई भी अशून्य वास्तविक संख्या (c) लीजिए, हमारे पास

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c} $$

इसके अतिरिक्त, चूँकि (c \neq 0) के लिए, (f(c)=\frac{1}{c}), हमारे पास (\lim _{x \to c} f(x)=f(c)) है और अतः, (f) अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत है। इस प्रकार (f) एक संतत फलन है।

हम इस अवसर पर अनंत की अवधारणा को समझाते हैं। यह हम फलन $f(x)=\frac{1}{x}$ का विश्लेषण $x=0$ के पास करके करते हैं। इस विश्लेषण को करने के लिए हम सामान्य चाल का अनुसरण करते हैं जिसमें 0 के निकट वास्तविक संख्याओं पर फलन का मान खोजा जाता है। अनिवार्य रूप से हम 0 पर $f$ का दाहिना सीमा खोजने का प्रयास कर रहे हैं। हम इसे निम्नलिखित में सारणीबद्ध करते हैं (तालिका 5.1)।

तालिका 5.1

x	1	0.3	0.2	$0.=10^{-1}$	$ 0.01=10^{-2} $	$ 0.001=10^{-3} $	$ 10^n $
f(x)	1	3.333…	5	10	$ 100=10^2 $	$1000=10^3$	$ 10^n $

हम देखते हैं कि जैसे-जैसे $x$ दाहिनी ओर से 0 के निकट आता है, $f(x)$ का मान तेजी से बढ़ता जाता है। इसे इस प्रकार पुनः व्यक्त किया जा सकता है: $f(x)$ का मान किसी भी दी गई संख्या से बड़ा बनाया जा सकता है यदि 0 के बहुत निकट एक धनात्मक वास्तविक संख्या चुनी जाए। प्रतीकों में, हम लिखते हैं

$$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty $$

(इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है: 0 पर $f(x)$ का दाहिना सीमा प्लस अनंत है)। हम यह जोर देना चाहते हैं कि $+\infty$ कोई वास्तविक संख्या नहीं है और इसलिए 0 पर $f$ का दाहिना सीमा मौजूद नहीं है (एक वास्तविक संख्या के रूप में)।

इसी प्रकार, 0 पर $f$ का बायाँ सीमा खोजा जा सकता है। निम्नलिखित तालिका स्वतः स्पष्ट है।

तालिका 5.2

x	-1	-0.3	-0.2	$-10^{-1}$	$ -10^{-2} $	$ -=10^{-3} $	$ -10^n $
f(x)	-1	-3.333…	-5	-10	$-10^2 $	$-10^3$	$ -10^n $

सारणी 5.2 से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि f(x) का मान किसी भी दी गई संख्या से छोटा बनाया जा सकता है यदि 0 के अत्यधिक निकट कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या चुनी जाए। प्रतीकों में हम लिखते हैं

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=-\infty $$

(पढ़ने के लिए: 0 पर f(x) का बायाँ सीमा ऋणात्मक अनंत है)। पुनः हम यह ज़ोर देना चाहते हैं कि $-\infty$ कोई वास्तविक संख्या नहीं है और इसलिए 0 पर f का बायाँ सीमा अस्तित्व में नहीं आता (एक वास्तविक संख्या के रूप में)। चित्र 5.3 में दिया गया व्युत्क्रम फलन का आलेख उपरोक्त तथ्यों की ज्यामितीय अभिव्यक्ति है।

आकृति 5.3

उदाहरण 10 फलन f की सांतत्यता की विवेचना कीजिए जिसे निम्न प्रकार परिभाषित किया गया है

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ यदि } x \leq 1 \\ x-2, \text{ यदि } x1 > 1 \\ \end{cases}. $$

हल फलन f वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

स्थिति 1 यदि c<1, तो f(c)=c+2। इसलिए, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2)=c+2$

इस प्रकार, f सभी वास्तविक संख्याओं पर जो 1 से छोटी हैं, सतत है।

स्थिति 2 यदि c>1, तो f(c)=c-2। इसलिए,

$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x-2)=c-2=f(c) $

इस प्रकार, $f$ सभी बिंदुओं $x>1$ पर संतत है।

स्थिति 3 यदि $c=1$, तो $f$ का बायाँ पक्ष सीमा बिंदु $x=1$ पर है

$$ \lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x+2)=1+2=3 $$

$f$ का दायाँ पक्ष सीमा बिंदु $x=1$ पर है

$$ \lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x-2)=1-2=-1 $$

चूँकि $f$ की बायीं और दायीं पक्ष सीमाएँ बिंदु $x=1$ पर मेल नहीं खातीं, $f$ बिंदु $x=1$ पर संतत नहीं है। इसलिए

आकृति 5.4

$x=1$ फलन $f$ का एकमात्र असंततता बिंदु है। फलन का आलेख आकृति 5.4 में दिया गया है।

उदाहरण 11 फलन $f$ के सभी असंततता बिंदु ज्ञात कीजिए जो निम्न प्रकार से परिभाषित है

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ यदि } x<1 \\ 0, \text{ यदि } \quad x=1 \\ x-2, \text{ यदि } x>1 \end{cases}. $$

हल पिछले उदाहरण की तरह हम पाते हैं कि $f$ सभी वास्तविक संख्याओं $x \neq 1$ पर संतत है। $f$ का बायाँ पक्ष सीमा बिंदु $x=1$ पर है

$ \lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x+2)=1+2=3 $

$f$ का दायाँ पक्ष सीमा बिंदु $x=1$ पर है

$ \lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x-2)=1-2=-1 $

चूँकि $f$ की बायीं और दायीं पक्ष सीमाएँ बिंदु $x=1$ पर मेल नहीं खातीं, $f$ बिंदु $x=1$ पर संतत नहीं है। इसलिए $x=1$ फलन $f$ का एकमात्र असंततता बिंदु है। फलन का आलेख आकृति 5.5 में दिया गया है।

आकृति 5.5

उदाहरण 12 उस फलन की सांतत्यता पर विचार कीजिए जो इस प्रकार परिभाषित है

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ यदि } x<0 \\ -x+2, \text{ यदि } x>0 \end{cases}. $$

हल ध्यान दीजिए कि यह फलन 0 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है। इस फलन के परिभाषा का प्रांत

$ \begin{aligned} D_1 \cup D_2 \text{ जहाँ } D_1 & =\{x \in \mathbf{R}: x<0\} \text{ और } \\ & D_2=\{x \in \mathbf{R}: x>0\} \end{aligned} $

स्थिति 1

यदि $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2) \text= c + 2 = f (c)$ और इसलिए $f$, $D_1$ में संतत है।

स्थिति 2

$ यदि c \in D_2$, तो $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x+2) =-c+2=f(c) $

और इसलिए $f$, $D_2$ में संतत है। चूँकि $f$ अपने प्रांत के सभी बिंदुओं पर संतत है, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $f$ संतत है। इस फलन का आलेख आकृति 5.6 में दिया गया है। ध्यान दीजिए कि इस फलन का आलेख खींचने के लिए हमें काग़ज़ के तल से कलम उठानी पड़ती है

आकृति 5.6, परंतु हमें ऐसा केवल उन बिंदुओं पर करना होता है जहाँ फलन परिभाषित नहीं होता।

उदाहरण 13 उस फलन $f$ की सांतत्यता पर विचार कीजिए जो इस प्रकार दिया गया है

$$ f(x)= \begin{cases}x, & \text { या } x \geq 0 \\ x^{2}, & \text { या } x<0\end{cases} $$

हल स्पष्ट है कि फलन प्रत्येक वास्तविक संख्या पर परिभाषित है। फलन का ग्राफ चित्र 5.7 में दिया गया है। दृष्टि से ऐसा प्रतीत होता है कि $f$ के परिभाषा क्षेत्र को वास्तविक रेखा के तीन असंयुक्त उपसमुच्चयों में विभाजित करना उचित होगा।

मान लीजिए $\qquad \begin{aligned}& D_1={x \in \mathbf{R}: x<0}, D_2={0} \text{ और } \& D_3={x \in \mathbf{R}: x>0}\end{aligned}$

चित्र 5.7

स्थिति 1 $D_1$ के किसी भी बिंदु पर, हमारे पास $f(x)=x^{2}$ है और यह देखना आसान है कि वहाँ यह सतत है (उदाहरण 2 देखें)।

स्थिति 2 $D_3$ के किसी भी बिंदु पर, हमारे पास $f(x)=x$ है और यह देखना आसान है कि वहाँ यह सतत है (उदाहरण 6 देखें)।

स्थिति 3 अब हम फलन का विश्लेषण $x=0$ पर करते हैं। 0 पर फलन का मान $f(0)=0$ है। 0 पर $f$ का बायाँ सीमा

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}} x^{2}=0^{2}=0 $$

0 पर $f$ का दायाँ सीमा

$$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $$

इस प्रकार $\lim _{x \to 0} f(x)=0=f(0)$ और इसलिए $f$, 0 पर सतत है। इसका अर्थ है कि $f$ अपने परिभाषा क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर सतत है और इसलिए, $f$ एक सतत फलन है।

