जैसे एक पहाड़ी चढ़ने वाला पहाड़ इसलिए चढ़ता है क्योंकि वह वहाँ है, वैसे ही एक अच्छा गणित का छात्र नई सामग्री इसलिए पढ़ता है क्योंकि वह वहाँ है। - जेम्स बी. ब्रिस्टल

7.1 प्रस्तावना

अवकलन गणित अवकलज की संकल्पना पर केंद्रित है। अवकलज के लिए मूल प्रेरणा फलनों के आलेखों पर स्पर्श रेखाओं को परिभाषित करने और ऐसी रेखाओं की ढाल की गणना करने की समस्या थी। समाकलन गणित को फलनों के आलेख से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल को परिभाषित करने और गणना करने की समस्या से प्रेरणा मिली है।

यदि कोई फलन $f$ एक अंतराल $I$ में अवकलनीय है, अर्थात इसका अवकलज $f$ ’ का अस्तित्व $I$ के प्रत्येक बिंदु पर है, तो एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है कि यदि $f^{\prime}$ को $I$ के प्रत्येक बिंदु पर दिया गया है, तो क्या हम फलन निर्धारित कर सकते हैं? वे फलन जो संभवतः दिए गए फलन को अवकलज के रूप में रख सकते हैं, उस फलन के प्रतिअवकलज (या आदिम) कहलाते हैं। आगे, वह सूत्र जो देता है

जी.डब्ल्यू. लाइबनिट्ज़ (1646 - 1716)

इन सभी प्रतिअवकलजों को फलन का अनिश्चित समाकल कहा जाता है और प्रतिअवकलज खोजने की इस प्रक्रिया को समाकलन कहा जाता है। इस प्रकार की समस्याएं कई व्यावहारिक परिस्थितियों में उत्पन्न होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमें किसी वस्तु का किसी भी क्षण का क्षणिक वेग पता हो, तो एक स्वाभाविक प्रश्न उत्पन्न होता है, अर्थात् क्या हम किसी भी क्षण वस्तु की स्थिति निर्धारित कर सकते हैं? कई ऐसी व्यावहारिक और सैद्धांतिक परिस्थितियां हैं जहाँ समाकलन की प्रक्रिया शामिल होती है। समाकलन गणित का विकास निम्नलिखित प्रकार की समस्याओं को हल करने के प्रयासों से उत्पन्न हुआ है:

(a) एक फलन खोजने की समस्या जब उसका अवकलज दिया हो,

(b) किसी फलन के आलेख द्वारा घिरे क्षेत्रफल को निश्चित शर्तों के अंतर्गत खोजने की समस्या।

ये दो समस्याएं समाकलन के दो रूपों, उदाहरणतः अनिश्चित और निश्चित समाकलनों की ओर ले जाती हैं, जो मिलकर समाकलन गणित का निर्माण करते हैं।

अनिश्चित समाकलन और निश्चित समाकलन के बीच एक संबंध होता है, जिसे कलन का मौलिक सिद्धांत कहा जाता है, जो निश्चित समाकलन को विज्ञान और अभियांत्रिकी के लिए एक व्यावहारिक उपकरण बनाता है। निश्चित समाकलन का उपयोग अर्थशास्त्र, वित्त और प्रायिकता जैसे विभिन्न विषयों से संबंधित कई रोचक समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जाता है।

इस अध्याय में, हम अनिश्चित और निश्चित समाकलनों और उनके प्रारंभिक गुणों सहित समाकलन की कुछ तकनीकों के अध्ययन तक सीमित रहेंगे।

7.2 अवकलन की प्रतिलोम प्रक्रिया के रूप में समाकलन

समाकलन अवकलन की प्रक्रिया का व्युत्क्रम है। किसी फलन का अवकलन करने के बजाय, हमें किसी फलन का अवकलज दिया जाता है और उसका मूलफलन, अर्थात् मूल फलन खोजने को कहा जाता है। इस प्रक्रिया को समाकलन या प्रतिअवकलन कहा जाता है। आइए निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

$\text{ हम जानते हैं कि }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x \tag{1} \end{equation*} $

$$ \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

$\text{ और }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} \tag{3} \end{equation*} $

हम देखते हैं कि (1) में, फलन $\cos x$ फलन $\sin x$ का अवकलज है। हम कहते हैं कि $\sin x$ फलन $\cos x$ का एक प्रतिअवकलज (या समाकलन) है। इसी प्रकार, (2) और (3) में, $\frac{x^{3}}{3}$ और $e^{x}$ क्रमशः $x^{2}$ और $e^{x}$ के प्रतिअवकलज (या समाकलन) हैं। पुनः, हम ध्यान देते हैं कि किसी वास्तविक संख्या $C$, जिसे नियत फलन माना जाता है, का अवकलज शून्य होता है और इसलिए हम (1), (2) और (3) को निम्नलिखित रूप में लिख सकते हैं:

$$ \frac{d}{d x}(\sin x+C)=\cos x, \frac{d}{d x}(\frac{x^{3}}{3}+C)=x^{2} \text{ और } \frac{d}{d x}(e^{x}+C)=e^{x} $$

इस प्रकार, उपर्युक्त उद्धृत फलनों के प्रतिअवकलज (या समाकल) अद्वितीय नहीं होते। वास्तव में, इनमें से प्रत्येक फलन के अनन्त प्रतिअवकलज अस्तित्व में होते हैं, जिन्हें वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से $C$ को स्वेच्छा से चुनकर प्राप्त किया जा सकता है। इस कारण $C$ को प्रायः स्वेच्छा स्थिरांक कहा जाता है। वास्तव में, $C$ वह प्राचल है जिसे परिवर्तित करने पर दिए गए फलन के विभिन्न प्रतिअवकलज (या समाकल) प्राप्त होते हैं।

अधिक सामान्य रूप से, यदि कोई फलन $F$ इस प्रकार है कि $\frac{d}{d x} F(x)=f(x), \forall x \in I$ (अंतराल), तो किसी भी स्वेच्छा वास्तविक संख्या $C$ के लिए, (जिसे समाकलन स्थिरांक भी कहा जाता है)

$ \frac{d}{d x}[F(x)+C]=f(x), x \in I $

इस प्रकार, $\qquad\{F+C, C \in \mathbf{R}\} \text{ फलन } f \text{ के प्रतिअवकलजों के एक कुल को दर्शाता है। }$

टिप्पणी समान अवकलज वाले फलन एक स्थिरांक से भिन्न होते हैं। इसे दिखाने के लिए, मान लीजिए $g$ और $h$ दो ऐसे फलन हैं जिनके अवकलज एक अंतराल I पर समान हैं।

फलन $f=g-h$ पर विचार कीजिए जो $f(x)=g(x)-h(x), \forall x \in I$ द्वारा परिभाषित है।

तब $\qquad \frac{d f}{d x}=f^{\prime}=g^{\prime}-h^{\prime} \text{ जिससे } f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-h^{\prime}(x) \forall x \in I$

या $\qquad f^{\prime}(x)=0, \forall x \in I \text{ परिकल्पना के अनुसार, }$

अर्थात्, $f$ में $x$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर $I$ पर शून्य है और इसलिए $f$ एक स्थिरांक है।

उपर्युक्त टिप्पणी के दृष्टिकोण से, यह निष्कर्ष निकालना उचित है कि कुल $\{F+C, C \in \mathbf{R}\}$ फलन $f$ के सभी संभावित प्रतिअवकलज प्रदान करता है।

हम एक नए प्रतीक का परिचय देते हैं, अर्थात्, $\int f(x) d x$ जो समस्त प्रतिअवकलजों के वर्ग को निरूपित करेगा और इसे $f$ का $x$ के सापेक्ष अनिश्चित समाकलन पढ़ा जाता है।

प्रतीकात्मक रूप से, हम लिखते हैं $\int f(x) d x=F(x)+C$।

संकेतन दिया गया है कि $\frac{d y}{d x}=f(x)$, हम लिखते हैं $y=\int f(x) d x$।

सुविधा के लिए, हम नीचे निम्नलिखित प्रतीकों/पदों/वाक्यांशों का उल्लेख करते हैं

प्रतीक/पद/वाक्यांश	अर्थ
$ \int f(x)ds $	x के सापेक्ष f का समाकलन
$ f(x) in \int f(x)dx $	समाकल्य
$ x in \int f(x)dx $	समाकलन का चर
समाकलित करना	समाकलन ज्ञात करना
f का एक समाकल	एक फलन F इस प्रकार कि F’(x)=f(x)
समाकलन	समाकलन ज्ञात करने की प्रक्रिया
समाकलन नियतांक	कोई भी वास्तविक संख्या C, नियत फलन के रूप में मानी जाती है

तालिका 7.1

हम पहले से ही अनेक महत्वपूर्ण फलनों के अवकलजों के सूत्र जानते हैं। इन सूत्रों से, हम तुरंत संगत सूत्र (जिन्हें मानक सूत्र कहा जाता है) लिख सकते हैं इन फलनों के समाकलनों के लिए, जैसा कि नीचे सूचीबद्ध है, जिनका उपयोग अन्य फलनों के समाकलन ज्ञात करने में किया जाएगा।

$ \begin{array}{ll} \text{अवकलज} & \text{समाकल (प्रतिअवकलज)} \\ \\ \text{(i)} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n} & \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathrm{C}, n \neq-1 \\ \\ \text{विशेष रूप से, हम नोट करते हैं कि} & \\ \\ \frac{d}{d x}(x)=1 & \int d x=x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(ii)} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x & \int \cos x d x=\sin x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iii)} \frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x & \int \sin x d x=-\cos x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iv)} \frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^{2} x & \int \sec ^{2} x d x=\tan x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(v)} \frac{d}{d x}(-\cot x)=\operatorname{cosec}^{2} x & \int \operatorname{cosec}^{2} x d x=-\cot x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vi)} \frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x & \int \operatorname{cosec} x \cot x d x=-\operatorname{cosec} x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vii)} \frac{d}{d x}(-\operatorname{cosec} x)=\operatorname{cosec} x \cot x & \int \sec x \tan x d x=\sec x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (viii) } \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sin ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (ix) } \frac{d}{d x}\left(-\cos ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\cos ^{-1} x+\mathrm{C} \end{array} $

$ \begin{array}{ll} \text { (x) } \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xi) } \frac{d}{d x}\left(-\cot ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=-\cot ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xii) } \frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=\sec ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiii) } \frac{d}{d x}\left(-\operatorname{cosec}^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=-\operatorname{cosec}^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiv) } \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} & \int e^{x} d x=e^{x}+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xv) } \frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x} & \int \frac{1}{x} d x=\log |x|+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xvi) } \frac{d}{d x}\left(\frac{a^{x}}{\log a}\right)=a^{x} & \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log a}+\mathrm{C} \end{array} $

नोट व्यवहार में, हम सामान्यतः यह उल्लेख नहीं करते कि विभिन्न फलन किस अंतराल पर परिभाषित हैं। फिर भी, किसी विशिष्ट समस्या में इसे ध्यान में रखना पड़ता है।

7.2.1 अनिश्चित समाकलन के कुछ गुण

इस उप-अनुभाग में हम अनिश्चित समाकलनों के कुछ गुण प्राप्त करेंगे।

(I) अवकलन और समाकलन की प्रक्रियाएँ एक-दूसरे की व्युत्क्रम होती हैं, निम्नलिखित परिणामों के अर्थ में :

$$ \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x) $$

और $\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C \text{, जहाँ } C \text{ कोई स्वेच्छ अचर है। }$

प्रमान मान लीजिए $F$, $f$ का कोई प्रतिअवकलज है, अर्थात्

$$ \frac{d}{d x} F(x)=f(x) $$

$$ \text{ }\qquad \int f(x) d x=F(x)+C $$

$ \text{ इसलिए }\qquad \begin{aligned} \frac{d}{d x} \int f(x) d x & =\frac{d}{d x}(F(x)+C) \ & =\frac{d}{d x} F(x)=f(x) \end{aligned} $

इसी प्रकार, हम देखते हैं कि

$$ f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x) $$

और इसलिए$\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C$

जहाँ $C$ स्वेच्छ अचर है जिसे समाकलन अचर कहा जाता है।

(II) दो अनिश्चित समाकलन जिनके अवकलज समान हों, समान कुल वक्रों की परिवार को देते हैं और इसलिए वे तुल्य हैं।

प्रमान मान लीजिए $f$ और $g$ दो फलन इस प्रकार हैं कि

$$\frac{d}{d x} \int f(x) d x=\frac{d}{d x} \int g(x) d x$$

या $\qquad \frac{d}{d x}[\int f(x) d x-\int g(x) d x]=0$

इसलिए $\quad \int f(x) d x-\int g(x) d x=C$, जहाँ $C$ कोई वास्तविक संख्या है

या $\qquad \int f(x) d x=\int g(x) d x+C$

इसलिए वक्रों के परिवार $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in R\}$

और $\qquad\{\int g(x) d x+C_2, C_2 \in R\} \text{ समान हैं। }$

इसलिए, इस अर्थ में, $\int f(x) d x$ और $\int g(x) d x$ तुल्य हैं।

नोट वक्रों के परिवारों $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in \mathbf{R}\}$ और $\{\int g(x) d x+\mathbf{C} _2, \mathbf{C} _2 \in \mathbf{R}\}$ की तुल्यता को सामान्यतः $\int f(x) d x=\int g(x) d x$ लिखकर व्यक्त किया जाता है, बिना पैरामीटर का उल्लेख किए।

(III) $\int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$

गुणधर्म (I) के अनुसार, हमारे पास

$ \frac{d}{d x}[\int[f(x)+g(x)] d x]=f(x)+g(x) $

दूसरी ओर, हम पाते हैं कि

$ \begin{aligned} \frac{d}{d x}[\int f(x) d x+\int g(x) d x] & =\frac{d}{d x} \int f(x) d x+\frac{d}{d x} \int g(x) d x \\ & =f(x)+g(x) \end{aligned} $

इस प्रकार, गुणधर्म (II) के दृष्टिकोण से, (1) और (2) से यह अनुसरण होता है कि

$$ \int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x . $$

(IV) किसी वास्तविक संख्या $k$ के लिए, $\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$

प्रमाण गुणधर्म (I) के अनुसार, $\frac{d}{d x} \int k f(x) d x=k f(x)$।

साथ ही $\quad \frac{d}{d x}[k \int f(x) d x]=k \frac{d}{d x} \int f(x) d x=k f(x)$

इसलिए, गुणधर्म (II) का उपयोग करते हुए, हमारे पास $\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$ है।

(V) गुणधर्म (III) और (IV) को सीमित संख्या में फलनों $f_1, f_2, \ldots, f_n$ और वास्तविक संख्याओं $k_1, k_2, \ldots, k_n$ तक व्यापक बनाया जा सकता है, जिससे हमें मिलता है

$$ \begin{aligned} & \int[k_1 f_1(x)+k_2 f_2(x)+\ldots+k_n f_n(x)] d x \\ & =k_1 \int f_1(x) d x+k_2 \int f_2(x) d x+\ldots+k_n \int f_n(x) d x . \end{aligned} $$

