समांतर श्रेणी

समांतर श्रेणी (AP) संख्याओं की एक ऐसी अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर स्थिर होता है। इस स्थिर अंतर को सार्व अंतर (d) कहा जाता है।

AP के nवें पद का सामान्य सूत्र है:

$T_n = a + (n-1)d$

जहाँ a पहला पद है, n पद की संख्या है, और d सार्व अंतर है।

उदाहरण के लिए, यदि पहला पद (a) 5 है और सार्व अंतर (d) 3 है, तो AP का 10वां पद $(T_{10})$ है:

$T_{10} = 5 + (10-1)3 = 5 + 9 \times 3 = 32$

AP के पहले n पदों का योग इस सूत्र द्वारा दिया गया है: $S_n = \dfrac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ जहाँ a पहला पद है, n पदों की संख्या है, और d सार्व अंतर है।

AP का उपयोग गणित और वास्तविक जीवन की विभिन्न परिस्थितियों में किया जाता है, जैसे कि संख्याओं की एक श्रृंखला का योग निकालना, रैखिक वृद्धि का मॉडलिंग, और क्रमागत पूर्णांकों से संबंधित समस्याओं को हल करना।

समांतर श्रेणी क्या है?

समांतर श्रेणी (AP)

समांतर श्रेणी (AP) संख्याओं की एक ऐसी अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर समान होता है। इस सार्व अंतर को प्रायः ’d’ द्वारा दर्शाया जाता है।

AP के nवें पद का सामान्य सूत्र है:

$ T_n = a + (n-1)d $

जहाँ:

• $T_n$ AP का nवां पद है
• a AP का पहला पद है
• d सार्व अंतर है
• n पद की संख्या है

उदाहरण:

निम्नलिखित संख्याओं की अनुक्रम पर विचार करें:

2, 5, 8, 11, 14, …

यह अनुक्रम 3 के सार्व अंतर वाला एक समांतर श्रेणी (AP) है। पहला पद 2 है, और दूसरा पद 5 है। इन दोनों पदों के बीच का अंतर 3 है। तीसरा पद 8 है, और दूसरे व तीसरे पद के बीच का अंतर भी 3 है। यह प्रतिरूप अनुक्रम के सभी पदों के लिए जारी रहता है।

AP के गुणधर्म:

• समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$ S_n = \dfrac{n}{2}(a + T_n) $

जहाँ:

• $S_n$ समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग है

• a समांतर श्रेणी का प्रथम पद है

• $T_n$ समांतर श्रेणी का nवाँ पद है

• n पदों की संख्या है

• समांतर श्रेणी का समांतर माध्य निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$ A = \dfrac{(a + T_n)}{2} $

जहाँ:

• A समांतर श्रेणी का समांतर माध्य है
• a समांतर श्रेणी का प्रथम पद है
• $T_n$ समांतर श्रेणी का nवाँ पद है

AP के अनुप्रयोग:

AP का उपयोग गणित, भौतिकी, अभियांत्रिकी और अर्थशास्त्र सहित विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से होता है। AP के कुछ अनुप्रयोग उदाहरण इस प्रकार हैं:

• गणित में, AP का उपयोग अनुक्रम और श्रेणी के अध्ययन के लिए किया जाता है।
• भौतिकी में, AP का उपयोग नियत त्वरण वाली गति के अध्ययन के लिए किया जाता है।
• अभियांत्रिकी में, AP का उपयोग संरचनाओं को डिज़ाइन और विश्लेषित करने के लिए किया जाता है।
• अर्थशास्त्र में, AP का उपयोग जनसंख्या वृद्धि और आर्थिक वृद्धि के अध्ययन के लिए किया जाता है।

समांतर श्रेणी में संकेतन

समांतर श्रेणी में संकेतन

अंकगणितीय प्रगति (AP) में, हम प्रगति के पदों और अन्य महत्वपूर्ण तत्वों को दर्शाने के लिए विशिष्ट संकेतन का प्रयोग करते हैं। यहाँ सामान्यतः प्रयुक्त संकेतनों की व्याख्या दी गई है:

1. प्रथम पद (a):

• AP का प्रथम पद ‘a’ से दर्शाया जाता है।
• यह प्रारंभिक मान को दर्शाता है जिससे प्रगति आरंभ होती है।

2. सार्व अंतर (d):

