गणित में वृत्त

एक वृत्त एक समतलीय आकृति है जिसे एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से आकृति के किसी भी बिंदु तक की दूरी द्वारा परिभाषित किया जाता है। केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।

वृत्त गणित में महत्वपूर्ण हैं क्योंकि इनका उपयोग कई अलग-अलग चीज़ों को दर्शाने के लिए किया जाता है, जैसे कि सिक्के की आकृति, सूर्य के चारों ओर ग्रह का पथ, या बेलन का अनुप्रस्थ काट।

एक वृत्त की परिधि वृत्त के चारों ओर की दूरी होती है, और इसे व्यास (वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली पार की दूरी) को पाई (एक गणितीय नियतांक जो लगभग 3.14 के बराबर है) से गुणा करके परिकलित किया जाता है।

एक वृत्त का क्षेत्रफल वृत्त के अंदर की जगह की मात्रा होता है, और इसे पाई को त्रिज्या के वर्ग से गुणा करके परिकलित किया जाता है।

वृत्तों का उपयोग कई अलग-अलग सूत्रों और समीकरणों में भी किया जाता है, जैसे कि वृत्त का समीकरण और गोले के आयतन का समीकरण।

वृत्त की परिभाषा

एक वृत्त एक समतलीय आकृति है जिसे एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से आकृति के किसी भी बिंदु तक की दूरी द्वारा परिभाषित किया जाता है। केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।

वृत्तों को परकार का उपयोग करके खींचा जा सकता है, जो एक ऐसा उपकरण है जिसमें दो भुजाएँ होती हैं जिन्हें अलग-अलग लंबाइयों पर समायोजित किया जा सकता है। परकार की एक भुजा वृत्त के केंद्र पर स्थिर रखी जाती है, और दूसरी भुजा का उपयोग वृत्त खींचने के लिए किया जाता है।

वृत्तों को गणितीय रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है। एक वृत्त का समीकरण है:

$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $

जहाँ:

• (h, k) वृत्त का केंद्र है
• r वृत्त की त्रिज्या है

वृत्तों के उदाहरण

वृत्त हमारे चारों ओर हर जगह पाए जाते हैं। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• सूर्य एक गोला है।
• चंद्रमा एक गोला है।
• एक सिक्का एक वृत्त है।
  एक बास्केटबॉल एक अंडाकार है।
• एक साइकिल का पहिया एक वृत्त है।

वृत्तों के गुण

वृत्तों में कई गुण होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• किसी वृत्त की परिधि 2πr के बराबर होती है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।
• किसी वृत्त का क्षेत्रफल $πr^2$ के बराबर होता है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।
• किसी वृत्त का व्यास त्रिज्या के दोगुने के बराबर होता है।
• किसी वृत्त पर किसी बिंदु की स्पर्श रेखा उस बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।

वृत्तों के अनुप्रयोग

वृत्तों का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• चंद्रमा की दूरी मापना
• दिन का समय निर्धारित करना
• गियर डिज़ाइन करना
• पुल बनाना
• कला बनाना

वृत्त ज्यामिति का एक मूलभूत हिस्सा हैं और वास्तविक दुनिया में इनका व्यापक उपयोग होता है।

वृत्त कैसे खींचें

वृत्त एक द्वि-आयामी आकृति होती है जिसमें केंद्रीय बिंदु से वृत्त पर किसी भी बिंदु तक की दूरी निश्चित होती है। वृत्तों का उपयोग अक्सर गोल वस्तुओं को दर्शाने के लिए किया जाता है, जैसे गेंदें, सिक्के और ग्रह।

वृत्त खींचने के कुछ अलग-अलग तरीके हैं। एक तरीका है कंपास का उपयोग करना। कंपास एक ऐसा उपकरण होता है जिसमें दो भुजाएँ होती हैं जिन्हें अलग-अलग लंबाइयों पर समायोजित किया जा सकता है। कंपास से वृत्त खींचने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