किसी दिए गए फलन का प्रतिअवकलज खोजने के लिए, हह सहज रूप से ऐसे फलन की खोज करते हैं जिसका अवकलज दिया गया फलन है। आवश्यक फलन की खोज को, प्रतिअवकलज ज्ञात करने के लिए, निरीक्षण विधि द्वारा समाकलन कहा जाता है। हम इसे कुछ उदाहरणों के माध्यम से दर्शाते हैं।

उदाहरण 1 निम्नलिखित प्रत्येक फलन के लिए निरीक्षण विधि का उपयोग करके एक प्रतिअवकलज लिखिए:

(i) $\cos 2 x$

(ii) $3 x^{2}+4 x^{3}$

(iii) $\frac{1}{x}, x \neq 0$

हल

(i) हम एक ऐसा फलन खोजते हैं जिसका अवकलज $\cos 2 x$ हो। याद कीजिए कि

$ \begin{gathered} \frac{d}{d x} \sin 2 x=2 \cos 2 x \\ \end{gathered} $

या $\cos 2 x=\frac{1}{2} \frac{d}{d x}(\sin 2 x)=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)$

इसलिए, $\cos 2 x$ का एक प्रतिअवकलज $\frac{1}{2} \sin 2 x$ है।

(ii) हम एक ऐसा फलन खोजते हैं जिसका अवकलज $3 x^{2}+4 x^{3}$ हो। ध्यान दीजिए कि

$ \frac{d}{d x}(x^{3}+x^{4})=3 x^{2}+4 x^{3} $

इसलिए, $3 x^{2}+4 x^{3}$ का एक प्रतिअवकलज $x^{3}+x^{4}$ है।

(iii) हम जानते हैं कि

$\frac{d}{d x}(\log x)=\frac{1}{x}, x>0$ और $\frac{d}{d x}[\log (-x)]=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}, x<0$

उपर्युक्त को मिलाकर, हम पाते हैं $\frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x}, x \neq 0$

इसलिए, $\int \frac{1}{x} d x=\log |x|$ फलन $\frac{1}{x}$ के प्रतिअवकलजों में से एक है।

उदाहरण 2 निम्न समाकलन ज्ञात कीजिए:

(i) $\int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} d x$

(ii) $\int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x$

(iii) $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x$

हल

(i) हमारे पास

$$ \begin{aligned} \int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} & d x=\int x d x-\int x^{-2} d x \quad(\text{ गुणधर्म } V \text{ द्वारा}) \\ = & (\frac{x^{1+1}}{1+1}+C_1)-(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C_2) ; C_1, C_2 \text{ समाकलन नियतांक हैं } \\ & =\frac{x^{2}}{2}+C_1-\frac{x^{-1}}{-1}-C_2=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C_1-C_2 \\ & =\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C \text{, जहाँ } C=C_1-C_2 \text{ एक अन्य समाकलन नियतांक है। } \end{aligned} $$

नोट अब से हम अंतिम उत्तर में केवल एक समाकलन अचर ही लिखेंगे।

(ii) हमारे पास $$ \begin{aligned} \int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x & =\int x^{\frac{2}{3}} d x+\int d x \ & =\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+x+C=\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}+x+C \end{aligned} $$

(iii) हमारे पास $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x=\int x^{\frac{3}{2}} d x+\int 2 e^{x} d x-\int \frac{1}{x} d x$

$$ \begin{aligned} & =\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+2 e^{x}-\log |x|+C \ & =\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+2 e^{x}-\log |x|+C \end{aligned} $$

उदाहरण 3 निम्नलिखित समाकलन ज्ञात कीजिए:

(i) $\int(\sin x+\cos x) d x$

(ii) $\int cosec x(cosec x+\cot x) d x$

(iii) $\int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x$

हल

(i) हमारे पास $$ \begin{aligned} \int(\sin x+\cos x) d x & =\int \sin x d x+\int \cos x d x \ & =-\cos x+\sin x+C \end{aligned} $$

(ii) हमारे पास $$ \begin{aligned} \int(cosec x(cosec x+\cot x) d x & =\int cosec^{2} x d x+\int cosec x \cot x d x \ & =-\cot x-cosec x+C \end{aligned} $$

(iii) हमारे पास $$ \begin{aligned} \int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x & =\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x-\int \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x \ & =\int \sec ^{2} x d x-\int \tan x \sec x d x \ & =\tan x-\sec x+C \end{aligned} $$

उदाहरण 4 $f$ द्वारा परिभाषित $f(x)=4 x^{3}-6$ का प्रतिअवकलज $F$ ज्ञात कीजिए, जहाँ $F(0)=3$

हल $f(x)$ का एक प्रतिअवकलज $x^{4}-6 x$ है क्योंकि

$$ \frac{d}{d x}(x^{4}-6 x)=4 x^{3}-6 $$

$$ F(x)=x^{4}-6 x+C \text{, जहाँ } C \text{ एक अचर है। } $$

इसलिए, प्रतिअवकलज (F) निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

दिया गया है कि $$ \begin{aligned} F(0) & =3, जो देता है \\ 3 & =0-6 \times 0+C \text{ या } C=3 \end{aligned} $$

अतः, अभीष्ट प्रतिअवकलज अद्वितीय फलन (F) है जो निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है (\mathrm{F}(x)=x^{4}-6 x+3)

टिप्पणियाँ

(i) हम देखते हैं कि यदि (F) फलन (f) का एक प्रतिअवकलज है, तो (F+C) भी प्रतिअवकलज है, जहाँ (C) कोई भी अचर है। इस प्रकार, यदि हमें किसी फलन (f) का एक प्रतिअवकलज (F) पता है, तो हम (F) में किसी भी अचर को जोड़कर (f) के अनंत प्रतिअवकलज लिख सकते हैं, जिसे (F(x)+C, C \in \mathbf{R}) द्वारा व्यक्त किया जाता है। अनुप्रयोगों में, अक्सर एक अतिरिक्त शर्त को संतुष्ट करना आवश्यक होता है जो फिर (C) के एक विशिष्ट मान को निर्धारित करता है जो दिए गए फलन का अद्वितीय प्रतिअवकलज देता है।

(ii) कभी-कभी, (F) प्रारंभिक फलनों जैसे बहुपद, लघुगणकीय, घातांकीय, त्रिकोणमितीय फलनों और उनके प्रतिलोम आदि के पदों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए हम (\int f(x) d x) ज्ञात करने के लिए अवरुद्ध हैं। उदाहरण के लिए, (\int e^{-x^{2}} d x) का निरीक्षण द्वारा पता लगाना संभव नहीं है क्योंकि हम ऐसा फलन नहीं खोज सकते जिसका अवकलज (e^{-x^{2}}) हो।

(iii) जब समाकलन का चर (x) के अतिरिक्त किसी अन्य चर द्वारा दर्शाया जाता है, तो समाकलन सूत्रों को तदनुसार संशोधित किया जाता है। उदाहरण के लिए

$$ \int y^{4} d y=\frac{y^{4+1}}{4+1}+C=\frac{1}{5} y^{5}+C $$

7.3 समाकलन की विधियाँ

पिछले खंड में, हमने उन फलनों के समाकलनों पर चर्चा की थी जो किसी फलन के अवकलज से सीधे प्राप्त किए जा सकते थे। यह निरीक्षण पर आधारित था, अर्थात् ऐसे फलन $F$ की खोज पर जिसका अवकलज $f$ है, जिससे हमें $f$ का समाकलन प्राप्त हुआ। हालांकि, यह विधि, जो निरीक्षण पर निर्भर करती है, कई फलनों के लिए उपयुक्त नहीं है। इसलिए, हमें समाकलनों को मानक रूपों में परिवर्तित करके ज्ञात करने के लिए अतिरिक्त तकनीकों या विधियों का विकास करने की आवश्यकता है। इनमें प्रमुख हैं:

1. प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन

2. आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए समाकलन

3. खंडशः समाकलन

7.3.1 प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन

इस खंड में, हम प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन की विधि पर विचार करते हैं।

दिया गया समाकलन $\int f(x) d x$ को स्वतंत्र चर $x$ को $t$ में बदलकर दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है, जहाँ $x=g(t)$ प्रतिस्थापित किया जाता है।

मान लीजिए $$ I=\int f(x) d x $$

मान लीजिए $x=g(t)$ ताकि $\frac{d x}{d t}=g^{\prime}(t)$।

हम लिखते हैं $$ d x=g^{\prime}(t) d t $$

इस प्रकार $$ I=\int f(x) d x=\int f(g(t)) g^{\prime}(t) d t $$

यह चर परिवर्तन सूत्र हमारे पास उपलब्ध एक महत्वपूर्ण उपकरण है जिसे प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन कहा जाता है। यह अक्सर महत्वपूर्ण होता है कि अनुमान लगाया जाए कि कौन-सी उपयोगी प्रतिस्थापन होगी। सामान्यतः, हम उस फलन के लिए प्रतिस्थापन करते हैं जिसका अवकलज भी समाकल्य में आता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों में दिखाया गया है।

उदाहरण 5 निम्नलिखित फलनों का $x$ के सापेक्ष समाकलन कीजिए :

(i) $\sin m x$

(ii) $2 x \sin (x^{2}+1)$

(iii) $\frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

(iv) $\frac{\sin (\tan ^{-1} x)}{1+x^{2}}$

हल

(i) हम जानते हैं कि $m x$ का अवकलज $m$ है। इस प्रकार, हम प्रतिस्थापन $m x=t$ करते हैं ताकि $m d x=d t$।

इसलिए, $\quad \int \sin m x d x=\frac{1}{m} \int \sin t d t=-\frac{1}{m} \cos t+C=-\frac{1}{m} \cos m x+C$

(ii) $x^{2}+1$ का अवकलज $2 x$ है। इस प्रकार, हम प्रतिस्थापन $x^{2}+1=t$ करते हैं ताकि $2 x d x=d t$।

इसलिए, $$\int 2 x \sin (x^{2}+1) d x=\int \sin t d t=-\cos t+C=-\cos (x^{2}+1)+C$$

(iii) $\sqrt{x}$ का अवकलज $\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ है। इस प्रकार, हम प्रतिस्थापन

$\sqrt{x}=t$ करते हैं ताकि $\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=d t$ जिससे $d x=2 t d t$ मिलता है।

इस प्रकार, $\quad \int \frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x=\int \frac{2 t \tan ^{4} t \sec ^{2} t d t}{t}=2 \int \tan ^{4} t \sec ^{2} t d t$

फिर, हम एक और प्रतिस्थापन $\tan t=u$ करते हैं ताकि $\quad \sec ^{2} t d t=d u$

इसलिए,$2 \int \tan ^{4} t \sec ^{2} t d t=2 \int u^{4} d u=2 \frac{u^{5}}{5}+\mathrm{C}$ $$ \begin{aligned} & =\frac{2}{5} \tan ^{5} t+\mathrm{C}(\text { क्योंकि } u=\tan t) \\ & =\frac{2}{5} \tan ^{5} \sqrt{x}+\mathrm{C}(\text { क्योंकि } t=\sqrt{x}) \end{aligned} $$

अतः, $\quad \int \frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x=\frac{2}{5} \tan ^{5} \sqrt{x}+C$

वैकल्पिक रूप से, प्रतिस्थापन $\tan \sqrt{x}=t$ करें

(iv) $\tan ^{-1} x$ का अवकलज $=\frac{1}{1+x^{2}}$। इस प्रकार, हम प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं
$ \tan ^{-1} x=t \text{ ताकि } \frac{d x}{1+x^{2}}=d t $

इसलिए, $\int \frac{\sin (\tan ^{-1} x)}{1+x^{2}} d x=\int \sin t d t=-\cos t+C=-\cos (\tan ^{-1} x)+C$

अब, हम त्रिकोणमितीय फलनों से संबंधित कुछ महत्वपूर्ण समाकलनों और प्रतिस्थापन तकनीक का उपयोग करके उनके मानक समाकलनों की चर्चा करते हैं। इनका उपयोग बाद में संदर्भ के बिना किया जाएगा।

(i) $\int \tan x d x=\log |\sec x|+C$

हमारे पास
$ \int \tan x d x=\int \frac{\sin x}{\cos x} d x $

मान लीजिए $\cos x=t$ ताकि $\sin x d x=-d t$

तब $\qquad \int \tan x d x=-\int \frac{d t}{t}=-\log |t|+C=-\log |\cos x|+C$

या $\quad \int \tan x d x=\log |\sec x|+C$

(ii) $\int \cot x d x=\log |\sin x|+C$

हमारे पास $\int \cot x d x=\int \frac{\cos x}{\sin x} d x$

मान लीजिए $\sin x=t$ ताकि $\cos x d x=d t$

तब
$$ \int \cot x d x=\int \frac{d t}{t}=\log |t|+C=\log |\sin x|+C $$

(iii) $\int \sec x d x=\log |\sec x+\tan x|+C$

हमारे पास
$ \int \sec x d x=\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x} d x $

मान लीजिए sec $x+\tan x=t$ ताकि $\sec x(\tan x+\sec x) d x=d t$

इसलिए, $\int \sec x d x=\int \frac{d t}{t}=\log |t|+C=\log |\sec x+\tan x|+C$

(iv) $\int cosec x d x=\log |cosec x-\cot x|+C$

हमारे पास
$ \int cosec x d x=\int \frac{cosec x(cosec x+\cot x)}{(cosec x+\cot x)} d x $

मान लीजिए $cosec x+\cot x=t$ ताकि $-cosec x(cosec x+\cot x) d x=d t$

इसलिए
$
\begin{aligned}
\int cosec x d x & =-\int \frac{d t}{t}=-\log |t|=-\log |cosec x+\cot x|+C \
& =-\log |\frac{cosec^{2} x-\cot ^{2} x}{cosec x-\cot x}|+C \
& =\log |cosec x-\cot x|+C
\end{aligned}
$

उदाहरण 6 निम्नलिखित समाकलन ज्ञात कीजिए:

(i) $\int \sin ^{3} x \cos ^{2} x d x$

(ii) $\int \frac{\sin x}{\sin (x+a)} d x$

(iii) $\int \frac{1}{1+\tan x} d x$

हल

(i) हमारे पास
$$
\begin{aligned}
\int \sin ^{3} x \cos ^{2} x d x & =\int \sin ^{2} x \cos ^{2} x(\sin x) d x \
& =\int(1-\cos ^{2} x) \cos ^{2} x(\sin x) d x
\end{aligned}
$$

माना $t=\cos x$ इसलिए $d t=-\sin x d x$

इसलिए, $\int \sin ^{2} x \cos ^{2} x(\sin x) d x=-\int(1-t^{2}) t^{2} d t$

$$
\begin{aligned}
& =-\int(t^{2}-t^{4}) d t=-(\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{5}}{5})+C \
& =-\frac{1}{3} \cos ^{3} x+\frac{1}{5} \cos ^{5} x+C
\end{aligned}
$$

(ii) माना $x+a=t$. तब $d x=d t$. इसलिए

$$
\begin{aligned}
\int \frac{\sin x}{\sin (x+a)} d x & =\int \frac{\sin (t-a)}{\sin t} d t \
& =\int \frac{\sin t \cos a-\cos t \sin a}{\sin t} d t \
& =\cos a \int d t-\sin a \int \cot t d t \
& =(\cos a) t-(\sin a)[\log |\sin t|+C_1] \
& =(\cos a)(x+a)-(\sin a)[\log |\sin (x+a)|+C_1] \
& =x \cos a+a \cos a-(\sin a) \log |\sin (x+a)|-C_1 \sin a
\end{aligned}
$$

