गणित का अध्ययन इसलिए करना चाहिए क्योंकि केवल गणित के माध्यम से ही प्रकृति को सामंजस्यपूर्ण रूप में कल्पित किया जा सकता है। - बिरखॉफ

8.1 परिचय

ज्यामिति में हमने विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों जिनमें त्रिभुज, आयत, ट्रेपीज़िया और वृत्त शामिल हैं, के क्षेत्रफल की गणना करने के सूत्र सीखे हैं। ऐसे सूत्र गणित के अनेक वास्तविक जीवन की समस्याओं में अनुप्रयोगों के लिए मौलिक हैं। प्रारंभिक ज्यामिति के सूत्र हमें अनेक सरल आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना करने की अनुमति देते हैं। तथापि, वे वक्रों से घिरे क्षेत्रफलों की गणना करने के लिए अपर्याप्त हैं। उसके लिए हमें समाकलन कलन की कुछ संकल्पनाओं की आवश्यकता होगी।

पिछले अध्याय में, हमने वक्र $y=f(x)$, कोटियों $x=a$, $x=b$ और $x$-अक्ष से घिरे क्षेत्रफल को योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की गणना करते समय ज्ञात करना सीखा है। यहाँ, इस अध्याय में, हम समाकलनों के एक विशिष्ट अनुप्रयोग का अध्ययन करेंगे ताकि सरल वक्रों के नीचे का क्षेत्रफल, रेखाओं और वृत्तों, परवलयों और

ए.एल. कोशी (1789-1857) दीर्घवृत्तों (केवल मानक रूपों) के चापों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सके। हम उपरोक्त कहे गए वक्रों से घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने से भी संबंधित रहेंगे।

8.2 सरल वक्रों के नीचे का क्षेत्रफल

पिछले अध्याय में, हमने निश्चित समाकल को योग की सीमा के रूप में अध्ययन किया है और कलन की आधारभूत प्रमेय का उपयोग करके निश्चित समाकल का मूल्यांकन कैसे किया जाता है। अब, हम वक्र $y=f(x)$, $x$-अक्ष और कोटियों $x=a$ और $x=b$ से घिरे क्षेत्रफल को खोजने के आसान और सहज तरीके पर विचार करते हैं। चित्र 8.1 से, हम वक्र के नीचे के क्षेत्रफल को बहुत पतली ऊर्ध्वाधार पट्टियों की बड़ी संख्या से बना हुआ सोच सकते हैं। ऊँचाई $y$ और चौड़ाई $d x$ वाली एक स्वेच्छ पट्टी पर विचार करें, तब $d A$ (प्राथमिक पट्टी का क्षेत्रफल) $=y d x$, जहाँ, $y=f(x)$।

इस क्षेत्रफल को प्राथमिक क्षेत्रफल कहा जाता है जो किसी स्वेच्छ स्थिति पर स्थित है जो $a$ और $b$ के बीच किसी $x$ के मान द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। हम क्षेत्र PQRSP में पतली पट्टियों के प्राथमिक क्षेत्रफलों को जोड़ने के परिणामस्वरूप $x$-अक्ष, कोटियों $x=a, x=b$ और वक्र $y=f(x)$ के बीच के क्षेत्र के कुल क्षेत्रफल A को सोच सकते हैं। प्रतीकात्मक रूप से, हम व्यक्त करते हैं

$$ \mathrm{A}=\int _{a}^{b} d \mathrm{~A}=\int _{a}^{b} y d x=\int _{a}^{b} f(x) d x $$

वक्र $x=g(y)$, $y$-अक्ष और रेखाओं $y=c$, $y=d$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \mathrm{A}=\int _{c}^{d} x d y=\int _{c}^{d} g(y) d y $$

यहाँ, हम चित्र 8.2 में दिखाए गए क्षैतिज पट्टियों पर विचार करते हैं

चित्र 8.2

टिप्पणी यदि विचाराधीन वक्र की स्थिति x-अक्ष के नीचे है, तब चूँकि x = a से x = b तक f(x) < 0 होता है, जैसा कि चित्र 8.3 में दिखाया गया है, वक्र, x-अक्ष और x = a, x = b अभिलंबों से घिरा क्षेत्रफल ऋणात्मक आता है। परंतु, केवल क्षेत्रफल का संख्यात्मक मान ही ध्यान में लिया जाता है। इस प्रकार, यदि क्षेत्रफल ऋणात्मक है, तो हम इसका निरपेक्ष मान लेते हैं, अर्थात् |∫_a^b f(x) dx|।

चित्र 8.3

सामान्यतः, ऐसा हो सकता है कि वक्र का कुछ भाग x-अक्ष के ऊपर हो और कुछ x-अक्ष के नीचे, जैसा कि चित्र 8.4 में दिखाया गया है। यहाँ, A₁ < 0 और A₂ > 0 है। इसलिए, वक्र y = f(x), x-अक्ष और x = a तथा x = b अभिलंबों से घिरा क्षेत्रफल A, A = |A₁| + A₂ द्वारा दिया जाता है।