1. कागज़ पर वह बिंदु चुने जहाँ आप वृत्त का केंद्र चाहते हैं और कंपास की नोक वहीं रखें।
2. कंपास की दोनों भुजाओं को वृत्त की इच्छित त्रिज्या के अनुसार समायोजित करें।
3. कंपास को स्थिर पकड़े रखें और उसे केंद्र बिंदु के चारों ओर घुमाएँ।
4. कंपास कागज़ पर एक वृत्त खींचेगा।

वृत्त खींचने का एक अन्य तरीका डोरी का उपयोग करना है। डोरी से वृत्त खींचने के लिए इन चरणों का पालन करें:

एक डोरी का टुकड़ा काटें जो वृत्त की इच्छित परिधि से दोगुनी लंबाई का हो।
2. डोरी के दोनों सिरों को गाँठ लगाकर एक लूप बनाएँ।
3. वह लूप पेंसिल या पेन के चारों ओर रखें।
4. पेंसिल या पेन को वृत्त के केंद्र पर पकड़ें और डोरी को तना हुआ रखें।
5. पेंसिल या पेन को केंद्र बिंदु के चारों ओर घुमाते रहें, डोरी को तना हुआ रखते हुए।
6. डोरी कागज़ पर एक वृत्त का चिह्न बनाएगी।

यदि आपके पास न कंपास है और न डोरी, तो आप हाथ से भी वृत्त खींच सकते हैं। हाथ से वृत्त खींचने के लिए इन चरणों का पालन करें:

1. एक वर्ग खींचें।
2. वर्ग के विपरीत कोनों को दो रेखाओं से जोड़ें।
3. जहाँ ये दोनों रेखाएँ मिलती हैं, वह वृत्त का केंद्र है।
4. केंद्र बिंदु के चारों ओर वृत्त खींचें, वर्ग की एक भुजा की लंबाई को त्रिज्या मानकर।

यहाँ कुछ वृत्तों के उदाहरण दिए गए हैं:

• एक गेंद।
• एक सिक्का (एक अकेला सिक्का)
• एक खगोलीय पिंड जो किसी तारे या तारीय अवशेष की परिक्रमा करता है और अपने गुरुत्वाकर्षण से गोलाकार होने के लिए पर्याप्त भारी है, परंतु इतना भारी नहीं कि नाभिकीय संलयन करे
• एक पहिया एक सरल मशीन है जिसमें एक वृत्ताकार कठोर चक्र होता है जिस पर एक किनारा लगा होता है, घर्षण को कम करने और गति को सरल बनाने के लिए प्रयुक्त होता है।
• एक घड़ी का डायल
• एक लक्ष्य (एक लक्ष्य)
• एक डोनट
• एक पिज़्ज़ा का टुकड़ा

वृत्तों का उपयोग गणित, विज्ञान और इंजीनियरिंग के कई विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है। इनका उपयोग कला, डिज़ाइन और वास्तुकला में भी किया जाता है।

वृत्त के भाग

एक वृत्त एक समतलीय आकृति है जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से वृत्त के किसी भी बिंदु की दूरी द्वारा परिभाषित होता है। वृत्त की त्रिज्या वह रेखाखंड की लंबाई होती है जो केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक जाता है। वृत्त का व्यास वह रेखाखंड की लंबाई होती है जो केंद्र से होकर जाता है और जिसके सिरे वृत्त पर होते हैं।

• केंद्र: वृत्त का केंद्र वह निश्चित बिंदु होता है जिससे वृत्त के सभी बिंदु समान दूरी पर होते हैं। इसे प्रायः अक्षर “O” द्वारा दर्शाया जाता है।

• त्रिज्या: वृत्त की त्रिज्या वह दूरी होती है जो केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक होती है। इसे प्रायः अक्षर “r” द्वारा दर्शाया जाता है।

• व्यास: वृत्त का व्यास वह रेखाखंड की लंबाई होती है जो केंद्र से होकर जाता है और जिसके सिरे वृत्त पर होते हैं। इसे प्रायः अक्षर “d” द्वारा दर्शाया जाता है। वृत्त का व्यास त्रिज्या की लंबाई का दोगुना होता है।

