जिस व्यक्ति के मन में कोई निश्चित समस्या नहीं है और वह तरीके खोजता है, वह अधिकांशतः व्यर्थ ही खोजता है। - डी. हिल्बर्ट

9.1 प्रस्तावना

कक्षा XI में और इस पुस्तक के अध्याय 5 में हमने चर्चा की थी कि किसी दी हुई फलन $f$ का स्वतंत्र चर के सापेक्ष अवकलन कैसे किया जाता है, अर्थात् किसी दी हुई फलन $f$ के लिए उसके परिभाषा क्षेत्र के प्रत्येक $x$ पर $f^{\prime}(x)$ कैसे ज्ञात किया जाता है। इसके अतिरिक्त, समाकल गणित के अध्याय में हमने चर्चा की थी कि किसी ऐसी फलन $f$ को कैसे ज्ञात किया जाता है जिसका अवकल गुद फलन $g$ हो, जिसे इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है:

किसी दी हुई फलन $g$ के लिए, एक ऐसी फलन $f$ ज्ञात कीजिए कि

$$ \frac{d y}{d x}=g(x) \text{ जहाँ } y=f(x) $$

हेनरी पॉइंकेरे $(1854-1912)$

(1) के रूप का समीकरण एक अवकल समीकरण कहलाता है। एक औपचारिक परिभाषा बाद में दी जाएगी।

ये समीकरण विभिन्न अनुप्रयोगों में उत्पन्न होते हैं, चाहे वह भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, मानवविज्ञान, भूविज्ञान, अर्थशास्त्र आदि में हों। इसलिए, अवकल समीकरणों के गहन अध्ययन ने सभी आधुनिक वैज्ञानिक अन्वेषणों में प्रमुख महत्व ग्रहण कर लिया है।

इस अध्याय में, हम अवकल समीकरण से संबंधित कुछ मूलभूत संकल्पनाओं, किसी अवकल समीकरण के सामान्य और विशिष्ट हलों, अवकल समीकरणों की रचना, प्रथम कोटि-प्रथम घात की अवकल समीकरण को हल करने की कुछ विधियों और विभिन्न क्षेत्रों में अवकल समीकरणों के कुछ अनुप्रयोगों का अध्ययन करेंगे।

9.2 मूलभूत अवधारणाएँ

हम पहले से ही इस प्रकार के समीकरणों से परिचित हैं:

$$ \begin{align*} x^{2}-3 x+3=0 \tag{1} \\ \sin x+\cos x=0 \tag{2} \\ x+y=7 \tag{3} \end{align*} $$

आइए समीकरण पर विचार करें:

$$ \begin{equation*} x \frac{d y}{d x}+y=0 \tag{4} \end{equation*} $$

हम देखते हैं कि समीकरण (1), (2) और (3) में केवल स्वतंत्र और/अथवा आश्रित चर (चरों) का समावेश है, परंतु समीकरण (4) में चरों के साथ-साथ आश्रित चर $y$ का स्वतंत्र चर $x$ के सापेक्ष अवकलज भी सम्मिलित है। इस प्रकार के समीकरण को अवकल समीकरण कहा जाता है।

सामान्यतः, एक समीकरण जिसमें आश्रित चर का स्वतंत्र चर (चरों) के सापेक्ष अवकलज (अवकलजों) का समावेश हो, अवकल समीकरण कहलाता है।

एक अवकल समीकरण जिसमें आश्रित चर का अवकलज केवल एक स्वतंत्र चर के सापेक्ष हो, सामान्य अवकल समीकरण कहलाता है, उदाहरणार्थ,

$ 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(\frac{d y}{d x})^{3}=0 \text{ एक सामान्य अवकल समीकरण है } $

निस्संदेह, ऐसे अवकल समीकरण भी होते हैं जिनमें एक से अधिक स्वतंत्र चरों के सापेक्ष अवकलज सम्मिलित होते हैं, जिन्हें आंशिक अवकल समीकरण कहा जाता है, परंतु इस चरण पर हम स्वयं को केवल सामान्य अवकल समीकरणों के अध्ययन तक सीमित रखेंगे। अब से, हम ‘सामान्य अवकल समीकरण’ के लिए ‘अवकल समीकरण’ पद का प्रयोग करेंगे।

नोट

1. हम व्युत्पन्नों के लिए निम्नलिखित संकेतों का प्रयोग करना पसंद करेंगे:

$$ \frac{d y}{d x}=y^{\prime}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y^{\prime \prime}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=y^{\prime \prime \prime} $$

2. उच्च क्रम की व्युत्पन्नों के लिए, इतनी सारी डैशों को अधिरूप के रूप में प्रयोग करना असुविधाजनक होगा, इसलिए हम $n$वें क्रम की व्युत्पन्न $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ के लिए संकेत $y_n$ का प्रयोग करते हैं।

9.2.1 एक अवकल समीकरण की कोटि

अवकल समीकरण की कोटि को उस समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि की व्युत्पन्न की कोटि के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो आश्रित चर की स्वतंत्र चर के सापेक्ष होती है।

निम्नलिखित अवकल समीकरणों पर विचार करें:

$$ \begin{align*} & \frac{d y}{d x}=e^{x} \tag{6}\\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \tag{7}\\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}=0 \tag{8} \end{align*} $$

समीकरण (6), (7) और (8) में क्रमशः पहली, दूसरी और तीसरी कोटि की उच्चतम व्युत्पन्न शामिल हैं। इसलिए, इन समीकरणों की कोटि क्रमशः 1, 2 और 3 है।

9.2.2 एक अवकल समीकरण की घात

अवकल समीकरण की घात का अध्ययन करने के लिए, मुख्य बिंदु यह है कि अवकल समीकरण व्युत्पन्नों में एक बहुपद समीकरण होना चाहिए, अर्थात् $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}$ आदि। निम्नलिखित अवकल समीकरणों पर विचार करें:

$ \begin{aligned} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}-\frac{d y}{d x}+y & =0 \ (\frac{d y}{d x})^{2}+(\frac{d y}{d x})-\sin ^{2} y & =0 \ \frac{d y}{d x}+\sin (\frac{d y}{d x}) & =0 \end{aligned} $

हम देखते हैं कि समीकरण (9) $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ और $y^{\prime}$ में एक बहुपद समीकरण है, समीकरण (10) $y^{\prime}$ में एक बहुपद समीकरण है (हालांकि $y$ में बहुपद नहीं है)। ऐसे अवकल समीकरणों की घात को परिभाषित किया जा सकता है। लेकिन समीकरण (11) $y^{\prime}$ में एक बहुपद समीकरण नहीं है और ऐसे अवकल समीकरण की घात को परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

जब एक अवकल समीकरण अवकलजों में बहुपद समीकरण होता है, तो उसकी घात से हमारा तात्पर्य दिए गए अवकल समीकरण में शामिल उच्चतम कोटि के अवकलज के उच्चतम घात (धनात्मक पूर्णांक घातांक) से होता है।

उपरोक्त परिभाषा के आधार पर, कोई यह देख सकता है कि अवकल समीकरण (6), (7), (8) और (9) प्रत्येक की घात एक है, समीकरण (10) की घात दो है जबकि अवकल समीकरण (11) की घात परिभाषित नहीं है।

नोट अवकल समीकरण की कोटि और घात (यदि परिभाषित हो) सदैव धनात्मक पूर्णांक होते हैं।

उदाहरण 1 निम्नलिखित प्रत्येक अवकल समीकरण की कोटि और घात, यदि परिभाषित हो, ज्ञात कीजिए:

(i) $\frac{d y}{d x}-\cos x=0$

(ii) $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x(\frac{d y}{d x})^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$

(iii) $y^{\prime \prime \prime}+y^{2}+e^{y^{\prime}}=0$

हल

(i) अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d y}{d x}$ है, इसलिए इसकी कोटि एक है। यह $y^{\prime}$ में एक बहुपद समीकरण है और $\frac{d y}{d x}$ पर उच्चतम घात एक है, इसलिए इसकी घात एक है।

(ii) दिए गए अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है, इसलिए इसकी कोटि दो है। यह $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ और $\frac{d y}{d x}$ में एक बहुपद समीकरण है और $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ पर उच्चतम घात एक है, इसलिए इसकी घात एक है।

(iii) अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $y^{\prime \prime \prime}$ है, इसलिए इसकी कोटि तीन है। दिया गया अवकल समीकरण इसके अवकलजों में एक बहुपद समीकरण नहीं है और इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं है।

9.3 एक अवकल समीकरण के सामान्य और विशिष्ट हल

पिछली कक्षाओं में, हमने इस प्रकार के समीकरणों को हल किया है:

$$ \begin{align*} x^{2}+1=0 \tag{1} \\ \sin ^{2} x-\cos x=0 \tag{2} \end{align*} $$

समीकरणों (1) और (2) का हल संख्याएँ हैं, वास्तविक या सम्मिश्र, जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करेंगी अर्थात् जब वह संख्या दिए गए समीकरण में अज्ञात $x$ के स्थान पर रखी जाती है, तो बायाँ पक्ष दायाँ पक्ष के बराबर हो जाता है।

अब अवकल समीकरण पर विचार करें

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

पहले दो समीकरणों के विपरीत, इस अवकल समीकरण का हल एक फलन $\phi$ है जो इसे संतुष्ट करेगा, अर्थात् जब फलन $\phi$ को अज्ञात $y$ (आश्रित चर) के स्थान पर दिए गए अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो बायाँ पक्ष दायें पक्ष के बराबर हो जाता है।

वक्र $y=\phi(x)$ को दिए गए अवकल समीकरण का हल वक्र (समाकल वक्र) कहा जाता है। फलन पर विचार करें जो दिया गया है

$$ \begin{equation*} y=\phi(x)=a \sin (x+b) \tag{4} \end{equation*} $$

जहाँ $a, b \in \mathbf{R}$। जब इस फलन और इसके अवकलज को समीकरण (3) में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष। अतः यह अवकल समीकरण (3) का एक हल है।

मान लीजिए $a$ और $b$ को कोई विशिष्ट मान दिए जाते हैं, मान लीजिए $a=2$ और $b=\frac{\pi}{4}$, तब हमें एक फलन प्राप्त होता है

$$ \begin{equation*} y=\phi _{1}(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \tag{5} \end{equation*} $$

जब इस फलन और इसके अवकलज को पुनः समीकरण (3) में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष। अतः $\phi_1$ भी समीकरण (3) का एक हल है।

फलन $\phi$ में दो स्वेच्छ अचर (पैरामीटर) $a, b$ होते हैं और इसे दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल कहा जाता है। जबकि फलन $\phi_1$ में कोई स्वेच्छ अचर नहीं होता, बल्कि केवल पैरामीटर $a$ और $b$ के विशिष्ट मान होते हैं और इसलिए इसे दिए गए अवकल समीकरण का एक विशिष्ट हल कहा जाता है। वह हल जिसमें स्वेच्छ अचर होते हैं, उसे अवकल समीकरण का व्यापक हल (प्रिमिटिव) कहा जाता है।

विलक्षण अचरों से रहित हल, अर्थात् सामान्य हल से विलक्षण अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया गया हल, अवकल समीकरण का विशिष्ट हल कहलाता है।

उदाहरण 2 सत्यापित कीजिए कि फलन $y=e^{-3 x}$ अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-6 y=0$ का एक हल है।

हल दिया गया फलन $y=e^{-3 x}$ है। समीकरण के दोनों पक्षों को $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=3 e^{-3 x} \tag{1} \end{equation*} $$

अब, (1) को $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=9 e^{-3 x} $$

दी गई अवकल समीकरण में $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

बायाँ पक्ष $=9 e^{-3 x}+(-3 e^{-3 x})-6 . e^{-3 x}=9 e^{-3 x}-9 e^{-3 x}=0=$ दायाँ पक्ष।

इसलिए, दिया गया फलन दी गई अवकल समीकरण का एक हल है।

उदाहरण 3 सत्यापित कीजिए कि फलन $y=a \cos x+b \sin x$, जहाँ $a, b \in \mathbf{R}$ है, अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$ का एक हल है।

हल दिया गया फलन है

$$ \begin{equation*} y=a \cos x+b \sin x \tag{1} \end{equation*} $$

समीकरण (1) के दोनों पक्षों को $x$ के सापेक्ष क्रमशः अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-a \sin x+b \cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-a \cos x-b \sin x \end{aligned} $$

दिए गए अवकल समीकरण में $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ और $y$ के मानों को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

बायाँ पक्ष $=(-a \cos x-b \sin x)+(a \cos x+b \sin x)=0=$ दायाँ पक्ष

इसलिए, दी गई फलन दिए गए अवकल समीकरण का एक हल है।

9.4 प्रथम कोटि, प्रथम घात अवकल समीकरणों को हल करने की विधियाँ

इस खंड में हम प्रथम कोटि प्रथम घात अवकल समीकरणों को हल करने की तीन विधियों पर चर्चा करेंगे।

9.4.1 चर पृथक्करण योग्य अवकल समीकरण

एक प्रथम कोटि-प्रथम घात अवकल समीकरण इस प्रकार का होता है

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y) \tag{1} \end{equation*} $$

यदि $F(x, y)$ को गुणनफल $g(x) h(y)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $g(x)$, $x$ की फलन है और $h(y)$, $y$ की फलन है, तो अवकल समीकरण (1) को चर पृथक्करण योग्य प्रकार का कहा जाता है। अवकल समीकरण (1) तब इस रूप का होता है

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=h(y) \cdot g(x) \tag{2} \end{equation*} $$

यदि $h(y) \neq 0$, तो चरों को पृथक करके, (2) को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है

$$ \begin{equation*} \frac{1}{h(y)} d y=g(x) d x \tag{3} \end{equation*} $$

(3) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} \int \frac{1}{h(y)} d y=\int g(x) d x \tag{4} \end{equation*} $$

इस प्रकार, (4) दिए गए अवकल समीकरण के हल को इस रूप में प्रदान करता है

$$ \begin{equation*} \mathrm{H}(y)=\mathrm{G}(x)+\mathrm{C} \tag{5} \end{equation*} $$

यहाँ, $H(y)$ और $G(x)$ क्रमशः $\frac{1}{h(y)}$ और $g(x)$ के प्रतिअवकलज हैं और $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

उदाहरण 4 अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y},(y \neq 2)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y}(y \neq 2) \tag{1} \end{equation*} $$

समीकरण (1) में चरों को पृथक करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{equation*} (2-y) d y=(x+1) d x \tag{2} \end{equation*} $$

समीकरण (2) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \int(2-y) d y=\int(x+1) d x $$

$$ \text{ या } \qquad 2 y-\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+x+\mathrm{C} _{1} $$

$$ \text{ या } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+2 \mathrm{C} _{1}=0 $$

$\text{ या } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+\mathrm{C}=0 \text { जहाँ } \mathrm{C}=2 \mathrm{C} _{1}$

जो समीकरण (1) का व्यापक हल है।

उदाहरण 5 अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

हल चूँकि $1+y^{2} \neq 0$, इसलिए चरों को पृथक करने पर, दिया गया अवकल समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{1+y^{2}}=\frac{d x}{1+x^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \int \frac{d y}{1+y^{2}}=\int \frac{d x}{1+x^{2}} $$

$$\text{ या }\qquad \tan ^{-1} y=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} $$

जो समीकरण (1) का व्यापक हल है।

उदाहरण 6 अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=-4 x y^{2}$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए जबकि $y=1$, जब $x=0$.