• AP का सार्व अंतर ’d’ से दर्शाया जाता है।
• यह नियत मान को दर्शाता है जो प्रत्येक पद में अगला पद प्राप्त करने के लिए जोड़ा जाता है।

3. nवाँ पद ($a_n$):

• AP का nवाँ पद ’ $ a_n $ ’ से दर्शाया जाता है।
• यह प्रगति में nवें स्थान पर स्थित पद के मान को दर्शाता है।

4. सामान्य पद सूत्र:

• AP के लिए सामान्य पद सूत्र इस प्रकार है: $a_n $ = a + (n - 1)d
• यह सूत्र प्रगति में किसी भी पद का मान उसके स्थान (n) के आधार पर खोजने में सहायता करता है।

5. n पदों का योग ($S_n$):

• AP के प्रथम n पदों का योग ‘$S_n$’ से दर्शाया जाता है।
• यह प्रथम पद (a) से nवें पद ($a_n$) तक सभी पदों को जोड़कर प्राप्त कुल मान को दर्शाता है।

6. n पदों के योग का सूत्र:

• AP के n पदों के योग का सूत्र इस प्रकार है: $S_n = \dfrac{n}{2} \times (a + a_n)$
• यह सूत्र प्रगति के प्रथम n पदों के कुल योग को खोजने में सहायता करता है।

उदाहरण:

1. अंकगणितीय प्रगति:

• एक AP पर विचार करें जिसमें a = 5 और d = 3 है।
• इस AP के प्रथम कुछ पद इस प्रकार हैं: 5, 8, 11, 14, 17, …

2. nth पद खोजना:

• AP का $10^{वाँ}$ पद ($a_{10}$) ज्ञात करने के लिए जहाँ a = 5 और d = 3, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

  $a_n = a + (n - 1)d$

  $\Rightarrow a_{10} = 5 + (10 - 1)3$

  $\Rightarrow a_{10} = 5 + 9 \times 3$

  $\Rightarrow a_{10} = 5 + 27$

  $\Rightarrow a_{10} = 32$

• इसलिए, AP का 10वाँ पद 32 है।

3. n पदों का योग खोजना:

• AP के पहले 10 पदों ($S_{10}$) का योग ज्ञात करने के लिए जहाँ a = 5 और d = 3, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

  $S_n $= $\dfrac{n}{2} \times (a + a_n)$

  $\Rightarrow S_{10}$ = $\dfrac{10}{2} \times (5 + 32)$

  $\Rightarrow S_{10} = 5 \times 37$

  $\Rightarrow S_{10} = 185$

• इसलिए, AP के पहले 10 पदों का योग 185 है।

संक्षेप में, समांतर श्रेढ़ी में प्रयुक्त संकेतन हमें पदों, सामान्य अंतर, nth पद और पदों के योग को स्पष्ट और संक्षिप्त तरीके से दर्शाने और उनके साथ कार्य करने में मदद करता है।

AP का सामान्य रूप

समांतर श्रेढ़ी (AP) का सामान्य रूप

समांतर श्रेढ़ी (AP) संख्याओं की एक अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होता है। इस स्थिर अंतर को AP का सामान्य अंतर कहा जाता है।

AP का सामान्य रूप है:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, …, a + nd

जहाँ:

• a, AP का प्रथम पद है।
• d, AP का सामान्य अंतर है।
• n, AP में पदों की संख्या है।

उदाहरण के लिए, समांतर श्रेणी 3, 7, 11, 15, 19, …. पर विचार करें। यहाँ, पहला पद (a) 3 है, और सार्व अंतर (d) 4 है। इसलिए, इस समांतर श्रेणी का सामान्य रूप है:

3, 3 + 4, 3 + 2(4), 3 + 3(4), 3 + 4(4), …

इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

3, 7, 11, 15, 19, …

जो कि दी गई समांतर श्रेणी है।

समांतर श्रेणी के गुण

• समांतर श्रेणी के पहले n पदों का योग निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$S_n = \dfrac{n}{2}(2a + (n - 1)d)$

जहाँ:

• $S_n$ समांतर श्रेणी के पहले n पदों का योग है।

• a समांतर श्रेणी का पहला पद है।

• d समांतर श्रेणी का सार्व अंतर है।

• n समांतर श्रेणी में पदों की संख्या है।

• समांतर श्रेणी का nवाँ पद निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$T_n = a + (n - 1)d$

जहाँ:

• $T_n$ समांतर श्रेणी का nवाँ पद है।
• a समांतर श्रेणी का पहला पद है।
• d समांतर श्रेणी का सार्व अंतर है।
• n समांतर श्रेणी में पद का क्रमांक है।

समांतर श्रेणियों के उदाहरण

• अनुक्रम 1, 3, 5, 7, 9, … एक समांतर श्रेणी है जिसमें a = 1 और d = 2 है।
• अनुक्रम 2, 4, 6, 8, 10, … एक समांतर श्रेणी है जिसमें a = 2 और d = 2 है।
• अनुक्रम 3, 6, 9, 12, 15, … एक समांतर श्रेणी है जिसमें a = 3 और d = 3 है।

समांतर श्रेणियों के अनुप्रयोग

समांतर श्रेणियों का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• संख्याओं की एक श्रृंखला का योग ज्ञात करना।
• संख्याओं के एक समूह का औसत निकालना।
• वास्तविक-संसार की घटनाओं का मॉडलिंग, जैसे जनसंख्या वृद्धि और रेडियोधर्मी क्षय।

समांतर श्रेणी के N पदों का योग

एक समांतर श्रेणी (AP) के N पदों का योग गणित में एक मौलिक अवधारणा है, विशेष रूप से अनुक्रम और श्रेणी के अध्ययन में। एक समांतर श्रेणी संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है। इस स्थिर अंतर को सार्व अंतर (d) कहा जाता है।

एक AP के N पदों के योग का सूत्र इस प्रकार है:

$ S_N = \dfrac{N}{2}\times (2a + (N - 1)\times d) $

जहाँ:

• $S_N $ AP के प्रथम N पदों के योग को दर्शाता है।
• a AP का प्रथम पद है।
• d AP का सार्व अंतर है।
• N वे पदों की संख्या है जिनका योग निकालना है।

इस सूत्र को बेहतर समझने के लिए, आइए एक उदाहरण लें। मान लीजिए हमारे पास एक AP है जिसका प्रथम पद (a) 5 है और सार्व अंतर (d) 3 है। हमें इस AP के प्रथम 10 पदों (N = 10) का योग निकालना है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर हमें मिलता है:

$ S_{10} = \dfrac{10}{2} \times (2 \times 5 + (10 - 1) \times 3) $

अभिव्यक्ति को सरल करने पर:

$ S_{10} = 5 \times (10 + 9 \times 3) $

$ S_{10} = 5 \times (10 + 27) $

$ S_{10} = 5 \times 37 $

$ S_{10} = 185 $

इस प्रकार, उस AP के प्रथम 10 पदों का योग, जिसका प्रथम पद 5 और सार्व अंतर 3 है, 185 होता है।

यह सूत्र किसी भी समांतर श्रेणी (AP) के N पदों का योग ज्ञात करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है, यदि पहला पद (a) और सार्व अंतर (d) दिए गए हों। यह विभिन्न गणितीय अनुप्रयोगों में एक उपयोगी उपकरण है, जिसमें किसी वस्तु द्वारा नियत त्वरण से तय की गई कुल दूरी की गणना करना, किसी श्रृंखला में भुगतान या जमा राशियों का योग निकालना, और अन्य कई कार्य शामिल हैं।

समांतर श्रेणी के हल उदाहरण

समांतर श्रेणी (AP) एक संख्याओं की अनुक्रम है जिसमें किन्हीं दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर समान होता है। AP का पहला पद ‘पहला पद’ कहलाता है, और किन्हीं दो क्रमागत पदों के बीच का सार्व अंतर ‘सार्व अंतर’ कहलाता है।

उदाहरण 1:

पहला पद 5 और सार्व अंतर 3 वाली एक AP के प्रथम चार पद ज्ञात कीजिए।

हल:

AP का पहला पद 5 है। दूसरा पद 5 + 3 = 8 है। तीसरा पद 8 + 3 = 11 है। चौथा पद 11 + 3 = 14 है।

इसलिए, AP के प्रथम चार पद 5, 8, 11 और 14 हैं।

उदाहरण 2:

पहला पद 7 और सार्व अंतर 2 वाली एक AP के प्रथम 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

किसी AP के प्रथम n पदों के योग का सूत्र है:

$$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)d)$$

जहाँ:

• S_n प्रथम n पदों का योग है
• a पहला पद है
• d सार्व अंतर है
• n पदों की संख्या है

