बिनॉमियल

बिनॉमियल वितरण n स्वतंत्र हाँ/नहीं प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या का एक विवृत प्रायिकता वितरण है, जिनमें से प्रत्येक सफलता p प्रायिकता के साथ सफलता देता है।

बिनॉमियल वितरण का उपयोग किसी ज्ञात सफलता प्रायिकता वाली जनसंख्या से दी गई आकार के नमूने में सफलताओं की संख्या को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

बिनॉमियल वितरण का माध्य np है और प्रसरण np*(1-p) है।

बिनॉमियल वितरण पॉइसॉन वितरण का एक विशेष मामला है, जब सफलता की प्रायिकता छोटी हो और प्रयोगों की संख्या बड़ी हो।

बिनॉमियल वितरण को बर्नौली वितरण भी कहा जाता है जब n = 1 हो।

बिनॉमियल परिभाषा

बिनॉमियल परिभाषा

गणित में, एक बिनॉमियल एक द्विपद होता है जिसमें दो पद होते हैं। बिनॉमियल का सामान्य रूप इस प्रकार है:

$$ax^n + bx^m$$

जहाँ $a$ और $b$ अचर हैं, $x$ चर है, और $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं।

बिनॉमियल के उदाहरण

बिनॉमियल के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

• $x^2 + 3x$
• $2x^3 - 5x^2$
• $4x - 7$
• $\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{3}{4}x$

बिनॉमियल गुणांक

बिनॉमियल गुणांक एक ऐसी संख्या है जो n तत्वों के एक समुच्चय से r तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है। बिनॉमियल गुणांक को $\binom{n}{r}$ से दर्शाया जाता है और इस प्रकार परिकलित किया जाता है:

$$\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$$

जहाँ $n!$, $n$ का कारणांक है, जो n तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है।

बिनॉमियल गुणांकों के उदाहरण

बाइनोमियल गुणांकों के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

• $\binom{5}{2} = \dfrac{5!}{2!3!} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!3!} = 10\\ $
• $\binom{10}{4} = \dfrac{10!}{4!6!} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{4!6!} = 210\\ $
• $\binom{15}{7} = \dfrac{15!}{7!8!} = \dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{7!8!} = 6435$

बाइनोमियल्स के अनुप्रयोग

बाइनोमियल्स का गणित में विविध अनुप्रयोग होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• प्रायिकता सिद्धांत
• सांख्यिकी
• संयोजनिकी
• बीजगणित
• कलन

निष्कर्ष

बाइनोमियल्स गणित की एक मौलिक संकल्पना हैं जिनके व्यापक अनुप्रयोग हैं। बाइनोमियल की परिभाषा और बाइनोमियल गुणांकों की संकल्पना को समझकर आप कई गणितीय संकल्पनाओं को गहराई से समझ सकते हैं और विभिन्न समस्याओं को हल कर सकते हैं।

बाइनोमियल के उदाहरण

बाइनोमियल बंटन स्वतंत्र प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या का एक विवृत प्रायिकता बंटन है, जिनमें से प्रत्येक सफलता प्रायिकता $p$ के साथ सफलता देता है।

बाइनोमियल बंटन के उदाहरण:

1. सिक्का उछालना: मान लीजिए $X$ एक निष्पक्ष सिक्के के 10 उछालों में चितों की संख्या है। तब $X$, $n = 10$ और $p = 0.5$ के साथ एक बाइनोमियल बंटन का अनुसरण करता है। ठीक $k$ चितें आने की प्रायिकता बाइनोमियल प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा दी जाती है:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

जहाँ:

• $n$ प्रयोगों की संख्या है (10 उछाल)
• $k$ सफलताओं की संख्या है (चित)
• $p$ प्रत्येक प्रयोग में सफलता की प्रायिकता है (निष्पक्ष सिक्के के लिए 0.5)