हल यदि $y \neq 0$, तो दिया गया अवकल समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{y^{2}}=-4 x d x \tag{1} \end{equation*} $$

समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \int \frac{d y}{y^{2}} & =-4 \int x d x \ \frac{1}{y} & =-2 x^{2}+C \ \text{ या } \quad y & =\frac{1}{2 x^{2}-C} \end{aligned} $

समीकरण (2) में $y=1$ और $x=0$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है, $C=-1$।

अब समीकरण (2) में $C$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें दिए गए अवकल समीकरण का विशिष्ट हल प्राप्त होता है $y=\frac{1}{2 x^{2}+1}$।

उदाहरण 7 उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $(1,1)$ से गुजरता है जिसका अवकल समीकरण $x d y=(2 x^{2}+1) d x(x \neq 0)$ है।

हल दिया गया अवकल समीकरण इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$\text{ या } \qquad dy $ $ =(\frac{2x^2+1}{x}) dx \\ dy =(2 x+\frac{1}{x}) d x $

समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \int d y=\int\left(2 x+\frac{1}{x}\right) d x $$

$ \begin{equation*} \text{ या }\qquad y=x^{2}+\log |x|+\mathrm{C} \tag{2} \end{equation*} $

समीकरण (2) दिए गए अवकल समीकरण के हल वक्रों के कुटुंब को दर्शाता है लेकिन हमें उस कुटुंब के एक विशिष्ट सदस्य का समीकरण खोजना है जो बिंदु $(1,1)$ से गुजरता है। इसलिए समीकरण (2) में $x=1, y=1$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $C=0$।

अब समीकरण (2) में $C$ का मान रखने पर हमें अभीष्ट वक्र का समीकरण प्राप्त होता है $y=x^{2}+\log |x|$।

उदाहरण 8 बिंदु $(-2,3)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए, यह दिया गया है कि किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र के स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{2 x}{y^{2}}$ है।

हल हम जानते हैं कि वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{d y}{d x}$ द्वारा दी जाती है।

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{y^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

चरों को पृथक करने पर, समीकरण (1) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \begin{equation*} y^{2} d y=2 x d x \tag{2} \end{equation*} $$

समीकरण (2) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \int y^{2} d y=\int 2 x d x $$

$$ \begin{equation*} \text{ या } \qquad \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+\mathrm{C} \tag{3} \end{equation*} $$

समीकरण (3) में $x=-2, y=3$ रखने पर, हमें $C=5$ प्राप्त होता है।

समीकरण (3) में $C$ का मान रखने पर, हमें अभीष्ट वक्र का समीकरण प्राप्त होता है

$$ \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+5 \quad \text{ या } \quad y=(3 x^{2}+15)^{\frac{1}{3}} $$

उदाहरण 9 एक बैंक में, मूलधन निरंतर 5% प्रति वर्ष की दर से बढ़ता है। कितने वर्षों में Rs 1000 दोगुना हो जाएगा?

हल मान लीजिए किसी समय $t$ पर मूलधन $P$ है। दी गई समस्या के अनुसार,

$$ \begin{align*} & \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\left(\frac{5}{100}\right) \times \mathrm{P} \\ & \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\frac{\mathrm{P}}{20} \tag{1} \end{align*} $$

समीकरण (1) में चरों को पृथक करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{equation*} \frac{d \mathrm{P}}{\mathrm{P}}=\frac{d t}{20} \tag{2} \end{equation*} $$

समीकरण (2) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} \text{ या } \qquad \log P & =\frac{t}{20}+C_1 \ P & =e^{\frac{t}{20}} \cdot e^{C_1} \end{aligned} $$

$$ \begin{equation*} \text{ या } \qquad \mathrm{P}=\mathrm{C} e^{\frac{t}{20}} \quad\left(\text { जहाँ } e^{\mathrm{C} _{1}}=\mathrm{C}\right) \tag{3} \end{equation*} $$

अब $\qquad \mathrm{P}=1000, \quad \text { जब } t=0$

समीकरण (3) में $P$ और $t$ के मान रखने पर, हमें $C=1000$ प्राप्त होता है।

इसलिए, समीकरण (3), देता है

$$ P=1000 e^{\frac{t}{20}} $$

मान लीजिए $t$ वर्ष वह समय है जिसमें मूलधन दोगुना हो जाता है। तब

$$ 2000=1000 e^{\frac{t}{20}} \Rightarrow t=20 \log _{e} 2 $$

9.4.2 समघातीय अवकल समीकरण

$x$ और $y$ में निम्नलिखित फलनों पर विचार कीजिए

$$ \begin{matrix} F_1(x, y)=y^{2}+2 x y, & F_2(x, y)=2 x-3 y, \ F_3(x, y)=\cos (\frac{y}{x}), & F_4(x, y)=\sin x+\cos y \end{matrix} $$

यदि हम उपरोक्त फलनों में $x$ और $y$ को किसी भी अशून्य नियतांक $\lambda$ के लिए क्रमशः $\lambda x$ और $\lambda y$ से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & F_1(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{2}(y^{2}+2 x y)=\lambda^{2} F_1(x, y) \ & F_2(\lambda x, \lambda y)=\lambda(2 x-3 y)=\lambda F_2(x, y) \ & F_3(\lambda x, \lambda y)=\cos (\frac{\lambda y}{\lambda x})=\cos (\frac{y}{x})=\lambda^{0} \quad F_3(x, y) \ & F_4(\lambda x, \lambda y)=\sin \lambda x+\cos \lambda y \neq \lambda^{n} F_4(x, y), \text{ for any } n \in \mathbf{N} \end{aligned} $

यहाँ हम देखते हैं कि फलन $F_1, F_2, F_3$ को रूप $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$ में लिखा जा सकता है, परंतु $F_4$ को इस रूप में नहीं लिखा जा सकता। यह निम्नलिखित परिभाषा की ओर ले जाता है:

एक फलन $F(x, y)$ को घातांक $n$ का समघातीय फलन कहा जाता है यदि $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$ किसी भी अशून्य नियतांक $\lambda$ के लिए।

हम ध्यान देते हैं कि उपरोक्त उदाहरणों में, $F_1, F_2, F_3$ क्रमशः घातांक 2, 1, 0 के समघातीय फलन हैं, परंतु $F_4$ समघातीय फलन नहीं है।