चित्र 8.4

उदाहरण 1 वृत्त x² + y² = a² से घिरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल चित्र 8.5 से, दिए गए वृत्त से घिरा सम्पूर्ण क्षेत्रफल = 4 (क्षेत्र AOBA का क्षेत्रफल, जो वक्र, x-अक्ष और x = 0 तथा x = a अभिलंबों से घिरा है) [चूँकि वृत्त x-अक्ष और y-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है]

$$ \begin{aligned} & =4 ∫_0^a y dx \text{ (ऊर्ध्वाधार पट्टियाँ लेते हुए) } \ & =4 ∫_0^a √(a² − x²) dx \end{aligned} $$

चूँकि x² + y² = a² से प्राप्त होता है y = ±√(a² − x²)

चित्र 8.5

चूँकि क्षेत्र AOBA प्रथम चतुर्थांश में स्थित है, $y$ को धनात्मक माना जाता है। समाकलन करने पर, हमें दिए गए वृत्त द्वारा घिरा कुल क्षेत्र प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & =4[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0]=4(\frac{a^{2}}{2})(\frac{\pi}{2})=\pi a^{2} \end{aligned} $

वैकल्पिक रूप से, चित्र 8.6 में दिखाए गए क्षैतिज पट्टियों को ध्यान में रखते हुए, वृत्त द्वारा घिरे क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल

$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} x d y=4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-y^{2}} d y \text{(क्यों?)} \\ & =4[\frac{y}{2} \sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =4 \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a^{2} \end{aligned} $

चित्र 8.6

उदाहरण 2 दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ द्वारा घिरा क्षेत्र ज्ञात कीजिए

हल चित्र 8.7 से, दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र $ABA^{\prime} B^{\prime} A$ का क्षेत्रफल

$=4(\begin{matrix} \text{ क्षेत्र } A O B A \text{ का क्षेत्रफल जो प्रथम चतुर्थांश में वक्र, } \\ x-\text{ अक्ष और } x=0, x=a \text{ अभिलंबों से घिरा है}\end{matrix} )$

(चूँकि दीर्घवृत्त $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है)

$=4 \int_0^{a} y d x \quad$ (ऊध्र्वाधर पट्टियाँ लेते हुए)

अब $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से $y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ मिलता है, लेकिन चूँकि क्षेत्र AOBA प्रथम चतुर्थांश में स्थित है, $y$ को धनात्मक लिया जाता है। इसलिए अभीष्ट क्षेत्रफल

$ \begin{aligned} & =4 \int _{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right] _{0}^{a} \text { (क्यों) } \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right] \\ & =\frac{4 b}{a} \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \text{ } \end{aligned} $

आकृति 8.7

वैकल्पिक रूप से, आकृति 8.8 में दिखाए अनुसार क्षैतिज पट्टियाँ लेते हुए, दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{b} x d y=4 \frac{a}{b} \int_0^{b} \sqrt{b^{2}-y^{2}} d y \text{ (क्यों?) } \\ & =\frac{4 a}{b}[\frac{y}{2} \sqrt{b^{2}-y^{2}}+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{b}]_0^{b} \\ & =\frac{4 a}{b}[(\frac{b}{2} \times 0+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =\frac{4 a}{b} \frac{b^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \end{aligned} $$

आकृति 8.8

विविध उदाहरण

उदाहरण 3 उस क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो रेखा $y=3 x+2$, $x$-अक्ष और कोटियों $x=-1$ और $x=1$ से घिरा है।

हल जैसा कि चित्र 8.9 में दिखाया गया है, रेखा $y=3 x+2$, $x$-अक्ष से $x=\frac{-2}{3}$ पर मिलती है और इसका ग्राफ $x \in(-1, \frac{-2}{3})$ के लिए $x$-अक्ष के नीचे और $x \in(\frac{-2}{3}, 1)$ के लिए $x$-अक्ष के ऊपर स्थित है।

अभीष्ट क्षेत्रफल $=$ क्षेत्र $ACBA$ का क्षेत्रफल $+$ क्षेत्र $ADEA$ का क्षेत्रफल

$ \begin{aligned} & =|\int _{-1}^{\frac{-2}{3}}(3 x+2) d x|+\int _{\frac{-2}{3}}^{1}(3 x+2) d x \\ & =|[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{-1}^{\frac{-2}{3}}|+[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{\frac{-2}{3}}^{1}=\frac{1}{6}+\frac{25}{6}=\frac{13}{3} \end{aligned} $

चित्र 8.9

उदाहरण 4 वक्र $y=\cos x$ से $x=0$ और $x=2 \pi$ के बीच घिरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल चित्र 8.10 से, अभीष्ट क्षेत्रफल $=$ क्षेत्र $OABO$ का क्षेत्रफल $+$ क्षेत्र $BCDB$ का क्षेत्रफल $+$ क्षेत्र $DEFD$ का क्षेत्रफल है।