उदाहरण के लिए, 10 उछालों में ठीक 5 चित आने की प्रायिकता है:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^5 = 0.2461$$

2. पासा फेंकना: मान लीजिए $X$ एक निष्पक्ष छह-फलकीय पासे के 6 फेंकों में छक्कों की संख्या है। तब $X$, $n = 6$ और $p = 1/6$ के साथ एक द्विपद बंटन का अनुसरण करता है। ठीक $k$ छक्के आने की प्रायिकता द्विपद प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा दी गई है:

$$P(X = k) = \binom{6}{k} (\dfrac{1}{6})^k (\dfrac{5}{6})^{6-k}$$

उदाहरण के लिए, 6 फेंकों में ठीक 2 छक्के आने की प्रायिकता है:

$$P(X = 2) = \binom{6}{2} (\dfrac{1}{6})^2 (\dfrac{5}{6})^4 = 0.3349$$

3. ग्राहक संतुष्टि सर्वेक्षण: मान लीजिए $X$ 100 ग्राहकों के सर्वेक्षण में नए उत्पाद से संतुष्ट ग्राहकों की संख्या है। यदि किसी ग्राहक के उत्पाद से संतुष्ट होने की प्रायिकता 0.8 है, तब $X$, $n = 100$ और $p = 0.8$ के साथ एक द्विपद बंटन का अनुसरण करता है। ठीक $k$ संतुष्ट ग्राहक मिलने की प्रायिकता द्विपद प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा दी गई है:

$$P(X = k) = \binom{100}{k} (0.8)^k (0.2)^{100-k}$$

उदाहरण के लिए, सर्वेक्षण में ठीक 80 संतुष्ट ग्राहक मिलने की प्रायिकता है:

$$P(X = 80) = \binom{100}{80} (0.8)^{80} (0.2)^{20} = 0.0796$$

द्विपद समीकरण

द्विपद समीकरण

द्विपद समीकरण एक गणितीय सूत्र है जो स्वतंत्र प्रयोगों की एक श्रृंखला में किसी विशिष्ट संख्या में सफलताओं की प्रायिकता को वर्णित करता है, जिनमें से प्रत्येक की सफलता की प्रायिकता नियत होती है। यह सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

$$P(X = x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$$

जहाँ:

• $P(X = x)$, $n$ स्वतंत्र प्रयोगों में ठीक $x$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता है
• $n$ प्रयोगों की संख्या है
• $x$ सफलताओं की संख्या है
• $p$ प्रत्येक प्रयोग में सफलता की प्रायिकता है

उदाहरण:

मान लीजिए आप एक सिक्का 10 बार उछालते हैं। प्रत्येक उछाल में चित आने की प्रायिकता $\dfrac{1}{2}$ है। ठीक 5 चित आने की प्रायिकता क्या है?

द्विपद समीकरण का उपयोग करके, हम प्रायिकता इस प्रकार परिकलित कर सकते हैं:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5} (\dfrac{1}{2})^5(\dfrac{1}{2})^{5} = \dfrac{252}{1024} \approx 0.246$$

इसलिए, एक सिक्के को 10 बार उछालने में ठीक 5 चित आने की प्रायिकता लगभग 0.246 है।

द्विपद समीकरण के अनुप्रयोग

द्विपद समीकरण की प्रायिकता और सांख्यिकी में विस्तृत अनुप्रयोग हैं, जिनमें शामिल हैं:

• गुणवत्ता नियंत्रण: द्विपद समीकरण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि उत्पादों के एक नमूने के आधार पर किसी उत्पाद के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता क्या है।
• चिकित्सा अनुसंधान: द्विपद समीकरण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि रोगियों के एक नमूने के आधार पर किसी रोग से उबरने की प्रायिकता क्या है।
• सामाजिक विज्ञान अनुसंधान: द्विपद समीकरण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि मतदाताओं के एक नमूने के आधार पर किसी विशेष उम्मीदवार को वोट देने की प्रायिकता क्या है।