हम यह भी देखते हैं कि

$ \begin{aligned} & \qquad F_1(x, y)=x^{2}(\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{2 y}{x})=x^{2} h_1(\frac{y}{x}) \\ & \qquad F_1(x, y)=y^{2}(1+\frac{2 x}{y})=y^{2} h_2(\frac{x}{y}) \\ & \text{या}\qquad F_2(x, y)=x^{1}(2-\frac{3 y}{x})=x^{1} h_3(\frac{y}{x}) \\ & \qquad F_2(x, y)=y^{1}(2 \frac{x}{y}-3)=y^{1} h_4(\frac{x}{y}) \\ & \qquad F_3(x, y)=x^{0} \cos (\frac{y}{x})=x^{0} h_5(\frac{y}{x}) \\ & \qquad F_4(x, y) \neq x^{n} h_6(\frac{y}{x}), \text{ किसी भी } n \in \mathbf{N} \text{ के लिए} \\ & \qquad F_4(x, y) \neq y^{n} h_7(\frac{x}{y}), \text{ किसी भी } n \in \mathbf{N} \text{ के लिए} \end{aligned} $

$$ \begin{aligned} & \text{या}\qquad\mathrm{F} _{4}(x, y) \neq x^{n} h _{6}\left(\frac{y}{x}\right), n \in \mathbf{N} \text { के किसी भी मान के लिए } \\ & \qquad \mathrm{F} _{4}(x, y) \neq y^{n} h _{7}\left(\frac{x}{y}\right), n \in \mathbf{N} \text{ के किसी भी मान के लिए} \end{aligned} $$

इसलिए, एक फलन $F(x, y)$ घात $n$ का एक समघातीय फलन है यदि $\frac{d y}{d x}=F(x, y)$ रूप का एक अवकल समीकरण समघातीय कहलाता है यदि $F(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन हो।

इस प्रकार के समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए

$$ \mathrm{F}(x, y)=x^{n} g\left(\frac{y}{x}\right) \quad \text { या } \quad y^{n} h\left(\frac{x}{y}\right) $$

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y)=g\left(\frac{y}{x}\right) \tag{1} \end{equation*} $$

हम प्रतिस्थापन करते हैं $\qquad y=v \cdot x \tag{2}$

समीकरण (2) को $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \tag{3} $$

समीकरण (3) से $\frac{d y}{d x}$ का मान समीकरण (1) में रखने पर हमें प्राप्त होता है
या

$$ v+x \frac{d v}{d x}=g(v) $$

$$ \begin{equation*} x \frac{d v}{d x}=g(v)-v \tag{4} \end{equation*} $$

समीकरण (4) में चरों को पृथक करने पर हमें प्राप्त होता है

$$ \frac{d v}{g(v)-v}=\frac{d x}{x} \tag{5} $$

समीकरण (5) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

$$ \int \frac{d v}{g(v)-v}=\int \frac{1}{x} d x+C \tag{6} $$

समीकरण (6) समीकरण (1) का व्यापक हल (प्रिमिटिव) देता है जब हम $v$ को $\frac{y}{x}$ से प्रतिस्थापित करते हैं।

टिप्पणी यदि समघातीय अवकल समीकरण $\frac{d x}{d y}=F(x, y)$ के रूप में हो, जहाँ $F(x, y)$ शून्य घात का समघातीय फलन है, तो हम प्रतिस्थापन $\frac{x}{y}=v$ अर्थात् $x=v y$ करते हैं और आगे व्यापक हल ज्ञात करने के लिए उपरोक्त चर्चा के अनुसार आगे बढ़ते हैं, $\frac{d x}{d y}=F(x, y)=h(\frac{x}{y})$ लिखकर।

उदाहरण 10 दिखाइए कि अवकल समीकरण $(x-y) \frac{d y}{d x}=x+2 y$ समघातीय है और इसे हल कीजिए।

हल दिया गया अवकल समीकरण इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{x+2 y}{x-y} \tag{1} \end{equation*} $$

माना
$$ \mathrm{F}(x, y)=\frac{x+2 y}{x-y} $$

अब
$$ F(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda(x+2 y)}{\lambda(x-y)}=\lambda^{0} \cdot f(x, y) $$

इसलिए, $F(x, y)$ शून्य घात का समघातीय फलन है। अतः दिया गया अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है।

वैकल्पिक रूप से,

$$ \frac{d y}{d x}=(\frac{1+\frac{2 y}{x}}{1-\frac{y}{x}})=g(\frac{y}{x}) \tag{2} $$

अवकल समीकरण (2) का दायाँ पक्ष $g(\frac{y}{x})$ के रूप में है और इसलिए यह शून्य घात की एक समघातीय फलन है। इसलिए, समीकरण (1) एक समघातीय अवकल समीकरण है। इसे हल करने के लिए हम प्रतिस्थापन करते हैं

$$ y=v x \tag{3} $$

समीकरण (3) को $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

$$ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \tag{4} $$

समीकरण (1) में $y$ और $\frac{d y}{d x}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

$$ v+x \frac{d v}{d x}=\frac{1+2 v}{1-v} $$

$\text{ या }\qquad x \frac{d v}{d x}=\frac{1+2 v}{1-v}-v $

$\text{ या }\qquad x \frac{d v}{d x}=\frac{v^{2}+v+1}{1-v} $

$\text{ या }\qquad \frac{v-1}{v^{2}+v+1} d v=\frac{-d x}{x} $

समीकरण (5) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

$$ \int \frac{v-1}{v^{2}+v+1} d v=-\int \frac{d x}{x} $$

$$\text{ या }\qquad \frac{1}{2} \int \frac{2 v+1-3}{v^{2}+v+1} d v=-\log |x|+C_1 $$

$$\text{ या }\qquad \frac{1}{2} \int \frac{2 v+1}{v^{2}+v+1} d v-\frac{3}{2} \int \frac{1}{v^{2}+v+1} d v=-\log |x|+C_1 $$

$$ \frac{1}{2} \log |v^{2}+v+1|-\frac{3}{2} \int \frac{1}{(v+\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} d v=-\log |x|+C_1 $$

या $ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \log |v^{2}+v+1|-\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}(\frac{2 v+1}{\sqrt{3}})=-\log |x|+C_1 \\ & \frac{1}{2} \log |v^{2}+v+1|+\frac{1}{2} \log x^{2}=\sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{2 v+1}{\sqrt{3}})+C_1 \end{aligned} $

$v$ को $\frac{y}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

या $$ \frac{1}{2} \log |\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{y}{x}+1|+\frac{1}{2} \log x^{2}=\sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{2 y+x}{\sqrt{3} x})+C_1 $$

$$ \frac{1}{2} \log |(\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{y}{x}+1) x^{2}|=\sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{2 y+x}{\sqrt{3} x})+C_1 $$

या $$ \log |(y^{2}+x y+x^{2})|=2 \sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{2 y+x}{\sqrt{3} x})+2 C_1 $$

$$ \log |(x^{2}+x y+y^{2})|=2 \sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{x+2 y}{\sqrt{3} x})+C $$

जो अवकल समीकरण (1) का व्यापक हल है

उदाहरण 11 दिखाइए कि अवकल समीकरण $x \cos (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x}=y \cos (\frac{y}{x})+x$ समघातीय है और इसे हल कीजिए।

हल दिया गया अवकल समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{y \cos (\frac{y}{x})+x}{x \cos (\frac{y}{x})} \tag{1} $$

यह $\frac{d y}{d x}=F(x, y)$ रूप का अवकल समीकरण है।

यहाँ $ F(x, y)=\frac{y \cos (\frac{y}{x})+x}{x \cos (\frac{y}{x})} $

$x$ को $\lambda x$ से और $y$ को $\lambda y$ से प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ F(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda[y \cos (\frac{y}{x})+x]}{\lambda(x \cos \frac{y}{x})}=\lambda^{0}[F(x, y)] $