उदाहरण 14 दिखाइए कि प्रत्येक बहुपद फलन सतत होता है।

हल याद कीजिए कि एक फलन (p) एक बहुपद फलन है यदि यह (p(x)=a_0+a_1 x+\ldots+a_n x^{n}) के रूप में परिभाषित होता है किसी प्राकृत संख्या (n) के लिए, (a_n \neq 0) और (a_i \in \mathbf{R})। स्पष्टतः यह फलन प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। एक निश्चित वास्तविक संख्या (c) के लिए, हमारे पास है

$$ \lim _{x \to c} p(x)=p(c) $$

परिभाषा के अनुसार, (p), (c) पर संतत है। चूँकि (c) कोई भी वास्तविक संख्या है, (p) प्रत्येक वास्तविक संख्या पर संतत है और इसलिए (p) एक संतत फलन है।

उदाहरण 15 महत्तम पूर्णांक फलन के असंततता के सभी बिंदु ज्ञात कीजिए जो (f(x)=[x]) द्वारा परिभाषित है, जहाँ ([x]), (x) से कम या बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है।

हल सर्वप्रथम ध्यान दीजिए कि (f) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। फलन का आलेख चित्र 5.8 में दिया गया है। आलेख से ऐसा प्रतीत होता है कि (f) प्रत्येक पूर्णांक बिंदु पर असंतत है। नीचे हम जाँचते हैं कि क्या यह सत्य है।

चित्र 5.8

स्थिति 1 मान लीजिए (c) एक ऐसी वास्तविक संख्या है जो किसी भी पूर्णांक के बराबर नहीं है। आलेख से यह स्पष्ट है कि (c) के निकट सभी वास्तविक संख्याओं के लिए फलन का मान ([c]) के बराबर है; अर्थात् (\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}[x]=[c])। साथ ही (f(c)=[c]) और इसलिए फलन उन सभी वास्तविक संख्याओं पर संतत है जो पूर्णांक नहीं हैं।

स्थिति 2 मान लीजिए (c) एक पूर्णांक है। तब हम एक पर्याप्त छोटी वास्तविक संख्या (r>0) ज्ञात कर सकते हैं जैसे कि ([c-r]=c-1) जबकि ([c+r]=c)।

इसका सीमाओं के संदर्भ में अर्थ है कि

$$ \lim _{x \to c^{-}} f(x)=c-1, \lim _{x \to c^{+}} f(x)=c $$

चूँकि ये सीमाएँ किसी भी $c$ के लिए एक-दूसरे के बराबर नहीं हो सकतीं, फलस्वरूप फलन हर पूर्णांक बिंदु पर असंतत है।

5.2.1 संतत फलनों का बीजगणित

पिछली कक्षा में सीमाओं की संकल्पना को समझने के बाद हमने सीमाओं के कुछ बीजगणितीय नियम सीखे। इसी प्रकार अब हम संतत फलनों के कुछ बीजगणितीय नियमों का अध्ययन करेंगे। चूँकि किसी बिंदु पर फलन की संततता पूरी तरह उस बिंदु पर फलन की सीमा द्वारा निर्धारित होती है, यह उम्मीद करना स्वाभाविक है कि सीमाओं के समान ही परिणाम मिलेंगे।

प्रमेय 1 मान लीजिए $f$ और $g$ दो वास्तविक फलन हैं जो किसी वास्तविक संख्या $c$ पर संतत हैं। तब

(1) $f+g$, $x=c$ पर संतत है।

(2) $f-g$, $x=c$ पर संतत है।

(3) $f . g$, $x=c$ पर संतत है।

(4) $(\frac{f}{g})$, $x=c$ पर संतत है, (बशर्ते $g(c) \neq 0$)।

प्रमाण हम $(f+g)$ की संततता $x=c$ पर जाँच रहे हैं। स्पष्ट है कि यह $x=c$ पर परिभाषित है। हमारे पास

$ \begin{aligned} \lim _{x \to c}(f+g)(x) & =\lim _{x \to c}[f(x)+g(x)] & && \text{ (f+g की परिभाषा से)} \\ & =\lim _{x \to c} f(x)+\lim _{x \to c} g(x) & && \text{ (सीमाओं के प्रमेय से)} \\ & =f(c)+g(c) & && \text{ (चूँकि } f \text{ और } g \text{ संतत हैं)} \\ & =(f+g)(c) & && \text{ (f+g की परिभाषा से)} \end{aligned} $

अतः, $f+g$, $x=c$ पर संतत है।

शेष भागों के प्रमाण समान हैं और पाठक के लिए अभ्यास छोड़े गए हैं।

टिप्पणियाँ

(i) उपरोक्त (3) का एक विशेष मामला है, यदि $f$ एक नियत फलन है, अर्थात् किसी वास्तविक संख्या $\lambda$ के लिए $f(x)=\lambda$, तो फलन $(\lambda . g)$ जिसे $(\lambda . g)(x)=\lambda . g(x)$ द्वारा परिभाषित किया गया है, भी संतत है। विशेष रूप से यदि $\lambda=-1$, तो $f$ की संततता से $-f$ की संततता निहित है।

(ii) उपरोक्त (4) का एक विशेष मामला है, यदि $f$ नियत फलन $f(x)=\lambda$ है, तो फलन $\frac{\lambda}{g}$ जिसे $\frac{\lambda}{g}(x)=\frac{\lambda}{g(x)}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, वह भी हर उस स्थान पर संतत है जहाँ $g(x) \neq 0$। विशेष रूप से, $g$ की संततता से $\frac{1}{g}$ की संततता निहित है।

उपरोक्त प्रमेय का उपयोग अनेक संतत फलन उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है। वे यह निर्णय करने में भी सहायक होते हैं कि कुछ फलन संतत हैं या नहीं। निम्नलिखित उदाहरण इसे स्पष्ट करते हैं:

उदाहरण 16 सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक परिमेय फलन संतत है।

हल स्मरण कीजिए कि प्रत्येक परिमेय फलन $f$ इस प्रकार दिया जाता है

$$ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}, q(x) \neq 0 $$

जहाँ $p$ और $q$ बहुपद फलन हैं। $f$ का प्रांत वे सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ $q$ शून्य नहीं है। चूँकि बहुपद फलन संतत होते हैं (उदाहरण 14), प्रमेय 1 के (4) द्वारा $f$ संतत है।

उदाहरण 17 साइन फलन की संततता पर चर्चा कीजिए।

हल इसे देखने के लिए हम निम्नलिखित तथ्यों का उपयोग करते हैं

$$ \lim _{x \to 0} \sin x=0 $$

हमने इसे सिद्ध नहीं किया है, पर यह 0 के निकट $\sin x$ के आलेख से सहज रूप से स्पष्ट है।

अब, ध्यान दीजिए कि $f(x)=\sin x$ हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। मान लीजिए $x=c+h$। यदि $x \to c$ तो हम जानते हैं कि $h \to 0$। इसलिए

$$ \begin{aligned} \lim _{x \to c} f(x) & =\lim _{x \to c} \sin x \ & =\lim _{h \to 0} \sin (c+h) \ & =\lim _{h \to 0}[\sin c \cos h+\cos c \sin h] \ & =\lim _{h \to 0}[\sin c \cos h]+\lim _{h \to 0}[\cos c \sin h] \ & =\sin c+0=\sin c=f(c) \end{aligned} $$

इस प्रकार $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$ और इसलिए $f$ एक सतत फलन है।

टिप्पणी कोसाइन फलन की सतता के लिए भी इसी प्रकार का प्रमाण दिया जा सकता है।

उदाहरण 18 सिद्ध कीजिए कि $f(x)=\tan x$ द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है।

हल फलन $f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$। यह उन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है जहाँ $\cos x \neq 0$, अर्थात् $x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$। हमने अभी-अभी सिद्ध किया है कि दोनों साइन और कोसाइन फलन सतत हैं। इस प्रकार $\tan x$ दो सतत फलनों का भागफल होने के कारण जहाँ भी यह परिभाषित है, वहाँ सतत है।

एक रोचक तथ्य यह है कि सतत फलन संयुक्त फलनों के संदर्भ में कैसा व्यवहार करते हैं। याद कीजिए कि यदि $f$ और $g$ दो वास्तविक फलन हैं, तो

$$ (f \circ g)(x)=f(g(x)) $$

परिभाषित होता है जब भी $g$ का परिसर $f$ के प्रांत का उपसमुच्चय हो। निम्नलिखित प्रमेय (बिना प्रमाण के कहा गया) संयुक्त फलनों की सततता को दर्शाता है।
प्रमेय 2 मान लीजिए $f$ और $g$ वास्तविक मान वाले फलन इस प्रकार हैं कि $(f \circ g)$ बिंदु $c$ पर परिभाषित है। यदि $g$ बिंदु $c$ पर सतत है और यदि $f$ बिंदु $g(c)$ पर सतत है, तो $(f \circ g)$ बिंदु $c$ पर सतत है।

निम्नलिखित उदाहरण इस प्रमेय को स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 19 दिखाइए कि फलन $f(x)=\sin (x^{2})$ एक सतत फलन है।