• जीवा: किसी वृत्त की जीवा एक रेखाखंड होता है जिसके दोनों सिरे वृत्त पर स्थित होते हैं।

• सेकेंट: सेकेंट एक ऐसी रेखा होती है जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।

• स्पर्श रेखा: स्पर्श रेखा एक ऐसी रेखा होती है जो वृत्त को एक बिंदु पर काटती है और उस बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।

• चाप: चाप वृत्त का एक भाग होता है। इसे डिग्री में मापा जाता है।

• त्रिज्यखंड: त्रिज्यखंड वृत्त का एक क्षेत्र होता है जो दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है।

• वृत्तखंड: वृत्तखंड वृत्त का एक क्षेत्र होता है जो एक जीवा और एक चाप से घिरा होता है।

उदाहरण:

• किसी वृत्त का केंद्र दो लंबवत व्यासों को काटने पर पाया जा सकता है।

• किसी वृत्त की त्रिज्या केंद्र से वृत्त पर किसी भी बिंदु की दूरी मापकर पाई जा सकती है।

• किसी वृत्त का व्यास उस रेखाखंड की लंबाई मापकर पाया जा सकता है जो केंद्र से होकर जाता है और जिसके सिरे वृत्त पर स्थित होते हैं।

• किसी वृत्त की जीवा उस रेखाखंड को खींचकर पाई जा सकती है जिसके दोनों सिरे वृत्त पर स्थित होते हैं।

• एक सेकेंट उस रेखा को खींचकर पाई जा सकती है जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।

• एक स्पर्श रेखा उस रेखा को खींचकर पाई जा सकती है जो वृत्त को एक बिंदु पर काटती है और उस बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।

• एक चाप दो त्रिज्याओं के बीच के कोण को मापकर पाया जा सकता है।

• एक त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं के बीच के कोण और उन त्रिज्याओं से घिरे चाप की लंबाई को मापकर परिभाषित किया जाता है।

• एक खंड को दो त्रिज्याओं के बीच के कोण और उन त्रिज्याओं से घिरी जीवा की लंबाई को मापकर खोजा जा सकता है।

वृत्त के सूत्र

वृत्त एक समतलीय आकृति है जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से आकृति के किसी भी बिंदु की दूरी द्वारा परिभाषित होती है। वृत्त की त्रिज्या केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु की दूरी होती है। वृत्त का व्यास वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली पार की गई दूरी होती है।

वृत्त की परिधि

वृत्त की परिधि वृत्त के चारों ओर की दूरी होती है। वृत्त की परिधि निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:

C = 2πr

जहाँ:

• C वृत्त की परिधि है।
• r वृत्त की त्रिज्या है
• π एक गणितीय नियतांक है जो लगभग 3.14159 के बराबर होता है

उदाहरण:

5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए।

C = 2πr

C = 2π(5 cm)

C = 10π cm

C ≈ 31.42 cm

वृत्त का क्षेत्रफल

वृत्त का क्षेत्रफल वृत्त के अंदर की जगह की मात्रा होती है। वृत्त का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

A = πr²

जहाँ:

• A वृत्त का क्षेत्रफल है
• r वृत्त की त्रिज्या है
• π एक गणितीय नियतांक है जो लगभग 3.14159 के बराबर होता है

उदाहरण:

5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

A = πr²

A = π(5 cm)²

A = 25π cm²

A ≈ 78.54 cm²

वृत्त का त्रिज्यखंड

वृत्त का त्रिज्यखंड वृत्त का एक क्षेत्र होता है जो दो त्रिज्याओं और एक चाप द्वारा घिरा होता है। वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$A = \dfrac{θ}{360}πr²$

जहाँ:

• A वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है
• θ वृत्त के त्रिज्यखंड के केंद्रीय कोण का माप डिग्री में है
• r वृत्त की त्रिज्या है
• π एक गणितीय नियतांक है जो लगभग 3.14159 के बराबर है

उदाहरण:

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 5 सेमी है और केंद्रीय कोण $60^\degree$ है।

$A = \dfrac{θ}{360}πr²$

$A = \dfrac {60}{360}π(5 cm)²$

$A = \dfrac{1}{6}π(25 cm²)$

A ≈ 13.09 cm²

वृत्त का खंड

वृत्त का खंड वृत्त का वह क्षेत्र होता है जो एक जीवा और एक चाप से घिरा होता है। वृत्त के खंड का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$
A = \dfrac{θ}{360}πr² - \dfrac{1}{2}r²sinθ
$

जहाँ:

• A खंड का क्षेत्रफल है
• θ खंड के केंद्रीय कोण का माप डिग्री में है
• r वृत्त की त्रिज्या है
• π एक गणितीय नियतांक है जो लगभग 3.14159 के बराबर है

उदाहरण:

एक वृत्त के खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 5 सेमी है और केंद्रीय कोण $60^\degree$ है।

$A = \dfrac{θ}{360}πr² - \dfrac {1}{2}r²sinθ$

$A = \dfrac {60}{360}π(5 cm)² - \dfrac{1}{2}(5 cm)²sin60°$

$A = \dfrac {1}{6}π(25 cm²) - \dfrac{1}{2}(25 cm²)(\dfrac{\sqrt3}{2})$

$A ≈ 13.09 cm² - 6.55 cm²$

$A ≈ 6.54 cm²$

वृत्त पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

वृत्त क्या है?

एक वृत्त एक समतलीय आकृति है जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से आकृति के किसी भी बिंदु की दूरी द्वारा परिभाषित होती है। केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।

वृत्तों का उपयोग अक्सर गोल वस्तुओं को दर्शाने के लिए किया जाता है, जैसे गेंदें, सिक्के और ग्रह। इनका उपयोग गणित में भी किया जाता है ताकि उन बिंदुओं के समूह को दर्शाया जा सके जो किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर हों।

यहाँ कुछ वृत्तों के उदाहरण दिए गए हैं:

एक बास्केटबॉल अंडाकार होता है।

• एक सिक्का वृत्त होता है।
• पृथ्वी एक चपटा गोलक होता है।
• सूर्य एक गोला होता है।
• एक घड़ी का डायल वृत्त होता है।
• एक निशाना वृत्ताकार आकृति होता है।

वृत्तों के पास कई ऐसे गुण होते हैं जो उन्हें अनोखा बनाते हैं। उदाहरण के लिए, सभी वृत्त अपने केंद्र के चारों ओर सममित होते हैं। इसका अर्थ है कि यदि आप वृत्त के केंद्र से होकर एक रेखा खींचें, तो वृत्त के दोनों आधे भाग एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब होंगे।

वृत्तों की त्रिज्या भी स्थिर होती है। इसका अर्थ है कि वृत्त के केंद्र से वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु की दूरी हमेशा समान रहती है।

वृत्त गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं। इनका उपय�ोग ज्यामिति में आकृतियों के गुणों का अध्ययन करने, त्रिकोणमिति में त्रिभुजों के कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन करने, और कलन में फलनों के अवकलज और समाकल का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

वृत्तों का उपयोग वास्तविक दुनिया की कई अनुप्रयोगों में भी होता है। उदाहरण के लिए, इनका उपयोग अभियांत्रिकी में गियर और अन्य यांत्रिक भागों को डिज़ाइन करने, वास्तुकला में इमारतों और पुलों को डिज़ाइन करने, और नेविगेशन में जहाज़ों और विमानों की स्थिति निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

वृत्त के विभिन्न भाग क्या हैं?