अतः, $\int \frac{\sin x}{\sin (x+a)} d x=x \cos a-\sin a \log |\sin (x+a)|+C$,

जहाँ, $C=-C_1 \sin a+a \cos a$, एक अन्य स्वेच्छ अचर है।

(iii) $\int \frac{d x}{1+\tan x}=\int \frac{\cos x d x}{\cos x+\sin x}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} \int \frac{(\cos x+\sin x+\cos x-\sin x) d x}{\cos x+\sin x} \\ & =\frac{1}{2} \int d x+\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x \\ & =\frac{x}{2}+\frac{C_1}{2}+\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x \end{aligned} $$

अब, मान लीजिए $I=\int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x$

मान लीजिए $\cos x+\sin x=t$ ताकि $(\cos x-\sin x) d x=d t$

इसलिए $\quad I=\int \frac{d t}{t}=\log |t|+C_2=\log |\cos x+\sin x|+C_2$

इसे (1) में रखने पर, हम पाते हैं

$$ \begin{aligned} \int \frac{d x}{1+\tan x} & =\frac{x}{2}+\frac{C_1}{2}+\frac{1}{2} \log |\cos x+\sin x|+\frac{C_2}{2} \\ & =\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \log |\cos x+\sin x|+\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{2} \\ & =\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \log |\cos x+\sin x|+C,(C=\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{2}) \end{aligned} $$

7.3.2 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग कर समाकलन

जब समाकल्य में कुछ त्रिकोणमितीय फलन शामिल होते हैं, तो हम कुछ ज्ञात सर्वसमिकाओं का उपयोग करके समाकलन खोजते हैं जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण के माध्यम से दर्शाया गया है।

उदाहरण 7 ज्ञात कीजिए

(i) $\int \cos ^{2} x d x$

(ii) $\int \sin 2 x \cos 3 x d x$

(iii) $\int \sin ^{3} x d x$

हल

(i) सर्वसमिका $\cos 2 x=2 \cos ^{2} x-1$ को याद कीजिए, जो देता है

$$ \cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2} $$

इसलिए, $\quad \int \cos ^{2} x d x=\frac{1}{2} \int(1+\cos 2 x) d x=\frac{1}{2} \int d x+\frac{1}{2} \int \cos 2 x d x$

$$ =\frac{x}{2}+\frac{1}{4} \sin 2 x+C $$

(ii) सूत्र $\sin x \cos y=\frac{1}{2}[\sin (x+y)+\sin (x-y)]$ को याद कीजिए।

तब $\int \sin 2 x \cos 3 x d x=\frac{1}{2}$ $[\int \sin 5 x d x-\int \sin x d x]$

$$ \begin{aligned} \int \sin 2 x \cos 3 x d x=\frac{1}{2}[\int \sin 5 x d x-\int \sin x d x]\\ & =\frac{1}{2}[-\frac{1}{5} \cos 5 x+\cos x]+C \\ & =-\frac{1}{10} \cos 5 x+\frac{1}{2} \cos x+C \end{aligned} $$

(iii) सूत्र $\sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x$ से, हम पाते हैं कि

$ \sin ^{3} x=\frac{3 \sin x-\sin 3 x}{4} $

इसलिए, $\quad \int \sin ^{3} x d x=\frac{3}{4} \int \sin x d x-\frac{1}{4} \int \sin 3 x d x$

$$ =-\frac{3}{4} \cos x+\frac{1}{12} \cos 3 x+C $$

वैकल्पिक रूप से, $\int \sin ^{3} x d x=\int \sin ^{2} x \sin x d x=\int(1-\cos ^{2} x) \sin x d x$

मान लीजिए $\cos x=t$ ताकि $-\sin x d x=d t$

इसलिए, $\quad \int \sin ^{3} x d x=-\int(1-t^{2}) d t=-\int d t+\int t^{2} d t=-t+\frac{t^{3}}{3}+C$

$$ =-\cos x+\frac{1}{3} \cos ^{3} x+C $

टिप्पणी यह त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके दिखाया जा सकता है कि दोनों उत्तर समतुल्य हैं।

7.4 कुछ विशिष्ट फलनों के समाकल

इस खंड में, हम नीचे कुछ महत्वपूर्ण समाकल सूत्रों का उल्लेख करते हैं और उन्हें कई अन्य संबंधित मानक समाकलों को समाकलित करने के लिए लागू करते हैं:

(1) $\int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \log |\frac{x-a}{x+a}|+C$

(2) $\int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \log |\frac{a+x}{a-x}|+C$

(3) $\int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}+C$

(4) $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\log |x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+C$

(5) $\int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\sin ^{-1} \frac{x}{a}+C$

(6) $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\log |x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|+C$

अब हम उपरोक्त परिणामों को सिद्ध करते हैं:

(1) हमारे पास $\frac{1}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{(x-a)(x+a)}$

$$ =\frac{1}{2 a}[\frac{(x+a)-(x-a)}{(x-a)(x+a)}]=\frac{1}{2 a}[\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}] $$

इसलिए, $\int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a}[\int \frac{d x}{x-a}-\int \frac{d x}{x+a}]$

$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2 a}[\log |(x-a)|-\log |(x+a)|]+C \\ & =\frac{1}{2 a} \log |\frac{x-a}{x+a}|+C \end{aligned} $$

(2) ऊपर (1) के दृष्टिकोण से, हमारे पास

$ \frac{1}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a}[\frac{(a+x)+(a-x)}{(a+x)(a-x)}]=\frac{1}{2 a}[\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a+x}] $

इसलिए, $\int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a}[\int \frac{d x}{a-x}+\int \frac{d x}{a+x}]$

$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2 a}[-\log |a-x|+\log |a+x|]+C \\ & =\frac{1}{2 a} \log |\frac{a+x}{a-x}|+C \end{aligned} $$

नोट (1) में प्रयुक्त तकनीक की व्याख्या खंड 7.5 में की जाएगी।

(3) माना $x=a \tan \theta$. तब $d x=a \sec ^{2} \theta d \theta$.

इसलिए, $\quad \int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}}=\int \frac{a \sec ^{2} \theta d \theta}{a^{2} \tan ^{2} \theta+a^{2}}$

$$ =\frac{1}{a} \int d \theta=\frac{1}{a} \theta+C=\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}+C $$

(4) माना $x=a \sec \theta$. तब $d x=a \sec \theta \tan \theta d \theta$.

इसलिए, $ \begin{aligned} \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} & =\int \frac{a \sec \theta \tan \theta d \theta}{\sqrt{a^{2} \sec ^{2} \theta-a^{2}}} \ & =\int \sec \theta d \theta=\log |\sec \theta+\tan \theta|+C_1 \ & =\log |\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}-1}|+C_1 \ & =\log |x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|-\log |a|+C_1 \ & =\log |x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+C, \text{ जहाँ } C=C_1-\log |a| \end{aligned} $

(5) माना $x=a \sin \theta$. तब $d x=a \cos \theta d \theta$।

इसलिए, $\bigcirc \quad \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\int \frac{a \cos \theta d \theta}{\sqrt{a^{2}-a^{2} \sin ^{2} \theta}}$ $ =\int d \theta=\theta+C=\sin ^{-1} \frac{x}{a}+C $

(6) माना $x=a \tan \theta$. तब $d x=a \sec ^{2} \theta d \theta$।

$$ \begin{aligned} \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} & =\int \frac{a \sec ^{2} \theta d \theta}{\sqrt{a^{2} \tan ^{2} \theta+a^{2}}} \ & \text{ इसलिए, } \qquad =\int \sec \theta d \theta=\log |(\sec \theta+\tan \theta)|+C_1 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & =\log |\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}|+C_1 \ & =\log |x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|-\log |a|+C_1 \ & =\log |x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|+C, \text{ जहाँ } C=C_1-\log |a| \end{aligned} $$

इन मानक सूत्रों को लागू करते हुए, हम अब कुछ और सूत्र प्राप्त करते हैं जो अनुप्रयोगों के दृष्टिकोण से उपयोगी हैं और अन्य समाकलनों का मूल्यांकन करने के लिए सीधे लागू किए जा सकते हैं।

(7) समाकलन $\int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c}$ ज्ञात करने के लिए, हम लिखते हैं

$ a x^{2}+b x+c=a[x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}]=a[(x+\frac{b}{2 a})^{2}+(\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4 a^{2}})] $

अब, $x+\frac{b}{2 a}=t$ रखें ताकि $d x=d t$ और $\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4 a^{2}}= \pm k^{2}$ लिखें। हम पाते हैं कि समाकल $\frac{1}{a} \int \frac{d t}{t^{2} \pm k^{2}}$ के रूप में सिमट जाता है, जो $(\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4 a^{2}})$ के चिह्न पर निर्भर करता है और इसलिए मूल्यांकन किया जा सकता है।

(8) $\int \frac{d x}{\sqrt{a x^{2}+b x+c}}$ प्रकार के समाकल को ज्ञात करने के लिए, (7) में किए गए अनुसार आगे बढ़कर हम मानक सूत्रों का उपयोग करके समाकल प्राप्त करते हैं।

(9) $\int \frac{p x+q}{a x^{2}+b x+c} d x$ प्रकार के समाकल को ज्ञात करने के लिए, जहाँ $p, q, a, b, c$ अचर हैं, हमें ऐसी वास्तविक संख्याएँ A, B ज्ञात करनी हैं कि

$ p x+q=A \frac{d}{d x}(a x^{2}+b x+c)+B=A(2 a x+b)+B $

$A$ और $B$ को निर्धारित करने के लिए, हम दोनों ओर से $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करते हैं। A और B इस प्रकार प्राप्त होते हैं और इसलिए समाकल एक ज्ञात रूप में सिमट जाता है।

(10) $\int \frac{(p x+q) d x}{\sqrt{a x^{2}+b x+c}}$ प्रकार के समाकल के मूल्यांकन के लिए, हम (9) के अनुसार आगे बढ़ते हैं और समाकल को ज्ञात मानक रूपों में रूपांतरित करते हैं।

आइए उपरोक्त विधियों को कुछ उदाहरणों द्वारा दर्शाएँ।

उदाहरण 8 निम्नलिखित समाकलों को ज्ञात कीजिए:

(i) $\int \frac{d x}{x^{2}-16}$

(ii) $\int \frac{d x}{\sqrt{2 x-x^{2}}}$

हल

(i) हमारे पास $\int \frac{d x}{x^{2}-16}=\int \frac{d x}{x^{2}-4^{2}}=\frac{1}{8} \log |\frac{x-4}{x+4}|+C \quad$ [7.4 (1) द्वारा]

(ii) $\int \frac{d x}{\sqrt{2 x-x^{2}}}=\int \frac{d x}{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}$

माना $x-1=t$. तब $d x=d t$।

इसलिए, $\quad \int \frac{d x}{\sqrt{2 x-x^{2}}}=\int \frac{d t}{\sqrt{1-t^{2}}}=\sin ^{-1}(t)+C$

[7.4(5) द्वारा] $ =\sin ^{-1}(x-1)+C $

उदाहरण 9 निम्नलिखित समाकलन ज्ञात कीजिए:

(i) $\int \frac{d x}{x^{2}-6 x+13}$

(ii) $\int \frac{d x}{3 x^{2}+13 x-10}$

(iii) $\int \frac{d x}{\sqrt{5 x^{2}-2 x}}$

हल

(i) हमारे पास $x^{2}-6 x+13=x^{2}-6 x+3^{2}-3^{2}+13=(x-3)^{2}+4$

इसलिए, $\quad \int \frac{d x}{x^{2}-6 x+13}=\int \frac{1}{(x-3)^{2}+2^{2}} d x$

माना $ x-3=t \text{। तब } d x=d t $

इसलिए, $\quad \int \frac{d x}{x^{2}-6 x+13}=\int \frac{d t}{t^{2}+2^{2}}=\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{t}{2}+C$

$$ =\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{x-3}{2}+C $$

(ii) दिया गया समाकलन 7.4 (7) के रूप का है। हम समाकल्य के हर को लिखते हैं,

$$ \begin{aligned} 3 x^{2}+13 x-10 & =3(x^{2}+\frac{13 x}{3}-\frac{10}{3}) \ & =3[(x+\frac{13}{6})^{2}-(\frac{17}{6})^{2}] \text{ (वर्ग पूर्ण करना) } \end{aligned} $$

इस प्रकार $\int \frac{d x}{3 x^{2}+13 x-10}=\frac{1}{3} \int \frac{d x}{(x+\frac{13}{6})^{2}-(\frac{17}{6})^{2}}$

माना $x+\frac{13}{6}=t$. तब $d x=d t$।

इसलिए, $\int \frac{d x}{3 x^{2}+13 x-10}=\frac{1}{3} \int \frac{d t}{t^{2}-(\frac{17}{6})^{2}}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{3 \times 2 \times \frac{17}{6}} \log |\frac{t-\frac{17}{6}}{t+\frac{17}{6}}|+C_1 \quad \text{ [by } 7.4 \text{ (i)}] \\ & =\frac{1}{17} \log |\frac{x+\frac{13}{6}-\frac{17}{6}}{x+\frac{13}{6}+\frac{17}{6}}|+C_1 \\ & =\frac{1}{17} \log |\frac{6 x-4}{6 x+30}|+C_1 \\ & =\frac{1}{17} \log |\frac{3 x-2}{x+5}|+C_1+\frac{1}{17} \log \frac{1}{3} \\ & =\frac{1}{17} \log |\frac{3 x-2}{x+5}|+C, \text{ where } C=C_1+\frac{1}{17} \log \frac{1}{3} \end{aligned} $$

(iii) हमारे पास $\int \frac{d x}{\sqrt{5 x^{2}-2 x}}=\int \frac{d x}{\sqrt{5(x^{2}-\frac{2 x}{5})}}$

$ =\frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{d x}{\sqrt{(x-\frac{1}{5})^{2}-(\frac{1}{5})^{2}}} \text{ (वर्ग पूरा करने पर) } $

माना $x-\frac{1}{5}=t$. तब $d x=d t$।

इसलिए, $\int \frac{d x}{\sqrt{5 x^{2}-2 x}}=\frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{d t}{\sqrt{t^{2}-\left(\frac{1}{5}\right)^{2}}}$ $$ \begin{align*} & =\frac{1}{\sqrt{5}} \log \left|t+\sqrt{t^{2}-\left(\frac{1}{5}\right)^{2}}\right|+\mathrm{C} \tag{4}\ & =\frac{1}{\sqrt{5}} \log \left|x-\frac{1}{5}+\sqrt{x^{2}-\frac{2 x}{5}}\right|+\mathrm{C} \end{align*} $$

उदाहरण 10 निम्नलिखित समाकलन ज्ञात कीजिए:

(i) $\int \frac{x+2}{2 x^{2}+6 x+5} d x$

(ii) $\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x$

हल

(i) सूत्र 7.4 (9) का प्रयोग करते हुए, हम व्यक्त करते हैं

$ x+2=A \frac{d}{d x}(2 x^{2}+6 x+5)+B=A(4 x+6)+B $

दोनों पक्षों से $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$4 A=1$ और $6 A+B=2$ या $A=\frac{1}{4}$ और $B=\frac{1}{2}$।

