सांतत्यता और अवकलनीयता

सांतत्यता और अवकलनीयता कलन की दो महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। सांतत्यता यह मापती है कि कोई फलन किसी बिंदु पर कितना सहज है, जबकि अवकलनीयता यह मापती है कि कोई फलन किसी बिंदु पर कितनी तेजी से बदल रहा है।

एक फलन किसी बिंदु पर सतत होता है यदि उस बिंदु पर उसकी सीमा उस बिंदु पर फलन के मान के बराबर होती है। दूसरे शब्दों में, उस बिंदु पर फलन में कोई “छलांग” नहीं होती है।

एक फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय होता है यदि उस बिंदु पर उसका अवकलज अस्तित्व में होता है। दूसरे शब्दों में, उस बिंदु पर फलन की एक सुव्यक्तित ढलान होती है।

सांतत्यता अवकलनीयता के लिए एक आवश्यक शर्त है, परंतु यह पर्याप्त नहीं है। दूसरे शब्दों में, किसी फलन को किसी बिंदु पर अवकलनीय होने के लिए उस बिंदु पर सतत होना आवश्यक है, परंतु यह पर्याप्त नहीं है।

अवकलनीयता सांतत्यता से अधिक प्रबल शर्त है। दूसरे शब्दों में, कोई फलन यदि किसी बिंदु पर अवकलनीय है तो वह उस बिंदु पर सतत भी होता है, परंतु इसका विपरीत सत्य नहीं है।

सांतत्यता की परिभाषा

सांतत्यता की परिभाषा

गणित में सांतत्यता एक मूलभूत अवधारणा है जो किसी फलन के किसी बिंदु पर सहज और निर्बाध व्यवहार का वर्णन करती है। एक फलन को किसी बिंदु पर सतत कहा जाता है यदि उस बिंदु पर उसकी सीमा उस बिंदु पर फलन के मान के बराबर होती है। सरल शब्दों में, सांतत्यता यह सुनिश्चित करती है कि इनपुट मानों के साथ-साथ चलते समय फलन के ग्राफ में कोई अचानक छलांग या विराम नहीं आता है।

औपचारिक परिभाषा:

परिभाषा 1

मान लीजिए f वास्तविक संख्याओं के एक उपसमुच्चय पर परिभाषित एक वास्तविक फलन है और c फलन f के प्रांत का एक बिंदु है। तब f, c पर संतत है यदि

$ \lim\limits_{x\rightarrow c} f(x)=f(c)$

अधिक विस्तार से, यदि बायाँ पक्ष सीमा, दायाँ पक्ष सीमा और फलन का मान $x = c$ पर अस्तित्व रखता है और आपस में बराबर है, तब f को $x = c$ पर संतत कहा जाता है। याद रखें कि यदि $x = c$ पर दायाँ पक्ष सीमा और बायाँ पक्ष सीमा मेल खाती हैं, तब हम कहते हैं कि उभयनिष्ठ मान फलन की $x = c$ पर सीमा है। इसलिए हम संततता की परिभाषा को इस प्रकार भी कह सकते हैं: एक फलन $x = c$ पर संतत है यदि फलन $x = c$ पर परिभाषित है और यदि फलन का मान $x = c$ पर फलन की $x = c$ पर सीमा के बराबर है। यदि f, c पर संतत नहीं है, तो हम कहते हैं कि f, c पर असंतत है और c को f का असंतति बिंदु कहा जाता है।

संततता के उदाहरण:

1. रैखिक फलन: फलन $f(x) = 2x + 1$ हर वास्तविक संख्या $c$ पर संतत है। ऐसा इसलिए है क्योंकि $x$ के $c$ की ओर सीमा होने पर $f(x)$ की सीमा $2c + 1$ के बराबर है, जो $f(c)$ का मान भी है।

2. घातांक फलन: फलन $f(x) = e^x$ हर वास्तविक संख्या $c$ पर संतत है। ऐसा इसलिए है क्योंकि $x$ के $c$ की ओर सीमा होने पर $f(x)$ की सीमा $e^c$ के बराबर है, जो $f(c)$ का मान भी है।

3. त्रिकोणमितीय फलन: साइन और कोसाइन फलन, $sin(x)$ और $cos(x)$, हर वास्तविक संख्या $c$ पर संतत होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि इन फलनों की सीमाएँ, जब $x$ का मान $c$ की ओर बढ़ता है, क्रमशः $sin(c)$ और $cos(c)$ के बराबर होती हैं, जो कि $c$ पर इन फलनों के मान भी हैं।