वृत्त के भाग

एक वृत्त एक समतलीय आकृति है जिसे एक स्थिर बिंदु (केंद्र) से आकृति के किसी भी बिंदु की दूरी द्वारा परिभाषित किया जाता है। केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।

वृत्त के निम्नलिखित भिन्न भाग होते हैं:

• केंद्र: वृत्त का केंद्र वह स्थिर बिंदु होता है जिससे वृत्त के अन्य सभी बिंदु समान दूरी पर होते हैं।
• त्रिज्या: वृत्त की त्रिज्या केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु की दूरी होती है।
• व्यास: वृत्त का व्यास वृत्त को केंद्र से होकर पार करने वाली दूरी है। व्यास, त्रिज्या की लंबाई का दोगुना होता है।
• जीवा: एक जीवा एक रेखाखंड होता है जो वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ता है।
• सेकेंट: एक सेकेंट एक ऐसी रेखा होती है जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।
• स्पर्श रेखा: एक स्पर्श रेखा एक ऐसी रेखा होती है जो वृत्त को एक बिंदु पर काटती है और उस बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
• चाप: एक चाप वृत्त का एक भाग होता है जो वृत्त के दो बिंदुओं से घिरा होता है।
• त्रिज्यखंड: एक त्रिज्यखंड वृत्त का एक क्षेत्र होता है जो दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है।
• वृत्तखंड: एक वृत्तखंड वृत्त का एक क्षेत्र होता है जो एक जीवा और एक चाप से घिरा होता है।

उदाहरण

• एक वृत्त का केंद्र एक बिंदु द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसे O।
• एक वृत्त की त्रिज्या एक रेखाखंड द्वारा दर्शायी जा सकती है, जैसे OA।
• एक वृत्त का व्यास एक रेखाखंड द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसे AB।
• एक जीवा एक रेखाखंड द्वारा दर्शायी जा सकती है, जैसे CD।
• एक छेदक एक रेखा द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसे EF।
• एक स्पर्श रेखा एक रेखा द्वारा दर्शायी जा सकती है, जैसे GH।
  एक चाप एक वक्र रेखा द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसे अर्धवृत्त।
• एक त्रिज्यखंड एक वृत्त के क्षेत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसे IJK।
• एक खंड एक वृत्त के क्षेत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसे KLM।

अनुप्रयोग

वृत्त के विभिन्न भागों का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जैसे इंजीनियरिंग, वास्तुकला और डिज़ाइन।

• ज्यामिति: वृत्त के भागों का उपयोग ज्यामितीय गुणों को परिभाषित और अध्ययन करने के लिए किया जाता है, जैसे त्रिभुज, चतुर्भुज और बहुभुज।
• त्रिकोणमिति: यूनिट वृत्त का उपयोग त्रिकोणमितीय फलनों को परिभाषित और अध्ययन करने के लिए किया जाता है, जैसे साइन, कोसाइन और टैंजेंट।
• कलन: वृत्त की संकल्पनाओं का उपयोग कलन की संकल्पनाओं को परिभाषित और अध्ययन करने के लिए किया जाता है, जैसे अवकलज और समाकल।
• भौतिकी: वृत्त के भागों का उपयोग गणितीय संकल्पनाओं को परिभाषित और अध्ययन करने के लिए किया जाता है, जैसे गति, बल और ऊर्जा।
  वृत्त के गुणों का उपयोग संरचनाओं को डिज़ाइन और निर्माण करने के लिए किया जाता है, जैसे पुल, इमारतें और मशीनें।

वृत्त सूत्र लिखें।

वृत्त सूत्र

• परिधि: किसी वृत्त की परिधि वृत्त के चारों ओर की दूरी होती है। इसे वृत्त के व्यास को पाई (π) से गुणा करके निकाला जाता है, जो लगभग 3.14 होता है।

$$C = \pi d$$

• क्षेत्रफल: वृत्त का क्षेत्रफल वह स्थान होता है जो वृत्त से घिरा होता है। इसे वृत्त की त्रिज्या के वर्ग को पाई (π) से गुणा करके निकाला जाता है।

$$A = \pi r^2$$

• त्रिज्या: वृत्त की त्रिज्या वृत्त के केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक की दूरी होती है।