इस स्थिति में, a = 7, d = 2, और n = 10। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$S_{10} = \frac{10}{2}(2(7) + (10 - 1)2)$$ $$S_{10} = 5(14 + 9(2))$$ $$S_{10} = 5(32)$$ $$S_{10} = 160$$

इसलिए, AP के पहले 10 पदों का योग 160 है।

उदाहरण 3:

एक AP का 15वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका पहला पद 4 और सार्व अंतर 5 है।

हल:

AP के nवें पद का सूत्र है:

$$T_n = a + (n - 1)d$$

जहाँ:

• T_n nवाँ पद है
• a पहला पद है
• d सार्व अंतर है
• n पद का क्रमांक है

इस स्थिति में, a = 4, d = 5, और n = 15। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें मिलता है:

$$T_{15} = 4 + (15 - 1)5$$ $$T_{15} = 4 + 14(5)$$ $$T_{15} = 4 + 70$$ $$T_{15} = 74$$

इसलिए, AP का 15वाँ पद 74 है।

अंकगणितीय प्रगति पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अंकगणितीय प्रगति का सामान्य रूप क्या है?

अंकगणितीय प्रगति (AP) का सामान्य रूप

एक अंकगणितीय प्रगति (AP) में, किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है। इस स्थिर अंतर को सार्व अंतर (d) कहा जाता है।

AP का सामान्य रूप इस प्रकार है:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, …, a + nd

जहाँ:

• a AP का पहला पद है
• d सार्व अंतर है
• n AP में पदों की संख्या है

उदाहरण:

• अनुक्रम 1, 3, 5, 7, 9 एक AP है जिसमें a = 1 और d = 2 है।
• अनुक्रम 10, 7, 4, 1, -2 एक AP है जिसमें a = 10 और d = -3 है।
• अनुक्रम 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 एक AP है जिसमें a = 0.5 और d = 0.5 है।

AP के गुण:

• AP के पहले n पदों का योग सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$ S_n = \dfrac{n}{2}(2a + (n - 1)d) $

• किसी समांतर श्रेणी का nवाँ पद निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$ T_n = a + (n - 1)d $

• समांतर श्रेणी का सार्व अंतर पहले पद को दूसरे पद से घटाकर, या किन्हीं दो क्रमागत पदों को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है।

समांतर श्रेणी के अनुप्रयोग:

• समांतर श्रेणियों का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:
  • संख्याओं की एक श्रृंखला का योग ज्ञात करना
  • संख्याओं के समूह का औसत निकालना
  • भूतकालीन प्रवृत्तियों के आधार पर भविष्य के मानों की भविष्यवाणी करना
  • ब्याज दरों और वार्षिकी से संबंधित समस्याओं का समाधान करना

समांतर प्रगति क्या है? एक उदाहरण दीजिए।

समांतर प्रगति

समांतर प्रगति (AP) संख्याओं की एक ऐसी अनुक्रम है जिसमें किन्हीं दो क्रमागत संख्याओं का अंतर समान होता है। इस नियत अंतर को समांतर प्रगति का सार्व अंतर कहा जाता है।

समांतर प्रगति के nवें पद का सामान्य सूत्र है:

$$T_n = a + (n-1)d$$

जहाँ:

• $T_n$ समांतर प्रगति का nवाँ पद है
• $a$ समांतर प्रगति का पहला पद है
• $d$ समांतर प्रगति का सार्व अंतर है
• $n$ पद की संख्या है

उदाहरण:

निम्नलिखित संख्याओं की अनुक्रम पर विचार कीजिए:

$$2, 5, 8, 11, 14, 17, 20$$

यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है जिसका सार्व अंतर 3 है। अनुक्रम का पहला पद 2 है, और दूसरा पद 5 है। इन दोनों पदों के बीच का अंतर 3 है। तीसरा पद 8 है, और दूसरे व तीसरे पद के बीच का अंतर भी 3 है। यह प्रतिरूप अनुक्रम के शेष भाग के लिए भी जारी रहता है।

समांतर श्रेणियों के अनुप्रयोग

समांतर श्रेणियों का गणित और अन्य क्षेत्रों में विविध अनुप्रयोग होते हैं। कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