इस प्रकार, $F(x, y)$ शून्य घात की समघातीय फलन है।अतः, दिया गया अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है।इसे हल करने के लिए हम प्रतिस्थापन करते हैं

$$ y=v x \tag{2} $$

समीकरण (2) को $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \tag{3} $$

समीकरण (1) में $y$ और $\frac{d y}{d x}$ का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+1}{\cos v} $$

$$\text{ या }\qquad x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+1}{\cos v}-v $$

$$\text{ या }\qquad x \frac{d v}{d x}=\frac{1}{\cos v} $$

$$\text{ या }\qquad \cos v d v=\frac{d x}{x} $$

$$\text{ इसलिए }\qquad \int \cos v d v=\int \frac{1}{x} d x $$

$\text{ या }\qquad \sin v=\log |x|+\log |\mathrm{C}| $ $ \sin v=\log |\mathrm{C} x| $

$v$ को $\frac{y}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \sin (\frac{y}{x})=\log |C x| $$

जो अवकल समीकरण (1) का व्यापक हल है।

उदाहरण 12 दिखाइए कि अवकल समीकरण $2 y e^{\frac{x}{y}} d x+(y-2 x e^{\frac{x}{y}}) d y=0$ समघातीय है और इसका विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया गया है कि, $x=0$ जब $y=1$।

हल दिया गया अवकल समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$\text{ मान लीजिए }\qquad \begin{equation*} \frac{d x}{d y}=\frac{2 x e^{\frac{x}{y}}-y}{2 y e^{\frac{x}{y}}} \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \mathrm{F}(x, y)=\frac{2 x e^{\frac{x}{y}}-y}{2 y e^{\frac{x}{y}}} \text { तब } \mathrm{F}(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda\left(2 x e^{\frac{x}{y}}-y\right)}{\lambda\left(2 y e^{\frac{x}{y}}\right)}=\lambda^{\circ}[\mathrm{F}(x, y)] $$

इस प्रकार, $F(x, y)$ घात शून्य की समघातीय फलन है।

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है।

इसे हल करने के लिए, हम प्रतिस्थापन करते हैं $ x=v y $

समीकरण (2) को $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y} \tag{2} $$

समीकरण (1) में $x$ और $\frac{d x}{d y}$ का मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

या $ \begin{aligned} v+y \frac{d v}{d y} & =\frac{2 v e^{v}-1}{2 e^{v}} \ y \frac{d v}{d y} & =\frac{2 v e^{v}-1}{2 e^{v}}-v \ y \frac{d v}{d y} & =-\frac{1}{2 e^{v}} \ 2 e^{v} d v & =\frac{-d y}{y} \ \int 2 e^{v} \cdot d v & =-\int \frac{d y}{y} \ 2 e^{v} & =-\log |y|+C \end{aligned} $

या तथा $v$ को $\frac{x}{y}$ से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ 2 e^{\frac{x}{y}}+\log |y|=C \tag{3} $$

समीकरण (3) में $x=0$ और $y=1$ रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ 2 e^{0}+\log |1|=C \Rightarrow C=2 $$

समीकरण (3) में $C$ का मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ 2 e^{\frac{x}{y}}+\log |y|=2 $$

जो दी गई अवकल समीकरा का विशिष्ट हल है।

उदाहरण 13 दिखाइए कि वक्रों के उस परिवार के लिए जिस पर किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}$ है, वक्र $x^{2}-y^{2}=c x$ द्वारा दिया जाता है।

हल हम जानते हैं कि किसी वक्र पर किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{d y}{d x}$ होती है।

$$ \begin{equation*} \text{ इसलिए, } \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y} \text { या } \frac{d y}{d x}=\frac{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 y}{x}} \tag{1} \end{equation*} $$

स्पष्टतः, (1) एक समघात अवकल समीकरण है। इसे हल करने के लिए हम प्रतिस्थापन करते हैं $ y=v x $ $y=v x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $$ \begin{aligned} & \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \text{ या } v+x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}}{2 v} \ & x \frac{d v}{d x}=\frac{1-v^{2}}{2 v} \text{ या } \frac{2 v}{1-v^{2}} d v=\frac{d x}{x} \text{ या } \frac{2 v}{v^{2}-1} d v=-\frac{d x}{x} \end{aligned} $$

$$ \text{ इसलिए } \qquad \int \frac{2 v}{v^{2}-1} d v=-\int \frac{1}{x} d x $$

$$ \text{ या } \qquad \log |v^{2}-1|=-\log |x|+\log |C_1| $$

$$ \text{ या } \qquad \log |(v^{2}-1)(x)|=\log |C_1| $$

$$ \text{ या } \qquad (v^{2}-1) x= \pm C_1 $$

$v$ को $\frac{y}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ (\frac{y^{2}}{x^{2}}-1) x= \pm C_1 $$

$$ \text{ या } \qquad (y^{2}-x^{2})= \pm C_1 x \text{ या } x^{2}-y^{2}=C x $$

9.4.3 रैखिक अवकल समीकरण

$$ \frac{d y}{d x}+\mathrm{P} y=\mathrm{Q} $$

एक अवकल समीकरण जिसका रूप है, जहाँ $P$ और $Q$ स्थिरांक हैं या केवल $x$ के फलन हैं, को प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है। प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के कुछ उदाहरण हैं

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x}+y & =\sin x \ \frac{d y}{d x}+(\frac{1}{x}) y & =e^{x} \ \frac{d y}{d x}+(\frac{y}{x \log x}) & =\frac{1}{x} \end{aligned} $

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का एक अन्य रूप है

$\frac{d x}{d y}+\mathrm{P} _{1} x=\mathrm{Q} _{1}$

जहाँ, $\mathrm{P} _{1}$ और $\mathrm{Q} _{1}$ स्थिरांक हैं या केवल $y$ के फलन हैं। इस प्रकार के अवकल समीकरण के कुछ उदाहरण हैं

$ \begin{matrix} \frac{d x}{d y}+x=\cos y \\ \frac{d x}{d y}+\frac{-2 x}{y}=y^{2} e^{-y} \end{matrix} $

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के इस प्रकार

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}+\mathrm{P} y=\mathrm{Q} \tag{1} \end{equation*} $$

को हल करने के लिए

समीकरण के दोनों पक्षों को $x$ की एक फलन $g(x)$ से गुणा करें ताकि

$$ \begin{equation*} g(x) \frac{d y}{d x}+\mathrm{P} \cdot g(x) y=\mathrm{Q} \cdot g(x) \tag{2} \end{equation*} $$

$g(x)$ को इस प्रकार चुनें कि दायाँ पक्ष $y . g(x)$ का अवकलज बन जाए।

$$ \text{ अर्थात् } \qquad g(x) \frac{d y}{d x}+\mathrm{P} \cdot g(x) y=\frac{d}{d x}[y \cdot g(x)] $$

$$ \text{ या } \qquad g(x) \frac{d y}{d x}+\mathrm{P} \cdot g(x) y=g(x) \frac{d y}{d x}+y g^{\prime}(x) $$

$\Rightarrow \quad$ P. $g(x)=g^{\prime}(x)$

$$ \text{ या } \qquad \mathrm{P}=\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)} $$

दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \text{ या } \qquad \begin{aligned} या \quad\quad\quad\quad\int P d x & =\int \frac{g^{\prime}(x)}{g(x)} d x \\ \quad\quad\quad\quad\int P \cdot d x & =\log (g(x)) \\ g(x) & =e^{\int P d x} \end{aligned} $