• व्यास: वृत्त का व्यास वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली पार की दूरी होती है। यह त्रिज्या की लंबाई का दोगुना होता है।

$$d = 2r$$

• त्रिज्यखंड क्षेत्रफल: वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल वह क्षेत्र होता है जो दो त्रिज्याओं और अंतर्वृत्त चाप से घिरा होता है। इसे त्रिज्यखंड के केंद्रीय कोण (रेडियन में) को त्रिज्या के वर्ग से गुणा करके और फिर 2 से भाग देकर निकाला जाता है।

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$

• चाप लंबाई: वृत्त की चाप लंबाई दो बिंदुओं के बीच वृत्त के साथ की दूरी होती है। इसे चाप के केंद्रीय कोण (रेडियन में) को वृत्त की त्रिज्या से गुणा करके निकाला जाता है।

$$s = r\theta$$

उदाहरण:

• 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि 2π(5) = 10π सेमी और क्षेत्रफल $π(5)^2 = 25π सेमी^2$ है।
• 10 सेमी त्रिज्या और $60^\degree$ केन्द्रीय कोण वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\dfrac{1}{2}(10)^2 \dfrac{60π}{180} = \dfrac{50π}{3} सेमी^2$ है।
• 8 सेमी त्रिज्या और $90^\degree$ केन्द्रीय कोण वाले वृत्त की चाप की लम्बाई $8(\dfrac{90π}{180}) = 4π$ सेमी है।

वृत्त की त्रिज्या और व्यास को परिभाषित करें।

वृत्त की त्रिज्या:

वृत्त की त्रिज्या वृत्त के केन्द्र से वृत्त के किसी भी बिन्दु तक की दूरी होती है। यह एक सीधी रेखा खण्ड होती है जो केन्द्र को वृत्त के किसी बिन्दु से जोड़ती है। त्रिज्या सदैव धनात्मक होती है और उन्हीं इकाइयों में मापी जाती है जिनमें वृत्त की परिधि होती है।

वृत्त का व्यास:

वृत्त का व्यास वृत्त के केन्द्र से होकर जाने वाली पार की दूरी होती है। यह वृत्त के अन्दर खींची जा सकने वाली सबसे लम्बी सीधी रेखा खण्ड होती है। व्यास सदैव त्रिज्या की लम्बाई का दुगना होता है और इसे भी उन्हीं इकाइयों में मापा जाता है जिनमें त्रिज्या मापी जाती है।

उदाहरण:

• यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है, तो वृत्त का व्यास 10 सेमी है।
• यदि किसी वृत्त का व्यास 12 मी है, तो वृत्त की त्रिज्या 6 मी है।

अनुप्रयोग:

वृत्त की त्रिज्या और व्यास महत्वपूर्ण माप हैं जिनका उपयोग कई विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• ज्यामिति: त्रिज्या और व्यास का उपयोग वृत्त के क्षेत्रफल और परिधि की गणना के लिए किया जाता है।
• अभियांत्रिकी: त्रिज्या और व्यास का उपयोग गियर, पहियों और पाइप जैसी वृत्ताकार वस्तुओं को डिज़ाइन और निर्माण करने के लिए किया जाता है।
• वास्तुकला: त्रिज्या और व्यास का उपयोग गुंबद और मेहराब जैसी वृत्ताकार संरचनाओं को डिज़ाइन और निर्माण करने के लिए किया जाता है।
• खेल: त्रिज्या और व्यास का उपयोग गेंद और हूप जैसे खेल उपकरणों को डिज़ाइन और निर्माण करने के लिए किया जाता है, लेकिन ट्रैक के लिए नहीं।

किसी वृत्त की त्रिज्या और व्यास को समझना कई अलग-अलग क्षेत्रों और अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक है।