इसलिए, $\quad \int \frac{x+2}{2 x^{2}+6 x+5}=\frac{1}{4} \int \frac{4 x+6}{2 x^{2}+6 x+5} d x+\frac{1}{2} \int \frac{d x}{2 x^{2}+6 x+5}$

$$ =\frac{1}{4} I_1+\frac{1}{2} I_2 \quad \text{ (मान लीजिए) } $$

$I_1$ में, $2 x^{2}+6 x+5=t$ रखिए, ताकि $(4 x+6) d x=d t$

$ \begin{aligned} \text{ इसलिए, } \qquad I_1 & =\int \frac{d t}{t}=\log |t|+C_1 \\ & =\log |2 x^{2}+6 x+5|+C_1 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{ और } \qquad I_2 & =\int \frac{d x}{2 x^{2}+6 x+5}=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x^{2}+3 x+\frac{5}{2}} \\ & =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{(x+\frac{3}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}} \end{aligned} $

$x+\frac{3}{2}=t$ रखिए, ताकि $d x=d t$, हम पाते हैं

$ \begin{aligned} I_2 & =\frac{1}{2} \int \frac{d t}{t^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{2 \times \frac{1}{2}} \tan ^{-1} 2 t+C_2 \\ & =\tan ^{-1} 2(x+\frac{3}{2})+C_2=\tan ^{-1}(2 x+3)+C_2 \end{aligned} $

(2) और (3) को (1) में प्रयोग करने पर, हम पाते हैं

$ \int \frac{x+2}{2 x^{2}+6 x+5} d x=\frac{1}{4} \log |2 x^{2}+6 x+5|+\frac{1}{2} \tan ^{-1}(2 x+3)+C $

जहाँ, $$ C=\frac{C_1}{4}+\frac{C_2}{2} $$

(ii) यह समाकल 7.4 (10) में दिए गए रूप का है। आइए व्यक्त करें

$x+3=A \frac{d}{d x}(5-4 x-x^{2})+B=A(-4-2 x)+B$

दोनों पक्षों से $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर, हम पाते हैं

$-2 A=1$ और $-4 A+B=3$, अर्थात् $A=-\frac{1}{2}$ और $B=1$

इसलिए, $\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x=-\frac{1}{2} \int \frac{(-4-2 x) d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}}+\int \frac{d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} \tag{1}$ $ =-\frac{1}{2} I_1+I_2 $

$I_1$ में, मान लीजिए $5-4 x-x^{2}=t$, ताकि $(-4-2 x) d x=d t$.

$ \text{ इसलिए, } \qquad\mathrm{I} _{1}=\int \frac{(-4-2 x) d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}}=\int \frac{d t}{\sqrt{t}}=2 \sqrt{t}+\mathrm{C} _{1}$ $$ \begin{equation*} =2 \sqrt{5-4 x-x^{2}}+\mathrm{C} _{1} \tag{2} \end{equation*} $$

अब विचार कीजिए $ I_2=\int \frac{d x}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}}=\int \frac{d x}{\sqrt{9-(x+2)^{2}}} $

मान लीजिए $x+2=t$, ताकि $d x=d t$।

इसलिए, $ \begin{aligned} I_2 & =\int \frac{d t}{\sqrt{3^{2}-t^{2}}}=\sin ^{-1} \frac{t}{3}+C_2 \\ & =\sin ^{-1} \frac{x+2}{3}+C_2 \end{aligned} $

(2) और (3) को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}}=-\sqrt{5-4 x-x^{2}}+\sin ^{-1} \frac{x+2}{3}+C \text{, जहां } C=C_2-\frac{C_1}{2} $

7.5 आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन

याद कीजिए कि एक परिमेय फलन को दो बहुपदों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका रूप $\frac{P(x)}{Q(x)}$ होता है, जहाँ $P(x)$ और $Q(x)$, $x$ के बहुपद हैं और $Q(x) \neq 0$। यदि $P(x)$ की घात, $Q(x)$ की घात से कम है, तो परिमेय फलन को उचित कहा जाता है, अन्यथा इसे अनुचित कहा जाता है। अनुचित परिमेय फलनों को लंबी विभाजन प्रक्रिया द्वारा उचित परिमेय फलनों में रूपांतरित किया जा सकता है। इस प्रकार, यदि $\frac{P(x)}{Q(x)}$ अनुचित है, तो $\frac{P(x)}{Q(x)}=T(x)+\frac{P_1(x)}{Q(x)}$, जहाँ $T(x)$, $x$ का एक बहुपद है और $\frac{P_1(x)}{Q(x)}$ एक उचित परिमेय फलन है। जैसा कि हम जानते हैं कि बहुपदों का समाकलन कैसे किया जाता है, किसी भी परिमेय फलन का समाकलन एक उचित परिमेय फलन के समाकलन में रूपांतरित हो जाता है। वे परिमेय फलन जिन पर हम यहाँ समाकलन के उद्देश्य से विचार करेंगे, वे ऐसे होंगे जिनके हर रैखिक और द्विघात गुणनखंडों में गुणनखंडित किए जा सकते हैं। मान लीजिए कि हमें $\int \frac{P(x)}{Q(x)} d x$ का मूल्यांकन करना है, जहाँ $\frac{P(x)}{Q(x)}$ एक उचित परिमेय फलन है। यह सदैव संभव है कि समाकल्य को सरल परिमेय फलनों के योग के रूप में लिखा जाए, जिस विधि को आंशिक भिन्न वियोजन कहा जाता है। इसके पश्चात, समाकलन को पहले से ज्ञात विधियों का उपयोग करके आसानी से किया जा सकता है। निम्नलिखित तालिका 7.2 विभिन्न प्रकार के परिमेय फलनों के साथ संबद्ध किए जाने वाले सरल आंशिक भिन्नों के प्रकारों को दर्शाती है।

तालिका 7.2

उपरोक्त सारणी में, A, B और C वास्तविक संख्याएँ हैं जिन्हें उपयुक्त रूप से निर्धारित किया जाना है।

उदाहरण 11 ज्ञात कीजिए $\int \frac{d x}{(x+1)(x+2)}$

हल समाकल्य एक उचित परिमेय फलन है। अतः आंशिक भिन्न के रूप का प्रयोग करते हुए [सारणी 7.2 (i)], हम लिखते हैं

$$ \frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2} $$

जहाँ, वास्तविक संख्याएँ $A$ और $B$ उपयुक्त रूप से निर्धारित की जानी हैं। इससे प्राप्त होता है

$$ 1=A(x+2)+B(x+1) . $$

$x$ के गुणांकों और अचर पद की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{matrix} A+B=0 \\ \text{ तथा } \qquad 2 A+B=1 \end{matrix} $$

इन समीकरणों को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है $A=1$ और $B=-1$।

इस प्रकार, समाकल्य निम्नलिखित रूप में दिया गया है

$$ \begin{aligned} \frac{1}{(x+1)(x+2)} & =\frac{1}{x+1}+\frac{-1}{x+2} \\ \int \frac{d x}{(x+1)(x+2)} & =\int \frac{d x}{x+1}-\int \frac{d x}{x+2} \\ & \text{ अतः, } \qquad =\log |x+1|-\log |x+2|+C \\ & =\log |\frac{x+1}{x+2}|+C \end{aligned} $$

टिप्पणी उपरोक्त समीकरण (1) एक सर्वसमिका है, अर्थात् यह सभी (अनुमोदित) मानों के लिए सत्य है। कुछ लेखक सर्वसमिका को इंगित करने के लिए प्रतीक ’ $\equiv$ ’ का प्रयोग करते हैं और समीकरण को इंगित करने के लिए प्रतीक ’ $=$ ’ का प्रयोग करते हैं, अर्थात् यह दर्शाने के लिए कि कथन केवल कुछ मानों के लिए सत्य है।

उदाहरण 12 ज्ञात कीजिए $\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6} d x$

हल यहाँ समाकल्य $\frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6}$ एक उचित परिमेय फलन नहीं है, इसलिए हम $x^{2}+1$ को $x^{2}-5 x+6$ से विभाजित करते हैं और पाते हैं कि

$$ \begin{aligned} \text{ मान लीजिए } \qquad \frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6} & =1+\frac{5 x-5}{x^{2}-5 x+6}=1+\frac{5 x-5}{(x-2)(x-3)}\\ \text{ ताकि }\frac{5 x-5}{(x-2)(x-3)} & =\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3} \end{aligned} $$

ताकि $ 5 x-5=A(x-3)+B(x-2) $

दोनों पक्षों पर (x) के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर, हमें (A+B=5) और (3 A+2 B=5) प्राप्त होता है। इन समीकरणों को हल करने पर, हमें (A=-5) और (B=10) मिलता है

इस प्रकार, $ \frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6}=1-\frac{5}{x-2}+\frac{10}{x-3} $

अतः, $ \begin{aligned} \int \frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6} d x & =\int d x-5 \int \frac{1}{x-2} d x+10 \int \frac{d x}{x-3} \\ & =x-5 \log |x-2|+10 \log |x-3|+C \end{aligned} $

उदाहरण 13 (\int \frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)} d x) ज्ञात कीजिए

हल समाकल्य तालिका 7.2 (4) में दिए गए प्रकार का है। हम लिखते हैं

$$ \frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{x+3} \text{लिखता है} $$

$ \text{ ताकि } \begin{aligned} 3 x-2 & =A(x+1)(x+3)+B(x+3)+C(x+1)^{2} \end{aligned} $ $$ =\mathrm{A}\left(x^{2}+4 x+3\right)+\mathrm{B}(x+3)+\mathrm{C}\left(x^{2}+2 x+1\right) $$

दोनों पक्षों पर (x^{2}), (x) और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें (A+C=0), (4 A+B+2 C=3) और (3 A+3 B+C=-2) प्राप्त होता है। इन समीकरणों को हल करने पर, हमें (A=\frac{11}{4}), (B=\frac{-5}{2}) और (C=\frac{-11}{4}) मिलता है। इस प्रकार समाकल्य निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$$ \frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)}=\frac{11}{4(x+1)}-\frac{5}{2(x+1)^{2}}-\frac{11}{4(x+3)} $$

इसलिए, $$ \begin{aligned} \int \frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)} & =\frac{11}{4} \int \frac{d x}{x+1}-\frac{5}{2} \int \frac{d x}{(x+1)^{2}}-\frac{11}{4} \int \frac{d x}{x+3} \ & =\frac{11}{4} \log |x+1|+\frac{5}{2(x+1)}-\frac{11}{4} \log |x+3|+\mathrm{C} \ & =\frac{11}{4} \log \left|\frac{x+1}{x+3}\right|+\frac{5}{2(x+1)}+\mathrm{C} \end{aligned} $$

उदाहरण 14 ज्ञात कीजिए $\int \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} d x$

हल $\frac{x^{2}}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}$ को लीजिए और $x^{2}=y$ रखिए।

तब $$ \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}=\frac{y}{(y+1)(y+4)} $$ $$ \frac{y}{(y+1)(y+4)}=\frac{A}{y+1}+\frac{B}{y+4} $$

ताकि $$ y=A(y+4)+B(y+1) $$

दोनों पक्षों से y के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर, हमें $A+B=1$ और $4 A+B=0$ प्राप्त होते हैं, जो देते हैं

$$ A=-\frac{1}{3} \quad \text{ और } \quad B=\frac{4}{3} $$

इस प्रकार, $$ \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}=-\frac{1}{3(x^{2}+1)}+\frac{4}{3(x^{2}+4)} $$

इसलिए, $$ \begin{aligned} \int \frac{x^{2} d x}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} & =-\frac{1}{3} \int \frac{d x}{x^{2}+1}+\frac{4}{3} \int \frac{d x}{x^{2}+4} \ & =-\frac{1}{3} \tan ^{-1} x+\frac{4}{3} \times \frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{x}{2}+C \ & =-\frac{1}{3} \tan ^{-1} x+\frac{2}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{2}+C \end{aligned} $$

उपरोक्त उदाहरण में, प्रतिस्थापन केवल आंशिक भिन्न भाग के लिए किया गया था और समाकलन भाग के लिए नहीं। अब, हम एक उदाहरण पर विचार करते हैं, जहां समाकलन में प्रतिस्थापन विधि और आंशिक भिन्न विधि का संयोजन शामिल है।

उदाहरण 15 $\int \frac{(3 \sin \phi-2) \cos \phi}{5-\cos ^{2} \phi-4 \sin \phi} d \phi$ ज्ञात कीजिए।

हल माना $y=\sin \phi$

तब $$ d y=\cos \phi d \phi $$

इसलिए, $\int \frac{(3 \sin \phi-2) \cos \phi}{5-\cos ^{2} \phi-4 \sin \phi} d \phi=\int \frac{(3 y-2) d y}{5-(1-y^{2})-4 y}$

$$ \begin{aligned} & =\int \frac{3 y-2}{y^{2}-4 y+4} d y \\ & =\int \frac{3 y-2}{(y-2)^{2}}=I \text{ (मान लीजिए) } \end{aligned} $$

अब, हम लिखते हैं $$ \frac{3 y-2}{(y-2)^{2}}=\frac{A}{y-2}+\frac{B}{(y-2)^{2}} $$

इसलिए, $$ 3 y-2=A(y-2)+B $$

$y$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है $A=3$ और $B-2 A=-2$, जो देता है $A=3$ और $B=4$।

इसलिए, अभीष्ट समाकलन दिया गया है $$ \begin{aligned} I & =\int[\frac{3}{y-2}+\frac{4}{(y-2)^{2}}] d y=3 \int \frac{d y}{y-2}+4 \int \frac{d y}{(y-2)^{2}} \\ & =3 \log |y-2|+4(-\frac{1}{y-2})+C \\ & =3 \log |\sin \phi-2|+\frac{4}{2-\sin \phi}+C \\ & =3 \log (2-\sin \phi)+\frac{4}{2-\sin \phi}+C \text{ चूंकि, } 2-\sin \phi \text{ सदैव धनात्मक है } \end{aligned} $$

उदाहरण 16 $\int \frac{x^{2}+x+1 d x}{(x+2)(x^{2}+1)}$ ज्ञात कीजिए।

हल समाकल्य एक उचित परिमेय फलन है। परिमेय फलन को आंशिक भिन्नों में विघटित कीजिए [Table 2.2(5)]। लिखिए

$$ \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)(x+2)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B x+C}{(x^{2}+1)} $$

इसलिए, $$ x^{2}+x+1=A(x^{2}+1)+(B x+C)(x+2) $$

दोनों पक्षों के $x^{2}, x$ और अचर पदों के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है $A+B=1,2 B+C=1$ और $A+2 C=1$। इन समीकरणों को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है $A=\frac{3}{5}, B=\frac{2}{5}$ और $C=\frac{1}{5}$

इस प्रकार, समाकल्य है $ \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)(x+2)}=\frac{3}{5(x+2)}+\frac{\frac{2}{5} x+\frac{1}{5}}{x^{2}+1}=\frac{3}{5(x+2)}+\frac{1}{5}(\frac{2 x+1}{x^{2}+1}) $

इसलिए, $\int \frac{x^{2}+x+1}{(x^{2}+1)(x+2)} d x=\frac{3}{5} \int \frac{d x}{x+2}+\frac{1}{5} \int \frac{2 x}{x^{2}+1} d x+\frac{1}{5} \int \frac{1}{x^{2}+1} d x$

$$ =\frac{3}{5} \log |x+2|+\frac{1}{5} \log |x^{2}+1|+\frac{1}{5} \tan ^{-1} x+C $$