द्विपद समीकरण विविध अनुप्रयोगों में घटनाओं की प्रायिकता को समझने और भविष्यवाणी करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है।

द्विपदों पर संक्रियाएँ

द्विपदों पर संक्रियाएँ

द्विपद बीजगणितीय व्यंजक होते हैं जिनमें दो पद होते हैं, जैसे (x + 3) या (2x - 5)। द्विपद संक्रियाएँ इन व्यंजकों को सरल बनाने या समीकरण हल करने के लिए हेरफेर करना होती हैं। यहाँ द्विपदों पर कुछ सामान्य संक्रियाएँ दी गई हैं:

1. द्विपदों को जोड़ना: दो द्विपदों को जोड़ने के लिए, समान पदों को मिलाकर उनके गुणांकों को जोड़ें और चर पदों को वैसे ही रखें। उदाहरण के लिए:

$(x + 3) + (2x - 5) = (x + 2x) + (3 - 5) = 3x - 2$

2. द्विपदों को घटाना: एक द्विपद को दूसरे द्विपद से घटाने के लिए, दूसरे द्विपद के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें और फिर दोनों द्विपदों को जोड़ें। उदाहरण के लिए:

$(x + 3) - (2x - 5) = (x + 3) + (-2x + 5) = (x - 2x) + (3 + 5) = -x + 8$

3. द्विपदों का गुणा: दो द्विपदों को गुणा करने के लिए FOIL (First, Outer, Inner, Last) विधि का प्रयोग करें। पहले द्विपद के प्रथम पद को दूसरे द्विपद के प्रत्येक पद से गुणा करें, फिर बाहरी पदों को, फिर आंतरिक पदों को, और अंत में अंतिम पदों को। उदाहरण के लिए:

$(x + 3)(2x - 5) = x(2x - 5) + 3(2x - 5)$

= $2x^2 - 5x + 6x - 15$

= $2x^2 + x - 15$

4. द्विपदों का वर्ग: किसी द्विपद का वर्ग करने के लिए, उसे स्वयं से गुणा करें। यह FOIL विधि द्वारा या सूत्र $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करके किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

$(x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3)$

= $x^2 + 3x + 3x + 9$

= $x^2 + 6x + 9$

5. द्विपदों का गुणनफल में विघटन: द्विपद का गुणनफल में विघटन करने का अर्थ है उसे दो सरल गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना। यह द्विपद के पदों के बीच उभयनिष्ठ गुणनखंड खोजकर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

$x^2 + 5x = x(x + 5)$

6. द्विपदों का विस्तार: द्विपद का विस्तार करने का अर्थ है द्विपद के पदों को गुणा करके एक सरल व्यंजक प्राप्त करना। यह गुणनफल में विघटन का विपरीत है। उदाहरण के लिए:

$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

ये द्विपदों पर किए जाने वाले कुछ सामान्य संक्रियाएँ हैं। इन संक्रियाओं को समझना बीजगणितीय व्यंजकों को सरल करने, समीकरणों को हल करने और विभिन्न गणितीय संक्रियाएँ करने के लिए आवश्यक है।

द्विपद प्रसार

द्विपद प्रसार एक गणितीय सूत्र है जो दो पदों के योग के घात के प्रसार को व्यक्त करता है। यह सूत्र द्वारा दिया गया है:

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

जहाँ:

• $a$ और $b$ द्विपद के पद हैं।
• $n$ द्विपद का घातांक है।
• $\binom{n}{k}$ द्विपद गुणांक है, जो $n$ तत्वों के समुच्चय से $k$ तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या है।

उदाहरण के लिए, $(a + b)^3$ का द्विपद प्रसार है:

$$(a + b)^3 = \binom{3}{0} a^3 b^0 + \binom{3}{1} a^2 b^1 + \binom{3}{2} a^1 b^2 + \binom{3}{3} a^0 b^3$$