कोर्ड को परिभाषित करें: एक कोर्ड तीन या अधिक नोटों का संयोजन है जो एक साथ बजाए जाते हैं, आमतौर पर किसी संगीत स्केल के भीतर, जो एक सामंजस्यपूर्ण ध्वनि बनाता है।

कोर्ड

संगीत में, एक कोर्ड एक साथ बजाए गए नोटों का समूह होता है। कोर्ड सामंजस्य की इकाइयाँ होते हैं, और इनका उपयोग विभिन्न प्रकार की संगीतमय बनावटों और प्रभावों को बनाने के लिए किया जा सकता है।

कोर्ड आमतौर पर तीन या अधिक नोटों से बने होते हैं, और इन्हें सामान्यतः कोई कीबोर्ड वाद्य यंत्र, जैसे पियानो या गिटार, पर बजाया जाता है। कोर्ड में नोटों को एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, और नोटों के बीच के अंतराल कोर्ड की ध्वनि को निर्धारित करते हैं।

कोर्ड के कई अलग-अलग प्रकार होते हैं, और प्रत्येक प्रकार की अपनी अनोखी ध्वनि और भूमिका होती है। सबसे सामान्य प्रकार के कोर्डों में से कुछ इस प्रकार हैं:

• मेजर चॉर्ड: मेजर चॉर्ड उजले और प्रसन्न होते हैं, और इनका प्रयोग प्रायः खुश या उत्साहवर्धक संगीत में किया जाता है।
• माइनर चॉर्ड: माइनर चॉर्ड गहरे और दुखभरे होते हैं, और इनका प्रयोग प्रायः उदास या विषादपूर्ण संगीत में किया जाता है। डॉमिनेंट चॉर्ड: डॉमिनेंट चॉर्ड तनावपूर्ण और संकल्पित होते हैं, और इनका प्रयोग प्रायः प्रत्याशा या सस्पेंस पैदा करने के लिए किया जाता है।
• डिमिनिश्ड चॉर्ड: डिमिनिश्ड चॉर्ड अस्वर और अस्थिर होते हैं, और इनका प्रयोग प्रायः बेचैनी या चिंता पैदा करने के लिए किया जाता है।

चॉर्ड का उपयोग विविध संगीतमय प्रभाव बनाने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, चॉर्ड का उपयोग निम्नलिखित के लिए किया जा सकता है:

• सामंजस्य बनाना: चॉर्ड का उपयोग किसी संगीत रचना में सामंजस्य और संतुलन की भावना पैदा करने के लिए किया जा सकता है।
• बनावट जोड़ना: चॉर्ड का उपयोग किसी संगीत रचना में बनावट और रुचि जोड़ने के लिए किया जा सकता है।
• तनाव और विसर्जन बनाना: चॉर्ड का उपयोग किसी संगीत रचना में तनाव और विसर्जन की भावना पैदा करने के लिए किया जा सकता है।
• भाव व्यक्त करना: चॉर्ड का उपयोग खुशी से लेकर उदासी और क्रोध तक की विस्तृत भावनाओं को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है।

चॉर्ड संगीत का एक अनिवार्य हिस्सा हैं, और वे किसी संगीत रचना के समग्र ध्वनि और अनुभूति बनाने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

चॉर्ड के उदाहरण:

• C मेजर चॉर्ड: C मेजर चॉर्ड नोट्स C, E और G से बना होता है। A माइनर चॉर्ड:** A माइनर चॉर्ड नोट्स A, C और E फ्लैट से बना होता है।
• G डॉमिनेंट चॉर्ड: G डॉमिनेंट चॉर्ड नोट्स G, B और D से बना होता है।
• F डिमिनिश्ड चॉर्ड: F डिमिनिश्ड चॉर्ड नोट्स F, A♭ और C♭ से बना होता है।

ये कुछ उदाहरण मात्र हैं अस्तित्व में आने वाले अनेक प्रकार के स्वरसमूहों के। प्रत्येक स्वरसमूह की अपनी विशिष्ट ध्वनि और कार्य होता है, और इनका उपयोग विविध संगीतमय प्रभाव उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।