परिभाषा 2

एक वास्तविक फलन f को संतत कहा जाता है यदि वह f के प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत हो।

इस परिभाषा को थोड़ा विस्तार से समझना होगा। मान लीजिए f एक बंद अंतराल [a, b] पर परिभाषित फलन है, तो f के संतत होने के लिए उसे [a, b] के प्रत्येक बिंदु पर संतत होना चाहिए, जिसमें अंतिम बिंदु a और b भी शामिल हैं। a पर f की संततता का अर्थ है

$\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f(x)= f (a)$

और b पर f की संततता का अर्थ है

$\lim\limits_{x\rightarrow b^-} f(x)= f (b)$

ध्यान दीजिए कि

$\lim\limits_{x\rightarrow a^-} f(x)$ और $\lim\limits_{x\rightarrow b^+} f(x)$ का कोई अर्थ नहीं बनता।

इस परिभाषा के परिणामस्वरूप, यदि $f$ केवल एक बिंदु पर परिभाषित है, तो वह वहाँ संतत है, अर्थात् यदि $f$ का प्रांत एक एकल बिंदु है, तो $f$ एक संतत फलन है।

उदाहरण 7 क्या f(x) = | x | द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है? हल हम f को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं

$f(x) = \begin{cases} -x & \text{if } x < 0 \\ x & \text{if } x \ge 0 \end{cases}$

हम जानते हैं कि f, $x = 0$ पर संतत है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है जैसे कि $c < 0$। तब $f(c) = – c$। साथ ही

$\lim\limits_{x\rightarrow c} f(x)$=$\lim\limits_{x\rightarrow c} (-x)=-c$

चूँकि $\lim\limits_{x\rightarrow c} f(x)=f(c) $, f सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं पर संतत है।

अब, मान लीजिए $c$ एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि $c > 0$। तब $f(c) = c$। साथ ही

$\lim\limits_{x\rightarrow c} f(x)$=$\lim\limits_{x\rightarrow c} x=c$

चूँकि $\lim\limits_{x\rightarrow c} f(x)=f(c) $, f सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर संतत है।

अतः, f सभी बिंदुओं पर संतत है।

असंतत्यता के उदाहरण:

1. जंप असंतत्यता: फलन $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x < 0 \\ 0 & \text{if } x \ge 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर असंतत है। ऐसा इसलिए है क्योंकि $x$ के 0 की ओर बायीं ओर से निकट आने पर $f(x)$ का सीमा मान 1 है, जबकि $x$ के 0 की ओर दायीं ओर से निकट आने पर $f(x)$ का सीमा मान 0 है।

2. अनंत असंतत्यता: फलन $f(x) = \dfrac{1}{x}$ बिंदु $x = 0$ पर असंतत है। ऐसा इसलिए है क्योंकि $x$ के 0 की ओर निकट आने पर $f(x)$ की सीमा अस्तित्व में नहीं होती। फलन $x$ के 0 की ओर निकट आने पर अनंत की ओर बढ़ता है।

3. हटाने योग्य असंतत्यता: फलन $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ बिंदु $x = 3$ पर असंतत है। हालाँकि, इस असंतत्यता को हटाया जा सकता है यदि हम $f(3) = 6$ परिभाषित करें। इससे फलन बिंदु $x = 3$ पर संतत हो जाता है।

संक्षेप में, संतत्यता कलन और विश्लेषण की एक महत्वपूर्ण संकल्पना है जो फलनों के सहज और अबाध व्यवहार को सुनिश्चित करती है। यह विभिन्न गणितीय संक्रियाओं—जैसे अवकलन और समाकलन—में आधारभूत भूमिका निभाती है और फलनों तथा उनके आलेखों के व्यवहार को समझने के लिए अत्यावश्यक है।

अवकलनीयता की परिभाषा

गणित में, अवकलनीयता फलनों का एक गुण है जो यह मापता है कि फलन किसी बिंदु पर कितना चिकना है। यदि किसी फलन का अवकलज किसी बिंदु पर होता है, तो उसे उस बिंदु पर अवकलनीय कहा जाता है। फलन का अवकलज उस बिंदु पर फलन की स्पर्श रेखा की ढाल होता है।

मान लीजिए f एक वास्तविक फलन है और c इसके प्रांत का एक बिंदु है। f का अवकलज c पर इस प्रकार परिभाषित है

$$\lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac {f(c+h)-f(c)}{h}$$

बशर्ते यह सीमा अस्तित्व में हो। f का अवकलज c पर $f ′(c)$ या $\frac {d}{dx}( f( x)) |_c$ द्वारा दर्शाया जाता है।