जो सरल होकर है:

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$

यहाँ द्विपद प्रसारों के कुछ अतिरिक्त उदाहरण हैं:

• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3$
• $(2x + 3y)^4 = 16x^4 + 96x^3 y + 216x^2 y^2 + 216xy^3 + 81y^4$

द्विपद प्रसार किसी भी द्विपद को किसी भी घात तक प्रसारित करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है। यह बीजीय व्यंजकों को सरल बनाने और किसी बहुपद के पदों के गुणांक ज्ञात करने के लिए एक उपयोगी उपकरण है।

द्विपद सूत्र

द्विपद सूत्र एक गणितीय सूत्र है जो द्विपद की घात के प्रसार को व्यक्त करता है। यह इस प्रकार है:

$(a + b)^n = ∑(nCk)a^{(n-k)}b^k$

जहाँ:

• n द्विपद का घातांक है
• k प्रसार में पद का सूचकांक है
• (nCk) द्विपद गुणांक है, जो n तत्वों के समुच्चय से k तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या है

उदाहरण के लिए, $(a + b)^3$ का प्रसार है:

$ (a + b)^3 = (nCk)a^{(n-k)}b^k = (3C0)a^3b^0 + (3C1)a^2b^1 + (3C2)a^1b^2 + (3C3)a^0b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $

द्विपद सूत्र का उपयोग किसी भी द्विपद को किसी भी घात तक विस्तारित करने के लिए किया जा सकता है। यह एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में कई अनुप्रयोग हैं।

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि द्विपद सूत्र का उपयोग कैसे किया जा सकता है:

• प्रायिकता सिद्धांत में, द्विपद सूत्र का उपयोग स्वतंत्र प्रयोगों की एक श्रृंखला में किसी निश्चित संख्या में सफलताओं की प्रायिकता की गणना के लिए किया जाता है।
• सांख्यिकी में, द्विपद सूत्र का उपयोग द्विपद बंटन के मानक विचलन की गणना के लिए किया जाता है।
• भौतिकी में, द्विपद सूत्र का उपयोग किसी कण के किसी निश्चित अवस्था में होने की प्रायिकता की गणना के लिए किया जाता है।
• अभियांत्रिकी में, द्विपद सूत्र का उपयोग किसी प्रणाली की विश्वसनीयता की गणना के लिए किया जाता है।

द्विपद सूत्र एक बहुउपयोगी और शक्तिशाली उपकरण है जिसका विभिन्न क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग हैं।

द्विपद बंटन

द्विपद बंटन

द्विपद बंटन n स्वतंत्र हाँ/ना प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या का एक विवृत प्रायिकता बंटन है, जिनमें से प्रत्येक सफलता p प्रायिकता के साथ सफलता देता है।

सूत्र

n स्वतंत्र परीक्षणों में ठीक k सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद बंटन द्वारा दी जाती है:

$$P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

जहाँ:

• X सफलताओं की संख्या गिनने वाला यादृच्छिक चर है
• n परीक्षणों की संख्या है
• p प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की प्रायिकता है
• k सफलताओं की संख्या है

उदाहरण

मान लीजिए आप एक सिक्का 10 बार उछालते हैं। ठीक 5 चित आने की प्रायिकता है:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5}(0.5)^5(0.5)^5 = 0.2461$$

इसका अर्थ है कि जब आप 10 बार सिक्का उछालते हैं तो ठीक 5 बार चित आने की 24.61% प्रायिकता होती है।

अनुप्रयोग

द्विपद बंटन का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• गुणवत्ता नियंत्रण: द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी उत्पाद के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता क्या है।
• चिकित्सा अनुसंधान: द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी रोगी के रोग से ठीक होने की प्रायिकता क्या है।
• सामाजिक विज्ञान: द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी व्यक्ति द्वारा किसी विशेष उम्मीदवार को वोट देने की प्रायिकता क्या है।