हल ध्यान दीजिए कि यह फलन प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। फलन $f$ को दो फलनों $g$ और $h$ की संरचना $g$ o $h$ के रूप में देखा जा सकता है, जहाँ $g(x)=\sin x$ और $h(x)=x^{2}$। चूँकि $g$ और $h$ दोनों सतत फलन हैं, प्रमेय 2 से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $f$ एक सतत फलन है।

उदाहरण 20 दिखाइए कि फलन $f$ जो
$ f(x)=|1-x+| x||, $
द्वारा परिभाषित है, जहाँ $x$ कोई वास्तविक संख्या है, एक सतत फलन है।

हल $g$ को $g(x)=1-x+|x|$ और $h$ को $h(x)=|x|$ द्वारा सभी वास्तविक $x$ के लिए परिभाषित कीजिए। तब

$$ \begin{aligned} (h \circ g)(x) & =h(g(x)) \ & =h(1-x+|x|) \ & =|1-x+| x||=f(x) \end{aligned} $$

उदाहरण 7 में हमने देखा है कि $h$ एक सतत फलन है। इसलिए $g$ एक बहुपद फलन और मापांक फलन के योग होने के कारण सतत है। परंतु तब $f$ दो सतत फलनों की संरचना होने के कारण सतत है।

5.3 अवकलनीयता

पिछली कक्षा से निम्नलिखित तथ्यों को याद कीजिए। हमने वास्तविक फलन का अवकलज इस प्रकार परिभाषित किया था:

मान लीजिए $f$ एक वास्तविक फलन है और $c$ इसके प्रान्त का एक बिंदु है। $f$ का $c$ पर अवकलज इस प्रकार परिभाषित है:

$$ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} $$

बशर्ते यह सीमा अस्तित्व में हो। $f$ का $c$ पर अवकलज $f^{\prime}(c)$ या $.\frac{d}{d x}(f(x))| _{c}$ द्वारा दर्शाया जाता है। वह फलन जो इस प्रकार परिभाषित है:

$$ f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

जहाँ-जहाँ यह सीमा अस्तित्व में हो, उसे $f$ का अवकलज कहा जाता है। $f$ के अवकलज को $f^{\prime}(x)$ या $\frac{d}{d x}(f(x))$ या यदि $y=f(x)$ हो तो $\frac{d y}{d x}$ या $y^{\prime}$ द्वारा दर्शाया जाता है। किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया को अवकलन कहा जाता है। हम यह वाक्य भी प्रयोग करते हैं: “$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए” जिसका अर्थ है $f^{\prime}(x)$ ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित नियम अवकलज के बीजगणित के भाग के रूप में स्थापित किए गए थे:

(1) $(u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime}$

(2) $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$ (लाइबनिट्ज़ या गुणन नियम)

(3) $(\frac{u}{v})^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}$, जहाँ-जहाँ $v \neq 0$ (भागफल नियम)।

निम्नलिखित सारणी कुछ मानक फलनों के अवकलजों की सूची देती है:

सारणी 5.3

$ f $(x)	$ x^n $	$ sin x $	$ cos x $	$ tanx $
$ f $’(x)	$ nx^{n-1}$	$ cos x $	$ -sin x $	sec^2 x

जब भी हमने अवकलज को परिभाषित किया, हमने यह चेतावनी दी कि यह तभी मान्य है जब सीमा अस्तित्व में हो। अब स्वाभाविक प्रश्न यह है; यदि यह अस्तित्व में नहीं है तो क्या होगा? यह प्रश्न बिल्कुल उचित है और इसका उत्तर भी उतना ही प्रासंगिक है। यदि $\lim _{h \to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}$ अस्तित्व में नहीं है, तो हम कहते हैं कि $f$, $c$ पर अवकलनीय नहीं है। दूसरे शब्दों में, हम कहते हैं कि एक फलन $f$ अपने प्रांत के बिंदु $c$ पर अवकलनीय है यदि $\lim _{h \to 0^{-}} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}$ और $\lim _{h \to 0^{+}} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}$ दोनों परिमित और समान हैं। एक फलन को अंतराल $[a, b]$ में अवकलनीय कहा जाता है यदि वह $[a, b]$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय हो। निरंतरता की स्थिति की तरह, अंतिम बिंदुओं $a$ और $b$ पर, हम दाहिनी सीमा और बायीं सीमा लेते हैं, जो क्रमशः बिंदु $a$ और $b$ पर फलन के बायें हाथ का अवकलज और दायें हाथ का अवकलज हैं। इसी प्रकार, एक फलन को अंतराल $(a, b)$ में अवकलनीय कहा जाता है यदि वह $(a, b)$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय हो।

प्रमेय 3 यदि एक फलन $f$ किसी बिंदु $c$ पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर संतत भी है।

प्रमाण चूँकि $f$, $c$ पर अवकलनीय है, हमारे पास

$$ \lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f^{\prime}(c) $$

परंतु $x \neq c$ के लिए, हमारे पास

$$ f(x)-f(c)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c} .(x-c) $$

$ \text{ इसलिए } \qquad \begin{aligned} \lim _{x \to c}[f(x)-f(c)] & =\lim _{x \to c}[\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \cdot(x-c)] \ \lim _{x \to c}[f(x)]-\lim _{x \to c}[f(c)] & =\lim _{x \to c}[\frac{f(x)-f(c)}{x-c}] \cdot \lim _{x \to c}[(x-c)] \ & =f^{\prime}(c) \cdot 0=0 \ \lim _{x \to c} f(x) & =f(c) \end{aligned} $

इसलिए $f$, $x=c$ पर संतत है।

उपसिद्धि 1 प्रत्येक अवकलनीय फलन संतत होता है।

हम टिप्पणी करते हैं कि उपर्युक्त कथन का विलोम सत्य नहीं है। वास्तव में हमने देखा है कि $f(x)=|x|$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है। बायाँ पक्ष सीमा पर विचार करें

$$ \begin{aligned} \lim _{h \to 0^{-}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{-h}{h}=-1 \end{aligned} $$

दायाँ पक्ष सीमा

$$ \begin{aligned} \lim _{h \to 0^{+}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{h}{h}=1 \end{aligned} $$

चूँकि उपर्युक्त बायीं और दायीं सीमाएँ 0 पर बराबर नहीं हैं, $\lim _{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ अस्तित्व में नहीं है और इसलिए $f$, 0 पर अवकलनीय नहीं है। इस प्रकार $f$ एक अवकलनीय फलन नहीं है।

5.3.1 संयुक्त फलनों के अवकलज

संयुक्त फलनों के अवकलज का अध्ययन करने के लिए, हम एक दृष्टांतात्मक उदाहरण से प्रारंभ करते हैं। मान लीजिए, हमें $f$ का अवकलज ज्ञात करना है, जहाँ

$$ f(x)=(2 x+1)^{3} $$

एक तरीका यह है कि $(2 x+1)^{3}$ को द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके विस्तारित किया जाए और एक बहुपद फलन के रूप में अवकलज ज्ञात किया जाए जैसा कि नीचे दर्शाया गया है।

$$ \begin{aligned} \frac{d}{d x} f(x) & =\frac{d}{d x}[(2 x+1)^{3}] \\ & =\frac{d}{d x}(8 x^{3}+12 x^{2}+6 x+1) \\ & =24 x^{2}+24 x+6 \\ & =6(2 x+1)^{2} \end{aligned} $$

अब, ध्यान दीजिए कि

$$ f(x)=(h \circ g)(x) $$

जहाँ $g(x)=2 x+1$ और $h(x)=x^{3}$। मान लीजिए $t=g(x)=2 x+1$। तब $f(x)=h(t)=t^{3}$।

$\text{ इस प्रकार }\frac{d f}{d x}=6(2 x+1)^{2}=3(2 x+1)^{2} \cdot 2=3 t^{2} \cdot 2=\frac{d h}{dt} \cdot \frac{d t}{d x}$

इस प्रकार के प्रेक्षण का लाभ यह है कि यह गणना को सरल बनाता है, उदाहरण के लिए, $(2 x+1)^{100}$ का अवकलज निकालने में। हम इस प्रेक्षण को निम्नलिखित प्रमेय, जिसे श्रृंखला नियम कहा जाता है, के रूप में औपचारिक रूप दे सकते हैं।

प्रमेय 4 (श्रृंखला नियम) मान लीजिए $f$ एक वास्तविक मान वाली फलन है जो दो फलनों $u$ और $v$ की संयुक्त है; अर्थात्, $f=v$ o $u$। मान लीजिए $t=u(x)$ और यदि दोनों $\frac{d t}{d x}$ और $\frac{d v}{d t}$ अस्तित्व में हैं, तो हमारे पास

$$ \frac{d f}{d x}=\frac{d v}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} $$

हम इस प्रमेय के प्रमाण को छोड़ते हैं। श्रृंखला नियम को निम्नलिखित रूप में विस्तारित किया जा सकता है। मान लीजिए $f$ एक वास्तविक मान वाली फलन है जो तीन फलनों $u, v$ और $w$ की संयुक्त है; अर्थात्,

$$ \begin{aligned} & f=(w \circ u) \circ v \text{। यदि} t=v(x) \text{ और } s=u(t), तो \\ & \frac{d f}{d x}=\frac{d}{d t}(w \circ u) \cdot \frac{d t}{d x}=\frac{d w}{d s} \cdot \frac{d s}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} \end{aligned} $$