• भौतिकी में, समांतर श्रेणियों का उपयोग एकसमान त्वरण से गतिमान वस्तुओं के गति-विन्यास को मॉडल करने के लिए किया जाता है।
• वित्त में, समांतर श्रेणियों का उपयोग किसी निवेश के भविष्य के मूल्य की गणना करने के लिए किया जाता है।
• सांख्यिकी में, समांतर श्रेणियों का उपयोग किसी डेटा सेट का माध्य और मानक विचलन निकालने के लिए किया जाता है।

समांतर श्रेणियां गणित की एक मौलिक संकल्पना हैं जिनके अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला है। समांतर श्रेणियों की संकल्पना को समझकर आप गणित और अन्य क्षेत्रों के अनेक विभिन्न क्षेत्रों की गहरी समझ प्राप्त कर सकते हैं।

समांतर श्रेणी का योग कैसे निकालें?

समांतर श्रेणी (AP) का योग कैसे निकालें

समांतर श्रेणी (AP) एक ऐसा अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर समान होता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 3, 5, 7, 9 एक AP है जिसका सार्व अंतर 2 है।

AP का योग अनुक्रम में मौजूद सभी संख्याओं का योग होता है। उदाहरण के लिए, AP 1, 3, 5, 7, 9 का योग 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 है।

एक AP के योग को ज्ञात करने के लिए दो सूत्र प्रयोग किए जा सकते हैं:

• एक AP के n पदों का योग सूत्र द्वारा दिया गया है:

$ S_n = \dfrac{n}{2}(2a + (n - 1)d) $

जहाँ:

• Sn, AP के प्रथम n पदों का योग है

• a, AP का प्रथम पद है

• d, AP का सार्व अंतर है

• n, AP में पदों की संख्या है

• एक अनंत AP का योग सूत्र द्वारा दिया गया है:

$ S = \dfrac{a}{(1 - r)} $

जहाँ:

• S, अनंत AP का योग है
• a, AP का प्रथम पद है
• r, AP का सार्व अनुपात है

उदाहरण:

• AP 1, 3, 5, 7, 9 के प्रथम 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

$ \begin{aligned} &S_n = \dfrac{n}{2}(2a + (n - 1)d)\ &S_n = \dfrac{10}{2}(2(1) + (10 - 1)(2))\ &S_n = 5(2 + 9(2))\ &S_n = 5(20)\ &S_n = 100 \end{aligned} $

इसलिए, AP 1, 3, 5, 7, 9 के प्रथम 10 पदों का योग 100 है।

• अनंत AP $1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, ….$ का योग ज्ञात कीजिए।

$\begin{aligned} & S = \dfrac{a}{(1 - r)}\ & S = \dfrac{1}{(1 - 1/2)}\ & S = \dfrac{1}{(1/2)}\ & S = 2 \end{aligned} $

इसलिए, अनंत AP $1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, ….$ का योग 2 है।

गणित में प्रगतियों के प्रकार क्या हैं?

प्रगतियां संख्याओं की ऐसी अनुक्रमाएँ होती हैं जिनमें प्रथम पद के बाद प्रत्येक पद एक निश्चित संख्या, जिसे सार्व अंतर कहा जाता है, को जोड़ने या घटाने से प्राप्त होता है। प्रगतियों के मुख्यतः तीन प्रकार होते हैं: अंकगणितीय, गुणोत्तर और हरात्मक।

1. अंकगणितीय प्रगति (AP)

एक समांतर श्रेणी संख्याओं की एक ऐसी क्रमबद्ध श्रृंखला है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होता है। यह सार्व अंतर धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।

उदाहरण के लिए, क्रम 1, 3, 5, 7, 9 एक समांतर श्रेणी है जिसका सार्व अंतर 2 है।

समांतर श्रेणी के nवें पद का सामान्य सूत्र है:

$ T_n = a + (n - 1)d $

जहाँ:

• $T_n$ श्रेणी का nवाँ पद है
• a श्रेणी का प्रथम पद है
• d सार्व अंतर है

2. गुणोत्तर श्रेणी (GP)

एक गुणोत्तर श्रेणी संख्याओं की एक ऐसी क्रमबद्ध श्रृंखला है जिसमें प्रथम पद के बाद प्रत्येक पद पिछले पद को एक निश्चित संख्या, जिसे सार्व अनुपात कहा जाता है, से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। यह सार्व अनुपात धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।

उदाहरण के लिए, क्रम 1, 2, 4, 8, 16 एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात 2 है।