7.6 समाकलन कला भाग

इस खंड में, हम समाकलन की एक और विधि का वर्णन करते हैं, जो फलनों के गुणनफल को समाकलित करने में काफी उपयोगी पाई जाती है।

यदि $u$ और $v$ किसी एक चर $x$ के दो अवकलनीय फलन हैं (मान लीजिए)। तब, अवकलन के गुणनफल नियम से, हमारे पास है

दोनों पक्षों को समाकलित करने पर, हमें प्राप्त होता है $$ \frac{d}{d x}(u v)=u \frac{d v}{d x}+v \frac{d u}{d x} $$

$$ u v=\int u \frac{d v}{d x} d x+\int v \frac{d u}{d x} d x $$

या $$ \int u \frac{d v}{d x} d x=u v-\int v \frac{d u}{d x} d x \tag{1} $$

मान लीजिए $$ \begin{aligned} u & =f(x) \text{ और } \frac{d v}{d x}=g(x) . \text{ तब } \ \frac{d u}{d x} & =f^{\prime}(x) \text{ और } v=\int g(x) d x \end{aligned} $$

इसलिए, व्यंजक (1) को पुनः लिखा जा सकता है

$$ \int f(x) g(x) d x=f(x) \int g(x) d x-\int\left[\int g(x) d x f^{\prime}(x)\right] d x $$

अर्थात् $$ \int f(x) g(x) d x=f(x) \int g(x) d x-\int\left[f^{\prime}(x) \int g(x) d x\right] d x $$

यदि हम f को पहला फलन और g को दूसरा फलन लें, तो यह सूत्र इस प्रकार कहा जा सकता है:

“दो फलनों के गुणनफल का समाकलन = (पहला फलन) × (दूसरे फलन का समाकलन) - [(पहले फलन का अवकल गुणांक) × (दूसरे फलन का समाकलन)] का समाकलन”

उदाहरण 17 $\int x \cos x d x$ ज्ञात कीजिए

हल मान लीजिए $f(x)=x$ (पहला फलन) और $g(x)=\cos x$ (दूसरा फलन)।

तब, खंडशः समाकलन से

$ \begin{aligned} \int x \cos x d x & =x \int \cos x d x-\int[\frac{d}{d x}(x) \int \cos x d x] d x \ & =x \sin x-\int \sin x d x=x \sin x+\cos x+C \end{aligned} $

मान लीजिए, हम $ f(x)=\cos x \text{ और } g(x)=x . \text{ लेते हैं तो } $

$ \begin{aligned} \int x \cos x d x & =\cos x \int x d x-\int[\frac{d}{d x}(\cos x) \int x d x] d x \ & =(\cos x) \frac{x^{2}}{2}+\int \sin x \frac{x^{2}}{2} d x \end{aligned} $

इस प्रकार, यह दर्शाता है कि समाकलन $\int x \cos x d x$ अपेक्षाकृत अधिक जटिल समाकलन में परिवर्तित हो जाता है जिसमें x की अधिक घात होती है। इसलिए, पहले फलन और दूसरे फलन की उचित पसंद महत्वपूर्ण है।

टिप्पणियाँ

(i) यह उल्लेखनीय है कि खंडशः समाकलन विधि सभी स्थितियों में फलनों के गुणनफल पर लागू नहीं होती। उदाहरणस्वरूप, यह विधि $\int \sqrt{x} \sin x d x$ के लिए कार्य नहीं करती। कारण यह है कि ऐसा कोई फलन अस्तित्व में नहीं है जिसका अवकल $\sqrt{x} \sin x$ हो।

(ii) ध्यान दें कि द्वितीय फलन का समाकलन ज्ञात करते समय हमने कोई समाकलन नियतांक नहीं जोड़ा। यदि हम द्वितीय फलन $\cos x$ का समाकलन $\sin x+k$ लिखें, जहाँ $k$ कोई नियतांक है, तब

$ \begin{aligned} \int x \cos x d x & =x(\sin x+k)-\int(\sin x+k) d x \ & =x(\sin x+k)-\int \sin x d x-\int k d x \ & =x(\sin x+k)-\cos x-k x+C=x \sin x+\cos x+C \end{aligned} $

यह दर्शाता है कि द्वितीय फलन के समाकलन में नियतांक जोड़ना अनावश्यक है जहाँ तक अंतिम परिणाम का संबंध है, जब हम खंडशः समाकलन विधि लागू करते हैं।

(iii) सामान्यतः, यदि कोई फलन $x$ की घात या $x$ में बहुपद हो, तो हम उसे प्रथम फलन लेते हैं। यद्यपि, उन स्थितियों में जहाँ अन्य फलन प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन या लघुगणकीय फलन हो, तब हम उन्हें प्रथम फलन लेते हैं।

उदाहरण 18 $\int \log x d x$ ज्ञात कीजिए

हल प्रारंभ में, हम उस फलन का अनुमान नहीं लगा पा रहे हैं जिसका अवकल $\log x$ है। हम $\log x$ को प्रथम फलन लेते हैं और नियत फलन 1 को द्वितीय फलन। तब द्वितीय फलन का समाकलन $x$ है।

इसलिए, $ \begin{aligned} \int(\log x .1) d x & =\log x \int 1 d x-\int[\frac{d}{d x}(\log x) \int 1 d x] d x \ & =(\log x) \cdot x-\int \frac{1}{x} x d x=x \log x-x+C . \end{aligned} $

उदाहरण 19 $\int x e^{x} d x$ ज्ञात कीजिए।

हल पहला फलन $x$ और दूसरा फलन $e^{x}$ लीजिए। दूसरे फलन का समाकलन $e^{x}$ है।

इसलिए, $\qquad \int x e^{x} d x=x e^{x}-\int 1 \cdot e^{x} d x=x e^{x}-e^{x}+C .$

उदाहरण 20 $\int \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$ ज्ञात कीजिए।

हल माना पहला फलन $\sin ^{-1} x$ और दूसरा फलन $\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ है।

पहले हम दूसरे फलन का समाकलन खोजते हैं, अर्थात् $\int \frac{x d x}{\sqrt{1-x^{2}}}$।

माना $t=1-x^{2}$। तब $d t=-2 x d x$

इसलिए,$\quad \int \frac{x d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\frac{1}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{t}}=-\sqrt{t}=-\sqrt{1-x^{2}}$

$ \begin{aligned} \int \frac{x d x}{\sqrt{1-x^{2}}} & =-\frac{1}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{t}}=-\sqrt{t}=-\sqrt{1-x^{2}} \ \int \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x & =(\sin ^{-1} x)(-\sqrt{1-x^{2}})-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}(-\sqrt{1-x^{2}}) d x \ & =-\sqrt{1-x^{2}} \sin ^{-1} x+x+C=x-\sqrt{1-x^{2}} \sin ^{-1} x+C \end{aligned} $

वैकल्पिक रूप से, यह समाकलन प्रतिस्थापन $\sin ^{-1} x=\theta$ करके और फिर खंडशः समाकलन करके भी निकाला जा सकता है।

उदाहरण 21 $\int e^{x} \sin x d x$ ज्ञात कीजिए।

हल पहला फलन $e^{x}$ और दूसरा फलन $\sin x$ लीजिए। तब खंडशः समाकलन करने पर, हम पाते हैं

$ \begin{aligned} I=\int e^{x} \sin x d x & =e^{x}(-\cos x)+\int e^{x} \cos x d x \\ & =-e^{x} \cos x+I_1 \text{ (मान लीजिए) } \end{aligned} $

$I_1$ में क्रमशः पहला और दूसरा फलन $e^{x}$ और $\cos x$ लेने पर हम पाते हैं

$$ I_1=e^{x} \sin x-\int e^{x} \sin x d x $$

(1) में $I_1$ का मान रखने पर हम पाते हैं

$ I=-e^{x} \cos x+e^{x} \sin x-I \text{ या } 2 I=e^{x}(\sin x-\cos x) $

अतः,$I=\int e^{x} \sin x d x=\frac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+C$

वैकल्पिक रूप से, उपरोक्त समाकल को $\sin x$ को पहला फलन और $e^{x}$ को दूसरा फलन मानकर भी निर्धारित किया जा सकता है।

7.6.1 $\int e^{x}[f(x)+f^{\prime}(x)] d x$ प्रकार का समाकल

हमारे पास है

$ \begin{aligned} I & =\int e^{x}[f(x)+f^{\prime}(x)] d x=\int e^{x} f(x) d x+\int e^{x} f^{\prime}(x) d x \\ & =I_1+\int e^{x} f^{\prime}(x) d x, \text{ जहाँ } I_1=\int e^{x} f(x) d x \end{aligned} $

$I_1$ में क्रमशः पहला और दूसरा फलन $f(x)$ और $e^{x}$ लेकर खंडशः समाकलन करने पर हम पाते हैं $I_1=f(x) e^{x}-\int f^{\prime}(x) e^{x} d x+C$ $I_1$ को (1) में रखने पर हम पाते हैं

$ I=e^{x} f(x)-\int f^{\prime}(x) e^{x} d x+\int e^{x} f^{\prime}(x) d x+C=e^{x} f(x)+C $

इस प्रकार, $ \int e^{x}[f(x)+f^{\prime}(x)] d x=e^{x} f(x)+\mathbf{C} $

उदाहरण 22 ज्ञात कीजिए (i) $\int e^{x}(\tan ^{-1} x+\frac{1}{1+x^{2}}) d x$ (ii) $\int \frac{(x^{2}+1) e^{x}}{(x+1)^{2}} d x$

हल

(i) हमारे पास है $I=\int e^{x}(\tan ^{-1} x+\frac{1}{1+x^{2}}) d x$

माना $f(x)=\tan ^{-1} x$, तब $f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$

इस प्रकार, दिया गया समाकल्य $e^{x}[f(x)+f^{\prime}(x)]$ के रूप का है।

अतः, $I=\int e^{x}(\tan ^{-1} x+\frac{1}{1+x^{2}}) d x=e^{x} \tan ^{-1} x+C$

(ii) हमारे पास $I=\int \frac{(x^{2}+1) e^{x}}{(x+1)^{2}} d x=\int e^{x}[\frac{.x^{2}-1+1+1)}{(x+1)^{2}}] d x$

$ =\int e^{x}[\frac{x^{2}-1}{(x+1)^{2}}+\frac{2}{(x+1)^{2}}] d x=\int e^{x}[\frac{x-1}{x+1}+\frac{2}{(x+1)^{2}}] d x $

माना $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$, तब $f^{\prime}(x)=\frac{2}{(x+1)^{2}}$

इस प्रकार, दिया गया समाकल्य $e^{x}[f(x)+f^{\prime}(x)]$ के रूप का है।

अतः, $\quad \int \frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}} e^{x} d x=\frac{x-1}{x+1} e^{x}+C$

7.6.2 कुछ और प्रकारों के समाकल

यहाँ, हम समाकलन क्रमशः की तकनीक पर आधारित कुछ विशेष प्रकारों के मानक समाकलों पर चर्चा करते हैं:

(i) $\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} d x$

(ii) $\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} d x$

(iii) $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$

(i) माना $I=\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} d x$

अचर फलन 1 को द्वितीय फलन लेकर और क्रमशः समाकलन करते हुए, हमारे पास

$ \begin{aligned} I & =x \sqrt{x^{2}-a^{2}}-\int \frac{1}{2} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} x d x \\ & =x \sqrt{x^{2}-a^{2}}-\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} d x=x \sqrt{x^{2}-a^{2}}-\int \frac{x^{2}-a^{2}+a^{2}}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} d x \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =x \sqrt{x^{2}-a^{2}}-\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} d x-a^{2} \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} \\ & =x \sqrt{x^{2}-a^{2}}-I-a^{2} \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} \end{aligned} $

या $ 2 I=x \sqrt{x^{2}-a^{2}}-a^{2} \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} $

$\text{ या } I=\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} d x=\frac{x}{2} \sqrt{x^{2}-a^{2}}-\frac{a^{2}}{2} \log |x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+C $

इसी प्रकार, अन्य दो समाकलों को खंडशः समाकल करते हुए, दूसरे फलन के रूप में अचर फलन 1 लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

(ii) $\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{2} x \sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \log |x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|+C$

(iii) $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{1}{2} x \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}+C$

वैकल्पिक रूप से, समाकल (i), (ii) और (iii) को त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन करके भी ज्ञात किया जा सकता है: (i) में $x=a \sec \theta$, (ii) में $x=a \tan \theta$ और (iii) में क्रमशः $x=a \sin \theta$.

उदाहरण 23 $\int \sqrt{x^{2}+2 x+5} d x$ ज्ञात कीजिए।

हल ध्यान दीजिए कि $ \int \sqrt{x^{2}+2 x+5} d x=\int \sqrt{(x+1)^{2}+4} d x $

माना $x+1=y$, ताकि $d x=d y$. तब

$ \begin{aligned} \int \sqrt{x^{2}+2 x+5} d x & =\int \sqrt{y^{2}+2^{2}} d y \\ & =\frac{1}{2} y \sqrt{y^{2}+4}+\frac{4}{2} \log |y+\sqrt{y^{2}+4}|+C \quad \text{ [7.6.2 (ii) का प्रयोग कर] } \\ & =\frac{1}{2}(x+1) \sqrt{x^{2}+2 x+5}+2 \log |x+1+\sqrt{x^{2}+2 x+5}|+C \end{aligned} $

उदाहरण 24 $\int \sqrt{3-2 x-x^{2}} d x$ ज्ञात कीजिए।

हल ध्यान दें कि $\int \sqrt{3-2 x-x^{2}} d x=\int \sqrt{4-(x+1)^{2}} d x$

माना $x+1=y$ ताकि $d x=d y$।

$\text{ इस प्रकार } \qquad \begin{aligned} \int \sqrt{3-2 x-x^{2}} d x & =\int \sqrt{4-y^{2}} d y \\ & =\frac{1}{2} y \sqrt{4-y^{2}}+\frac{4}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{2}+C \quad \quad \text{ [7 का प्रयोग } \\ & =\frac{1}{2}(x+1) \sqrt{3-2 x-x^{2}}+2 \sin ^{-1}(\frac{x+1}{2})+C \end{aligned} $

7.7 निश्चित समाकल

पिछले खंडों में, हमने अनिश्चित समाकलों का अध्ययन किया है और उन्हें ज्ञात करने की कुछ विधियों की चर्चा की है, जिनमें कुछ विशेष फलनों के समाकल शामिल हैं। इस खंड में, हम फलन के निश्चित समाकल का अध्ययन करेंगे। निश्चित समाकल का एक अद्वितीय मान होता है। निश्चित समाकल को $\int_a^{b} f(x) d x$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ $a$ को समाकल की निचली सीमा कहा जाता है और $b$ को समाकल की ऊपरी सीमा कहा जाता है। निश्चित समाकल को या तो योग की सीमा के रूप में प्रस्तुत किया जाता है या यदि इसका प्रतिअवकलज $F$ अंतराल $[a, b]$ में है, तो इसका मान अंत बिंदुओं पर $F$ के मानों का अंतर होता है, अर्थात् $F(b)-F(a)$।