बशर्ते कथन में सभी अवकलज अस्तित्व में हों। पाठक को अधिक फलनों की संयुक्त के लिए श्रृंखला नियम को तैयार करने के लिए आमंत्रित किया जाता है।

उदाहरण 21 फलन (f(x)=\sin (x^{2})) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

हल ध्यान दीजिए कि दिया गया फलन दो फलनों की संयुक्त रचना है। वास्तव में, यदि (t=u(x)=x^{2}) और (v(t)=\sin t), तब

$ f(x)=(\begin{matrix} v & \circ & u \end{matrix} )(x)=v(u(x))=v(x^{2})=\sin x^{2} $ मान लीजिए (t=u(x)=x^{2})। ध्यान दीजिए कि (\frac{d v}{d t}=\cos t) और (\frac{d t}{d x}=2 x) मौजूद हैं। इसलिए, श्रृंखला नियम द्वारा

$$ \frac{d f}{d x}=\frac{d v}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}=\cos t .2 x $$

अंतिम परिणाम को केवल (x) के पदों में व्यक्त करना सामान्य अभ्यास है। इस प्रकार

$$ \frac{d f}{d x}=\cos t \cdot 2 x=2 x \cos x^{2} $$

5.3.2 अंतर्निहित फलनों के अवकलज

अब तक हमने विभिन्न फलनों, जो (y=f(x)) के रूप में दिए गए हैं, का अवकलन किया है। लेकिन यह आवश्यक नहीं कि फलन हमेशा इस रूप में व्यक्त किए जाएं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित में से कोई एक संबंध विचारें जो (x) और (y) के बीच है:

$$ \begin{aligned} x-y-\pi & = 0 \ x+\sin x y-y & = 0 \end{aligned} $$

पहले मामले में, हम $y$ के लिए हल कर सकते हैं और संबंध को $y=x-\pi$ के रूप में पुनः लिख सकते हैं। दूसरे मामले में, ऐसा प्रतीत नहीं होता कि $y$ के लिए हल करने का कोई आसान तरीका है। फिर भी, दोनों में से किसी भी मामले में $x$ पर $y$ की निर्भरता के बारे में कोई संदेह नहीं है। जब $x$ और $y$ के बीच का संबंध इस प्रकार व्यक्त किया जाता है कि $y$ के लिए हल करना आसान हो और $y=f(x)$ लिखा जा सके, तो हम कहते हैं कि $y$ को $x$ का एक स्पष्ट फलन दिया गया है। उत्तरार्द्ध मामले में यह अंतर्निहित है कि $y$, $x$ का एक फलन है और हम कहते हैं कि उपरोक्त दूसरे प्रकार का संबंध फलन को अंतर्निहित रूप से देता है। इस उपभाग में, हम अंतर्निहित फलनों का अवकलन सीखते हैं।

उदाहरण 22 $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए यदि $x-y=\pi$।

हल एक तरीका यह है कि $y$ के लिए हल किया जाए और उपरोक्त को इस प्रकार पुनः लिखा जाए

$$ \begin{aligned} y & =x-\pi \\ \end{aligned} $$

लेकिन तब $\qquad\begin{aligned}\frac{d y}{d x} & =1\end{aligned}$

वैकल्पिक रूप से, संबंध को सीधे $x$ के सापेक्ष अवकलित करने पर, हमें मिलता है

$$ \frac{d}{d x}(x-y)=\frac{d \pi}{d x} $$

याद रखें कि $\frac{d \pi}{d x}$ का अर्थ है स्थिर फलन का मान हर जगह $\pi$ लेते हुए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करना। इस प्रकार

$$ \frac{d}{d x}(x)-\frac{d}{d x}(y)=0 $$

जिसका अर्थ है कि $$ \frac{d y}{d x}=\frac{d x}{d x}=1 $$

उदाहरण 23 $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए, यदि $y+\sin y=\cos x$।

हल हम संबंध को सीधे $x$ के सापेक्ष अवकलित करते हैं, अर्थात्

जिसका अर्थ है श्रृंखला नियम का प्रयोग करते हुए $ \frac{d y}{d x}+\frac{d}{d x}(\sin y)=\frac{d}{d x}(\cos x)$

इससे $\qquad \frac{d y}{d x}+\cos y \cdot \frac{d y}{d x}=-\sin x$

जहाँ $\qquad \begin{array}{r}\frac{d y}{d x}=-\frac{\sin x}{1+\cos y} \\y \neq(2 n+1) \pi\end{array}$

5.3.3 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज

हम टिप्पणी करते हैं कि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन सतत फलन होते हैं, लेकिन हम इसे सिद्ध नहीं करेंगे। अब हम इन फलनों के अवकलज ज्ञात करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करते हैं।

उदाहरण 24 $f$ का अवकलज ज्ञात कीजिए जो $f(x)=\sin ^{-1} x$ द्वारा प्रदत्त है, यह मानते हुए कि यह अस्तित्व में है।

हल मान लीजिए $y=\sin ^^{-1} x$। तब, $x=\sin y$।

दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} & 1=\cos y \frac{d y}{d x} \\ \text{जिससे यह निहित है} \qquad \Rightarrow \quad & \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\cos \left(\sin ^{-1} x\right)} \end{aligned} $$

ध्यान दीजिए कि यह केवल $\cos y \neq 0$ के लिए परिभाषित है, अर्थात्

$\sin ^{-1} x \neq-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$, अर्थात् $x \neq-1,1$, अर्थात् $x \in(-1,1)$।

इस परिणाम को थोड़ा और आकर्षक बनाने के लिए, हम निम्नलिखित हेरफेर करते हैं। याद कीजिए कि $x \in(-1,1)$ के लिए, $\sin (\sin ^{-1} x)=x$ और इसलिए $ \cos ^{2} y=1-(\sin y)^{2}=1-(\sin (\sin ^{-1} x))^{2}=1-x^{2} $

साथ ही, चूँकि $y \in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), \cos y$ धनात्मक है और इसलिए $\cos y=\sqrt{1-x^{2}}$

इस प्रकार, $x \in(-1,1)$ के लिए, $\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$f(x)$	$\sin ^{-1} x$	$\cos ^{-1} x$	$\tan ^{-1} x$
$f^{\prime}(x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	$\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	$\frac{1}{1+x^{2}}$
$f^{\prime}$ का प्रांत	$(-1,1)$	$(-1,1)$	$\mathbf{R}$

5.4 घातीय और लघुगणकीय फलन

अब तक हमने बहुपद फलन, परिमेय फलन और त्रिकोणमितीय फलन जैसे विभिन्न वर्गों के फलनों के कुछ पहलुओं को सीखा है। इस खंड में हम एक नए वर्ग के (संबंधित) फलनों के बारे में सीखेंगे जिन्हें घातीय फलन और लघुगणकीय फलन कहा जाता है। यह जोर देकर कहना आवश्यक है कि इस खंड में किए गए कई कथन प्रेरणात्मक हैं और इनके सटीक प्रमाण इस ग्रंथ की सीमा से कहीं परे हैं।

आकृति 5.9 में $y=f_1(x)=x, y=f_2(x)=x^{2}, y=f_3(x)=x^{3}$ और $y=f_4(x)$ $=x^{4}$ का एक रेखाचित्र दिया गया है। ध्यान दीजिए कि $x$ की घात बढ़ने के साथ वक्र अधिक ढालवाँ होते जाते हैं। जितना ढालवाँ वक्र होगा, वृद्धि की दर उतनी ही तेज होगी। इसका अर्थ यह है कि $x(>1)$ के मान में एक निश्चित वृद्धि के लिए, $y=f_n(x)$ के मान में वृद्धि $n$ के साथ बढ़ती है जहाँ $n$ $=1,2,3,4$ है। यह कल्पना की जा सकती है कि ऐसा कथन सभी धनात्मक मानों के लिए सत्य है, जहाँ $f_n(x)=x^{n}$ है। आधारभूत रूप से, इसका अर्थ है कि $y=f_n(x)$ का आलेख $n$ बढ़ने के साथ $y$-अक्ष की ओर अधिक झुकता है। उदाहरण के लिए, $f_{10}(x)=x^{10}$ और $f_{15}(x)$ $=x^{15}$ पर विचार कीजिए। यदि $x$ 1 से 2 तक बढ़ता है, तो $f_{10}$ 1 से $2^{10}$ तक बढ़ता है जबकि $f_{15}$ 1 से $2^{15}$ तक बढ़ता है। इस प्रकार, $x$ में समान वृद्धि के लिए, $f_{15}$ की वृद्धि $f_{10}$ की तुलना में तेज होती है।

उपरोक्त चर्चा का सार यह है कि बहुपद फलनों की वृद्धि बहुपद फलन की घात पर निर्भर करती है - घात जितनी अधिक होगी, वृद्धि उतनी ही अधिक होगी। अगला स्वाभाविक प्रश्न यह है:

आकृति 5.9 क्या कोई ऐसा फलन है जो किसी भी बहुपद फलन की तुलना में तेजी से बढ़ता है। उत्तर सकारात्मक है और ऐसे फलन का एक उदाहरण है