समीकरण (1) को $g(x)=e^{\int P d x}$ से गुणा करने पर, बायाँ पक्ष $x$ और $y$ के किसी फलन का अवकलज बन जाता है। यह फलन $g(x)=e^{\int P d x}$ दिए गए अवकल समीकरण का समाकलन गुणांक (I.F.) कहलाता है।

$g(x)$ का मान समीकरण (2) में रखने पर हमें प्राप्त होता है

$ e^{\int P d x} \frac{d y}{d x}+P e^{\int P d x} y=Q \cdot e^{\int P d x} $

या $ \frac{d}{d x}(y e^{\int P d x})=Q e^{\int P d x} $

दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

या $ \begin{aligned} y \cdot e^{\int P d x} & =\int(Q \cdot e^{\int P d x}) d x \ y & =e^{-\int P d x} \cdot \int(Q \cdot e^{\int P d x}) d x+C \end{aligned} $

जो अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के चरण:

(i) दिए गए अवकल समीकरण को $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ के रूप में लिखें जहाँ $P, Q$ नियतांक हैं या केवल $x$ के फलन हैं।

(ii) समाकलन गुणक (I.F) ज्ञात करें $=e^{\int P d x}$।

(iii) दिए गए अवकल समीकरण का हल इस प्रकार लिखें

$$ y(I . F)=\int(Q \times I . F) d x+C $$

यदि प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण $\frac{d x}{d y}+P_1 x=Q_1$ के रूप में है, जहाँ $P_1$ और $Q_1$ नियतांक हैं या केवल $y$ के फलन हैं। तब I.F $=e^{P_1 d y}$ और अवकल समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है

$$ x \cdot(I \cdot F)=\int(Q_1 \times I \cdot F) d y+C $$

उदाहरण 14 अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}-y=\cos x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया अवकल समीकरण इस रूप का है

$$ \frac{d y}{d x}+P y=Q \text{, जहाँ } P=-1 \text{ और } Q=\cos x $$

इसलिए $\text{ I. } F=e^{\int-1 d x}=e^{-x}$

समीकरण के दोनों पक्षों को I.F से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} e^{-x} \frac{d y}{d x}-e^{-x} y & =e^{-x} \cos x \ \frac{d y}{d x}(y e^{-x}) & =e^{-x} \cos x \end{aligned} $$

$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{equation*} y e^{-x}=\int e^{-x} \cos x d x+\mathrm{C} \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \begin{aligned} \text{ माना }\qquad & =-\cos x e^{-x}-\int \sin x e^{-x} d x \\ & =-\cos x e^{-x}-[\sin x(-e^{-x})-\int \cos x(-e^{-x}) d x] \\ & =-\cos x e^{-x}+\sin x e^{-x}-\int \cos x e^{-x} d x \\ I & =-e^{-x} \cos x+\sin x e^{-x}-I \\ 2 I & =(\sin x-\cos x) e^{-x} \\ I & =\frac{(\sin x-\cos x) e^{-x}}{2} \end{aligned} $$

समीकरण (1) में I का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \text{ या }\qquad y e^{-x} & =(\frac{\sin x-\cos x}{2}) e^{-x}+C \\ y & =(\frac{\sin x-\cos x}{2})+C e^{x} \end{aligned} $

जो दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

उदाहरण 15 अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{2}(x \neq 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया अवकल समीकरण है

$ x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{2} $

समीकरण (1) के दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=x $$

जो $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ प्रकार का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P=\frac{2}{x}$ और $Q=x$ है।

$\text{ इसलिए } \text{ I.F }=e^{\int \frac{2}{x} d x}=e^{2 \log x}=e^{\log x^{2}}=x^{2}[\text{ क्योंकि } e^{\log f(x)}=f(x)] $

अतः, दिए गए समीकरण का हल निम्नलिखित है

$ \begin{matrix} y \cdot x^{2}=\int(x)(x^{2}) d x+C=\int x^{3} d x+C \\ y=\frac{x^{2}}{4}+C x^{-2} \end{matrix} $

जो दी गई अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

उदाहरण 16 अवकल समीकरण $y d x-(x+2 y^{2}) d y=0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

हल दी गई अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \frac{d x}{d y}-\frac{x}{y}=2 y $$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका प्रकार $\frac{d x}{d y}+P_1 x=Q_1$ है, जहाँ $P_1=-\frac{1}{y}$ और $Q_1=2 y$। इसलिए I.F $=e^{\int-\frac{1}{y} d y}=e^{-\log y}=e^{\log (y)^{-1}}=\frac{1}{y}$

अतः, दी गई अवकल समीकरण का हल है

$ \begin{aligned} \text{ या }\qquad x \frac{1}{y} & =\int(2 y)(\frac{1}{y}) d y+C \\ \frac{x}{y} & =\int(2 d y)+C \\ \frac{x}{y} & =2 y+C \\ x & =2 y^{2}+C y \end{aligned} $

जो दी गई अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

उदाहरण 17 दी गई अवकल समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया गया है कि जब $x=\frac{\pi}{2}$ तो $y=0$ है।

$$ \frac{d y}{d x}+y \cot x=2 x+x^{2} \cot x(x \neq 0) $$

हल दी गई समीकरण एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका प्रकार $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ है, जहाँ $P=\cot x$ और $Q=2 x+x^{2} \cot x$। इसलिए

$ \text{ I.F }=e^{\int \cot x d x}=e^{\log \sin x}=\sin x $

अतः, अवकल समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है

$ y \cdot \sin x=\int(2 x+x^{2} \cot x) \sin x d x+C $

$ \begin{aligned} & \text{ या } \quad y \sin x=\int 2 x \sin x d x+\int x^{2} \cos x d x+C \\ & \text{ या } \quad y \sin x=\sin x(\frac{2 x^{2}}{2})-\int \cos x(\frac{2 x^{2}}{2}) d x+\int x^{2} \cos x d x+C \\ & \text{ या } \quad y \sin x=x^{2} \sin x-\int x^{2} \cos x d x+\int x^{2} \cos x d x+C \\ & \text{ या } \quad y \sin x=x^{2} \sin x+C \end{aligned} $

समीकरण (1) में $y=0$ और $x=\frac{\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ 0=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)+C $$

$$ \text{ या }\qquad \mathrm{C}=\frac{-\pi^{2}}{4} $$ समीकरण (1) में $C$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \text{ या }\qquad y \sin x & =x^{2} \sin x-\frac{\pi^{2}}{4} \\ y & =x^{2}-\frac{\pi^{2}}{4 \sin x}(\sin x \neq 0) \end{aligned} $

जो दी गई अवकल समीकरण का विशिष्ट हल है।

उदाहरण 18 वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $(0,1)$ से गुजरता है। यदि किसी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता $x$ निर्देशांक (भुज) और उस बिंदु के $x$ निर्देशांक और $y$ निर्देशांक (कोटि) के गुणनफल के योग के बराबर है।

हल हम जानते हैं कि वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{d y}{d x}$ है।

$$ \begin{align*} \text{ इसलिए, }\qquad & \frac{d y}{d x}=x+x y \\ & \frac{d y}{d x}-x y=x \tag{1} \end{align*} $$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जो $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ प्रकार का है, जहाँ $P=-x$ और $Q=x$ है।

