त्रिभुज का क्षेत्रफल

त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिभुज की भुजाओं से घिरे हुए स्थान की मात्रा को मापने का एक माप है। इसे त्रिभुज के आधार की लंबाई को उसकी ऊँचाई से गुणा करके और फिर परिणाम को दो से विभाजित करके निकाला जाता है। त्रिभुज का आधार त्रिभुज की कोई भी भुजा हो सकती है, और ऊँचाई आधार से विपरीत शीर्ष तक की लंबवत दूरी होती है। त्रिभुज का क्षेत्रफल हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके भी निकाला जा सकता है, जो त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयों का उपयोग करके उसका क्षेत्रफल निकालता है। त्रिभुज का क्षेत्रफल कई अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण है, जैसे कि किसी भूमि के टुकड़े का आकार मापना या किसी पिरामिड का आयतन निकालना।

त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र

त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$A = (1/2) \times b \times h$

जहाँ:

• A त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में है
• b त्रिभुज के आधार की लंबाई इकाइयों में है
• h त्रिभुज की ऊँचाई इकाइयों में है

उदाहरण 1

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें जिसका आधार 6 इंच और ऊँचाई 8 इंच है।

A $= (1/2) \times 6$ इंच $\times 8$ इंच

A = 24 वर्ग इंच

उदाहरण 2

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें जिसका आधार 10 सेंटीमीटर और ऊँचाई 15 सेंटीमीटर है।

$A = (1/2) \times 10$ सेमी $\times 15$ सेमी

A = 75 वर्ग सेंटीमीटर

उदाहरण 3

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें जिसका आधार 2.5 मीटर और ऊँचाई 4 मीटर है।

A $= (1/2) \times 2.5$ मी $\times 4$ मी

A = 5 वर्ग मीटर

त्रिभुज के क्षेत्रफल सूत्र के अनुप्रयोग

त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र विभिन्न अनुप्रयोगों में प्रयोग किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• एक भूमि के टुकड़े का क्षेत्रफल निकालना
• एक छत का क्षेत्रफल निकालना
• एक पाल का क्षेत्रफल निकालना
• एक खिड़की का क्षेत्रफल निकालना
• एक झंडे का क्षेत्रफल निकालना

त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र एक आधारभूत सूत्र है जिसे विभिन्न अनुप्रयोगों में प्रयोग किया जाता है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि इस सूत्र का उपयोग कैसे किया जाए ताकि त्रिभुज के क्षेत्रफल से संबंधित समस्याओं को हल किया जा सके।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है:

क्षेत्रफल $= (1/2) \times आधार \times $ ऊँचाई

जहाँ:

• आधार वह भुजा है जो समकोण के संलग्न है
• ऊँचाई वह भुजा है जो समकोण के सामने है

उदाहरण के लिए, यदि एक समकोण त्रिभुज का आधार 6 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है, तो इसका क्षेत्रफल होगा:

क्षेत्रफल $= (1/2) \times 6 cm \times 8 cm = 24 $ cm²

यहाँ समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के कुछ अतिरिक्त उदाहरण दिए गए हैं:

• एक समकोण त्रिभुज जिसका आधार 4 सेमी और ऊँचाई 3 सेमी है, उसका क्षेत्रफल 6 cm² है।
• एक समकोण त्रिभुज जिसका आधार 5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है, उसका क्षेत्रफल 30 cm² है।
• एक समकोण त्रिभुज जिसका आधार 8 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है, उसका क्षेत्रफल 40 cm² है।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भी निकाला जा सकता है, जो कहती है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (वह भुजा जो समकोण के विपरीत होती है) का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, यदि एक समकोण त्रिभुज का आधार 6 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है, तो पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण निकाला जा सकता है:

c² = a² + b²

c² = 6² + 8²

c² = 36 + 64

c² = 100

$c = \sqrt {100}$

c = 10 cm

फिर त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके निकाला जा सकता है:

क्षेत्रफल $= (1/2) \times आधार \times $ ऊँचाई

क्षेत्रफल $= (1/2) \times 6 cm \times 8 cm = 24 $ cm²

एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग अन्य आकृतियों—जैसे आयत, वर्ग और समांतर चतुर्भुज—के क्षेत्रफल निकालने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल के बराबर होता है, और एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

समबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं। समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है:

क्षेत्रफल = $(\sqrt3 / 4) \times a^2$

जहाँ:

• a समबाहु त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई है

उदाहरण:

यदि समबाहु त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई 6 सेमी है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