गुणधर्म

द्विपद बंटन के कई गुणधर्म होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• द्विपद बंटन का माध्य $np$ होता है।
• द्विपद बंटन का प्रसरण $np(1-p)$ होता है।
• द्विपद बंटन एक एक-शिखर बंटन होता है।
• द्विपद बंटन एक सममित बंटन होता है जब $p = 0.5$ होता है।

संबंधित बंटन

द्विपद बंटन कई अन्य बंटनों से संबंधित है, जिनमें शामिल हैं:

• प्रसामान्य बंटन: द्विपद बंटन को प्रसामान्य बंटन द्वारा सन्निकटित किया जा सकता है जब $n$ बड़ा हो और $p$, 0 या 1 के बहुत निकट न हो।
• पॉइसों बंटन: द्विपद बंटन को पॉइसों बंटन द्वारा सन्निकटित किया जा सकता है जब $n$ बड़ा हो और $p$ छोटा हो।

द्विपद हल किए गए प्रश्न

द्विपद हल किए गए प्रश्न

द्विपद बंटन एक विवृत संभाव्यता बंटन है जो स्वतंत्र प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या का वर्णन करता है, जिनमें से प्रत्येक में सफलता की स्थिर संभाव्यता होती है।

उदाहरण 1:

एक सिक्के को 10 बार उछाला गया। ठीक 5 चित आने की संभाव्यता क्या है?

ठीक 5 चित आने की संभाव्यता द्विपद बंटन द्वारा दी जाती है:

$$P(X = x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$$

जहाँ:

• $n$ प्रयोगों की संख्या है (10)
• $x$ सफलताओं की संख्या है (5)
• $p$ प्रत्येक प्रयोग में सफलता की संभाव्यता है (0.5)

इन मानों को सूत्र में रखने पर हमें मिलता है:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5}(0.5)^5(0.5)^5 = 0.2461$$

इसलिए, ठीक 5 चित आने की संभाव्यता 0.2461 है।

उदाहरण 2:

एक पासे को 6 बार फेंका गया। कम से कम 3 छक्के आने की संभाव्यता क्या है?

कम से कम 3 छक्के आने की संभाव्यता 0, 1 या 2 छक्के आने की संभाव्यता के पूरक द्वारा दी जाती है:

$$P(X \geq 3) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2)$$

0 छक्के आने की संभाव्यता द्विपद बंटन द्वारा दी जाती है:

$$P(X = 0) = \binom{6}{0}(\dfrac{1}{6})^0(\dfrac{5}{6})^6 = 0.3349$$

1 छक्का आने की संभाव्यता द्विपद बंटन द्वारा दी जाती है:

$$P(X = 1) = \binom{6}{1}(\dfrac{1}{6})^1(\dfrac{5}{6})^5 = 0.4018$$

2 छक्के आने की संभाव्यता द्विपद बंटन द्वारा दी जाती है:

$$P(X = 2) = \binom{6}{2}(\dfrac{1}{6})^2(\dfrac{5}{6})^4 = 0.2009$$

इन संभाव्यताओं को मिलाने पर हमें मिलता है:

$$P(X \geq 3) = 1 - 0.3349 - 0.4018 - 0.2009 = 0.0624$$

इसलिए, कम से कम 3 छक्के आने की प्रायिकता 0.0624 है।

उदाहरण 3:

100 लोगों के एक सर्वेक्षण में पाया गया कि उनमें से 60% लोग चॉकलेट आइसक्रीम पसंद करते हैं। इस समूह से यादृच्छिक रूप से चुने गए एक व्यक्ति के चॉकलेट आइसक्रीम पसंद करने की प्रायिकता क्या है?