$ y=f(x)=10^{x} . $ हमारा दावा है कि यह फलन $f$, किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $f_n(x)=x^{n}$ से तेज़ी से बढ़ता है। उदाहरण के लिए, हम यह सिद्ध कर सकते हैं कि $10^{x}$, $f_{100}(x)=x^{100}$ से तेज़ी से बढ़ता है। $x=10^{3}$ जैसे बड़े मानों के लिए, ध्यान दें कि $f_{100}(x)=(10^{3})^{100}=10^{300}$ जबकि $f(10^{3})=10^{10^{3}}=10^{1000}$।

स्पष्ट रूप से $f(x)$, $f_{100}(x)$ से बहुत अधिक है। यह सिद्ध करना कठिन नहीं है कि सभी $x>10^{3}$ के लिए, $f(x)>f_{100}(x)$। लेकिन हम यहाँ इसका प्रमाण देने का प्रयास नहीं करेंगे। इसी प्रकार, $x$ के बड़े मान चुनकर, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि $f(x)$ किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $f_n(x)$ से तेज़ी से बढ़ता है।

परिभाषा 3 धनात्मक आधार $b>1$ के साथ घातीय फलन वह फलन है $y=f(x)=b^{x}$

$y=10^{x}$ का ग्राफ़ Fig 5.9 में दिया गया है।

यह सलाह दी जाती है कि पाठक 2,3 और 4 जैसे विशिष्ट मानों के लिए इस ग्राफ़ को आरेखित करें। निम्नलिखित घातीय फलनों की कुछ प्रमुख विशेषताएँ हैं:

(1) घातीय फलन का प्रांत $\mathbf{R}$ है, सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।

(2) घातीय फलन का परिसर सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

(3) बिंदु $(0,1)$ सदैव घातीय फलन के ग्राफ़ पर होता है (यह तथ्य का पुनः कथन है कि किसी भी वास्तविक $b>1$ के लिए $b^{0}=1$)।

(4) घातीय फलन सदैव बढ़ता रहता है; अर्थात् जैसे-जैसे हम बाएँ से दाएँ जाते हैं, ग्राफ़ ऊपर उठता जाता है।

(5) $x$ के बहुत बड़े ऋणात्मक मानों के लिए, चरघातांकी फलन 0 के बहुत निकट होता है। दूसरे शब्दों में, दूसरे चतुर्थांश में, आलेख $x$-अक्ष की ओर निकट आता है (लेकिन कभी उससे नहीं मिलता)।

आधार 10 वाले चरघातांकी फलन को सामान्य चरघातांकी फलन कहा जाता है। कक्षा ग्यारह के परिशिष्ट A.1.4 में यह देखा गया था कि श्रेणी

$$ 1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\ldots \text { } $$

का योग 2 और 3 के बीच की एक संख्या है और इसे $e$ द्वारा निरूपित किया जाता है। इस $e$ को आधार बनाकर हम एक अत्यंत महत्वपूर्ण चरघातांकी फलन $y=e^{x}$ प्राप्त करते हैं।

इसे प्राकृत चरघातांकी फलन कहा जाता है। यह जानना रोचक होगा कि क्या चरघातांकी फलन का प्रतिलोम अस्तित्व में है और इसकी कोई सुंदर व्याख्या है। यह खोज निम्नलिखित परिभाषा को प्रेरित करती है।

परिभाषा 4 मान लीजिए $b>1$ एक वास्तविक संख्या है। तब हम कहते हैं कि $a$ का $b$ आधार का लघुगणक $x$ है यदि $b^{x}=a$।

$a$ का $b$ आधार का लघुगणक $\log _{b} a$ द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार $\log _{b} a=x$ यदि $b^{x}=a$। आइए इसके लिए अनुभूति प्राप्त करने के लिए कुछ स्पष्ट उदाहरणों के साथ कार्य करें। हम जानते हैं $2^{3}=8$। लघुगणकों की भाषा में, हम इसे $\log _2 8=3$ के रूप में पुनः लिख सकते हैं। इसी प्रकार, $10^{4}=10000$ यह कहने के समतुल्य है कि $\log _{10} 10000=4$। साथ ही, $625=5^{4}=25^{2}$ यह कहने के समतुल्य है कि $\log _5 625=4$ या $\log _{25} 625=2$।

थोड़ा और परिपक्व दृष्टिकोण से, एक आधार $b>1$ को स्थिर करके, हम लघुगणक को धनात्मक वास्तविक संख्याओं से सभी वास्तविक संख्याओं तक एक फलन के रूप में देख सकते हैं। इस फलन को लघुगणकीय फलन कहा जाता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$$ \begin{aligned} \log _{b}: \mathbf{R}^{+} & \to \mathbf{R} \\ x & \to \log _{b} x=y \text{ यदि } b^{y}=x \end{aligned} $$

जैसा पहले है, यदि आधार $b=10$ हो, तो हम इसे सामान्य लघुगणक कहते हैं और यदि $b=e$ हो, तो हम इसे प्राकृतिक लघुगणक कहते हैं। प्रायः प्राकृतिक लघुगणक को $\ln$ द्वारा निरूपित किया जाता है। इस अध्याय में, $\log x$ आधार $e$ के लिए लघुगणक फलन को दर्शाता है, अर्थात् $\ln x$ को सरलतः $\log x$ लिखा जाएगा। आकृति 5.10 आधार 2, $e$ और 10 के लघुगणक फलन के आरेख प्रस्तुत करती है।

किसी भी आधार $b>1$ के लिए लघुगणक फलन के बारे में कुछ महत्वपूर्ण प्रेक्षण नीचे सूचीबद्ध हैं:

आकृति 5.10

(1) हम ऋणात्मक या शून्य संख्याओं के लघुगणक का कोई सार्थक परिभाषा नहीं बना सकते और इसलिए लॉग फलन का प्रांत $\mathbf{R}^{+}$ है।

(2) लॉग फलन का परिसर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

(3) बिंदु $(1,0)$ सदैव लॉग फलन के आरेख पर होता है।

(4) लॉग फलन सदैव वर्धमान होता है, अर्थात् जैसे-जैसे हम बाएँ से दाएँ बढ़ते हैं आरेख ऊपर उठता जाता है।

(5) जब $x$ शून्य के अत्यधिक निकट हो, तो $\log x$ का मान किसी भी दी गई वास्तविक संख्या से कम बनाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में चतुर्थ चतुर्थांश में आरेख $y$-अक्ष के निकट पहुँचता है (परंतु कभी उससे नहीं मिलता)।

(6) आकृति 5.11 $y=e^{x}$ और $y=\ln x$ का आरेख देती है। यह देखना रोचक है कि दोनों वक्र एक-दूसरे के दर्पण

चित्र 5.11 एक दूसरे की $y=x$ रेखा में परावर्तित छवियाँ।

‘$\log$’ फलनों के दो गुण नीचे सिद्ध किए गए हैं:

(1) $\log_{a} p$ को $\log_{b} p$ के पदों में प्राप्त करने के लिए एक मानक आधार परिवर्तन नियम है। मान लीजिए $\log_{a} p=\alpha$, $\log_{b} p=\beta$ और $\log_{b} a=\gamma$। इसका अर्थ है $a^{\alpha}=p$, $b^{\beta}=p$ और $b^{\gamma}=a$।

तीसरे समीकरण को पहले में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है

$$ (b^{\gamma})^{\alpha}=b^{\gamma \alpha}=p $$

इसे दूसरे समीकरण में प्रयोग करने पर, हम पाते हैं

$$ \begin{aligned} b^{\beta} & =p=b^{\gamma \alpha} \ \text{जिससे }\beta & =\alpha \gamma \text{ या } \alpha=\frac{\beta}{\gamma}। \text{ फिर } \ \log_{a} p & =\frac{\log_{b} p}{\log_{b} a} \end{aligned} $$

(2) लॉग फलन का एक अन्य रोचक गुण गुणनफल पर इसका प्रभाव है। मान लीजिए $\log_{b} p q=\alpha$। तब $b^{\alpha}=p q$। यदि $\log_{b} p=\beta$ और $\log_{b} q=\gamma$, तब $b^{\beta}=p$ और $b^{\gamma}=q$। परंतु तब $b^{\alpha}=p q=b^{\beta} b^{\gamma}=b^{\beta+\gamma}$

जिससे $\alpha=\beta+\gamma$, अर्थात्,

$$ \log_{b} p q=\log_{b} p+\log_{b} q $$

इसका एक विशेष रूप से रोचक और महत्वपूर्ण परिणाम तब होता है जब $p=q$। इस स्थिति में उपरोक्त को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है

$$ \log_{b} p^{2}=\log_{b} p+\log_{b} p=2 \log p $$

इसका एक सरल सामान्यीकरण (अभ्यास के लिए छोड़ा गया!) है

$$ \log _{b} p^{n}=n \log p $$

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए। वास्तव में यह किसी भी वास्तविक संख्या $n$ के लिए सत्य है, पर हम इसे सिद्ध करने का प्रयास नहीं करेंगे। इसी तरह पाठक से अनुरोध है कि वह सत्यापित करे

$$ \log _{b} \frac{x}{y}=\log _{b} x-\log _{b} y $$

उदाहरण 25 क्या यह सत्य है कि $x=e^{\log x}$ सभी वास्तविक $x$ के लिए?