क्षेत्रफल = $(\sqrt 3 / 4) \times 6^2$

क्षेत्रफल = $(\sqrt 3 / 4) \times 36$

क्षेत्रफल = $9 \sqrt 3 cm^2$

अनुप्रयोग:

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल विभिन्न अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• एक सम बहुभुज का क्षेत्रफल निकालना
• एक सम पिरामिड का आयतन निकालना
• एक सम चतुष्फलक का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालना
• एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालना
• एक षट्भुज का क्षेत्रफल निकालना

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके निकाला जा सकता है:

Area $= (1/2) \times base \times $ height

जहाँ:

• base त्रिभुज की एक समान भुजा की लंबाई है
• height आधार के विपरीत शीर्ष से खींची गई ऊँचाई की लंबाई है

उदाहरण 1:

एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 6 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

Area $= (1/2) \times 6$ cm $ \times 4$ cm

Area $= 12 cm^2$

उदाहरण 2:

एक समद्विबाहु त्रिभुज की प्रत्येक समान भुजा 8 सेमी है और ऊँचाई 5 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

Area $= (1/2) \times 8 cm \times 5$ cm

Area $= 20 cm^2$

समद्विबाहु त्रिभुजों के गुण:

• समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण बराबर होते हैं।
• समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई आधार को समद्विभाजित करती है।
• समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोणों का योग 180^{\circ} होता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल का आधा होता है।

त्रिभुज का परिमाप

एक त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है। इसे सूत्र द्वारा इस प्रकार गणना किया जा सकता है:

परिमाप = भुजा 1 + भुजा 2 + भुजा 3

उदाहरण के लिए, यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी हैं, तो उसका परिमाप होगा:

परिमाप $= 3 सेमी + 4 सेमी + 5 सेमी = 12 $ सेमी

यहाँ त्रिभुज के परिमाप की गणना करने के कुछ अतिरिक्त उदाहरण दिए गए हैं:

• एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी हैं, का परिमाप 24 सेमी है।
• एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 12 सेमी, 15 सेमी और 18 सेमी हैं, का परिमाप 45 सेमी है।
• एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 20 सेमी, 25 सेमी और 30 सेमी हैं, का परिमाप 75 सेमी है।

त्रिभुज का परिमाप एक बुनियादी ज्यामितीय अवधारणा है जिसका उपयोग विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग त्रिभुज की एक अनुपस्थित भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, या यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि त्रिभुज समबाहु, समद्विबाहु या विषमबाहु है।

तीन भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल (हीरोन का सूत्र)

हीरोन का सूत्र

हीरोन का सूत्र एक गणितीय सूत्र है जो आपको त्रिभुज का क्षेत्रफल तब निकालने की अनुमति देता है जब आपको उसकी तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ पता हों। इसका नाम ग्रीक गणितज्ञ हीरोन ऑफ अलेक्जेंड्रिया के नाम पर रखा गया है, जो 1वीं शताब्दी ईस्वी में रहते थे।

सूत्र इस प्रकार है:

क्षेत्रफल $= \sqrt {(s(s - a)(s - b)(s - c))}$

जहाँ:

• s त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है, जो तीनों भुजाओं के योग का आधा है
• a, b और c त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ हैं

उदाहरण:

मान लीजिए आपके पास 3, 4 और 5 लंबाई की भुजाओं वाला एक त्रिभुज है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए, आप पहले अर्धपरिमाप की गणना करेंगे:

$s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6$

फिर, आप s, a, b और c के मानों को हेरॉन के सूत्र में डालेंगे:

क्षेत्रफल $= \sqrt {(6(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5))} = \sqrt {(6 \times 3 \times 2 \times 1) }= 6$

इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई है।

दो भुजाओं और सम्मिलित कोण (SAS) दिए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल

त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

क्षेत्रफल $= (1/2) \times b \times c \times sin(A)$

जहाँ:

• b और c त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाइयाँ हैं
• A दो भुजाओं के बीच का कोण है

उदाहरण:

5 सेमी और 7 सेमी लंबाई की भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें, और भुजाओं के बीच 30^{\circ} का कोण है।

क्षेत्रफल $= (1/2) \times 5 cm \times 7 cm \times sin(30^{\circ})$

क्षेत्रफल $= (1/2) \times 35 cm^2 \times 0.5$

क्षेत्रफल $= 8.75 cm^2$

त्रिभुज के क्षेत्रफल पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिभुज द्वारा घिरे दो-आयामी स्थान की मात्रा का माप है। यह ज्यामिति की एक मौलिक अवधारणा है और इसके विभिन्न क्षेत्रों में विभिन्न अनुप्रयोग हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके गणना किया जा सकता है, जो दी गई जानकारी पर निर्भर करता है।