$ \text{ इसलिए, }\qquad \text{ I. } F=e^{\int-x d x}=e^{\frac{-x^{2}}{2}} $

अतः, समीकरण का हल दिया गया है

$$ \begin{equation*} \text{ मान लीजिए }\qquad y \cdot e^{\frac{-x^{2}}{2}}=\int(x)\left(e^{\frac{-x^{2}}{2}}\right) d x+\mathrm{C} \tag{2} \end{equation*} $$

$$ \mathrm{I}=\int(x) e^{\frac{-x^{2}}{2}} d x $$

मान लीजिए $\frac{-x^{2}}{2}=t$, तब $-x d x=d t$ या $x d x=-d t$।

इसलिए, $\quad I=-\int e^{t} d t=-e^{t}=-e^{\frac{-x^{2}}{2}}$

समीकरण (2) में I का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{align*} \text{ या } & y e^{\frac{-x^{2}}{2}}=-e^{\frac{-x^{2}}{2}}+\mathrm{C} \\ & y=-1+\mathrm{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} \tag{3} \end{align*} $$

अब (3) वक्रों के परिवार का समीकरण दर्शाता है। लेकिन हम उस परिवार के एक विशिष्ट सदस्य को खोजने में रुचि रखते हैं जो $(0,1)$ से गुजरता है। समीकरण (3) में $x=0$ और $y=1$ रखने पर हमें प्राप्त होता है

$$ 1=-1+C \cdot e^{0} \text{ या } C=2 $$

समीकरण (3) में C का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ y=-1+2 e^{\frac{x^{2}}{2}} $$

जो अभीष्ट वक्र का समीकरण है।

विविध उदाहरण

उदाहरण 19 सत्यापित कीजिए कि फलन $y=c_1 e^{a x} \cos b x+c_2 e^{a x} \sin b x$, जहाँ $c_1, c_2$ स्वेच्छिक अचर हैं, अवकल समीकरण का एक हल है

$$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 a \frac{d y}{d x}+(a^{2}+b^{2}) y=0 $$

हल दिया गया फलन है

$$ \begin{equation*} y=e^{a x}\left[c _{1} \cos b x+c _{2} \sin b x\right] \tag{1} \end{equation*} $$

समीकरण (1) के दोनों पक्षों को $x$ के सापेक्ष अवकलित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{align*} & \frac{d y}{d x}=e^{a x}\left[-b c _{1} \sin b x+b c _{2} \cos b x\right]+\left[c _{1} \cos b x+c _{2} \sin b x\right] e^{a x} \cdot a \\ & \frac{d y}{d x}=e^{a x}\left[\left(b c _{2}+a c _{1}\right) \cos b x+\left(a c _{2}-b c _{1}\right) \sin b x\right] \tag{2} \end{align*} $$

समीकरण (2) के दोनों पक्षों को $x$ के सापेक्ष अवकलित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}= & e^{a x}[(b c_2+a c_1)(-b \sin b x)+(a c_2-b c_1)(b \cos b x)] \\ & +[(b c_2+a c_1) \cos b x+(a c_2-b c_1) \sin b x] e^{a x} \cdot a \\ = & e^{a x}[(a^{2} c_2-2 a b c_1-b^{2} c_2) \sin b x+(a^{2} c_1+2 a b c_2-b^{2} c_1) \cos b x] \end{aligned} $

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ और $y$ के मानों को दी गई अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \text{ L.H.S. }= & .e^{a x}[a^{2} c_2-2 a b c_1-b^{2} c_2) \sin b x+(a^{2} c_1+2 a b c_2-b^{2} c_1) \cos b x] \\ & -2 a e^{a x}[(b c_2+a c_1) \cos b x+(a c_2-b c_1) \sin b x] \\ & +(a^{2}+b^{2}) e^{a x}[c_1 \cos b x+c_2 \sin b x] \\ = & e^{a x} \begin{bmatrix} (a^{2} c_2-2 a b c_1-b^{2} c_2-2 a^{2} c_2+2 a b c_1+a^{2} c_2+b^{2} c_2) \sin b x \\ +(a^{2} c_1+2 a b c_2-b^{2} c_1-2 a b c_2-2 a^{2} c_1+a^{2} c_1+b^{2} c_1) \cos b x \end{bmatrix} \\ = & e^{a x}[0 \times \sin b x+0 \cos b x]=e^{a x} \times 0=0=\text{ R.H.S. } \end{aligned} $

अतः, दी गई फलन दिए गए अवकल समीकरण का एक हल है।

उदाहरण 20 अवकल समीकरण $\log (\frac{d y}{d x})=3 x+4 y$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया गया है कि जब $x=0$ तो $y=0$।

हल दिया गया अवकल समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है

$ \frac{d y}{d x}=e^{(3 x+4 y)} $

$ \frac{d y}{d x}=e^{3 x} \cdot e^{4 y} $

चरों को पृथक करने पर, हम पाते हैं

$$ \frac{d y}{e^{4 y}}=e^{3 x} d x $$

$$\text{ इसलिए } \int e^{-4 y} d y=\int e^{3 x} d x $$

$$\text{ या } \frac{e^{-4 y}}{-4}=\frac{e^{3 x}}{3}+C $$

$$\text{ या } 4 e^{3 x}+3 e^{-4 y}+12 C=0 \qquad\text{(2)} $$

(2) में $x=0$ और $y=0$ रखने पर, हम पाते हैं

$$ 4+3+12 C=0 \text{ या } C=\frac{-7}{12} $$

समीकरण (2) में $C$ का मान रखने पर, हम पाते हैं

$$ 4 e^{3 x}+3 e^{-4 y}-7=0 $$

जो दिए गए अवकल समीकरण का एक विशिष्ट हल है।

उदाहरण 21 अवकल समीकरण

$$ (x d y-y d x) y \sin (\frac{y}{x})=(y d x+x d y) x \cos (\frac{y}{x}) . $$

को हल कीजिए।

हल दिया गया अवकल समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ [x y \sin (\frac{y}{x})-x^{2} \cos (\frac{y}{x})] d y=[x y \cos (\frac{y}{x})+y^{2} \sin (\frac{y}{x})] d x $$

$$\text{ या } \frac{d y}{d x}=\frac{x y \cos (\frac{y}{x})+y^{2} \sin (\frac{y}{x})}{x y \sin (\frac{y}{x})-x^{2} \cos (\frac{y}{x})} $$

RHS के अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर, हम पाते हैं

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{y}{x} \cos (\frac{y}{x})+(\frac{y^{2}}{x^{2}}) \sin (\frac{y}{x})}{\frac{y}{x} \sin (\frac{y}{x})-\cos (\frac{y}{x})} \tag{1} $$

स्पष्ट है कि समीकरण (1) $\frac{d y}{d x}=g(\frac{y}{x})$ रूप की एक समघातीय अवकल समीकरण है। इसे हल करने के लिए,

हम प्रतिस्थापन करते हैं

$$ \begin{aligned} & y=v x \\ & \text{ या } \\ & \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \\ & v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v} \\ & x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v \cos v}{v \sin v-\cos v} \\ & (\frac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}) d v=\frac{2 d x}{x} \\ & \text{ इसलिए } \quad \int(\frac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}) d v=2 \int \frac{1}{x} d x \\ & \text{ या } \\ & \int \tan v d v-\int \frac{1}{v} d v=2 \int \frac{1}{x} d x \\ & \text{ या } \\ & \text{ या } \\ & \log |\sec v|-\log |v|=2 \log |x|+\log |C_1| \\ & \log |\frac{\sec v}{v x^{2}}|=\log |C_1| \\ & \text{ या } \\ & \frac{\sec v}{v x^{2}}= \pm C_1 \end{aligned} $$