हल सर्वप्रथम, ध्यान दीजिए कि लॉग फलन का प्रांत सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। इसलिए उपरोक्त समीकरण ऋणात्मक या शून्य वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य नहीं है। अब, मान लीजिए $y=e^{\log x}$। यदि $y>0$, तो हम लॉग ले सकते हैं जिससे हमें प्राप्त होता है $\log y=\log (e^{\log x})=\log x \cdot \log e=\log x$। इस प्रकार $y=x$। अतः $x=e^{\log x}$ केवल $x$ के धनात्मक मानों के लिए सत्य है।

अवकल गणित में प्राकृतिक घातांक फलन का एक आश्चर्यजनक गुण यह है कि यह अवकलन की प्रक्रिया के दौरान परिवर्तित नहीं होता। यह निम्नलिखित प्रमेय में दर्शाया गया है, जिसका प्रमाण हम छोड़ रहे हैं।

प्रमेय 5

(1) $e^{x}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज $e^{x}$ है; अर्थात्, $\frac{d}{d x}(e^{x})=e^{x}$।

(2) $\log x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज $\frac{1}{x}$ है; अर्थात्, $\frac{d}{d x}(\log x)=\frac{1}{x}$।

उदाहरण 26 निम्नलिखित का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए :

(i) $e^{-x}$

(ii) $\sin (\log x), x>0$

(iii) $\cos ^{-1}(e^{x})$

(iv) $e^{\cos x}$

हल

(i) मान लीजिए $y=e^{-x}$। श्रृंखला नियम का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \frac{d y}{d x}=e^{-x} \cdot \frac{d}{d x}(-x)=-e^{-x} $$

(ii) मान लीजिए $y=\sin (\log x)$। श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

$$ \frac{d y}{d x}=\cos (\log x) \cdot \frac{d}{d x}(\log x)=\frac{\cos (\log x)}{x} $$

(iii) मान लीजिए $y=\cos ^{-1}(e^{x})$। श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{-1}{\sqrt{1-\left(e^{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=\frac{-e^{x}}{\sqrt{1-e^{2 x}}} . $$

(iv) मान लीजिए $y=e^{\cos x}$। श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

$$ \frac{d y}{d x}=e^{\cos x} \cdot(-\sin x)=-(\sin x) e^{\cos x} $$[^0]

5.5 लघुगणकीय अवकलन

इस खंड में, हम कुछ विशेष प्रकार के फलनों को अवकलित करना सीखेंगे जो निम्नलिखित रूप में दिए गए हैं

$$ y=f(x)=[u(x)]^{v(x)} $$

लघुगणक (आधार $e$) लेने पर उपरोक्त को पुनः लिखा जा सकता है

$$ \log y=v(x) \log [u(x)] $$

श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए हम इसे अवकलित कर सकते हैं

$$ \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}=v(x) \cdot \frac{1}{u(x)} \cdot u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x) \cdot \log [u(x)] $$

जिससे यह प्राप्त होता है

$$ \frac{d y}{d x}=y[\frac{v(x)}{u(x)} \cdot u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x) \cdot \log [u(x)]] $$

इस विधि में ध्यान देने योग्य मुख्य बात यह है कि $f(x)$ और $u(x)$ सदैव धनात्मक होने चाहिए क्योंकि अन्यथा उनके लघुगणक परिभाषित नहीं होते। अवकलन की इस प्रक्रिया को लघुगणकीय अवकलन कहा जाता है और इसे निम्नलिखित उदाहरणों द्वारा दर्शाया गया है:

उदाहरण 26 $\sqrt{\frac{(x-3)(x^{2}+4)}{3 x^{2}+4 x+5}}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

हल मान लीजिए $y=\sqrt{\frac{(x-3)(x^{2}+4)}{(3 x^{2}+4 x+5)}}$

दोनों पक्षों पर लघुगणक लेने पर, हम पाते हैं

$$ \log y=\frac{1}{2}[\log (x-3)+\log (x^{2}+4)-\log (3 x^{2}+4 x+5)] $$

अब, दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{(x-3)}+\frac{2 x}{x^{2}+4}-\frac{6 x+4}{3 x^{2}+4 x+5}\right] $$

या $\qquad\frac{d y}{d x}=\frac{y}{2}\left[\frac{1}{(x-3)}+\frac{2 x}{x^{2}+4}-\frac{6 x+4}{3 x^{2}+4 x+5}\right]$

$$ =\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x-3)\left(x^{2}+4\right)}{3 x^{2}+4 x+5}}\left[\frac{1}{(x-3)}+\frac{2 x}{x^{2}+4}-\frac{6 x+4}{3 x^{2}+4 x+5}\right] $$

उदाहरण 27 $a^{x}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए, जहाँ $a$ एक धनात्मक नियतांक है।

हल माना $y=a^{x}$। तब

$$ \log y=x \log a $$

दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\log a \\ \text{ या } \qquad & \frac{d y}{d x}=y \log a \\ \text{ इस प्रकार } \qquad & \frac{d}{d x}\left(a^x\right)=a^x \log a \\ \text { वैकल्पिक रूप से } \qquad & \frac{d}{d x}\left(a^x\right) =\frac{d}{d x}\left(e^{x \log a}\right)=e^{x \log a} \frac{d}{d x}(x \log a) \\ & =e^{x \log a} \cdot \log a=a^x \log a \end{aligned} $

उदाहरण 28 $x^{\sin x}, x>0$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

हल माना $y=x^{\sin x}$। दोनों पक्षों पर लघुगणक लेने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} \log y & =\sin x \log x \\ \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} & =\sin x \frac{d}{d x}(\log x)+\log x \frac{d}{d x}(\sin x) \end{aligned} $$

इसलिए $\qquad \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=(\sin x) \frac{1}{x}+\log x \cos x$

या $\qquad \begin{aligned}\frac{d y}{d x} & =y[\frac{\sin x}{x}+\cos x \log x] \ &=x^{\sin x}[\frac{\sin x}{x}+\cos x \log x] \ &=x^{\sin x-1} \cdot \sin x+x^{\sin x} \cdot \cos x \log x\end{aligned}$

उदाहरण 29 $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए, यदि $y^{x}+x^{y}+x^{x}=a^{b}$.

हल दिया गया है कि $y^{x}+x^{y}+x^{x}=a^{b}$.

$u=y^{x}, v=x^{y}$ और $w=x^{x}$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है $u+v+w=a^{b}$

इसलिए $\qquad \frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}+\frac{d w}{d x}=0 \qquad \qquad (1)$

अब, $u=y^{x}$। दोनों पक्षों पर लघुगणक लेने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \log u=x \log y $$

दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} \frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{d x} & =x \frac{d}{d x}(\log y)+\log y \frac{d}{d x}(x) \ &=x \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}+\log y \cdot 1 \ \text{ इसलिए } \qquad \qquad \frac{d u}{d x} & =u(\frac{x}{y} \frac{d y}{d x}+\log y)=y^{x}[\frac{x}{y} \frac{d y}{d x}+\log y] \qquad \qquad (2) \end{aligned} $$

इसके अतिरिक्त $v=x^{y}$

दोनों पक्षों पर लघुगणक लेने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \log v=y \log x $$

दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} \frac{1}{v} \cdot \frac{d v}{d x} & =y \frac{d}{d x}(\log x)+\log x \frac{d y}{d x} \ &=y \cdot \frac{1}{x}+\log x \cdot \frac{d y}{d x} \ \text{ इसलिए } \qquad \qquad \frac{d v}{d x} & =v[\frac{y}{x}+\log x \frac{d y}{d x}] \ &=x^{y}[\frac{y}{x}+\log x \frac{d y}{d x}] \qquad \qquad (3) \end{aligned} $$

पुनः $ \qquad \qquad w=x^{x} $

दोनों पक्षों पर लघुगणक लेने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \log w=x \log x $$

दोनों पक्षों को $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} \frac{1}{w} \cdot \frac{d w}{d x} & =x \frac{d}{d x}(\log x)+\log x \cdot \frac{d}{d x}(x) \ & =x \cdot \frac{1}{x}+\log x \cdot 1 \ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \text{ अर्थात् } \qquad \qquad \frac{d w}{d x} & =w(1+\log x) \ & =x^{x}(1+\log x) \qquad \qquad (4) \end{aligned} $$

(1), (2), (3), (4) से, हमें प्राप्त होता है

$ y^{x}(\frac{x}{y} \frac{d y}{d x}+\log y)+x^{y}(\frac{y}{x}+\log x \frac{d y}{d x})+x^{x}(1+\log x)=0 $

या $\qquad(x \cdot y^{x-1}+x^{y} \cdot \log x) \frac{d y}{d x}=-x^{x}(1+\log x)-y \cdot x^{y-1}-y^{x} \log y$

इसलिए $\qquad\frac{d y}{d x}=\frac{-[y^{x} \log y+y \cdot x^{y-1}+x^{x}(1+\log x)]}{x \cdot y^{x-1}+x^{y} \log x}$