सूत्र 1: आधार और ऊँचाई
त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने का सबसे सामान्य सूत्र इसके आधार और ऊँचाई का उपयोग करता है। आधार त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई होती है, और ऊँचाई आधार से विपरीत शीर्ष तक लंबवत दूरी होती है।

क्षेत्रफल $= (1/2) \times आधार \times $ ऊँचाई

उदाहरण:
मान लीजिए एक त्रिभुज का आधार 6 इकाई और ऊँचाई 4 इकाई है।

क्षेत्रफल $= (1/2) \times 6 \times 4$

क्षेत्रफल = 12 वर्ग इकाई

सूत्र 2: हेरॉन का सूत्र
जब त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात हों, तब हेरॉन का सूत्र प्रयोग किया जाता है। यह ग्रीक गणितज्ञ हेरॉन ऑफ एलेक्जेंड्रिया के नाम पर है।

क्षेत्रफल $= \sqrt {s(s - a)(s - b)(s - c)}$

जहाँ:

s = अर्धपरिमाप $= (a + b + c) / 2$

$a, b, c = $ त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ

उदाहरण:
मान लीजिए एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 इकाई, 7 इकाई और 8 इकाई हैं।

$s = (5 + 7 + 8) / 2 = 10$

क्षेत्रफल $= \sqrt {10(10 - 5)(10 - 7)(10 - 8)}$

क्षेत्रफल $= \sqrt {10 \times 5 \times 3 \times 2}$

क्षेत्रफल $= \sqrt {300}$

क्षेत्रफल ≈ 17.32 वर्ग इकाई

सूत्र 3: शीर्षों के निर्देशांक

यदि त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हों, तो मैट्रिक्स के सारणिक का उपयोग कर क्षेत्रफल निकाला जा सकता है।

क्षेत्रफल $= (1/2) \times |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

जहाँ:

$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ तीनों शीर्षों के निर्देशांक हैं

उदाहरण:
मान लीजिए एक त्रिभुज के शीर्ष A(2, 3), B(4, 6), और C(6, 2) हैं।

क्षेत्रफल $= (1/2) \times |2(6 - 2) + 4(2 - 3) + 6(3 - 6)|$

क्षेत्रफल $= (1/2) \times |2(4) + 4(-1) + 6(-3)|$

क्षेत्रफल $= (1/2) \times |8 - 4 - 18|$

क्षेत्रफल $= (1/2) \times |-14|$

क्षेत्रफल = 7 वर्ग इकाई

जब त्रिभुज की दो भुजाएँ और सम्मिलित कोण दिया हो तो क्षेत्रफल क्या होता है?

जब त्रिभुज की दो भुजाएँ और सम्मिलित कोण दिया हो तो त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र से निकाला जा सकता है:

क्षेत्रफल $= (1/2) \times b \times c \times sin(A)$

जहाँ: b और c दी गई दो भुजाओं की लंबाइयाँ हैं A सम्मिलित कोण का मान है

उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास एक त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई 5 सेमी और 7 सेमी है, और सम्मिलित कोण 60^{\circ} है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा:

क्षेत्रफल $= (1/2) \times 5 cm \times 7 cm \times sin(60^{\circ})$

$= (1/2) \times 35 cm^2 \times 0.866$

$= 15.15 cm^2$

यहाँ कुछ अतिरिक्त उदाहरण हैं:

यदि हमारे पास एक त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई 4 सेमी और 6 सेमी है, और सम्मिलित कोण 30^{\circ} है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा:

क्षेत्रफल $= (1/2) \times 4 cm \times 6 cm \times sin(30^{\circ})$

$= (1/2) \times 24 cm^2 \times 0.5$

$= 6 cm^2$

यदि हमारे पास एक त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई 8 सेमी और 10 सेमी है, और सम्मिलित कोण 45^{\circ} है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा:

क्षेत्रफल $= (1/2) \times 8 cm \times 10 cm \times sin(45^{\circ})$

$= (1/2) \times 80 cm^2 \times 0.707$

$= 28.28 cm^2$

यह सूत्र किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए प्रयोग किया जा सकता है, जब दो भुजाओं की लंबाई और सम्मिलित कोण का मान दिया हो।

तीन भुजाएँ देने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालें?

किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी तीन भुजाओं से ज्ञात करने के लिए आप हेरॉन का सूत्र प्रयोग कर सकते हैं। यह सूत्र कहता है कि a, b और c लंबाई की भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल (A) इस प्रकार दिया जाता है:

$A = \sqrt {s(s - a)(s - b)(s - c)}$

जहाँ s त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है, जिसे भुजाओं के योग का आधा माना जाता है:

$s = (a + b + c) / 2$

हैरॉन के सूत्र का प्रयोग करने के लिए बस त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मान सूत्र में डालें और परिणाम की गणना करें।

उदाहरण के लिए, आइए 3, 4 और 5 इकाई लंबाई की भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

$s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6$

$A = \sqrt {6(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)} = \sqrt {6 \times 3 \times 2 \times 1} = 6$ वर्ग इकाई

इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई है।

हैरॉन का सूत्र एक बहुउपयोगी उपकरण है जिसे किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है, चाहे उसका आकार या आकार-प्रकार कुछ भी हो। यह विशेष रूप से उपयोगी होता है जब त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं होता है, क्योंकि इसमें त्रिभुज के कोणों का ज्ञान आवश्यक नहीं होता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे गिनें?

त्रिभुज का क्षेत्रफल गिनने में त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बारे में दी गई विशिष्ट जानकारी के आधार पर विशिष्ट सूत्रों का प्रयोग शामिल होता है। यहाँ त्रिभुज का क्षेत्रफल गिनने के सबसे सामान्य तरीके दिए गए हैं:

1. आधार और ऊँचाई का उपयोग कर क्षेत्रफल सूत्र:

• यह सूत्र तब लागू होता है जब त्रिभुज का आधार (b) और ऊँचाई (h) ज्ञात हो।
• सूत्र: क्षेत्रफल $= (1/2) \times b \times h$
• उदाहरण: यदि किसी त्रिभुज का आधार 6 cm है और ऊँचाई 4 cm है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल $(1/2) \times 6 cm \times 4 cm = 12$ cm² होगा।

2. दो भुजाओं और उनके बीच के कोण का उपयोग कर क्षेत्रफल सूत्र:

• यह सूत्र तब प्रयोग किया जाता है जब त्रिभुज की दो भुजाएँ (a और b) और उनके बीच का कोण (θ) ज्ञात हो।
• सूत्र: क्षेत्रफल $ = (1/2) \times a \times b \times sin(θ)$
• उदाहरण: यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ 5 cm और 7 cm हैं, और उनके बीच का कोण 30^{\circ} है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल $ (1/2) \times 5 cm \times 7 cm \times sin(30°) ≈ 8.75$ cm² होगा।

3. हेरॉन का सूत्र:

• हेरॉन का सूत्र तब प्रयोग किया जाता है जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ (a, b, और c) ज्ञात हों।
• सूत्र: क्षेत्रफल $ = \sqrt {s(s - a)(s - b)(s - c)}$
• यहाँ, s त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है, जिसे $s = (a + b + c) / 2$ के रूप में गणना की जाती है।
• उदाहरण: यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ 4 cm, 6 cm, और 8 cm हैं, तो अर्ध-परिमाप s $= (4 cm + 6 cm + 8 cm) / 2 = 9$ cm है। इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल $ \sqrt{9 \times (9 - 4 ) \times (9 - 6) \times (9 - 8 )} ≈ 11.62$ cm² होगा।

4. शीर्षों के निर्देशांक का उपयोग कर क्षेत्रफल सूत्र:

• इस विधि में त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक का उपयोग कर क्षेत्रफल की गणना की जाती है।
• सूत्र: क्षेत्रफल $= (1/2) \times |(x_1 \times (y_2 - y_3) + x_2 \times (y_3 - y_1) + x_3 \times (y_1 - y_2))|$
• यहाँ, $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$, और $(x_3, y_3)$ त्रिभुज के तीन शीर्षों के निर्देशांक हैं।
• उदाहरण: यदि शीर्षों के निर्देशांक (2, 3), (4, 7), और (6, 2) हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल $(1/2) \times |(2 \times (7 - 2) + 4 \times (2 - 3) + 6 \times (3 - 7))| = 9$ वर्ग इकाई है।

याद रखें कि गणनाओं में भुजाओं और ऊँचाइयों के लिए प्रयुक्त इकाइयाँ सुसंगत होनी चाहिए ताकि मापन की वांछित इकाई में क्षेत्रफल प्राप्त हो सके।