7.8 कलन का मौलिक प्रमेय

7.8.1 क्षेत्रफल फलन

हमने $\int_a^{b} f(x) d x$ को वक्र $y=f(x)$, रेखाओं $x=a$ और $x=b$ तथा $x$-अक्ष से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया है। मान लीजिए $x$ दिया गया बिंदु $[a, b]$ में है। तब $\int_a^{x} f(x) d x$ आकृति 7.1 में हल्के छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है [यहाँ यह मान लिया गया है कि $x \in[a, b]$ के लिए $f(x)>0$ है, नीचे दिया गया कथन अन्य फलनों के लिए भी समान रूप से सत्य है]। इस छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $x$ के मान पर निर्भर करता है।

दूसरे शब्दों में, इस छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $x$ का एक फलन है। हम इस $x$ के फलन को $A(x)$ द्वारा दर्शाते हैं। हम इस फलन $A(x)$ को क्षेत्रफल फलन कहते हैं और यह इस प्रकार दिया गया है

$$ A(x)=\int_a^{x} f(x) d x \tag{1} $$

इस परिभाषा के आधार पर, दो मूलभूत प्रमेयाएँ दी गई हैं। हालांकि, हम केवल उन्हें कथनित करते हैं क्योंकि उनके प्रमाण इस पाठ्यपुस्तक की सीमा से परे हैं।

7.8.2 समाकलन कलन की प्रथम मूलभूत प्रमेय

प्रमेय 1 मान लीजिए $f$ बंद अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत फलन है और मान लीजिए $A(x)$ क्षेत्रफल फलन है। तब $A^{\prime}(x)=f(x)$, सभी $x \in[a, b]$ के लिए।

7.8.3 समाकलन कलन की द्वितीय मूलभूत प्रमेय

हम नीचे एक महत्वपूर्ण प्रमेय कथनित करते हैं जो हमें प्रतिअवकलज का उपयोग करके निश्चित समाकलनों का मूल्यांकन करने में सक्षम बनाती है।

प्रमेय 2 मान लीजिए $f$ एक संतत फलन है जो बंद अंतराल $[a, b]$ पर परिभाषित है और $F$, $f$ का एक प्रतिअवकलज है। तब $\int_a^{b} f(x) d x=[\mathbf{F}(\boldsymbol{{}x})]_a^{b}=\mathbf{F}(\boldsymbol{{}b})-\mathbf{F}(\boldsymbol{{}a})$।

टिप्पणियाँ

(i) शब्दों में, प्रमेय 2 हमें बताता है कि $\int_a^{b} f(x) d x=$ (प्रतिअवकलज $F$ का ऊपरी सीमा $b$ पर मान $-$ उसी प्रतिअवकलज का निचली सीमा $a$ पर मान)।

(ii) यह प्रमेय बहुत उपयोगी है, क्योंकि यह हमें निश्चित समाकलन को अधिक आसानी से गणना करने की एक विधि देता है, योग की सीमा की गणना किए बिना।

(iii) निश्चित समाकलन के मूल्यांकन में निर्णायक संक्रिया यह है कि एक ऐसा फलन खोजा जाए जिसका अवकलज समाकल्य के बराबर हो। यह अवकलन और समाकलन के बीच संबंध को मजबूत करता है।

(iv) $\int_a^{b} f(x) d x$ में, फलन $f$ को $[a, b]$ में अच्छी तरह से परिभाषित और संतत होना चाहिए। उदाहरण के लिए, निश्चित समाकलन $\int _{-2}^{3} x(x^{2}-1)^{\frac{1}{2}} d x$ पर विचार गलत है क्योंकि फलन $f$ जो $f(x)=x(x^{2}-1)^{\frac{1}{2}}$ द्वारा व्यक्त किया गया है, बंद अंतराल $[-2,3]$ के $-1<x<1$ भाग में परिभाषित नहीं है। $\int_a^{b} f(x) d x$ की गणना करने के चरण।

(i) अनिश्चित समाकलन $\int f(x) d x$ खोजें। मान लीजिए यह $F(x)$ है। समाकलन नियतांक $C$ को रखने की कोई आवश्यकता नहीं है क्योंकि यदि हम $F(x)$ के स्थान पर $F(x)+C$ पर विचार करें,

तो हमें प्राप्त होता है $\int_a^{b} f(x) d x=[F(x)+C]_a^{b}=[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a)$।

इस प्रकार, निश्चित समाकल के मान का मूल्यांकन करते समय मनमाना स्थिरांतर लुप्त हो जाता है।

(ii) मूल्यांकन करें $F(b)-F(a)=[F(x)]_a^{b}$, जो $\int_a^{b} f(x) d x$ का मान है। अब हम कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं

उदाहरण 25 निम्नलिखित समाकलों का मूल्यांकन करें:

(i) $\int_2^{3} x^{2} d x$

(ii) $\int_4^{9} \frac{\sqrt{x}}{(30-x^{\frac{3}{2}})^{2}} d x$

(iii) $\int_1^{2} \frac{x d x}{(x+1)(x+2)}$

(iv) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{3} 2 t \cos 2 t d t$

हल

(i) मान लीजिए $I=\int_2^{3} x^{2} d x$. चूँकि $\int x^{2} d x=\frac{x^{3}}{3}=F(x)$,

इसलिए, द्वितीय मौलिक प्रमेय से, हम पाते हैं

$$ I=F(3)-F(2)=\frac{27}{3}-\frac{8}{3}=\frac{19}{3} $$

(ii) मान लीजिए $I=\int_4^{9} \frac{\sqrt{x}}{(30-x^{\frac{3}{2}})^{2}} d x$. हम पहले समाकल्य का प्रतिअवकलज खोजते हैं।

मान लीजिए $30-x^{\frac{3}{2}}=t$. तब $-\frac{3}{2} \sqrt{x} d x=d t$ या $\sqrt{x} d x=-\frac{2}{3} d t$

इस प्रकार, $\int \frac{\sqrt{x}}{(30-x^{\frac{3}{2}})^{2}} d x=-\frac{2}{3} \int \frac{d t}{t^{2}}=\frac{2}{3}[\frac{1}{t}]=\frac{2}{3}[\frac{1}{(30-x^{\frac{3}{2}})}]=F(x)$

इसलिए, कलन की द्वितीय मौलिक प्रमेय से, हम पाते हैं

$ \begin{aligned} I & =F(9)-F(4)=\frac{2}{3}[\frac{1}{(30-x^{\frac{3}{2}})}]_4^{9} \\ & =\frac{2}{3}[\frac{1}{(30-27)}-\frac{1}{30-8}]=\frac{2}{3}[\frac{1}{3}-\frac{1}{22}]=\frac{19}{99} \end{aligned} $

(iii) मान लीजिए $I=\int_1^{2} \frac{x d x}{(x+1)(x+2)}$

आंशिक भिन्न का प्रयोग करके, हम पाते हैं $\frac{x}{(x+1)(x+2)}=\frac{-1}{x+1}+\frac{2}{x+2}$

इसलिए
$
\int \frac{x d x}{(x+1)(x+2)}=-\log |x+1|+2 \log |x+2|=F(x)
$

अतः, कलन की द्वितीय मूलभूत प्रमेय के अनुसार, हमें प्राप्त होता है

$
\begin{aligned}
I & =F(2)-F(1)=[-\log 3+2 \log 4]-[-\log 2+2 \log 3] \
& =-3 \log 3+\log 2+2 \log 4=\log (\frac{32}{27})
\end{aligned}
$

(iv) मान लीजिए $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{3} 2 t \cos 2 t d t$। विचार कीजिए $\int \sin ^{3} 2 t \cos 2 t d t$
मान लीजिए $\sin 2 t=u$ ताकि $2 \cos 2 t d t=d u$ या $\cos 2 t d t=\frac{1}{2} d u$

या $\quad \int \sin ^{3} 2 t \cos 2 t d t=\frac{1}{2} \int u^{3} d u$

$$\text{ या } \qquad
=\frac{1}{8}\left[u^{4}\right]=\frac{1}{8} \sin ^{4} 2 t=\mathrm{F}(t) \text{ मान लीजिए }
$$

अतः, समाकलन कलन की द्वितीय मूलभूत प्रमेय के अनुसार

$$
I=F(\frac{\pi}{4})-F(0)=\frac{1}{8}[\sin ^{4} \frac{\pi}{2}-\sin ^{4} 0]=\frac{1}{8}
$$

7.9 प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित समाकलनों का मूल्यांकन

पिछले खंडों में, हमने अनिश्चित समाकलन ज्ञात करने की कई विधियों पर चर्चा की है। अनिश्चित समाकलन ज्ञात करने की एक महत्वपूर्ण विधि प्रतिस्थापन की विधि है।

$\int_a^{b} f(x) d x$ का मूल्यांकन प्रतिस्थापन द्वारा करने के लिए, चरण इस प्रकार हो सकते हैं:

1. सीमाओं के बिना समाकलन को लीजिए और प्रतिस्थापन कीजिए, $y=f(x)$ या $x=g(y)$ ताकि दिए गए समाकलन को एक ज्ञात रूप में लाया जा सके।

2. नए चर के सापेक्ष नए समाकल्य का समाकलन कीजिए, समाकलन स्थिरांक का उल्लेख किए बिना।

3. नये चर के स्थान पर मूल चर को पुनः रखें और उत्तर को मूल चर के पदों में लिखें।

4. (3) में प्राप्त उत्तरों के मान दिए गए समाकलन की सीमाओं पर ज्ञात करें और ऊपरी तथा निचली सीमा पर मानों का अंतर निकालें।

नोट इस विधि को तेज करने के लिए हम इस प्रकार आगे बढ़ सकते हैं: चरण 1 और 2 करने के बाद चरण 3 की आवश्यकता नहीं है। यहाँ समाकलन को नये चर में ही रखा जाएगा और समाकलन की सीमाओं को तदनुसार बदल दिया जाएगा ताकि हम अंतिम चरण कर सकें।

आइए इसे उदाहरणों से समझाते हैं।

उदाहरण 26 $\int _{-1}^{1} 5 x^{4} \sqrt{x^{5}+1} d x$ का मान निकालें।

हल माना $t=x^{5}+1$, तब $d t=5 x^{4} d x$।

इसलिए, $$ \begin{aligned} \int 5 x^{4} \sqrt{x^{5}+1} d x & =\int \sqrt{t} d t=\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\left(x^{5}+1\right)^{\frac{3}{2}} \\ \int _{-1}^{1} 5 x^{4} \sqrt{x^{5}+1} d x & =\frac{2}{3}\left[\left(x^{5}+1\right)^{\frac{3}{2}}\right] _{-1}^{1} \\ & =\frac{2}{3}\left[\left(1^{5}+1\right)^{\frac{3}{2}}-\left((-1)^{5}+1\right)^{\frac{3}{2}}\right] \\ & =\frac{2}{3}\left[2^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right]=\frac{2}{3}(2 \sqrt{2})=\frac{4 \sqrt{2}}{3} \end{aligned} $$

वैकल्पिक रूप से, पहले हम समाकलन को रूपांतरित करते हैं और फिर नयी सीमाओं के साथ रूपांतरित समाकलन का मान निकालते हैं।

माना $ \begin{aligned} & t=x^{5}+1 . \text{ तब } d t=5 x^{4} d x . \\ & x=-1, t=0 \text{ और जब } x=1, t=2 \end{aligned} $

ध्यान दें कि, जब

इस प्रकार, जैसे-जैसे $x$ -1 से 1 तक बदलता है, $t$ 0 से 2 तक बदलता है

इसलिए $ \begin{aligned} \int _{-1}^{1} 5 x^{4} \sqrt{x^{5}+1} d x & =\int_0^{2} \sqrt{t} d t\\ &=\frac{2}{3}[t^{\frac{3}{2}}]_0^{2}=\frac{2}{3}[2^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}]=\frac{2}{3}(2 \sqrt{2)}=\frac{4 \sqrt{2}}{3}. \end{aligned} $

उदाहरण 27 मूल्यांकन कीजिए $\int_0^{1} \frac{\tan ^{-1} x}{1+x^{2}} d x$

हल मान लीजिए $t=\tan ^{-1} x$, तब $d t=\frac{1}{1+x^{2}} d x$। नई सीमाएँ हैं, जब $x=0, t=0$ और जब $x=1, t=\frac{\pi}{4}$। इस प्रकार, जैसे-जैसे $x$ 0 से 1 तक बदलता है, $t$ 0 से $\frac{\pi}{4}$ तक बदलता है।

इसलिए $\int_0^{1} \frac{\tan ^{-1} x}{1+x^{2}} d x =\int_0^{\frac{\pi}{4}} t d t[\frac{t^{2}}{2}]_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{2}[\frac{\pi^{2}}{16}-0]=\frac{\pi^{2}}{32}$

7.10 निश्चित समाकलनों के कुछ गुण

हम नीचे निश्चित समाकलनों के कुछ महत्वपूर्ण गुण सूचीबद्ध कर रहे हैं। ये निश्चित समाकलनों को आसानी से मूल्यांकित करने में उपयोगी होंगे।

$ \begin{aligned} \mathbf{P} _{0}: & \int _a^{b} f(x) dx=\int _a^{b} f(t) d t \\ \mathbf{P} _{1}: & \int _a^{b} f(x) d x=-\int _b^{a} f(x) d x . \text{ विशेष रूप से, } \int _a^{a} f(x) d x=0 \\ \mathbf{P} _{2}: & \int _a^{b} f(x) d x=\int _a^{c} f(x) d x+\int _c^{b} f(x) d x \\ \mathbf{P} _{3}: & \int _a^{b} f(x) d x=\int _a^{b} f(a+b-x) d x \\ \mathbf{P} _{4}: & \int _0^{a} f(x) d x=\int _0^{a} f(a-x) d x \\ \end{aligned} $

(ध्यान दें कि $ \mathrm{P} _{4}$ एक विशेष मामला है $\mathrm{P} _{3}$ का)

$\mathbf{P} _{5}: \quad \int _0^{2 a} f(x) d x=\int _0^{a} f(x) d x+\int _0^{a} f(2 a-x) d x$

$\mathbf{P} _{6}: \quad \int _ 0^{2 a} f(x) d x=2 \int _0^{a} f(x) d x$, यदि $f(2 a-x)=f(x)$ और 0 यदि $f(2 a-x)=-f(x)$

$\mathbf{P} _{7}: \quad$ (i) $\quad \int _{-a}^{a} f(x) d x=2 \int _0^{a} f(x) d x$, यदि $f$ एक सम फलन है, अर्थात् यदि $f(-x)=f(x)$।

(ii) $\int _{-a}^{a} f(x) d x=0$, यदि $f$ एक विषम फलन है, अर्थात् यदि $f(-x)=-f(x)$। हम इन गुणधर्मों के प्रमाण एक-एक करके देते हैं।

$\mathbf{P} _ {\mathbf{0}}$ का प्रमाण यह सीधे $x=t$ प्रतिस्थापन करके प्राप्त होता है।

$\mathbf{P} _ {\mathbf{1}}$ का प्रमाण मान लीजिए $F$, $f$ का प्रतिअवकलज है। तब, कलन की द्वितीय मौलिक प्रमेय से, हमें प्राप्त होता है $\int_ a^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]=-\int_ b^{a} f(x) d x$ यहाँ, हम देखते हैं कि, यदि $a=b$, तो $\int_ a^{a} f(x) d x=0$।

$\mathbf{P} _2$ का प्रमाण मान लीजिए $F$, $f$ का प्रतिअवकलज है। तब

$$ \begin{align*} & \int _{a}^{b} f(x) d x=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a) \tag{1}\\ & \int _{a}^{c} f(x) d x=\mathrm{F}(c)-\mathrm{F}(a) \tag{2} \end{align*} $$

और $$ \begin{equation*} \int _{c}^{b} f(x) d x=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(c) \tag{2} \end{equation*} $$

(2) और (3) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

$\int_a^{c} f(x) d x+\int_c^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)=\int_a^{b} f(x) d x$

इससे गुणधर्म $P_2$ सिद्ध होता है।

$\mathbf{P} _3$ का प्रमाण मान लीजिए $t=a+b-x$। तब $d t=-d x$। जब $x=a$, तब $t=b$ और जब $x=b$, तब $t=a$। इसलिए

$$ \int_a^{b} f(x) d x=-\int_b^{a} f(a+b-t) d t $$ $$ \begin{aligned} & =\int_a^{b} f(a+b-t) d t \quad(\text{ by } P_1) \\ & =\int_a^{b} f(a+b-x) d x \text{ by } P_0 \end{aligned} $$

$\mathbf{P} _4$ का प्रमाण मान लीजिए $t=a-x$. तब $d t=-d x$. जब $x=0$, तब $t=a$ और जब $x=a$, तब $t=0$. अब $P_3$ की तरह आगे बढ़ें। $\mathbf{P} _5$ का प्रमाण $P_2$ का प्रयोग करते हुए,

हमारे पास है $$\int_0^{2 a} f(x) d x=\int_0^{a} f(x) d x+\int_a^{2 a} f(x) d x$$.