चित्र 8.10

इस प्रकार, हमारे पास अभीष्ट क्षेत्रफल

$ \begin{aligned} & =\int_ 0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x+|\int_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x d x|+\int_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x d x \\ & =[\sin x]_ 0^{\frac{\pi}{2}}+|[\sin x]_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}}|+[\sin x]_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \\ & =1+2+1=4 \end{aligned} $

सारांश

वक्र $y=f(x)$, $x$-अक्ष और रेखाओं $x=a$ और $x=b(b>a)$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल $=\int_a^{b} y d x=\int_a^{b} f(x) d x$।
वक्र $x=\phi(y)$, $y$-अक्ष और रेखाओं $y=c, y=d$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल $=\int_c^{d} x d y=\int_c^{d} \phi(y) d y$।

ऐतिहासिक टिप्पणी

इंटीग्रल कैलकुलस की उत्पत्ति गणित के प्रारंभिक विकास काल से संबंधित है और यह प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों द्वारा विकसित विलोपन विधि से जुड़ा हुआ है। यह विधि समतल आकृतियों के क्षेत्रफल, ठोस वस्तुओं की सतह के क्षेत्रफल और आयतन आदि की गणना करने वाली समस्याओं के समाधान में उत्पन्न हुई। इस अर्थ में विलोपन विधि को समाकलन की एक प्रारंभिक विधि माना जा सकता है। प्रारंभिक काल में विलोपन विधि का सबसे बड़ा विकास यूडॉक्सस (440 ई.पू.) और आर्किमिडीज़ (300 ई.पू.) के कार्यों में प्राप्त हुआ।

कलन के सिद्धांत की प्रणालीबद्ध दृष्टिकोण की शुरुआत 17वीं सदी में हुई। 1665 में न्यूटन ने कलन पर अपना कार्य प्रारंभ किया, जिसे उसने फ्लक्सनों के सिद्धांत के रूप में वर्णित किया और उसने अपने सिद्धांत का उपयोग किसी वक्र के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा और वक्रता त्रिज्या ज्ञात करने में किया। न्यूटन ने प्रतिलोम फलन की मूल अवधारणा प्रस्तुत की जिसे प्रतिअवकलज (अनिश्चित समाकल) या स्पर्श रेखाओं की प्रतिलोम विधि कहा गया।

1684-86 के दौरान लाइबनिट्ज़ ने एक लेख प्रकाशित किया जिसे उसने Acta Eruditorum में प्रकाशित किया और जिसे उसने कैलकुलस समेटोरियस कहा, क्योंकि यह अनंत छोटे क्षेत्रों के योग से संबंधित था, जिनके योग को उसने प्रतीक ’ ’ ’ द्वारा दर्शाया। 1696 में उसने जे. बर्नौली के एक सुझाव का अनुसरण किया और इस लेख को कैलकुलस इंटेग्राली में बदल दिया। यह न्यूटन की स्पर्श रेखाओं की प्रतिलोम विधि के अनुरूप था।

न्यूटन और लाइबनिट्ज़ दोनों ने पूरी तरह स्वतंत्र दृष्टिकोण अपनाए जो मूल रूप से भिन्न थे। हालांकि, उनके संबंधित सिद्धांत ऐसे परिणाम प्राप्त करते थे जो व्यावहारिक रूप से समान थे। लाइबनिट्ज़ ने निश्चित समाकल की अवधारणा का उपयोग किया और यह पूरी तरह निश्चित है कि उसने सर्वप्रथम स्पष्ट रूप से प्रतिअवकलज और निश्चित समाकल के बीच संबंध को समझा।

निष्कर्षतः, समाकलन गणित के मूलभूत सिद्धांत और सिद्धांत और मुख्यतः अवकलन गणित के साथ उसके संबंधों का विकास 17वीं सदी के अंत में पी. डे फर्मा, आई. न्यूटन और जी. लाइबनिट्ज़ के कार्य में हुआ। तथापि, सीमा की अवधारणा द्वारा यह औचित्य केवल 19वीं सदी के आरंभ में ए. एल. कोशी के कार्यों में विकसित हुआ। अंत में, ली सोफी का निम्नलिखित उद्धरण उल्लेखनीय है:

“यह कहा जा सकता है कि अवकलज गुणांक और समाकल की अवधारणाएँ, जिनकी उत्पत्ति निश्चित रूप से आर्किमिडीज़ तक जाती है, विज्ञान में केप्लर, डेकार्ट, कैवेलियरी, फर्मा और वालिस के अन्वेषणों द्वारा प्रस्तुत की गईं…. यह खोज कि अवकलन और समाकलन व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं, न्यूटन और लाइबनिट्ज़ से संबंधित है।”