इस समूह से यादृच्छिक रूप से चुने गए एक व्यक्ति के चॉकलेट आइसक्रीम पसंद करने की प्रायिकता द्विपद बंटन द्वारा दी जाती है:

$$P(X = x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$$

जहाँ:

• $n$ प्रयोगों की संख्या है (100)
• $x$ सफलताओं की संख्या है (60)
• $p$ प्रत्येक प्रयोग में सफलता की प्रायिकता है (0.6)

इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें मिलता है:

$$P(X = 60) = \binom{100}{60}(0.6)^{60}(0.4)^{40} = 0.0618$$

इसलिए, इस समूह से यादृच्छिक रूप से चुने गए एक व्यक्ति के चॉकलेट आइसक्रीम पसंद करने की प्रायिकता 0.0618 है।

द्विपदों पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

द्विपद क्या है?

द्विपद किसी ऐसी चीज़ को दर्शाता है जिसके दो संभावित परिणाम या अवस्थाएँ होती हैं। इसका प्रयोग अक्सर गणित, सांख्यिकी और प्रायिकता सिद्धांत में किसी ऐसे यादृच्छिक चर को वर्णित करने के लिए किया जाता है जो केवल दो मान ले सकता है, आमतौर पर “0” और “1” या “सफलता” और “असफलता” के रूप में दर्शाए जाते हैं।

द्विपद बंटनों के उदाहरण:

1. सिक्का उछालना: सिक्का उछालना द्विपद प्रयोग का एक क्लासिक उदाहरण है। इसके दो संभावित परिणाम होते हैं: चित्त या पट्ट। प्रत्येक उछाल में चित्त या पट्ट आने की प्रायिकता $\dfrac{1}{2}$ होती है, यह मानते हुए कि सिक्का निष्पक्ष है।

2. पासा फेंकना: छह-फल वाला पासा फेंकना भी एक द्विपद प्रयोग का उदाहरण है। इसमें दो संभावित परिणाम होते हैं: सम संख्या या विषम संख्या। सम संख्या आने की प्रायिकता $\dfrac{3}{6}$ या $\dfrac{1}{2}$ है, और विषम संख्या आने की प्रायिकता भी $\dfrac{3}{6}$ या $\dfrac{1}{2}$ है।

3. परीक्षा में पास या फेल होना: दो विकल्पों वाले बहुविकल्पीय प्रश्नों की एक परीक्षा में, किसी छात्र के प्रदर्शन को द्विपद प्रयोग के रूप में मॉडल किया जा सकता है। प्रत्येक प्रश्न के दो संभावित परिणाम होते हैं: सही या गलत। किसी प्रश्न का सही उत्तर देने की प्रायिकता छात्र के ज्ञान और तैयारी पर निर्भर करती है।

द्विपद बंटन:

द्विपद बंटन एक विवृत प्रायिकता बंटन है जो स्वतंत्र प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या का वर्णन करता है, जिनमें से प्रत्येक में सफलता की एक स्थिर प्रायिकता होती है। इसे दो पैरामीटरों द्वारा परिभाषित किया गया है:

• n: स्वतंत्र प्रयोगों या परीक्षणों की संख्या।
• p: प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता।

n स्वतंत्र परीक्षणों में ठीक k सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा दी जाती है:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

जहाँ:

• X सफलताओं की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
• n परीक्षणों की संख्या है।
• p प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता है।
• k रुचि की सफलताओं की संख्या है।

बिनomial बंटन को सांख्यिकी, गुणवत्ता नियंत्रण और जोखूम आकलन सहित विभिन्न क्षेत्रों में द्विआधारी परिणामों को मॉडलित और विश्लेषित करने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

बिनomials के उदाहरण क्या हैं?