मान लीजिए $ \begin{aligned} t & =2 a-x \text{ दायीं ओर दूसरे समाकल में। तब } \\ d t & =-d x . \text{ जब } x=a, t=a \text{ और जब } x=2 a, t=0 \text{। साथ ही } x=2 a-t . \end{aligned} $

इसलिए, दूसरा समाकल हो जाता है

$$ \begin{aligned} \int _{a}^{2 a} f(x) d x & =-\int _{a}^{0} f(2 a-t) d t \\ & =\int _{0}^{a} f(2 a-t) d t=\int _{0}^{a} f(2 a-x) d x \text { प्राप्त होता है } \end{aligned} $$

अतः $\quad \int_0^{2 a} f(x) d x=\int_0^{a} f(x) d x+\int_0^{a} f(2 a-x) d x$

$\mathbf{P} _6$ का प्रमाण $P_5$ का प्रयोग करते हुए, हमारे पास है

$$ \begin{equation*} \int _{0}^{2 a} f(x) d x=\int _{0}^{a} f(x) d x+\int _{0}^{a} f(2 a-x) d x \tag{1} \end{equation*} $$

अब, यदि $$ f(2 a-x)=f(x) \text{, तो (1) हो जाता है } $$

$$ \int_0^{2 a} f(x) d x=\int_0^{a} f(x) d x+\int_0^{a} f(x) d x=2 \int_0^{a} f(x) d x, $$

और यदि $$ f(2 a-x)=-f(x) \text{, तो (1) हो जाता है } $$

$$ \int_0^{2 a} f(x) d x=\int_0^{a} f(x) d x-\int_0^{a} f(x) d x=0 $$

$\mathbf{P} _7$ का प्रमाण $P_2$ का प्रयोग करते हुए, हमारे पास है

$$ \int _{-a}^{a} f(x) d x=\int _{-a}^{0} f(x) d x+\int_0^{a} f(x) d x \text{. तब } $$

दाहिने पक्ष के पहले समाकल में $t=-x$ रखें।

$$ \begin{aligned} d t & =-d x . \text{ जब } x=-a, t=a \text{ और जब } \\ x & =0, t=0 . \text{ साथ ही } x=-t . \end{aligned} $$

$ \begin{aligned} \int _{-a}^{a} f(x) d x & =-\int_a^{0} f(-t) d t+\int_0^{a} f(x) d x \\ & =\int_0^{a} f(-x) d x+\int_0^{a} f(x) d x \end{aligned} $

(i) अब, यदि $f$ एक सम फलन है, तो $f(-x)=f(x)$ और इसलिए (1) बन जाता है

$$ \int _{-a}^{a} f(x) d x=\int_0^{a} f(x) d x+\int_0^{a} f(x) d x=2 \int_0^{a} f(x) d x $$

(ii) यदि $f$ एक विषम फलन है, तो $f(-x)=-f(x)$ और इसलिए (1) बन जाता है

$$ \int _{-a}^{a} f(x) d x=-\int_0^{a} f(x) d x+\int_0^{a} f(x) d x=0 $$

उदाहरण 28 मूल्यांकन कीजिए $\int _{-1}^{2}|x^{3}-x| d x$

हल हम देखते हैं कि $x^{3}-x \geq 0$ है $[-1,0]$ पर और $x^{3}-x \leq 0$ है $[0,1]$ पर और यह कि $x^{3}-x \geq 0$ है $[1,2]$ पर। इसलिए $P_2$ द्वारा हम लिखते हैं

$ \begin{aligned} \int_ {-1}^{2}|x^{3}-x| d x & =\int_ {-1}^{0}(x^{3}-x) d x+\int_ 0^{1}-(x^{3}-x) d x+\int_ 1^{2}(x^{3}-x) d x \\ & =\int_ {-1}^{0}(x^{3}-x) d x+\int_ 0^{1}(x-x^{3}) d x+\int_ 1^{2}(x^{3}-x) d x \\ & =[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}]_ {-1}^{0}+[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}]_ 0^{1}+[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}]_ 1^{2} \\ & =-(\frac{1}{4}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(4-2)-(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}) \\ & =-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+2-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}+2=\frac{11}{4} \end{aligned} $

उदाहरण 29 मूल्यांकन कीजिए $\int _{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} x d x$

हल हम देखते हैं कि $\sin ^{2} x$ एक सम फलन है। इसलिए, $P_7(i)$ द्वारा, हम पाते हैं

$$ \begin{align*} \int _{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} x d x & =2 \int _{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} x d x \tag{7}\\ & =2 \int _{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(1-\cos 2 x)}{2} d x=\int _{0}^{\frac{\pi}{4}}(1-\cos 2 x) d x \\ & =\left[x-\frac{1}{2} \sin 2 x\right] _{0}^{\frac{\pi}{4}}=\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2}\right)-0=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \end{align*} $$

उदाहरण 30 मूल्यांकन कीजिए $\int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$

हल मान लीजिए $I=\int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$। तब, $P_4$ द्वारा, हम पाते हैं

$$ \begin{aligned} I & =\int_0^{\pi} \frac{(\pi-x) \sin (\pi-x) d x}{1+\cos ^{2}(\pi-x)} \\ & =\int_0^{\pi} \frac{(\pi-x) \sin x d x}{1+\cos ^{2} x}=\pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x d x}{1+\cos ^{2} x}-I \end{aligned} $$

$$\text{ या } \qquad 2 I=\pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x d x}{1+\cos ^{2} x} $$

$$\text{ या } \qquad I=\frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} \frac{\sin x d x}{1+\cos ^{2} x} $$

माना $\cos x=t$ ताकि $-\sin x d x=d t$। जब $x=0$, तब $t=1$ और जब

$x=\pi$, तब $t=-1$। इसलिए, ($P_1$ द्वारा) हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} I & =\frac{-\pi}{2} \int_1^{-1} \frac{d t}{1+t^{2}}=\frac{\pi}{2} \int _{-1}^{1} \frac{d t}{1+t^{2}} \\ & =\pi \int_0^{1} \frac{d t}{1+t^{2}}(P_7 \text{ द्वारा, चूंकि } \frac{1}{1+t^{2}} \text{ सम फलन है }) \\ & =\pi[\tan ^{-1} t]_0^{1}=\pi[\tan ^{-1} 1-\tan ^{-1} 0]=\pi[\frac{\pi}{4}-0]=\frac{\pi^{2}}{4} \end{aligned} $$

उदाहरण 31 मूल्यांकन कीजिए $\int _{-1}^{1} \sin ^{5} x \cos ^{4} x d x$

हल माना $I=\int _{-1}^{1} \sin ^{5} x \cos ^{4} x d x$। माना $f(x)=\sin ^{5} x \cos ^{4} x$। तब

$ f(-x)=\sin ^{5}(-x) \cos ^{4}(-x)=-\sin ^{5} x \cos ^{4} x=-f(x) \text{, अर्थात् } f \text{ एक विषम फलन है। } $ इसलिए, $P_7$ (ii) द्वारा, $I=0$

उदाहरण 32 मूल्यांकन कीजिए $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x$

हल माना $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x$

तब, $P_4$ द्वारा

$$ \begin{align*} I & =\int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\sin ^{4}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos ^{4}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} d x \tag{1}\\ & =\int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{4} x}{\cos ^{4} x+\sin ^{4} x} d x \tag{2} \end{align*} $$

(1) और (2) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ 2 I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} d x=[x]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2} $$

इसलिए $$ I=\frac{\pi}{4} $$

उदाहरण 33 मूल्यांकन कीजिए $\int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}}$

हल माना $I=\int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}}=\int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x} d x}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}}$

फिर, $P_3$ द्वारा

$$ \begin{align*} \mathrm{I} & =\int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}-x\right)}}{\sqrt{\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}-x\right)}+\sqrt{\sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}-x\right)}} \tag{1}\\ & =\int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x \tag{2} \end{align*} $$

(1) और (2) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं $2 I=\int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} d x=[x] _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$ . {

इसलिए $I=\frac{\pi}{12}$

उदाहरण 34 मूल्यांकन कीजिए $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x d x$

हल माना $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x d x$

फिर, $P_4$ द्वारा

$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sin (\frac{\pi}{2}-x) d x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x d x $$

I के दोनों मानों को जोड़ने पर, हम पाते हैं

$ \begin{aligned} 2 I & =\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\log \sin x+\log \cos x) d x \ & .=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\log \sin x \cos x+\log 2-\log 2) d x \text{ (log } 2 को जोड़कर और घटाकर) \ & =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sin 2 x d x-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log 2 d x \quad \text{ (क्यों?) } \end{aligned} $

पहले समाकल में $2 x=t$ रखें। तब $2 d x=d t$, जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{2}$, $t=\pi$।

$$ \begin{aligned} 2 I= & \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \log \sin t d t-\frac{\pi}{2} \log 2 \ & =\frac{2}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sin t d t-\frac{\pi}{2} \log 2 \quad[\text{ } P_6 \text{ द्वारा क्योंकि } \sin (\pi-t)=\sin t) \ & \text{ इसलिए } \qquad =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x d x-\frac{\pi}{2} \log 2 \text{ (चर को बदलकर } t \text{ से } x) \ & =I-\frac{\pi}{2} \log 2 \ & \int _0^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x d x=\frac{-\pi}{2} \log 2 . \end{aligned} $$

अतः $\int _0^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x d x=\frac{-\pi}{2} \log 2 .$

विविध उदाहरण

उदाहरण 35 $\int \cos 6 x \sqrt{1+\sin 6 x} d x$ ज्ञात कीजिए

हल $t=1+\sin 6 x$ रखें, ताकि $d t=6 \cos 6 x d x$

इसलिए $\begin{aligned}\int \cos 6 x \sqrt{1+\sin 6 x} d x & =\frac{1}{6} \int t^{\frac{1}{2}} d t\\ & =\frac{1}{6} \times \frac{2}{3}(t)^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{9}(1+\sin 6 x)^{\frac{3}{2}}+C\end{aligned}$

उदाहरण 36 $\int \frac{(x^{4}-x)^{\frac{1}{4}}}{x^{5}} d x$ ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास $\int \frac{(x^{4}-x)^{\frac{1}{4}}}{x^{5}} d x=\int \frac{(1-\frac{1}{x^{3}})^{\frac{1}{4}}}{x^{4}} d x$

माना $1-\frac{1}{x^{3}}=1-x^{-3}=t$, ताकि $\frac{3}{x^{4}} d x=d t$

इसलिए $ \begin{aligned} \int \frac{\left(x^{4}-x\right)^{\frac{1}{4}}}{x^{5}} d x & =\frac{1}{3} \int t^{\frac{1}{4}} d t \\ & =\frac{1}{3} \times \frac{4}{5} t^{\frac{5}{4}}+\mathrm{C}=\frac{4}{15}\left(1-\frac{1}{x^{3}}\right)^{\frac{5}{4}}+\mathrm{C} \end{aligned} $

उदाहरण 37 $\int \frac{x^{4} d x}{(x-1)(x^{2}+1)}$ ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास

$$ \begin{aligned} \frac{x^{4}}{(x-1)(x^{2}+1)} & =(x+1)+\frac{1}{x^{3}-x^{2}+x-1} \\ & =(x+1)+\frac{1}{(x-1)(x^{2}+1)} \end{aligned} $$

अब व्यक्त करें $$ \frac{1}{(x-1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B x+C}{(x^{2}+1)} \tag{2} $$

$$ \begin{aligned} \text{ इसलिए } \qquad 1 & =A(x^{2}+1)+(B x+C)(x-1) \\ & =(A+B) x^{2}+(C-B) x+A-C \end{aligned} $$

दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है $A+B=0, C-B=0$ और

$A-C=1$, जो देता है $A=\frac{1}{2}, B=C=-\frac{1}{2}$।

$A, B$ और $C$ के मानों को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{equation*} \frac{1}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)}-\frac{1}{2\left(x^{2}+1\right)} \tag{3} \end{equation*} $$

पुनः, (3) को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \frac{x^{4}}{(x-1)(x^{2}+x+1)}=(x+1)+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2} \frac{x}{(x^{2}+1)}-\frac{1}{2(x^{2}+1)} $$

अतः $$ \int \frac{x^{4}}{(x-1)(x^{2}+x+1)} d x=\frac{x^{2}}{2}+x+\frac{1}{2} \log |x-1|-\frac{1}{4} \log (x^{2}+1)-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C $$

उदाहरण 38 $\int[\log (\log x)+\frac{1}{(\log x)^{2}}] d x$ ज्ञात कीजिए

हल माना $I=\int[\log (\log x)+\frac{1}{(\log x)^{2}}] d x$

$$ =\int \log (\log x) d x+\int \frac{1}{(\log x)^{2}} d x $$

पहले समाकल में, हमें 1 को द्वितीय फलन लेना है। फिर इसे खंडशः समाकल करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{align*} \mathrm{I} & =x \log (\log x)-\int \frac{1}{x \log x} x d x+\int \frac{d x}{(\log x)^{2}} \\ & =x \log (\log x)-\int \frac{d x}{\log x}+\int \frac{d x}{(\log x)^{2}} \tag{1} \end{align*} $$

पुनः, $\int \frac{d x}{\log x}$ पर विचार कीजिए, 1 को द्वितीय फलन लीजिए और इसे खंडशः समाकल कीजिए,

$$ \begin{equation*} \int \frac{d x}{\log x}=\left[\frac{x}{\log x}-\int x\left\{-\frac{1}{(\log x)^{2}}\left(\frac{1}{x}\right)\right\} d x\right] \tag{2} \end{equation*} $$