गुणोत्तर श्रेणी के nवें पद का सामान्य सूत्र है:

$ T_n = ar^{(n - 1)} $

जहाँ:

• $T_n$ श्रेणी का nवाँ पद है
• a श्रेणी का प्रथम पद है
• r सार्व अनुपात है

3. हरात्मक श्रेणी (HP)

एक हरात्मक श्रेणी संख्याओं की एक ऐसी क्रमबद्ध श्रृंखला है जिसमें पदों के व्युत्क्रम एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।

उदाहरण के लिए, क्रम $1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{5}$ एक हरात्मक श्रेणी है।

हरात्मक श्रेणी के nवें पद का सामान्य सूत्र है:

$ T_n = \dfrac{1}{(a + (n - 1)d)} $

जहाँ:

• $T_n$ प्रगति का nवाँ पद है
• a प्रगति का प्रथम पद है
• d पदों के व्युत्क्रमों का सार्व अंतर है

वास्तविक जीवन में प्रगतियों के उदाहरण

प्रगतियों का उपयोग विभिन्न वास्तविक जीवन के अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• वित्त: ऋण या निवेश पर ब्याज की गणना समांतर श्रेणी का उपयोग करके की जा सकती है।
• भौतिकी: गति में किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी की गणना गुणोत्तर श्रेणी का उपयोग करके की जा सकती है।
• संगीत: संगीत स्केल के स्वर हार्मोनिक प्रगति बनाते हैं।

प्रगतियाँ वास्तविक दुनिया की विभिन्न घटनाओं को मॉडल करने और समझने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण हैं।

समांतर श्रेणी का उपयोग क्या है?

समांतर श्रेणी (AP) संख्याओं की एक ऐसी अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत संख्याओं का अंतर समान होता है। इस स्थिर अंतर को सार्व अंतर (d) कहा जाता है। AP के nवें पद का सामान्य सूत्र है:

nवाँ पद = प्रथम पद + (n - 1) × सार्व अंतर

उदाहरण के लिए, AP 2, 5, 8, 11, 14, …. पर विचार करें। यहाँ प्रथम पद (a) 2 है और सार्व अंतर (d) 3 है। इस AP का 10वाँ पद इस प्रकार गणना किया जा सकता है:

$10^{th}\ \text{term} = 2 + (10 - 1) \times 3$

$10^{th}\ \text{term} = 2 + 9 \times 3$

$10^{th}\ \text{term} = 2 + 27$

$10^{th}\ \text{term} = 29$

AP के विभिन्न क्षेत्रों में विभिन्न अनुप्रयोग हैं:

1. गणित: AP का उपयोग अनुक्रम और श्रेणी का अध्ययन करने के साथ-साथ पदों के योग से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।

2. भौतिकी: AP का उपयोग नियत त्वरण के साथ गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु प्रारंभिक वेग (u) और नियत त्वरण (a) से गति कर रही है, तो समय (t) के बाद वस्तु द्वारा तय की गई दूरी (s) निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

$s = u \times t + 0.5 \times a \times t^2$

यह सूत्र AP का उपयोग करके व्युत्पन्न किया गया है।

3. वित्त: AP का उपयोग चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए किया जाता है। चक्रवृद्धि ब्याज में, प्रत्येक वर्ष अर्जित ब्याज मूलधन में जोड़ दिया जाता है, और अगले वर्षों में बढ़ी हुई राशि पर ब्याज की गणना की जाती है। चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है:

$A = P \times (1 + \dfrac{r}{n})^{(n\times t)}$

जहाँ:

A = अंतिम राशि

P = मूलधन

r = वार्षिक ब्याज दर

n = प्रति वर्ष ब्याज संयोजित होने की संख्या

t = वर्षों की संख्या

4. सांख्यिकी: AP का उपयोग केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों, जैसे माध्य, माध्यिका और बहुलक की गणना के लिए किया जाता है।

5. अभियांत्रिकी: AP का उपयोग विभिन्न अभियांत्रिकी अनुप्रयोगों में किया जाता है, जैसे संरचनाओं पर कार्यरत बलों की गणना और गियर तथा पुलियों का डिज़ाइन।

संक्षेप में, समांतर श्रेणी एक उपयोगी अवधारणा है जिसका उपयोग गणित, भौतिकी, वित्त, सांख्यिकी और अभियांत्रिकी सहित विभिन्न क्षेत्रों में होता है।