वह फलन जो

$$f’(x) =\lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}$$

जहाँ-जहाँ यह सीमा अस्तित्व में हो, को f का अवकलज कहा जाता है।

f के अवकलज को f ′(x) या $\dfrac {d}{dx}( f( x))$ द्वारा दर्शाया जाता है

या यदि y = f(x) हो, तो $\dfrac{dy}{dx}$ या y′ द्वारा। किसी फलन का अवकलज निकालने की प्रक्रिया को अवकलन कहा जाता है।

हम यह वाक्यांश भी प्रयोग करते हैं: x के सापेक्ष f(x) का अवकलन करना

यदि $\lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac {f(c+h)-f(c)}{h}$ अस्तित्व में नहीं होता,

तो हम कहते हैं कि f, c पर अवकलनीय नहीं है। दूसरे शब्दों में, हम कहते हैं कि कोई फलन f अपने प्रांत के किसी बिंदु c पर अवकलनीय है यदि दोनों

$\lim\limits_{h\rightarrow 0^-} \dfrac {f(c+h)-f(c)}{h}$ और $\lim\limits_{h\rightarrow 0^+} \dfrac {f(c+h)-f(c)}{h}$ परिमित और समान हैं। एक फलन को अंतराल $[a, b]$ में अवकलनीय कहा जाता है यदि वह $[a, b]$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है। निरंतरता के समान, अंतिम बिंदुओं a और b पर, हम दायां हस्त सीमा और बायां हस्त सीमा लेते हैं, जो क्रमशः a और b पर फलन के बायां हस्त अवकलज और दायां हस्त अवकलज हैं। इसी प्रकार, एक फलन को अंतराल $(a, b)$ में अवकलनीय कहा जाता है यदि वह $(a, b)$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है।

अवकलनीय फलनों के उदाहरण

• रैखिक फलन: रैखिक फलन का अवकलज एक अचर होता है।
• बहुपद फलन: बहुपद फलन का अवकलज एक घात कम का बहुपद फलन होता है।
• घातांकी फलन: घातांकी फलन का अवकलज समान आधार वाला घातांकी फलन होता है।
• लघुगणकीय फलन: लघुगणकीय फलन का अवकलज समान आधार वाला लघुगणकीय फलन होता है।
• त्रिकोणमितीय फलन: साइन, कोसाइन और टैनजेंट फलनों के अवकलज क्रमशः कोसाइन, ऋणात्मक साइन और सिकेंट फलन होते हैं।

अअवकलनीय फलनों के उदाहरण

• परम मान फलन: परम मान फलन 0 पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि 0 पर फलन की स्पर्शी रेखा ऊध्र्वाधर है।
• वर्गमूल फलन: वर्गमूल फलन 0 पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि 0 पर फलन की स्पर्शी रेखा क्षैतिज है।
• फलन $f(x) = x^2 sin(1/x)$: यह फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि अंतर भाजक की सीमा अस्तित्व में नहीं है।

अवकलनीयता और सांतत्य

अवकलनीयता सांतत्य को निहित करती है, परंतु इसका विलोम सत्य नहीं है। एक फलन किसी बिंदु पर सतत हो सकता है बिना उस बिंदु पर अवकलनीय हुए। उदाहरण के लिए, परम मान फलन 0 पर सतत है, परंतु यह 0 पर अवकलनीय नहीं है।

अवकलनीयता के अनुप्रयोग

अवकलनीयता का उपयोग गणित और भौतिकी के कई क्षेत्रों में किया जाता है। अवकलनीयता के कुछ अनुप्रयोग इस प्रकार हैं:

• किसी वक्र की ढाल खोजना: किसी फलन का अवकलज उस बिंदु पर फलन की स्पर्श रेखा की ढाल देता है।
• किसी फलन में परिवर्तन की दर खोजना: किसी फलन का अवकलज उसके स्वतंत्र चर के सापेक्ष फलन में परिवर्तन की दर देता है।
• किसी फलन के अधिकतम और न्यूनतम मान खोजना: किसी फलन का अवकलज उस फलन के अधिकतम और न्यूनतम मान खोजने में प्रयोग किया जा सकता है।
• अनुकूलन समस्याओं को हल करना: किसी फलन का अवकलज अनुकूलन समस्याओं को हल करने में प्रयोग किया जा सकता है, जैसे दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा मार्ग खोजना या किसी बर्तन का अधिकतम आयतन खोजना।

अवकलनीयता एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग गणित और भौतिकी की विविध समस्याओं के अध्ययन में किया जा सकता है।