(2) को (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} \mathrm{I} & =x \log (\log x)-\frac{x}{\log x}-\int \frac{d x}{(\log x)^{2}}+\int \frac{d x}{(\log x)^{2}} \\ & =x \log (\log x)-\frac{x}{\log x}+\mathrm{C} \end{aligned} $$

उदाहरण 39 $\int[\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x}] d x$ ज्ञात कीजिए

हल हमारे पास

$ I=\int[\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x}] d x=\int \sqrt{\tan x}(1+\cot x) d x $

मान लीजिए $\tan x=t^{2}$, ताकि $\sec ^{2} x d x=2 t d t$

$$\text{ या } \qquad d x=\frac{2 t d t}{1+t^{4}} $$

$$ \begin{aligned} \text{ तब } \qquad I & =\int t(1+\frac{1}{t^{2}}) \frac{2 t}{(1+t^{4})} d t \\ & =2 \int \frac{(t^{2}+1)}{t^{4}+1} d t=2 \int \frac{(1+\frac{1}{t^{2}}) d t}{(t^{2}+\frac{1}{t^{2}})}=2 \int \frac{(1+\frac{1}{t^{2}}) d t}{(t-\frac{1}{t})^{2}+2} \end{aligned} $$

मान लीजिए $$t-\frac{1}{t}=y$, ताकि $(1+\frac{1}{t^{2}}) d t=d y$$.

$$ \begin{aligned} \text{ तब } \qquad I & =2 \int \frac{d y}{y^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2} \tan ^{-1} \frac{y}{\sqrt{2}}+C=\sqrt{2} \tan ^{-1} \frac{(t-\frac{1}{t})}{\sqrt{2}}+C \\ & =\sqrt{2} \tan ^{-1}(\frac{t^{2}-1}{\sqrt{2} t})+C=\sqrt{2} \tan ^{-1}(\frac{\tan x-1}{\sqrt{2 \tan x}})+C \end{aligned} $$

उदाहरण 40 $\int \frac{\sin 2 x \cos 2 x d x}{\sqrt{9-\cos ^{4}(2 x)}}$ ज्ञात कीजिए

हल मान लीजिए $I=\int \frac{\sin 2 x \cos 2 x}{\sqrt{9-\cos ^{4} 2 x}} d x$

$$\text{ मान लीजिए } \qquad \cos ^{2}(2 x)=t \text { ताकि } 4 \sin 2 x \cos 2 x d x=-d t $$

$$\text{ इसलिए } \qquad\quad I=-\frac{1}{4} \int \frac{d t}{\sqrt{9-t^{2}}}=-\frac{1}{4} \sin ^{-1}(\frac{t}{3})+C=-\frac{1}{4} \sin ^{-1}[\frac{1}{3} \cos ^{2} 2 x]+C$$

उदाहरण 41 मूल्यांकन कीजिए $\int _{-1}^{\frac{3}{2}}|x \sin (\pi x)| d x$

हल यहाँ (f(x)=|x \sin \pi x|= \begin{cases}{l}x \sin \pi x \text{ for }-1 \leq x \leq 1 \\ -x \sin \pi x \text{ for } 1 \leq x \leq \frac{3}{2}\end{cases})

[ \begin{aligned} \text{ इसलिए } \qquad \int _ {-1}^{\frac{3}{2}}|x \sin \pi x| d x & =\int _ {-1}^{1} x \sin \pi x d x+\int _ 1^{\frac{3}{2}}-x \sin \pi x d x \\ & =\int _ {-1}^{1} x \sin \pi x d x-\int _ 1^{\frac{3}{2}} x \sin \pi x d x \end{aligned} ]

दायीं ओर के दोनों समाकलनों को समाकलित करने पर, हमें प्राप्त होता है

[ \begin{aligned} \int_ {-1}^{\frac{3}{2}}|x \sin \pi x| d x & =[\frac{-x \cos \pi x}{\pi}+\frac{\sin \pi x}{\pi^{2}}]_ {-1}^{1}-[\frac{-x \cos \pi x}{\pi}+\frac{\sin \pi x}{\pi^{2}}]_ 1^{\frac{3}{2}} \\ & =\frac{2}{\pi}-[-\frac{1}{\pi^{2}}-\frac{1}{\pi}]=\frac{3}{\pi}+\frac{1}{\pi^{2}} \end{aligned} ]

उदाहरण 42 मान निकालें (\int_0^{\pi} \frac{x d x}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x})

हल मान लीजिए (I=\int_0^{\pi} \frac{x d x}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x}=\int_0^{\pi} \frac{(\pi-x) d x}{a^{2} \cos ^{2}(\pi-x)+b^{2} \sin ^{2}(\pi-x)})

((P_4) का प्रयोग करते हुए)

[ \begin{aligned} & =\pi \int_0^{\pi} \frac{d x}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x}-\int_0^{\pi} \frac{x d x}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x} \\ & =\pi \int_0^{\pi} \frac{d x}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x}-I \end{aligned} ]

$$\text{ इस प्रकार } \qquad\quad 2 I=\pi \int_0^{\pi} \frac{d x}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x}$$

$$ \begin{aligned} \text{ या } \qquad I & =\frac{\pi}{2} \int_ 0^{\pi} \frac{d x}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x}=\frac{\pi}{2} \cdot 2 \int_ 0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x}(P_ {6} का उपयोग करते हुए) \\ & =\pi[\int_ 0^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x}+\int_ {\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x}] \\ & =\pi[\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec ^{2} x d x}{a^{2}+b^{2} \tan ^{2} x}+\int_ {\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cosec^{2} x d x}{a^{2} \cot ^{2} x+b^{2}}] \\ & =\pi[\int_ 0^{1} \frac{d t}{a^{2}+b^{2} t^{2}}-\int_ 1^{0} \frac{d u}{a^{2} u^{2}+b^{2}}]^{(\tan x=t और \cot x=u रखने पर)} \\ & =\frac{\pi}{a b}[\tan ^{-1} \frac{b t}{a}]_ 0^{1}-\frac{\pi}{a b}[\tan ^{-1} \frac{a u}{b}]_ 1^{0}=\frac{\pi}{a b}[\tan ^{-1} \frac{b}{a}+\tan ^{-1} \frac{a}{b}]=\frac{\pi^{2}}{2 a b} \end{aligned} $$

सारांश

• समाकलन अवकलन की प्रतिलोम प्रक्रिया है। अवकलन कलन में हमें एक फलन दिया जाता है और हमें इस फलन का अवकलज या अवकलज ज्ञात करना होता है, लेकिन समाकलन कलन में हमें ऐसा फलन ज्ञात करना होता है जिसका अवकलज दिया गया है। इस प्रकार, समाकलन एक ऐसी प्रक्रिया है जो अवकलन की प्रतिलोम है।

• मान लीजिए $\frac{d}{d x} F(x)=f(x)$। तब हम लिखते हैं $\int f(x) d x=F(x)+C$। इन समाकलनों को अनिश्चित समाकलन या सामान्य समाकलन कहा जाता है, $C$ को समाकलन नियतांक कहा जाता है। ये सभी समाकलन एक नियतांक से भिन्न होते हैं।

• अनिश्चित समाकलनों के कुछ गुण इस प्रकार हैं:

1. $\int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$

2. किसी वास्तविक संख्या $k$ के लिए, $\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$

अधिक सामान्य रूप से, यदि $f_1, f_2, f_3, \ldots, f_n$ फलन हैं और $k_1, k_2, \ldots, k_n$ वास्तविक संख्याएँ हैं। तब

$$ \begin{aligned} & \int\left[k _{1} f _{1}(x)+k _{2} f _{2}(x)+\ldots+k _{n} f _{n}(x)\right] d x \\ & =k _{1} \int f _{1}(x) d x+k _{2} \int f _{2}(x) d x+\ldots+k _{n} \int f _{n}(x) d x \end{aligned} $$

• कुछ मानक समाकलन

(i) $\int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, n \neq-1$. विशेष रूप से, $\int d x=x+C$

(ii) $\int \cos x d x=\sin x+C$

(iii) $\int \sin x d x=-\cos x+C$

(iv) $\int \sec ^{2} x d x=\tan x+C$

(v) $\int cosec^{2} x d x=-\cot x+C$

(vi) $\int \sec x \tan x d x=\sec x+C$

(vii) $\int cosec x \cot x d x=-cosec x+C$

(viii) $\int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sin ^{-1} x+C$

(ix) $\int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\cos ^{-1} x+C$

(x) $\int \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x+C$

(xi) $\int \frac{d x}{1+x^{2}}=-\cot ^{-1} x+C$

(xii) $\int e^{x} d x=e^{x}+C$

(xiii) $\int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log a}+C$

(xiv) $\int \frac{1}{x} d x=\log |x|+C$

• आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन

याद कीजिए कि एक परिमेय फलन दो बहुपदों के अनुपात के रूप में होता है $\frac{P(x)}{Q(x)}$, जहाँ $P(x)$ और $Q(x)$ में $x$ के बहुपद हैं और $Q(x) \neq 0$। यदि बहुपद $P(x)$ की घात बहुपद $Q(x)$ की घात से अधिक है, तो हम $P(x)$ को $Q(x)$ से विभाजित कर सकते हैं ताकि $\frac{P(x)}{Q(x)}=T(x)+\frac{P_1(x)}{Q(x)}$, जहाँ $T(x)$ में $x$ का एक बहुपद है और $P_1(x)$ की घात $Q(x)$ की घात से कम है। $T(x)$ एक बहुपद होने के कारण इसे आसानी से समाकलित किया जा सकता है। $\frac{P_1(x)}{Q(x)}$ को निम्नलिखित प्रकार की आंशिक भिन्नों के योग के रूप में व्यक्त करके समाकलित किया जा सकता है:

1. $\frac{p x+q}{(x-a)(x-b)}$ $=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}, a \neq b$

2. $\frac{p x+q}{(x-a)^{2}}$ $=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^{2}}$

3. $\frac{p x^{2}+q x+r}{(x-a)(x-b)(x-c)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{x-c}$

4. $\frac{p x^{2}+q x+r}{(x-a)^{2}(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^{2}}+\frac{C}{x-b}$

5. $\frac{p x^{2}+q x+r}{(x-a)(x^{2}+b x+c)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B x+C}{x^{2}+b x+c}$

जहाँ $x^{2}+b x+c$ को आगे और गुणनफलों में विभाजित नहीं किया जा सकता।

• प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन

चर में परिवर्तन प्रायः एक समाकल को मूलभूत समाकलों में से एक में बदल देता है। विधि जिसमें हम चर को किसी अन्य चर में बदलते हैं, प्रतिस्थापन विधि कहलाती है। जब समाकल्य में कोई त्रिकोणमितीय फलन होते हैं, तो हम कुछ प्रसिद्ध सर्वसमिकाओं का उपयोग कर समाकल ज्ञात करते हैं। प्रतिस्थापन तकनीक का उपयोग करते हुए हम निम्नलिखित प्रमुख समाकल प्राप्त करते हैं।

(i) $\int \tan x d x=\log |\sec x|+C$

(ii) $\int \cot x d x=\log |\sin x|+C$

(iii) $\int \sec x d x=\log |\sec x+\tan x|+C$

(iv) $\int cosec x d x=\log |cosec x-\cot x|+C$

• कुछ विशिष्ट फलनों के समाकल

(i) $\int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \log |\frac{x-a}{x+a}|+C$

(ii) $\int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \log |\frac{a+x}{a-x}|+C$

(iii) $\int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}+C$

(iv) $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\log |x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+C$

(v) $\int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\sin ^{-1} \frac{x}{a}+C$

(vi) $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\log |x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|+C$

• खंडशः समाकलन

दिए गए फलनों $f_1$ और $f_2$ के लिए, हमारे पास

$ \int f_1(x) \cdot f_2(x) d x=f_1(x) \int f_2(x) d x-\int[\frac{d}{d x} f_1(x) \cdot \int f_2(x) d x] d x \text{, अर्थात्, } $ दो फलनों के गुणनफल का समाकलन $=$ पहला फलन $\times$ दूसरे फलन का समाकलन - \{ पहले फलन के अवकलज गुणांक $\times$ दूसरे फलन का समाकलन \} का समाकलन। पहले फलन और दूसरे फलन को चुनते समय सावधानी बरतनी चाहिए। स्पष्ट है, हमें उस फलन को दूसरे फलन के रूप में लेना चाहिए जिसका समाकलन हमें अच्छी तरह पता हो।

$\int e^{x}[f(x)+f^{\prime}(x)] d x=\int e^{x} f(x) d x+C$

• कुछ विशेष प्रकार के समाकलन

(i) $\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} d x=\frac{x}{2} \sqrt{x^{2}-a^{2}}-\frac{a^{2}}{2} \log |x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+C$

(ii) $\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \log |x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|+C$

(iii) $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}+C$

(iv) $\int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c}$ या $\int \frac{d x}{\sqrt{a x^{2}+b x+c}}$ प्रकार के समाकलनों को मानक रूप में इस प्रकार रूपांतरित किया जा सकता है $ a x^{2}+b x+c=a[x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}]=a[(x+\frac{b}{2 a})^{2}+(\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4 a^{2}})] $

(v) प्रकारों $\int \frac{p x+q d x}{a x^{2}+b x+c}$ या $\int \frac{p x+q d x}{\sqrt{a x^{2}+b x+c}}$ के समाकलों को मानक रूप में रूपांतरित किया जा सकता है अभिव्यक्त करके
$ p x+q=A \frac{d}{d x}(a x^{2}+b x+c)+B=A(2 a x+b)+B \text{, जहां } A \text{ और } B \text{ } $
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करके निर्धारित किए जाते हैं।

• हमने $\int_a^{b} f(x) d x$ को वक्र $y=f(x), a \leq x \leq b$, x-अक्ष और कोटियों $x=a$ और $x=b$ से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया है। माना $x$ दिया गया बिंदु है $[a, b]$ में। तब $\int_a^{x} f(x) d x$ क्षेत्रफल फलन $A(x)$ को दर्शाता है। क्षेत्रफल फलन की इस अवधारणा से समाकलन गणित के मौलिक प्रमेयों की ओर मार्ग प्रशस्त होता है।

• समाकलन गणित का प्रथम मौलिक प्रमेय
  माना क्षेत्रफल फलन को परिभाषित किया गया है $A(x)=\int_a^{x} f(x) d x$ सभी $x \geq a$ के लिए, जहां फलन $f$ को $[a, b]$ पर सतत माना गया है। तब $A^{\prime}(x)=f(x)$ सभी $x \in[a, b]$ के लिए।

• समाकलन गणित का द्वितीय मौलिक प्रमेय

माना $f$ एक सतत फलन है $x$ का जो बंद अंतराल $[a, b]$ पर परिभाषित है और माना $F$ एक अन्य फलन है इस प्रकार कि $\frac{d}{d x} F(x)=f(x)$ सभी $x$ के लिए जो $f$ के प्रांत में हैं, तब $\int_a^{b} f(x) d x=[F(x)+C]_a^{b}=F(b)-F(a)$।

इसे $f$ का निश्चित समाकल कहा जाता है अंतराल $[a, b]$ पर, जहां $a$ और $b$ समाकलन की सीमाएं कहलाती हैं, $a$ निम्न सीमा है और $b$ ऊपरी सीमा।