5.6 प्राचल रूपों में फलनों के अवकलज

कभी-कभी दो चरों के बीच संबंध न तो स्पष्ट होता है और न ही अंतःस्थ, परंतु एक तीसरे चर का प्रत्येक दोनों चरों से पृथक-पृथक संबंध पहले दो चरों के बीच संबंध स्थापित करता है। ऐसी स्थिति में हम कहते हैं कि उनके बीच संबंध एक तीसरे चर के माध्यम से व्यक्त किया गया है। तीसरे चर को प्राचल कहा जाता है। अधिक सटीक रूप से, दो चरों $x$ और $y$ के बीच संबंध को $x=f(t), y=g(t)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो इसे $t$ को प्राचल मानकर प्राचल रूप कहा जाता है।

ऐसे रूप में फलन का अवकलज ज्ञात करने के लिए, हमें श्रृंखला नियम से

$$ \begin{aligned} & \frac{d y}{d t}=\frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d t} \ \end{aligned} $$

या $\qquad\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}(\text{जब भी } \frac{d x}{d t} \neq 0)$

इस प्रकार $\qquad \frac{d y}{d x}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}(\text{ क्योंकि } \frac{d y}{d t}=g^{\prime}(t) \text{ और } \frac{d x}{d t}=f^{\prime}(t)) [\text{ बशर्ते } f^{\prime}(t) \neq 0]$

उदाहरण 30 $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए, यदि $x=a \cos \theta, y=a \sin \theta$.

हल दिया गया है कि

$$ x=a \cos \theta, y=a \sin \theta $$

इसलिए $\quad \frac{d x}{d \theta}=-a \sin \theta, \frac{d y}{d \theta}=a \cos \theta$

अतः $\quad \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}}=\frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta}=-\cot \theta$

उदाहरण 31 $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए, यदि $x=a t^{2}, y=2 a t$.

हल दिया गया है कि $x=a t^{2}, y=2 a t$

इसलिए $\qquad \frac{d x}{d t}=2 a t \text { और } \frac{d y}{d t}=2 a$

अतः $ \qquad \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{2 a}{2 a t}=\frac{1}{t}$

उदाहरण 32 $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए, यदि $x=a(\theta+\sin \theta), y=a(1-\cos \theta)$.

हल हमारे पास $\frac{d x}{d \theta}=a(1+\cos \theta), \frac{d y}{d \theta}=a(\sin \theta)$

इसलिए $\qquad \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}}=\frac{a \sin\theta}{a(1+\cos \theta)}=\tan \frac{\theta}{2}$

टिप्पणी यहाँ यह ध्यान देने योग्य है कि $\frac{d y}{d x}$ को केवल पैरामीटर के पदों में व्यक्त किया गया है, मुख्य चरों $x$ और $y$ को सीधे शामिल किए बिना।

उदाहरण 33 यदि (x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}) है, तो (\frac{d y}{d x}) ज्ञात कीजिए।

हल माना (x=a \cos ^{3} \theta, y=a \sin ^{3} \theta). तब

$$ \begin{aligned} x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{3}{2}} & =\left(a \cos ^{3} \theta\right)^{\frac{2}{3}}+\left(a \sin ^{3} \theta\right)^{\frac{2}{3}} \ & =a^{\frac{2}{3}}\left(\cos ^{2} \theta+\left(\sin ^{2} \theta\right)=a^{\frac{2}{3}}\right. \end{aligned} $$

इसलिए, (x=a \cos ^{3} \theta, y=a \sin ^{3} \theta) एक प्राचलिक समीकरण है (x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}) का

अब (\qquad \frac{d x}{d \theta}=-3 a \cos ^{2} \theta \sin \theta \text{ और } \frac{d y}{d\theta}=3 a \sin ^{2} \theta \cos \theta)

इसलिए (\quad \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}}=\frac{3 a \sin ^{2} \theta \cos \theta}{-3 a \cos ^{2} \theta \sin \theta}=-\tan \theta=-\sqrt[3]{\frac{y}{x}})

5.7 द्वितीय कोटि का अवकलज

$$ \begin{align*} \text {माना} \qquad y & =f(x) \text{। तब } \ \frac{d y}{d x} & =f^{\prime}(x) \tag{1} \end{align*} $$

यदि $f^{\prime}(x)$ अवकलनीय है, तो हम (1) को पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलित कर सकते हैं। तब, बायाँ पक्ष $\frac{d}{d x}(\frac{d y}{d x})$ हो जाता है जिसे $x$ के सापेक्ष $y$ का द्वितीय कोटि अवकलज कहा जाता है और इसे $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ द्वारा निरूपित किया जाता है। $f(x)$ का द्वितीय कोटि अवकलज $f^{\prime \prime}(x)$ द्वारा निरूपित किया जाता है। इसे $D^{2} y$ या $y^{\prime \prime}$ या $y_2$ भी लिखा जाता है यदि $y=f(x)$ हो। हम टिप्पणी करते हैं कि उच्च कोटि के अवकलज इसी प्रकार परिभाषित किए जा सकते हैं।

उदाहरण 34 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ज्ञात कीजिए, यदि $y=x^{3}+\tan x$।

हल दिया गया है कि $y=x^{3}+\tan x$। तब

इसलिए $\qquad \begin{aligned}\frac{d y}{d x} & =3 x^{2}+\sec ^{2} x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =\frac{d}{d x}\left(3 x^{2}+\sec ^{2} x\right) \\ & =6 x+2 \sec x \cdot \sec x \tan x=6 x+2 \sec ^{2} x \tan x\end{aligned}$

उदाहरण 35 यदि $y=A \sin x+B \cos x$, तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$।

हल हमारे पास है

$$ \begin{aligned} & \frac{d y}{d x}=\mathrm{A} \cos x-\mathrm{B} \sin x \\ \text{ और } \qquad & \frac{d^2 y}{d x^2} =\frac{d}{d x}(\mathrm{~A} \cos x-\mathrm{B} \sin x) \\ & \qquad =-\mathrm{A} \sin x-\mathrm{B} \cos x=-y \\ \text{ इसलिए } \qquad & \frac{d^2 y}{d x^2}+y=0 \end{aligned} $$

उदाहरण 36 यदि $y=3 e^{2 x}+2 e^{3 x}$, सिद्ध कीजिए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}+6 y=0$।

हल दिया गया है कि $y=3 e^{2 x}+2 e^{3 x}$।

तब $\qquad \frac{d y}{d x}=6 e^{2 x}+6 e^{3 x}=6\left(e^{2 x}+e^{3 x}\right)$

इसलिए $\qquad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=12 e^{2 x}+18 e^{3 x}=6\left(2 e^{2 x}+3 e^{3 x}\right)$

$$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}+6 y=6\left(2 e^{2 x}+3 e^{3 x}\right) $$

$$ -30\left(e^{2 x}+e^{3 x}\right)+6\left(3 e^{2 x}+2 e^{3 x}\right)=0 $$

उदाहरण 37 यदि $y=\sin ^{-1} x$, तो दिखाइए कि $(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}=0$.

हल हमारे पास $y=\sin ^{-1} x$ है।

तब $\qquad \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)}}$

$$ \sqrt{\left(1-x^{2}\right)} \frac{d y}{d x}=1 $$

या $\qquad \frac{d}{d x}\left(\sqrt{\left(1-x^{2}\right)} \cdot \frac{d y}{d x}\right)=0$

या $\qquad\sqrt{\left(1-x^{2}\right)} \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x} \cdot \frac{d}{d x}\left(\sqrt{\left(1-x^{2}\right)}\right)=0$

$ \begin{aligned}\text {या } \qquad & \sqrt{\left(1-x^{2}\right)} \cdot \frac{d^{2} y}{d x{2}}-\frac{d y}{d x} \cdot \frac{2 x}{2 \sqrt{1-x^{2}}}=0 \\ & \left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}=0\end{aligned}$

वैकल्पिक रूप से, दिया गया है कि $y=\sin ^{-1} x$, हमारे पास

$$ y_1=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \text{, अर्थात् }(1-x^{2}) y_1^{2}=1 **

इसलिए $\qquad (1-x^{2}) \cdot 2 y_1 y_2+y_1^{2}(0-2 x)=0$

अतः $\qquad \left(1-x^{2}\right) y _{2}-x y _{1}=0$

विविध उदाहरण

उदाहरण 39 निम्नलिखित फलन का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

(i) $\sqrt{3 x+2}+\frac{1}{\sqrt{2 x^{2}+4}}$

(ii) $\log _7(\log x)$

हल

(i) माना $y=\sqrt{3 x+2}+\frac{1}{\sqrt{2 x^{2}+4}}=(3 x+2)^{\frac{1}{2}}+(2 x^{2}+4)^{-\frac{1}{2}}$

ध्यान दें कि यह फलन सभी वास्तविक संख्याओं $x>-\frac{2}{3}$ पर परिभाषित है। इसलिए

$$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{2}(3 x+2)^{\frac{1}{2}-1} \cdot \frac{d}{d x}(3 x+2)+(-\frac{1}{2})(2 x^{2}+4)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot \frac{d}{d x}(2 x^{2}+4) \ & =\frac{1}{2}(3 x+2)^{-\frac{1}{2}} \cdot(3)-\frac{1}{2}(2 x^{2}+4)^{-\frac{3}{2}} \cdot 4 x \ & =\frac{3}{2 \sqrt{3 x+2}}-\frac{2 x}{(2 x^{2}+4)^{\frac{3}{2}}} \end{aligned} $$