बिनomials बीजगणितीय व्यंजक होते हैं जिनमें दो पद होते हैं, जो या तो जोड़ (+) या घटाव (-) चिह्न से जुड़े होते हैं। बिनomial में प्रत्येक पद एक मोनोमियल होता है, जो एक एकल पद वाला बीजगणितीय व्यंजक होता है।

बिनomials के उदाहरण:

• $x + 5$
• $3x - 2$
• $y^2 + 4y$
• $\dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{4}$

बिनomials के गुण:

• बिनomial की घात वेरिएबल के सबसे ऊंचे घातांक को कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $x + 5$ की घात 1 है, और $3x - 2$ की घात 1 है।
• बिनomial के गुणांक पदों के संख्यात्मक गुणक होते हैं। उदाहरण के लिए, $x + 5$ के गुणांक 1 और 5 हैं, और $3x - 2$ के गुणांक 3 और -2 हैं।
• बिनomial का अचर पद वह पद होता है जिसमें कोई वेरिएबल नहीं होता। उदाहरण के लिए, $x + 5$ का अचर पद 5 है, और $3x - 2$ का अचर पद -2 है।

बिनomials को विभिन्न बीजगणितीय गुणों का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

• समान पदों को मिलाना: समान पद वे पद होते हैं जिनमें एक ही चर घातांक के साथ होता है। उदाहरण के लिए, $3x$ और $2x$ समान पद हैं, और $5y^2$ और $2y^2$ समान पद हैं। समान पदों को मिलाने के लिए, बस समान पदों के गुणांकों को जोड़ें या घटाएं। उदाहरण के लिए, $3x + 2x = 5x$, और $5y^2 - 2y^2 = 3y^2$।

• गुणनफल निकालना: गुणनफल निकालना एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें एक द्विपद को दो या अधिक गुणनफलों के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, $x + 5$ को $(x + 5) = (x + 5)(1)$ के रूप में गुणनफल किया जा सकता है, और $3x - 2$ को $(3x - 2) = (3x - 2)(1)$ के रूप में गुणनफल किया जा सकता है।

द्विपदों का उपयोग गणित और विज्ञान में विभिन्न प्रकार से किया जाता है। उदाहरण के लिए:

• द्विपदों का उपयोग द्विघात समीकरणों को हल करने में किया जाता है।
• द्विपदों का उपयोग भौतिकी में वस्तुओं की गति को मॉडल करने में किया जाता है।
• द्विपदों का उपयोग ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल और आयतन की गणना करने में किया जाता है।

द्विपद बीजगणित की एक मूलभूत अवधारणा हैं और इनका गणित और विज्ञान में व्यापक उपयोग होता है।

क्या ऋणात्मक घातांक वाला व्यंजक द्विपद हो सकता है?

हां, ऋणात्मक घातांक वाला व्यंजक द्विपद हो सकता है। द्विपद एक ऐसा बहुपद होता है जिसमें दो पद होते हैं। द्विपद का सामान्य रूप इस प्रकार है:

$ ax^n + bx^m $

जहां a और b अचर हैं, x एक चर है, और n और m घातांक हैं।

यदि n या m ऋणात्मक है, तो भी व्यंजक द्विपद रहता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित व्यंजक सभी द्विपद हैं:

$ \begin{aligned} x^2 - 3x\ 2x^3 - 5x^{-2}\ -4x^5 + 7x^{-3} \end{aligned} $

पहले उदाहरण में, n = 2 और m = 1 है। दूसरे उदाहरण में, n = 3 और m = -2 है। तीसरे उदाहरण में, n = 5 और m = -3 है।

ऋणात्मक घातांकों वाले द्विपदों के उदाहरण:

• $x^2 - 3x$
• $2x^3 - 5x^{-2}$
• $-4x^5 + 7x^{-3}$

इनमें से प्रत्येक उदाहरण में, एक घातांक ऋणात्मक है। फिर भी, व्यंजक द्विपद हैं क्योंकि इनमें दो पद हैं।

ऋणात्मक घातांकों वाले द्विपदों के गुण:

• ऋणात्मक घातांकों वाले द्विपद में घातांकों का योग सदैव शून्य होता है।
• ऋणात्मक घातांकों वाले द्विपद में गुणांकों का गुणनफल सदैव धनात्मक होता है।
• द्विपद का चिह्न उस पद के गुणांक के चिह्न के समान होता है जिसका घातांक अधिक है।