समीकरण (3) में $v$ को $\frac{y}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \frac{\sec (\frac{y}{x})}{(\frac{y}{x})(x^{2})}=C \text{ जहाँ, } C= \pm C_1 \\ & \sec (\frac{y}{x})=C x y \end{aligned} $

जो दी गई अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

उदाहरण 22 अवकल समीकरण को हल कीजिए

$$ (\tan ^{-1} y-x) d y=(1+y^{2}) d x \text{. } $$

हल दी गई अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$ \frac{d x}{d y}+\frac{x}{1+y^{2}}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}} $

अब (1) एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका रूप $\frac{d x}{d y}+P_1 x=Q_1$ है,

जहाँ, $\quad P_1=\frac{1}{1+y^{2}}$ और $Q_1=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}$। इसलिए, $\quad I . F=e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} d y}=e^{\tan ^{-1} y}$

इस प्रकार, दी गई अवकल समीकरण का हल है

$$ \begin{equation*} x e^{\tan ^{-1} y}=\int\left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} d y+\mathrm{C} \tag{2} \end{equation*} $$

$ \text{ मान लीजिए } \quad I=\int(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}) e^{\tan ^{-1} y} d y $

$\tan ^{-1} y=t$ प्रतिस्थापित करने पर ताकि $(\frac{1}{1+y^{2}}) d y=d t$, हमें प्राप्त होता है

$ I=\int t e^{t} d t=t e^{t}-\int 1 \cdot e^{t} d t=t e^{t}-e^{t}=e^{t}(t-1) $

$$\text{ या }\qquad I=e^{\tan ^{-1} y}(\tan ^{-1} y-1) $$

समीकरण (2) में $I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} \text{ या }\qquad & x \cdot e^{\tan ^{-1} y}=e^{\tan ^{-1} y}(\tan ^{-1} y-1)+C \\ x= & (\tan ^{-1} y-1)+C e^{-\tan ^{-1} y} \end{aligned} $$

जो दी गई अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

सारांश

• एक समीकरण जिसमें आश्रित चर के स्वतंत्र चर (चरों) के सापेक्ष अवकलज शामिल हों, को अवकल समीकरण के रूप में जाना जाता है।

• अवकल समीकरण की कोटि वह कोटि है जो अवकल समीकरण में आने वाले उच्चतम कोटि के अवकलज की होती है।

• अवकल समीकरण की घात तभी परिभाषित की जाती है जब वह अपने अवकलजों में एक बहुपद समीकरण हो।

• अवकल समीकरण की घात (जब परिभाषित हो) उसमें उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात (केवल धनात्मक पूर्णांक) होती है।

• एक फलन जो दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है, उसका हल कहा जाता है। वह हल जिसमें उतने स्वेच्छ अचर हों जितनी अवकल समीकरण की कोटि हो, सामान्य हल कहलाता है और स्वेच्छ अचरों से रहित हल विशिष्ट हल कहलाता है।

• चर पृथक विधि का उपयोग ऐसे समीकरण को हल करने के लिए किया जाता है जिसमें चरों को पूरी तरह से पृथक किया जा सके अर्थात् $y$ युक्त पद $d y$ के साथ रहने चाहिए और $x$ युक्त पद $d x$ के साथ रहने चाहिए।

• एक अवकल समीकरण जिसे $\frac{d y}{d x}=f(x, y)$ या $\frac{d x}{d y}=g(x, y)$ के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ $f(x, y)$ और $g(x, y)$ शून्य घात के समघात फलन हों, समघात अवकल समीकरण कहलाता है।

एक अवकल समीकरण जिसका रूप $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ हो, जहाँ $P$ और $Q$ अचर या केवल $x$ के फलन हों, प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण कहलाता है।

ऐतिहासिक टिप्पणी

विज्ञान की प्रमुख भाषाओं में से एक अवकल समीकरणों की भाषा है।
दिलचस्प बात यह है कि अवकल समीकरणों की जन्मतिथि 11 नवम्बर, 1675 मानी जाती है, जब गॉटफ्रिड विल्हेल्म फ्रायहेर लाइबनिट्ज़ (1646–1716) ने पहली बार $\int y d y=\frac{1}{2} y^{2}$ की पहचान कागज़ पर उतारी, जिससे उन्होंने $\int$ और $d y$ दोनों प्रतीकों को प्रस्तुत किया।
लाइबनिट्ज़ वास्तव में एक ऐसे वक्र को खोजने की समस्या में रुचि रखते थे जिसकी स्पर्शरेखाएँ निर्धारित हों।
इसने उन्हें 1691 में ‘चरों के पृथक्करण की विधि’ खोजने की ओर प्रेरित किया।
एक वर्ष बाद उन्होंने ‘प्रथम कोटि के समांगी अवकल समीकरणों को हल करने की विधि’ को सूत्रबद्ध किया।
उन्होंने बहुत कम समय में आगे बढ़कर ‘प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण को हल करने की विधि’ की खोज भी कर ली।
यह कितना आश्चर्यजनक है कि ये सभी विधियाँ एक ही व्यक्ति से आईं और वह भी अवकल समीकरणों के जन्म के 25 वर्षों के भीतर!

पुराने समय में, जिसे हम अब अवकल समीकरण का ‘हल’ कहते हैं, उसे पहले अवकल समीकरण का ‘समाकल’ कहा जाता था, यह शब्द जेम्स बर्नौली (1654 - 1705) ने 1690 में गढ़ा था। ‘हल’ शब्द का प्रयोग पहली बार जोसेफ लुई लाग्रांज (1736 - 1813) ने 1774 में किया था, जो अवकल समीकरणों के जन्म के लगभग सौ वर्ष बाद था। यह जूल्स हेनरी पॉइंकेरे (1854 - 1912) थे जिन्होंने ‘हल’ शब्द के प्रयोग की जोरदार वकालत की और इस प्रकार ‘हल’ शब्द ने आधुनिक परिभाषा में अपना अधिकारपूर्ण स्थान पा लिया। ‘चरों को पृथक करने की विधि’ का नाम जॉन बर्नौली (1667 - 1748) के नाम पर है, जो जेम्स बर्नौली के छोटे भाई थे।

ज्यामितीय समस्याओं पर भी इसका प्रयोग विचारा गया। फिर से जॉन बर्नौली ही थे जिन्होंने पहली बार अवकल समीकरणों की जटिल प्रकृति को प्रकाश में लाया। 20 मई 1715 को लाइबनिट्ज़ को लिखे एक पत्र में उसने अवकल समीकरण

$$ x^{2} y^{\prime \prime}=2 y $$

के हल प्रकट किए, जिससे तीन प्रकार की वक्र प्राप्त हुईं, अर्थात् परवलय, अतिपरवलय और घन वक्रों की एक श्रेणी। यह दिखाता है कि ऐसे भोले-भाले दिखने वाले अवकल समीकरण के हल कितने विविध हो सकते हैं। बीसवीं सदी के दूसरे छमाही से अवकल समीकरणों के हलों की इस जटिल प्रकृति की जांच पर ध्यान केंद्रित किया गया है, ‘अवकल समीकरणों का गुणात्मक विश्लेषण’ शीर्षक के तहत। आजकल, यह प्रधान महत्व प्राप्त कर चुका है और लगभग सभी अन्वेषणों में पूरी तरह आवश्यक हो गया है।