यह सभी वास्तविक संख्याओं $x>-\frac{2}{3}$ के लिए परिभाषित है। (ii) माना $y=\log _7(\log x)=\frac{\log (\log x)}{\log 7}$ (आधार परिवर्तन सूत्र द्वारा)।

यह फलन सभी वास्तविक संख्याओं $x>1$ के लिए परिभाषित है। इसलिए

$$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{\log 7} \frac{d}{d x}(\log (\log x)) \ & =\frac{1}{\log 7} \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{d x}(\log x) \ & =\frac{1}{x \log 7 \log x} \end{aligned} $$

उदाहरण 40 निम्नलिखित का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

(i) $\cos ^{-1}(\sin x)$

(ii) $\tan ^{-1}(\frac{\sin x}{1+\cos x})$

(iii) $\sin ^{-1}(\frac{2^{x+1}}{1+4^{x}})$

हल

(i) माना $f(x)=\cos ^{-1}(\sin x)$। ध्यान दें कि यह फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। हम इस फलन को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं

$$ \begin{aligned} f(x) & =\cos ^{-1}(\sin x) \ & =\cos ^{-1} \cos \frac{\pi}{2}-x \ & =\frac{\pi}{2}-x \end{aligned} $$

इस प्रकार $$ f^{\prime}(x)=-1 \text{।} $$

(ii) माना $f(x)=\tan ^{-1}(\frac{\sin x}{1+\cos x})$। ध्यान दें कि यह फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है, जहाँ $\cos x \neq-1$; अर्थात् $\pi$ के सभी विषम गुणकों पर। हम इस फलन को इस प्रकार पुनर्लेखित कर सकते हैं

$$ \begin{aligned} f(x) & =\tan ^{-1}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\right) \ & =\tan ^{-1}\left[\frac{2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)}{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}}\right] \ & =\tan ^{-1}\left[\tan \left(\frac{x}{2}\right)\right]=\frac{x}{2} \end{aligned} $$

ध्यान दें कि हम अंश और हर दोनों से $\cos (\frac{x}{2})$ को रद्द कर सके क्योंकि यह शून्य के बराबर नहीं है। इस प्रकार $f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}$।

(iii) माना $f(x)=\sin ^{-1}(\frac{2^{x+1}}{1+4^{x}})$। इस फलन के प्रांत को ज्ञात करने के लिए हमें वे सभी $x$ खोजने हैं जहाँ $-1 \leq \frac{2^{x+1}}{1+4^{x}} \leq 1$। चूँकि बीच की राशि सदैव धनात्मक है, हमें वे सभी $x$ खोजने हैं जहाँ $\frac{2^{x+1}}{1+4^{x}} \leq 1$, अर्थात् वे सभी $x$ जहाँ $2^{x+1} \leq 1+4^{x}$। हम इसे इस प्रकार पुनर्लेखित कर सकते हैं $2 \leq \frac{1}{2^{x}}+2^{x}$ जो सभी $x$ के लिए सत्य है। अतः यह फलन प्रत्येक वास्तविक संख्या पर परिभाषित है। $2^{x}=\tan \theta$ रखने पर, इस फलन को इस प्रकार पुनर्लेखित किया जा सकता है

$ \begin{aligned} f(x) & =\sin ^{-1}[\frac{2^{x+1}}{1+4^{x}}] \ & =\sin ^{-1} \frac{2^{x} \cdot 2}{1+(2^{x})^{2}} \ & =\sin ^{-1}[\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}] \ & =\sin ^{-1}[\sin 2 \theta] \ & =2 \theta=2 \tan ^{-1}(2^{x}) \end{aligned} $

इस प्रकार $$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =2 \cdot \frac{1}{1+(2^{x})^{2}} \cdot \frac{d}{d x}(2^{x}) \ & =\frac{2}{1+4^{x}} \cdot(2^{x}) \log 2 \ & =\frac{2^{x+1} \log 2}{1+4^{x}} \end{aligned} $$

उदाहरण 41 $f^{\prime}(x)$ ज्ञात कीजिए यदि $f(x)=(\sin x)^{\sin x}$ सभी $0<x<\pi$ के लिए।

हल फलन $y=(\sin x)^{\sin x}$ सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। लघुगणक लेने पर, हमें प्राप्त होता है

तब $$ \begin{aligned} \log y & =\log (\sin x)^{\sin x}=\sin x \log (\sin x) \ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & =\frac{d}{d x}(\sin x \log (\sin x)) \ & =\cos x \log (\sin x)+\sin x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{d x}(\sin x) \ & =\cos x \log (\sin x)+\cos x \ & =(1+\log (\sin x)) \cos x \end{aligned} $$

इस प्रकार $ \frac{d y}{d x}=y((1+\log (\sin x)) \cos x)=(1+\log (\sin x))(\sin x)^{\sin x} \cos x $

उदाहरण 42 एक धनात्मक नियतांक $a$ के लिए $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए, जहाँ

$$ y=a^{t+\frac{1}{t}}, \text{ और } x=(t+\frac{1}{t})^{a} $$

हल ध्यान दीजिए कि $y$ और $x$ दोनों सभी वास्तविक $t \neq 0$ के लिए परिभाषित हैं। स्पष्टतः

$$ \begin{aligned} \frac{d y}{d t}=\frac{d}{d t}\left(a^{t+\frac{1}{t}}\right) & =a^{t+\frac{1}{t}} \frac{d}{d t}\left(t+\frac{1}{t}\right) \cdot \log a \ & =a^{t+\frac{1}{t}}\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right) \log a \ \frac{d x}{d t} & =a\left[t+\frac{1}{t}\right]^{a-1} \cdot \frac{d}{d t}\left(t+\frac{1}{t}\right) \ & =a\left[t+\frac{1}{t}\right]^{a-1} \cdot\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right) \ \frac{d x}{d t} & \neq 0 \text { केवल यदि } t \neq \pm 1 \text{ इसलिए } t \neq \pm 1 \text{ के लिए} \ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{\frac{d x}{d t}} & =\frac{a^{t+\frac{1}{t}}\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right) \log a}{\left.a^{\left[t+\frac{1}{t}\right.}\right]^{a-1} \cdot\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right)}=\frac{a^{t+\frac{1}{t}} \log a}{a\left(t+\frac{1}{t}\right)^{a-1}} \end{aligned} $$

उदाहरण 43 $\sin ^{2} x$ का अवकलन $e^{\cos x}$ के सापेक्ष कीजिए।

हल मान लीजिए $u(x)=\sin ^{2} x$ और $v(x)=e^{\cos x}$। हमें $\frac{d u}{d v}=\frac{d u / d x}{d v / d x}$ ज्ञात करना है। स्पष्टतया

$$ \frac{d u}{d x}=2 \sin x \cos x \text{ और } \frac{d v}{d x}=e^{\cos x}(-\sin x)=-(\sin x) e^{\cos x} $$

इस प्रकार $$ \frac{d u}{d v}=\frac{2 \sin x \cos x}{-\sin x e^{\cos x}}=-\frac{2 \cos x}{e^{\cos x}} $$

सारांश

• एक वास्तविक मानीय फलन अपने डोमेन के किसी बिंदु पर संतत होता है यदि उस बिंदु पर फलन की सीमा उस बिंदु पर फलन के मान के बराबर हो। एक फलन संतत होता है यदि वह अपने पूरे डोमेन पर संतत हो।

• संतत फलनों का योग, अंतर, गुणनफल और भागफल भी संतत होता है। अर्थात्, यदि $f$ और $g$ संतत फलन हों, तो

$(f \pm g)(x)=f(x) \pm g(x)$ संतत है।

$(f . g)(x)=f(x) \cdot g(x)$ संतत है।

$(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x})$ (जहाँ $.g(x) \neq 0)$ संतत है।

• प्रत्येक अवकलनीय फलन संतत होता है, परंतु इसका विपरीत सत्य नहीं होता।
• श्रृंखला नियम फलनों के संयुक्त रूपों को अवकलित करने का नियम है। यदि $f=v$ o $u, t=u(x)$ है और यदि $\frac{d t}{d x}$ और $\frac{d v}{d t}$ दोनों अस्तित्व में हों, तो

$$ \frac{d f}{d x}=\frac{d v}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} $$

• निम्नलिखित कुछ मानक अवकलज हैं (उचित डोमेन में):

$$ \begin{array}{ll} \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \frac{d}{d x}\left(\cos ^{-1} x\right)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}} \ \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \frac{d}{d x}(\log x)=\frac{1}{x} \end{array} $$

• लघुगणकीय अवकलन एक शक्तिशाली तकनीक है जिससे $f(x)=[u(x)]^{v(x)}$ रूप के फलनों को अवकलित किया जाता है। यहाँ इस तकनीक के तर्कसंगत होने के लिए $f(x)$ और $u(x)$ दोनों को धनात्मक होना चाहिए।