ऋणात्मक घातांकों वाले द्विपदों के अनुप्रयोग:

ऋणात्मक घातांकों वाले द्विपदों का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• कलन
• भौतिकी
• अभियांत्रिकी
• अर्थशास्त्र

उदाहरण के लिए, कलन में, ऋणात्मक घातांकों वाले द्विपदों का उपयोग फलनों के अवकलज ज्ञात करने में किया जाता है। भौतिकी में, ऋणात्मक घातांकों वाले द्विपदों का उपयोग वस्तुओं की गति का वर्णन करने में किया जाता है। अभियांत्रिकी में, ऋणात्मक घातांकों वाले द्विपदों का उपयोग पुलों और अन्य संरचनाओं को डिज़ाइन करने में किया जाता है। अर्थशास्त्र में, ऋणात्मक घातांकों वाले द्विपदों का उपयोग आर्थिक वृद्धि को मॉडल करने में किया जाता है।

क्या x+5 एक द्विपद है?

नहीं, x+5 एक द्विपद नहीं है। एक द्विपद एक ऐसा बहुपद होता है जिसमें दो पद होते हैं। उदाहरण के लिए, x+3 और 2x-5 द्विपद हैं।

द्विपद क्या है?

एक द्विपद (बिनोमियल) एक ऐसा बहुपद होता है जिसमें दो पद होते हैं। ये पद आमतौर पर एक धन चिह्न (+) या घात चिह्न (−) से अलग होते हैं। उदाहरण के लिए, x+3 और 2x-5 द्विपद हैं।

बहुपद क्या होता है?

बहुपद एक ऐसा व्यंजक होता है जिसमें पदों के योग होते हैं। प्रत्येक पद एक गुणांक और किसी चर घातांक के गुणनफल का होता है। उदाहरण के लिए, $3x^2+2x-5$ एक बहुपद है।

द्विपदों के उदाहरण

यहाँ कुछ द्विपदों के उदाहरण दिए गए हैं:

• $x+3$
• $2x-5$
• $3x^2+2x$
• $-4x^3+5x^2$

ऐसे बहुपद जो द्विपद नहीं हैं

यहाँ कुछ ऐसे बहुपदों के उदाहरण दिए गए हैं जो द्विपद नहीं हैं:

• $3x^2+2x-5$ (इस बहुपद में तीन पद हैं, इसलिए यह द्विपद नहीं है।)
• $x^3+2x^2+3x+4$ (इस बहुपद में चार पद हैं, इसलिए यह द्विपद नहीं है।)
• $\dfrac{1}{x}+2$ (इस बहुपद में एक पद ऐसा है जिसमें चर हर में है, इसलिए यह द्विपद नहीं है।)

द्विपद $x^3 + 3x^2$ की घात क्या है?

द्विपद की घात उसमें मौजूद चर की सबसे बड़ी घातांक होती है। दिए गए द्विपद $x^3 + 3x^2$ में चर x की सबसे बड़ी घात 3 है। इसलिए द्विपद $x^3 + 3x^2$ की घात 3 है।

यहाँ कुछ और द्विपदों और उनकी घातों के उदाहरण दिए गए हैं:

• $x^2 + 2x + 1$ की घात 2 है।
• $3x^4 - 2x^2 + 5$ की घात 4 है।
• $2x - 5$ की घात 1 है।
• $10$ की घात 0 है (क्योंकि इस द्विपद में कोई चर नहीं है)।

द्विपद की घात महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका उपयोग उस बहुपद फलन के ग्राफ के अंत व्यवहार को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है जिसे द्विपद द्वारा दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, घात 2 वाले बहुपद फलन का ग्राफ एक परवलय होगा, जबकि घात 3 वाले बहुपद फलन का ग्राफ एक घनीय वक्र होगा।